专题04 勾股定理与赵爽弦图问题八大题型专项训练（题型专练）数学新教材苏科版八年级上册

**基本信息** 以赵爽弦图为核心，通过八大题型系统构建勾股定理应用的方法体系，从基础计算到综合应用，逻辑递进，突出模型识别与推理意识培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |八大题型|8典例+24变式|含核心模型、必备公式、解题关键及易错警示，如面积法证明、整体代换、方程思想等|从原型计算到变形构图，再到综合应用，形成“概念-证明-应用-拓展”逻辑链，培养几何直观与模型意识|

专题04 勾股定理与赵爽弦图问题八大题型专项训练 （题型突破·举一反三） 题型01 赵爽弦图原型（内弦图）基础计算 题型02 弦图面积法证明勾股定理 题型03 弦图与完全平方公式整体代换 题型04 八直角三角形双弦图 题型05 弦图变形 —— 数学风车 题型06 弦图衍生新构图 题型07 弦图背景下的方程思想 题型08 弦图的综合题 ▌题型01 赵爽弦图原型（内弦图）基础计算 【典例1】【答案】C． 【变式1-1】【答案】C 【变式1-2】【答案】 【变式1-3】【答案】 ▌题型02 弦图面积法证明勾股定理 【典例2-1】【答案】C 【典例2-2】 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）分别用梯形的面积公式，三个三角形面积相加得梯形面积，构造等量关系即可求解； （2）根据勾股定理构造等量关系即可求得的长度，即可求解面积． 【详解】（1）解：， 且， ， ． （2）解：由题意设， ， ． ， ． 在中， 在中， ， 解得， ， ． ． 【变式1-1】【答案】8 【变式1-2】 【答案】(1)证明：∵四个直角三角形直角边长分别为、，斜边长为， ∴大正方形的面积可表示为，也可表示为， ∴，即， ∴． (2) 【分析】（1）根据图形面积的不同求法即可得到结论； （2）分别用、表示出正方形和正方形，根据两正方形的面积，利用完全平方公式求解即可． 【详解】（1）证明：略 （2）解：∵直角三角形的两条直角边分别为，， ∴，， ∵正方形的面积为，中间空白处的正方形的面积为， ∴，， ∴， ∴． 【变式1-3】 【答案】（1）见详解；（2）见详解. 【分析】（1）根据题意，我们可在图中找等量关系，由中间的小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式； （2）连接EC，CD，由面积的和差可求解． 【详解】解：（1）∵大正方形面积为c2，直角三角形面积为ab，小正方形面积为（b﹣a）2， ∴c2＝4ab+（a﹣b）2＝2ab+a2﹣2ab+b2， 即c2＝a2+b2； （2）连接EC，CD， ∵Rt△ABC≌Rt△DAE， ∴∠ACB＝∠AED，∠ABC＝∠BAD＝90°， ∴∠BAC+∠ACB＝90°＝∠BAC+∠AED， ∴∠AFE＝90°， ∴AC⊥DE， ∵四边形ABCD的面积（BC+AD）×AB， 四边形AECD的面积＝S△AEC+S△ACDAC×DEb2， ∴△BEC的面积＝四边形ABCD的面积﹣四边形AECD的面积b2aca2， ∴c2+a2＝b2． 【点睛】本题考查勾股定理，掌握三角形和正方形面积计算公式是解决问题的关键． ▌题型03 弦图与完全平方公式整体代换 【典例3】【答案】B 【变式1-1】【答案】B 【变式1-2】【答案】D 【变式1-3】 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据小正方形边长得到，结合联立求出、的值，再利用勾股定理计算斜边； （2）由小正方形面积得，展开得到式子①，将展开得到式子②，两式相减求出，最后根据直角三角形面积公式计算面积。 【详解】（1）解：因为已知小正方形的边长为， 所以小正方形的边长为， 因为， 得， 因为， 所以， 所以． （2）解：因为小正方形的面积为， 所以，即①， 因为，即②， ，得， 所以． 所以直角三角形的面积为：． ▌题型04 八直角三角形双弦图 【典例4】【答案】C 【变式1-1】【答案】13 【变式1-2】 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据图形得出方形的边长为，正方形的边长为，再根据正方形面积公式，即可求解； （2）由图可得，，，则，将代入，即可求解． 【详解】（1）解：由图可知：正方形的边长为，正方形的边长为， ∴正方形的面积是，正方形的面积是， 故答案为：，； （2）解：由图可知： ， ， ， ∵， ∴， 整理得：， ∵， ∴， 解得：． 【点睛】本题主要考查了“赵爽弦图”和完全平方公式，解题的关键是仔细观察图形，根据图形得出数量关系． 【变式1-3】 【答案】(1) 证明：由图①可知， ∵， ∴， 即． (2)“勾股风车”图案的面积为 (3) 【分析】（1）根据图形可知，由此即可求解； （2）已知图形的周长，可求出直角三角形的斜边长，已知，则可求出直角三角形的两条直角边，由此即可求出“勾股风车”图案的面积； （3）八个全等的直角三角形，且图形的面积是由三角形和正方形组成，，设直角三角形的两条直角边分别为，，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：四个全等的直角三角形，外围轮廓（粗线）的周长为24，，设， ∴，即， ∴， 在中，，，， ∴，解方程得，，即， ∴，， ∴， ∴“勾股风车”图案的面积是． （3）解：设，， ∴，，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查勾股定理，理解直角三角形三边关系是解题的关键． ▌题型05 弦图变形 —— 数学风车 【典例5】【答案】D 【变式1-1】 【答案】5 【变式1-2】 【答案】(1) 证明：， ， ； (2) 【分析】此题考查了勾股定理的几何背景和勾股定理的应用，熟练掌握利用图形面积相等证明勾股定理是解题的关键． （1）利用大正方形的面积的不同表示方法进行证明即可； （2）先由“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求得，设，则，再由勾股定理得，可得关于x的方程，解方程再进一步求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108， ， 设，则， 在中，， ． 将，代入，可得， 解得， 小正方形的边长，， 风车图案的面积为． 【变式1-3】 【答案】(1)；； (2) 证明：由题意，图中的四边形为直角梯形，为等腰直角三角形，和的形状和大小完全一样， 设梯形的面积为，则， 又， ， (3)76 【分析】本题考查了勾股定理，完全平方公式与几何图形． （1）根据完全平方公式化简，用大正方形边长求出大正方形的面积，根据面积相等列等式即可； （2）依据题意，四边形的面积从大的一方面来说属于直角梯形，可利用直角梯形的面积公式进行表示；从组成来看，由三个直角三角形组成．利用三角形的面积公式来进行表示即可； （3）根据外延的4部分全等，且，由勾股定理求得，再根据风车的外围周长，据此计算即可． 【详解】（1）因为大正方形的面积可以看成4个直角三角形与1个边长为的小正方形的面积的和，即面积表示为： ，也可直接表示为大正方形边长的平方，即，所以，勾股定理得到了验证； 故答案为：；；； （2）略 （3）如图2，由题意知，外延的4部分全等，且， ∴， ∴， ∴这个风车的外围周长是． ▌题型06 弦图衍生新构图 【典例6】【答案】B 【变式1-1】【答案】28． 【变式1-2】【答案】 【变式1-3】【答案】A． ▌题型07 弦图背景下的方程思想 【典例7】【答案】B 【变式1-1】【答案】10． 【变式1-2】【答案】 【变式1-3】 【答案】(1)证明：∵大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为， ∴， ∴， ∴． (2) (3) 【分析】（1）根据大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为，联立等式即可求解； （2）根据空白部分的面积=边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积，即可求解； （3）根据风车状图案的周长求出的长，在直角三角形中，利用勾股定理求出的长，进而确定出的长，求出三角形面积，即可确定出所求． 【详解】（1）略 （2）解：空白部分的面积边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积， ∵，， ∴空白部分的面积； （3）解：根据题意得：，，即， 在中，根据勾股定理得：，即， 解得：， ∴， ∴， ∴该风车状图案的面积． ▌题型08 弦图的综合题 【典例8】 【答案】(1)，， (2)① (3) (4) 证明：图3中梯形的面积可表示为，也可表示为， 因此可得 ∴． 【分析】（1）利用三角形与正方形面积公式表示出大正方形的面积，再建立等式化简，即可解题；（2）类比（1）中解题方法，分别用不同的方式表示大正方形的面积，建立等式化简，即可解题； （3）由得到，再因式分解所给的代数式，即可判断； （4）类比（1）中解题方法，分别用不同的方式表示梯形的面积，建立等式化简，即可解题． 【详解】（1）解：正方形的面积可表示为，也可表示为， 因此， 化简可得， 故答案为：，，； （2）图①中大正方形的面积可表示为，也可表示为， 因此可得， 整理得， 故在图①、②、③中，图①可证明勾股定理， 故答案为：①； （3） ， ， ，， ； （4）略 【变式1-1】 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理和圆的面积公式是解题的关键， （1）根据勾股定理和圆的面积公式计算即可得到答案； （2）设，，则，由题可得，再由勾股定理可得，从而求出，进而求得飞镖的面积； （3）设直角三角形的长直角边为，短直角边为，斜边为，由勾股定理得， 再根据题意，代入可求得，从而得到答案． 【详解】（1）解：由题可得：，，， ∴， 故答案为：； （2）解：设，，由题可得：， ∴，， ∴， ∴， 解：， ∴飞镖状图案的面积为， （3）解：设直角三角形的长直角边为，短直角边为，斜边为，则：， 由题意得：，，， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1-2】 【答案】(1)； (2)新路比原路少千米 (3)设，则， 在中，， 在中，， ，即， 解得， ． 【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设，则，根据勾股定理列方程，求解即可得到结果； （3）在和中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到结果． 【详解】（1）解：梯形的面积为，也可以表示为， ，即； （2）解：设， ， 在中，，即， 解得， 即（千米）， （千米）， 答：新路比原路少千米； （3）解：略. 【变式1-3】 【答案】（1）；（2）；（3）的面积为；（4）当时， 的面积为定值． 【分析】本题考查了勾股定理的证明，三角形的面积，首先要正确理解题意，然后会利用勾股定理和面积公式的面积解题． （1）分别用两种方法表示出大正方形的面积即可得出结论； （2）分别用两种方法表示出大正方形的面积即可得出结论； （3）根据图形结合完全平方公式和（2）的结论计算即可求解； （4）由（2）的结论推出，即，再根据长方形的面积为定值列出关于x、y的式子求解即可． 【详解】解：（1）大正方形的面积为：或， 则这个等式是； （2）大正方形可看作边长为的正方形，也可看作4个全等的直角三角形和一个小正方形的面积和，且小正方形边长为． ，同时也有 所以， 整理得； （3）∵在中，，， ∴，， ∴， ∴， ∴的面积； （4）∵，，周长为n， ∴， 在中，， ∴， ∴ ， ∵长方形的面积为定值， ∴与x、y无关， ∴， ∴， ∴当时， 的面积为定值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 勾股定理与赵爽弦图问题八大题型专项训练 （题型突破·举一反三） 题型01 赵爽弦图原型（内弦图）基础计算 题型02 弦图面积法证明勾股定理 题型03 弦图与完全平方公式整体代换 题型04 八直角三角形双弦图 题型05 弦图变形 —— 数学风车 题型06 弦图衍生新构图 题型07 弦图背景下的方程思想 题型08 弦图的综合题 ▌题型01 赵爽弦图原型（内弦图）基础计算 核心模型：标准内弦图，4 个全等的直角三角形向内拼接，围成外围大正方形，中间是小正方形。设直角三角形两直角边（），斜边。 必备公式 1. 勾股定理： 2. 大正方形面积： 3. 小正方形边长：；小正方形面积： 4. 面积等量关系： 解题关键 5. 分清大、小正方形分别对应斜边、直角边之差； 6. 已知面积可以开方得到对应边长。 易错警示：小正方形边长是，不是。 【典例1】“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，大正方形的面积是169，则小正方形的面积是（　　） A．25 B．36 C．49 D．64 【变式1-1】如图，正方形由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形组成，连接．若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】“四千年来，数学的道理还是相通的”．运用祖冲之的出入相补原理也可证明勾股定理．若图中空白部分的面积是，整个图形（连同空白部分）的面积是，则大正方形的边长是_______． 【变式1-3】如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接图2中四条线段得到如图3的新图案，如果图1中的直角三角形的长直角边为，斜边为，图3中阴影部分的面积为，那么的值为_______． ▌题型02 弦图面积法证明勾股定理 核心模型：利用拼图 “整体面积 = 各部分面积之和” 的等面积法推导勾股定理。 必备公式 1. 大正方形面积 = 4 个全等直角三角形面积 + 中间小正方形面积 2. 直角三角形面积： 解题关键 3. 找准整体图形与分割后的各个部分图形； 4. 分别用两种方式表达同一个图形的面积； 5. 等式展开化简，推导出； 6. 识图判断题图是否可以证明勾股定理。 易错警示：证明题步骤要完整，不能直接使用勾股定理本身去证明勾股定理。 【典例2-1】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，观察“赵爽弦图”（如图），若图中四个全等的直角三角形的两直角边分别为a，b，a＜b，斜边是c，证明勾股定理的过程中用到的等式是（　　） A．a（b﹣a）＝ab﹣a2 B．（a+b）（b﹣a）＝b2﹣a2 C．（b﹣a）2+4ab＝c2 D．（a+b）2＝a2+2ab+b2 【典例2-2】赵爽弦图是中国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时提出的勾股定理证明方法，记载于三国时期．图①是一个赵爽弦图，四个直角三角形较短的直角边长都为，较长的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，则． (1)【探索求证】 数学兴趣小组的学生用三块直角三角形硬纸板拼出图②，其中，请你利用图②推导勾股定理． (2)【问题解决】 同学们经过进一步研究，发现通过勾股定理，可以计算任意已知三条边长的三角形的面积．如图③，已知中，，作，就可以计算出的面积．请你完善解答过程，求出的面积． 【变式1-1】青朱出入图（图）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等．朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述．将其绘成图，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，正方形和正方形的面积之和为，则图中的阴影部分面积为_______． 【变式1-2】[阅读理解]勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠．迄今为止，全世界发现勾股定理的证明方法约有种．如：美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”（如图1），利用三个直角三角形拼成一个直角梯形，于是直角梯形的面积可以表示为或者是，因此得到，运用乘法公式展开整理得到． [尝试探究] (1)其实我国古人早就运用各种方法证明勾股定理，如图，用个全等的直角三角形拼成正方形，中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为、，斜边长为，请你根据古人的拼图证明勾股定理． [实践应用] (2)如图，用个全等直角三角形拼成如图的正方形（相邻纸片之间不重叠，无缝隙）．若正方形的面积为，中间空白处的正方形的面积为，直角三角形的两条直角边分别为，，求的值． 【变式1-3】综合与实践． 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明颇感兴趣，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者． （1）我国汉代数学家赵爽创制了一幅如图1所示的用4个全等的直角三角形拼成的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝b，BC＝a，AB＝c，请你利用这个图形说明a2+b2＝c2． （2）业余数学爱好者向常春在1994年构造发现了一个新的证法：把两个全等的Rt△ABC和Rt△DAE按如图2所示的方式放置，∠DAB＝∠B＝90°，AB＝AD＝c，BC＝AE＝a，AC＝DE＝b．请你利用这个图形说明c2+a2＝b2．（提示：连接EC，CD） ▌题型03 弦图与完全平方公式整体代换 核心模型：不求出的具体数值，结合勾股定理与完全平方公式做整体求值，中考填空高频。 必备公式 推导： ； 解题关键 1. 看到、、优先整体代换； 2. 已知斜边，结合其中一个完全平方，求三角形面积、小正方形面积。 易错警示：不必强行解出各自的值，很多题目只能求出整体代数式的值。 【典例3】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是勾股定理的经典证法之一．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，其中，，则每个直角三角形的面积为（     ） A．24 B．30 C．36 D．49 【变式1-1】“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（     ） A．12 B．13 C．14 D．21 【变式1-2】我国汉代数学家赵爽利用一幅“弦图”，证明了勾股定理，后人称该图为“赵爽弦图”．如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形面积为49，小正方形面积为4，用，表示直角三角形的两直角边（），下列三个推断：①；②；③．其中所有正确推断的序号是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【变式1-3】手工课上，同学们以“赵爽弦图”为原型制作传统风格装饰画．边长为的大正方形画框由四个全等的直角三角形彩纸和中间的小正方形拼接而成，结构如图所示．设直角三角形的两条直角边长分别为，（），斜边长为． (1)若小正方形的边长为，，求大正方形的边长c； (2)若小正方形的面积为，且，求一个直角三角形的面积． ▌题型04 八直角三角形双弦图 核心模型：八个全等直角三角形拼接，出现三个正方形，面积记；直角边。 必备公式 1. ，， 2. 重要二级结论： 解题关键 3. 把三个正方形面积用代数式表示； 4. 利用快速计算，不用单独求。 易错警示：记清哪个面积对应、哪个对应，不要把与搞反。 【典例4】我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由八个全等的直角三角形拼接而成的，记正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若正方形的边长为，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【变式1-1】我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，则的值是______； 【变式1-2】我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后世也称“赵爽弦图”（如左图所示），实际上，赵爽弦图与完全平方公式有着密切的联系．如图是由8个全等的直角三角形拼成，其中直角边分别为a，b，请回答以下问题： (1)如右图，正方形的面积是_______，正方形的面积是_______；（用含a，b的式子表示）； (2)记正方形的面积、正方形、正方形的面积分别为，若，的面积为3，求的值． 【变式1-3】（24-25八年级上·江苏·期中）我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1的“弦图”（史称“赵爽弦图”） ． (1)弦图中包含了一大一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为，较短的直角边为，斜边长为，结合图1，试验证勾股定理； (2)如图2，将四个全等的直角三角形紧密地拼接，形成“勾股风车”，已知外围轮廓（粗线）的周长为24，，求该“勾股风车”图案的面积； (3)如图3，将八个全等的直角三角形（外围四个和内部四个）紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，若，则 ． ▌题型05 弦图变形 —— 数学风车 核心模型：赵爽弦图基础上，将直角三角形一条直角边向外延长，得到风车造型。 必备公式 1. 勾股定理： 2. 风车外围每条 “翼” 的斜边用勾股重新计算；周长 = 4 条翼外侧线段之和。 解题关键 3. 找出延长之后新直角三角形的两条直角边长； 4. 分别求出风车外轮廓每一条斜线段，再求周长。 易错警示：注意是 “延长某一条直角边”，不要直接沿用原弦图斜边。 【典例5】中国数学会会徽以赵爽弦图为核心设计．如图，这是小文根据“赵爽弦图”设计的“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较短的直角边分别向外延长一倍得到的．若，，，则该“数学风车”的周长为（） A．40 B．42 C．48 D．56 【变式1-1】 在“赵爽弦图”中，，将四个全等直角三角形中的较长直角边向外延长一倍（即），得到如图所示的“数学风车”，这个风车的外围周长（虚线部分）为76，则的长为________ 【变式1-2】勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，据不完全统计，勾股定理的证明方法有400多种． (1)请用图1证明勾股定理； (2)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图2所示的“数学风车”．若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积． 【变式1-3】综合与实践 我国古代数学家赵爽创造了“赵爽弦图”，他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数恒等式，严密又直观，为中国古代“形数统一”、代数和几何紧密结合的独特风格树立了一个典范．如图1，“赵爽弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形． (1)观察验证 因为大正方形的面积可以看成4个直角三角形与1个边长为的小正方形的面积的和，即面积表示为：________（化简），也可直接表示为大正方形边长的平方，即________，所以________，勾股定理得到了验证； (2)类比探究 善于思考的小亮同学把一个直立的火柴盒放倒（如图2），聪明的他发现用不同的方法计算梯形的面积，也可证明勾股定理，请你就图2情形进行证明； (3)拓展应用 若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图3所示的“数学风车”，请直接写出这个风车的外围周长． ▌题型06 弦图衍生新构图 核心模型：外弦图、帽子图、其他拼接变式，4 个全等直角三角形放在正方形外侧或者其他拼接方式，图形和标准内弦图不一样，但思想一致。 必备公式 1. 仍然使用 ；面积法：整体 = 各部分相加。 解题关键 2. 在变形图中识别出全等直角三角形； 3. 找准正方形边长对应的是哪一个； 4. 割补法求面积。 易错警示：不能直接照搬内弦图小正方形面积公式，要结合图形重新分析边长。 【典例6】赵爽是我国古代著名的数学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形组成），如图（1）类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图（2）所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，则图中阴影部分与空白部分面积之比为（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，我国古代数学家得出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺成的大正方形，若勾为3，弦为5，则图中四边形ABCD的周长为 　 　． 【变式1-2】学习了勾股定理后，小明将如图所示的“赵爽弦图”中的四个全等直角三角形与中间的小正方形恰好拼成如图所示的图形．若图中大正方形的边长为，则图中点与点之间的距离为______． 【变式1-3】代数学家赵爽为了证明勾股定理，构造了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图，大正方形ABCD由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，若∠ADE＝∠AED，AD＝4，则△ADE的面积为（　　） A．24 B．6 C．2 D．2 ▌题型07 弦图背景下的方程思想 核心模型：弦图图形中，部分边长未知，设未知数，利用勾股定理建立方程求解。 必备公式 1. 设未知数，列方程：直角边₁+ 直角边₂= 斜边。 解题关键 2. 根据正方形、全等三角形性质把其余线段用含的代数式表达； 3. 在图中找到可列等式的直角三角形； 4. 解一元二次方程，舍去负根。 易错警示：线段长度不能为负，求出方程解之后要检验是否符合实际图形。 【典例7】如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．在正方形两边、分别取点，，使，与交于点，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，若图中正方形ABCD的边长为14，正方形IJKL的边长为2，且IJ∥AB，则正方形EFGH的边长为 　 　． 【变式1-2】我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边为弦．如图1，数学家刘徽（约公元225年-公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理。如图2所示的长方形，是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若，，则长方形的面积为_____． 【变式1-3】如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理． (1)请用图1推导勾股定理，并写出推导过程． (2)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若，，求空白部分的面积． (3)琪琪有一个和老师形状类似大小不同的图形，她把4个直角三角形剪下来紧密拼接成风车状，如图3．已知外围轮廓（实线）的周长为，，求该风车状图案的面积． ▌题型08 弦图的综合题 核心模型：弦图嵌入矩形、正方形框架；结合动点、面积比、全等、代数求值的压轴综合。 必备公式 1. 整合前面全部：勾股定理、完全平方整体代换、、面积割补。 解题关键 2. 从复杂图形剥离出基础弦图模型； 3. 优先标记图中相等线段、全等三角形； 4. 可以设未知数，结合整体代换或方程思想； 5. 多问题目，前一问的结论可以直接用于后一问。 易错警示：条件多，不要漏看线段相等、垂直等隐藏条件。 【典例8】动手操作：用4张全等的直角三角形纸片如（图1，两直角边长分别是a，b，斜边长为c），拼成含有正方形的图案如（图2）．拼图时，直角三角形纸片不能互相重叠 (1)【探究】研究发现可利用面积的方法证明勾股定理，在图2中，大正方形的面积可表示为_____________，也可表示为_____________，因此化简可得_____________． (2)【实践】如图①、②、③分别是利用4个全等的直角三角形组合成的新图形，图中间的四边形为正方形，其中图_____________可以证明勾股定理． (3)【应用】将图1中的两个三角形拼成如图3所示的图形，试比较代数式与的大小． (4)【发现】聪聪认真观察图3后发现，此图也可用面积法证明勾股定理，请你帮聪聪完成证明过程． 【变式1-1】小林同学是一名剪纸爱好者，喜欢运用数学知识对自己的剪纸作品进行分析思考，下面是他利用勾股定理对部分剪纸作品的数量关系进行探究思考的过程，请你帮助他一起完成． (1)如图①是以的三条边为直径，向外作半圆，其面积分别记为，，，请写出，，之间的数量关系：___________； (2)如图②是由四个全等的直角三角形紧密地拼接形成的飞镖状图案，测得外围轮廓（实线）的周长为，，求该飞镖状图案的面积； (3)如图③是由八个全等的直角三角形紧密地拼接形成的大正方形，记图中正方形，正方形，正方形MNKT的面积分别为，，．若，则 ___________． 【变式1-2】【探索新知】著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． (1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，图②梯形的面积可表示为：______，也可以表示为：______，由此可以推出； (2)【应用新知】如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)【迁移应用】小明思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考的，在第（2）问中若时，，，，，设，可以求的值，请帮小明写出求详细完整的过程． 【变式1-3】在学习“第8章整式乘法”这一章内容时，我们通过用不同的方法计算同一个图形面积，发现了整式乘法的法则及乘法公式，这种解决问题的方法称之为“等面积法”．而这种“数形结合”的方式是人们研究数学问题的常用思想方法． （1）如图1，已知长方形纸片的长为b，宽为a，由四个这样的长方形拼成一个大正方形，中间留白部分也是正方形（拼接时每两个长方形无重叠部分），利用“等面积法”可得到一个和乘法公式有关的等式，写出这个等式__________． 【类比探究】 （2）连接每个长方形的一条对角线（如图2），得到一个重要的几何图形“赵爽弦图”．如图3，“赵爽弦图”是由四个形状大小都相同的直角三角形（较短直角边为a，较长直角边为b，斜边为c）拼成一个大正方形，中间留白部分也是正方形（拼接时每两个直角三角形无重叠部分）．你能根据图3，应用“等面积法”得出与直角三角形两直角边a、b和斜边c有关的等式吗？请你化简后，写出这个等式__________． 【迁移应用】 （3）在中，a、b为直角边，c为斜边，已知，，求的面积； （4）如图4，四边形中，线段，，在中，，，其周长为n，当n为何值时， 的面积为定值，并说明理由． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 勾股定理与赵爽弦图问题八大题型专项训练 （题型突破·举一反三） 题型01 赵爽弦图原型（内弦图）基础计算 题型02 弦图面积法证明勾股定理 题型03 弦图与完全平方公式整体代换 题型04 八直角三角形双弦图 题型05 弦图变形 —— 数学风车 题型06 弦图衍生新构图 题型07 弦图背景下的方程思想 题型08 弦图的综合题 ▌题型01 赵爽弦图原型（内弦图）基础计算 核心模型：标准内弦图，4 个全等的直角三角形向内拼接，围成外围大正方形，中间是小正方形。设直角三角形两直角边（），斜边。 必备公式 1. 勾股定理： 2. 大正方形面积： 3. 小正方形边长：；小正方形面积： 4. 面积等量关系： 解题关键 5. 分清大、小正方形分别对应斜边、直角边之差； 6. 已知面积可以开方得到对应边长。 易错警示：小正方形边长是，不是。 【典例1】“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，大正方形的面积是169，则小正方形的面积是（　　） A．25 B．36 C．49 D．64 【答案】C． 【分析】根据题意求得大正方形的边长，根据勾股定理求出直角三角形的小直角边长为3，从而得小正方形的边长，即可得出结果． 【详解】解：设大正方形的边长为c，直角三角形的小直角边为a， ∵大正方形的面积是169， ∴c＝13， ∵直角三角形的长直角边是12， ∴a5， ∴小正方形的边长＝12﹣5＝7， ∴小正方形的面积＝49． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，掌握勾股定理是关键，锻炼了同学们的数形结合的思想方法． 【变式1-1】如图，正方形由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形组成，连接．若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形对应边相等求出、的长，结合图形得出的长及，最后在中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：，，，都是全等三角形， ，、， ， ， ， 在中，由勾股定理得：． 【变式1-2】“四千年来，数学的道理还是相通的”．运用祖冲之的出入相补原理也可证明勾股定理．若图中空白部分的面积是，整个图形（连同空白部分）的面积是，则大正方形的边长是_______． 【答案】 【分析】设四个全等的直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边为，根据题意“图中空白部分的面积是，整个图形（连同空白部分）的面积是”列方程求解即可． 【详解】解：设四个全等的直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边为， 根据题意得， 两式相加可得， 解得或（舍去）， 大正方形的边长是． 【变式1-3】如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接图2中四条线段得到如图3的新图案，如果图1中的直角三角形的长直角边为，斜边为，图3中阴影部分的面积为，那么的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用；阴影部分由四个全等的三角形和一个小正方形组成，分别求三角形和小正方形面积即可． 【详解】如图，依题意，阴影部分由四个与全等的三角形和一个边长为的正方形组成， 由题意得：，，， ∴，则 ∴ ∴， ∴ 故答案为：． ▌题型02 弦图面积法证明勾股定理 核心模型：利用拼图 “整体面积 = 各部分面积之和” 的等面积法推导勾股定理。 必备公式 1. 大正方形面积 = 4 个全等直角三角形面积 + 中间小正方形面积 2. 直角三角形面积： 解题关键 3. 找准整体图形与分割后的各个部分图形； 4. 分别用两种方式表达同一个图形的面积； 5. 等式展开化简，推导出； 6. 识图判断题图是否可以证明勾股定理。 易错警示：证明题步骤要完整，不能直接使用勾股定理本身去证明勾股定理。 【典例2-1】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，观察“赵爽弦图”（如图），若图中四个全等的直角三角形的两直角边分别为a，b，a＜b，斜边是c，证明勾股定理的过程中用到的等式是（　　） A．a（b﹣a）＝ab﹣a2 B．（a+b）（b﹣a）＝b2﹣a2 C．（b﹣a）2+4ab＝c2 D．（a+b）2＝a2+2ab+b2 【答案】C 【分析】用等面积法，大的正方形面积等于小正方形的面积与4个直角三角形面积之和，列等式化简即可证明，则可得出答案． 【详解】解：根据题意得，大正方形面积：c2， 小正方形面积：（b﹣a）2， 4个直角三角形面积之和：4×a×b2ab， ∵大正方形面积等于小正方形的面积与4个直角三角形面积之和， ∴（b﹣a）2+2ab＝c2， ∴a2+b2＝c2． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，用等面积法列出等式，并化简是解本题的关键． 【典例2-2】赵爽弦图是中国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时提出的勾股定理证明方法，记载于三国时期．图①是一个赵爽弦图，四个直角三角形较短的直角边长都为，较长的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，则． (1)【探索求证】 数学兴趣小组的学生用三块直角三角形硬纸板拼出图②，其中，请你利用图②推导勾股定理． (2)【问题解决】 同学们经过进一步研究，发现通过勾股定理，可以计算任意已知三条边长的三角形的面积．如图③，已知中，，作，就可以计算出的面积．请你完善解答过程，求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）分别用梯形的面积公式，三个三角形面积相加得梯形面积，构造等量关系即可求解； （2）根据勾股定理构造等量关系即可求得的长度，即可求解面积． 【详解】（1）解：， 且， ， ． （2）解：由题意设， ， ． ， ． 在中， 在中， ， 解得， ， ． ． 【变式1-1】青朱出入图（图）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等．朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述．将其绘成图，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，正方形和正方形的面积之和为，则图中的阴影部分面积为_______． 【答案】8 【分析】本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题． 根据题意可得可以求出，即可得到图2中的阴影部分面积为，用表示后计算即可． 【详解】解∶如图2， 朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为， ， 朱入与朱出的三角形全等， ， ， 两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等， ， ， 阴影部分面积为 ， ∵，正方形和正方形的面积之和为25， ∴， ， 即阴影部分的面积为8， 故答案为∶8． 【变式1-2】[阅读理解]勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠．迄今为止，全世界发现勾股定理的证明方法约有种．如：美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”（如图1），利用三个直角三角形拼成一个直角梯形，于是直角梯形的面积可以表示为或者是，因此得到，运用乘法公式展开整理得到． [尝试探究] (1)其实我国古人早就运用各种方法证明勾股定理，如图，用个全等的直角三角形拼成正方形，中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为、，斜边长为，请你根据古人的拼图证明勾股定理． [实践应用] (2)如图，用个全等直角三角形拼成如图的正方形（相邻纸片之间不重叠，无缝隙）．若正方形的面积为，中间空白处的正方形的面积为，直角三角形的两条直角边分别为，，求的值． 【答案】(1)证明：∵四个直角三角形直角边长分别为、，斜边长为， ∴大正方形的面积可表示为，也可表示为， ∴，即， ∴． (2) 【分析】（1）根据图形面积的不同求法即可得到结论； （2）分别用、表示出正方形和正方形，根据两正方形的面积，利用完全平方公式求解即可． 【详解】（1）证明：略 （2）解：∵直角三角形的两条直角边分别为，， ∴，， ∵正方形的面积为，中间空白处的正方形的面积为， ∴，， ∴， ∴． 【变式1-3】综合与实践． 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明颇感兴趣，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者． （1）我国汉代数学家赵爽创制了一幅如图1所示的用4个全等的直角三角形拼成的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝b，BC＝a，AB＝c，请你利用这个图形说明a2+b2＝c2． （2）业余数学爱好者向常春在1994年构造发现了一个新的证法：把两个全等的Rt△ABC和Rt△DAE按如图2所示的方式放置，∠DAB＝∠B＝90°，AB＝AD＝c，BC＝AE＝a，AC＝DE＝b．请你利用这个图形说明c2+a2＝b2．（提示：连接EC，CD） 【答案】（1）见详解；（2）见详解. 【分析】（1）根据题意，我们可在图中找等量关系，由中间的小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式； （2）连接EC，CD，由面积的和差可求解． 【详解】解：（1）∵大正方形面积为c2，直角三角形面积为ab，小正方形面积为（b﹣a）2， ∴c2＝4ab+（a﹣b）2＝2ab+a2﹣2ab+b2， 即c2＝a2+b2； （2）连接EC，CD， ∵Rt△ABC≌Rt△DAE， ∴∠ACB＝∠AED，∠ABC＝∠BAD＝90°， ∴∠BAC+∠ACB＝90°＝∠BAC+∠AED， ∴∠AFE＝90°， ∴AC⊥DE， ∵四边形ABCD的面积（BC+AD）×AB， 四边形AECD的面积＝S△AEC+S△ACDAC×DEb2， ∴△BEC的面积＝四边形ABCD的面积﹣四边形AECD的面积b2aca2， ∴c2+a2＝b2． 【点睛】本题考查勾股定理，掌握三角形和正方形面积计算公式是解决问题的关键． ▌题型03 弦图与完全平方公式整体代换 核心模型：不求出的具体数值，结合勾股定理与完全平方公式做整体求值，中考填空高频。 必备公式 推导： ； 解题关键 1. 看到、、优先整体代换； 2. 已知斜边，结合其中一个完全平方，求三角形面积、小正方形面积。 易错警示：不必强行解出各自的值，很多题目只能求出整体代数式的值。 【典例3】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是勾股定理的经典证法之一．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，其中，，则每个直角三角形的面积为（     ） A．24 B．30 C．36 D．49 【答案】B 【分析】由题意可得，再与已知条件联立，利用完全平方公式即可求出的值，从而求出每个直角三角形的面积． 【详解】解：由勾股定理，得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴每个直角三角形的面积为． 【变式1-1】“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（     ） A．12 B．13 C．14 D．21 【答案】B 【分析】根据图形特征，小正方形的边长为直角三角形两直角边之差，即为，大正方形的面积为直角三角形斜边的平方即，结合已知条件利用完全平方公式建立方程组求解即可． 【详解】解：由图可知，中间小正方形的边长为， 小正方形的面积为 ， 即①， ， ②， 得 ， ， 大正方形的边长为直角三角形的斜边， 大正方形的面积为直角三角形斜边的平方即， 【变式1-2】我国汉代数学家赵爽利用一幅“弦图”，证明了勾股定理，后人称该图为“赵爽弦图”．如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形面积为49，小正方形面积为4，用，表示直角三角形的两直角边（），下列三个推断：①；②；③．其中所有正确推断的序号是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理与赵爽弦图的应用，核心是利用大、小正方形的面积，结合直角三角形的边长关系，逐一验证三个推断的正确性． 【详解】解： 由勾股定理可知，①正确； ， ，②正确； ，， ，③正确． 【变式1-3】手工课上，同学们以“赵爽弦图”为原型制作传统风格装饰画．边长为的大正方形画框由四个全等的直角三角形彩纸和中间的小正方形拼接而成，结构如图所示．设直角三角形的两条直角边长分别为，（），斜边长为． (1)若小正方形的边长为，，求大正方形的边长c； (2)若小正方形的面积为，且，求一个直角三角形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据小正方形边长得到，结合联立求出、的值，再利用勾股定理计算斜边； （2）由小正方形面积得，展开得到式子①，将展开得到式子②，两式相减求出，最后根据直角三角形面积公式计算面积。 【详解】（1）解：因为已知小正方形的边长为， 所以小正方形的边长为， 因为， 得， 因为， 所以， 所以． （2）解：因为小正方形的面积为， 所以，即①， 因为，即②， ，得， 所以． 所以直角三角形的面积为：． ▌题型04 八直角三角形双弦图 核心模型：八个全等直角三角形拼接，出现三个正方形，面积记；直角边。 必备公式 1. ，， 2. 重要二级结论： 解题关键 3. 把三个正方形面积用代数式表示； 4. 利用快速计算，不用单独求。 易错警示：记清哪个面积对应、哪个对应，不要把与搞反。 【典例4】我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由八个全等的直角三角形拼接而成的，记正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若正方形的边长为，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的应用，完全平方公式，代数式的整体代入求值等知识点． 设八个全等的直角三角形的短直角边为，长直角边为，斜边为，得到正方形的面积，根据图形中的几何关系利用完全平方公式得到，，整体代入得到． 【详解】解：设八个全等的直角三角形中每个小直角三角形的短直角边为，长直角边为，斜边为， ， 正方形的边长为， ， 正方形的面积为， 正方形的面积为， ． 【变式1-1】我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，则的值是______； 【答案】13 【分析】本题主要考查了勾股定理的验证，解决本题的关键是随着正方形的边长的变化表示出面积． 根据题意判断出，，分别表示出，，，然后相加化简计算即可． 【详解】解：图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，， ，， ， ， ， ， ， 的值是13． 故答案是13． 【变式1-2】我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后世也称“赵爽弦图”（如左图所示），实际上，赵爽弦图与完全平方公式有着密切的联系．如图是由8个全等的直角三角形拼成，其中直角边分别为a，b，请回答以下问题： (1)如右图，正方形的面积是_______，正方形的面积是_______；（用含a，b的式子表示）； (2)记正方形的面积、正方形、正方形的面积分别为，若，的面积为3，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据图形得出方形的边长为，正方形的边长为，再根据正方形面积公式，即可求解； （2）由图可得，，，则，将代入，即可求解． 【详解】（1）解：由图可知：正方形的边长为，正方形的边长为， ∴正方形的面积是，正方形的面积是， 故答案为：，； （2）解：由图可知： ， ， ， ∵， ∴， 整理得：， ∵， ∴， 解得：． 【点睛】本题主要考查了“赵爽弦图”和完全平方公式，解题的关键是仔细观察图形，根据图形得出数量关系． 【变式1-3】（24-25八年级上·江苏·期中）我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1的“弦图”（史称“赵爽弦图”） ． (1)弦图中包含了一大一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为，较短的直角边为，斜边长为，结合图1，试验证勾股定理； (2)如图2，将四个全等的直角三角形紧密地拼接，形成“勾股风车”，已知外围轮廓（粗线）的周长为24，，求该“勾股风车”图案的面积； (3)如图3，将八个全等的直角三角形（外围四个和内部四个）紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，若，则 ． 【答案】(1) 证明：由图①可知， ∵， ∴， 即． (2)“勾股风车”图案的面积为 (3) 【分析】（1）根据图形可知，由此即可求解； （2）已知图形的周长，可求出直角三角形的斜边长，已知，则可求出直角三角形的两条直角边，由此即可求出“勾股风车”图案的面积； （3）八个全等的直角三角形，且图形的面积是由三角形和正方形组成，，设直角三角形的两条直角边分别为，，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：四个全等的直角三角形，外围轮廓（粗线）的周长为24，，设， ∴，即， ∴， 在中，，，， ∴，解方程得，，即， ∴，， ∴， ∴“勾股风车”图案的面积是． （3）解：设，， ∴，，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查勾股定理，理解直角三角形三边关系是解题的关键． ▌题型05 弦图变形 —— 数学风车 核心模型：赵爽弦图基础上，将直角三角形一条直角边向外延长，得到风车造型。 必备公式 1. 勾股定理： 2. 风车外围每条 “翼” 的斜边用勾股重新计算；周长 = 4 条翼外侧线段之和。 解题关键 3. 找出延长之后新直角三角形的两条直角边长； 4. 分别求出风车外轮廓每一条斜线段，再求周长。 易错警示：注意是 “延长某一条直角边”，不要直接沿用原弦图斜边。 【典例5】中国数学会会徽以赵爽弦图为核心设计．如图，这是小文根据“赵爽弦图”设计的“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较短的直角边分别向外延长一倍得到的．若，，，则该“数学风车”的周长为（） A．40 B．42 C．48 D．56 【答案】D 【分析】根据题意确定延长的直角边，利用勾股定理求出“数学风车”叶片的斜边长，再根据周长公式计算即可． 【详解】解：，，， 为较短的直角边， 将较短的直角边向外延长一倍， 延长部分， 新直角三角形的直角边， 在中，由勾股定理得：， “数学风车”的周长为． 【变式1-1】 在“赵爽弦图”中，，将四个全等直角三角形中的较长直角边向外延长一倍（即），得到如图所示的“数学风车”，这个风车的外围周长（虚线部分）为76，则的长为________ 【答案】5 【分析】本题考查勾股定理，注意隐含的已知条件来解答此类题．根据题意得到，进而求出，根据勾股定理求出． 【详解】解：风车的外围周长（虚线部分）为76， ． ， ，． 在中，． 故答案为：5． 【变式1-2】勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，据不完全统计，勾股定理的证明方法有400多种． (1)请用图1证明勾股定理； (2)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图2所示的“数学风车”．若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积． 【答案】(1) 证明：， ， ； (2) 【分析】此题考查了勾股定理的几何背景和勾股定理的应用，熟练掌握利用图形面积相等证明勾股定理是解题的关键． （1）利用大正方形的面积的不同表示方法进行证明即可； （2）先由“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求得，设，则，再由勾股定理得，可得关于x的方程，解方程再进一步求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108， ， 设，则， 在中，， ． 将，代入，可得， 解得， 小正方形的边长，， 风车图案的面积为． 【变式1-3】综合与实践 我国古代数学家赵爽创造了“赵爽弦图”，他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数恒等式，严密又直观，为中国古代“形数统一”、代数和几何紧密结合的独特风格树立了一个典范．如图1，“赵爽弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形． (1)观察验证 因为大正方形的面积可以看成4个直角三角形与1个边长为的小正方形的面积的和，即面积表示为：________（化简），也可直接表示为大正方形边长的平方，即________，所以________，勾股定理得到了验证； (2)类比探究 善于思考的小亮同学把一个直立的火柴盒放倒（如图2），聪明的他发现用不同的方法计算梯形的面积，也可证明勾股定理，请你就图2情形进行证明； (3)拓展应用 若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图3所示的“数学风车”，请直接写出这个风车的外围周长． 【答案】(1)；； (2) 证明：由题意，图中的四边形为直角梯形，为等腰直角三角形，和的形状和大小完全一样， 设梯形的面积为，则， 又， ， (3)76 【分析】本题考查了勾股定理，完全平方公式与几何图形． （1）根据完全平方公式化简，用大正方形边长求出大正方形的面积，根据面积相等列等式即可； （2）依据题意，四边形的面积从大的一方面来说属于直角梯形，可利用直角梯形的面积公式进行表示；从组成来看，由三个直角三角形组成．利用三角形的面积公式来进行表示即可； （3）根据外延的4部分全等，且，由勾股定理求得，再根据风车的外围周长，据此计算即可． 【详解】（1）因为大正方形的面积可以看成4个直角三角形与1个边长为的小正方形的面积的和，即面积表示为： ，也可直接表示为大正方形边长的平方，即，所以，勾股定理得到了验证； 故答案为：；；； （2）略 （3）如图2，由题意知，外延的4部分全等，且， ∴， ∴， ∴这个风车的外围周长是． ▌题型06 弦图衍生新构图 核心模型：外弦图、帽子图、其他拼接变式，4 个全等直角三角形放在正方形外侧或者其他拼接方式，图形和标准内弦图不一样，但思想一致。 必备公式 1. 仍然使用 ；面积法：整体 = 各部分相加。 解题关键 2. 在变形图中识别出全等直角三角形； 3. 找准正方形边长对应的是哪一个； 4. 割补法求面积。 易错警示：不能直接照搬内弦图小正方形面积公式，要结合图形重新分析边长。 【典例6】赵爽是我国古代著名的数学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形组成），如图（1）类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图（2）所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，则图中阴影部分与空白部分面积之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，，，进而得到，再结合对称性即可求解． 【详解】解：连接， 图形由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形， ， ， 又， ， ，， ， 又空白部分面积为， 则图中阴影部分与空白部分面积之比为． 【变式1-1】如图，我国古代数学家得出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺成的大正方形，若勾为3，弦为5，则图中四边形ABCD的周长为 　 　． 【答案】28． 【分析】根据勾股定理可得CD＝4，由全等的直角三角形可求CE的长，进而可得CE，BE的长，再利用勾股定理求解BC的长，证明四边形ABCD为平行四边形，进而可求解． 【详解】解：如图，DF＝3，CF＝5，∠CDF＝90°， ∴CD＝4， ∵四个直角三角形全等， ∴CE＝DF＝3， ∴BE＝DE＝CD﹣CE＝4﹣3＝1， ∴BC， ∵AB∥CD，AB＝CD， ∴四边形ABCD为平行四边形， ∴四边形ABCD的周长为：2（BC+CD）＝2×（4）＝28． 【点睛】本题主要考查勾股定理，平行四边形的判定与性质，利用勾股定理求解线段长是解题的关键． 【变式1-2】学习了勾股定理后，小明将如图所示的“赵爽弦图”中的四个全等直角三角形与中间的小正方形恰好拼成如图所示的图形．若图中大正方形的边长为，则图中点与点之间的距离为______． 【答案】 【分析】设直角三角形的较长直角边长为，较短直角边长为，则中间的小正方形长度为，根据图得到 ，即得，再利用勾股定理可得，即得，进而根据图即可求解． 【详解】解：设直角三角形的较长直角边长为，较短直角边长为，则中间的小正方形长度为， 由图可得，小正方形的边长为， ∴ ， ∴， ∵若图中大正方形的边长为， ∴， ∴ ， 解得， ∴， ∴， ∴图中点与点之间的距离为． 【变式1-3】代数学家赵爽为了证明勾股定理，构造了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图，大正方形ABCD由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，若∠ADE＝∠AED，AD＝4，则△ADE的面积为（　　） A．24 B．6 C．2 D．2 【答案】A． 【分析】由已知得出AD＝AE＝AB，进而利用图形面积的割补关系解得即可． 【详解】解：如图： ∵∠ADE＝∠AED， ∴AD＝AE＝AB， ∴∠AEF＝∠ABF， ∵AF⊥BE， ∴EF＝BFBE， ∴GE＝AH， ∵∠GEM＝∠HAM，∠MGE＝∠MHA， ∴△GEM≌△HAM（ASA）， ∴S△HAM＝S△GEM， ∴S△ADE＝S△ADH+S△DGE， ∵AD＝4，DH＝2AH，AD2＝DH2+AH2， ∴AH＝4，DH＝8， ∴DG＝GE＝4， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理，正确表示出直角三角形的面积是解题的关键． ▌题型07 弦图背景下的方程思想 核心模型：弦图图形中，部分边长未知，设未知数，利用勾股定理建立方程求解。 必备公式 1. 设未知数，列方程：直角边₁+ 直角边₂= 斜边。 解题关键 2. 根据正方形、全等三角形性质把其余线段用含的代数式表达； 3. 在图中找到可列等式的直角三角形； 4. 解一元二次方程，舍去负根。 易错警示：线段长度不能为负，求出方程解之后要检验是否符合实际图形。 【典例7】如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．在正方形两边、分别取点，，使，与交于点，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形性质和中心对称性，确定为及中点，过作垂线构造直角三角形，利用勾股定理求出长，进而求出长； 【详解】四边形和均为正方形， 图形关于点中心对称，，，共线， ， ，， ，，， 点是的中点， ， 过点作于点，则为中点，， 设， ， ，，， ， 在中，， ， 解得：（负值已舍去）， ，， 在中，， ，，，共线， ． 【变式1-1】我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，若图中正方形ABCD的边长为14，正方形IJKL的边长为2，且IJ∥AB，则正方形EFGH的边长为 　 　． 【答案】10． 【分析】根据题意和图形，设BE＝x，则BF＝FL＝x+2，根据正方形ABCD的边长为14，列方程可解答． 【详解】解：设BE＝x，则BF＝FL＝x+2， ∵正方形ABCD的边长为14， ∴BC＝14， ∴x+2+x＝14， ∴x＝6， ∴BF＝8，BE＝6， ∵∠B＝90°， ∴EF10， 即正方形EFGH的边长为10． 故答案为：10． 【点睛】本题考查勾股定理的证明、数学常识、正方形的性质，解答本题的关键是表示 【变式1-2】我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边为弦．如图1，数学家刘徽（约公元225年-公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理。如图2所示的长方形，是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若，，则长方形的面积为_____． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的运用．设小正方形的边长为，在中，利用勾股定理可建立关于的方程，求得，进而可求出该长方形的面积． 【详解】解：设阴影部分小三角形长直角边边长为x， ∵，， ∴，，， 在中，， 即， 解得，， 而长方形面积为， 故答案为：． 【变式1-3】如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理． (1)请用图1推导勾股定理，并写出推导过程． (2)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若，，求空白部分的面积． (3)琪琪有一个和老师形状类似大小不同的图形，她把4个直角三角形剪下来紧密拼接成风车状，如图3．已知外围轮廓（实线）的周长为，，求该风车状图案的面积． 【答案】(1)证明：∵大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为， ∴， ∴， ∴． (2) (3) 【分析】（1）根据大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为，联立等式即可求解； （2）根据空白部分的面积=边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积，即可求解； （3）根据风车状图案的周长求出的长，在直角三角形中，利用勾股定理求出的长，进而确定出的长，求出三角形面积，即可确定出所求． 【详解】（1）略 （2）解：空白部分的面积边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积， ∵，， ∴空白部分的面积； （3）解：根据题意得：，，即， 在中，根据勾股定理得：，即， 解得：， ∴， ∴， ∴该风车状图案的面积． ▌题型08 弦图的综合题 核心模型：弦图嵌入矩形、正方形框架；结合动点、面积比、全等、代数求值的压轴综合。 必备公式 1. 整合前面全部：勾股定理、完全平方整体代换、、面积割补。 解题关键 2. 从复杂图形剥离出基础弦图模型； 3. 优先标记图中相等线段、全等三角形； 4. 可以设未知数，结合整体代换或方程思想； 5. 多问题目，前一问的结论可以直接用于后一问。 易错警示：条件多，不要漏看线段相等、垂直等隐藏条件。 【典例8】动手操作：用4张全等的直角三角形纸片如（图1，两直角边长分别是a，b，斜边长为c），拼成含有正方形的图案如（图2）．拼图时，直角三角形纸片不能互相重叠 (1)【探究】研究发现可利用面积的方法证明勾股定理，在图2中，大正方形的面积可表示为_____________，也可表示为_____________，因此化简可得_____________． (2)【实践】如图①、②、③分别是利用4个全等的直角三角形组合成的新图形，图中间的四边形为正方形，其中图_____________可以证明勾股定理． (3)【应用】将图1中的两个三角形拼成如图3所示的图形，试比较代数式与的大小． (4)【发现】聪聪认真观察图3后发现，此图也可用面积法证明勾股定理，请你帮聪聪完成证明过程． 【答案】(1)，， (2)① (3) (4) 证明：图3中梯形的面积可表示为，也可表示为， 因此可得 ∴． 【分析】（1）利用三角形与正方形面积公式表示出大正方形的面积，再建立等式化简，即可解题；（2）类比（1）中解题方法，分别用不同的方式表示大正方形的面积，建立等式化简，即可解题； （3）由得到，再因式分解所给的代数式，即可判断； （4）类比（1）中解题方法，分别用不同的方式表示梯形的面积，建立等式化简，即可解题． 【详解】（1）解：正方形的面积可表示为，也可表示为， 因此， 化简可得， 故答案为：，，； （2）图①中大正方形的面积可表示为，也可表示为， 因此可得， 整理得， 故在图①、②、③中，图①可证明勾股定理， 故答案为：①； （3） ， ， ，， ； （4）略 【变式1-1】小林同学是一名剪纸爱好者，喜欢运用数学知识对自己的剪纸作品进行分析思考，下面是他利用勾股定理对部分剪纸作品的数量关系进行探究思考的过程，请你帮助他一起完成． (1)如图①是以的三条边为直径，向外作半圆，其面积分别记为，，，请写出，，之间的数量关系：___________； (2)如图②是由四个全等的直角三角形紧密地拼接形成的飞镖状图案，测得外围轮廓（实线）的周长为，，求该飞镖状图案的面积； (3)如图③是由八个全等的直角三角形紧密地拼接形成的大正方形，记图中正方形，正方形，正方形MNKT的面积分别为，，．若，则 ___________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理和圆的面积公式是解题的关键， （1）根据勾股定理和圆的面积公式计算即可得到答案； （2）设，，则，由题可得，再由勾股定理可得，从而求出，进而求得飞镖的面积； （3）设直角三角形的长直角边为，短直角边为，斜边为，由勾股定理得， 再根据题意，代入可求得，从而得到答案． 【详解】（1）解：由题可得：，，， ∴， 故答案为：； （2）解：设，，由题可得：， ∴，， ∴， ∴， 解：， ∴飞镖状图案的面积为， （3）解：设直角三角形的长直角边为，短直角边为，斜边为，则：， 由题意得：，，， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1-2】【探索新知】著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． (1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，图②梯形的面积可表示为：______，也可以表示为：______，由此可以推出； (2)【应用新知】如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)【迁移应用】小明思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考的，在第（2）问中若时，，，，，设，可以求的值，请帮小明写出求详细完整的过程． 【答案】(1)； (2)新路比原路少千米 (3)设，则， 在中，， 在中，， ，即， 解得， ． 【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设，则，根据勾股定理列方程，求解即可得到结果； （3）在和中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到结果． 【详解】（1）解：梯形的面积为，也可以表示为， ，即； （2）解：设， ， 在中，，即， 解得， 即（千米）， （千米）， 答：新路比原路少千米； （3）解：略. 【变式1-3】在学习“第8章整式乘法”这一章内容时，我们通过用不同的方法计算同一个图形面积，发现了整式乘法的法则及乘法公式，这种解决问题的方法称之为“等面积法”．而这种“数形结合”的方式是人们研究数学问题的常用思想方法． （1）如图1，已知长方形纸片的长为b，宽为a，由四个这样的长方形拼成一个大正方形，中间留白部分也是正方形（拼接时每两个长方形无重叠部分），利用“等面积法”可得到一个和乘法公式有关的等式，写出这个等式__________． 【类比探究】 （2）连接每个长方形的一条对角线（如图2），得到一个重要的几何图形“赵爽弦图”．如图3，“赵爽弦图”是由四个形状大小都相同的直角三角形（较短直角边为a，较长直角边为b，斜边为c）拼成一个大正方形，中间留白部分也是正方形（拼接时每两个直角三角形无重叠部分）．你能根据图3，应用“等面积法”得出与直角三角形两直角边a、b和斜边c有关的等式吗？请你化简后，写出这个等式__________． 【迁移应用】 （3）在中，a、b为直角边，c为斜边，已知，，求的面积； （4）如图4，四边形中，线段，，在中，，，其周长为n，当n为何值时， 的面积为定值，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）的面积为；（4）当时， 的面积为定值． 【分析】本题考查了勾股定理的证明，三角形的面积，首先要正确理解题意，然后会利用勾股定理和面积公式的面积解题． （1）分别用两种方法表示出大正方形的面积即可得出结论； （2）分别用两种方法表示出大正方形的面积即可得出结论； （3）根据图形结合完全平方公式和（2）的结论计算即可求解； （4）由（2）的结论推出，即，再根据长方形的面积为定值列出关于x、y的式子求解即可． 【详解】解：（1）大正方形的面积为：或， 则这个等式是； （2）大正方形可看作边长为的正方形，也可看作4个全等的直角三角形和一个小正方形的面积和，且小正方形边长为． ，同时也有 所以， 整理得； （3）∵在中，，， ∴，， ∴， ∴， ∴的面积； （4）∵，，周长为n， ∴， 在中，， ∴， ∴ ， ∵长方形的面积为定值， ∴与x、y无关， ∴， ∴， ∴当时， 的面积为定值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $