4.3 一次函数的图象（第2课时 一次函数的图象和性质）（教学设计）数学新教材北师大版八年级上册

该初中数学教学设计聚焦一次函数的图象和性质，通过复习正比例函数知识，结合生活实例对比一次函数与正比例函数的解析式差异，以旧知为支架引导学生探究两者图象关系，梳理知识脉络。 此资料以“作图-观察-对比-归纳”为主线，让学生分组绘制多个一次函数图象，直观探究k、b对图象增减性、平行关系等的影响，培养几何直观与推理意识，“两点法”画法落实数形结合思想，帮助学生建立解析式与图象的联系，提升学生数学思维，也为教师教学提供清晰流程与实用方法。

4.3 一次函数的图象（第2课时 一次函数的图象和性质） 年级 八年级 学科 数学 课型 新授课 教材 北师大版八年级上册 教学目标 1.经历从正比例函数到一次函数的图象变化过程，发展数形结合的意识和能力。 2.能熟练画出一次函数的图象，掌握一次函数及其图象的简单性质。 3.能运用性质、图象及数形结合思想解决相关函数问题，培养运算能力和数据整理、应用的能力。 教学重点 一次函数图象的画法；一次函数的图象与性质（、 对图象的影响）。 教学难点 由图象特征归纳一次函数性质，并运用性质解决相关函数问题。 教材分析 本节教学内容源于北师大版八年级上册第四章第三节《一次函数的图象》（第 2 课时 一次函数的图象和性质），是在学生掌握正比例函数图象与性质之后的延伸学习，承担着引导学生掌握一次函数图象画法、探究k,b对图象影响的任务，对完善学生函数数形结合的研究方法有着重要意义。 依照课标要求，教材将内容划分为绘制一次函数图象、对比图象特征、探究参数k与b的几何意义三个模块，从函数表达式出发，通过描点作图、多图对比、归纳猜想，引导学生认识一次函数图象是一条直线，理解k决定增减性、b决定直线与y轴交点，符合八年级学生的认知发展逻辑。教材以 “作图 — 观察 — 对比 — 归纳” 的逻辑线推进，建立解析式与图象之间的联系。本节承接正比例函数相关知识，也为后续一次函数应用、二元一次方程学习铺垫。教材借助探究活动渗透数形结合思想，落实直观想象与数学抽象核心素养，让学生感受借助图象研究函数性质的基本方法。 学情分析 学生已学习正比例函数 ，知道其图象是过原点的一条直线，并掌握了 与 时的增减性；也具备列表、描点、连线画函数图象的基本技能。但一次函数新增了常数项 ，图象位置和变化规律更为复杂，学生容易混淆 与 的作用。从正比例函数迁移到一次函数时，需要借助图象对比发现平移关系，归纳性质时需教师引导。本节概念性知识较易理解，但综合运用性质解决问题（如由 、 符号判断图象所过象限，或由图象位置求参数）有一定难度，这是本课教学的难点。 教学过程 教学内容 设计意图 课堂导入 【复习回顾】 正比例函数：解析式 （），图象是经过原点和 的一条直线。 性质： 时， 随 的增大而增大； 时， 随 的增大而减小。 【情境引入】 一次函数：解析式 （）。 提问：从解析式上看，正比例函数与一次函数相差什么？如果体现在图象和性质上，正比例函数与一次函数又会有怎样的关系？ 【生活实例】小明从距家 km 处出发，以 km/h 的速度匀速行走，他离家距离 （km）与时间 （h）的关系为 。它的图象与 的图象有怎样的联系呢？ 引导学生观察两个解析式： 与 只相差常数 。 【追问】 从解析式上看，正比例函数与一次函数相差什么？ 这种“相差”体现在图象和性质上，又会有怎样的关系？ 【回顾知识】正比例函数 的图象是经过原点和 的一条直线； 时， 随 的增大而增大； 时， 随 的增大而减小。 那么一次函数 的图象又有什么特点？ 从学生熟悉的生活情境出发，由“解析式相差常数”自然引发“图象有什么关系”的猜想，激发学习兴趣，明确本课研究的方向：一次函数的图象和性质。 探究点1：一次函数的图象及画法 【问题引入】 教师提出问题：要研究一次函数 的图象，可先从具体函数 入手。它与正比例函数 的图象有什么联系？ 【师生活动】 学生用“列表、描点、连线”的方法画出 的图象；教师利用课件展示 与 的图象，引导学生比较两个函数图象的形状、位置和倾斜程度。 【详细过程】 画出一次函数 的图象。 （1）列表： （2）描点 （3）连线，得到 的图象。 比较 与 的图象，回答： 1.这两个函数的图象形状都是一条直线，并且倾斜程度相同； 2.函数 的图象经过原点，函数 的图象与 轴交于点 ； 3.联系： 的图象可以看作 的图象向上平移 个单位长度得到的。 【归纳】 一次函数 的图象是一条直线，我们称它为直线 。 画一次函数的图象更简便的方法是找图象与坐标轴的交点： 令 ，得 ，图象与 轴交于 ； 令 ，得 ，图象与 轴交于 。 因此画函数图象时，只要确定两个点，再过这两点画直线就可以了。 方法技巧：画函数图象的一般步骤是：列表→描点→连线。 【例题巩固】 例1.（1）画出函数 的图象； （2）判断点 ， 是否在此函数的图象上。 解： （1）列表： 描点、连线，就得到函数 的图象。 （2）当 时，，所以点 在此函数的图象上； 当 时，，所以点 不在此函数的图象上。 【方法技巧】判断一个点是否在函数图象上，把该点坐标代入函数表达式，看是否满足该函数表达式。 通过描点画图和图象比较，让学生直观感受一次函数 与正比例函数 的平移关系；再归纳“两点法”画一次函数图象，渗透数形结合思想和优化意识。 探究点2：一次函数的图象与性质 【问题引入】 教师提出问题：对于一次函数 ， 和 分别对图象有什么影响？请在同一直角坐标系内画出一次函数 ，，， 的图象，再观察规律。 【师生活动】 学生分组列表、描点、连线，画出四个一次函数的图象；教师投影展示图象，组织学生从增减性、增减快慢、图象平行、与 轴交点四个角度进行观察和讨论。 【详细过程】 列表： 观察图象，回答问题： （1）哪个函数 的值随着 值的增大而增大？哪个函数 的值随着 值的增大而减小？ ，， 中，， 随 的增大而增大； 中，， 随 的增大而减小。 【归纳】当 时，直线从左向右上升， 随 的增大而增大； 当 时，直线从左向右下降， 随 的增大而减小。 （2）随着 值的增大， 的值增大速度最快的是哪个函数？ 增大最快。 【归纳】当 越大时，直线越陡，图象越靠近 轴，相应的函数值上升或下降得越快。 （3）哪两个函数的图象互相平行？ 与 平行。 【归纳】对于一次函数 ，当 相等，而 值不相等时，函数的图象相互平行。 （4）图中与 轴交于同一个点的函数有哪些？ 与 与 轴都交于点 。 【归纳】对于一次函数 ，当 相等，而 值不相等时，函数图象与 轴相交于同一点，交点坐标为 。 【平移规律】 直线 向上平移1个单位长度得到直线 ； 直线 向下平移2个单位长度得到直线 。 一般地，一次函数 的图象经过点 ，它可以看作由函数 平移 个单位长度得到。 当 时，向上平移；当 时，向下平移。 【思考交流】 一次函数 的图象经过点 ，与函数 的图象平行（ 值相同的两个一次函数图象平行）。 在一次函数 中，当 时， 的值随着 值的增大而增大；当 时， 的值随着 值的增大而减小。 【归纳总结】一次函数的图象与性质 【例题巩固】 例2.已知一次函数 的图象与 轴交点在 轴下方，且 随 的增大而减小，其中 为整数，求 的值。 解： 由题意得： 解得： 又因为 为整数，所以 。 答案：。 【方法技巧】在一次函数 中，当 时， 随 的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小。图象与 轴交点的纵坐标由 决定。 例3.，） 是一次函数 图象上的两点，下列判断中，正确的是（ D ） A. B. C. 当 时， D. 当 时， 解： 因为 ，所以 随 的增大而减小。因此当 时，。 通过在同一坐标系中比较多个一次函数的图象，从增减性、增减快慢、平行、与 轴交点等角度完整认识 和 的作用；例题和变式训练强化一次函数性质的应用，提升学生运用数形结合思想解决问题的能力。 课堂小结 板书设计 4.3.2 一次函数的图象和性质 一、图象 一次函数 （）的图象是一条直线。 两点法画图： 与 轴交点： 与 轴交点： 判断点是否在图象上：代入解析式验证。 二、性质 增减性： ， 随 增大而增大； ， 随 增大而减小。 越大，直线越陡，函数值变化越快。 三、、 的作用 1. 相同， 不同：两直线平行。 2. 相同， 不同：图象都经过 。 3.平移规律： 可由 平移得到； 向上平移， 向下平移，平移距离为 。 四、图象经过的象限 ：一、二、三象限 ：一、三象限 ：一、三、四象限 ：一、二、四象限 ：二、四象限 ：二、三、四象限 随堂练习 1.一次函数 y = x - 2 的大致图象为( C ) 2．对于一次函数 y=x＋2，下列说法错误的是（ D ） A.图象经过点（1，3） B. y的值随着x值的增大而增大 C.图象不经过第四象限 D.当x＞3时，y＜4 3.如图，直线y＝2x＋3与x轴交于点A，与y轴交于点B. (1)求A，B两点的坐标； (2)过点B作直线BP与x轴的正半轴交于点P，且使AP＝2OA，求△BOP的面积. 解：(1)当y＝0时，2x＋3＝0，解得x＝ ，则点A的坐标为( ，0). 当x＝0时，y＝3，则点B的坐标为(0，3). (2)∵点A的坐标为( ，0)，点B的坐标为(0，3)， ∴OA＝ ，OB＝3. ∵AP＝2OA， ∴OA＝OP＝ ∴S△BOP＝ × ×3＝. 教学反思 教学目标达成度：学生能从 与 的对比中理解平移关系，会用两点法画一次函数图象，并通过例题掌握 对增减性的影响，目标基本达成。 难点突破：学生对 、 符号与图象所经象限的对应关系仍容易混淆，尤其是 时直线位置易画错；对 越大直线越陡这一结论，部分学生只关注 的正负而忽略绝对值，需要在多次画图对比中加深理解。 改进方向：下一节课可增加小组合作画图与分类整理环节，让学生在对比中自主归纳；同时设计“由图象说解析式”的逆向练习，强化数形结合，减少机械记忆。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $