第一-三章期中复习 题型精讲讲义（知识梳理+24考点例题+易错专练+分层作业 共96题）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

人教A版·必修一·期中复习（第一～三章） 期中复习·题型精讲讲义 期中复习 题型精讲讲义（知识梳理+24考点例题+易错专练+分层作业 共96题）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册 人教A版（2019）高中数学必修第一册　期中复习　第一章 集合与常用逻辑用语　第二章 一元二次函数、方程和不等式　第三章 函数的概念与性质 含 12 个考点例题　/　共 96 题（变式 36 · 易错 8 · 作业 28）　/　原卷版＋解析版 班级：________　姓名：________　日期：________ 　课时目标 课标要点 1．重建第一章的语言系统：会按确定性、互异性、无序性三条特性判断能否构成集合，会在列举法与描述法之间选择与转换，会用数轴或Venn图完成并、交、补的混合运算，并由运算结果反过来求参数；能把“若p，则q”的真假、条件的充分性与必要性、两个集合的包含关系这三种说法互相翻译。 2．重建第二章的工具箱：会用作差比较法判断两个代数式的大小，会依据不等式的性质由已知范围推出目标范围；会按“一正、二定、三相等”用基本不等式求和的最小值与积的最大值，会用配凑与常数1的代换处理不能直接套用的式子；会按Δ的三种情形解一元二次不等式，会由解集反求系数，会解简单的分式不等式。 3．重建第三章的研究套路：会求定义域、判断同一个函数、用待定系数法或换元法求解析式，会处理分段函数的求值与作图；会用“取值—作差—变形—定号—下结论”证明单调性，会求闭区间上的最值；会先看定义域是否关于原点对称再判断奇偶性，掌握五个幂函数的图象与性质。 4．打通三章之间的三条连接线：不等式的解集用集合语言书写并参与交、并、补运算；“p是q的充分条件”与两个解集之间的包含关系互为翻译；含参数的不等式在给定区间上恒成立，可以先分离参数再转化为函数的最值问题。这三条连接线正是期中考试压轴题的常见出处。 学习重难点 重点：集合的运算与含参数问题中空集的讨论；充分条件、必要条件与包含关系的互译；按Δ分类解一元二次不等式；基本不等式取等号的三个前提；单调性与奇偶性的符号语言。 难点：含参数时的分类讨论：子集关系里空集要不要单列、一元二次不等式里二次项系数的正负与两根的大小、二次函数在给定区间上最值随对称轴位置的变化；以及把“恒成立”这一句话翻译成关于函数最值的一个不等式。 　目　录 知识梳理 1 知识点 01　集合的三个特性与两种表示法的选用 1 知识点 02　包含关系：子集、真子集、集合相等与空集 1 知识点 03　并集、交集、补集与数轴、Venn图两件工具 2 知识点 04　充分条件、必要条件、充要条件与包含关系的互译 2 知识点 05　两类量词命题的真假判定与含一个量词命题的否定 2 知识点 06　比较大小的基本事实、不等式性质与由范围推范围 2 知识点 07　重要不等式、基本不等式与一正二定三相等 2 知识点 08　一元二次不等式：Δ的三种情形与解集对照 2 知识点 09　函数的三个要素、定义域的求法与分段函数 2 知识点 10　单调性、最值与奇偶性的符号语言及五个幂函数 2 知识点 11　期中三章之间的三条连接线 2 考点 1　用列举法与描述法写集合并由元素求字母 10 考点 2　集合间的关系与含参数的子集问题 11 考点 3　并集、交集、补集的混合运算与反求参数 12 考点 4　充分条件、必要条件与充要条件的判断及应用 13 考点 5　两类量词命题的真假判定与否定 15 考点 6　作差比较大小与由已知范围推目标范围 16 考点 7　用基本不等式求最值：配凑与常数1的代换 17 考点 8　解一元二次不等式与由解集反求系数 18 考点 9　函数的三要素：定义域、解析式与同一个函数 20 考点 10　单调性的定义证明与闭区间上的最值 21 考点 11　函数的奇偶性与幂函数的图象性质 22 考点 12　跨章综合：解集与集合运算、恒成立与存在性（拓展） 24 易错专练 25 课后作业（一）基础过关 26 课后作业（二）能力提升 27 课后作业（三）拓展探究 28 参考答案与解析 29 　课时核心导图 　知识梳理 知识点　01　集合的三个特性与两种表示法的选用 我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。给定的集合，它的元素必须是确定的，一个元素在或不在这个集合中只有一种情形；一个给定集合中的元素是互不相同的，这一条通常称为互异性；元素的排列次序不影响集合本身，这一条通常称为无序性。若a是集合A中的元素，就说a属于A，记作a∈A；若a不是A中的元素，就记作a∉A。数学中常用的数集有固定的记法：非负整数集（自然数集）记作N，正整数集记作N*，整数集记作Z，有理数集记作Q，实数集记作R。表示一个集合有两种常用方法：把所有元素一一列举出来并用花括号括起来，叫做列举法；把元素的共同特征写在竖线右边，写成｛x∈A|P(x)｝的形式，叫做描述法。 元素与集合之间只用∈或∉；集合与集合之间只用⊆、⊊或＝ ｛x∈A|P(x)｝：竖线左边是代表元素及其范围，右边是共同特征 表示法 写法样例 适用场合 常见失误 列举法 ｛0，1，2，3｝ 元素个数不多且能一一数清 元素重复写，违反互异性 描述法 ｛x∈R|x＜10｝ 元素有无数个或不便一一列出 漏写代表元素所在的数集 自然语言 小于10的所有自然数 口头描述或题目条件 标准含糊，如“较小的数” 小提示：由方程或方程组求出字母的值以后，必须把它逐个代回集合检验：凡是使集合里出现两个相同元素的值都要舍去，这一步就是互异性的检验。 知识点　02　包含关系：子集、真子集、集合相等与空集 对于两个集合A与B，如果A中任意一个元素都是B中的元素，就称A为B的子集，记作A⊆B。如果A⊆B，并且B中至少有一个元素不属于A，就称A是B的真子集，记作A⊊B。如果A⊆B并且B⊆A，那么A与B的元素完全一样，就称这两个集合相等，记作A＝B；这也提示我们，证明两个集合相等的标准写法是分两步走，先证一边包含，再证另一边包含。不含任何元素的集合叫做空集，记作∅，规定空集是任何集合的子集。含n个元素的集合，它的子集共有个，其中真子集有－1个，非空真子集有－2个。 含n个元素：子集个，真子集－1个，非空真子集－2个 证明A＝B的两步：先证A⊆B，再证B⊆A 符号 读法 成立的条件 特别提醒 A⊆B A包含于B A中每个元素都在B中 A＝B时A⊆B仍然成立 A⊊B A真包含于B A⊆B且B中有元素不在A中 此时A与B一定不相等 A＝B A等于B A⊆B且B⊆A同时成立 与元素排列的次序无关 ∅⊆A 空集包含于A 对任何集合A都成立 A非空时还有∅⊊A 小提示：题目只说“A⊆B”而没有说A非空时，A取空集也是允许的一种情形，必须把它单独列成一支来讨论，漏掉这一支是含参数子集问题失分最多的地方。 知识点　03　并集、交集、补集与数轴、Venn图两件工具 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B；由属于A且属于B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B。在研究某些问题时，如果所涉及的集合都是某个给定集合的子集，这个给定的集合就叫做全集，通常记作U；对于全集U的一个子集A，由U中不属于A的所有元素组成的集合，叫做A在U中的补集，记作∁UA。处理集合运算有两件常用工具：元素是几个具体的数或字母时画Venn图，元素是一段一段的实数时在数轴上画区间。用数轴时把每个集合画成一条线段或射线，交集看重叠的部分，并集看合起来覆盖的部分，补集看剩下的部分，端点是否取到用实心点与空心点区分。 A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝；A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝ ∁UA＝｛x|x∈U，且x∉A｝；A∪(∁UA)＝U，A∩(∁UA)＝∅ A∩B⊆A⊆A∪B；A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B 小提示：并集里的“或”不是二选一：既属于A又属于B的元素也在A∪B里，但按互异性只算一次，所以两个有限集合并起来的元素个数一般少于两者个数之和。 知识点　04　充分条件、必要条件、充要条件与包含关系的互译 一般地，“若p，则q”为真命题，就说由p可推出q，记作p⇒q，并称p是q的充分条件，q是p的必要条件；若“若p，则q”为假命题，就说p不是q的充分条件，q也不是p的必要条件。如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时称p是q的充要条件，也称p与q互为充要条件。把p、q各自对应的对象放进集合A、B里以后，这些说法可以全部翻译成包含关系：p⇒q相当于A⊆B。这条翻译是把逻辑问题变成集合问题、再变成数轴上端点比较的关键一步，含参数的条件问题几乎都由它入手。 p是q的充分条件⇔p⇒q⇔A⊆B（A、B分别是p、q对应的集合） 证明充要条件必须分两步：充分性证p⇒q，必要性证q⇒p p与q的关系 推出情况 集合语言 常用说法 充分不必要 p⇒q，但q推不出p A⊊B A比B小一圈 必要不充分 q⇒p，但p推不出q B⊊A A比B大一圈 充要 p⇒q且q⇒p A＝B 两者完全一致 既不充分也不必要 两个方向都推不出 A与B互不包含 数轴上交错或分离 小提示：“充分”与“必要”的方向极易记反：箭头从哪个条件出发，哪个就是充分条件；箭头指向哪个条件，哪个就是必要条件。翻译成集合以后，小的那一个是充分条件。 知识点　05　两类量词命题的真假判定与含一个量词命题的否定 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，含有全称量词的命题叫做全称量词命题，可以写成“对M中任意一个x，p(x)成立”，符号记作∀x∈M，p(x)。短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，含有存在量词的命题叫做存在量词命题，可以写成“存在M中的元素x，使p(x)成立”，符号记作∃x∈M，p(x)。判断真假的办法是不对称的：要说明一个全称量词命题为假，只要举出一个反例；要说明它为真，必须对M中每一个元素都验证。存在量词命题正好反过来，找到一个符合的元素就为真，要说它为假则必须说明M中一个也没有。写否定时既要改量词，又要否定后面的结论。 ∀x∈M，p(x)的否定是∃x∈M，¬p(x)；∃x∈M，p(x)的否定是∀x∈M，¬p(x) 常见结论的否定：“都是”变“不都是”，“至少有一个”变“一个也没有”，“＞”变“≤” 命题形式 为真的说明方式 为假的说明方式 它的否定 ∀x∈M，p(x) 对M中每个元素逐一验证 举出一个反例即可 ∃x∈M，¬p(x) ∃x∈M，p(x) 找到一个符合的元素即可 说明M中一个也找不到 ∀x∈M，¬p(x) 小提示：否定只改量词与结论，绝不改变元素所在的范围M；把“∀x∈Z，＞x”的否定写成“∀x∉Z”或“∃x∈Z，＜x”都是错的，正确的写法是∃x∈Z，≤x。 知识点　06　比较大小的基本事实、不等式性质与由范围推范围 比较两个实数a与b的大小，最基本的依据是它们的差与0的大小关系：a＞b等价于a－b＞0，a＝b等价于a－b＝0，a＜b等价于a－b＜0。按这条依据比较两个代数式的大小，操作上分四步：作差、变形、定号、下结论，其中变形一步通常靠因式分解或配方，把差式化成能一眼看出符号的形状。不等式还有一批性质：不等式两边同加一个数不改变方向；两边同乘一个正数不改变方向，同乘一个负数则改变方向；两个同向不等式可以相加，但不能相减；两边都是正数的同向不等式可以相乘。由已知范围求目标范围时，必须把目标式子拆成若干个已知范围的式子相加，逐段套用性质，绝不能把两个范围直接相减或相除。 a＞b⇔a－b＞0；a＝b⇔a－b＝0；a＜b⇔a－b＜0 作差比较四步：作差→变形→定号→下结论 求a－b的范围：先由b的范围写出－b的范围，再与a的范围同向相加 性质 式子 使用条件 易错点 可加性 a＞b⇒a+c＞b+c c为任意实数 误以为要求c＞0 可乘性 a＞b，c＞0⇒ac＞bc 乘数必须为正 c＜0时方向要反过来 同向可加 a＞b，c＞d⇒a+c＞b+d 两式同向 不能改写成a－c＞b－d 正数同向可乘 a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd 四个数都为正 有负数时结论不成立 小提示：由1＜a＜3与2＜b＜5求a－b的范围时，先把2＜b＜5写成－5＜－b＜－2，再与1＜a＜3相加得－4＜a－b＜1；直接用1－2与3－5相减得到的“－1＜a－b＜－2”既方向混乱又结论错误。 知识点　07　重要不等式、基本不等式与一正二定三相等 对任意实数a与b，都有＋≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立，这个式子叫做重要不等式。把它中的a与b换成两个正数的算术平方根，就得到基本不等式≤（a＞0，b＞0），当且仅当a＝b时等号成立；这里叫做a，b的算术平均数，叫做a，b的几何平均数，所以基本不等式也可以说成两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数。用它求最值时必须同时满足三个前提，习惯上概括成一正、二定、三相等：参与的各项都是正数，和或积中有一个是定值，并且能取到使各项相等的自变量值。若积为定值则和有最小值，若和为定值则积有最大值。 ＋≥2ab（a，b∈R）；≤（a＞0，b＞0），当且仅当a＝b时取等号 积定和最小：xy＝P（x＞0，y＞0）⇒x＋y≥；和定积最大：x＋y＝S⇒xy≤ 常数1的代换：由ax＋by＝1得＋＝＋(ax＋by)，再展开用基本不等式 前提 含义 不满足时的处理 一正 参与运算的每一项都必须为正 若为负先提出负号再用 二定 和为定值或积为定值 用配凑或常数1的代换制造定值 三相等 存在自变量使各项相等 取不到时改用单调性求最值 小提示：凡是写出“最小值是某个数”的结论，都必须回头验证等号能不能取到：把使两项相等的方程解出来，若解出的值不在定义范围内，这个数就不是最值，只能改用别的办法。 知识点　08　一元二次不等式：Δ的三种情形与解集对照 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式，一般形式是＋bx＋c＞0或＋bx＋c＜0（a≠0）。解这类不等式的依据是二次函数y＝＋bx＋c的图象：使函数值大于0的自变量，就是图象位于x轴上方那部分对应的横坐标。所以求解的次序是先把二次项系数化为正数，再算出Δ＝－4ac的符号，Δ＞0时求出两个零点x₁＜x₂，然后按“大于取两边、小于取中间”写出解集；Δ＝0时图象与x轴只有一个公共点，Δ＜0时图象整个位于x轴上方，两种情形都要单独判断。若原不等式的二次项系数为负，先在两边同乘－1并把不等号方向反过来，再按上面的次序处理。 表中三行都以a＞0为前提；a＜0时先两边乘－1、不等号反向 由解集反求系数：解集的两个端点就是对应方程的两个根，用根与系数的关系列方程组 （预备知识，此处直接使用）分式不等式（A，B是关于x的整式）：＞0⇔A·B＞0；≥0⇔A·B≥0且B≠0 项目 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 +bx+c＝0的根 两个不等实根x₁＜x₂ 两个相等实根x₁＝x₂＝m 没有实数根 +bx+c＞0的解集 ｛x|x＜x₁，或x＞x₂｝ ｛x|x≠m｝ R +bx+c＜0的解集 ｛x|x₁＜x＜x₂｝ ∅ ∅ 小提示：写解集一定要用集合或区间，不能写成一串连不等式：｛x|x＜1，或x＞4｝写成“1＞x＞4”是没有意义的；两段之间只能用∪连接，不能合并成一个区间。 知识点　09　函数的三个要素、定义域的求法与分段函数 设A，B是非空的实数集，如果对于A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在B中都有唯一确定的数y和它对应，就称对应关系f为从A到B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A。一个函数由定义域、对应关系与值域三个要素构成，其中值域由前两个决定，因此判断两个函数是不是同一个函数只要比较定义域与对应关系这两项。若只给出解析式而没有指明定义域，定义域就是使这个式子有意义的实数组成的集合，常用依据是分母不能为0、二次根式的被开方数不能为负，多个条件同时出现时取交集。有些函数在自变量的不同范围内对应关系并不相同，需要分几段写出解析式，这样的函数叫做分段函数；它是一个函数而不是几个函数，定义域是各段范围的并集。 求解析式：已知类型用待定系数法；已知f(g(x))用整体换元法 分段函数求值：先判断自变量落在哪一段，再代入相应的那一个式子 分段函数的定义域是各段自变量集合的并集，值域是各段函数值集合的并集 解析式的形状 所列的条件 写成集合 写成区间 y＝ x－3≠0 ｛x|x≠3｝ (－∞，3)∪(3，+∞) y＝ x+4≥0 ｛x|x≥－4｝ [－4，+∞) y＝ x+4≥0且x－3≠0 ｛x|x≥－4，且x≠3｝ [－4，3)∪(3，+∞) 小提示：求定义域时切不可先化简解析式：约分会把原来被排除的点悄悄补回来，定义域随之变大；正确的次序是先按原式列出全部条件，求出定义域以后再考虑化简。 知识点　10　单调性、最值与奇偶性的符号语言及五个幂函数 设函数f(x)的定义域为D，区间I包含于D。若对任意的x₁，x₂∈I，当x₁＜x₂时都有f(x₁)＜f(x₂)，就称f(x)在I上单调递增；若都有f(x₁)＞f(x₂)，就称f(x)在I上单调递减；这样的区间I叫做f(x)的单调区间。若存在实数M，使得对任意x∈D都有f(x)≤M，并且存在x₀∈D使f(x₀)＝M，就称M是f(x)的最大值，把不等号方向反过来就得到最小值的定义。若对任意x∈D都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，就称f(x)是偶函数，它的图象关于y轴对称；若f(－x)＝－f(x)，就称f(x)是奇函数，它的图象关于原点对称。形如y＝的函数叫做幂函数，本册只研究α取1，2，3，，－1这五种情形。 定义法证明单调性五步：取值→作差→变形→定号→下结论 判断奇偶性两步：先看定义域是否关于原点对称，再算f(－x)与f(x)的关系 五个幂函数的图象都经过点(1，1)；奇函数若在原点有定义，则必有f(0)＝0 幂函数 定义域 值域 奇偶性 在(0，+∞)上 y＝x R R 奇函数 单调递增 y＝ R [0，+∞) 偶函数 单调递增 y＝ R R 奇函数 单调递增 y＝ [0，+∞) [0，+∞) 既非奇函数也非偶函数 单调递增 y＝ ｛x|x≠0｝ ｛y|y≠0｝ 奇函数 单调递减 小提示：单调区间必须写成区间，而且两个同向的单调区间之间只能用逗号或“和”隔开，不能用∪并起来；判断奇偶性时只要定义域不关于原点对称，就可以立刻断定它既不是奇函数也不是偶函数，不必再算f(－x)。 知识点　11　期中三章之间的三条连接线 期中范围里分值最高的题往往不落在单独一章，而落在三章的接缝处，常见的接缝有三条。第一条是解集与集合：一元二次不等式、分式不等式的解集本身就是集合，写成｛x|…｝或区间以后，就可以和另一个集合做交、并、补运算，也可以讨论它们之间的包含关系。第二条是条件与包含：“p是q的充分不必要条件”这句话，先把p、q的解集分别求出来记为A、B，再翻译成A⊊B，最后落到数轴上比较端点，含参数的条件问题就变成了端点的不等式组。第三条是恒成立与最值：若要求含参数的不等式在给定区间上对每一个x都成立，可以先把参数分离到不等号一边，再把另一边看成一个函数，问题就化为求这个函数在该区间上的最大值或最小值。 A∩B＝A⇔A⊆B⇔A∪B＝B（三种说法完全等价） 对任意x∈I，a≤g(x)恒成立⇔a≤g(x)在I上的最小值 存在x∈I，使a≤g(x)成立⇔a≤g(x)在I上的最大值 接缝 题目里的说法 翻译成的式子 落点 解集与集合 A∩B＝A，A∪B＝B A⊆B 数轴上比端点 条件与包含 p是q的充分不必要条件 A⊊B 端点不等式组，含等号需单独验 恒成立与最值 对任意x∈I都有a＜g(x) a＜g(x)的最小值 求g(x)在I上的最小值 有解与最值 存在x∈I使a＜g(x) a＜g(x)的最大值 求g(x)在I上的最大值 小提示：把条件翻译成包含关系以后，端点处能否取等号必须单独回代验证：端点相等时两个集合是否仍满足“真包含”，往往就是一分之差的所在。 【题型1】用列举法与描述法写集合并由元素求字母 列举法与描述法的互换、由元素反求字母，是第一章最基础的两项操作。互换时先弄清代表元素代表的是数、是有序数对还是一个式子；反求字母时，解出的每一个值都要送回集合做互异性检验。 例1　用列举法表示下列三个集合：（1）不大于12的所有质数组成的集合M；（2）二元一次方程组｛x＋y＝5，x－y＝1｝的解组成的集合N；（3）集合P＝｛x∈∈N*｝。 【分析】三小题的代表元素各不相同：第（1）问的元素是数，第（2）问的元素是一对数，第（3）问的元素是满足整除条件的整数，写之前先把这一点弄清楚。 【解答】（1）从2起逐个检验：2，3，5，7，11都是质数，而4，6，8，9，10，12都不是，12以内再没有别的质数。故M＝｛2，3，5，7，11｝。 （2）把两个方程相加，消去y得2x＝6，解得x＝3；把x＝3代回x＋y＝5，得y＝2。方程组的解是x与y的一对取值，应写成有序数对，故N＝｛(3，2)｝。 （3）要使是正整数，3＋x必须是6的正约数，即3＋x∈｛1，2，3，6｝，相应地x∈｛－2，－1，0，3｝。这四个数都是整数，全部保留，故P＝｛－2，－1，0，3｝。 【方法小结】方程组的解集里只有一个元素，这个元素是有序数对，写成｛3，2｝就变成了两个数组成的集合，含义完全不同。 例2　已知集合A＝｛1，a＋2，－2a｝，且3∈A，求实数a的值。 【分析】3属于A，说明3与A中三个元素之一相等。1显然不等于3，所以只能是a＋2＝3或－2a＝3。求出的每个值都要回代检验互异性。 【解答】若a＋2＝3，则a＝1。此时－2a＝1－2＝－1，A＝｛1，3，－1｝，三个元素互不相同，符合互异性，a＝1可取。 若－2a＝3，则－2a－3＝0，即(a－3)(a＋1)＝0，解得a＝3或a＝－1。 当a＝3时，a＋2＝5，A＝｛1，5，3｝，三个元素互不相同，a＝3可取。 当a＝－1时，a＋2＝1，与A中已有的元素1相同，集合退化为｛1，3｝，违反互异性，a＝－1应舍去。 综上，a＝1或a＝3。 【方法小结】“某个数属于某集合”一定要按元素逐个分类讨论，讨论完毕后必须用互异性把不合格的值筛掉，这一步不能省。 题型1　变式：符号选用、描述法改写与由元素求字母 三题分别练符号的正确选用、把文字条件译成描述法、由元素相等求字母并检验。 变式1　设集合S＝｛x∈N|x≤4｝，则下列写法中正确的是（　　）。 A．2.5∈S B．｛3｝∈S C．0∈S D．－1∈S 变式2　把“所有被5除余2的正整数”组成的集合用描述法表示为________。 变式3　已知集合B＝｛b－1，＋3b，4｝，且0∈B，求实数b的值。 【题型2】集合间的关系与含参数的子集问题 判断两个集合的关系，元素少时逐个比对，元素成段时画数轴比端点。含参数时最关键的一步是先问一句：那个待定的集合允许是空集吗？允许就必须单列一支。 例1　设方程－4x－12＝0的所有实数根组成集合A，方程－8x＋12＝0的所有实数根组成集合B。列出A的全部子集，并说明A与B之间有没有包含关系。 【分析】两个集合都由方程的根给出，先把根解出来化成列举法，再逐个比较元素。 【解答】由－4x－12＝0得(x－6)(x＋2)＝0，故A＝｛－2，6｝。 由－8x＋12＝0得(x－2)(x－6)＝0，故B＝｛2，6｝。 A含2个元素，子集共有＝4个，分别是∅，｛－2｝，｛6｝，｛－2，6｝。 比较元素：－2∈A但－2∉B，故A不是B的子集；2∈B但2∉A，故B也不是A的子集。所以A与B互不包含，它们只有公共元素6。 【方法小结】由方程给出的集合，第一件事永远是解方程化成列举法；子集个数用直接算，不必逐个数。 例2　已知集合C＝｛x|－4≤x≤3｝，D＝｛x|m－2≤x≤2m＋1｝，且D⊆C，求实数m的取值范围。 【分析】D的端点带参数，它有可能是空集。凡是只给出D⊆C而没有说明D非空的题目，都必须把D＝∅与D≠∅两种情形分开讨论。 【解答】第一种情形，D＝∅。此时右端点小于左端点，即2m＋1＜m－2，解得m＜－3。空集是任何集合的子集，故这一支全部满足D⊆C。 第二种情形，D≠∅。此时2m＋1≥m－2，即m≥－3。要使D⊆C，D的左端点不能小于－4，右端点不能大于3，于是有m－2≥－4且2m＋1≤3。 由m－2≥－4得m≥－2；由2m＋1≤3得m≤1。与m≥－3取交集，得－2≤m≤1。 把两支合并：m＜－3或－2≤m≤1。当－3≤m＜－2时，D非空但左端点m－2＜－4，伸出了C的左端，不合题意，所以两支之间是断开的。 【方法小结】“端点带参的区间是否为空”是这类题唯一的分水岭。判断空集的依据只有一条：右端点严格小于左端点；两支合并前要检查中间有没有被漏掉或多算的参数值。 题型2　变式：子集计数、包含关系判断与端点带参 三题依次练子集个数的计算、四个包含关系的辨别、端点带参且已声明非空时的端点比较。 变式1　集合｛a，b，c，d｝的非空真子集共有（　　）个。 A．14 B．15 C．16 D．8 变式2　设E＝｛x|x是正方形｝，F＝｛x|x是矩形｝，G＝｛x|x是平行四边形｝，则下列关系式中正确的是（　　）。 A．G⊊F B．F⊊E C．E⊊F⊊G D．E＝F 变式3　已知集合H＝｛x|x＜－1，或x＞4｝，K＝｛x|2t＜x＜t＋3｝，且K是H的子集，K不是空集，求实数t的取值范围。 【题型3】并集、交集、补集的混合运算与反求参数 混合运算的次序是先算括号内、再算括号外，全集一定要先看清楚。反求参数时，把运算结果的端点与已知集合的端点在数轴上一一对应，是最不容易出错的写法。 例1　设全集U＝R，集合A＝｛x|－3＜x≤2｝，B＝｛x|x≥0｝。求A∩B，A∪B，∁UA，以及(∁UA)∩B。 【分析】把三个集合都画到同一条数轴上，交集看重叠段，并集看覆盖段，补集看空白段，端点开闭按原集合逐个标注。 【解答】A是从－3（不含）到2（含）的一段，B是从0（含）向右的一条射线。 两段重叠的部分从0到2，左端0在B中取到、在A中也在范围内，右端2在A中取到，故A∩B＝｛x|0≤x≤2｝。 两段合起来覆盖了－3右侧的全部实数，左端－3不属于A也不属于B，故A∪B＝｛x|x＞－3｝。 在实数集里去掉A所占的那一段，剩下x≤－3与x＞2两部分。注意－3原来不在A中，所以补集里要把它取到；2原来在A中，所以补集里不能取到。故∁UA＝｛x|x≤－3，或x＞2｝。 最后把∁UA与B求交：x≤－3这一段与x≥0没有公共部分；x＞2这一段整体位于0的右侧。故(∁UA)∩B＝｛x|x＞2｝。 【方法小结】补集的端点开闭一律取反：原集合取到的端点，补集里就取不到，反之亦然。 例2　已知集合A＝｛＋8x＝0｝，B＝｛＋2(k＋2)x＋－4＝0｝，且A∪B＝A，求实数k的取值范围。 【分析】A∪B＝A与B⊆A是同一句话。先把A算出来，再按B中元素的个数分三支讨论。 【解答】由＋8x＝0得x(x＋8)＝0，故A＝｛0，－8｝。由A∪B＝A知B⊆A。 第一支，B＝∅。此时方程无实根，Δ＝－－4)＜0。展开得＋16k＋16－＋16＜0，即16k＋32＜0，解得k＜－2。 第二支，B中只有一个元素。此时Δ＝0，即16k＋32＝0，k＝－2。代回方程得＝0，x＝0，此时B＝｛0｝，确实是A的子集，k＝－2可取。 第三支，B中有两个元素。此时B＝｛0，－8｝，0与－8都是方程的根。把x＝0代入得－4＝0，k＝2或k＝－2；把x＝－8代入得64－16(k＋2)＋－4＝0，即－16k＋28＝0，(k－2)(k－14)＝0，k＝2或k＝14。两者的公共值是k＝2。检验：k＝2时方程为＋8x＝0，B＝｛0，－8｝＝A，符合。 综上，k＜－2或k＝－2或k＝2，即k≤－2或k＝2。 【方法小结】“并上去没有变大”“交下来没有变小”都是包含关系的伪装说法；含参方程给出的集合，讨论顺序固定为无根、一根、两根；两根的情形把两个根分别代入方程即可定出参数。 题型3　变式：有限集运算、由交集定参数与补集的端点 三题分别练有限集合的混合运算、由交集结果反求字母、连续集合求补后再运算时端点开闭的处理。 变式1　已知全集U＝｛1，2，3，4，5，6｝，M＝｛1，3，5｝，N＝｛3，4，6｝，则M∩(∁UN)等于（　　）。 A．｛1，5｝ B．｛3｝ C．｛1，2，5｝ D．｛2，5｝ 变式2　设集合P＝｛－7x＋12＝0｝，Q＝｛x|ax＝6｝。若P∩Q＝Q，则实数a可以取的值有________。 变式3　设全集U＝R，集合S＝｛x|x＜1，或x≥5｝，T＝｛x|a＜x≤a＋2｝。若(∁US)∩T＝T，求实数a的取值范围。 【题型4】充分条件、必要条件与充要条件的判断及应用 判断题的固定动作是两个方向各试一次：能不能由p推出q，能不能由q推出p，推不出就举一个反例。含参数时先把两个条件的解集写出来，再翻译成包含关系。 例1　指出下列各题中p是q的什么条件（在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选择），并写出判断依据。（1）p：x＞3，q：x＞1；（2）p：四边形的两组对边分别相等，q：四边形是平行四边形；（3）p：ab＝0，q：a＝0。 【分析】每一小题都做两次试探。能推出就写出推理，推不出就给一个具体的反例。 【解答】（1）由x＞3一定能得到x＞1，所以p⇒q；反过来取x＝2，满足q但不满足p，所以q推不出p。故p是q的充分不必要条件。 （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形，这是平行四边形的一条判定定理，故p⇒q；平行四边形的两组对边分别相等，这是它的一条性质定理，故q⇒p。两个方向都成立，p是q的充要条件。 （3）由a＝0一定能得到ab＝0，故q⇒p；反过来取a＝5，b＝0，此时ab＝0成立而a＝0不成立，故p推不出q。所以p是q的必要不充分条件。 【方法小结】写“推不出”时必须给出一个具体的反例，只说“不一定”不能算作依据。 例2　已知p：－2≤x≤6，q：2－m≤x≤2＋m（m＞0）。若满足p的x都满足q，但满足q的x不都满足p，求实数m的取值范围。 【分析】把p、q对应的集合分别记为A、B。“满足p的都满足q，满足q的不都满足p”翻译成集合语言就是A⊊B，落到数轴上就是B把A完全盖住而且至少有一端超出。 【解答】A＝｛x|－2≤x≤6｝，B＝｛x|2－m≤x≤2＋m｝。因为m＞0，所以2－m＜2＋m，B恒为非空。 由A⊊B得两个端点条件：2－m≤－2且2＋m≥6。 由2－m≤－2得m≥4；由2＋m≥6得m≥4。两者取交集仍为m≥4。 再检验真包含。当m＝4时，B＝｛x|－2≤x≤6｝，此时A＝B，满足q的x也都满足p，不合题意，应舍去；当m＞4时，B的两端都严格超出A，A⊊B成立。 综上，m＞4。 【方法小结】端点取等号的那一个值必须单独回代检验：它常常正好使两个集合相等，从而破坏“真包含”。 题型4　变式：充要条件的识别、不等关系下的判断与由必要条件定范围 三题分别练在四组条件中挑出充要的一组、在不等关系背景下作方向判断、由条件关系反求参数。 变式1　下列四组条件中，p是q的充要条件的一组是（　　）。 A．p：x＞0，q：＞0 B．p：x＝1，q：＝1 C．p：ab＞0，q：a＞0且b＞0 D．p：a＞b，q：a＋c＞b＋c 变式2　对实数x而言，条件甲：|x|＜2；条件乙：－5x－14＜0。那么甲与乙的关系是（　　）。 A．由甲可以推出乙，但由乙推不出甲 B．由乙可以推出甲，但由甲推不出乙 C．甲与乙可以互相推出 D．甲与乙都不能互相推出 变式3　已知条件p：－2x－8≤0，条件q：|x－1|≤c（c＞0）。若p成立时q一定成立，而q成立时p不一定成立，求实数c的取值范围。 【题型5】两类量词命题的真假判定与否定 判真假与写否定是两件事：判真假时全称命题靠反例、存在命题靠举例；写否定时既换量词又否定结论，元素所在的范围一个字都不许动。命题为真而其中含参数时，问题往往回落到二次式的符号上，这正是第一章与第二章的第一个交汇处。 例1　下列命题中哪些为真？说明理由，并写出各命题的否定：①∀x∈R，－6x＋10＞0；②∃x∈Z，2x＋1＝6；③∀x∈｛－1，0，1｝，＋x≥0。 【分析】全称命题要么逐一验证、要么举反例；存在命题只要找到一个符合的元素就为真。写否定时按“量词互换、结论取反、范围不动”三句话操作。 【解答】①把左边配方，－6x＋10＝＋1。因为≥0，所以＋1≥1＞0对每一个实数x都成立，命题为真。它的否定是∃x∈R，－6x＋10≤0。 ②由2x＋1＝6得x＝，它不是整数，整数集中找不到符合的元素，命题为假。它的否定是∀x∈Z，2x＋1≠6。 ③范围里只有三个元素，逐个代入：x＝－1时＋x＝0；x＝0时＋x＝0；x＝1时＋x＝2。三个值都不小于0，命题为真。它的否定是∃x∈｛－1，0，1｝，＋x＜0。 【方法小结】范围是有限集时，全称命题的真假可以逐个验证，这是最稳妥的办法；范围是R时则要靠配方或别的恒等变形看清符号。 例2　给定命题p：“∀x∈R，－4x＋a＞0”与命题q：“∃x∈R，－4x＋a＜0”。（1）若p为真命题，求实数a的取值范围；（2）若q为真命题，求实数a的取值范围。 【分析】二次式对每一个实数都取正值，从图象上看就是抛物线整个位于x轴上方，条件是开口向上且与x轴没有公共点；存在一个实数使它取负值，则是图象有一部分落到x轴下方。两问都落到Δ的符号上。 【解答】（1）二次项系数1＞0，开口向上。要使－4x＋a＞0对每一个实数x都成立，只需图象与x轴没有公共点，即Δ＜0。 Δ＝－4×1×a＝16－4a，由16－4a＜0解得a＞4。 （2）存在一个实数x使－4x＋a＜0，说明图象至少有一部分落在x轴下方，也就是与x轴有两个不同的公共点，条件是Δ＞0。 由16－4a＞0解得a＜4。 综上，p成立时a＞4；q成立时a＜4。 【方法小结】把“对每一个”“存在一个”翻译成图象与x轴的位置关系，再翻译成Δ的符号，是量词命题与二次不等式之间最短的一条通道。 题型5　变式：选否定形式、写不等式命题的否定与由存在性定参数 三题分别练否定形式的辨别、含不等号命题的否定书写、由存在量词命题为真反求参数。 变式1　对命题“存在一个正整数n，使得＋n是奇数”取否定，所得的命题是（　　）。 A．存在一个正整数n，使得＋n是偶数 B．任意一个正整数n，＋n都是偶数 C．任意一个正整数n，＋n都是奇数 D．任意一个整数n，＋n都是偶数 变式2　把命题“对任意x＞0，都有x＋≥2”改写成它的否定形式，应写成________。 变式3　已知命题“∃x∈[1，3]，－2x－t＞0”为真命题，求实数t的取值范围。 【题型6】作差比较大小与由已知范围推目标范围 比较两个代数式的大小，作差以后一定要把差式变形到符号一眼可辨；由范围推范围则要把目标式拆成几个已知范围的式子相加，逐段套用性质，中途不许相减也不许相除。 例1　比较(a＋5)(a－1)与(a＋1)(a＋3)的大小，其中a为任意实数。 【分析】两个式子都含字母a，直接看不出大小，按作差、变形、定号、下结论四步处理。 【解答】作差：(a＋5)(a－1)－(a＋1)(a＋3)。 变形：先把两个乘积分别展开。(a＋5)(a－1)＝＋4a－5，(a＋1)(a＋3)＝＋4a＋3。 两式相减，二次项与一次项全部抵消，得＋4a－5)－＋4a＋3)＝－8。 定号：差为常数－8，恒小于0，与a取什么值无关。 下结论：(a＋5)(a－1)＜(a＋1)(a＋3)对任意实数a都成立。 【方法小结】展开以后高次项抵消、只剩常数，是这一类“两组乘积比大小”题目的常见结局；一旦差是常数，结论就对全体实数成立，不需要再分类讨论。 例2　已知－1＜a＜3，2＜b＜4，求2a＋b与a－b的取值范围。 【分析】两个目标式都要拆成已知范围的式子之和，再用同向可加的性质逐段合并。含减法时先把被减的那个范围整体变号。 【解答】先求2a＋b的范围。由－1＜a＜3，两边同乘正数2，方向不变，得－2＜2a＜6。 把－2＜2a＜6与2＜b＜4两个同向不等式相加，得－2＋2＜2a＋b＜6＋4，即0＜2a＋b＜10。 再求a－b的范围。把2＜b＜4的三边同乘－1，方向全部反过来，得－4＜－b＜－2。 把－1＜a＜3与－4＜－b＜－2相加，得－1＋(－4)＜a－b＜3＋(－2)，即－5＜a－b＜1。 【方法小结】千万不要用a的两端直接减b的两端：那样得到的“－1－2＜a－b＜3－4”既方向混乱、结论也错。正确做法只有一条，先把减法改写成加上相反数。 题型6　变式：性质的反例判断、范围合并与含负因数的比较 三题分别练用反例否定错误的性质、由两个范围合并出目标范围、乘数为负时不等号方向的处理。 变式1　设a＞b，c为任意实数。下列四个式子中，其值一定是正数的是（　　）。 A．ac－bc B．－ C．(a－b)＋1 D．－ 变式2　若2＜m＜5，－3＜n＜－1，则3n－m的取值范围是________。 变式3　设c是负数，且a＞b＞0。用作差的办法判断与这两个数哪一个更大。 【题型7】用基本不等式求最值：配凑与常数1的代换 式子不能直接套用基本不等式时，先想办法造出定值：分式型靠配凑，带条件的靠常数1的代换。造出定值之后，最后一步永远是回头验证等号能不能取到。 例1　设x＞－2。先求出使x＋最小的x，再求出这个最小值。 【分析】两项之积x·不是定值，不能直接套用。分母是x＋2，把x拆成(x＋2)－2，就能与分母配成积为定值的两项。 【解答】因为x＞－2，所以x＋2＞0，＞0，两项都是正数，一正满足。 把原式改写为x＋＝(x＋2)＋－2。 前两项之积为(x＋2)×＝9，是定值，二定满足。 由基本不等式得(x＋2)＋≥＝6，于是原式≥6－2＝4。 等号成立需要x＋2＝，即＝9，解得x＝1或x＝－5。因x＋2＞0，x＝－5这一支舍去，只取x＝1，落在x＞－2内，三相等满足。 所以最小值为4，此时x＝1。 【方法小结】配凑的目标只有一个：让两项之积把字母约掉。凑的时候被加上或减去的那个常数，最后要补回结论里。 例2　设正数a，b满足关系a＋2b＝1，求代数式＋的最小值，并写出取到最小值时a与b的值。 【分析】条件是一次式等于1，目标是两个分式之和。把目标乘上等于1的那个式子，展开后就能造出积为定值的两项，这就是常数1的代换。 【解答】因为a＋2b＝1，所以＋＝＋×1＝＋(a＋2b)。 展开得＋(a＋2b)＝1＋＋＋2＝3＋＋。 由a＞0，b＞0知＞0，＞0，且两项之积为×＝2，是定值。 由基本不等式得＋≥，于是＋≥3＋。 等号成立需要＝，即＝，由a，b为正数得a＝。 代入a＋2b＝1得＋2)b＝1，所以b＝＝，a＝＝－1，都是正数，等号能够取到。 所以＋的最小值为3＋，此时a＝－1，b＝。 【方法小结】常数1的代换有两个固定动作：先把条件写成“某式＝1”，再用它去乘目标式。展开后一定会剩下两项互为倒数形状的式子，它们的积就是定值。 题型7　变式：直接求最值、和定积最大与围栏用料最省 三题分别练最基本的积定和最小、条件为和的积最大、以及把实际问题化成基本不等式模型。 变式1　当x取遍所有正数时，代数式x＋所能取到的最小值等于（　　）。 A．9 B．6 C．3 D．不存在 变式2　把一根长16米的铁丝全部弯成一个矩形框（接头处不计），这个矩形框所围面积的最大值是________平方米。 变式3　某农场要靠一堵足够长的旧墙围出一块面积为200平方米的矩形试验田，与墙平行的那一边不需要篱笆，另外三边都用篱笆围起来。问三边篱笆的总长度最少是多少米，此时矩形的长与宽各是多少米。 【题型8】解一元二次不等式与由解集反求系数 解一元二次不等式的次序是固定的：先把二次项系数化正，再看Δ的符号，最后按“大于取两边、小于取中间”写集合。反求系数时抓住一条：解集的两个端点就是对应方程的两个根。 例1　解下列不等式：（1）－5x－2＞0；（2）＋6x－9≥0；（3）－2x＋5＜0。 【分析】三小题恰好对应Δ的三种情形，第（2）问还要先把二次项系数化为正数。 【解答】（1）二次项系数3＞0。左边可以分解为(3x＋1)(x－2)，对应方程的两个根是x＝与x＝2，Δ＞0。按“大于取两边”，解集为｛x|x＜，或x＞2｝。 （2）二次项系数为－1，两边同乘－1并把不等号反向，得－6x＋9≤0，即≤0。平方式恒不小于0，只有等于0时才满足，故x－3＝0，x＝3。解集为｛3｝。 （3）二次项系数1＞0，Δ＝－4×1×5＝4－20＝－16＜0，图象与x轴没有公共点且整体位于x轴上方，所以－2x＋5＜0无解，解集为∅。 【方法小结】看到二次项系数为负，第一件事就是两边乘－1并把不等号反向；Δ≤0的两种情形不要凭口诀写答案，要回到图象与x轴的位置关系去判断。 例2　不等式＋bx＋2＞0（a，b∈R）的解集恰好是｛x|－1＜x＜｝。（1）求a与b；（2）解不等式＋bx＋a＜0。 【分析】解集是一段夹在中间的区间，说明二次项系数为负，且－1与恰是方程＋bx＋2＝0的两个根。把两个根分别代入方程，列方程组求a，b。 【解答】因为解集是“取中间”的形状，所以a＜0，且－1与是方程＋bx＋2＝0的两个根。 把x＝－1代入方程＋bx＋2＝0，得a－b＋2＝0；把x＝代入，得＋＋2＝0，两边同乘9得a＋3b＋18＝0。 两式相减，得4b＋16＝0，解得b＝－4；代回a－b＋2＝0，得a＝－6。 检验：把a＝－6，b＝－4代回，原不等式为－4x＋2＞0，两边同除以－2并反向得＋2x－1＜0，即(3x－1)(x＋1)＜0，解集正是｛x|－1＜x＜｝，与题设相符。 把a＝－6，b＝－4代入第二个不等式，得－4x－6＜0，两边同除以2得－2x－3＜0，即(x－3)(x＋1)＜0。 按“小于取中间”，解集为｛x|－1＜x＜3｝。 【方法小结】由解集反求系数以后一定要代回原式验证一次：这一步能同时查出符号错误与根写反的错误。 题型8　变式：直接求解集、解集为R与含参数的分类讨论（拓展） 三题依次练最基本的求解集、由解集为R反求参数、以及两根大小不定时的分类讨论。 变式1　不等式－2x－15≤0的解集是（　　）。 A．(－∞，－3]∪[5，＋∞) B．[－5，3] C．[－3，5] D．(－3，5) 变式2　若对每一个实数x都有－2x＋m＞0，则实数m满足________。 变式3　设k为实数。按k的不同取值，写出不等式－3kx＋＞0的解集。 【题型9】函数的三要素：定义域、解析式与同一个函数 求定义域是把式子有意义的全部条件逐条列出再取交集，其中含二次式的那一条正好要用第二章解一元二次不等式的办法；求解析式则按已知条件选待定系数法或整体换元法。 例1　求下列函数的定义域，结果用集合或区间表示：（1）y＝＋；（2）y＝。 【分析】式子里有几种运算就列几个条件：根号要求被开方数非负，分母要求不为0，最后把各条件所确定的集合取交集。 【解答】（1）由被开方数非负得3－2x≥0，解得x≤；由分母不为0得x＋1≠0，即x≠－1。 把两个条件取交集，得到｛x|x≤，且x≠－1｝。－1落在x≤这一段的内部，所以要在这一段上把它挖掉，写成区间就是(－∞，－1)∪(－1，。 （2）只有一个条件：－x－6≥0。把左边分解因式得(x－3)(x＋2)≥0，对应方程的根是3与－2，二次项系数为正。 按“大于取两边”并注意含等号，得x≤－2或x≥3，写成区间就是(－∞，－2]∪[3，＋∞)。 【方法小结】被开方式子是二次式时，求定义域这一步实际上就是解一个一元二次不等式，两章的方法在这里接上了头。 例2　求下列函数的解析式：（1）已知f(x)是二次函数，f(0)＝1，且f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)；（2）已知f(2x－1)＝＋1，求f(x)。 【分析】第（1）问已知函数的类型，用待定系数法；第（2）问已知的是一个复合形式的表达式，用整体换元法。 【解答】（1）设f(x)＝＋bx＋c（a≠0）。由f(0)＝1得c＝1。 计算f(x＋1)－f(x)＝＋b(x＋1)＋c]－＋bx＋c)＝a(2x＋1)＋b＝2ax＋a＋b。 由f(x＋1)－f(x)＝2x对每一个x都成立，比较两边同次项的系数，得2a＝2且a＋b＝0。 解得a＝1，b＝－1。所以f(x)＝－x＋1。 （2）令t＝2x－1，则x＝。把它代入右边：＋1＝4×＋1＝＋1＝＋2t＋2。 于是f(t)＝＋2t＋2。字母只是一个记号，把t换回x，得f(x)＝＋2x＋2。 【方法小结】整体换元以后一定要把新字母的取值范围一并考虑；本题中t＝2x－1可以取遍全体实数，所以所得解析式的定义域是R。 题型9　变式：同一个函数的辨别、抽象定义域与求函数值 三题分别练“先定义域后化简”的次序、由外层函数的定义域反推内层的取值范围、按解析式求具体与含字母的函数值。 变式1　对下面四组f(x)，g(x)逐组比较定义域与对应关系，两者都相同的一组是（　　）。 A．f(x)＝2x＋1（x∈R）与g(t)＝2t＋1（t∈R） B．f(x)＝x与g(x)＝ C．f(x)＝·与g(x)＝ D．f(x)＝x＋1与g(x)＝ 变式2　已知函数f(x)的定义域为[0，4]，则函数f(2x－2)的定义域为________。 变式3　已知函数f(x)＝，写出它的定义域，并求f(4)与f(a＋3)的值（其中a≠0）。 【题型10】单调性的定义证明与闭区间上的最值 定义法证明按取值、作差、变形、定号、下结论五步走，变形的目标是把差式化成能一眼定号的乘积或分式；求闭区间上的最值则先定对称轴与区间的相对位置，再决定在顶点还是在端点取值。 例1　按单调性的定义，证明f(x)＝在(－1，＋∞)上是减函数。 【分析】分式型函数作差以后要通分，把分子化到能定号为止。先把解析式分离常数，可以让后面的计算轻很多。 【解答】先分离常数：＝＝2＋。 取值：任取x₁，x₂∈(－1，＋∞)，且x₁＜x₂。 作差：f(x₁)－f(x₂)＝[2＋－[2＋＝－。 变形：通分得f(x₁)－f(x₂)＝。 定号：由x₁＜x₂得x₂－x₁＞0；由x₁＞－1，x₂＞－1得x₁＋1＞0，x₂＋1＞0，所以分母(x₁＋1)(x₂＋1)＞0。于是f(x₁)－f(x₂)＞0，即f(x₁)＞f(x₂)。 下结论：对任意x₁，x₂∈(－1，＋∞)，当x₁＜x₂时都有f(x₁)＞f(x₂)，所以f(x)在(－1，＋∞)上单调递减。 代入两个具体点核对方向：f(0)＝3，f(1)＝＝，x由0增大到1时函数值由3减小到，与结论一致。 【方法小结】分式型函数先分离常数，再作差通分，是把差式变到能定号的最短路线；定号时每一个因式的符号都要有条件作依据，不能只说“显然”。 例2　已知函数f(x)＝－10x＋16。（1）求f(x)的单调区间；（2）求f(x)在[3，10]上的最大值与最小值，并写出取得最值时x的值；（3）若f(x)在闭区间[t，t＋2]上单调递增，求实数t的取值范围。 【分析】三问都围绕对称轴：第（1）问由对称轴分出两侧，第（2）问看对称轴在不在区间内，第（3）问要求整个区间落在对称轴右侧。 【解答】（1）配方得f(x)＝－9。图象开口向上，对称轴是直线x＝5。所以f(x)的单调递减区间为(－∞，5]，单调递增区间为[5，＋∞)。 （2）对称轴x＝5落在区间[3，10]的内部，所以最小值在顶点处取得，f(5)＝25－50＋16＝－9。 最大值只在离对称轴较远的端点处取得。计算得f(3)＝9－30＋16＝－5，f(10)＝100－100＋16＝16。 端点3与对称轴的距离是2，端点10与对称轴的距离是5，后者更远，故最大值为f(10)＝16。 所以在[3，10]上，最大值为16，此时x＝10；最小值为－9，此时x＝5。 （3）f(x)在[5，＋∞)上单调递增。要使f(x)在[t，t＋2]上单调递增，只需[t，t＋2]整个落在[5，＋∞)内，即左端点满足t≥5。 所以t≥5。 【方法小结】二次函数在闭区间上的最大值一定在端点取得，究竟是哪一个端点，比较它们与对称轴的距离即可，距离远的那一个函数值更大（开口向上时）。 题型10　变式：读单调区间、分式函数的最值与由单调性定参数 三题分别练由解析式直接读出单调区间、在闭区间上利用单调性取端点、由“在某区间上单调”反求参数。 变式1　下列区间中，函数y＝＋2x＋3在其上单调递增的是（　　）。 A．(－∞，1] B．[1，＋∞) C．(－∞，－1] D．[－1，＋∞) 变式2　函数f(x)＝在闭区间[3，5]上的最大值是________。 变式3　已知f(x)＝＋2ax＋2。若f(x)在[－5，5]上要么处处递增、要么处处递减，求实数a的取值范围。 【题型11】函数的奇偶性与幂函数的图象性质 判断奇偶性的第一步永远是求定义域并看它是否关于原点对称，这一步不过关，后面算得再对也没有意义。已知一半的解析式求另一半，靠的是把自变量取相反数后再用奇偶性搬回来。 例1　对下面三个函数，各自说明它是奇函数、是偶函数，还是两者都不是：（1）f(x)＝－3x；（2）g(x)＝＋1，x∈[－1，3]；（3）h(x)＝。 【分析】三小题分别对应三种情形：定义域为R直接算；定义域不对称直接否定；定义域受限且解析式可化简。 【解答】（1）定义域是R，关于原点对称。计算f(－x)＝－3(－x)＝＋3x＝－3x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数。 （2）定义域是[－1，3]。取x＝3，它在定义域内，而－3不在定义域内，所以定义域不关于原点对称，g(x)既不是奇函数也不是偶函数。 （3）先求定义域：由1－≥0得－1≤x≤1；由|x＋2|－2≠0得x＋2≠2且x＋2≠－2，即x≠0且x≠－4。取交集得定义域为[－1，0)∪(0，1]，它关于原点对称。 在这个定义域上x＋2＞0，所以|x＋2|＝x＋2，于是|x＋2|－2＝x，解析式化简为h(x)＝。 计算h(－x)＝＝＝－h(x)，所以h(x)是奇函数。 【方法小结】第（2）问提醒我们：解析式看上去很像偶函数，只要定义域不对称就一票否决；第（3）问提醒我们：先化简再判断，可以避开绝对值带来的麻烦，但化简必须在已求出的定义域上进行。 例2　已知函数f(x)对每一个实数x都满足f(x)＝f(－x)，且当x≥0时f(x)＝x(3－x)。（1）求f(－2)的值；（2）当x取负数时，把f(x)用含x的式子表示出来；（3）求f(x)在R上的最大值。 【分析】条件f(x)＝f(－x)说明f(x)是偶函数，图象关于y轴对称。已知的是非负半轴上的表达式，要把负半轴上的问题搬到非负半轴上去算。 【解答】（1）由f(x)＝f(－x)得f(－2)＝f(2)。因为2≥0，可以代入已知表达式：f(2)＝2×(3－2)＝2×1＝2。所以f(－2)＝2。 （2）设x＜0，则－x＞0，－x落在已知表达式适用的范围内，于是f(－x)＝(－x)(3－(－x))＝－x(3＋x)。 又f(x)＝f(－x)，所以当x＜0时f(x)＝－x(3＋x)，展开即f(x)＝－3x。 （3）先看x≥0的一半。f(x)＝x(3－x)＝＋3x，配方得f(x)＝＋，图象开口向下，顶点横坐标落在x≥0内，所以这一半上的最大值为。 由对称性，x＜0的一半上函数值与x＞0处一一对应，取到的值集合相同，不会超过。 所以f(x)在R上的最大值为，在x＝与x＝处取到。 【方法小结】偶函数只需研究一半的图象，另一半按对称照搬；求整体最值时，只要在已知的那一半上求出最值即可。 题型11　变式：由点定幂函数、幂函数的函数值与由偶函数定系数 三题分别练由图象所过的点识别幂函数、由所过的点求出指数后再求值、由奇偶性对系数的约束求参数。 变式1　下列幂函数中，图象经过点(4，2)的是（　　）。 A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ 变式2　已知幂函数y＝满足：当x＝－2时y＝－8。那么当x＝时，y的值是________。 变式3　已知函数f(x)＝(m＋1)＋－1)x＋4是二次函数，并且它是偶函数，求实数m的值。 【题型12】跨章综合：解集与集合运算、恒成立与存在性（拓展） 本题型把三章接在一起：先用第二章的方法把不等式的解集算出来，再用第一章的语言做运算或谈包含，最后用第三章的最值把恒成立与存在性落地。三步之间的翻译，正是期中压轴题的全部内容。 例1　已知全集U＝R，集合A＝｛－x－12≤0｝，B＝｛x|x＜a｝。（1）当a＝1时，求A∩B与(∁UA)∪B；（2）若A∩B＝A，求实数a的取值范围。 【分析】先把A这个不等式解集算成一段区间，之后所有运算都在数轴上完成。第（2）问要把A∩B＝A先翻译成包含关系。 【解答】解－x－12≤0。左边分解为(x－4)(x＋3)，对应方程的根是4与－3，二次项系数为正，按“小于取中间”并含端点，得A＝｛x|－3≤x≤4｝。 （1）当a＝1时，B＝｛x|x＜1｝。A与B重叠的部分从－3（含）到1（不含），故A∩B＝[－3，1)。 在R中去掉A所占的一段，得∁UA＝(－∞，－3)∪(4，＋∞)。把它与B＝(－∞，1)求并：(－∞，－3)与(－∞，1)合并为(－∞，1)，再加上(4，＋∞)。故(∁UA)∪B＝(－∞，1)∪(4，＋∞)。 （2）A∩B＝A说明A⊆B，即A中每一个数都小于a。A中最大的数是4，且4能取到，所以必须4＜a。 若a＝4，则4∈A但4∉B，A不是B的子集，不合题意；若a＞4，则A中每个数都小于a，成立。 所以a＞4。 【方法小结】“交下来还是它自己”“并上去还是另一个”都是包含关系的换装说法；判断端点能否取等号时，把那个端点单独代进两个集合验证一次最可靠。 例2　已知函数f(x)＝－4x＋6。（1）若对任意x∈[1，4]，不等式f(x)≥3m－4恒成立，求实数m的取值范围；（2）若存在x∈[1，4]，使f(x)≤3m－4成立，求实数m的取值范围。 【分析】两问都把参数放在不等号的一边，另一边是同一个二次函数。恒成立比的是最小值，存在成立比的也是最小值，但不等号方向相反，所以先把f(x)在[1，4]上的最小值算清楚。 【解答】配方得f(x)＝＋2，图象开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点落在区间[1，4]内部。 所以f(x)在[1，4]上的最小值为f(2)＝2；又f(1)＝1－4＋6＝3，f(4)＝16－16＋6＝6，最大值为6。 （1）“对任意x∈[1，4]都有f(x)≥3m－4”，等价于3m－4不超过f(x)在这个区间上的最小值，即3m－4≤2。 解得3m≤6，m≤2。 （2）“存在x∈[1，4]使f(x)≤3m－4”，只要f(x)能取到的最小的那个值不超过3m－4即可，即3m－4≥2。 解得m≥2。 【方法小结】口诀是：恒成立取最值的“最不利”一端，存在成立取“最有利”一端。本题两问的临界值都是最小值2，只是不等号方向相反，两问的答案在m＝2处相接（m＝2同时满足两问）。 题型12　变式（拓展）：解集的交、由充分条件定端点与含参解集的包含 三题依次把解集送进集合运算、送进条件判断、送进包含关系，难度逐级上升。 变式1　已知集合M＝｛－4x＜0｝，N＝｛x|x≥2｝，则M∩N等于（　　）。 A．｛x|0＜x＜2｝ B．｛x|2≤x＜4｝ C．｛x|x＞0｝ D．｛x|0＜x≤2｝ 变式2　记A＝｛－5x＋4≤0｝。若“x∈A”能推出“x＜b”，则b应满足________。 变式3　集合A由满足－(a＋3)x＋3a＜0的全体实数x组成，集合B＝｛x|1＜x＜5｝。若A⊆B，求实数a的取值范围。 　易错专练 这八题各自对准期中范围内的一个高频失分点：空集这一支、条件方向、等号能否取到、二次项系数为负、定义域是否对称、单调区间的写法、由范围推范围的次序、二次项系数是否为0。建议先独立作答，再逐条核对解析中标出的错解、错因与正解。 易错1　已知集合A＝｛＋x－6＝0｝，B＝｛x|mx＋1＝0｝，且B⊆A。有同学解得m＝或m＝。请补出被他漏掉的那一支，并写出m的全部可能取值。 易错2　已知p：－1≤x≤5，q：k－1≤x≤k＋2。若q是p的充分不必要条件，有同学列出k－1≤－1且k＋2≥5，得到k≤0且k≥3，于是断定无解。请找出推理断裂的位置，并重新求出k的取值范围。 易错3　求函数f(x)＝x＋在区间[3，＋∞)上的最小值时，有同学写出f(x)≥＝4，于是答最小值为4。请判断4是不是最小值，并求出f(x)在这个区间上的最小值。 易错4　解不等式＋2x＋3＞0时，有同学看到两根为－1与3，直接按“大于取两边”写出解集｛x|x＜－1，或x＞3｝。请找出这一步失效的原因，并重新写出解集。 易错5　已知f(x)＝＋bx＋3是定义在[a－1，2a]上的偶函数。某同学只由一次项系数为0得出b＝0便停笔。请补出还需要用到的一个条件，并求出a＋b的值。 易错6　有同学把幂函数y＝的单调递减区间写成(－∞，0)∪(0，＋∞)。请举出一组数否定这种写法，并给出规范的表述。 易错7　已知2＜a＜5，1＜b＜3，有同学用两式直接相减，得到2－1＜a－b＜5－3，即1＜a－b＜2。请找出这一步违反的性质，并重新求出a－b的范围。 易错8　下面是一道题的解答片段：求使＋mx－2＜0恒成立的实数m。某同学只讨论了二次的情形，解得－8＜m＜0。请把二次项系数为0的情形补进讨论，并给出m的完整取值范围。 　课后作业（一）基础过关 本组12题分三段：第1～5题为四选一，把字母写进括号；第6～9题把结果直接写在横线上，集合与区间的记法务必规范；第10～12题要把推理与运算的每一步写全。这一组只考十二个题型里最基本的那一层，用来确认知识点是否已经落地。 1．已知集合A＝｛－1，0，1，2｝，B＝｛≤1｝，则A∩B等于（　　）。 A．｛－1，0，1｝ B．｛0，1｝ C．｛－1，0｝ D．｛1，2｝ 2．“所有的菱形都是平行四边形”这个命题的否定是（　　）。 A．所有的菱形都不是平行四边形 B．有的菱形是平行四边形 C．有的平行四边形不是菱形 D．有的菱形不是平行四边形 3．不等式(x＋3)(2－x)＜0的解集是（　　）。 A．｛x|－3＜x＜2｝ B．｛x|x＜－3，或x＞2｝ C．｛x|x＜－2，或x＞3｝ D．｛x|－2＜x＜3｝ 4．函数g(t)＝－的定义域是（　　）。 A．(－∞，4] B．(－1，4] C．(－∞，－1)∪(－1，4] D．(－∞，－1)∪(－1，4) 5．f(x)是R上的奇函数，已知f(2)＝3。那么f(－2)等于（　　）。 A．3 B．－3 C．0 D．6 6．已知集合A＝｛1，3，5，7｝，B＝｛3，5，9｝，则A∪B＝________。 7．已知正实数x，y满足xy＝16，则x＋y的最小值是________。 8．已知－2＜t＜3。用区间表示5t能取到的所有值：________。 9．幂函数y＝在区间(0，＋∞)上的单调性是________（填“单调递增”或“单调递减”）。 10．设A＝｛x|－3＜x≤2｝，另设B是不等式－x－2＞0的解集。分别求出A∩B与A∪B。 11．设f(x)＝＋6x－4。（1）写出它的图象的对称轴；（2）写出f(x)在[0，4]上所能取到的全部值组成的集合。 12．设函数f(x)＝＋x。（1）说明它是奇函数；（2）任取x₁＜x₂，通过作差证明它是R上的增函数。 　课后作业（二）能力提升 本组10题在基础题的基础上各加一层转化：条件与集合的互译、由解集为空反求参数、奇偶性与单调性联手比较大小、常数1的代换、以及在闭区间上先定单调性再取端点。第1题与第5～7题把结果写在横线上，其余按要求作答。 1．设a，b∈R。“a＞b”是“＞”的________条件（在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选填）。 2．不等式｜－7x＋10｜＞－7x＋10的解集是（　　）。 A．{x|2＜x＜5} B．{x|x＜2或x＞5} C．{x|x≤2或x≥5} D．R 3．设f(x)是偶函数，并且在[0，＋∞)上函数值随自变量的增大而增大。那么以下四项中能够确定成立的是（　　）。 A．f(－3)＜f(2) B．f(－1)＞f(2) C．f(－3)＞f(2) D．f(0)＞f(1) 4．正数a，b的和为1。关于它们，下面哪一个判断是对的（　　）。 A．ab最大能达到 B．＋最小能达到9 C．＋最小能达到1 D．＋最大能达到2 5．已知集合A＝｛x|x＜1，或x＞3｝，B＝｛x|a≤x≤a＋2｝。若A∩B＝∅，则实数a只能取________。 6．若不等式＋mx＋m＋3＞0对一切实数x都成立，则实数m的取值范围是________。 7．若f(x)＝－2ax＋5在[1，＋∞)上是增函数，则实数a满足________。 8．已知函数f(x)＝，其中x＞0。（1）求f(x)能取到的最小值以及相应的x；（2）用单调性的定义证明f(x)在区间(0，上单调递减。 9．已知集合A＝｛－4x＋3≤0｝，B＝｛x|(x－a)(x－a－4)≤0｝。若A中的每一个元素都属于B，求实数a的取值范围。 10．已知函数f(x)＝＋bx＋c，且f(1)＝0，f(3)＝0。（1）求b与c的值；（2）解不等式f(x)＜5。 　课后作业（三）拓展探究 本组6题的难度再上一层：非空条件与包含关系叠加、偶函数配单调性化成绝对值不等式、恒成立取最值、条件与解集互译、以及把利润写成二次函数再求最值。处理它们的共同办法是先把每一句话都翻译成一个不等式，再逐条落到数轴或图象上。 11．已知非空集合A＝｛x|2a＋1≤x≤3a－5｝，B＝｛x|3≤x≤22｝，则能使A⊆B成立的所有实数a组成的集合是（　　）。 A．｛a|6≤a≤9｝ B．｛a|a≤9｝ C．｛a|1≤a≤9｝ D．｛a|6＜a＜9｝ 12．设f(x)为偶函数，定义域是R，在非正半轴上它随自变量的增大而减小。当f(2a＋1)＜f(3)时，a应满足（　　）。 A．(－1，2) B．(－2，1) C．(－1，1) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 13．若对任意x∈[1，3]，不等式－k≤0恒成立，则实数k的最小值是________。 14．已知p：－6x－7≤0，q：－2x＋1－≤0（m＞0），记p、q的解集分别为A、B。若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围。 15．某商品每件的成本是30元。市场调查表明：当售价定为x元（x＞30）时，每天的销售量是(160－2x)件。（1）把每天的利润W（单位：元）表示成售价x的函数，并指出x能取哪些值；（2）求出使W达到最大的售价x，以及相应的W的值。 16．设f(x)＝－2ax＋2。（1）讨论关于x的方程f(x)＝0的实数根的个数（按a分类讨论）；（2）当x在[1，5]中任意取值时，f(x)≥3－2a总成立，求实数a的取值范围。 　参考答案与解析 　题型1　变式：符号选用、描述法改写与由元素求字母 变式1　【答案】C 【解析】S的元素必须既是自然数又不超过4，逐个列出得S＝｛0，1，2，3，4｝。 A中2.5不是自然数，不是S的元素。 B中｛3｝是一个集合，集合与集合之间不能用∈连接，写法本身就不合规范。 C中0是自然数且0≤4，确实是S的元素，写法正确。 D中－1不是自然数，也不满足条件。故选C。 变式2　【答案】｛x|x＝5k＋2，k∈N｝ 【解析】被5除余2的正整数，最小的一个是2，往后依次是7，12，17，…，相邻两个相差5。 设商为k，则这类数都能写成5k＋2的形式；要保证结果是正整数，k只需取0，1，2，…即可，也就是k∈N。 所以该集合可写成｛x|x＝5k＋2，k∈N｝。 若把条件写成k∈Z，就会把－3，－8这些负数也算进来，与“正整数”不符。 变式3　【答案】b＝0或b＝－3 【解析】【分析】0只能由前两个位置提供，于是分b－1＝0与＋3b＝0两支讨论，每一支都要回代检验互异性。 【解答】若b－1＝0，则b＝1。此时＋3b＝1＋3＝4，B中出现两个4，违反互异性，这一支舍去。 若＋3b＝0，即b(b＋3)＝0，解得b＝0或b＝－3。 当b＝0时，b－1＝－1，B＝｛－1，0，4｝，三个元素互不相同，可取。 当b＝－3时，b－1＝－4，B＝｛－4，0，4｝，三个元素互不相同，也可取。 综上，b＝0或b＝－3。 【方法小结】互异性检验必须逐支进行：本题第一支算出的值恰好使集合中出现重复元素，正是靠这一步才被筛掉。 　题型2　变式：子集计数、包含关系判断与端点带参 变式1　【答案】A 【解析】该集合含4个元素，它的子集共有＝16个。 把集合自身去掉，剩下的是真子集，共16－1＝15个。 再把空集去掉，剩下的就是非空真子集，共16－2＝14个。 故选A。 变式2　【答案】C 【解析】每一个正方形都是矩形，而长与宽不相等的矩形不是正方形，所以E真包含于F。 每一个矩形都是平行四边形，而不含直角的平行四边形不是矩形，所以F真包含于G。 把两步连起来，得到E⊊F⊊G，C正确。 A把包含方向写反了，B同样写反，D把两个不相等的集合写成相等。故选C。 变式3　【答案】t≤－4或2≤t＜3 【解析】【分析】题目已经声明K不是空集，空集这一支不必再讨论，但必须先由非空写出t的一个约束。H由两段组成，K只能整段落在其中一段里。 【解答】由K非空得2t＜t＋3，解得t＜3。 若K整段落在左边一段，需要t＋3≤－1，解得t≤－4。这与t＜3相容，故t≤－4是一支答案。 若K整段落在右边一段，需要2t≥4，解得t≥2。与t＜3取交集得2≤t＜3。 两支合起来：t≤－4或2≤t＜3。 【方法小结】目标集合由两段组成时，子集不能横跨中间的空隙，只能整段落入其中一段，因此必须分成两支分别列端点不等式。 　题型3　变式：有限集运算、由交集定参数与补集的端点 变式1　【答案】A 【解析】先求∁UN：在U中去掉3，4，6，剩下1，2，5，故∁UN＝｛1，2，5｝。 再把M与它求交：M中的1在∁UN里，3不在，5在。 所以M∩(∁UN)＝｛1，5｝，选A。 C的错误在于把2也算了进去，但2不属于M。 变式2　【答案】｛0，，2｝ 【解析】由－7x＋12＝0得(x－3)(x－4)＝0，故P＝｛3，4｝。P∩Q＝Q说明Q⊆P。 若a＝0，方程0·x＝6无解，Q＝∅，空集是任何集合的子集，符合要求。 若a≠0，方程的解为x＝，此时Q只含一个元素，要求∈P。 由＝3得a＝2；由＝4得a＝。 所以a的取值为0，，2，组成的集合是｛0，，2｝。 变式3　【答案】1≤a＜3 【解析】【分析】(∁US)∩T＝T等价于T⊆∁US，所以先把∁US求出来。T的左端为开、右端为闭，比较端点时开闭要分别对待。 【解答】S由x＜1与x≥5两段组成，在实数集中去掉这两段，得∁US＝｛x|1≤x＜5｝。 因为a＜a＋2恒成立，所以T永远不是空集，不必讨论空集这一支。 T中的每个数都大于a，只要a≥1，就有x＞a≥1，左端条件满足；反之若a＜1，取一个略大于a且小于1的数，它属于T却不属于∁US。故左端条件是a≥1。 T的右端点a＋2是取到的，而∁US的右端5取不到，所以必须a＋2＜5，解得a＜3。 两个条件合起来，得1≤a＜3。 【方法小结】比较端点时开闭要分别对待：被包含一方的端点若取不到，可以与目标端点重合；若取得到，就必须严格落在目标区间内部。 　题型4　变式：充要条件的识别、不等关系下的判断与由必要条件定范围 变式1　【答案】D 【解析】A中由x＞0可得＞0；但取x＝－1，有＞0而x＞0不成立，只是充分不必要。 B中由x＝1可得＝1；但＝1时x还可能取－1，也只是充分不必要。 C中取a＝－2，b＝－3，此时ab＝6＞0，而a与b都不是正数，所以由p推不出q。 D中由a＞b，两边同加c得a＋c＞b＋c；反过来由a＋c＞b＋c，两边同减c得a＞b。两个方向都成立，是充要条件。故选D。 变式2　【答案】A 【解析】先把两个条件都化成区间。由|x|＜2得－2＜x＜2，记甲对应的集合为M＝｛x|－2＜x＜2｝。 解－5x－14＜0，左边分解为(x－7)(x＋2)，按“小于取中间”得乙对应的集合为N＝｛x|－2＜x＜7｝。 M中每个数都落在N内，所以由甲能推出乙；取x＝3，它在N中而不在M中，所以由乙推不出甲。 验证x＝3确在N中：－5x－14＝－15－14＝－20＜0，满足乙的不等式。 M真包含于N，所以由甲可以推出乙，但由乙推不出甲，选A。 变式3　【答案】c＞3 【解析】【分析】“由p可以推出q而由q推不出p”，翻译成集合就是p的解集真包含于q的解集。 【解答】解－2x－8≤0，即(x－4)(x＋2)≤0，得－2≤x≤4，记A＝｛x|－2≤x≤4｝。 q对应的集合B由|x－1|≤c给出，去掉绝对值得1－c≤x≤1＋c，即B＝｛x|1－c≤x≤1＋c｝，因c＞0，B非空。 由A⊊B得1－c≤－2且1＋c≥4，分别解得c≥3与c≥3，故c≥3。 检验c＝3：此时B＝｛x|－2≤x≤4｝＝A，两集合相等，“不充分”这一层不成立，舍去。 所以c＞3。 【方法小结】必要条件对应的是大集合，充分条件对应的是小集合；先判断哪一边是大集合，再写端点不等式，方向就不会颠倒。 　题型5　变式：选否定形式、写不等式命题的否定与由存在性定参数 变式1　【答案】B 【解析】存在量词命题的否定是全称量词命题，所以“存在一个”要改成“任意一个”，A没有换量词，排除。 结论“＋n是奇数”的否定是“＋n不是奇数”，对正整数来说就是“＋n是偶数”，C没有把结论取反，排除。 元素所在的范围“正整数”不能改动，D把它扩成了“整数”，排除。 三处都改对的只有B，故选B。（顺带一提：＋n＝n(n＋1)是两个相邻整数之积，总是偶数，所以原命题为假，它的否定B为真。） 变式2　【答案】存在x＞0，使x＋＜2 【解析】原命题是全称量词命题，它的否定是存在量词命题，量词由“对任意”改成“存在”。 结论“x＋≥2”的否定是“x＋＜2”。 元素的范围x＞0保持不动。 所以否定为：存在x＞0，使x＋＜2。（顺便一提，由基本不等式知原命题为真，故它的否定为假。） 变式3　【答案】t＜3 【解析】【分析】“存在一个x使某式大于t”成立，等价于该式在给定区间上的最大值大于t，所以先求g(x)＝－2x在[1，3]上的最大值。 【解答】把不等式变形为t＜－2x，于是命题成立当且仅当存在x∈[1，3]使t＜g(x)，其中g(x)＝－2x。 配方得g(x)＝－1，图象开口向上，对称轴为直线x＝1。区间[1，3]整个落在对称轴右侧，所以g(x)在[1，3]上单调递增。 于是g(x)的最大值在右端点取得，g(3)＝9－6＝3。 存在性成立的条件是t小于这个最大值，故t＜3。 【方法小结】“存在成立”比的是最大值，“恒成立”比的是最小值，两者只差一个字，务必先把不等号方向与所求的是最大还是最小对应清楚。 　题型6　变式：性质的反例判断、范围合并与含负因数的比较 变式1　【答案】C 【解析】A中c的符号没有限定：取c＝0，则ac－bc＝0，不是正数。 B中取a＝1，b＝－2，此时a＞b，而－＝1－4＝－3，是负数。 C中由a＞b得a－b＞0，再加1，结果大于1，一定是正数。 D中取a＝1，b＝－1，则－＝－1－1＝－2，是负数。故选C。 变式2　【答案】(－14，－5) 【解析】先由－3＜n＜－1求出3n的范围：三边同乘正数3，方向不变，得－9＜3n＜－3。 再由2＜m＜5求出－m的范围：三边同乘－1，方向全部反过来，得－5＜－m＜－2。 两个同向不等式相加：－9＋(－5)＜3n－m＜－3＋(－2)，即－14＜3n－m＜－5。 写成区间就是(－14，－5)。注意不能用两式直接相减。 变式3　【答案】＞ 【解析】【分析】分子相同而分母不同，且分子为负，直接凭直觉容易判反，仍按作差四步处理。 【解答】作差：－。 变形：通分得－＝＝c·。 定号：由a＞b得b－a＜0；又c＜0，两个负数相乘，分子c(b－a)＞0。由a＞0，b＞0得分母ab＞0。所以整个分式大于0。 下结论：－＞0，即＞。 【方法小结】可以用具体数字快速自检：取a＝2，b＝1，c＝－2，则＝－1，＝－2，确实是较大，与推理一致。 　题型7　变式：直接求最值、和定积最大与围栏用料最省 变式1　【答案】B 【解析】因为x＞0，所以x与都是正数，且两项之积为x×＝9，是定值。 由基本不等式得x＋≥＝6。 等号成立需要x＝，即＝9。由x＞0得x＝3，这个值在允许范围内，等号能取到。 所以最小值是6，选B。A项的错误在于把定值9直接当成了最小值。 变式2　【答案】16 【解析】设矩形的长、宽分别为a米、b米（a＞0，b＞0），由周长得2(a＋b)＝16，即a＋b＝8，和是定值。 由基本不等式得a＋b≥，即8≥，所以≤4，ab≤16。 等号成立需要a＝b，与a＋b＝8联立得a＝b＝4，此时面积为16平方米，等号能取到。 所以面积的最大值是16平方米，此时矩形框是边长4米的正方形。 变式3　【答案】篱笆总长最少40米，此时与墙平行的一边长20米，另两边各长10米 【解析】【分析】设出两个边长，用面积写出它们的乘积为定值，再对总长套用积定和最小。 【解答】设与墙平行的一边长为x米，与墙垂直的两边各长y米，则x＞0，y＞0，由面积得xy＝200。 篱笆总长L＝x＋2y。把它写成两个正数x与2y之和，它们的积为x·2y＝2xy＝400，是定值。 由基本不等式得L＝x＋2y≥＝40。 等号成立需要x＝2y。把x＝2y代入xy＝200，得＝200，＝100，由y＞0得y＝10，进而x＝20。 所以篱笆总长最少为40米，此时与墙平行的一边长20米，另两边各长10米。 【方法小结】实际问题用基本不等式，答完最值还要把取等号时的自变量值一并写出，并检验它是否符合实际意义（长度必须为正）。 　题型8　变式：直接求解集、解集为R与含参数的分类讨论（拓展） 变式1　【答案】C 【解析】把左边分解因式：－2x－15＝(x－5)(x＋3)。 对应方程的两个根是x＝5与x＝－3，二次项系数为正，Δ＞0。 不等号是小于等于，按“小于取中间”，解集为两根之间且含端点的部分，即[－3，5]，选C。 A是“大于等于”时的解集；B把两个根的符号写反了；D漏掉了能取到的端点。 变式2　【答案】m＞1 【解析】二次项系数1＞0，图象开口向上。解集为R说明图象整个位于x轴上方，与x轴没有公共点。 于是Δ＜0，即－4×1×m＜0。 化简得4－4m＜0。 解得m＞1。 变式3　【答案】k＞0时解集为｛x|x＜k，或x＞2k｝；k＝0时解集为｛x|x≠0｝；k＜0时解集为｛x|x＜2k，或x＞k｝ 【解析】【分析】二次项系数为1，已是正数。左边能直接分解，两个根都带参数，只需比较它们的大小。 【解答】把左边分解因式：－3kx＋＝(x－k)(x－2k)，所以原不等式化为(x－k)(x－2k)＞0，对应方程的两个根是k与2k。 第一种情形，k＞0。此时k＜2k，按“大于取两边”，解集为｛x|x＜k，或x＞2k｝。 第二种情形，k＝0。此时原不等式化为＞0，只要x不为0就成立，解集为｛x|x≠0｝。 第三种情形，k＜0。此时2k＜k，两根中2k较小，解集为｛x|x＜2k，或x＞k｝。 综上，k＞0时解集为｛x|x＜k，或x＞2k｝；k＝0时解集为｛x|x≠0｝；k＜0时解集为｛x|x＜2k，或x＞k｝。 【方法小结】两根都含同一个参数时，比较大小只需看参数的符号；参数为0导致两根重合，是必须单列的一支。 　题型9　变式：同一个函数的辨别、抽象定义域与求函数值 变式1　【答案】A 【解析】A中两个函数的定义域都是R，对应关系都是“自变量乘2再加1”，只是所用字母不同，字母不影响函数本身，是同一个函数。 B中g(x)要求分母不为0，定义域是｛x|x≠0｝，而f(x)的定义域是R，两者不同。 C中f(x)要求x－1≥0且x＋1≥0，定义域是[1，＋∞)；g(x)要求－1≥0，定义域是(－∞，－1]∪[1，＋∞)，两者不同。 D中g(x)的定义域是｛x|x≠0｝，与f(x)的定义域R不同。故选A。 变式2　【答案】[1，3] 【解析】括号里的整体2x－2必须落在f的定义域内，即0≤2x－2≤4。 三边同加2，得2≤2x≤6；再三边同除以2，得1≤x≤3。 所以使f(2x－2)有意义的x的取值区间是[1，3]。 这里求的是x的范围，不要把括号里整体的范围[0，4]当成答案。 变式3　【答案】定义域为｛x|x≠3｝；f(4)＝9；f(a＋3)＝ 【解析】【分析】分式函数的定义域只需分母不为0；求含字母的函数值时，把整个式子a＋3当作一个整体代进去。 【解答】由x－3≠0得x≠3，所以定义域为｛x|x≠3｝。 把x＝4代入：f(4)＝＝＝9。 把x换成a＋3：f(a＋3)＝。 分子化简得2a＋6＋1＝2a＋7，分母化简得a。因为a≠0，分母有意义，所以f(a＋3)＝。 【方法小结】代入含字母的式子时，一定要把它整体加上括号再代，否则分子分母都容易漏乘。 　题型10　变式：读单调区间、分式函数的最值与由单调性定参数 变式1　【答案】A 【解析】配方得f(x)＝＋4，二次项系数为负，图象开口向下，对称轴是直线x＝1。 开口向下的抛物线在对称轴左侧上升、右侧下降。 所以单调递增区间是对称轴左侧的部分，即(－∞，1]。 C与D把对称轴的位置记成了－1，故选A。 变式2　【答案】3 【解析】当x在[3，5]上增大时，分母x－2由1增大到3，分子3不变，所以整个分式的值减小。 于是f(x)在[3，5]上单调递减，最大值在左端点取得。 把x＝3代入：f(3)＝＝＝3。 所以最大值是3。（顺带算出最小值f(5)＝＝1。） 变式3　【答案】a≤－5或a≥5 【解析】【分析】“在某区间上是单调函数”意味着该区间不能跨过对称轴，即对称轴落在区间之外（端点重合也允许）。 【解答】配方得f(x)＝＋2－，图象开口向上，对称轴是直线x＝－a。 若f(x)在[－5，5]上单调递增，需要对称轴不在区间右侧之内，即－a≤－5，解得a≥5。 若f(x)在[－5，5]上单调递减，需要－a≥5，解得a≤－5。 两支合起来，a≤－5或a≥5。 【方法小结】把“单调”翻译成“区间不跨对称轴”，再把对称轴的横坐标与区间的两个端点作比较，是这一类含参问题的固定入口。 　题型11　变式：由点定幂函数、幂函数的函数值与由偶函数定系数 变式1　【答案】C 【解析】把x＝4分别代入四个式子，看结果是不是2。 A中＝16，不是2。 B中＝64，不是2。 C中＝＝2，符合。 D中＝，不是2。故选C。 变式2　【答案】 【解析】把x＝－2，y＝－8代入y＝，得＝－8。 因为＝－8，所以α＝3，该幂函数是y＝。 把x＝代入，得＝。 所以所求的值是。 变式3　【答案】m＝1 【解析】【分析】“是二次函数”给出二次项系数不为0的约束，“是偶函数”要求一次项系数为0，两个条件合起来才能定出m。 【解答】由f(x)是二次函数得m＋1≠0，即m≠－1。 定义域是R，关于原点对称。计算f(－x)＝(m＋1)－－1)x＋4。 由f(－x)＝f(x)对每一个实数x都成立，比较一次项系数得－1)＝－1，即－1)＝0，故＝1，解得m＝1或m＝－1。 结合m≠－1，舍去m＝－1，得m＝1。 检验：当m＝1时，f(x)＝＋4，二次项系数2≠0，且只含偶次项，确实是偶函数，符合题意。 【方法小结】多项式函数是偶函数，等价于所有奇次项的系数都为0；是奇函数，则等价于所有偶次项（含常数项）的系数都为0。 　题型12　变式（拓展）：解集的交、由充分条件定端点与含参解集的包含 变式1　【答案】B 【解析】先解－4x＜0。左边分解为x(x－4)，对应方程的根是0与4，二次项系数为正，按“小于取中间”得M＝｛x|0＜x＜4｝。 N＝｛x|x≥2｝是从2（含）向右的一条射线。 两者重叠的部分从2（含）到4（不含）。 故M∩N＝｛x|2≤x＜4｝，选B。 变式2　【答案】b＞4 【解析】先解－5x＋4≤0。左边分解为(x－1)(x－4)，按“小于取中间”并含端点，得解集A＝｛x|1≤x≤4｝。 另一个条件对应的集合是B＝｛x|x＜b｝。“x∈A能推出x＜b”翻译成集合语言就是A⊆B。 A中最大的数是4，且4能取到，所以必须4＜b。 若b＝4，则4∈A但4∉B，包含关系不成立。故b＞4。 变式3　【答案】1≤a≤5 【解析】【分析】左边能分解，两个根一个是常数3、一个是参数a，所以解集的形状由a与3的大小决定，要分三支讨论；每一支再与B比较端点。空集这一支不要忘记。 【解答】把左边分解因式：－(a＋3)x＋3a＝(x－3)(x－a)，原不等式即(x－3)(x－a)＜0。 第一支，a＞3。此时A＝｛x|3＜x＜a｝。要使A⊆B，只需右端点不超过5，即a≤5（左端点3已经大于1）。与a＞3取交集得3＜a≤5。 第二支，a＝3。此时原不等式为＜0，无解，A＝∅。空集是任何集合的子集，这一支满足A⊆B。 第三支，a＜3。此时A＝｛x|a＜x＜3｝。要使A⊆B，只需左端点不小于1，即a≥1（右端点3已经小于5）。与a＜3取交集得1≤a＜3。 把三支合并：1≤a＜3，或a＝3，或3＜a≤5，即1≤a≤5。 【方法小结】含参一元二次不等式的解集进入包含关系时，讨论分两层：先按两根大小定出解集的形状，再在每一支里比较端点；空集那一支往往就是答案能连成一整段的原因。 　易错专练 易错1　【答案】漏掉了B＝∅（即m＝0）这一支；m＝0或m＝或m＝ 【解析】错解示例：由mx＋1＝0得x＝，再令＝2或＝－3，解得m＝或m＝。 错因：把方程mx＋1＝0默认成一次方程，忽略了m＝0时它无解、B为空集这一支；而空集是任何集合的子集，本来是符合B⊆A的。 正解：由＋x－6＝0得(x－2)(x＋3)＝0，故A＝｛2，－3｝。当m＝0时，方程0·x＋1＝0无解，B＝∅⊆A，符合。当m≠0时，B＝｛｝，由＝2得m＝，由＝－3得m＝。所以m＝0或m＝或m＝。 提醒：凡是含参数的“方程解集”，都要先问一句“它可能是空集吗”；一次项系数为0是空集最常见的来源。 易错2　【答案】包含方向弄反了；正确结果是0≤k≤3 【解析】错解示例：由“充分不必要”写出p的集合包含于q的集合，得k－1≤－1且k＋2≥5，两式矛盾，故无解。 错因：充分条件对应的是较小的集合。q是p的充分条件意味着q⇒p，翻译成集合是q的集合包含于p的集合，而错解把两边写反了。 正解：记A＝｛x|－1≤x≤5｝，B＝｛x|k－1≤x≤k＋2｝。因k－1＜k＋2，B恒非空。由B⊆A得k－1≥－1且k＋2≤5，分别解得k≥0与k≤3，故0≤k≤3。又B的长度为3，A的长度为6，两者不可能相等，“不必要”这一层自动成立。 提醒：写端点不等式之前，先在草稿上画两条线段，把“谁被谁盖住”看清楚再动笔，比默念口诀可靠。 易错3　【答案】4不是最小值（等号取不到）；最小值是，在x＝3时取得 【解析】错解示例：因为x＞0，由基本不等式得x＋≥＝4，所以最小值是4。 错因：不等式x＋≥4本身没有错，但等号成立需要x＝，即x＝2；而2不在区间[3，＋∞)内，等号取不到，4只是一个下界，不是最小值。 正解：改用单调性。任取x₁，x₂∈[3，＋∞)且x₁＜x₂，作差得f(x₁)－f(x₂)＝(x₁－x₂)＋4·＝(x₁－x₂)·。由x₁≥3，x₂＞3得x₁x₂＞9＞4，故x₁x₂－4＞0；又x₁－x₂＜0，所以f(x₁)－f(x₂)＜0，f(x)在[3，＋∞)上单调递增。于是最小值在左端点取得，f(3)＝3＋＝。 提醒：用基本不等式求最值，最后一步永远是解“两项相等”的方程并检查解是否落在允许范围内；落不进去就必须换成单调性。 易错4　【答案】二次项系数为负时口诀不能直接用；正确的解集是｛x|－1＜x＜3｝ 【解析】错解示例：由＋2x＋3＝0得两根－1与3，按“大于取两边”，解集为｛x|x＜－1，或x＞3｝。 错因：“大于取两边、小于取中间”这条口诀的前提是二次项系数为正。本题二次项系数是－1，图象开口向下，函数值为正的部分恰好落在两根之间。 正解：两边同乘－1并把不等号反向，得－2x－3＜0，即(x－3)(x＋1)＜0。此时二次项系数为正，按“小于取中间”，解集为｛x|－1＜x＜3｝。 提醒：动手解一元二次不等式的第一个动作固定为“把二次项系数化成正的”，这一步做完再用口诀，就不会反。 易错5　【答案】还需用到“定义域关于原点对称”；a＋b＝ 【解析】错解示例：因为f(x)是偶函数，所以一次项系数为0，得b＝0，于是a＋b＝a，答案与a有关。 错因：只用了解析式这一半条件。偶函数还有一个前提——定义域必须关于原点对称，题目把定义域写成含a的区间，正是要用这一条来定出a。 正解：由定义域[a－1，2a]关于原点对称，得两个端点互为相反数，即(a－1)＋2a＝0，解得a＝。再由f(－x)＝f(x)比较一次项系数得b＝0。所以a＋b＝＋0＝。 提醒：凡是题目把定义域写成含字母的区间，就一定是在提示你用“定义域关于原点对称”这一条；这一条被漏掉时，参数往往解不出来。 易错6　【答案】两个单调区间不能用∪合并；正确写法是在(－∞，0)和(0，＋∞)上分别单调递减 【解析】错解示例：因为图象在y轴两侧都往下走，所以单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)。 错因：若把这两段并成一个区间，就意味着对其中任意两个数都有“自变量大的函数值小”。取x₁＝－1，x₂＝1，此时x₁＜x₂，而y₁＝－1，y₂＝1，是y₁＜y₂，与递减矛盾。 正解：该函数在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上也单调递减，两段之间用逗号或“和”隔开，不能用∪连成一个区间。 提醒：凡是被间断点分开的两段单调区间，一律分开写；这条规则对分式型函数与含绝对值的函数同样适用。 易错7　【答案】同向不等式不能相减；正确范围是－1＜a－b＜4 【解析】错解示例：由2＜a＜5与1＜b＜3相减，得1＜a－b＜2。 错因：不等式的性质里只有“同向可加”，没有“同向可减”。用具体数字就能否定：取a＝2.5，b＝2.4，此时a－b＝0.1，并不落在(1，2)内。 正解：先把1＜b＜3的三边同乘－1，方向全部反过来，得－3＜－b＜－1；再与2＜a＜5同向相加，得2＋(－3)＜a－b＜5＋(－1)，即－1＜a－b＜4。 提醒：遇到减法一律先改写成“加上相反数”，遇到除法一律先改写成“乘以倒数”，改写之后再套用可加性与可乘性。 易错8　【答案】漏掉了m＝0这一支；正确范围是－8＜m≤0 【解析】错解示例：由开口向下且与x轴无公共点，得m＜0且Δ＝＋8m＜0，解得－8＜m＜0。 错因：题目只说“关于x的不等式”，并没有说它是一元二次不等式，所以二次项系数m可以为0，这一支被漏掉了。 正解：当m＝0时，不等式化为－2＜0，解集就是R，符合要求。当m≠0时，需要开口向下且图象整个位于x轴下方，即m＜0且Δ＝－4×m×(－2)＝＋8m＜0；由m(m＋8)＜0得－8＜m＜0，与m＜0取交集仍为－8＜m＜0。合并两支，得－8＜m≤0。 提醒：题干里出现“关于x的不等式”而没有出现“一元二次不等式”时，二次项系数为0这一支必须单独讨论；反过来，题干若已写明是一元二次不等式，则二次项系数自动不为0。 　课后作业（一）基础过关 1．【答案】A 【解析】先解≤1，得－1≤x≤1，所以B是从－1到1的一段（含两端）。 把A中的元素逐个检验：－1满足，0满足，1满足，2不满足。 所以A∩B＝｛－1，0，1｝，选A。 2．【答案】D 【解析】“所有的”是全称量词，否定时要改成存在量词“有的”，A没有换量词，排除。 结论“是平行四边形”的否定是“不是平行四边形”，B没有把结论取反，排除。 讨论的对象“菱形”不能换成“平行四边形”，C把对象和结论对调了，排除。 两处都改对的只有D，故选D。 3．【答案】B 【解析】第二个因式中x的系数为负，先两边同乘－1并把不等号反向，得(x＋3)(x－2)＞0。 对应方程的两个根是－3与2，二次项系数为正，按“大于取两边”，解集由两根外侧的两段组成。 所以解集为｛x|x＜－3，或x＞2｝，选B。A忘了把不等号反向；C把两个根的符号写反了；D既把根的符号写反，又忘了把不等号反向。 4．【答案】C 【解析】根号要求被开方数非负：4－t≥0，得t≤4，端点4能取到。 分母要求不为0：t＋1≠0，得t≠－1。 两个条件取交集，得t≤4且t≠－1。 写成区间就是(－∞，－1)∪(－1，4]，选C。A漏了分母的条件，B把t＜－1的部分也去掉了，D把端点4误写成取不到。 5．【答案】B 【解析】奇函数满足f(－x)＝－f(x)。 取x＝2，得f(－2)＝－f(2)。 把f(2)＝3代入，得f(－2)＝－3，选B。 A项是把奇函数误当成了偶函数。 6．【答案】｛1，3，5，7，9｝ 【解析】并集由所有属于A或属于B的元素组成。 A中的元素是1，3，5，7；B中的元素是3，5，9。 把它们放到一起，公共的3与5按互异性只写一次。 所以A∪B＝｛1，3，5，7，9｝。 7．【答案】8 【解析】【分析】乘积xy已经是定值，可以直接用基本不等式“和不小于2倍的积的算术平方根”，不需要像单变量式子那样先拆常数凑出定值乘积。 【解答】因为x＞0，y＞0，由基本不等式得x＋y≥。 代入xy＝16，得x＋y≥＝2×4＝8。 等号成立需要x＝y，结合xy＝16解得＝16，取正根x＝4，此时y＝4，符合x，y＞0。所以x＋y的最小值是8。 8．【答案】(－10，15) 【解析】把－2＜t＜3的三边同乘正数5，不等号方向不变。 得5×(－2)＜5t＜5×3。 即－10＜5t＜15。 写成区间就是(－10，15)。 9．【答案】单调递减 【解析】当x在(0，＋∞)内增大时，分母x增大而分子1不变，所以整个分式的值减小。 例如取x＝1与x＝2，对应的函数值分别是1与，后者更小。 所以该幂函数在(0，＋∞)上单调递减。 10．【答案】A∩B＝｛x|－3＜x＜－1｝；A∪B＝R 【解析】【分析】先把B这个不等式的解集算出来，再与A一起画到数轴上。 【解答】解－x－2＞0。左边分解为(x－2)(x＋1)，对应方程的根是2与－1，二次项系数为正，按“大于取两边”，得B＝｛x|x＜－1，或x＞2｝。 求A∩B。A是从－3（不含）到2（含）的一段。它与x＜－1这一段重叠的部分是－3＜x＜－1；与x＞2这一段没有公共部分（A的右端2不属于x＞2）。故A∩B＝｛x|－3＜x＜－1｝。 求A∪B。x＜－1这一段与A合起来覆盖了x≤2的全部；再加上x＞2这一段，恰好覆盖全体实数。故A∪B＝R。 【方法小结】把两个集合画在同一条数轴上再读答案，比在心里默算可靠；端点是否取到要逐个核对原集合的不等号。 11．【答案】（1）对称轴为直线x＝3；（2）值域为[－4，5] 【解析】【分析】先配方定出对称轴与顶点，再看对称轴在不在给定区间内，最后由端点与顶点的函数值确定值域。 【解答】（1）配方得f(x)＝＋5，所以图象的对称轴是直线x＝3。 （2）二次项系数为负，图象开口向下。对称轴x＝3落在[0，4]内部，所以函数值能达到的上界就是顶点纵坐标5。 两个端点的函数值分别为f(0)＝－4与f(4)＝－16＋24－4＝4，其中较小的是－4。 在[0，4]上，f(x)从f(0)＝－4一路升到顶点的5，再降到f(4)＝4，所取到的全部值恰好填满从－4到5的一段。 所以值域为[－4，5]。 【方法小结】求二次函数在闭区间上的值域，先算顶点纵坐标与两个端点的函数值；对称轴落在区间内部时，值域的一端由顶点给出，另一端由离对称轴较远的端点给出。 12．【答案】（1）奇函数；（2）证明见解析 【解析】【分析】（预备知识：立方差公式－＝(a－b)＋ab＋，此处直接使用）第（1）问先看定义域再算f(－x)；第（2）问作差以后要把三次式因式分解，再对二次因式配方定号。 【解答】（1）定义域是R，关于原点对称。计算f(－x)＝＋(－x)＝－x＝＋x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数。 （2）取值：任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂。 作差：f(x₁)－f(x₂)＝＋x₁)－＋x₂)＝－＋(x₁－x₂)。 变形：利用立方差公式－＝(x₁－x₂)＋x₁x₂＋，提出公因式得f(x₁)－f(x₂)＝(x₁－x₂)＋x₁x₂＋＋1)。 定号：把括号内的式子对x₁配方，得＋x₁x₂＋＋1＝＋＋1。前两项都不小于0，再加上1，所以整个括号大于0。又由x₁＜x₂得x₁－x₂＜0。两者相乘，f(x₁)－f(x₂)＜0，即f(x₁)＜f(x₂)。 下结论：对任意x₁，x₂∈R，当x₁＜x₂时都有f(x₁)＜f(x₂)，所以f(x)在R上单调递增。 【方法小结】三次式作差后先用立方差公式提出(x₁－x₂)，剩下的二次因式再配方，是这一类证明的通用路线。 　课后作业（二）能力提升 1．【答案】充要 【解析】（预备知识：立方差公式－＝(a－b)＋ab＋，此处直接使用）作差得－＝(a－b)＋ab＋，其中＋ab＋＝＋。 若a＞b，则a与b不同时为0，故＋＞0；又a－b＞0，两数相乘得－＞0，即＞。 反过来，若＞，则(a－b)＋ab＋＞0。同样地第二个因式大于0，故必有a－b＞0，即a＞b。 两个方向都成立，所以填“充要”。 2．【答案】A 【解析】【分析】对任意实数A，｜A｜≥A恒成立，且｜A｜＝A当且仅当A≥0。所以｜A｜＞A成立，当且仅当A＜0（此时｜A｜＝－A＞A）。原不等式等价于－7x＋10＜0。 【解答】把－7x＋10因式分解：两根之和为7、两根之积为10，是2和5，所以－7x＋10＝(x－2)(x－5)。 令(x－2)(x－5)＜0，两根之间函数值为负，得2＜x＜5。故选A。 【方法小结】｜A｜与A的大小关系只由A的正负决定：A≥0时二者相等（不满足严格大于），A＜0时｜A｜＞A。所以｜A｜＞A的解集就是使A＜0的x的集合，转化为解一元二次不等式。 3．【答案】C 【解析】偶函数满足f(－x)＝f(x)，所以f(－3)＝f(3)，f(－1)＝f(1)。 在[0，＋∞)上单调递增，比较自变量的大小即可。 因为3＞2，所以f(3)＞f(2)，即f(－3)＞f(2)，C成立，A不成立。 因为1＜2，所以f(1)＜f(2)，即f(－1)＜f(2)，B不成立；因为0＜1，所以f(0)＜f(1)，D不成立。故选C。 4．【答案】B 【解析】A：由基本不等式ab≤＝，等号在a＝b＝时取到，最大值是不是，A错。 B：＋＝＋(a＋b)＝5＋＋。与都是正数，积为4，故＋≥＝4，从而＋≥9；等号需要b＝2a，结合a＋b＝1得a＝，b＝，能取到。B对。 C：＋＝－2ab＝1－2ab≥1－2×＝，最小值是不是1，C错。 D：＝a＋b＋＝1＋≤1＋2×＝2，故＋≤，最大值是不是2，D错。故选B。 5．【答案】1 【解析】A∩B＝∅说明B与A没有公共元素，也就是B整个落在A的补集里。 在实数集中去掉A所占的两段，得∁RA＝｛x|1≤x≤3｝。 由B⊆∁RA得a≥1且a＋2≤3。 由a＋2≤3得a≤1，与a≥1合起来只能a＝1。此时B＝｛x|1≤x≤3｝，与A确实没有公共元素。 6．【答案】(－2，6) 【解析】二次项系数1＞0，图象开口向上。要使不等式对一切实数x都成立，只需图象与x轴没有公共点。 于是Δ＜0，即－4×1×(m＋3)＜0。 化简得－4m－12＜0，即(m－6)(m＋2)＜0。 按“小于取中间”，得－2＜m＜6，即实数m的取值范围是(－2，6)。 7．【答案】(－∞，1] 【解析】配方得f(x)＝＋5－，图象开口向上，对称轴是直线x＝a。 开口向上的抛物线在对称轴右侧单调递增，所以要求区间[1，＋∞)整个落在对称轴右侧。 即对称轴的横坐标不超过区间的左端点：a≤1。 写成区间就是(－∞，1]。端点a＝1时对称轴恰为x＝1，函数在[1，＋∞)上仍单调递增，可以取到。 8．【答案】（1）最小值为，此时x＝；（2）f(x)在(0，上单调递减，证明见解析 【解析】【分析】先把分式拆成两项之和，再用基本不等式；第（2）问就是按定义证明单调递减，作差后通分并把分子因式分解。 【解答】（1）把分子逐项除以分母，得f(x)＝x＋。因为x＞0，所以x与都是正数，且两项之积为x×＝3，是定值。 由基本不等式得x＋≥。等号成立需要x＝，即＝3；由x＞0得x＝，落在允许范围内。所以最小值为，此时x＝。 （2）任取x₁，x₂∈(0，，且x₁＜x₂。 作差：f(x₁)－f(x₂)＝(x₁＋₁)－(x₂＋₂)＝(x₁－x₂)＋3·。 变形：提出公因式(x₁－x₂)，得f(x₁)－f(x₂)＝(x₁－x₂)·。 定号：由0＜x₁＜x₂≤得0＜x₁x₂＜3，所以x₁x₂－3＜0，x₁x₂＞0；又x₁－x₂＜0。负数乘负数再除以正数，结果为正，故f(x₁)－f(x₂)＞0，即f(x₁)＞f(x₂)。 下结论：在区间(0，上自变量越大函数值越小，即f(x)在(0，上单调递减。 【方法小结】第（1）问算出的等号点x＝，恰好就是第（2）问区间的右端点，这说明函数在这一点由减转增，两问互为印证。 9．【答案】－1≤a≤1 【解析】【分析】两个集合都要先化成区间，B的端点带参数但左右次序是确定的，比较端点即可。 【解答】解－4x＋3≤0。左边分解为(x－1)(x－3)，按“小于取中间”并含端点，得A＝｛x|1≤x≤3｝。 对于B，因为a＜a＋4恒成立，所以(x－a)(x－a－4)≤0的解集为B＝｛x|a≤x≤a＋4｝，它恒非空。 由A中每一个元素都属于B得：B的左端点不能大于1，右端点不能小于3，即a≤1且a＋4≥3。 由a＋4≥3得a≥－1。与a≤1取交集，得－1≤a≤1。 【方法小结】两个端点都带同一个参数且间距固定时，包含关系只会给出一段连续的范围；先确认参数区间的左右次序，可以省掉一次分类讨论。 10．【答案】（1）b＝－4，c＝3；（2）解集为｛x|2－＜x＜2＋｝ 【解析】【分析】两个函数值为0说明1与3是方程＋bx＋c＝0的两个根，代入得到关于b，c的方程组。 【解答】（1）由f(1)＝0得1＋b＋c＝0；由f(3)＝0得9＋3b＋c＝0。 两式相减，得8＋2b＝0，解得b＝－4；代回1＋b＋c＝0，得c＝3。所以f(x)＝－4x＋3。 （2）不等式f(x)＜5即－4x＋3＜5，移项整理得－4x－2＜0。 左边不能在有理数范围内分解，先算Δ＝－4×1×(－2)＝16＋8＝24＞0，两个根为x＝＝2±。 二次项系数为正，按“小于取中间”，解集为｛x|2－＜x＜2＋｝。 【方法小结】两根为无理数时，写解集用根式表示即可，不要取近似值；同时要留意根的形状化简后是2±。 　课后作业（三）拓展探究 11．【答案】A 【解析】题目已声明A非空，所以先由非空写出约束：3a－5≥2a＋1，解得a≥6。 再由A⊆B写出端点条件：2a＋1≥3且3a－5≤22。 由2a＋1≥3得a≥1；由3a－5≤22得a≤9。 把三个条件取交集：a≥6，a≥1，a≤9，得6≤a≤9，故选A。C漏了非空条件（只由两个端点条件得1≤a≤9），B只用了右端点条件3a－5≤22，D错把能取到的端点6与9排除了。 12．【答案】B 【解析】偶函数的图象关于y轴对称。已知当x≤0时函数值随自变量增大而减小，由对称性可知在[0，＋∞)上函数值随自变量增大而增大。 又偶函数满足f(x)＝f(|x|)，于是f(2a＋1)＜f(3)等价于f(|2a＋1|)＜f(3)。 两个自变量都不小于0，用[0，＋∞)上的单调递增可得|2a＋1|＜3。 去掉绝对值得－3＜2a＋1＜3，三边同减1得－4＜2a＜2，再同除以2得－2＜a＜1。故选B。 13．【答案】1 【解析】【分析】把参数分离到一边：原不等式等价于k≥。要它对区间上每一个x都成立，k就不能小于右边这个函数在[1，3]上的最大值。 【解答】设h(x)＝。当x在[1，3]上增大时，的值减小，所以h(x)在[1，3]上单调递减，最大值在左端点取得：h(1)＝＝1。 于是k≥1，k的最小值是1。 14．【答案】m≥6 【解析】【分析】两个条件都要先解成区间，其中q的左边可以配成完全平方。p是q的充分不必要条件，翻译成集合语言就是“A是B的真子集”，再比较端点。 【解答】解－6x－7≤0。左边分解为(x－7)(x＋1)，按“小于取中间”并含端点，得A＝｛x|－1≤x≤7｝。 解－2x＋1－≤0。把前三项配成完全平方，得≤。由m＞0得－m≤x－1≤m，即1－m≤x≤1＋m，故B＝｛x|1－m≤x≤1＋m｝。 A是B的真子集，端点需满足1－m≤－1且1＋m≥7。 由1－m≤－1得m≥2；由1＋m≥7得m≥6。两者取交集，得m≥6。 检验端点m＝6：此时B＝｛x|－5≤x≤7｝，而A＝｛x|－1≤x≤7｝。因为－5∈B但－5∉A，A确实是B的真子集，m＝6可取。 所以m≥6。 【方法小结】把二次不等式配成完全平方再开方，是快速读出区间端点的路线；端点值一定要单独代回验证真包含是否成立。 15．【答案】（1）W＝＋220x－4800，30＜x＜80；（2）售价定为55元时利润最大，最大利润为1250元 【解析】【分析】利润等于每件的利润乘以件数。写出解析式后要按实际意义确定自变量的范围：售价高于成本，且销售量为正。 【解答】（1）每件的利润是(x－30)元，每天的销售量是(160－2x)件，所以W＝(x－30)(160－2x)。 展开整理：W＝160x－－4800＋60x＝＋220x－4800。 由售价高于成本得x＞30；由销售量为正得160－2x＞0，解得x＜80。所以x的取值范围是30＜x＜80。 （2）配方：W＝－110x)－4800＝＋2×－4800＝＋1250。 图象开口向下，对称轴是直线x＝55，而55落在区间(30，80)内，所以W在x＝55处取得最大值1250。 所以售价定为55元时每天利润最大，最大利润为1250元。 【方法小结】实际问题写完解析式必须立刻写自变量范围，最后还要检查取得最值的那个自变量是否落在这个范围内，落不进去就要改用单调性到端点上找。 16．【答案】（1）当a＞或a＜时，方程有两个不相等的实数根；当a＝或a＝时，方程有两个相等的实数根；当＜a＜时，方程没有实数根。（2）a≤1 【解析】【分析】第（1）问是含参数一元二次方程根的个数问题，按Δ的正负分三种情形讨论；第（2）问把参数与函数一起移到同一边，得到的新二次式恰好能因式分解，比分离参数更省事。两问的方法互不相同。 【解答】（1）Δ＝－4×1×2＝－8。 当Δ＞0，即－8＞0、＞2，解得a＞或a＜时，方程有两个不相等的实数根。 当Δ＝0，即a＝或a＝时，方程有两个相等的实数根。 当Δ＜0，即＜a＜时，方程没有实数根。 （2）把不等式全部移到左边，令h(x)＝f(x)－(3－2a)＝－2ax＋2－3＋2a＝－2ax＋2a－1。 注意到h(1)＝1－2a＋2a－1＝0，所以x＝1是方程h(x)＝0的一个根，可以提出因式(x－1)。 分解得h(x)＝(x－1)(x－(2a－1))。 对任意x∈[1，5]要求h(x)≥0。当x＝1时h(1)＝0，已经满足；当1＜x≤5时x－1＞0，于是只需x－(2a－1)≥0，即2a－1≤x对每一个这样的x都成立。 若2a－1≤1，则对(1，5]中每一个x都有x＞1≥2a－1，不等式成立；若2a－1＞1，则可以取一个比1稍大、同时小于2a－1与5的数作为x，此时x－1＞0而x－(2a－1)＜0，h(x)＜0，不合题意。所以只需2a－1≤1，解得a≤1。 反过来，当a≤1时2a－1≤1＜x，两个因式都不小于0，h(x)≥0成立。 所以a≤1。 【方法小结】含参数一元二次方程的根的个数由Δ的符号唯一决定；把参数与函数并到一边后的新式子若有明显的根（常常就是区间端点），因式分解比分离参数更快。 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $人教A版·必修一·期中复习（第一～三章） 期中复习·题型精讲讲义 期中复习 题型精讲讲义（知识梳理+24考点例题+易错专练+分层作业 共96题）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册 人教A版（2019）高中数学必修第一册　期中复习　第一章 集合与常用逻辑用语　第二章 一元二次函数、方程和不等式　第三章 函数的概念与性质 含 12 个考点例题　/　共 96 题（变式 36 · 易错 8 · 作业 28）　/　原卷版＋解析版 班级：________　姓名：________　日期：________ 　课时目标 课标要点 1．重建第一章的语言系统：会按确定性、互异性、无序性三条特性判断能否构成集合，会在列举法与描述法之间选择与转换，会用数轴或Venn图完成并、交、补的混合运算，并由运算结果反过来求参数；能把“若p，则q”的真假、条件的充分性与必要性、两个集合的包含关系这三种说法互相翻译。 2．重建第二章的工具箱：会用作差比较法判断两个代数式的大小，会依据不等式的性质由已知范围推出目标范围；会按“一正、二定、三相等”用基本不等式求和的最小值与积的最大值，会用配凑与常数1的代换处理不能直接套用的式子；会按Δ的三种情形解一元二次不等式，会由解集反求系数，会解简单的分式不等式。 3．重建第三章的研究套路：会求定义域、判断同一个函数、用待定系数法或换元法求解析式，会处理分段函数的求值与作图；会用“取值—作差—变形—定号—下结论”证明单调性，会求闭区间上的最值；会先看定义域是否关于原点对称再判断奇偶性，掌握五个幂函数的图象与性质。 4．打通三章之间的三条连接线：不等式的解集用集合语言书写并参与交、并、补运算；“p是q的充分条件”与两个解集之间的包含关系互为翻译；含参数的不等式在给定区间上恒成立，可以先分离参数再转化为函数的最值问题。这三条连接线正是期中考试压轴题的常见出处。 学习重难点 重点：集合的运算与含参数问题中空集的讨论；充分条件、必要条件与包含关系的互译；按Δ分类解一元二次不等式；基本不等式取等号的三个前提；单调性与奇偶性的符号语言。 难点：含参数时的分类讨论：子集关系里空集要不要单列、一元二次不等式里二次项系数的正负与两根的大小、二次函数在给定区间上最值随对称轴位置的变化；以及把“恒成立”这一句话翻译成关于函数最值的一个不等式。 　目　录 知识梳理 1 知识点 01　集合的三个特性与两种表示法的选用 1 知识点 02　包含关系：子集、真子集、集合相等与空集 1 知识点 03　并集、交集、补集与数轴、Venn图两件工具 2 知识点 04　充分条件、必要条件、充要条件与包含关系的互译 2 知识点 05　两类量词命题的真假判定与含一个量词命题的否定 2 知识点 06　比较大小的基本事实、不等式性质与由范围推范围 2 知识点 07　重要不等式、基本不等式与一正二定三相等 2 知识点 08　一元二次不等式：Δ的三种情形与解集对照 2 知识点 09　函数的三个要素、定义域的求法与分段函数 2 知识点 10　单调性、最值与奇偶性的符号语言及五个幂函数 2 知识点 11　期中三章之间的三条连接线 2 考点 1　用列举法与描述法写集合并由元素求字母 10 考点 2　集合间的关系与含参数的子集问题 11 考点 3　并集、交集、补集的混合运算与反求参数 12 考点 4　充分条件、必要条件与充要条件的判断及应用 14 考点 5　两类量词命题的真假判定与否定 15 考点 6　作差比较大小与由已知范围推目标范围 16 考点 7　用基本不等式求最值：配凑与常数1的代换 17 考点 8　解一元二次不等式与由解集反求系数 19 考点 9　函数的三要素：定义域、解析式与同一个函数 20 考点 10　单调性的定义证明与闭区间上的最值 22 考点 11　函数的奇偶性与幂函数的图象性质 23 考点 12　跨章综合：解集与集合运算、恒成立与存在性（拓展） 25 易错专练 26 课后作业（一）基础过关 28 课后作业（二）能力提升 30 课后作业（三）拓展探究 31 　课时核心导图 　知识梳理 知识点　01　集合的三个特性与两种表示法的选用 我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。给定的集合，它的元素必须是确定的，一个元素在或不在这个集合中只有一种情形；一个给定集合中的元素是互不相同的，这一条通常称为互异性；元素的排列次序不影响集合本身，这一条通常称为无序性。若a是集合A中的元素，就说a属于A，记作a∈A；若a不是A中的元素，就记作a∉A。数学中常用的数集有固定的记法：非负整数集（自然数集）记作N，正整数集记作N*，整数集记作Z，有理数集记作Q，实数集记作R。表示一个集合有两种常用方法：把所有元素一一列举出来并用花括号括起来，叫做列举法；把元素的共同特征写在竖线右边，写成｛x∈A|P(x)｝的形式，叫做描述法。 元素与集合之间只用∈或∉；集合与集合之间只用⊆、⊊或＝ ｛x∈A|P(x)｝：竖线左边是代表元素及其范围，右边是共同特征 表示法 写法样例 适用场合 常见失误 列举法 ｛0，1，2，3｝ 元素个数不多且能一一数清 元素重复写，违反互异性 描述法 ｛x∈R|x＜10｝ 元素有无数个或不便一一列出 漏写代表元素所在的数集 自然语言 小于10的所有自然数 口头描述或题目条件 标准含糊，如“较小的数” 小提示：由方程或方程组求出字母的值以后，必须把它逐个代回集合检验：凡是使集合里出现两个相同元素的值都要舍去，这一步就是互异性的检验。 知识点　02　包含关系：子集、真子集、集合相等与空集 对于两个集合A与B，如果A中任意一个元素都是B中的元素，就称A为B的子集，记作A⊆B。如果A⊆B，并且B中至少有一个元素不属于A，就称A是B的真子集，记作A⊊B。如果A⊆B并且B⊆A，那么A与B的元素完全一样，就称这两个集合相等，记作A＝B；这也提示我们，证明两个集合相等的标准写法是分两步走，先证一边包含，再证另一边包含。不含任何元素的集合叫做空集，记作∅，规定空集是任何集合的子集。含n个元素的集合，它的子集共有个，其中真子集有－1个，非空真子集有－2个。 含n个元素：子集个，真子集－1个，非空真子集－2个 证明A＝B的两步：先证A⊆B，再证B⊆A 符号 读法 成立的条件 特别提醒 A⊆B A包含于B A中每个元素都在B中 A＝B时A⊆B仍然成立 A⊊B A真包含于B A⊆B且B中有元素不在A中 此时A与B一定不相等 A＝B A等于B A⊆B且B⊆A同时成立 与元素排列的次序无关 ∅⊆A 空集包含于A 对任何集合A都成立 A非空时还有∅⊊A 小提示：题目只说“A⊆B”而没有说A非空时，A取空集也是允许的一种情形，必须把它单独列成一支来讨论，漏掉这一支是含参数子集问题失分最多的地方。 知识点　03　并集、交集、补集与数轴、Venn图两件工具 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B；由属于A且属于B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B。在研究某些问题时，如果所涉及的集合都是某个给定集合的子集，这个给定的集合就叫做全集，通常记作U；对于全集U的一个子集A，由U中不属于A的所有元素组成的集合，叫做A在U中的补集，记作∁UA。处理集合运算有两件常用工具：元素是几个具体的数或字母时画Venn图，元素是一段一段的实数时在数轴上画区间。用数轴时把每个集合画成一条线段或射线，交集看重叠的部分，并集看合起来覆盖的部分，补集看剩下的部分，端点是否取到用实心点与空心点区分。 A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝；A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝ ∁UA＝｛x|x∈U，且x∉A｝；A∪(∁UA)＝U，A∩(∁UA)＝∅ A∩B⊆A⊆A∪B；A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B 小提示：并集里的“或”不是二选一：既属于A又属于B的元素也在A∪B里，但按互异性只算一次，所以两个有限集合并起来的元素个数一般少于两者个数之和。 知识点　04　充分条件、必要条件、充要条件与包含关系的互译 一般地，“若p，则q”为真命题，就说由p可推出q，记作p⇒q，并称p是q的充分条件，q是p的必要条件；若“若p，则q”为假命题，就说p不是q的充分条件，q也不是p的必要条件。如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时称p是q的充要条件，也称p与q互为充要条件。把p、q各自对应的对象放进集合A、B里以后，这些说法可以全部翻译成包含关系：p⇒q相当于A⊆B。这条翻译是把逻辑问题变成集合问题、再变成数轴上端点比较的关键一步，含参数的条件问题几乎都由它入手。 p是q的充分条件⇔p⇒q⇔A⊆B（A、B分别是p、q对应的集合） 证明充要条件必须分两步：充分性证p⇒q，必要性证q⇒p p与q的关系 推出情况 集合语言 常用说法 充分不必要 p⇒q，但q推不出p A⊊B A比B小一圈 必要不充分 q⇒p，但p推不出q B⊊A A比B大一圈 充要 p⇒q且q⇒p A＝B 两者完全一致 既不充分也不必要 两个方向都推不出 A与B互不包含 数轴上交错或分离 小提示：“充分”与“必要”的方向极易记反：箭头从哪个条件出发，哪个就是充分条件；箭头指向哪个条件，哪个就是必要条件。翻译成集合以后，小的那一个是充分条件。 知识点　05　两类量词命题的真假判定与含一个量词命题的否定 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，含有全称量词的命题叫做全称量词命题，可以写成“对M中任意一个x，p(x)成立”，符号记作∀x∈M，p(x)。短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，含有存在量词的命题叫做存在量词命题，可以写成“存在M中的元素x，使p(x)成立”，符号记作∃x∈M，p(x)。判断真假的办法是不对称的：要说明一个全称量词命题为假，只要举出一个反例；要说明它为真，必须对M中每一个元素都验证。存在量词命题正好反过来，找到一个符合的元素就为真，要说它为假则必须说明M中一个也没有。写否定时既要改量词，又要否定后面的结论。 ∀x∈M，p(x)的否定是∃x∈M，¬p(x)；∃x∈M，p(x)的否定是∀x∈M，¬p(x) 常见结论的否定：“都是”变“不都是”，“至少有一个”变“一个也没有”，“＞”变“≤” 命题形式 为真的说明方式 为假的说明方式 它的否定 ∀x∈M，p(x) 对M中每个元素逐一验证 举出一个反例即可 ∃x∈M，¬p(x) ∃x∈M，p(x) 找到一个符合的元素即可 说明M中一个也找不到 ∀x∈M，¬p(x) 小提示：否定只改量词与结论，绝不改变元素所在的范围M；把“∀x∈Z，＞x”的否定写成“∀x∉Z”或“∃x∈Z，＜x”都是错的，正确的写法是∃x∈Z，≤x。 知识点　06　比较大小的基本事实、不等式性质与由范围推范围 比较两个实数a与b的大小，最基本的依据是它们的差与0的大小关系：a＞b等价于a－b＞0，a＝b等价于a－b＝0，a＜b等价于a－b＜0。按这条依据比较两个代数式的大小，操作上分四步：作差、变形、定号、下结论，其中变形一步通常靠因式分解或配方，把差式化成能一眼看出符号的形状。不等式还有一批性质：不等式两边同加一个数不改变方向；两边同乘一个正数不改变方向，同乘一个负数则改变方向；两个同向不等式可以相加，但不能相减；两边都是正数的同向不等式可以相乘。由已知范围求目标范围时，必须把目标式子拆成若干个已知范围的式子相加，逐段套用性质，绝不能把两个范围直接相减或相除。 a＞b⇔a－b＞0；a＝b⇔a－b＝0；a＜b⇔a－b＜0 作差比较四步：作差→变形→定号→下结论 求a－b的范围：先由b的范围写出－b的范围，再与a的范围同向相加 性质 式子 使用条件 易错点 可加性 a＞b⇒a+c＞b+c c为任意实数 误以为要求c＞0 可乘性 a＞b，c＞0⇒ac＞bc 乘数必须为正 c＜0时方向要反过来 同向可加 a＞b，c＞d⇒a+c＞b+d 两式同向 不能改写成a－c＞b－d 正数同向可乘 a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd 四个数都为正 有负数时结论不成立 小提示：由1＜a＜3与2＜b＜5求a－b的范围时，先把2＜b＜5写成－5＜－b＜－2，再与1＜a＜3相加得－4＜a－b＜1；直接用1－2与3－5相减得到的“－1＜a－b＜－2”既方向混乱又结论错误。 知识点　07　重要不等式、基本不等式与一正二定三相等 对任意实数a与b，都有＋≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立，这个式子叫做重要不等式。把它中的a与b换成两个正数的算术平方根，就得到基本不等式≤（a＞0，b＞0），当且仅当a＝b时等号成立；这里叫做a，b的算术平均数，叫做a，b的几何平均数，所以基本不等式也可以说成两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数。用它求最值时必须同时满足三个前提，习惯上概括成一正、二定、三相等：参与的各项都是正数，和或积中有一个是定值，并且能取到使各项相等的自变量值。若积为定值则和有最小值，若和为定值则积有最大值。 ＋≥2ab（a，b∈R）；≤（a＞0，b＞0），当且仅当a＝b时取等号 积定和最小：xy＝P（x＞0，y＞0）⇒x＋y≥；和定积最大：x＋y＝S⇒xy≤ 常数1的代换：由ax＋by＝1得＋＝＋(ax＋by)，再展开用基本不等式 前提 含义 不满足时的处理 一正 参与运算的每一项都必须为正 若为负先提出负号再用 二定 和为定值或积为定值 用配凑或常数1的代换制造定值 三相等 存在自变量使各项相等 取不到时改用单调性求最值 小提示：凡是写出“最小值是某个数”的结论，都必须回头验证等号能不能取到：把使两项相等的方程解出来，若解出的值不在定义范围内，这个数就不是最值，只能改用别的办法。 知识点　08　一元二次不等式：Δ的三种情形与解集对照 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式，一般形式是＋bx＋c＞0或＋bx＋c＜0（a≠0）。解这类不等式的依据是二次函数y＝＋bx＋c的图象：使函数值大于0的自变量，就是图象位于x轴上方那部分对应的横坐标。所以求解的次序是先把二次项系数化为正数，再算出Δ＝－4ac的符号，Δ＞0时求出两个零点x₁＜x₂，然后按“大于取两边、小于取中间”写出解集；Δ＝0时图象与x轴只有一个公共点，Δ＜0时图象整个位于x轴上方，两种情形都要单独判断。若原不等式的二次项系数为负，先在两边同乘－1并把不等号方向反过来，再按上面的次序处理。 表中三行都以a＞0为前提；a＜0时先两边乘－1、不等号反向 由解集反求系数：解集的两个端点就是对应方程的两个根，用根与系数的关系列方程组 （预备知识，此处直接使用）分式不等式（A，B是关于x的整式）：＞0⇔A·B＞0；≥0⇔A·B≥0且B≠0 项目 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 +bx+c＝0的根 两个不等实根x₁＜x₂ 两个相等实根x₁＝x₂＝m 没有实数根 +bx+c＞0的解集 ｛x|x＜x₁，或x＞x₂｝ ｛x|x≠m｝ R +bx+c＜0的解集 ｛x|x₁＜x＜x₂｝ ∅ ∅ 小提示：写解集一定要用集合或区间，不能写成一串连不等式：｛x|x＜1，或x＞4｝写成“1＞x＞4”是没有意义的；两段之间只能用∪连接，不能合并成一个区间。 知识点　09　函数的三个要素、定义域的求法与分段函数 设A，B是非空的实数集，如果对于A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在B中都有唯一确定的数y和它对应，就称对应关系f为从A到B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A。一个函数由定义域、对应关系与值域三个要素构成，其中值域由前两个决定，因此判断两个函数是不是同一个函数只要比较定义域与对应关系这两项。若只给出解析式而没有指明定义域，定义域就是使这个式子有意义的实数组成的集合，常用依据是分母不能为0、二次根式的被开方数不能为负，多个条件同时出现时取交集。有些函数在自变量的不同范围内对应关系并不相同，需要分几段写出解析式，这样的函数叫做分段函数；它是一个函数而不是几个函数，定义域是各段范围的并集。 求解析式：已知类型用待定系数法；已知f(g(x))用整体换元法 分段函数求值：先判断自变量落在哪一段，再代入相应的那一个式子 分段函数的定义域是各段自变量集合的并集，值域是各段函数值集合的并集 解析式的形状 所列的条件 写成集合 写成区间 y＝ x－3≠0 ｛x|x≠3｝ (－∞，3)∪(3，+∞) y＝ x+4≥0 ｛x|x≥－4｝ [－4，+∞) y＝ x+4≥0且x－3≠0 ｛x|x≥－4，且x≠3｝ [－4，3)∪(3，+∞) 小提示：求定义域时切不可先化简解析式：约分会把原来被排除的点悄悄补回来，定义域随之变大；正确的次序是先按原式列出全部条件，求出定义域以后再考虑化简。 知识点　10　单调性、最值与奇偶性的符号语言及五个幂函数 设函数f(x)的定义域为D，区间I包含于D。若对任意的x₁，x₂∈I，当x₁＜x₂时都有f(x₁)＜f(x₂)，就称f(x)在I上单调递增；若都有f(x₁)＞f(x₂)，就称f(x)在I上单调递减；这样的区间I叫做f(x)的单调区间。若存在实数M，使得对任意x∈D都有f(x)≤M，并且存在x₀∈D使f(x₀)＝M，就称M是f(x)的最大值，把不等号方向反过来就得到最小值的定义。若对任意x∈D都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，就称f(x)是偶函数，它的图象关于y轴对称；若f(－x)＝－f(x)，就称f(x)是奇函数，它的图象关于原点对称。形如y＝的函数叫做幂函数，本册只研究α取1，2，3，，－1这五种情形。 定义法证明单调性五步：取值→作差→变形→定号→下结论 判断奇偶性两步：先看定义域是否关于原点对称，再算f(－x)与f(x)的关系 五个幂函数的图象都经过点(1，1)；奇函数若在原点有定义，则必有f(0)＝0 幂函数 定义域 值域 奇偶性 在(0，+∞)上 y＝x R R 奇函数 单调递增 y＝ R [0，+∞) 偶函数 单调递增 y＝ R R 奇函数 单调递增 y＝ [0，+∞) [0，+∞) 既非奇函数也非偶函数 单调递增 y＝ ｛x|x≠0｝ ｛y|y≠0｝ 奇函数 单调递减 小提示：单调区间必须写成区间，而且两个同向的单调区间之间只能用逗号或“和”隔开，不能用∪并起来；判断奇偶性时只要定义域不关于原点对称，就可以立刻断定它既不是奇函数也不是偶函数，不必再算f(－x)。 知识点　11　期中三章之间的三条连接线 期中范围里分值最高的题往往不落在单独一章，而落在三章的接缝处，常见的接缝有三条。第一条是解集与集合：一元二次不等式、分式不等式的解集本身就是集合，写成｛x|…｝或区间以后，就可以和另一个集合做交、并、补运算，也可以讨论它们之间的包含关系。第二条是条件与包含：“p是q的充分不必要条件”这句话，先把p、q的解集分别求出来记为A、B，再翻译成A⊊B，最后落到数轴上比较端点，含参数的条件问题就变成了端点的不等式组。第三条是恒成立与最值：若要求含参数的不等式在给定区间上对每一个x都成立，可以先把参数分离到不等号一边，再把另一边看成一个函数，问题就化为求这个函数在该区间上的最大值或最小值。 A∩B＝A⇔A⊆B⇔A∪B＝B（三种说法完全等价） 对任意x∈I，a≤g(x)恒成立⇔a≤g(x)在I上的最小值 存在x∈I，使a≤g(x)成立⇔a≤g(x)在I上的最大值 接缝 题目里的说法 翻译成的式子 落点 解集与集合 A∩B＝A，A∪B＝B A⊆B 数轴上比端点 条件与包含 p是q的充分不必要条件 A⊊B 端点不等式组，含等号需单独验 恒成立与最值 对任意x∈I都有a＜g(x) a＜g(x)的最小值 求g(x)在I上的最小值 有解与最值 存在x∈I使a＜g(x) a＜g(x)的最大值 求g(x)在I上的最大值 小提示：把条件翻译成包含关系以后，端点处能否取等号必须单独回代验证：端点相等时两个集合是否仍满足“真包含”，往往就是一分之差的所在。 【题型1】用列举法与描述法写集合并由元素求字母 列举法与描述法的互换、由元素反求字母，是第一章最基础的两项操作。互换时先弄清代表元素代表的是数、是有序数对还是一个式子；反求字母时，解出的每一个值都要送回集合做互异性检验。 例1　用列举法表示下列三个集合：（1）不大于12的所有质数组成的集合M；（2）二元一次方程组｛x＋y＝5，x－y＝1｝的解组成的集合N；（3）集合P＝｛x∈∈N*｝。 【分析】三小题的代表元素各不相同：第（1）问的元素是数，第（2）问的元素是一对数，第（3）问的元素是满足整除条件的整数，写之前先把这一点弄清楚。 【解答】（1）从2起逐个检验：2，3，5，7，11都是质数，而4，6，8，9，10，12都不是，12以内再没有别的质数。故M＝｛2，3，5，7，11｝。 （2）把两个方程相加，消去y得2x＝6，解得x＝3；把x＝3代回x＋y＝5，得y＝2。方程组的解是x与y的一对取值，应写成有序数对，故N＝｛(3，2)｝。 （3）要使是正整数，3＋x必须是6的正约数，即3＋x∈｛1，2，3，6｝，相应地x∈｛－2，－1，0，3｝。这四个数都是整数，全部保留，故P＝｛－2，－1，0，3｝。 【方法小结】方程组的解集里只有一个元素，这个元素是有序数对，写成｛3，2｝就变成了两个数组成的集合，含义完全不同。 例2　已知集合A＝｛1，a＋2，－2a｝，且3∈A，求实数a的值。 【分析】3属于A，说明3与A中三个元素之一相等。1显然不等于3，所以只能是a＋2＝3或－2a＝3。求出的每个值都要回代检验互异性。 【解答】若a＋2＝3，则a＝1。此时－2a＝1－2＝－1，A＝｛1，3，－1｝，三个元素互不相同，符合互异性，a＝1可取。 若－2a＝3，则－2a－3＝0，即(a－3)(a＋1)＝0，解得a＝3或a＝－1。 当a＝3时，a＋2＝5，A＝｛1，5，3｝，三个元素互不相同，a＝3可取。 当a＝－1时，a＋2＝1，与A中已有的元素1相同，集合退化为｛1，3｝，违反互异性，a＝－1应舍去。 综上，a＝1或a＝3。 【方法小结】“某个数属于某集合”一定要按元素逐个分类讨论，讨论完毕后必须用互异性把不合格的值筛掉，这一步不能省。 题型1　变式：符号选用、描述法改写与由元素求字母 三题分别练符号的正确选用、把文字条件译成描述法、由元素相等求字母并检验。 变式1　设集合S＝｛x∈N|x≤4｝，则下列写法中正确的是（　　）。 A．2.5∈S B．｛3｝∈S C．0∈S D．－1∈S 变式2　把“所有被5除余2的正整数”组成的集合用描述法表示为________。 变式3　已知集合B＝｛b－1，＋3b，4｝，且0∈B，求实数b的值。 【题型2】集合间的关系与含参数的子集问题 判断两个集合的关系，元素少时逐个比对，元素成段时画数轴比端点。含参数时最关键的一步是先问一句：那个待定的集合允许是空集吗？允许就必须单列一支。 例1　设方程－4x－12＝0的所有实数根组成集合A，方程－8x＋12＝0的所有实数根组成集合B。列出A的全部子集，并说明A与B之间有没有包含关系。 【分析】两个集合都由方程的根给出，先把根解出来化成列举法，再逐个比较元素。 【解答】由－4x－12＝0得(x－6)(x＋2)＝0，故A＝｛－2，6｝。 由－8x＋12＝0得(x－2)(x－6)＝0，故B＝｛2，6｝。 A含2个元素，子集共有＝4个，分别是∅，｛－2｝，｛6｝，｛－2，6｝。 比较元素：－2∈A但－2∉B，故A不是B的子集；2∈B但2∉A，故B也不是A的子集。所以A与B互不包含，它们只有公共元素6。 【方法小结】由方程给出的集合，第一件事永远是解方程化成列举法；子集个数用直接算，不必逐个数。 例2　已知集合C＝｛x|－4≤x≤3｝，D＝｛x|m－2≤x≤2m＋1｝，且D⊆C，求实数m的取值范围。 【分析】D的端点带参数，它有可能是空集。凡是只给出D⊆C而没有说明D非空的题目，都必须把D＝∅与D≠∅两种情形分开讨论。 【解答】第一种情形，D＝∅。此时右端点小于左端点，即2m＋1＜m－2，解得m＜－3。空集是任何集合的子集，故这一支全部满足D⊆C。 第二种情形，D≠∅。此时2m＋1≥m－2，即m≥－3。要使D⊆C，D的左端点不能小于－4，右端点不能大于3，于是有m－2≥－4且2m＋1≤3。 由m－2≥－4得m≥－2；由2m＋1≤3得m≤1。与m≥－3取交集，得－2≤m≤1。 把两支合并：m＜－3或－2≤m≤1。当－3≤m＜－2时，D非空但左端点m－2＜－4，伸出了C的左端，不合题意，所以两支之间是断开的。 【方法小结】“端点带参的区间是否为空”是这类题唯一的分水岭。判断空集的依据只有一条：右端点严格小于左端点；两支合并前要检查中间有没有被漏掉或多算的参数值。 题型2　变式：子集计数、包含关系判断与端点带参 三题依次练子集个数的计算、四个包含关系的辨别、端点带参且已声明非空时的端点比较。 变式1　集合｛a，b，c，d｝的非空真子集共有（　　）个。 A．14 B．15 C．16 D．8 变式2　设E＝｛x|x是正方形｝，F＝｛x|x是矩形｝，G＝｛x|x是平行四边形｝，则下列关系式中正确的是（　　）。 A．G⊊F B．F⊊E C．E⊊F⊊G D．E＝F 变式3　已知集合H＝｛x|x＜－1，或x＞4｝，K＝｛x|2t＜x＜t＋3｝，且K是H的子集，K不是空集，求实数t的取值范围。 【题型3】并集、交集、补集的混合运算与反求参数 混合运算的次序是先算括号内、再算括号外，全集一定要先看清楚。反求参数时，把运算结果的端点与已知集合的端点在数轴上一一对应，是最不容易出错的写法。 例1　设全集U＝R，集合A＝｛x|－3＜x≤2｝，B＝｛x|x≥0｝。求A∩B，A∪B，∁UA，以及(∁UA)∩B。 【分析】把三个集合都画到同一条数轴上，交集看重叠段，并集看覆盖段，补集看空白段，端点开闭按原集合逐个标注。 【解答】A是从－3（不含）到2（含）的一段，B是从0（含）向右的一条射线。 两段重叠的部分从0到2，左端0在B中取到、在A中也在范围内，右端2在A中取到，故A∩B＝｛x|0≤x≤2｝。 两段合起来覆盖了－3右侧的全部实数，左端－3不属于A也不属于B，故A∪B＝｛x|x＞－3｝。 在实数集里去掉A所占的那一段，剩下x≤－3与x＞2两部分。注意－3原来不在A中，所以补集里要把它取到；2原来在A中，所以补集里不能取到。故∁UA＝｛x|x≤－3，或x＞2｝。 最后把∁UA与B求交：x≤－3这一段与x≥0没有公共部分；x＞2这一段整体位于0的右侧。故(∁UA)∩B＝｛x|x＞2｝。 【方法小结】补集的端点开闭一律取反：原集合取到的端点，补集里就取不到，反之亦然。 例2　已知集合A＝｛＋8x＝0｝，B＝｛＋2(k＋2)x＋－4＝0｝，且A∪B＝A，求实数k的取值范围。 【分析】A∪B＝A与B⊆A是同一句话。先把A算出来，再按B中元素的个数分三支讨论。 【解答】由＋8x＝0得x(x＋8)＝0，故A＝｛0，－8｝。由A∪B＝A知B⊆A。 第一支，B＝∅。此时方程无实根，Δ＝－－4)＜0。展开得＋16k＋16－＋16＜0，即16k＋32＜0，解得k＜－2。 第二支，B中只有一个元素。此时Δ＝0，即16k＋32＝0，k＝－2。代回方程得＝0，x＝0，此时B＝｛0｝，确实是A的子集，k＝－2可取。 第三支，B中有两个元素。此时B＝｛0，－8｝，0与－8都是方程的根。把x＝0代入得－4＝0，k＝2或k＝－2；把x＝－8代入得64－16(k＋2)＋－4＝0，即－16k＋28＝0，(k－2)(k－14)＝0，k＝2或k＝14。两者的公共值是k＝2。检验：k＝2时方程为＋8x＝0，B＝｛0，－8｝＝A，符合。 综上，k＜－2或k＝－2或k＝2，即k≤－2或k＝2。 【方法小结】“并上去没有变大”“交下来没有变小”都是包含关系的伪装说法；含参方程给出的集合，讨论顺序固定为无根、一根、两根；两根的情形把两个根分别代入方程即可定出参数。 题型3　变式：有限集运算、由交集定参数与补集的端点 三题分别练有限集合的混合运算、由交集结果反求字母、连续集合求补后再运算时端点开闭的处理。 变式1　已知全集U＝｛1，2，3，4，5，6｝，M＝｛1，3，5｝，N＝｛3，4，6｝，则M∩(∁UN)等于（　　）。 A．｛1，5｝ B．｛3｝ C．｛1，2，5｝ D．｛2，5｝ 变式2　设集合P＝｛－7x＋12＝0｝，Q＝｛x|ax＝6｝。若P∩Q＝Q，则实数a可以取的值有________。 变式3　设全集U＝R，集合S＝｛x|x＜1，或x≥5｝，T＝｛x|a＜x≤a＋2｝。若(∁US)∩T＝T，求实数a的取值范围。 【题型4】充分条件、必要条件与充要条件的判断及应用 判断题的固定动作是两个方向各试一次：能不能由p推出q，能不能由q推出p，推不出就举一个反例。含参数时先把两个条件的解集写出来，再翻译成包含关系。 例1　指出下列各题中p是q的什么条件（在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选择），并写出判断依据。（1）p：x＞3，q：x＞1；（2）p：四边形的两组对边分别相等，q：四边形是平行四边形；（3）p：ab＝0，q：a＝0。 【分析】每一小题都做两次试探。能推出就写出推理，推不出就给一个具体的反例。 【解答】（1）由x＞3一定能得到x＞1，所以p⇒q；反过来取x＝2，满足q但不满足p，所以q推不出p。故p是q的充分不必要条件。 （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形，这是平行四边形的一条判定定理，故p⇒q；平行四边形的两组对边分别相等，这是它的一条性质定理，故q⇒p。两个方向都成立，p是q的充要条件。 （3）由a＝0一定能得到ab＝0，故q⇒p；反过来取a＝5，b＝0，此时ab＝0成立而a＝0不成立，故p推不出q。所以p是q的必要不充分条件。 【方法小结】写“推不出”时必须给出一个具体的反例，只说“不一定”不能算作依据。 例2　已知p：－2≤x≤6，q：2－m≤x≤2＋m（m＞0）。若满足p的x都满足q，但满足q的x不都满足p，求实数m的取值范围。 【分析】把p、q对应的集合分别记为A、B。“满足p的都满足q，满足q的不都满足p”翻译成集合语言就是A⊊B，落到数轴上就是B把A完全盖住而且至少有一端超出。 【解答】A＝｛x|－2≤x≤6｝，B＝｛x|2－m≤x≤2＋m｝。因为m＞0，所以2－m＜2＋m，B恒为非空。 由A⊊B得两个端点条件：2－m≤－2且2＋m≥6。 由2－m≤－2得m≥4；由2＋m≥6得m≥4。两者取交集仍为m≥4。 再检验真包含。当m＝4时，B＝｛x|－2≤x≤6｝，此时A＝B，满足q的x也都满足p，不合题意，应舍去；当m＞4时，B的两端都严格超出A，A⊊B成立。 综上，m＞4。 【方法小结】端点取等号的那一个值必须单独回代检验：它常常正好使两个集合相等，从而破坏“真包含”。 题型4　变式：充要条件的识别、不等关系下的判断与由必要条件定范围 三题分别练在四组条件中挑出充要的一组、在不等关系背景下作方向判断、由条件关系反求参数。 变式1　下列四组条件中，p是q的充要条件的一组是（　　）。 A．p：x＞0，q：＞0 B．p：x＝1，q：＝1 C．p：ab＞0，q：a＞0且b＞0 D．p：a＞b，q：a＋c＞b＋c 变式2　对实数x而言，条件甲：|x|＜2；条件乙：－5x－14＜0。那么甲与乙的关系是（　　）。 A．由甲可以推出乙，但由乙推不出甲 B．由乙可以推出甲，但由甲推不出乙 C．甲与乙可以互相推出 D．甲与乙都不能互相推出 变式3　已知条件p：－2x－8≤0，条件q：|x－1|≤c（c＞0）。若p成立时q一定成立，而q成立时p不一定成立，求实数c的取值范围。 【题型5】两类量词命题的真假判定与否定 判真假与写否定是两件事：判真假时全称命题靠反例、存在命题靠举例；写否定时既换量词又否定结论，元素所在的范围一个字都不许动。命题为真而其中含参数时，问题往往回落到二次式的符号上，这正是第一章与第二章的第一个交汇处。 例1　下列命题中哪些为真？说明理由，并写出各命题的否定：①∀x∈R，－6x＋10＞0；②∃x∈Z，2x＋1＝6；③∀x∈｛－1，0，1｝，＋x≥0。 【分析】全称命题要么逐一验证、要么举反例；存在命题只要找到一个符合的元素就为真。写否定时按“量词互换、结论取反、范围不动”三句话操作。 【解答】①把左边配方，－6x＋10＝＋1。因为≥0，所以＋1≥1＞0对每一个实数x都成立，命题为真。它的否定是∃x∈R，－6x＋10≤0。 ②由2x＋1＝6得x＝，它不是整数，整数集中找不到符合的元素，命题为假。它的否定是∀x∈Z，2x＋1≠6。 ③范围里只有三个元素，逐个代入：x＝－1时＋x＝0；x＝0时＋x＝0；x＝1时＋x＝2。三个值都不小于0，命题为真。它的否定是∃x∈｛－1，0，1｝，＋x＜0。 【方法小结】范围是有限集时，全称命题的真假可以逐个验证，这是最稳妥的办法；范围是R时则要靠配方或别的恒等变形看清符号。 例2　给定命题p：“∀x∈R，－4x＋a＞0”与命题q：“∃x∈R，－4x＋a＜0”。（1）若p为真命题，求实数a的取值范围；（2）若q为真命题，求实数a的取值范围。 【分析】二次式对每一个实数都取正值，从图象上看就是抛物线整个位于x轴上方，条件是开口向上且与x轴没有公共点；存在一个实数使它取负值，则是图象有一部分落到x轴下方。两问都落到Δ的符号上。 【解答】（1）二次项系数1＞0，开口向上。要使－4x＋a＞0对每一个实数x都成立，只需图象与x轴没有公共点，即Δ＜0。 Δ＝－4×1×a＝16－4a，由16－4a＜0解得a＞4。 （2）存在一个实数x使－4x＋a＜0，说明图象至少有一部分落在x轴下方，也就是与x轴有两个不同的公共点，条件是Δ＞0。 由16－4a＞0解得a＜4。 综上，p成立时a＞4；q成立时a＜4。 【方法小结】把“对每一个”“存在一个”翻译成图象与x轴的位置关系，再翻译成Δ的符号，是量词命题与二次不等式之间最短的一条通道。 题型5　变式：选否定形式、写不等式命题的否定与由存在性定参数 三题分别练否定形式的辨别、含不等号命题的否定书写、由存在量词命题为真反求参数。 变式1　对命题“存在一个正整数n，使得＋n是奇数”取否定，所得的命题是（　　）。 A．存在一个正整数n，使得＋n是偶数 B．任意一个正整数n，＋n都是偶数 C．任意一个正整数n，＋n都是奇数 D．任意一个整数n，＋n都是偶数 变式2　把命题“对任意x＞0，都有x＋≥2”改写成它的否定形式，应写成________。 变式3　已知命题“∃x∈[1，3]，－2x－t＞0”为真命题，求实数t的取值范围。 【题型6】作差比较大小与由已知范围推目标范围 比较两个代数式的大小，作差以后一定要把差式变形到符号一眼可辨；由范围推范围则要把目标式拆成几个已知范围的式子相加，逐段套用性质，中途不许相减也不许相除。 例1　比较(a＋5)(a－1)与(a＋1)(a＋3)的大小，其中a为任意实数。 【分析】两个式子都含字母a，直接看不出大小，按作差、变形、定号、下结论四步处理。 【解答】作差：(a＋5)(a－1)－(a＋1)(a＋3)。 变形：先把两个乘积分别展开。(a＋5)(a－1)＝＋4a－5，(a＋1)(a＋3)＝＋4a＋3。 两式相减，二次项与一次项全部抵消，得＋4a－5)－＋4a＋3)＝－8。 定号：差为常数－8，恒小于0，与a取什么值无关。 下结论：(a＋5)(a－1)＜(a＋1)(a＋3)对任意实数a都成立。 【方法小结】展开以后高次项抵消、只剩常数，是这一类“两组乘积比大小”题目的常见结局；一旦差是常数，结论就对全体实数成立，不需要再分类讨论。 例2　已知－1＜a＜3，2＜b＜4，求2a＋b与a－b的取值范围。 【分析】两个目标式都要拆成已知范围的式子之和，再用同向可加的性质逐段合并。含减法时先把被减的那个范围整体变号。 【解答】先求2a＋b的范围。由－1＜a＜3，两边同乘正数2，方向不变，得－2＜2a＜6。 把－2＜2a＜6与2＜b＜4两个同向不等式相加，得－2＋2＜2a＋b＜6＋4，即0＜2a＋b＜10。 再求a－b的范围。把2＜b＜4的三边同乘－1，方向全部反过来，得－4＜－b＜－2。 把－1＜a＜3与－4＜－b＜－2相加，得－1＋(－4)＜a－b＜3＋(－2)，即－5＜a－b＜1。 【方法小结】千万不要用a的两端直接减b的两端：那样得到的“－1－2＜a－b＜3－4”既方向混乱、结论也错。正确做法只有一条，先把减法改写成加上相反数。 题型6　变式：性质的反例判断、范围合并与含负因数的比较 三题分别练用反例否定错误的性质、由两个范围合并出目标范围、乘数为负时不等号方向的处理。 变式1　设a＞b，c为任意实数。下列四个式子中，其值一定是正数的是（　　）。 A．ac－bc B．－ C．(a－b)＋1 D．－ 变式2　若2＜m＜5，－3＜n＜－1，则3n－m的取值范围是________。 变式3　设c是负数，且a＞b＞0。用作差的办法判断与这两个数哪一个更大。 【题型7】用基本不等式求最值：配凑与常数1的代换 式子不能直接套用基本不等式时，先想办法造出定值：分式型靠配凑，带条件的靠常数1的代换。造出定值之后，最后一步永远是回头验证等号能不能取到。 例1　设x＞－2。先求出使x＋最小的x，再求出这个最小值。 【分析】两项之积x·不是定值，不能直接套用。分母是x＋2，把x拆成(x＋2)－2，就能与分母配成积为定值的两项。 【解答】因为x＞－2，所以x＋2＞0，＞0，两项都是正数，一正满足。 把原式改写为x＋＝(x＋2)＋－2。 前两项之积为(x＋2)×＝9，是定值，二定满足。 由基本不等式得(x＋2)＋≥＝6，于是原式≥6－2＝4。 等号成立需要x＋2＝，即＝9，解得x＝1或x＝－5。因x＋2＞0，x＝－5这一支舍去，只取x＝1，落在x＞－2内，三相等满足。 所以最小值为4，此时x＝1。 【方法小结】配凑的目标只有一个：让两项之积把字母约掉。凑的时候被加上或减去的那个常数，最后要补回结论里。 例2　设正数a，b满足关系a＋2b＝1，求代数式＋的最小值，并写出取到最小值时a与b的值。 【分析】条件是一次式等于1，目标是两个分式之和。把目标乘上等于1的那个式子，展开后就能造出积为定值的两项，这就是常数1的代换。 【解答】因为a＋2b＝1，所以＋＝＋×1＝＋(a＋2b)。 展开得＋(a＋2b)＝1＋＋＋2＝3＋＋。 由a＞0，b＞0知＞0，＞0，且两项之积为×＝2，是定值。 由基本不等式得＋≥，于是＋≥3＋。 等号成立需要＝，即＝，由a，b为正数得a＝。 代入a＋2b＝1得＋2)b＝1，所以b＝＝，a＝＝－1，都是正数，等号能够取到。 所以＋的最小值为3＋，此时a＝－1，b＝。 【方法小结】常数1的代换有两个固定动作：先把条件写成“某式＝1”，再用它去乘目标式。展开后一定会剩下两项互为倒数形状的式子，它们的积就是定值。 题型7　变式：直接求最值、和定积最大与围栏用料最省 三题分别练最基本的积定和最小、条件为和的积最大、以及把实际问题化成基本不等式模型。 变式1　当x取遍所有正数时，代数式x＋所能取到的最小值等于（　　）。 A．9 B．6 C．3 D．不存在 变式2　把一根长16米的铁丝全部弯成一个矩形框（接头处不计），这个矩形框所围面积的最大值是________平方米。 变式3　某农场要靠一堵足够长的旧墙围出一块面积为200平方米的矩形试验田，与墙平行的那一边不需要篱笆，另外三边都用篱笆围起来。问三边篱笆的总长度最少是多少米，此时矩形的长与宽各是多少米。 【题型8】解一元二次不等式与由解集反求系数 解一元二次不等式的次序是固定的：先把二次项系数化正，再看Δ的符号，最后按“大于取两边、小于取中间”写集合。反求系数时抓住一条：解集的两个端点就是对应方程的两个根。 例1　解下列不等式：（1）－5x－2＞0；（2）＋6x－9≥0；（3）－2x＋5＜0。 【分析】三小题恰好对应Δ的三种情形，第（2）问还要先把二次项系数化为正数。 【解答】（1）二次项系数3＞0。左边可以分解为(3x＋1)(x－2)，对应方程的两个根是x＝与x＝2，Δ＞0。按“大于取两边”，解集为｛x|x＜，或x＞2｝。 （2）二次项系数为－1，两边同乘－1并把不等号反向，得－6x＋9≤0，即≤0。平方式恒不小于0，只有等于0时才满足，故x－3＝0，x＝3。解集为｛3｝。 （3）二次项系数1＞0，Δ＝－4×1×5＝4－20＝－16＜0，图象与x轴没有公共点且整体位于x轴上方，所以－2x＋5＜0无解，解集为∅。 【方法小结】看到二次项系数为负，第一件事就是两边乘－1并把不等号反向；Δ≤0的两种情形不要凭口诀写答案，要回到图象与x轴的位置关系去判断。 例2　不等式＋bx＋2＞0（a，b∈R）的解集恰好是｛x|－1＜x＜｝。（1）求a与b；（2）解不等式＋bx＋a＜0。 【分析】解集是一段夹在中间的区间，说明二次项系数为负，且－1与恰是方程＋bx＋2＝0的两个根。把两个根分别代入方程，列方程组求a，b。 【解答】因为解集是“取中间”的形状，所以a＜0，且－1与是方程＋bx＋2＝0的两个根。 把x＝－1代入方程＋bx＋2＝0，得a－b＋2＝0；把x＝代入，得＋＋2＝0，两边同乘9得a＋3b＋18＝0。 两式相减，得4b＋16＝0，解得b＝－4；代回a－b＋2＝0，得a＝－6。 检验：把a＝－6，b＝－4代回，原不等式为－4x＋2＞0，两边同除以－2并反向得＋2x－1＜0，即(3x－1)(x＋1)＜0，解集正是｛x|－1＜x＜｝，与题设相符。 把a＝－6，b＝－4代入第二个不等式，得－4x－6＜0，两边同除以2得－2x－3＜0，即(x－3)(x＋1)＜0。 按“小于取中间”，解集为｛x|－1＜x＜3｝。 【方法小结】由解集反求系数以后一定要代回原式验证一次：这一步能同时查出符号错误与根写反的错误。 题型8　变式：直接求解集、解集为R与含参数的分类讨论（拓展） 三题依次练最基本的求解集、由解集为R反求参数、以及两根大小不定时的分类讨论。 变式1　不等式－2x－15≤0的解集是（　　）。 A．(－∞，－3]∪[5，＋∞) B．[－5，3] C．[－3，5] D．(－3，5) 变式2　若对每一个实数x都有－2x＋m＞0，则实数m满足________。 变式3　设k为实数。按k的不同取值，写出不等式－3kx＋＞0的解集。 【题型9】函数的三要素：定义域、解析式与同一个函数 求定义域是把式子有意义的全部条件逐条列出再取交集，其中含二次式的那一条正好要用第二章解一元二次不等式的办法；求解析式则按已知条件选待定系数法或整体换元法。 例1　求下列函数的定义域，结果用集合或区间表示：（1）y＝＋；（2）y＝。 【分析】式子里有几种运算就列几个条件：根号要求被开方数非负，分母要求不为0，最后把各条件所确定的集合取交集。 【解答】（1）由被开方数非负得3－2x≥0，解得x≤；由分母不为0得x＋1≠0，即x≠－1。 把两个条件取交集，得到｛x|x≤，且x≠－1｝。－1落在x≤这一段的内部，所以要在这一段上把它挖掉，写成区间就是(－∞，－1)∪(－1，。 （2）只有一个条件：－x－6≥0。把左边分解因式得(x－3)(x＋2)≥0，对应方程的根是3与－2，二次项系数为正。 按“大于取两边”并注意含等号，得x≤－2或x≥3，写成区间就是(－∞，－2]∪[3，＋∞)。 【方法小结】被开方式子是二次式时，求定义域这一步实际上就是解一个一元二次不等式，两章的方法在这里接上了头。 例2　求下列函数的解析式：（1）已知f(x)是二次函数，f(0)＝1，且f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)；（2）已知f(2x－1)＝＋1，求f(x)。 【分析】第（1）问已知函数的类型，用待定系数法；第（2）问已知的是一个复合形式的表达式，用整体换元法。 【解答】（1）设f(x)＝＋bx＋c（a≠0）。由f(0)＝1得c＝1。 计算f(x＋1)－f(x)＝＋b(x＋1)＋c]－＋bx＋c)＝a(2x＋1)＋b＝2ax＋a＋b。 由f(x＋1)－f(x)＝2x对每一个x都成立，比较两边同次项的系数，得2a＝2且a＋b＝0。 解得a＝1，b＝－1。所以f(x)＝－x＋1。 （2）令t＝2x－1，则x＝。把它代入右边：＋1＝4×＋1＝＋1＝＋2t＋2。 于是f(t)＝＋2t＋2。字母只是一个记号，把t换回x，得f(x)＝＋2x＋2。 【方法小结】整体换元以后一定要把新字母的取值范围一并考虑；本题中t＝2x－1可以取遍全体实数，所以所得解析式的定义域是R。 题型9　变式：同一个函数的辨别、抽象定义域与求函数值 三题分别练“先定义域后化简”的次序、由外层函数的定义域反推内层的取值范围、按解析式求具体与含字母的函数值。 变式1　对下面四组f(x)，g(x)逐组比较定义域与对应关系，两者都相同的一组是（　　）。 A．f(x)＝2x＋1（x∈R）与g(t)＝2t＋1（t∈R） B．f(x)＝x与g(x)＝ C．f(x)＝·与g(x)＝ D．f(x)＝x＋1与g(x)＝ 变式2　已知函数f(x)的定义域为[0，4]，则函数f(2x－2)的定义域为________。 变式3　已知函数f(x)＝，写出它的定义域，并求f(4)与f(a＋3)的值（其中a≠0）。 【题型10】单调性的定义证明与闭区间上的最值 定义法证明按取值、作差、变形、定号、下结论五步走，变形的目标是把差式化成能一眼定号的乘积或分式；求闭区间上的最值则先定对称轴与区间的相对位置，再决定在顶点还是在端点取值。 例1　按单调性的定义，证明f(x)＝在(－1，＋∞)上是减函数。 【分析】分式型函数作差以后要通分，把分子化到能定号为止。先把解析式分离常数，可以让后面的计算轻很多。 【解答】先分离常数：＝＝2＋。 取值：任取x₁，x₂∈(－1，＋∞)，且x₁＜x₂。 作差：f(x₁)－f(x₂)＝[2＋－[2＋＝－。 变形：通分得f(x₁)－f(x₂)＝。 定号：由x₁＜x₂得x₂－x₁＞0；由x₁＞－1，x₂＞－1得x₁＋1＞0，x₂＋1＞0，所以分母(x₁＋1)(x₂＋1)＞0。于是f(x₁)－f(x₂)＞0，即f(x₁)＞f(x₂)。 下结论：对任意x₁，x₂∈(－1，＋∞)，当x₁＜x₂时都有f(x₁)＞f(x₂)，所以f(x)在(－1，＋∞)上单调递减。 代入两个具体点核对方向：f(0)＝3，f(1)＝＝，x由0增大到1时函数值由3减小到，与结论一致。 【方法小结】分式型函数先分离常数，再作差通分，是把差式变到能定号的最短路线；定号时每一个因式的符号都要有条件作依据，不能只说“显然”。 例2　已知函数f(x)＝－10x＋16。（1）求f(x)的单调区间；（2）求f(x)在[3，10]上的最大值与最小值，并写出取得最值时x的值；（3）若f(x)在闭区间[t，t＋2]上单调递增，求实数t的取值范围。 【分析】三问都围绕对称轴：第（1）问由对称轴分出两侧，第（2）问看对称轴在不在区间内，第（3）问要求整个区间落在对称轴右侧。 【解答】（1）配方得f(x)＝－9。图象开口向上，对称轴是直线x＝5。所以f(x)的单调递减区间为(－∞，5]，单调递增区间为[5，＋∞)。 （2）对称轴x＝5落在区间[3，10]的内部，所以最小值在顶点处取得，f(5)＝25－50＋16＝－9。 最大值只在离对称轴较远的端点处取得。计算得f(3)＝9－30＋16＝－5，f(10)＝100－100＋16＝16。 端点3与对称轴的距离是2，端点10与对称轴的距离是5，后者更远，故最大值为f(10)＝16。 所以在[3，10]上，最大值为16，此时x＝10；最小值为－9，此时x＝5。 （3）f(x)在[5，＋∞)上单调递增。要使f(x)在[t，t＋2]上单调递增，只需[t，t＋2]整个落在[5，＋∞)内，即左端点满足t≥5。 所以t≥5。 【方法小结】二次函数在闭区间上的最大值一定在端点取得，究竟是哪一个端点，比较它们与对称轴的距离即可，距离远的那一个函数值更大（开口向上时）。 题型10　变式：读单调区间、分式函数的最值与由单调性定参数 三题分别练由解析式直接读出单调区间、在闭区间上利用单调性取端点、由“在某区间上单调”反求参数。 变式1　下列区间中，函数y＝＋2x＋3在其上单调递增的是（　　）。 A．(－∞，1] B．[1，＋∞) C．(－∞，－1] D．[－1，＋∞) 变式2　函数f(x)＝在闭区间[3，5]上的最大值是________。 变式3　已知f(x)＝＋2ax＋2。若f(x)在[－5，5]上要么处处递增、要么处处递减，求实数a的取值范围。 【题型11】函数的奇偶性与幂函数的图象性质 判断奇偶性的第一步永远是求定义域并看它是否关于原点对称，这一步不过关，后面算得再对也没有意义。已知一半的解析式求另一半，靠的是把自变量取相反数后再用奇偶性搬回来。 例1　对下面三个函数，各自说明它是奇函数、是偶函数，还是两者都不是：（1）f(x)＝－3x；（2）g(x)＝＋1，x∈[－1，3]；（3）h(x)＝。 【分析】三小题分别对应三种情形：定义域为R直接算；定义域不对称直接否定；定义域受限且解析式可化简。 【解答】（1）定义域是R，关于原点对称。计算f(－x)＝－3(－x)＝＋3x＝－3x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数。 （2）定义域是[－1，3]。取x＝3，它在定义域内，而－3不在定义域内，所以定义域不关于原点对称，g(x)既不是奇函数也不是偶函数。 （3）先求定义域：由1－≥0得－1≤x≤1；由|x＋2|－2≠0得x＋2≠2且x＋2≠－2，即x≠0且x≠－4。取交集得定义域为[－1，0)∪(0，1]，它关于原点对称。 在这个定义域上x＋2＞0，所以|x＋2|＝x＋2，于是|x＋2|－2＝x，解析式化简为h(x)＝。 计算h(－x)＝＝＝－h(x)，所以h(x)是奇函数。 【方法小结】第（2）问提醒我们：解析式看上去很像偶函数，只要定义域不对称就一票否决；第（3）问提醒我们：先化简再判断，可以避开绝对值带来的麻烦，但化简必须在已求出的定义域上进行。 例2　已知函数f(x)对每一个实数x都满足f(x)＝f(－x)，且当x≥0时f(x)＝x(3－x)。（1）求f(－2)的值；（2）当x取负数时，把f(x)用含x的式子表示出来；（3）求f(x)在R上的最大值。 【分析】条件f(x)＝f(－x)说明f(x)是偶函数，图象关于y轴对称。已知的是非负半轴上的表达式，要把负半轴上的问题搬到非负半轴上去算。 【解答】（1）由f(x)＝f(－x)得f(－2)＝f(2)。因为2≥0，可以代入已知表达式：f(2)＝2×(3－2)＝2×1＝2。所以f(－2)＝2。 （2）设x＜0，则－x＞0，－x落在已知表达式适用的范围内，于是f(－x)＝(－x)(3－(－x))＝－x(3＋x)。 又f(x)＝f(－x)，所以当x＜0时f(x)＝－x(3＋x)，展开即f(x)＝－3x。 （3）先看x≥0的一半。f(x)＝x(3－x)＝＋3x，配方得f(x)＝＋，图象开口向下，顶点横坐标落在x≥0内，所以这一半上的最大值为。 由对称性，x＜0的一半上函数值与x＞0处一一对应，取到的值集合相同，不会超过。 所以f(x)在R上的最大值为，在x＝与x＝处取到。 【方法小结】偶函数只需研究一半的图象，另一半按对称照搬；求整体最值时，只要在已知的那一半上求出最值即可。 题型11　变式：由点定幂函数、幂函数的函数值与由偶函数定系数 三题分别练由图象所过的点识别幂函数、由所过的点求出指数后再求值、由奇偶性对系数的约束求参数。 变式1　下列幂函数中，图象经过点(4，2)的是（　　）。 A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ 变式2　已知幂函数y＝满足：当x＝－2时y＝－8。那么当x＝时，y的值是________。 变式3　已知函数f(x)＝(m＋1)＋－1)x＋4是二次函数，并且它是偶函数，求实数m的值。 【题型12】跨章综合：解集与集合运算、恒成立与存在性（拓展） 本题型把三章接在一起：先用第二章的方法把不等式的解集算出来，再用第一章的语言做运算或谈包含，最后用第三章的最值把恒成立与存在性落地。三步之间的翻译，正是期中压轴题的全部内容。 例1　已知全集U＝R，集合A＝｛－x－12≤0｝，B＝｛x|x＜a｝。（1）当a＝1时，求A∩B与(∁UA)∪B；（2）若A∩B＝A，求实数a的取值范围。 【分析】先把A这个不等式解集算成一段区间，之后所有运算都在数轴上完成。第（2）问要把A∩B＝A先翻译成包含关系。 【解答】解－x－12≤0。左边分解为(x－4)(x＋3)，对应方程的根是4与－3，二次项系数为正，按“小于取中间”并含端点，得A＝｛x|－3≤x≤4｝。 （1）当a＝1时，B＝｛x|x＜1｝。A与B重叠的部分从－3（含）到1（不含），故A∩B＝[－3，1)。 在R中去掉A所占的一段，得∁UA＝(－∞，－3)∪(4，＋∞)。把它与B＝(－∞，1)求并：(－∞，－3)与(－∞，1)合并为(－∞，1)，再加上(4，＋∞)。故(∁UA)∪B＝(－∞，1)∪(4，＋∞)。 （2）A∩B＝A说明A⊆B，即A中每一个数都小于a。A中最大的数是4，且4能取到，所以必须4＜a。 若a＝4，则4∈A但4∉B，A不是B的子集，不合题意；若a＞4，则A中每个数都小于a，成立。 所以a＞4。 【方法小结】“交下来还是它自己”“并上去还是另一个”都是包含关系的换装说法；判断端点能否取等号时，把那个端点单独代进两个集合验证一次最可靠。 例2　已知函数f(x)＝－4x＋6。（1）若对任意x∈[1，4]，不等式f(x)≥3m－4恒成立，求实数m的取值范围；（2）若存在x∈[1，4]，使f(x)≤3m－4成立，求实数m的取值范围。 【分析】两问都把参数放在不等号的一边，另一边是同一个二次函数。恒成立比的是最小值，存在成立比的也是最小值，但不等号方向相反，所以先把f(x)在[1，4]上的最小值算清楚。 【解答】配方得f(x)＝＋2，图象开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点落在区间[1，4]内部。 所以f(x)在[1，4]上的最小值为f(2)＝2；又f(1)＝1－4＋6＝3，f(4)＝16－16＋6＝6，最大值为6。 （1）“对任意x∈[1，4]都有f(x)≥3m－4”，等价于3m－4不超过f(x)在这个区间上的最小值，即3m－4≤2。 解得3m≤6，m≤2。 （2）“存在x∈[1，4]使f(x)≤3m－4”，只要f(x)能取到的最小的那个值不超过3m－4即可，即3m－4≥2。 解得m≥2。 【方法小结】口诀是：恒成立取最值的“最不利”一端，存在成立取“最有利”一端。本题两问的临界值都是最小值2，只是不等号方向相反，两问的答案在m＝2处相接（m＝2同时满足两问）。 题型12　变式（拓展）：解集的交、由充分条件定端点与含参解集的包含 三题依次把解集送进集合运算、送进条件判断、送进包含关系，难度逐级上升。 变式1　已知集合M＝｛－4x＜0｝，N＝｛x|x≥2｝，则M∩N等于（　　）。 A．｛x|0＜x＜2｝ B．｛x|2≤x＜4｝ C．｛x|x＞0｝ D．｛x|0＜x≤2｝ 变式2　记A＝｛－5x＋4≤0｝。若“x∈A”能推出“x＜b”，则b应满足________。 变式3　集合A由满足－(a＋3)x＋3a＜0的全体实数x组成，集合B＝｛x|1＜x＜5｝。若A⊆B，求实数a的取值范围。 　易错专练 这八题各自对准期中范围内的一个高频失分点：空集这一支、条件方向、等号能否取到、二次项系数为负、定义域是否对称、单调区间的写法、由范围推范围的次序、二次项系数是否为0。建议先独立作答，再逐条核对解析中标出的错解、错因与正解。 易错1　已知集合A＝｛＋x－6＝0｝，B＝｛x|mx＋1＝0｝，且B⊆A。有同学解得m＝或m＝。请补出被他漏掉的那一支，并写出m的全部可能取值。 易错2　已知p：－1≤x≤5，q：k－1≤x≤k＋2。若q是p的充分不必要条件，有同学列出k－1≤－1且k＋2≥5，得到k≤0且k≥3，于是断定无解。请找出推理断裂的位置，并重新求出k的取值范围。 易错3　求函数f(x)＝x＋在区间[3，＋∞)上的最小值时，有同学写出f(x)≥＝4，于是答最小值为4。请判断4是不是最小值，并求出f(x)在这个区间上的最小值。 易错4　解不等式＋2x＋3＞0时，有同学看到两根为－1与3，直接按“大于取两边”写出解集｛x|x＜－1，或x＞3｝。请找出这一步失效的原因，并重新写出解集。 易错5　已知f(x)＝＋bx＋3是定义在[a－1，2a]上的偶函数。某同学只由一次项系数为0得出b＝0便停笔。请补出还需要用到的一个条件，并求出a＋b的值。 易错6　有同学把幂函数y＝的单调递减区间写成(－∞，0)∪(0，＋∞)。请举出一组数否定这种写法，并给出规范的表述。 易错7　已知2＜a＜5，1＜b＜3，有同学用两式直接相减，得到2－1＜a－b＜5－3，即1＜a－b＜2。请找出这一步违反的性质，并重新求出a－b的范围。 易错8　下面是一道题的解答片段：求使＋mx－2＜0恒成立的实数m。某同学只讨论了二次的情形，解得－8＜m＜0。请把二次项系数为0的情形补进讨论，并给出m的完整取值范围。 　课后作业（一）基础过关 本组12题分三段：第1～5题为四选一，把字母写进括号；第6～9题把结果直接写在横线上，集合与区间的记法务必规范；第10～12题要把推理与运算的每一步写全。这一组只考十二个题型里最基本的那一层，用来确认知识点是否已经落地。 1．已知集合A＝｛－1，0，1，2｝，B＝｛≤1｝，则A∩B等于（　　）。 A．｛－1，0，1｝ B．｛0，1｝ C．｛－1，0｝ D．｛1，2｝ 2．“所有的菱形都是平行四边形”这个命题的否定是（　　）。 A．所有的菱形都不是平行四边形 B．有的菱形是平行四边形 C．有的平行四边形不是菱形 D．有的菱形不是平行四边形 3．不等式(x＋3)(2－x)＜0的解集是（　　）。 A．｛x|－3＜x＜2｝ B．｛x|x＜－3，或x＞2｝ C．｛x|x＜－2，或x＞3｝ D．｛x|－2＜x＜3｝ 4．函数g(t)＝－的定义域是（　　）。 A．(－∞，4] B．(－1，4] C．(－∞，－1)∪(－1，4] D．(－∞，－1)∪(－1，4) 5．f(x)是R上的奇函数，已知f(2)＝3。那么f(－2)等于（　　）。 A．3 B．－3 C．0 D．6 6．已知集合A＝｛1，3，5，7｝，B＝｛3，5，9｝，则A∪B＝________。 7．已知正实数x，y满足xy＝16，则x＋y的最小值是________。 8．已知－2＜t＜3。用区间表示5t能取到的所有值：________。 9．幂函数y＝在区间(0，＋∞)上的单调性是________（填“单调递增”或“单调递减”）。 10．设A＝｛x|－3＜x≤2｝，另设B是不等式－x－2＞0的解集。分别求出A∩B与A∪B。 11．设f(x)＝＋6x－4。（1）写出它的图象的对称轴；（2）写出f(x)在[0，4]上所能取到的全部值组成的集合。 12．设函数f(x)＝＋x。（1）说明它是奇函数；（2）任取x₁＜x₂，通过作差证明它是R上的增函数。 　课后作业（二）能力提升 本组10题在基础题的基础上各加一层转化：条件与集合的互译、由解集为空反求参数、奇偶性与单调性联手比较大小、常数1的代换、以及在闭区间上先定单调性再取端点。第1题与第5～7题把结果写在横线上，其余按要求作答。 1．设a，b∈R。“a＞b”是“＞”的________条件（在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选填）。 2．不等式｜－7x＋10｜＞－7x＋10的解集是（　　）。 A．{x|2＜x＜5} B．{x|x＜2或x＞5} C．{x|x≤2或x≥5} D．R 3．设f(x)是偶函数，并且在[0，＋∞)上函数值随自变量的增大而增大。那么以下四项中能够确定成立的是（　　）。 A．f(－3)＜f(2) B．f(－1)＞f(2) C．f(－3)＞f(2) D．f(0)＞f(1) 4．正数a，b的和为1。关于它们，下面哪一个判断是对的（　　）。 A．ab最大能达到 B．＋最小能达到9 C．＋最小能达到1 D．＋最大能达到2 5．已知集合A＝｛x|x＜1，或x＞3｝，B＝｛x|a≤x≤a＋2｝。若A∩B＝∅，则实数a只能取________。 6．若不等式＋mx＋m＋3＞0对一切实数x都成立，则实数m的取值范围是________。 7．若f(x)＝－2ax＋5在[1，＋∞)上是增函数，则实数a满足________。 8．已知函数f(x)＝，其中x＞0。（1）求f(x)能取到的最小值以及相应的x；（2）用单调性的定义证明f(x)在区间(0，上单调递减。 9．已知集合A＝｛－4x＋3≤0｝，B＝｛x|(x－a)(x－a－4)≤0｝。若A中的每一个元素都属于B，求实数a的取值范围。 10．已知函数f(x)＝＋bx＋c，且f(1)＝0，f(3)＝0。（1）求b与c的值；（2）解不等式f(x)＜5。 　课后作业（三）拓展探究 本组6题的难度再上一层：非空条件与包含关系叠加、偶函数配单调性化成绝对值不等式、恒成立取最值、条件与解集互译、以及把利润写成二次函数再求最值。处理它们的共同办法是先把每一句话都翻译成一个不等式，再逐条落到数轴或图象上。 11．已知非空集合A＝｛x|2a＋1≤x≤3a－5｝，B＝｛x|3≤x≤22｝，则能使A⊆B成立的所有实数a组成的集合是（　　）。 A．｛a|6≤a≤9｝ B．｛a|a≤9｝ C．｛a|1≤a≤9｝ D．｛a|6＜a＜9｝ 12．设f(x)为偶函数，定义域是R，在非正半轴上它随自变量的增大而减小。当f(2a＋1)＜f(3)时，a应满足（　　）。 A．(－1，2) B．(－2，1) C．(－1，1) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 13．若对任意x∈[1，3]，不等式－k≤0恒成立，则实数k的最小值是________。 14．已知p：－6x－7≤0，q：－2x＋1－≤0（m＞0），记p、q的解集分别为A、B。若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围。 15．某商品每件的成本是30元。市场调查表明：当售价定为x元（x＞30）时，每天的销售量是(160－2x)件。（1）把每天的利润W（单位：元）表示成售价x的函数，并指出x能取哪些值；（2）求出使W达到最大的售价x，以及相应的W的值。 16．设f(x)＝－2ax＋2。（1）讨论关于x的方程f(x)＝0的实数根的个数（按a分类讨论）；（2）当x在[1，5]中任意取值时，f(x)≥3－2a总成立，求实数a的取值范围。 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $