3.1-3.2《勾股定理的探究与勾股定理的逆定理》同步练习2026-2027学年苏科版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦勾股定理及逆定理，分层设计从基础概念到综合应用，梯度合理，适配新授课知识巩固与能力提升，培养几何直观、推理能力与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|勾股数判断、定理证明、直角边计算|单选题1-3直接考查概念辨析，填空题11-12强化基础运算，培养数感与符号意识| |中档|逆定理应用、面积关系、简单综合|单选题5-7结合四边形面积计算，填空题14-15涉及赵爽弦图与网格构图，发展几何直观| |提高|实际情境、动态问题、定理拓展|解答题21-24通过拼图证明、运动问题探究，提升推理能力与模型意识，体现数学思维的逻辑性|

3.1-3.2《勾股定理的探究与勾股定理的逆定理》同步练习 一、单选题 1.在下列各组数中，不是勾股数的一组数是() A.1,1,2B.3,4,5 C.7,24,25 D.5,12,13 2。下列选项中，不能用来证明勾股定理的是() B a 3.一个直角三角形的两条边长分别为3和5，则第三条边的长度可以是() A.15 B.8 C.6 D.4 4.如图，在△ABC中，∠A为直角，以AC为边向外作面积为100的正方形，以BC为边向外作 面积为125的正方形，则AB2=() C 125 100 A B A.5 B.10 C.15 D.25 5.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=AB=5,BC=7,CD=1,则四边形ABCD的面积 为() A.14 B.16 C.25 D.32 6.在Rt△ABC中，斜边AB=10,则AB+BC2+AC2的值是() A.100 B.200 C.300 D.400 7.如图，在△ABC中，AB=13,AC=20,AD⊥BC于点D,E为AD上任意-点，则 CD2-BD2 的结果为() B D A.7 B.33 C.231 D.569 8.如图，A,B两点相距26m,机器狗由A点出发，沿北偏东70°方向行走24m到达C点，然 后从C点行走I0m到达B点，此时机器狗位于C点的() 北 东 A.北偏东20°方向上 B.北偏西20°方向上 C.北偏西30°方向上 D.北偏西40°方向上 9.如图，分别以Rt△ABC的直角边AB,BC为边向外作正方形，其面积分别为S,2,以斜 边AC为直径向外画半圆，其面积为S.若S=5,S,=3,则S等于() S S A.π B.2π C.4π D.8π 10.如图，AD是△ABC的边BC上的高.分别以线段AB,AC,BD,CD为边向外作正方形， 正方形的面积分别为S,S2,S,S.则它们之间存在的关系是() S2 S D S4 A.S+S2=S3+Sa B.S+S=S2+S3 C.S+S3=S2+S D.S1+S3+S3=S2 二、填空题。 11.如图，某工地内矗立着一座塔吊，为固定塔吊，施工人员从塔吊离水平地面15米处向地 面拉了一根长17米的钢索，钢索在地面的固定处距离塔吊底部的距离为米. 塔吊 钢索 地面 12.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，分别以AB,BC为边向外部作正方形，甲正方形的面积 为26，乙正方形的面积为23，则AC的长为 甲 B 13.已知∠BAD=90°，AB=4,AD=3,BC=13,CD=12,连接BD,则∠BDC的度数为 A B 14.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示 的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.其中c=15」 b-a=3 ,则每个直角三角形的面积为 15.已知在4×5的网格中，每个小正方形的边长为1，AB点均在格点上.以AB为边作直角三 角形ABC(C点在格点上)，能作 个 B A 16.如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，分别以四边形的四条边向外作四个正方 形，它们的面积分别是，凡，S,S,在8+S=10,S=36,则的值是 C D S2 B S 三、解笮题。 17.如图∠C=90°，AC=3,BC=4,AD=12,BD=13,试判断△ABD的形状，并说明理由. 18.在Rt△ABC中，∠C=90°. (1)若a=6,b=8,求c. (2)若a=4,c=V41,求b. (3)若c=25,b=24,求a. 19.如图，长方形ABCD中，把△ABE沿着AE折叠使得B点落在F点，AD=8,AB=10,则 :B 求 (1)CF的长； (2)CE的长 20.如图，在笔直的公路AB旁有一条河流，为方便运输货物，现要从公路AB上的D处建一 座桥梁到达C处，已知点C与公路上的停靠站A的直线距离为9km,与公路上另一停靠站B的 直线距离为12km,公路AB的长度为15km,且CD⊥AB. D B (1)求证：AC⊥BC; (2)求修建的桥梁CD的长，， 21.千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好 者.向常春在20I0年构造发现了一个新的证法：把两个全等的Rt△ABC和Rt△DEA如图放置， 其三边长分别为AE=AC=a,AD=BC=b,AB=DE=G∠BCA=∠DAE=90°，显然DE⊥AB. 请用a,b,C分别表示出四边形AEBD、梯形AEBC、△BCD的面积，再探究这三个图形面积 之间的关系，证明勾股定理a2+b2=c2 22.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完 成下列各题： A B (I)画线段AD∥BC且使AD=BC,连接CD; (2)AD的长为 (3)△ACD为三角形； (4)根据所画的图形，可以求出四边形ABCD的面积为 （平方单位). 23.如图，在△ABC中，AB=50cm,BC=30Cm,∠C=90°，点P从点A开始沿AC边向点C 以2cms的速度移动，设运动时间为t秒. A B (1)用含t的代数式表示AP=,PC= (2)t为何值时，△PCB的面积等于△ABC面积的一半？ 24.[阅读理解]勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠.迄今为止，全世界发现勾股定理 的证明方法约有400种.如：美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”（如图1），利用三 个直角三角形拼成一个直角梯形，于是直角梯形的面积可以表示为a+b奶或者是2xb+. 2 因此得到a+=2×b+,运用乘法公式展开整里得到d+=c. 3 b 0 b a 图1 图2 图3 [尝试探究] (1)其实我国古人早就运用各种方法证明勾股定理，如图2，用4个全等的直角三角形拼成正 方形，中间也是一个正方形.其中四个直角三角形直角边长分别为a、b,斜边长为c,请你 根据古人的拼图证明勾股定理. [实践应用] (2)如图3，用4个全等直角三角形拼成如图的正方形ABCD(相邻纸片之间不重叠，无缝隙)， 若正方形ABCD的面积为13，中间空白处的正方形EFGH的面积为1，直角三角形的两条直角 边分别为a,b,求(a+b)的值. 参考答案 一、单选题 1.A 解：A.12+12-2≠2，不是勾股数； B、C、D组分别满足32+42=52,72+24=252,52+122=132，均为勾股数. 2.A 解：A、:大正方形的面积=边长为a的正方形面积+边长为b的正方形面积+2个长宽分别为a、 b 的长方形面积， ∴.(a+b)2=a2+b2+2ab 该式属于完全平方公式， 图中不涉及斜边C,不能用来证明勾股定理，符合题意； B、梯形面积=3个三角形面积之和， (a+b)(a+b)=2x-ab+-c2 2 2, 整理得2+b2=c2, 能证明勾股定理，不符合题意； C、:大正方形面积=中间小正方形面积+4个直角三角形面积， 1 ..(a+by=c+4xzab 整理得a2+b2=c2, 能证明勾股定理，不符合题意； D、:大正方形面积=中间小正方形面积+4个直角三角形面积， c2=a-+4的， 整理得2+b2=c2, 能证明勾股定理，不符合题意. 故选A. 3.D 解：分两种情况讨论 ,当长为5的边为斜边时，第三边为直角边， “第三边长为V5-32=V16=4, 当长为5的边为直角边时，第三边为斜边， ·第三边长为V32+5=V54 D选项符合题意. 4.D 解：在△ABC中，∠A为直角， .AB2+AC2 BC2 .AB2=BC2-AC2=125-100=25 5.B 解：如图所示，连接BD, ∴.BD2=AD2+AB2=52+52=50, .CD2+CB2=12+7=50, ∴.CD2+CB2=BD2, .△BCD是直角三角形，∠C=90°， .xD+CDxCB 2*5x5+ *1x7 1 =16 6.B 解：如图所示， B4 口C 在R△ABC中，AB2=BC2+AC2, 又AB=10, .AB2=BC2+AC2=100 .AB2+BC2+AC2=200 故选：B. 7.C 在RtAABD中，由勾股定理可得BD=AB2-AD2, 同理可得CD2=AC2-AD2, 所以CD2-BD2=AC2-AB2=202-132=231. 故选：C. 8.B 解：AC=24,BC=10,AB=26 .AC2+BC2=242+102=676,AB2=262=676 .AC2+BC2=AB2 ∴.∠ACB=90° 如下图： 北 M B →东 .·∠MAC=70°，AM∥CW ∴.∠ACN=180°-∠MAC=180°-70°=110° ∴.∠NCB=∠ACN-∠ACB=110°-90°=20° C 20° 此时机器狗位于点的北偏西方向上. 9.A 解：根据题意，得S=AB,S=BC2,且S=5,S,=3, ,BC2+AB2=3+5=8 根据勾股定理，得BC2+AB2=AC2=8, 故圆的面积为 根据题意，得S是半圆的面积， 故8=2x2m=元： 10.B 解：因为AD是△ABC的边BC上的高， 所以∠ADB=∠ADC=90°， 所以AD2=AC2-CD2=AB2-BD2, 根据正方形的面积，得S=AB,S2=AC,S,=BD,S,=CD2, 故S2-S4=S-S 故S+S4=S2+S 二、填空题。 11.8 解：如图， 塔吊 钢索 ，中地面 地面 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=17米，，AC=15米， 则C=A8-4C=7-1F=8米， 即钢索在地面的固定处距离塔吊底部的距离为8米. 12.7 解：.甲正方形的面积为26，乙正方形的面积为23， AB2=26,BC2=23, 在Rt△ABC中，∠ABC=90°， ∴.由勾股定理得AC2=AB2+BC2=49, .AC=7或AC=-7(舍去). 13.90 解：在RIAABD中，BD=VAB2+AD=V+32=5 :BD2+CD2=52+122=169=132=BC2, ∴.∠BDC=90° 14.54 解：由勾股定理，得a2+b2-152=225, .b-a=3, (6-a=b2-2ab+a2=9 ∴.225-2ab=9, ∴.ab=108, 1 “每个直角三角形的面积为2h 1x108=54 15.7 解：如下图， ◆C7 C. 当AB为斜边即点C为直角顶点，则第三个点C所在的位置有：C,C,两个； 当AB为直角边且A点为直角顶点，则第三个点C所在的位置有：C,C4两个； 当AB为直角边且B点为直角项点，则第三个点C所在位置有：C,C6,C,三个. ∴.能作7个AB为边的直角三角形ABC. 故答案为：7 16.64 解：连接BD, 由题意得：S=AB2,&=AD,&=CD,S=BC, .∠DAB=∠BCD=90°， .'AB2+AD2=BD2=CD2+BC2 ..S+S=S2+S3. .S2=S+S4-S3=100-36=64 D S2 A B S 故答案为：64. 三、解答题 17.解：△ABD是直角三角形，理由如下： .∠C=90°，AC=3,BC=4 4B-VAC+BC2-5 .AD=12,BD=13 ∴.AB2+AD2=BD2, △ABD是直角三角形. 18.(1)解：∠C=90°， ∴.c2=a2+b2=62+82=100 .c>0 ∴.c=10 (2)解：∠C=90°， b2=c2-a2=(V41-4=25. :b>0 ∴.b=5 (3)解：：∠C=90°， .a2=c2-b2=252-242=49 .…a>0 ∴.a=7 19.(1)解：把△ABE沿着AE折叠使得B点落在F点， ∴.AF=AB=10 ÷在Rt△ADF中，DF=VAF-AD=6, BCD “四边形 是长方形， .AD=BC=8 AB=CD=10 ∴.CF=CD-DF=10-6=4 (2)解：设CE=x,则EF=BE=8-x, 在RtECF中，EF2=CF2+CE,即（⑧-=4+ 解得=3 ∴.CE=3 20.(1) 证明：由题可知AC=9km,BC=12km,AB=15km. .92+122=225=152, 即AC2+BC2=AB2, .△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°， .AC⊥BC. (2)解：：Sm4C-Bc-4B.(D,AC=9%mC=12m48=15m, m-c8c-0a）. 管：依定的桥梁C7的长为的如 21. Swm=1DE.AB=1 2 2, Saww-(BC+AE)4C-(a)-a-ab+ n=D-ac=(D-4c)ac=b-a小-b=2-， SAEBD=S梯形AEC+SRCD -（w*j小-） 2 +25,即d+6=c: 2 22.(1)解：如图所示，即为所求； (2)解：由勾股定理和网格的特点可得D=V3+4-5, (3)解：由勾股定理和网格的特点可得AD2=32+42=25,CD2=1P+22=5,AC2=22+42=20 .AC2+CD2=20+5=25=AC2, ∴.△ACD是直角三角形； (4)解：Sm=4x6-×3x4-x1x2-)×3x4-x1x2=10 21 2 2 21 23.(1)解：.AB=50cm,BC=30cm,∠C-90°， :4C=VAB-BC=V50-30-40(cm, 由题意得4P=2icm.PC=(40-21cm (2)解：，△PCB的面积等于△ABC面积的一半， .△PCB的面积等于△APB面积， ∴.AP=PC, ∴.2t=40-2t, 解得t=10, 答：t为10秒时，△PCB的面积等于△ABC面积的一半. 24.(1)证明：四个直角三角形直角边长分别为a、b,斜边长为C, 心大正方形的面积可表示为(a+b,也可表示为4x2b+c, :a+b=4x2b+c,g即2+2ab+公=2ab6+d, .a2+b2=c2. (2)解：直角三角形的两条直角边分别为a,b, .'AD2=a2+b2,EH =b-a, .正方形ABCD的面积为13，中间空白处的正方形EFGH的面积为1， .AD2=a2+b2=13,EH2=(b-a)2=a2-2ab+b2=13-2ab=1, ∴.ab=6, ∴.(a+b)2=a2+2ab+b2=13+2x6=25