第12章 因式分解 期中专题复习一 2026-2027学年沪教版（五四制）数学七年级上册

第12章 因式分解 专题一：因式分解的意义 一．选择题 1.（2025年宝山区七上期中）下面式子从左边到右边的变形中是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 2.（2025年嘉定区七上期中） 下列从左到右变形，是因式分解的是（　　） A. B. C. D. 3.（2025年金山区七上期中） 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4.（2025年闵行区七上期中） 下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5.（2025年宝山区七上期中）如果多项式加上一个单项式后，能够直接用完全平方公式进行因式分解，那么在下列单项式中，可以加上的是（ ） A. B. C. D. 6.（2025年闵行区七上期中）如图，用4个相同的矩形与1个小正方形镶嵌成的正方形图案，已知这个正方形图案的面积为49，小正方形的面积为9，我们用x、y表示小矩形的两边长（）．请观察图案，指出以下关系式中不正确的个数有（ ） ①；②；③；④；⑤． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7.（2025年浦东新区七上期中） 下列各式中，从左到右的变形属于因式分解且正确的是（） A. B. C. D. 8.（2025年普陀区七上期中）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 9.（2025年普陀区七上期中）下列整式中，能用公式法进行因式分解的是（ ） A. B. C. D. 10.（2025年普陀区七上期中）下列单项式中，与整式相加后不能组成某个整式的平方的是（ ） A. B. C. D. 二．填空题 1.（2025年宝山区七上期中） 和的最大公因式是________． 2.（2025年浦东新区七上期中） 关于x的整式是一个完全平方式，则______． 专题二：因式分解的方法 考点1：提取公因式法 一．填空题 1.（2025年闵行区七上期中） 因式分解：__________． 二．解答题 1.（2025年宝山区七上期中）因式分解： 考点2：公式法 一．选择题 1.（2025年闵行区七上期中）下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 二．填空题 1.（2025年杨浦区七上期中） 如果整式是一个整式的平方，那么的值是_________． 2.（2025年浦东新区七上期中） 分解因式：______． 3.（2025年浦东新区七上期中） 请对多项式分解因式______． 4.（2025年嘉定区七上期中） 因式分解：__________． 5.（2025年金山区七上期中） 请对右边多项式解析因式分解：3x3﹣12x=_____． 6.（2025年浦东新区七上期中） 已知，那么_____． 7.（2025年金山区七上期中） 在学习因式分解这一章节时，爱思考的小睿给聪明的小慧出了这样一道题：已知整式，请在（　　　）里添加一项只含字母a的单项式（除外），使得这个整式能因式分解，请写出两种添加的方法，并对该整式讲行因式分解． 三．解答题 1.（2025年金山区七上期中） 因式分解：． 2.（2025年金山区七上期中） 因式分解：（用完全平方公式进行分解） 3.（2025年普陀区七上期中） 因式分解：． 4.（2025年杨浦区七上期中） 已知，求的值． 考点3：十字相乘法 一．选择题 1.（2025年杨浦区七上期中） 已知，，那么关于x的整式因式分解的结果是（ ） A. B. C. D. 二．填空题 1.（2025年杨浦区七上期中） 因式分解：_______． 2.（2025年宝山区七上期中）用十字相乘法因式分解：__________． 3.（2025年普陀区七上期中） 因式分解：_________．（十字相乘法） 三．解答题 1.（2025年闵行区七上期中） 因式分解： 2.（2025年普陀区七上期中） 因式分解: 3.（2025年闵行区七上期中） 因式分解：（十字相乘法） 考点4：其他方法 一．选择题 1.（2025年杨浦区七上期中） 下列各式因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 二．填空题 1.（2025年杨浦区七上期中） 因式分解：_________． 2.（2025年宝山区七上期中）因式分解：______． 3.（2025年宝山区七上期中）已知，则的值为____________ 4.（2025年嘉定区七上期中） 已知：，则______； 5.（2025年嘉定区七上期中） ，则___________． 6.（2025年嘉定区七上期中） 如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“正巧数”．例如： ，因此8，16，24都是“正巧数”． m、n为正整数，且，若 是“正巧数”，则的值为______________． 7.（2025年宝山区七上期中）已知，则的值为________． 三．解答题 1.（2025年嘉定区七上期中） 因式分解： （1）． （2）． 2.（2025年闵行区七上期中） 因式分解： 3.（2025年宝山区七上期中）因式分解：．（提示：先分组再分解） 4.（2025年宝山区七上期中）因式分解：m3（m﹣1）-4m（1﹣m）2 5.（2025年宝山区七上期中） 分解因式：． 6.（2025年杨浦区七上期中） 因式分解：． 7.（2025年杨浦区七上期中） 以下是小明因式分解的过程： 小明做得正确吗？如果不正确，他是从第几步出了错？请你写出正确的因式分解过程． 8.（2025年杨浦区七上期中） 先因式分解再求值：，其中． 9.（2025年杨浦区七上期中） 阅读材料 我们学过因式分解，如：，这时就说和是的因式． 那么，不进行因式分解能不能判断这样的式子是不是某个整式的因式呢？ 对于整式我们分别计算： 当时，原式；当时，原式； 当我们把和分别代入，整式的值都等于0，那么和就是整式的两个因式．通过归纳发现： 如果当时，一个整式的值等于0，那么就一定是这个整式的一个因式． 反过来，如果是整式的一个因式，那么当时，这个整式的值一定等于0． 请你根据上述材料解决以下问题：已知整式， （1）请判断是否是整式的一个因式； （2）当整式的一次项系数变为时，而仍是它的一个因式．求此时的值； （3）请尝试将整式进行因式分解． 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12章 因式分解 专题一：因式分解的意义 一．选择题 1.（2025年宝山区七上期中）下面式子从左边到右边的变形中是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解． 【详解】解：A、从左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意； B、从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意； C、从左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意； D、从左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意； 故选：B． 2.（2025年嘉定区七上期中） 下列从左到右变形，是因式分解的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，把一个多项式改写成几个整式的乘积形式叫做因式分解，据此求解即可． 【详解】解：A中，右边计算为，与左边 不相等，故不是因式分解； B中，右边计算为，与左边相等，且是积的形式，故是因式分解； C中，是整式乘法，不是因式分解； D中，右边不是积的形式，故不是因式分解． 故选B． 3.（2025年金山区七上期中） 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的定义和因式分解的方法，关键是熟练应用知识点进行判断； 根据因式分解的定义和因式分解的方法逐个判断即可． 【详解】解：A、不是多项式，不属于因式分解，故本选项不符合题意； B、等式右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意； C、从左到右的变形属于因式分解且分解彻底，故本选项符合题意； D、等式右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意． 故选：C. 4.（2025年闵行区七上期中） 下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的定义：将一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做因式分解．根据定义进行判断即可． 【详解】解：A、不是对多项式进行变形，故选项错误，不符合题意； B、是整式的乘法，不是因式分解，故选项错误，不符合题意； C、是因式分解，故选项正确，符合题意； D、等式右边不是整式的积的形式，故选项错误，不符合题意； 故选：C． 5.（2025年宝山区七上期中）如果多项式加上一个单项式后，能够直接用完全平方公式进行因式分解，那么在下列单项式中，可以加上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】把和1看作首末两项，那么中间项为加上或减去的2倍，如果把看作乘积的2倍项，再加上一个首项. 【详解】把和1首末两项，那么中间项为加上或减去的2倍，即或,选项中没有符合的； 把看作中间项，再加上一个首项：就能够直接用完全平方公式进行因式分解. 故选：D． 【点睛】本题考查了用完全平方公式-分解因式，把项看作是平方项或乘积2倍项两种情况讨论． 6.（2025年闵行区七上期中）如图，用4个相同的矩形与1个小正方形镶嵌成的正方形图案，已知这个正方形图案的面积为49，小正方形的面积为9，我们用x、y表示小矩形的两边长（）．请观察图案，指出以下关系式中不正确的个数有（ ） ①；②；③；④；⑤． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式、平方差公式与几何图形，解题的关键是熟练掌握各知识点并灵活运用． 先得到大正方形边长为，小正方形边长为，即可得到，；再由四个长方形面积与一个小正方形面积之和等于大正方形面积得到，即可判断③；再由和判断④⑤． 【详解】解：∵大正方形图案的面积为49，小正方形的面积为9， ∴大正方形边长为，小正方形边长为， ∴，， 故①②正确； ∵四个长方形面积与一个小正方形面积之和等于大正方形面积， ∴， ∴， 故③正确； ∴， 故④正确； ∴， 故⑤正确， ∴不正确的有0个， 故选：A． 7.（2025年浦东新区七上期中） 下列各式中，从左到右的变形属于因式分解且正确的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的定义和正确性，掌握知识点是解题的关键． 因式分解是将多项式写成几个整式的乘积的形式，且变形必须恒等．选项A是展开而非分解；选项B分解正确；选项C未彻底分解；选项D含有分式，不是整式乘积． 【详解】解：A：是乘法运算，不是因式分解，不符合题意； B：，是因式分解，符合题意； C：，虽恒等但可进一步分解为，未彻底分解，不符合题意； D：，含分式，不是整式乘积，也不是因式分解，不符合题意． 故选：B． 8.（2025年普陀区七上期中）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的定义，因式分解是指将一个多项式化为几个整式的积的形式，且要求分解到不能再分解为止，解题关键在于判断等式右边是否为几个整式的积的形式． 【详解】解：A项：，是整式乘法，不是因式分解； B项：，右边是积的形式，且不可再分解，是因式分解； C项：，选项是把一个多项式化为几个整式的积的形式，但分解不彻底，不符合“分解到不能再分解为止”的要求，不符合题意； D项: ，右边不是积的形式，不是因式分解，不符合题意； ∴ 从左到右的变形是因式分解的是选项B， ∴故选：B． 9.（2025年普陀区七上期中）下列整式中，能用公式法进行因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查因式分解的公式法，主要涉及平方差公式和完全平方公式．公式法因式分解常用平方差公式或完全平方公式．通过检查每个选项是否符合公式形式即可判断． 【详解】解：A：符合平方差公式，可分解为． B：是平方和，在实数范围内无法用公式分解． C：，若为完全平方，应满足，但实际中间项为，不符合． D：在实数范围内无法用公式分解． ∴只有选项A能用公式法因式分解． 故选：A． 10.（2025年普陀区七上期中）下列单项式中，与整式相加后不能组成某个整式的平方的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，通过完全平方公式验证每个单项式与相加后是否能组成完全平方式即可． 【详解】解：∵ 完全平方公式：，， A项：相加得，是完全平方式，不符合题意； B项：相加得，是完全平方式，不符合题意； C项：相加得，是完全平方式，不符合题意； D项：相加得，不是完全平方式，符合题意． 故选：D． 二．填空题 1.（2025年宝山区七上期中） 和的最大公因式是________． 【答案】 【分析】本题考查了公因式定义，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的找出公因式即可． 【详解】解：和的最大公因式是， 故答案为：． 2.（2025年浦东新区七上期中） 关于x的整式是一个完全平方式，则______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的二倍乘积项即可确定的值． 【详解】解：∵整式是一个完全平方式， ∴， ∴ 解得． 故答案为：或． 专题二：因式分解的方法 考点1：提取公因式法 一．填空题 1.（2025年闵行区七上期中） 因式分解：__________． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．利用提公因式法进行因式分解即可． 【详解】解：原式 ； 故答案为： 二．解答题 1.（2025年宝山区七上期中）因式分解： 【答案】 【分析】直接提取公因式进行因式分解即可. 【详解】原式= = =. 【点睛】本题考查了提公因式法分解因式，关键在于是否准确找出公因式，还要注意分解因式一定要彻底，直到不能再分解为止． 考点2：公式法 一．选择题 1.（2025年闵行区七上期中）下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】本题主要考查平方差公式，，其特点是：①两个二项式相乘，②有一项相同，另一项互为相反数，③a和b既可以代表单项式，也可以代表多项式．熟记公式结构是解题的关键． 根据平方差公式的特点逐项分析即可． 【详解】解：A. 中没有相同的项，故不能用平方差公式计算； B. 中没有相反的项，故不能用平方差公式计算； C. 中没有相同的项，故不能用平方差公式计算； D. ，能用平方差公式计算； 故选：D． 二．填空题 1.（2025年杨浦区七上期中） 如果整式是一个整式的平方，那么的值是_________． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，根据完全平方式得出，即可求出的值． 【详解】解：∵整式 是一个完全平方式， ∴， 解得：， 故答案为：． 2.（2025年浦东新区七上期中） 分解因式：______． 【答案】 【分析】先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解：； 故答案为：． 【点睛】本题考查因式分解．熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键． 3.（2025年浦东新区七上期中） 分解因式______． 【答案】 【分析】直接利用平方差公式进行因式分解，再提公因式即可． 【详解】解： = = = 【点睛】本题考查了公式法因式分解，正确应用平方差公式是解题的关键． 4.（2025年嘉定区七上期中） 因式分解：__________． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的几种方法是解题的关键．利用平方差公式进行分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 5.（2025年金山区七上期中） 因式分解：3x3﹣12x=_____． 【答案】3x（x+2）（x﹣2） 【分析】先提公因式3x，然后利用平方差公式进行分解即可． 【详解】3x3﹣12x =3x（x2﹣4） =3x（x+2）（x﹣2）， 故答案为3x（x+2）（x﹣2）． 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解． 6.（2025年浦东新区七上期中） 已知，那么_____． 【答案】 【分析】将给定的多项式进行配方，转化为几个平方项相加等于的形式，再根据平方项的非负性求出、的关系，进而求出的值．本题主要考查了完全平方公式的应用以及平方数的非负性，熟练掌握完全平方公式，并能根据其结构特征对多项式进行配方，再结合平方数的非负性求解是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ，， 且， 解得，， ． 故答案为：． 7.（2025年金山区七上期中） 在学习因式分解这一章节时，爱思考的小睿给聪明的小慧出了这样一道题：已知整式，请在（　　　）里添加一项只含字母a的单项式（除外），使得这个整式能因式分解，请写出两种添加的方法，并对该整式讲行因式分解． 【答案】 ① ； ② ．（答案不唯一） 【分析】本题考查了利用公式法进行因式分解，掌握平方差公式是解本题的关键． 根据平方差公式进行添加只含字母a的单项式即可． 【详解】解：略． 三．解答题 1.（2025年金山区七上期中） 因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握这两种因式分解的方法是解题的关键． 先变形，再提公因式，然后利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 2.（2025年金山区七上期中） 因式分解： 【答案】． 【分析】综合利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解即可得． 【详解】原式， ， ， ． 【点睛】本题考查了利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解，熟记公式是解题关键． 3.（2025年普陀区七上期中） 因式分解：． 【答案】 【分析】该题考查了因式分解，先提公因式，再根据平方差公式因式分解即可． 【详解】解：原式 ． 4.（2025年杨浦区七上期中） 已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了偶次方的非负性，整式混合运算的化简求值等知识点，能灵活运用整式的运算法则进行化简是解此题的关键． 先根据完全平方公式将原式变形为，求出，，然后代入计算即可． 【详解】解： ， ∴， ， 所以， 解得， ∴． 考点3：十字相乘法 一．选择题 1.（2025年杨浦区七上期中） 已知，，那么关于x的整式因式分解的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解，根据已知条件，将 p 和 q 代入多项式，然后利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解：∵，， ∴ 多项式为， ∴． 即因式分解结果为． 故选：B． 二．填空题 1.（2025年杨浦区七上期中） 因式分解：_______． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，利用十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 2.（2025年宝山区七上期中）因式分解：__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了十字相乘法因式分解，熟练掌握十字相乘法的原理（找到两个数，使其和为一次项系数，积为常数项）是解题的关键． 通过十字相乘法，寻找两个数，使其和为，积为，进而对二次三项式进行因式分解． 【详解】解：， 故答案为：． 3.（2025年普陀区七上期中） 因式分解：_________． 【答案】 【分析】本题考查了二次三项式的因式分解-十字相乘法，将多项式视为关于x的二次三项式，通过寻找两个数使其和为一次项系数，积为，利用十字相乘法进行因式分解． 【详解】解：原式． 故答案为：． 三．解答题 1.（2025年闵行区七上期中） 因式分解： 【答案】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的几种方法是关键，先提公因式，再进行十字相乘法因式分解． 【详解】解： 2.（2025年普陀区七上期中） 因式分解: 【答案】（x+3）（x-1）（x+1）2 【分析】根据十字交叉法分解因式即可. 【详解】解：原式= 【点睛】本题主要考查十字交叉法分解因式，这是考试的必考点，必须熟练掌握. 3.（2025年闵行区七上期中） 因式分解： 【答案】 【分析】本题主要查了多项式的因式分解．先利用十字相乘法因式分解，再利用完全平方公式进行因式分解，即可． 【详解】解： 考点4：其他方法 一．选择题 1.（2025年杨浦区七上期中） 下列各式因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【分析】本题考查因式分解，根据因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．根据因式分解的方法逐项判断即可． 【详解】解：A、，属于因式分解，符合题意； B、，不是积的形式，不符合题意； C、，右边含有分式，不符合题意； D、，分解正确，符合题意； 故选：AD． 二．填空题 1.（2025年杨浦区七上期中） 因式分解：_________． 【答案】 【分析】题目主要考查因式分解，先将原式变形，然后提取公因式即可． 【详解】解： = 故答案为： ． 2.（2025年宝山区七上期中）因式分解：______． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键；解题时先提取公因式，再运用平方差公式进行分解即可． 【详解】解：； 故答案为． 3.（2025年宝山区七上期中）已知，则的值为____________ 【答案】 【分析】先根据完全平方公式的变形求出，再把所求式子提取公因式得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的变形求值，正确得到是解题的关键． 4.（2025年嘉定区七上期中） 已知：，则______； 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式变形求值，积的乘方逆运算等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． 先将原式分解为，然后再由完全平方公式变形为，最后再代入求值即可． 【详解】解：， 故答案为：． 5.（2025年嘉定区七上期中） ，则___________． 【答案】6 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，先求出的值，再利用完全平方公式分解因式可把原式变形为，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ∴ ， 故答案为：6． 6.（2025年嘉定区七上期中） 如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“正巧数”．例如： ，因此8，16，24都是“正巧数”． m、n为正整数，且，若 是“正巧数”，则的值为______________． 【答案】9 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解答此题的关键是熟练掌握平方差公式的结构特征，灵活运用平方差公式进行计算．将整理为，据“正巧数”定义可得出的值． 【详解】解：， 是“正巧数”， ． 故答案为：9． 7.（2025年宝山区七上期中）已知，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是熟练掌握用十字相乘法进行因式分解，将变形后再因式分解为，求出x的值，再代入求值即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 解得：或， 当时，原式， 当时，原式， 故答案为： 三．解答题 1.（2025年嘉定区七上期中） 因式分解： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查了因式分解． （1）先提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可； （2）先提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可． 【小问1详解】解： 【小问2详解】解： 2.（2025年闵行区七上期中） 因式分解： 【答案】 【分析】本题考查了利用分组分解法分解因式，涉及了完全平方公式、平方差公式，正确进行分组是解题的关键． 将分组为，然后利用完全平方公式及平方差公式进行分解即可． 【详解】解： 3.（2025年宝山区七上期中）因式分解：． 【答案】 【分析】先对式子进行分组，再利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解． 【详解】解： 【点睛】本题主要考查了因式分解的分组分解法、完全平方公式和平方差公式，熟练掌握完全平方公式、平方差公式是解题的关键． 4.（2025年宝山区七上期中）因式分解：m3（m﹣1）-4m（1﹣m）2 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式即可得解； 【详解】解：原式=， =， =； 【点睛】本题主要考查了结合提取公因式和完全平方公式法因式分解，准确分析求解是解题的关键． 5.（2025年宝山区七上期中） 分解因式：． 【答案】 【分析】直接利用十字相乘法和完全平方公式进行因式分解即可得到答案． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了利用十字相乘法和完全平方公式分解因式，熟练掌握十字相乘法和完全平方公式是解题的关键． 6.（2025年杨浦区七上期中） 因式分解：． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，先提取公因式，然后利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 7.（2025年杨浦区七上期中） 以下是小明因式分解的过程： 小明做得正确吗？如果不正确，他是从第几步出了错？请你写出正确的因式分解过程． 【答案】 小明做得不正确，从第③步出错， 小明在步骤③中错误地将加法运算视为乘法运算，并且错误地改变了因式，导致因式分解错误． ． 【分析】题目主要考查利用提公因式法和公式法分解因式，根据题意，将原式分组，然后利用完全平方公式和平方差公式公式因式分解即可． 【详解】略 8.（2025年杨浦区七上期中） 先因式分解再求值：，其中． 【答案】，0 【分析】先利用提公因式法、公式法因式分解，然后代入求值即可. 【详解】解： 把代入上式， 则原式 【点睛】此题考查的是因式分解，掌握用提公因式法、公式法因式分解是解决此题的关键. 9.（2025年杨浦区七上期中） 阅读材料 我们学过因式分解，如：，这时就说和是的因式． 那么，不进行因式分解能不能判断这样的式子是不是某个整式的因式呢？ 对于整式我们分别计算： 当时，原式；当时，原式； 当我们把和分别代入，整式的值都等于0，那么和就是整式的两个因式．通过归纳发现： 如果当时，一个整式的值等于0，那么就一定是这个整式的一个因式． 反过来，如果是整式的一个因式，那么当时，这个整式的值一定等于0． 请你根据上述材料解决以下问题：已知整式， （1）请判断是否是整式的一个因式； （2）当整式的一次项系数变为时，而仍是它的一个因式．求此时的值； （3）请尝试将整式进行因式分解． 【答案】（1）是 （2）； （3） 【分析】题目主要考查因式分解，理解题意是解题关键． （1）根据题意，将代入整式计算即可判断； （2）根据题意将代入整式计算，然后解方程即可； （3）根据题意，分别将、、代入整式计算，然后求解即可． 【小问1详解】解：当时， ， ∴是整式的一个因式； 【小问2详解】当整式的一次项系数变为时， ， ∵是它的一个因式， ∴， 解得：； 【小问3详解】， 当时，； 当时，； 当时，； ∴和、就是整式的因式， ∴． 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $