专题04 函数的概念及其表示（期中复习讲义）高一数学上学期人教A版

专题04 函数的概念及其表示（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 4.1 函数定义（对应关系f）的理解 能判断给定对应关系是否为函数，理解f(x)的含义。 概念题，是理解整个函数章节的基础。 4.2 求具体函数的定义域 能根据解析式中分式、偶次根式、对数式等要求，列出不等式组求定义域。 高频基础题，必须掌握。 4.3 求抽象函数的定义域 能理解定义域始终是自变量x的范围，并能据此求解复合函数的定义域。 高频易错点，对概念理解要求深。 4.4 函数的解析式求法（待定系数法、换元法、配凑法、解方程组法） 能根据已知条件，选择适当方法求出函数解析式。 中档题，换元法和配凑法是难点。 4.5 值域 直接观察/图象法、配方法、换元法基本不等式法。 能掌握求简单函数值域的基本方法，理解值域是由定义域和对应关系共同决定的。 承上启下的重要考点。易错点是求值域时忽略函数的定义域限制。此为后续专题（如指数/对数函数、复合函数值域）打下基础 4.6 分段函数的求值与求参 能根据自变量的值选择正确的解析式进行求值，或根据函数值反求参数。 必考点，易错在代入错误的段。 4.7 分段函数图象的识别与绘制 能识别简单分段函数的图象，并能绘制含两段的分段函数图象。 数形结合思想的直接体现 知识点01 函数的概念 函数的定义 设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的 ，在集合中都 有 和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作 ． 知识点02 函数三要素 （1）一般地，对于函数，则称为函数的 ，称集合 为函数的值域. （2）函数的三要素指： ， ， . （3）两个函数相同指两个函数的三要素全部相同. 知识点03 函数相等 一般地，如果两个函数表达式表示的函数 相同， 也相同（即对自变量的每一个值，两个函数表达式得到的函数值都相等），则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数 知识点04 具体函数的定义域问题 ①：分式函数：定义域是，分母不为0. ②：0次幂类型：定义域是，底数不为0. ③：根式类型：（跨章节） ④：对数函数（跨章节）：真数大于0 知识点05 函数的表示方法 知识点06 3种函数的表示方法 列表法、解析法、图象法是表示函数的3种常用方法. 用列表法表示函数关系,不必通过计算就可以知道自变量取某个值时,相应的函数值是多少; 用解析法表示函数关系,便于用解析式研究函数的性质; 而用图象法表示函数关系,可以从整体上直观而形象地表示出函数的变化情况. 知识点07 分段函数 如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同 ，有不同的 ，则称其为分段函数. 题型一 求函数值及己知函数值求参数 解｜题｜技｜巧 1. 直接代入法：若函数解析式明确，已知自变量具体值（或可通过条件求出），直接将自变量值代入解析式计算 。 2. 反复代入法和等价替换法 【典例1】（24-25高一上·河南开封·期中）已知函数的定义域为，都有，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·浙江·期中）如果且，则的值为（    ） A．1012 B．2024 C．1013 D．2026 【变式2】（多选）定义在上的函数，对于任意的，都有，且，则（    ） A． B． C． D． 题型二 函数定义域 【典例1】（24-25高一上·浙江杭州·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高一上·山东·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·湖北武汉·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·四川泸州·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 题型三 值域问题 【典例1】（23-24高一上·北京·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【典例2】函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·河北石家庄·期中）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·江西南昌·期中）已知函数，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 题型四 判断函数相等 【典例1】（24-25高一上·福建福州·期中）下列各组函数中，是同一个函数的有（    ） ① ② ③ ④ ⑤ A．①②③ B．①④⑤ C．①⑤ D．①③④⑤ 【变式1】（24-25高一上·江苏南京·期中）下列函数与表示同一函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·福建福州·期中）（多选）下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 题型五 函数的图象及其应用 【典例1】（24-25高一上·江苏苏州·期中）如图所示，正方体容器内放了一个圆柱形烧杯，向放在容器底部的烧杯注水（流量一定），注满烧杯后，继续注水，直至注满正方体容器，则正方体容器中水面上升高度与注水时间之间的函数图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·浙江·期中）图（1）是某条公共汽车线路收支差额关于乘客量的图象 由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图（2）（3）所示，这两种建议是（   ） A．（2）：降低成本，票价不变；（3）：成本不变，提高票价. B．（2）：提高成本，票价不变；（3）：成本不变，降低票价. C．（2）：成本不变，提高票价；（3）：提高成本，票价不变. D．（2）：降低成本，提高票价；（3）：降低成本，票价不变. 【变式2】（24-25高一上·浙江杭州·期中）函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   题型六 求函数解析式 【典例1】（24-25高一上·四川眉山·期中）（1）已知是一次函数，且，求的解析式； （2）已知，求函数的解析式； （3）已知函数满足，求函数的解析式. 【变式1】（24-25高一上·安徽芜湖·期中）根据下列条件，求的解析式. (1)是一次函数，且满足； (2). 【变式2】（1）已知，求函数的解析式； （2）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式； （3）已知，求的解析式. 题型七 分段函数 【典例1】（24-25高一上·江苏南京·期中）设函数，则（   ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高一上·广东惠州·期中）已知函数． (1)求，，的值； (2)若，求的值； (3)作出函数的大致图象，并求时，的值域． 【变式1】已知函数的值域为，那么a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·广东东莞·期中）已知函数 (1)求； (2)画出函数的图像； (3)若，求的取值范围． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（24-25高一上·山西·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·天津·期中）下列各组函数是同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．（24-25高一上·福建福州·期中）若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 二、多选题 5．（24-25高一上·广东广州·期中）设，则下列结论成立的是（   ） A． B．（） C． D．（） 三、填空题 6．（24-25高一上·安徽·期中）已知，则 . 四、解答题 7．（24-25高一上·河南·期中）（1）已知函数，求函数的定义域； （2）求的值域； （3）已知，求的解析式． 8．（24-25高一上·重庆·阶段练习）已知函数． (1)若，求的值； (2)若，求实数的取值范围． 期中重难突破练（测试时间：30分钟） 一、单选题 9．（24-25高一上·重庆·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·浙江·期中）已知函数，则该函数的值域是（   ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·福建福州·期中）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 12．（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知函数.若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 13．（24-25高一上·江苏淮安·期中）已知函数的值域为，那么的取值可以是（    ）. A． B． C． D． 三、填空题 14．（24-25高一上·宁夏银川·期中）若函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 15．（24-25高一上·内蒙古包头·期中）已知函数在R上单调递增，则实数的取值范围为 ． 16．（24-25高一上·上海·期中）已知函数，且同时满足下列三个条件： ①对任意的，都有成立； ②对任意的，都有成立； ③对于，都有成立， 则 ． 期中综合拓展练（测试时间：10分钟） 一、单选题 17．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 18．（2024·上海·高考真题）已知则 ． 19．（2023·上海·高考真题）已知，则的值域是 ； 20．（2023·北京·高考真题）已知函数，则 ． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 函数的概念及其表示（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 4.1 函数定义（对应关系f）的理解 能判断给定对应关系是否为函数，理解f(x)的含义。 概念题，是理解整个函数章节的基础。 4.2 求具体函数的定义域 能根据解析式中分式、偶次根式、对数式等要求，列出不等式组求定义域。 高频基础题，必须掌握。 4.3 求抽象函数的定义域 能理解定义域始终是自变量x的范围，并能据此求解复合函数的定义域。 高频易错点，对概念理解要求深。 4.4 函数的解析式求法（待定系数法、换元法、配凑法、解方程组法） 能根据已知条件，选择适当方法求出函数解析式。 中档题，换元法和配凑法是难点。 4.5 值域 直接观察/图象法、配方法、换元法基本不等式法。 能掌握求简单函数值域的基本方法，理解值域是由定义域和对应关系共同决定的。 承上启下的重要考点。易错点是求值域时忽略函数的定义域限制。此为后续专题（如指数/对数函数、复合函数值域）打下基础 4.6 分段函数的求值与求参 能根据自变量的值选择正确的解析式进行求值，或根据函数值反求参数。 必考点，易错在代入错误的段。 4.7 分段函数图象的识别与绘制 能识别简单分段函数的图象，并能绘制含两段的分段函数图象。 数形结合思想的直接体现 知识点01 函数的概念 函数的定义 设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的 任意一个数 ，在集合中都有 唯一确定的数 和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作 ． 知识点02 函数三要素 （1）一般地，对于函数，则称为函数的 定义域 ，称集合 为函数的值域. （2）函数的三要素指： 定义域 ， 对应法则 ， 值域 . （3）两个函数相同指两个函数的三要素全部相同. 知识点03 函数相等 一般地，如果两个函数表达式表示的函数 定义域 相同， 对应关系 也相同（即对自变量的每一个值，两个函数表达式得到的函数值都相等），则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数 知识点04 具体函数的定义域问题 ①：分式函数：定义域是，分母不为0. ②：0次幂类型：定义域是，底数不为0. ③：根式类型：（跨章节） ④：对数函数（跨章节）：真数大于0 知识点05 函数的表示方法 解析式；列出表格 知识点06 3种函数的表示方法 列表法、解析法、图象法是表示函数的3种常用方法. 用列表法表示函数关系,不必通过计算就可以知道自变量取某个值时,相应的函数值是多少; 用解析法表示函数关系,便于用解析式研究函数的性质; 而用图象法表示函数关系,可以从整体上直观而形象地表示出函数的变化情况. 知识点07 分段函数 如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同 取值区间 ，有不同的 对应方式 ，则称其为分段函数. 题型一 求函数值及己知函数值求参数 解｜题｜技｜巧 1. 直接代入法：若函数解析式明确，已知自变量具体值（或可通过条件求出），直接将自变量值代入解析式计算 。 2. 反复代入法和等价替换法 【典例1】（24-25高一上·河南开封·期中）已知函数的定义域为，都有，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】采用“赋值法”探索函数的性质.令，则，根据递推关系，可以求解. 【详解】当时，，所以； 令，得，所以； ，，……，. 故选：B 【点睛】方法点睛：根据函数方程，采用“赋值法”，探索函数值之间的递推关系，再求出，根据递推关系可最终求解. 【变式1】（24-25高一上·浙江·期中）如果且，则的值为（    ） A．1012 B．2024 C．1013 D．2026 【答案】D 【分析】根据已知等式化简得出定值再计算求解即可. 【详解】因为，所以， 又因为，所以， 则. 故选：D. 【变式2】（多选）定义在上的函数，对于任意的，都有，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用赋值法逐项求解判断即可. 【详解】令，得，因为， 所以，即，故A正确； 令，得，即， 所以，所以，故B错误； ，， 所以，故C错误； ，， ，， 所以，故D正确. 故选：AD 题型二 函数定义域 【典例1】（24-25高一上·浙江杭州·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出使解析式有意义的的范围即可. 【详解】为使有意义，只需，解得且， 即函数的定义域为. 故选：D 【典例2】（23-24高一上·山东·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数定义域的概念及复合函数定义域的求解方法运算求解即可. 【详解】∵函数的定义域为， ∴要使函数有意义， 则有，解得， ∴，即函数的定义域为. 故选：D. 【变式1】（24-25高一上·湖北武汉·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数的定义域，对于函数，可得出关于的不等式，即可解得函数的定义域. 【详解】对于函数，有，可得， 故函数的定义域为， 对于函数，有，解得， 故函数的定义域为. 故选：B. 【变式2】（24-25高一上·四川泸州·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由的范围，得到，求解即可. 【详解】因为的定义域为， 所以在中，有，则， 则在中，有，解得， 故的定义域为． 故选：C 题型三 值域问题 【典例1】（23-24高一上·北京·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数的性质即可求出函数的值域. 【详解】因为， 所以， 故函数的值域为， 故选： 【典例2】函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，，可得，利用函数单调性求值域. 【详解】令，，则， 所以函数，函数在上单调递增， 时，有最小值， 所以函数的值域为. 故选：C 【变式1】（24-25高一上·河北石家庄·期中）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分离常数可得函数单调性，进而可得值域. 【详解】由已知函数定义域为， 且， 则， 即， 故选：C. 【变式2】（24-25高一上·江西南昌·期中）已知函数，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法及二次函数的性质计算可得. 【详解】令，则，， 则， 令，， 则，所以函数的值域为. 故选：B 题型四 判断函数相等 【典例1】（24-25高一上·福建福州·期中）下列各组函数中，是同一个函数的有（    ） ① ② ③ ④ ⑤ A．①②③ B．①④⑤ C．①⑤ D．①③④⑤ 【答案】C 【分析】由函数解析式可得函数的定义域，整理函数解析式判断是否相同，逐项检验，可得答案. 【详解】对于①，易知函数定义域都是，令，则，故①正确； 对于②③，易知函数的定义域为，函数的定义域为，故②③错误； 对于④，由，故④错误； 对于⑤，易知函数定义域都是，由，故⑤正确. 故选：C. 【变式1】（24-25高一上·江苏南京·期中）下列函数与表示同一函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数三要素对选项逐一进行判断即可得出结论. 【详解】易知函数的定义域为，值域为, 对于A，函数的定义域为，不合题意； 对于B，函数的定义域为，值域为,符合题意， 对于C，函数的定义域为，不合题意； 对于D，函数，对应法则不同，不合题意. 故选：B 【变式2】（24-25高一上·福建福州·期中）（多选）下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】BC 【分析】利用同一函数的定义，逐项判断即可. 【详解】对于A，函数中，，解得或，即的定义域为， 函数中，，解得，的定义域为，A不是； 对于B，，且与的定义域都为，B是； 对于C，当时，；当时，；又当时，， 因此，函数与的定义域相同，对应法则相同，C是； 对于D，函数的定义域为，函数的定义域为，D不是. 故选：BC 题型五 函数的图象及其应用 【典例1】（24-25高一上·江苏苏州·期中）如图所示，正方体容器内放了一个圆柱形烧杯，向放在容器底部的烧杯注水（流量一定），注满烧杯后，继续注水，直至注满正方体容器，则正方体容器中水面上升高度与注水时间之间的函数图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析水槽内水面上升的高度的速度，可得问题答案. 【详解】开始注水时，水注入烧杯中，水槽内无水，高度不变； 烧杯内注满水后，继续注水，水槽内水面开始上升，且上升速度较快； 当水槽内水面和烧杯水面持平以后，继续注水，水槽内水面继续上升，且上升速度减慢. 故选：D 【变式1】（24-25高一上·浙江·期中）图（1）是某条公共汽车线路收支差额关于乘客量的图象 由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图（2）（3）所示，这两种建议是（   ） A．（2）：降低成本，票价不变；（3）：成本不变，提高票价. B．（2）：提高成本，票价不变；（3）：成本不变，降低票价. C．（2）：成本不变，提高票价；（3）：提高成本，票价不变. D．（2）：降低成本，提高票价；（3）：降低成本，票价不变. 【答案】A 【分析】当乘客量为0时，看成本变化，直线的倾斜程度看票价变化. 【详解】解：（2）直线向上平移，当乘客量为0时，差额绝对值变小，又收入为0，说明降低成本，两直线平行，说明票价不变； （3）：当乘客量为0时，差额未变，又收入为0，说明成本没变，直线的倾斜角变大，说明相同的乘客量时收入变大，即票价提高了. 故选：A 【变式2】（24-25高一上·浙江杭州·期中）函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据奇偶性可排除B和C；根据时，可排除A. 【详解】函数的定义域为，， 所以函数为奇函数，故排除B和C； 当时，，故排除A. 故选：D. 题型六 求函数解析式 【典例1】（24-25高一上·四川眉山·期中）（1）已知是一次函数，且，求的解析式； （2）已知，求函数的解析式； （3）已知函数满足，求函数的解析式. 【答案】（1）或；（2）；（3），. 【分析】（1）利用待定系数法求解析式，设，结合题意即可求解； （2）设，利用换元法求解析式即可； （3）由题意得，利用方程组法可得，再利用换元法求解析式即可. 【详解】（1）因为为一次函数，可设. 所以. 所以，解得或. 所以或. （2）设，则，，即， 所以， 所以． （3）由①， 用代替，得②， 得：， 即，. 令，则，. 则：，. 所以，. 【变式1】（24-25高一上·安徽芜湖·期中）根据下列条件，求的解析式. (1)是一次函数，且满足； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，利用待定系数法确定函数解析式； （2）将原式中的x与互换，建立方程组，求解即可. 【详解】（1）由题意，设 因为， 所以， 即， 由恒等式性质，得， 解得， 则所求函数解析式为. （2）因为，将原式中的x与互换，得， 于是得关于的方程组：， 解得. 【变式2】（1）已知，求函数的解析式； （2）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式； （3）已知，求的解析式. 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）利用换元法求解即可，注意定义域的变化； （2）利用待定系数法求解即可； （3）利用方程组法求解即可. 【详解】（1）设，则，，即， 所以，所以． （2）因为是二次函数，所以设.由，得． 由，得， 整理得， 所以，所以，所以． （3）用替换中的x，得， 由，解得. 题型七 分段函数 【典例1】（24-25高一上·江苏南京·期中）设函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合分段函数解析式求值即可. 【详解】因为， 所以， 故选：B. 【典例2】（24-25高一上·广东惠州·期中）已知函数． (1)求，，的值； (2)若，求的值； (3)作出函数的大致图象，并求时，的值域． 【答案】(1)，， (2)或1或 (3)图象见解析， 【分析】（1）根据分段函数解析式计算可得； （2）根据分段函数解析式，分类讨论，分别计算可得； （3）根据函数解析式，可作出函数图象，根据函数解析式易求时，的值域. 【详解】（1）因为， 所以，， . （2）当时，，∴； 当时，，∴； 当时，，∴或（舍）. 综上所述，m的值为或1或. （3）函数的图象，如图所示： 当，， 当，， 综上所述：结合图象可得的值域为. 【变式1】已知函数的值域为，那么a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据解析式得出在上有，由题意可得，然后求解即可. 【详解】当时，单调递增，所以在上有， 所以要使函数的值域为， 则需，解得.     故选：C 【变式2】（24-25高一上·广东东莞·期中）已知函数 (1)求； (2)画出函数的图像； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）代入计算，即可得到结果； （2）由分段函数的解析式，分别画出每一段的函数图像，即可得到结果； （3）根据题意，分，以及讨论，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1），. （2）函数的图像为： （3）当时，由可得，解得，所以； 当时，由可得，解得，所以； 当时，由可得，解得，所以； 综上所述，实数的取值范围为. 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（24-25高一上·山西·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分母不为及偶次方根的被开方数非负得到不等式组，解得即可. 【详解】对于函数，令，解得， 所以函数的定义域为. 故选：A 2．（24-25高一上·天津·期中）下列各组函数是同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】函数相等的充要条件是对应法则、定义域相同，由此逐一判断各个选项即可得解. 【详解】对于A，与的定义域分别为，故A错误； 对于B，与的定义域分别为，故B错误； 对于C，与的定义域都是，且，故C正确； 对于D，与的定义域分别为，故D错误. 故选：C. 3．（24-25高一上·福建福州·期中）若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用待定系数法，由题意建立方程组，可得答案. 【详解】设（），由，则， 由，则， 整理可得，则，解得， 所以. 故选：B. 4．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】根据分段函数的定义代入即可求解. 【详解】. 故选：D. 二、多选题 5．（24-25高一上·广东广州·期中）设，则下列结论成立的是（   ） A． B．（） C． D．（） 【答案】AB 【分析】代入计算出，，判断出ABD；而，C错误. 【详解】A选项，，A正确； BD选项，（），B正确，D错误； C选项，，显然，C错误 故选：AB 三、填空题 6．（24-25高一上·安徽·期中）已知，则 . 【答案】 【分析】利用换元法，令，代入运算整理即可. 【详解】令，则， 可得，所以. 故答案为：. 四、解答题 7．（24-25高一上·河南·期中）（1）已知函数，求函数的定义域； （2）求的值域； （3）已知，求的解析式． 【答案】（1） ；（2）；（3） ． 【分析】（1）求出函数的定义域，再结合抽象函数定义域求出的定义域. （2）配方，借助二次函数性质求出值域. （3）利用换元法求出解析式. 【详解】（1）函数中，，解得， 函数的定义域为，则， 函数中，，解得， 所以函数的定义域. （2），当且仅当时取等号， 所以的值域是. （3）令，则， 由，得， 所以的解析式是. 8．（24-25高一上·重庆·阶段练习）已知函数． (1)若，求的值； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）由，结合函数解析式解方程即可； （2）可得或，解之即可求解. 【详解】（1）由可得： （i）（舍去）； （ii）. 综上，或； （2）由可得： （i）； （ii）. 综上可得． 期中重难突破练（测试时间：30分钟） 一、单选题 9．（24-25高一上·重庆·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据定义域满足的不等式关系，即可列不等式组求解. 【详解】由于函数的定义域为，所以的定义域需要满足： ，解得或， 故定义域为： 故选：D 10．（24-25高一上·浙江·期中）已知函数，则该函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出函数的定义域，令，将两边平方，求出取值范围，再由，即可求出的取值范围. 【详解】令，则，解得， 所以函数的定义域为， 则，因为，所以， 所以，则，所以， 显然，所以，即该函数的值域为. 故选：D 11．（24-25高一上·福建福州·期中）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对函数分离常数，借助基本不等式，分三种情况讨论即可. 【详解】结合题意：， 当时，； 当时，， 当且仅当，即，原式取得最小值； 另一方面，因为，，所以，即； 当时，， 当且仅当，即，原式取得最大值； 另一方面因为，令，则，所以， 所以，所以，即； 综上所述：函数的值域是. 故选：A. 12．（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知函数.若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先讨论、分别求得、，再讨论并结合解析式，列不等式求参数m的范围. 【详解】当时，由， 若时，，即，故； 若时，，即，故； 此时； 当时，由， 所以或，即或（舍）， 若时，，即，显然无解； 若时，，即，故； 此时； 综上，实数的取值范围是. 故选：A 二、多选题 13．（24-25高一上·江苏淮安·期中）已知函数的值域为，那么的取值可以是（    ）. A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】求出函数在的值域，可知函数在上的值域包含，可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数， 当时，，即函数在的值域为， 由于函数的值域为， 则函数在上的值域包含， 所以，，解得， 故选：AB. 三、填空题 14．（24-25高一上·宁夏银川·期中）若函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据分式不等式及偶次根式有意义，再结合函数定义域即可转化 为不等式恒成立问题，利用一元二次不等式的性质即可求解. 【详解】由题意可知，函数的定义域为， 所以不等式在上恒成立. 当时， 在上恒成立， 当时，则满足，解得， 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 15．（24-25高一上·内蒙古包头·期中）已知函数在R上单调递增，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由分段函数单调性得出对应的不等关系，解不等式即可求得结果. 【详解】根据题意可知函数在上单调递增， 即，解得； 且在上单调递增，可得； 且需满足，解得； 综上可得实数的取值范围为. 故答案为： 16．（24-25高一上·上海·期中）已知函数，且同时满足下列三个条件： ①对任意的，都有成立； ②对任意的，都有成立； ③对于，都有成立， 则 ． 【答案】/0.9375 【分析】由①得，再得出，从而求得，进而有时，，然后再计算． 【详解】由①得，∴， 因此由②得， 又，而， 所以，所以， 所以，又，所以，从而， 由③得时，， 所以， 而，所以， 所以， 故答案为：． 【点睛】方法点睛：通过对已知条件中变量赋值得出函数值，如，为了求，需要结合两个条件得出，再结合可求得，利用单调性可得出函数的一部分表达式：时，，然后利用已知条件化所求值式子中的自变量值到此范围后即可得．实际上可用反证法证明，从而很快求得， 期中综合拓展练（测试时间：10分钟） 一、单选题 17．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】代入得到，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断. 【详解】因为当时，所以， 又因为， 则， ， ， ， ，则依次下去可知，则B正确； 且无证据表明ACD一定正确. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用，再利用题目所给的函数性质，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可. 二、填空题 18．（2024·上海·高考真题）已知则 ． 【答案】 【分析】利用分段函数的形式可求. 【详解】因为故， 故答案为：. 19．（2023·上海·高考真题）已知，则的值域是 ； 【答案】 【分析】分段讨论的范围即可. 【详解】当 时, 根据指数函数的图象与性质知， 当 时, . 综上: 的值域为 . 故答案为：. 20．（2023·北京·高考真题）已知函数，则 ． 【答案】1 【分析】根据给定条件，把代入，利用指数、对数运算计算作答. 【详解】函数，所以. 故答案为：1 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $