28.1图形的旋转（分层作业，12大题型）数学新教材人教版九年级上册

分层作业 28.1 图形的旋转 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 生活中的旋转 题型02 判断一个图形由旋转而成的图形 题型03 图形旋转要素的确定 题型04 利用图形旋转的性质求解 题型05 利用图形的性质证明 题型06 图形旋转的作图 B组 能力进阶 题型 求图形旋转后的点的坐标 C组 思维拔高 题型01 图形旋转的规律探究 题型02 线段问题（旋转综合题） 题型03 面积问题（旋转综合题） 题型04 角度问题（旋转综合题） 题型05 利用旋转解决以特殊图形为背景的题目 生活中的旋转题型01 1．（25-26九年级·期中）下列情境属于旋转的是（  ） A．电流表指针来回摆动 B．滑动变阻器的滑片来回移动 C．热气球缓慢上升 D．打针时推动针管 【答案】A 【分析】本题考查了生活中的旋转现象，根据旋转的定义（在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转），逐一判断即可解答． 【详解】解：A、电流表指针来回摆动可看作是平面图形绕一个点转动，是旋转，故A符合题意； B、滑动变阻器的滑片来回移动，不属于旋转，故B不符合题意； C、热气球缓慢上升，不属于旋转，故C不符合题意； D、打针时推动针管，不属于旋转，故D不符合题意； 故选：A． 2．如图所示的各图中，上方图形可看成由下方图形绕着一个顶点顺时针旋转90°而形成的是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察图形，根据图形的特征及旋转方向做出判定即可. 【详解】选项A、C顺时针旋转对角线是相交而不是重叠；选项D，顺时针旋转不重叠；只有选项符合题意．故选B． 【点睛】本题考查了旋转图形的性质，熟知旋转图形的性质是解决问题的关键． 3．以如图（1）（以O为圆心，半径为1的半圆）作为“基本图形”，分别经历如下变换：①只要向右平移1个单位；②先以直线为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位；③先绕着点O旋转，再向右平移一个单位；④绕着的中点旋转即可．其中能得到图（2）的是（    ）    A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①② 【答案】B 【分析】根据轴对称变换，平移变换，旋转变换的特征结合图形解答即可． 【详解】解：由图可知，图（1）先以直线为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位，即可得到图（2），故②符合题意 ； 图（1）先绕着点旋转，再向右平移一个单位，即可得到图（2），故③符合题意 ； 图（1）绕着的中点旋转即可得到图（2），故④符合题意 ； 图（1）只要向右平移1个单位不能得到图（2），故①不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了几何变换的类型，熟练掌握常见的几种几何变换－平移、翻折、旋转的特征是解题的关键． 4．如图，四边形和四边形都是正方形． (1)正方形旋转后能与正方形重合吗？ (2)在图形所在的平面上，要使两个正方形经过一次旋转后重合，可作旋转中心的点有哪几个？ 【答案】(1)能 (2)3；点，点，线段的中点 【分析】本题考查了旋转的相关知识，熟知旋转的概念和旋转中心的概念是解题的关键． （1）由于两个正方形边长相等，则两个正方形是全等图形，故能通过旋转使得两个图形重合； （2）绕点B逆时针旋转90度或绕点A顺时针旋转90度或或绕的中点顺时针旋转都能使正方形与正方形重合，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵正方形和正方形的边长相等， ∴正方形和正方形是全等图形， ∴正方形旋转后能与正方形重合； （2）观察图形，可知四边形绕点B逆时针旋转90度或绕点A顺时针旋转90度就能与正方形重合，或绕的中点顺时针旋转也能与正方形重合， ∴平面上可以作为旋转中心的点共有三个， 即点A、点B和线段的中点． 5．（25-26·上海·期中）旋转的齿轮 【问题背景】如图1所示，齿轮是机械钟表的主要零件，他们通常以两个或者多个为一组，一个轴上的齿轮的齿与另一个轴上齿轮的齿啮（niè）合（两个机械构件的一种传动关系）．如图2所示，当一个齿轮旋转时，会带动另一个齿轮旋转． 齿轮是一种有齿的机械构件，它们通常以两个或多个为一组．若两个齿轮不同轴，一个轴上的齿轮的齿与另一个轴上的齿轮的齿啮合，当一个齿轮旋转时，会带动另一个齿轮旋转，如图所示．现有 【操作观察】 (1)观察图2，顺时针转动大齿轮A，观察大、小齿轮的旋转方向及速度，并填写表格． 齿轮 齿数（） 方向（填“顺时针”或“逆时针”） 速度 大齿轮A 逆时针 慢 小齿轮B ________ 快 【计算思考】 (2)通过操作，我们发现大齿轮带动小齿轮，小齿轮________（填“加速”或“降速”）； (3)我们知道齿数与转动速度和转动圈数的关系因相互啮合的两个齿轮在旋转过程中重合的齿数必须相等．如果大齿轮A每分钟转动180圈，那么小齿轮B每分钟转动________圈． (4)探究三个齿轮啮合的效果：在（3）的情况下，在小齿轮B的右侧增加一个齿轮C，使得这个齿轮组合可使齿轮C的转速为175圈/分钟，求齿轮C的齿数并描述它的转动方向________（填“顺时针”或“逆时针”）． 【答案】(1)顺时针 (2)加速 (3) (4)；逆时针 【分析】（1）根据大齿轮顺时针转动，相互啮合的齿轮转动方向相反，即可确定小齿轮转动方向； （2）根据大齿轮齿数多，转速慢，小齿轮齿数少，转速快即可得到答案； （3）根据大齿轮转速大齿轮齿数小齿轮转速小齿轮齿数即可得到答案； （4）根据齿轮转速齿轮齿数齿轮转速齿轮齿数即可得到答案． 【详解】（1）解：大齿轮顺时针转动，相互啮合的齿轮转动方向相反， 则小齿轮顺时针转动； （2）解：大齿轮齿数多，转速慢，小齿轮齿数少，转速快，因此大齿轮带动小齿轮加速； （3）解：设小齿轮每分钟转圈， ， 解得， 因此小齿轮每分钟转动圈； （4）解：设齿轮齿数为， ， 解得， 齿轮顺时针转动，故齿轮逆时针转动． 判断一个图形由旋转而成的图形题型02 1．（25-26九年级上·期末）下面图形不能通过旋转变换得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了通过旋转变换设计而成的图形的特点．利用旋转设计而成的图形应有一个旋转点，图形旋转后的形状和大小不变，即可得解． 【详解】解：A、B、D都可以通过旋转变换设计而成，不符合题意； C、不可以通过旋转变换设计而成，符合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级下·甘肃兰州·期末）很多优美的图案可以通过旋转得到，下列图案中，可以由一个“基本图案”连续旋转得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等，由旋转性质逐个分析即可得到答案．要注意旋转的三要素：①定点−旋转中心；②旋转方向；③旋转角度． 【详解】解：A、该图形无法通过旋转得到，不符合题意； B、该图形可以由一个蜡烛连续旋转得到，符合题意； C、该图形可以由一个菱形连续旋转得到，不符合题意； D、该图形可以由一朵花儿连续旋转得到，不符合题意； 故选：B． 3．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期中）观察图，图形②是图形①（　　）得到的 A．先向右平移3个格，再绕C点逆时针旋转 B．先绕C点逆时针旋转，再向右平移2个格 C．先向右平移2个格，再绕B点逆时针旋转 D．先绕A点顺时针旋转，再向右平移3个格 【答案】B 【分析】本题考查了旋转，平移的性质，熟练掌握性质是解题的关键．根据旋转，平移的特点解答即可． 【详解】解：根据题意，得先绕C点逆时针旋转再向右平移2个格，得到题意图， 故选：B． 4．阅读下列材料，完成相应学习任务 旋转对称 把正n边形绕着它的中心旋转的整数倍后所得的正n边形重合．我们说，正n边形关于其中心有的旋转对称．一般地，如果一个图形绕着某点O旋转角α（0＜α＜360°）后所得到的图形与原图形重合，则称此图形关于点O有角α的旋转对称．图1就是具有旋转对称性质的一些图形． 任务： （1）如图2，正六边形关于其中心O有　 　的旋转对称，中心对称图形关于其对称中心有　 　的旋转对称； （2）图3是利用旋转变换设计的具有旋转对称性的一个图形，将该图形绕其中心至少旋转　 　与原图形重合； （3）请以图4为基本图案，在图5中利用平移、轴对称或旋转进行图案设计，使得设计出的图案是中心对称图形． 【答案】（1）60°；180°； （2）72°； （3）如图5所示，是中心对称图形．（答案不唯一） 【分析】（1）根据正六边形的边数，即可得到正六边形关于其中心O有60°的旋转对称，依据中心对称的概念，即可得到中心对称图形关于其对称中心有180°的旋转对称； （2）依据360°÷5=72°，即可得到将该图形绕其中心至少旋转72°与原图形重合； （3）利用平移、轴对称或旋转变换，即可设计出中心对称图形． 【详解】（1）正六边形关于其中心O有60°的旋转对称，中心对称图形关于其对称中心有180°的旋转对称； 故答案为60°；180°； （2）∵360°÷5＝72°， ∴将该图形绕其中心至少旋转72°与原图形重合； 故答案为72°； （3）略 【点睛】本题主要考查了平移、旋转和轴对称变换进行作图，解题时注意：如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形． 5．如图是由14个全等的三角形组成的图案，是由阴影部分的三角形通过平移、轴对称或旋转而得到的，试分析这个图案形成的过程． 【答案】 ①如图1，将阴影部分三角形沿着翻折，得到； ②如图2，将分别绕着的中点和的中点旋转，得到，； ③如图3，将四边形沿着翻折，即可得到四边形； ④将图3绕着点旋转，即可得到图4． 【分析】本题主要考查了利用旋转变换、轴对称变换设计图案，利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案． 【详解】解：略． 图形旋转要素的确定题型03 1．（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图，将绕点顺时针旋转至，点的对应点是．下列角中，是旋转角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质，掌握旋转角的定义是解题的关键． 由旋转的性质可得旋转角为或，据此即可解答． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转至，点的对应点是． ∴旋转角为或． 故选：B． 2．（24-25九年级上·吉林白城·月考）如图，在正方形网格中，绕某点旋转一定的角度得到，则旋转中心是点________．（填“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了找旋转中心，根据网格的特点找到的垂直平分线的交点，即为所求 【详解】解：如图所示，的垂直平分线的交点为，点即为旋转中心 故答案为：． 3．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，小明发现：线段与线段存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，这个旋转中心的坐标可以是____． 【答案】或 【分析】本题考查了坐标与图形变化中的旋转，根据给定点的坐标找出旋转中心的坐标是解题的关键．先证明≌，确定，则可以看作线段绕一点旋转得到线段，作和的垂直平分线交点为作和的垂直平分线交点为，可得结论． 【详解】解：延长交于，建立平面直角坐标系，如图所示： ， ，， ， ， 即， 可以看作线段绕一点旋转得到线段， 如图，作和的垂直平分线交点为，得， 如图，作和的垂直平分线交点为，得 故答案为：或． 4．（25-26九年级上·吉林松原·期中）如图，点为正方形内一点，经逆时针旋转后能与重合． (1)旋转中心是___________，旋转角度最小为___________； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)点， (2) 是等腰直角三角形，理由如下： 四边形是正方形， ， 绕点逆时针旋转后能与重合， ，， 是等腰直角三角形． 【分析】本题主要考查了正方形的性质、旋转的性质以及等腰直角三角形的判定定理． （1）因为经逆时针旋转后能与重合，根据旋转的性质，旋转中心是两个三角形的公共点，旋转角度最小为； （2）因为四边形是正方形，所以，根据旋转的性质，可得，，从而得到是等腰直角三角形． 【详解】（1）经逆时针旋转后能与重合， 旋转中心是点，旋转角度最小为， 故答案为：点，； （2）略 5．（25-26八年级下·江西景德镇·期末）等边三角形是最特殊的三角形，希希同学对等边三角形展开了以下探究： 【问题提出】如图1，已知等边的边长为a； (1)①若，则等边的面积为______， ②已知点O为等边的重心，连接，则______，______； (2)如图2，已知点D、E分别是等边的边上的动点，且满足，连接，两线段交于点F， ①猜想的大小，并证明你的猜想； ②可看作是绕______点旋转______得到； 【深入思考】 (3)如图3，在（2）的条件下，连接，试探究这三条线段间的数量关系； 【答案】(1)①；②， (2)①，证明如下： ∵等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ； ②， (3) 【分析】（1）①作，三线合一结合勾股定理求出的长，利用三角形的面积公式进行求解即可；②根据三线合一，得到为的角平分线，，利用三角形的内角和求角度，勾股定理求出边长即可； （2）①证明，即可得出结论；②根据旋转的性质，进行判断即可； （3）连接 ，并在线段上取点，使得，证明，推出是顶角为的等腰三角形，根据线段的和差关系即可得出结论. 【详解】（1）解：作， ∵等边的边长为a ∴， ∴， ∴等边的面积为， ∵， ∴等边的面积为； ②∵点O为等边的重心， ∴点O为等边的三边中线的交点， ∴为的角平分线，， ∴，， ∵， ∴ ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴； （2）解：①略； ②∵旋转中心到对应点的距离相等，即旋转中心在对应点连线的中垂线上， 故旋转中心为的中垂线的交点， 由等边三角形三线合一，可知，点即为的中垂线的交点， ∴旋转中心为点，旋转角为， 由（1）可知，， 故可看作是绕点旋转得到； （3）解：连接 ，并在线段上取点，使得， 由（2）知：，由（1）知：， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 作， 则， ∴， ∴. 利用图形旋转的性质求解题型04 1．如图，绕点O顺时针旋转后得到，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵绕点O顺时针旋转后得到， ∴的度数是． 2．（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，将绕点顺时针旋转得到，若，连接，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质及等边三角形的判定与性质，由旋转得，，可证是等边三角形，最后根据等边三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：由旋转得，， 是等边三角形， ， 故选：D． 3．如图，P是正方形ABCD内一点，将绕点B顺时针方向旋转,能与重合，若，则______． 【答案】 【分析】根据旋转角相等可得，进而勾股定理求解即可 【详解】解：四边形是正方形 将绕点B顺时针方向旋转,能与重合， ， 故答案为： 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，求得旋转角相等且等于90°是解题的关键． 4．（25-26九年级上·广东汕头·期末）如图，绕着顶点A逆时针旋转得到，，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质，三角形内角和定理；由三角形内角和定理可得，再用旋转的性质得. 【详解】解：在中，， 绕着顶点A逆时针旋转得到， ， ． 5．（2025·广东韶关·一模）【知识技能】 （1）如图1，点，分别在正方形的边，上，，连接，试猜想，，之间的数量关系． 梳理解答思路并完成填空． A．旋转法：把绕点逆时针旋转90°至，可使与重合，则，，可得，即，，三点共线． 易证______，故，，之间的数量关系为________． B．截长补短法：延长至点，使得，由，，即，可以得到． 【数学理解】 （2）如图2，在中，，，点，均在边上，且，试猜想，，之间的数量关系，并说明理由． 【拓展探索】 （3）如图3，正方形的边长为，，连接，分别交，于点，．若恰好为线段上靠近点的三等分点，求线段的长． 【答案】（1）；   （2）； 理由：如图1，把绕点顺时针旋转得到，连接， ，，，，． ，， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ． 在中，， ； （3） 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据证明思路可得答案； （2）把绕点顺时针旋转90°得到，连接，证明，即可解答； （3）将绕点顺时针旋转90°，得到，连接，结合（2）中的结论，列方程，即可解答． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， ， ， 故答案为：；； （2）略 （3）正方形的边长为， ， ． 如图2，将绕点顺时针旋转，得到，连接． 由（2），可得． 设， ，， ， 根据勾股定理可得， 解得， ． 利用图形的性质证明题型05 1．（25-26九年级上·云南·月考）如图，把绕点O顺时针旋转一定角度得到．若，则的长为（   ） A．9 B．12 C．17 D．21 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，掌握旋转前后对应边相等是解题的关键． 直接利用旋转的性质解答即可． 【详解】解：根据旋转的性质可得：． 故选：B． 2．如图，将绕点A按顺时针方向旋转，得到．试判断的形状． 【答案】，都是等边三角形 【分析】根据旋转的性质得，,，，根据等边三角形的判定：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，即可判断，的形状． 【详解】 绕点A按顺时针方向旋转，得到如图所示： 根据旋转的性质得：,，， ，都是等边三角形． 【点睛】本题考查旋转的性质以及等边三角形的判定，解题关键是掌握旋转前后对应边相等，对应角也相等以及等边三角形的判定． 3．如图，在中，，，将绕点按逆时针方向旋转，得到，连接，交于点．求证：． 【答案】 证明：绕点按逆时针方向旋转得到， ， ， 又， ， 在与中， ， ∴． 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，根据旋转角求出，然后利用“边角边”证明和全等． 【详解】略 4．如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置，连接． (1)求证：是等腰直角三角形； (2)若四边形的面积为，，求的长． 【答案】(1) 证明：把顺时针旋转到的位置， ， ， 四边形是正方形， ， ， 是等腰直角三角形； (2) 【分析】（1）由旋转的性质得，“三角形全等，对应角和对应边相等”，则，，得证是等腰直角三角形；（2）运用勾股定理可得、的长度； 本题主要考查了正方形、旋转和三角形全等的性质、等腰直角三角形的判定和勾股定理等知识点，熟练掌握旋转的性质和勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：由（1），四边形的面积＝正方形的面积， 正方形的面积为， ， 在中，，， ， 是等腰直角三角形， ． 5．如图，点是等边三角形外一点，，，．将绕点逆时针旋转60°后得到． (1)求证：是直角三角形； (2)求的面积． 【答案】(1) 由题意得：，， 是等边三角形 ， 是直角三角形； (2) 【分析】（1）根据旋转后所得的图形与原图形大小相等，可得BD、AD的长和，可证明是等边三角形，得到，利用勾股定理得出即可证明； （2）通过求解，作AP边上的高BH，则 ，根据即可求出． 【详解】（1）略 （2）是等边三角形 是直角三角形， 作．则 【点睛】本题考查了三角形和旋转，熟练运用旋转的性质特殊三角形的性质是解题的关键． 图形旋转的作图题型06 1．在图中的方格纸中画出绕点按顺时针方向旋转后的图形． 【答案】 如图所示： 【分析】本题考查了图形的旋转，画出关键点是解题的关键．分别画出点绕点按顺时针方向旋转后的对应点，再顺次连接即可． 【详解】解：略． 2．分别画出绕点逆时针旋转和后的图形．    【答案】 如图，旋转得到，旋转得到，旋转得到． 【分析】根据题意所述旋转三要素，依次找到各点对应点，然后顺次连接即可得出旋转后的图形． 【详解】略 【点睛】此题考查了旋转作图的知识，解答此类问题一定要仔细审题，找到旋转三要素，然后找到各点的对应点，注意规范作图． 3．如图，三个顶点的坐标分别为， (1)请画出将向左平移6个单位长度后得到的图形； (2)请画出绕原点O顺时针旋转的图形； 【答案】(1) 如图，即为所求； (2) 如图，即为所求． 【分析】（1）根据平移的性质画图； （2）根据旋转的性质画图． 【详解】（1）略 （2）略 4．（24-25九年级·期中）如图，在中，．绕点逆时针旋转，旋转角为，点为点C的对应点． (1)请用尺规作图法画出旋转后的； (2)若，，，求的长． 【答案】(1) 旋转后的如图所示； (2) 【分析】本题考查了旋转作图和性质，勾股定理，解题关键是熟练运用旋转性质和勾股定理． （1）作，即可； （2）根据勾股定理求出，由旋转可知，是等腰直角三角形，根据勾股定理可求． 【详解】（1）略 （2）∵，，， ∴， 由旋转可知，，， ． 5．（25-26八年级下·山西·期中）问题情境：数学活动课上，同学们以“三角形旋转”为主题开展探究活动，其中旋转角．已知中，，，点为内部一点，且，连接． (1)旋转作图：将绕点逆时针旋转，使得旋转后点的对应点是点．在图1中画出旋转后的图形，点的对应点记为点，连接，交于点．（作图工具不限） (2)初步分析：慧眼小组聚焦研究“旋转变化中的不变性”．他们发现，在图1中，当点位置发生变化时，和的形状和大小都发生了改变，但是和的数量关系和位置关系都不发生改变．你同意该小组发现的结论吗？若同意，请写出和的数量关系和位置关系，并证明；若不同意，请说明理由． (3)深入探究：善思小组聚焦研究“旋转到特殊位置时产生的新结论”．在（1）的条件下，他们改变点的位置，提出如下问题，请你直接写出结果． ①当旋转到恰好是等腰三角形时，________． ②如图2，当旋转到点、、恰好在一条直线上时，线段的长度为________． 【答案】(1)解：用量角器在右侧画，且，连接交于，作图如下： (2)解：，，理由如下： 如图，延长交于， 由旋转可得：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． (3)①或；② 【分析】（1）用量角器在右侧画，且，连接交于，从而可完成作图． （2）如图，延长交于，由旋转可得：，可得，，再证明即可． （3）如图，当三点共线时，结合旋转可得：，，，过作于，可得，进一步结合勾股定理可得答案. 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：①由旋转可得：，， ∴， 如图，当时， ∴， ∴， 当时，如图， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴不符合题意，舍去， 综上：或. ②如图，当三点共线时， 由旋转可得：，，，， ∴，， 过作于， ∴， ∵， ∴， 解得：（舍去）， ∴. 求图形旋转后的点的坐标题型 1．（24-25八年级上·山东淄博·月考）已知点的坐标为，将线段绕原点逆时针旋转得到，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了点绕原点旋转的坐标变换规律，熟练掌握点绕原点逆时针旋转后的坐标为是解题的关键．本题可根据点绕原点逆时针旋转的坐标变换规律来求解点的坐标． 【详解】解：∵ 点绕原点逆时针旋转后的坐标为，点的坐标为 ∴ 点绕原点逆时针旋转后得到的点的坐标为 故选：A． 2．如图，在平面直角坐标系中，Rt的直角顶点C的坐标为，点A在x轴正半轴上，且，将先绕点C逆时针旋转，再向左平移5个单位长度，则变换后点A的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转变换的性质，平移的性质，掌握旋转变换的性质，平移的性质是解本题关键． 将先绕点C逆时针旋转，得到A的对应点的坐标，向左平移5个单位长度，变换后点A的对应点的坐标为，即可得出结果． 【详解】解：由题意得，， 将先绕点C逆时针旋转，得到A的对应点的坐标， 向左平移5个单位长度，变换后点A的对应点的坐标为． 故选：D． 3．（24-25八年级上·河南焦作·期中）如图，将一次函数的图象绕原点顺时针旋转，所得到的图象对应的函数表达式为 ____________________ ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，掌握旋转的性质是解题的关键．利用直线与两坐标轴的交点坐标，求得旋转后的对应点坐标，然后根据待定系数法即可求得． 【详解】解：在一次函数中，令，则，令，则 直线经过点，，． 将一次函数的图象绕原点顺时针旋转，则点的对应点为，的对应点是． 设对应的函数解析式为：， 将点、代入得， 解得， 旋转后对应的函数解析式为： 故答案为：． 4．【课本再现】人教版九年级上册数学活动． 把点绕原点分别顺时针旋转，，，，点P的对应点的坐标分别是什么？将结果填入下表． 旋转的角度 对应点的坐标 (1)完成表格剩余部分； (2)【迁移应用】新定义：现将点绕原点顺时针旋转，当时，旋转角度为，当时，旋转角度为，得到的对应点称作点P的变换点． 求的变换点坐标________． 直线上所有点的变换点组成一个新图形记为W，请求出W的解析式． 【拓展延伸】点M在直线上，点为点M的变换点，当时，求a的取值范围． 【答案】(1) 完成表格如下： 旋转的角度 对应点的坐标 (2)①； ②； ③ 【分析】本题考查了直角坐标系中坐标与图形的知识，涉及旋转的坐标特点与性质、一次函数的图象与性质、不等式的性质等知识，分类讨论求解是解答本题的关键． （1）根据旋转中心为点O，旋转方向为顺时针，旋转角度作出点P的对应点A，可得所求点的坐标，同理画出旋转角度为、、时，点P的对应点B、C、D，进而得到所求点的坐标，进而填表即可； （2）①根据题中变换定义结合表格数据求解即可； ②设W上有一点，根据题意可知是直线上的点变换而来的，将代入中，有，则问题可得解； ③设，当时，点绕原点顺时针旋转，得到其变换点，即，进而推导出，，利用不等式的性质求解即可；同理， 当时，点绕原点顺时针旋转，得到其变换点，即，进而推导出，，然后利用不等式的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，设点的坐标在第一象限， 顺时针旋转得到点A的坐标为； 顺时针旋转得到点B的坐标为； 顺时针旋转得到点C的坐标为； 顺时针旋转得到点D的坐标为； （2）解：①∵， ∴的变换点坐标为， 故答案为：； ②解：设上有一点， 直线上的点，均是横坐标大于纵坐标， 点是直线上的点绕原点顺时针旋转， 将代入中，有， 在上，且满足， ∴的解析式为； ③设，由题意， 当时，点绕原点顺时针旋转，得到其变换点，即 ∴，,即，， ∵点M在直线上， ∴，， ∵， ∴，， ∴不满足，故舍去； 当时，点绕原点顺时针旋转，得到其变换点，即 ∴，,即，， ∵点M在直线上， ∴，， ∴，， ∵， ∴，， ∴满足， 综上，a的取值范围为． 5．（2026·吉林吉林·一模）如图；抛物线经过两点．点在轴上，其横坐标为． (1)求此抛物线的解析式． (2)将坐标原点绕点顺时针旋转得到点，当点在抛物线上时，求的值． (3)将绕点顺时针旋转得到． ①当线段与抛物线有公共点时，直接写出的取值范围． ②当抛物线在内的部分（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为2时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)①或，②或或或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）分点在轴负半轴上和点在轴正半轴两种情况，进行讨论求解即可； （3）①求出旋转后点的坐标，进而求出点在抛物线上时的值，结合点在抛物线上时，点的值，即可得出结果；②分或两种情况，画出图形，确定最高点和最低点的纵坐标，即可得出结果． 【详解】（1）解：把代入，得： ，解得， ∴； （2）解：由题意，， ①当点在轴负半轴上时，则， 由旋转可得，，点在第三象限， ∴， ∴，解得（舍去）或； ②当点在轴正半轴上时，则， 由旋转可得，，点在第一象限， ∴， ∴，解得或（舍去）； 综上：； （3）解：①∵， ∴， 由旋转可得，，轴，轴，点在点的左侧，点在点上方， 由（2）可知，点的坐标为，当点在抛物线上时，， ∴，， 当点在抛物线上时，则， 解得或， ∴当线段与抛物线有公共点时，或； ②由①可知：，， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 联立解得或， ∴抛物线与直线的交点为和； 当时，如图，抛物线在内的部分的最高点为点，最低点的部分在边上或边上， ∴最低点的纵坐标为， 当最低点在边上时，； 当最低点在边上，则，解得或（舍去）； ∴； 当时，当抛物线在内的部分的最高点在上，即点，最低点的部分在边上时，如图， ∴此时最高点的纵坐标为8， ∴最低点的纵坐标为，即； 当抛物线在内的部分的最高点在上，最低点的部分在边上时，如图， 则最高点的纵坐标为，最低点的纵坐标为， ∴， 解得或（舍去） 综上：或或或． 图形旋转的规律探究题型01 1．小王正在玩“俄罗斯方块”游戏，现在屏幕上出现的图形（见下图），每按一下旋转键，图形就会逆时针旋转，小王趁它未“落地”之前，连续按了15次后出现的图案是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了图形的旋转变换，熟练掌握图形旋转的知识是解题的关键，根据题意找到图形旋转后变换的规律即可求解． 【详解】解：由题意得图形每按一次旋转键，图形就会逆时针旋转， 那么连续按4次旋转键后，图形会旋转， 即旋转一周后图形会回到原来的位置， 由此可知，该图形的旋转是以4次为一个循环周期， ， 则第15次逆时针旋转变为： 故选：D． 2．（24-25八年级下·江苏镇江·期中）已知：如图，等边三角形的边长为2，边在x轴正半轴上，现将等边三角形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束后，等边三角形中的点A坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形变化—旋转，根据图形的旋转寻找规律，总结规律是解决本题的关键．由每次旋转可知，旋转6次为一个循环，即可确定第2025次旋转结束后A所在位置，即可得解． 【详解】解： ∵等边三角形绕点O逆时针旋转，每次旋转， ∴旋转6次为一个循环， ， 第2025次旋转结束后，等边三角形中的点A落在x轴的负半轴， 点A坐标为， 故选：． 3．（25-26九年级上·四川·期末）已知，图①正方体骰子的平面展开图为图②，把图①向右滚动，如图③，再继续向右滚动……，按此规律连续滚动2026次后，骰子朝上一面的点数是_____________． 【答案】4 【分析】本题主要考查了数字类规律题．根据题意得到滚动1，2，3，4，5次后，骰子朝上一面的点数，可得每滚动4次为一个循环，再由，即可求解． 【详解】解： 滚动1次后，骰子朝上一面的点数是5， 滚动2次后，骰子朝上一面的点数是4， 滚动3次后，骰子朝上一面的点数是2， 滚动4次后，骰子朝上一面的点数是3， 滚动5次后，骰子朝上一面的点数是5， …… ∴每滚动4次为一个循环， ∵， ∴连续滚动2026次后，骰子朝上一面的点数是4． 故答案为：4 4．（24-25九年级上·江西赣州·期末）如图，一段抛物线：记为，它与轴交于点，；将绕点旋转得，交轴于另一点；将绕点旋转得，交轴于另一点；……如此进行下去，则的顶点坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数与轴的交点，规律型：点的坐标，二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．根据题目中的函数解析式可以得到的顶点坐标和的坐标，利用旋转转化为中点坐标方法，分别可以得到、、的顶点坐标，从而可以得到抛物线顶点坐标的变化特点，从而可以得到的顶点坐标． 【详解】解：∵， ∴的顶点坐标为， 令， 解得：，， ∴， ∴的顶点坐标绕旋转得的顶点坐标为，即，绕旋转得，即， 同理可得：的顶点坐标为，的顶点坐标为，， ∴的顶点的横坐标为，当为奇数时，的顶点的纵坐标为， ∴的顶点坐标是，即， 故答案为：． 5．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形，，直角边在x轴上，且．将绕原点O顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，再将绕原点O顺时针旋转得到等腰直角三角形，且…，依此规律，得到等腰直角三角形．则点的坐标_________． 【答案】 【分析】．根据题意得出 点坐标变化规律，进而得出点 的坐标位置，进而得出答案． 【详解】解：是等腰直角三角形，， ， ， 将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且， 再将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，依此规律， 每4次循环一周，即，即，即，即， ， 点与同在一个象限内， 点． 线段问题（旋转综合题）题型02 1．如图，太原方特大摆锤的长度为米，当大摆锤绕点O顺时针旋转到时，点B到的距离是______米．    【答案】 【分析】过B点作于点D，利用含角的直角三角形的性质求出，再利用勾股定理即可求解． 【详解】过B点作于点D，如图，    根据题意有：，， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴（米）， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，含角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，掌握含角的直角三角形的性质，是解答本题的关键． 2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，点D在线段BC上，BD＝3，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，EF⊥AC，垂足为点F．则AF的长为________． 【答案】1 【分析】根据勾股定理先求出BC边长，再求出DC长，过点D作DM垂直AC，可证，即AF=DM，在等腰直角△DMC中可求DM，即可直接求解． 【详解】解：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4， 根据勾股定理得，AB2+AC2=BC2， ∴． 又∵BD=3， ∴DC＝BC−BD＝． 过点D作DM⊥AC于点M， 由旋转的性质得∠DAE=90°，AD＝AE， ∴∠DAC+∠EAF=90°． 又∵∠DAC+∠ADM=90°， ∴∠ADM=∠EAF． 在Rt△ADM和Rt△EAF中，． ∴（AAS）， ∴AF=DM． 在等腰Rt△DMC中，由勾股定理得， DM2+MC2=DC2， ∴DM=1， ∴AF=DM=1． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查等腰直角三角形，旋转的性质以及全等三角形的判定与性质，证明△ADM≌△EAF是解答本题的关键． 3．【问题背景】学校数学兴趣小组在专题学习中遇到一个几何问题：如图1，已知等边△ABC，D是△ABC外一点，连接AD、CD、BD，若∠ADC＝30°，AD＝3，BD＝5，求CD的长．该小组在研究如图2中△OMN≌△OPQ中得到启示，于是作出图3，从而获得了以下的解题思路，请你帮忙完善解题过程． 解：如图3所示，以DC为边作等边△CDE，连接AE． ∵△ABC、△DCE是等边三角形， ∴BC＝AC，DC＝EC，∠BCA＝∠DCE＝60°． ∴∠BCA+∠ACD＝ +∠ACD， ∴∠BCD＝∠ACE， ∴ ， ∴AE＝BD＝5． ∵∠ADC＝30°，∠CDE＝60°， ∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝90°． ∵AD＝3， ∴CD＝DE＝ ． 【尝试应用】如图4，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝，BC＝4，以AC为直角边，A为直角顶点作等腰直角△ACD，求BD的长． 【拓展创新】如图5，在△ABC中，AB＝4，AC＝8，以BC为边向外作等腰△BCD，BD＝CD，∠BDC＝120°，连接AD，求AD的最大值．    【答案】【问题背景】；；4；【尝试应用】；【拓展创新】AD的最大值为． 【分析】问题背景：根据所给思路，结合图形进行求证即可得； 尝试应用：以点A为旋转中心，将绕点A顺时针旋转，得，连接BE，根据各角之间的数量关系可得，在与中，利用两次勾股定理求解即可得 拓展创新：以点D为旋转中心，将绕点D顺时针旋转，得，连接AF，由旋转的性质可得，，，利用等边对等角得出，，结合图形当A、B、F三点共线时，AF最大，此时 ，过点D作，得出， ，利用勾股定理可得，当AF取得最大值时，AD取得最大值，代入求解即可得． 【详解】问题背景：解：如图3所示，以DC为边作等边三角形，连接AE， ∵，是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， 在中， ， ∴， 故答案为：；；4； 尝试应用：解：以点A为旋转中心，将绕点A顺时针旋转，得，连接BE，    ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴； 拓展创新：以点D为旋转中心，将绕点D顺时针旋转，得，连接AF，    ∴，，， ∴， 当A、B、F三点共线时，AF最大， ∵，， ∴， 如图中，过点D作，且，    ∴， ， ∵ 化简得：，当AF取得最大值时，AD取得最大值， ∴， ∴AD的最大值为． 【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，三角形旋转的性质，勾股定理解三角形等，理解题意，作出相应图形，综合运用这些知识点是解题关键． 4．（1）如图1，是锐角内一动点，把绕点逆时针旋转60°得到，连接，这样就可得出，请给出证明过程． （2）图2所示的是一个锐角为30°的直角三角形公园（，），其中顶点、、为公园的出入口，，工人师傅准备在公园内修建一凉亭，使该凉亭到三个出入口的距离最小，求这个最小的距离． 【答案】 （1）证明：如图1，由旋转得：∠PAP'=60°，PA=P'A， ∴△APP'是等边三角形， ∴PP'=PA， ∵PC=P'C， ∴PA+PB+PC=BP+PP′+P′C′； （2） 【分析】（1）根据旋转的性质证明△APP'是等边三角形，即可得出结论； （2）如图，将△BPC绕点B逆时针旋转60度得到△BP′C′，连接PP′，构建直角△ABC'，利用勾股定理求AC'的长，即是点P到这个三角形各顶点的距离之和的最小值． 【详解】（1）略 （2）解：在Rt△ACB中，∵AB=20，∠ABC=30°， ∴AC=10，BC=， 如图，将△BPC绕点B逆时针旋转60度得到△BP′C′，连接PP′， 当A、P、P'、C'在同一直线上时，PA+PB+PC的值为最小， 由旋转得：BP=BP'，∠PBP'=60°，PC=P'C'，BC=BC'， ∴△BPP′是等边三角形， ∴PP'=PB， ∵∠ABC=∠APB+∠CBP=∠APB+∠C'BP'=30°， ∴∠ABC'=90°， 由勾股定理得： ∴PA+PB+PC=PA+PP'+P'C'=AC'=， 则点P到这个三角形各顶点的距离之和的最小值为． 【点睛】本题主要考查三角形的旋转变换的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识点，将待求线段的和通过旋转变换转化为同一直线上的线段来求是解题的关键，学会利用旋转的方法添加辅助线，构造特殊三角形解决问题． 5．从特殊到一般再到特殊是数学学习的重要模式，某数学兴趣小组拟做以下探究学习． 在中，，，将线段绕点C顺时针旋转（）得到线段，取中点H，直线与直线交于点E，连接． (1)【感知特殊】 如图1，当时，小组探究得出：为等腰直角三角形，请写出证明过程； (2)【探究一般】 ①如图2，当时，试探究线段，，之间的数量关系并证明； ②当时，直接写出线段，，之间的数量关系． (3)【应用迁移】 已知，在线段的旋转过程中，当时，求线段的长． 【答案】(1) 证明：由旋转的性质可知，； ∵； ∴； ∵； ∴； ； ∵； ∴ ∴是的垂直平分线； ∴； ∴为等腰直角三角形． (2)①，证明： 如下图，当时，设； ∵； ∴； ∵； ∴； ； ∴； 由第一问可以知道，为等腰直角三角形； ∴； 直接过点作的垂线，垂足为； ∴为等腰直角三角形 ∵,； ∴； ∴； 即，． ② (3)或 【分析】（1）主要考查旋转背景下等腰三角形的三线合一的性质，再利用就可以确定，再由等腰三角形，求出，进而求出，最后利用是线段的垂直平分线，可以证明为等腰直角三角形． （2）同（1）作辅助线求解，可以求出，，之间的数量关系． （3）解决本题关键是能根据第二小问建立分类讨论思想，，，就足够说明和都是确定的，然后利用勾股定理求长和特殊角求长，的关系非常重要，就可以快速求出线段边长． 【详解】（1）略 （2）①略 ②如下图所示，同理由第问可以证明，依然是等腰直角三角形性； 当时，设； ∵； ∴； ∵； ∴； ∴； ∴； 直接过点作的垂线，垂足为； ∴； ∵； ∴； 在等腰直角三角形中； ； 即，． （3）解：如下图，当时； 在等腰直角三角形中，； ∴； ∵； ∴； ∵； 在中，由勾股定理得； ； ∴； ∵； ∴； 第二种情况，如下图，当时； 同理，可求，； ∵； 在中，由勾股定理得； ； ∴； ∵； ∴； ∴； 【点睛】本题主要考查旋转背景下等腰三角形的判定和性质，三线合一，垂直平分线的判定和性质，勾股定理解三角形，普通作图能力，旋转背景求线段长度要分类讨论，判定等腰直角三角形，固定旋转角，证明出角是关键，推导线段关系，利用等腰三角形的三线合一性质和角解直角三角形是重点，特别是在旋转背景下注意求线段长时，注重画图，分类讨论思想，每个不同的图，对应的线段长是不一样的，建立分类讨论思想和灵活利用特殊角解三角形解决本题是关键． 面积问题（旋转综合题）题型03 1．如图，两个边长都为2的正方形ABCD和OPQR，如果O点正好是正方形ABCD的中心，而正方形OPQR可以绕O点旋转，那么它们重叠部分的面积为(   ) A．4 B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】连OA，OB，设OR交BC于M，OP交AB于N，由四边形ABCD为正方形，得到OB=OA，∠BOA=90°，∠MBO=∠OAN=45°，而四边形ORQP为正方形，得∠NOM=90°，所以∠MOB=∠NOA，则△OBM≌△OAN，即可得到S四边形MONB=S△AOB=×2×2=1． 【详解】连OA，OB，设OR交BC于M，OP交AB于N，如图， ∵四边形ABCD为正方形， ∴OB=OA，∠BOA=90°，∠MBO=∠OAN=45°， 而四边形ORQP为正方形， ∴∠NOM=90°， ∴∠MOB=∠NOA， ∴△OBM≌△OAN， ∴S四边形MONB=S△AOB=×2×2=1， 即它们重叠部分的面积为1． 故选C． 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了正方形的性质． 2．如图，P是等边三角形ABC内一点，将△ACP绕点A顺时针旋转60°得到△ABQ，若PA＝2，PB＝4，，则四边形APBQ的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接PQ．由题意△PQA是等边三角形，利用勾股定理的逆定理证明∠PQB＝90°即可解决问题． 【详解】解：如图，连接PQ． ∵△ACP绕点A顺时针旋转60°得到△ABQ， ∴AP＝AQ＝2，PC＝BQ＝2，∠PAQ＝60°， ∴△PAQ是等边三角形， ∴PQ＝PA＝2， ∵PB＝4， ∴， ∴∠PQB＝90°， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，旋转的性质以及勾股定理的逆定理，熟练掌握相关内容是解题的关键． 3．如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】根据旋转，可得，，，过点作于点，可判定为等腰直角三角形，利用勾股定理可求得，最后通过求得答案． 【详解】解：在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到， ，，． 如图，过点作于点， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ． ，， ． 4．（25-26九年级上·北京·期中）如图，点O、坐标分别为、，将绕O点按逆时针方向旋转到． (1)画出平面直角坐标系和； (2)直接写出点的坐标___________； (3)旋转到所围成的图形面积为___________． 【答案】(1) 平面直角坐标系如图，即为所求． (2) (3) 【分析】本题考查作图−旋转变换，旋转的性质，扇形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据O点位置画出平面直角坐标系，分别作出A，B的对应点，，连线即可． （2）根据点的位置写出坐标即可． （3）旋转到所围成的图形为扇形，先求出的长，由旋转的性质得到，再利用扇形的面积公式计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：由图可得点的坐标为． 故答案为：． （3）解：如图，旋转到所围成的图形为扇形， 由图可得，点A的坐标为， ∴， 由旋转可得， 扇形的面积． 故答案为：． 5．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）已知中，，将绕着点C顺时针旋转，得到． (1)如图1，当点M落在边上时，求线段的长； (2)如图2，当绕着点C顺时针旋转到的位置时，连接． ①判断线段与的位置关系并说明理由； ②求的值； ③在的旋转过程中，直接写出的面积与的面积之和的最大值为________． 【答案】(1)7 (2) ①，理由如下： 由旋转的性质得：， ∴ ，即， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴； ②；③ 【分析】（1）先利用勾股定理求出的长，过点C作于点D，根据，可得，可得，由旋转的性质得：，从而得到，即可求解； （2）①由旋转的性质得：，从而得到，进而得到，再由，可得，即可解答；②根据勾股定理可得，再由旋转的性质得：，即可求解；③延长至点T，使，过点N作交延长线于点K，连接，结合旋转的性质可得，，从而得到，再证明，可得，从而得到，进而得到当最大时，最大，再由的最大值为，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 如图，过点C作于点D， ∴， ∴， 解得：， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， ∴； （2）解：①略 ②∵， ∴， ∴， 由旋转的性质得：， ∴； ③如图，延长至点T，使，过点N作交延长线于点K，连接，如图， 由旋转的性质得：，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． ∴当最大时，最大， 而的最大值为， ∴的最大值为． 故答案为∶． 【点睛】本题主要考查了图形的旋转的问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等，熟练掌握旋转的性质，勾股定理是解题的关键． 角度问题（旋转综合题）题型04 1．（2026·河北沧州·模拟）如图，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，则__________°． 【答案】130 【分析】设交于，根据题意可得，，再由四边形内角和求出，进而得到即可． 【详解】解：设交于， 由题可知，， ， 在四边形中，， ， ． 2．如图，点E是正方形内一点，将绕点A顺时针旋转至，点E的对应点为点F． (1)若，，求的度数． (2)连接，若，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）证明即可求解； （2）先证明，再利用勾股定理求解即可 【详解】（1）解∶， ， 绕点顺时针旋转至， ， ； （2）绕点顺时针旋转至，点的对应点为点， 旋转至的位置，旋转角为， ， ． 【点睛】本题考查旋转的性质、正方形的性质、三角形的内角和定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题。 . 3．如图，在中，，，将绕点B按逆时针方向旋转，得到，连接，交于点F． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1) 证明：∵绕点B按逆时针方向旋转， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在与中， ， ∴． (2) 【分析】（1）根据条件证出，即可得证． （2）根据条件求出的度数，然后根据四边形内角和求出的度数，最后用的度数即可． 【详解】（1） 略 （2） 解：由旋转可得：， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了图形的旋转、全等三角形的判定、等腰三角形的性质等知识点，充分利用旋转性质是解题关键． 4．在学习利用旋转解决图形问题时，老师提出如下问题： （1）如图1，点是正方形内一点，，，，你能求出的度数吗？ 小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路： 思路一：将绕点逆时针旋转，得到，连接，可求出的度数； 思路二：将绕点顺时针旋转，得到，连接，可求出的度数； 请参照小明的思路，任选一种写出完整的解答过程； （2）如图2，若点是等边三角形内一点，若，则线段，，满足怎样的等量关系？请参考小明上述解决问题的方法进行探究，直接写出线段，，满足的等量关系． 【答案】（1） 思路一：如图1，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△，连接， 则 ∴， 根据勾股定理得，， ∵AP=1， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 思路二： 将△PAB绕点B顺时针旋转90°，得到，连接， ∴ ∴, ∵ ∴ ∴， ∴ ∴； （2），理由如下： 如图，由等边可得： 把绕点顺时针旋转得到 则 为等边三角形， 【分析】（1）思路一：如图1，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△，连接，则再证明即可；思路二： 将△PAB绕点B顺时针旋转90°，得到，连接，则再证明即可； （2）如图，由等边可得： 把绕点顺时针旋转得到 再证明为等边三角形，从而可得结论. 【详解】略 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，正方形的性质，旋转的性质，勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，作出适当的辅助线是解本题的关键. 5．已知在中，，四边形是正方形，H为所在的直线与的交点． 问题解决： (1)如图1，当点F在上时，请判断和的关系，并说明理由． 问题探究： (2)如图2，将正方形绕点C旋转，当点D在直线右侧时，求证：； 问题拓展： (3)将正方形绕点C旋转一周，当时，若，请直接写出线段的长．    【答案】(1) 解：且．理由如下： ∵ ∴， ∵四边形是正方形， ∴，   在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上：且． (2) 证明：如图，在线段上截取，连接．    由（1）可知：， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，          ∴． (3)或 【分析】（1）先证可得，再证即可解答； （2）如图，在线段上截取，连接．先证可得，再证是等腰直角三角形，则；最后根据线段的和差即可证明结论； （3）分和两种情况，分别画出图形，并运用勾股定理列方程即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：线段的长为或． ①如图，当三点共线时，．    由（1）可知，，且， ， ∵， ∴． 设，则， 在中， ∴,解得:或（舍去）， ∴； ②如图，当三点共线时，， 设， ∵， ∴， 在中， ∴，解得：或（舍去）， ∴． 综上所述，线段的长为或． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、解一元二次方程、等要三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识点成为解题的关键． 利用旋转解决以特殊图形为背景的题目题型05 1．如图，在中，，若是边上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点为点，连接，则在下列结论中：①，②；③，④，一定正确的是（　　）    A．①③ B．③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】根据旋转变换的性质，等边三角形的性质，平行线的性质判断即可． 【详解】解：①， ， 由旋转的性质可知，， ，故本选项结论错误，不符合题意； ②当为等边三角形时，，除此之外，与不平行，故本选项结论错误，不符合题意； ③由旋转的性质可知，，， ，， ， ，本选项结论正确，符合题意； ④只有当点为的中点时，，才有，故本选项结论错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是旋转变换，等腰三角形的性质，平行线的判定，掌握旋转变换的性质是解题的关键． 2．如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，若，则的度数为___________． 【答案】##45度 【分析】根据等边三角形的性质，可得，再由旋转的性质，可得，从而得到，即可证明，由全等三角形的性质可知；再证明为等边三角形，可得，然后利用两角之差即可求解． 【详解】解：连接，如下图， ∵是等边三角形， ∴， ∵将线段绕点顺时针旋转，得到线段， ∴， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质以及图形的旋转等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 3．已知和均为等腰直角三角形，．连接，，为的中点，连接． (1)如图①，求证：且． (2)①将绕点旋转到如图②所示的位置，线段与有怎样的关系？请证明你的结论． ②将绕点继续旋转到如图③所示的位置，①中的结论还成立吗？请说明理由． 【答案】(1) 见解析 (2) ①，．证明见解析 ②还成立．理由见解析 【分析】（1）先证得到，利用直角三角形斜边中线性质得，再通过角度推导证明垂直； （2）①延长到点，使得，连接，利用证明，可得，，利用证明即可解决问题；②延长到点，使得，连接，延长交于点，同①可证，利用全等三角形的性质，结合等腰三角形的性质，三角形内角和定理可得到结论依然成立． 【详解】（1）证明：与均为等腰直角三角形， ，． 在与中， （）， ，． 为线段的中点， ， ，． 又， ， ． （2）解：①，． 证明如下：如图①，延长到点，使得，连接． 为的中点， ． 在和中， （）， ，， ， ． 又， ． 由（1），得，， ． 在和中， （）， ，， ，， ． ②还成立．理由如下： 如图②，延长到点，使得，连接，延长交于点． 同①可证， ，， ，， ． 4．[方法探索] (1)如图1，在等边中，点在内，且，，，求的长． 小敏在解决这个问题时，想到了以下思路： 如图1，把绕着点顺时针旋转得到，连接，分别证明和是特殊三角形，从而得解．请在此思路提示下，求出的长．解：把绕着点顺时针旋转得到，连接． 接着写下去： [方法应用] 请借鉴上述利用旋转构图的方法，解决下面问题： (2)如图2，点在等边外，且，，若，求度数． (3)如图3，在中，，，是外一点，连接、、．已知，．求的长． 【答案】(1) (2)90° (3) 【分析】（1）把绕着点顺时针旋转得到，连接，易证明是等边三角形，是直角三角形，根据勾股定理即可求出． （2）把绕着点顺时针旋转得到，连接，易证明是等边三角形，是直角三角形，则可得到． （3）将绕点A逆时针旋转90°得到，连接，过B点作于M点，易证明是等腰直角三角形， 是直角三角形，用勾股定理即可求出． 【详解】（1）由旋转得到， ， △为等边三角形 ， ， ， 在中，由勾股定理可得： ==； （2）如图，把绕着点B顺时针旋转得到，连接， 由逆时针旋转60°得到， ，，，， 为等边三角形， ∴， ，， ，即三点共线． ， 在中，， ， 是直角三角形，且． （3）将绕点A顺时针旋转90°得到，连接，过B点做于M点， ，， ， ， 在中，， ， 由旋转90°所得， ，，， 则， 在中， ，， ， 在中， 【点睛】本题主要考查了旋转和直角三角形相关内容，还考查了等边三角形的判定与性质，注意旋转后的图形要能够和原图构造出特殊的三角形才有利于解题，正确的做出旋转后的图形和辅助线是解题的关键． 5．阅读下列材料：数学课上老师出示了这样一个问题：如图，等腰的直角顶点在正方形的边上，斜边交于点，连接，求证：．某学习小组的同学经过思考，交流了自己的想法：利用现在所学的旋转知识，可将旋转到，然后通过证明全等三角形来完成证明． （1）（问题解决）请你根据他们的想法写出证明过程； （2）（学以致用）如图，若等腰的直角顶点在正方形的边的延长线上，斜边的延长线交的延长线于点，连接，猜想线段，，满足怎样的数量关系？并证明你的结论； （3）（思维拓展）等腰直角中，，为内部一点，若，则的最小值______． 【答案】 （1）证明：如图，将绕点顺时针旋转到， ，，，， ， 点，点，点三点共线， ，， ， ， ， 又，， ， ， ； （2），理由如下： 如图，将绕点顺时针旋转到， ，，， ，， ， ， ， 又，， ， ， ， ； （3） 【分析】（1）由旋转的性质可得，，，，由“”可证，可得，可得结论； （2）由旋转的性质可得，，，由“”可证，可得，可得结论； （3）由旋转的性质可得，，，，可证是等边三角形，可得，当点，点，点，点四点共线时，有最小值为的长，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接，，过点作，交的延长线于， ，，，， 是等边三角形， ， ， ∴当点，点，点，点四点共线时，有最小值为的长， ，， ，， ， 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定及性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 28.1 图形的旋转 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 生活中的旋转 题型02 判断一个图形由旋转而成的图形 题型03 图形旋转要素的确定 题型04 利用图形旋转的性质求解 题型05 利用图形的性质证明 题型06 图形旋转的作图 B组 能力进阶 题型 求图形旋转后的点的坐标 C组 思维拔高 题型01 图形旋转的规律探究 题型02 线段问题（旋转综合题） 题型03 面积问题（旋转综合题） 题型04 角度问题（旋转综合题） 题型05 利用旋转解决以特殊图形为背景的题目 生活中的旋转题型01 1．（25-26九年级·期中）下列情境属于旋转的是（  ） A．电流表指针来回摆动 B．滑动变阻器的滑片来回移动 C．热气球缓慢上升 D．打针时推动针管 2．如图所示的各图中，上方图形可看成由下方图形绕着一个顶点顺时针旋转90°而形成的是(　　) A． B． C． D． 3．以如图（1）（以O为圆心，半径为1的半圆）作为“基本图形”，分别经历如下变换：①只要向右平移1个单位；②先以直线为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位；③先绕着点O旋转，再向右平移一个单位；④绕着的中点旋转即可．其中能得到图（2）的是（    ）    A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①② 4．如图，四边形和四边形都是正方形． (1)正方形旋转后能与正方形重合吗？ (2)在图形所在的平面上，要使两个正方形经过一次旋转后重合，可作旋转中心的点有哪几个？ 5．（25-26·上海·期中）旋转的齿轮 【问题背景】如图1所示，齿轮是机械钟表的主要零件，他们通常以两个或者多个为一组，一个轴上的齿轮的齿与另一个轴上齿轮的齿啮（niè）合（两个机械构件的一种传动关系）．如图2所示，当一个齿轮旋转时，会带动另一个齿轮旋转． 齿轮是一种有齿的机械构件，它们通常以两个或多个为一组．若两个齿轮不同轴，一个轴上的齿轮的齿与另一个轴上的齿轮的齿啮合，当一个齿轮旋转时，会带动另一个齿轮旋转，如图所示．现有 【操作观察】 (1)观察图2，顺时针转动大齿轮A，观察大、小齿轮的旋转方向及速度，并填写表格． 齿轮 齿数（） 方向（填“顺时针”或“逆时针”） 速度 大齿轮A 逆时针 慢 小齿轮B ________ 快 【计算思考】 (2)通过操作，我们发现大齿轮带动小齿轮，小齿轮________（填“加速”或“降速”）； (3)我们知道齿数与转动速度和转动圈数的关系因相互啮合的两个齿轮在旋转过程中重合的齿数必须相等．如果大齿轮A每分钟转动180圈，那么小齿轮B每分钟转动________圈． (4)探究三个齿轮啮合的效果：在（3）的情况下，在小齿轮B的右侧增加一个齿轮C，使得这个齿轮组合可使齿轮C的转速为175圈/分钟，求齿轮C的齿数并描述它的转动方向________（填“顺时针”或“逆时针”）． 判断一个图形由旋转而成的图形题型02 1．（25-26九年级上·期末）下面图形不能通过旋转变换得到的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·甘肃兰州·期末）很多优美的图案可以通过旋转得到，下列图案中，可以由一个“基本图案”连续旋转得到的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期中）观察图，图形②是图形①（　　）得到的 A．先向右平移3个格，再绕C点逆时针旋转 B．先绕C点逆时针旋转，再向右平移2个格 C．先向右平移2个格，再绕B点逆时针旋转 D．先绕A点顺时针旋转，再向右平移3个格 4．阅读下列材料，完成相应学习任务 旋转对称 把正n边形绕着它的中心旋转的整数倍后所得的正n边形重合．我们说，正n边形关于其中心有的旋转对称．一般地，如果一个图形绕着某点O旋转角α（0＜α＜360°）后所得到的图形与原图形重合，则称此图形关于点O有角α的旋转对称．图1就是具有旋转对称性质的一些图形． 任务： （1）如图2，正六边形关于其中心O有　 　的旋转对称，中心对称图形关于其对称中心有　 　的旋转对称； （2）图3是利用旋转变换设计的具有旋转对称性的一个图形，将该图形绕其中心至少旋转　 　与原图形重合； （3）请以图4为基本图案，在图5中利用平移、轴对称或旋转进行图案设计，使得设计出的图案是中心对称图形． 5．如图是由14个全等的三角形组成的图案，是由阴影部分的三角形通过平移、轴对称或旋转而得到的，试分析这个图案形成的过程． 图形旋转要素的确定题型03 1．（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图，将绕点顺时针旋转至，点的对应点是．下列角中，是旋转角的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·吉林白城·月考）如图，在正方形网格中，绕某点旋转一定的角度得到，则旋转中心是点________．（填“”或“”） 3．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，小明发现：线段与线段存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，这个旋转中心的坐标可以是____． 4．（25-26九年级上·吉林松原·期中）如图，点为正方形内一点，经逆时针旋转后能与重合． (1)旋转中心是___________，旋转角度最小为___________； (2)判断的形状，并说明理由． 5．（25-26八年级下·江西景德镇·期末）等边三角形是最特殊的三角形，希希同学对等边三角形展开了以下探究： 【问题提出】如图1，已知等边的边长为a； (1)①若，则等边的面积为______， ②已知点O为等边的重心，连接，则______，______； (2)如图2，已知点D、E分别是等边的边上的动点，且满足，连接，两线段交于点F， ①猜想的大小，并证明你的猜想； ②可看作是绕______点旋转______得到； 【深入思考】 (3)如图3，在（2）的条件下，连接，试探究这三条线段间的数量关系； 利用图形旋转的性质求解题型04 1．如图，绕点O顺时针旋转后得到，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，将绕点顺时针旋转得到，若，连接，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．如图，P是正方形ABCD内一点，将绕点B顺时针方向旋转,能与重合，若，则______． 4．（25-26九年级上·广东汕头·期末）如图，绕着顶点A逆时针旋转得到，，．求的度数． 5．（2025·广东韶关·一模）【知识技能】 （1）如图1，点，分别在正方形的边，上，，连接，试猜想，，之间的数量关系． 梳理解答思路并完成填空． A．旋转法：把绕点逆时针旋转90°至，可使与重合，则，，可得，即，，三点共线． 易证______，故，，之间的数量关系为________． B．截长补短法：延长至点，使得，由，，即，可以得到． 【数学理解】 （2）如图2，在中，，，点，均在边上，且，试猜想，，之间的数量关系，并说明理由． 【拓展探索】 （3）如图3，正方形的边长为，，连接，分别交，于点，．若恰好为线段上靠近点的三等分点，求线段的长． 利用图形的性质证明题型05 1．（25-26九年级上·云南·月考）如图，把绕点O顺时针旋转一定角度得到．若，则的长为（   ） A．9 B．12 C．17 D．21 2．如图，将绕点A按顺时针方向旋转，得到．试判断的形状． 3．如图，在中，，，将绕点按逆时针方向旋转，得到，连接，交于点．求证：． 4．如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置，连接． (1)求证：是等腰直角三角形； (2)若四边形的面积为，，求的长． 5．如图，点是等边三角形外一点，，，．将绕点逆时针旋转60°后得到． (1)求证：是直角三角形； (2)求的面积． 图形旋转的作图题型06 1．在图中的方格纸中画出绕点按顺时针方向旋转后的图形． 2．分别画出绕点逆时针旋转和后的图形．    3．如图，三个顶点的坐标分别为， (1)请画出将向左平移6个单位长度后得到的图形； (2)请画出绕原点O顺时针旋转的图形； 4．（24-25九年级·期中）如图，在中，．绕点逆时针旋转，旋转角为，点为点C的对应点． (1)请用尺规作图法画出旋转后的； (2)若，，，求的长． 5．（25-26八年级下·山西·期中）问题情境：数学活动课上，同学们以“三角形旋转”为主题开展探究活动，其中旋转角．已知中，，，点为内部一点，且，连接． (1)旋转作图：将绕点逆时针旋转，使得旋转后点的对应点是点．在图1中画出旋转后的图形，点的对应点记为点，连接，交于点．（作图工具不限） (2)初步分析：慧眼小组聚焦研究“旋转变化中的不变性”．他们发现，在图1中，当点位置发生变化时，和的形状和大小都发生了改变，但是和的数量关系和位置关系都不发生改变．你同意该小组发现的结论吗？若同意，请写出和的数量关系和位置关系，并证明；若不同意，请说明理由． (3)深入探究：善思小组聚焦研究“旋转到特殊位置时产生的新结论”．在（1）的条件下，他们改变点的位置，提出如下问题，请你直接写出结果． ①当旋转到恰好是等腰三角形时，________． ②如图2，当旋转到点、、恰好在一条直线上时，线段的长度为________． 求图形旋转后的点的坐标题型 1．（24-25八年级上·山东淄博·月考）已知点的坐标为，将线段绕原点逆时针旋转得到，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，Rt的直角顶点C的坐标为，点A在x轴正半轴上，且，将先绕点C逆时针旋转，再向左平移5个单位长度，则变换后点A的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·河南焦作·期中）如图，将一次函数的图象绕原点顺时针旋转，所得到的图象对应的函数表达式为 ____________________ ． 4．【课本再现】人教版九年级上册数学活动． 把点绕原点分别顺时针旋转，，，，点P的对应点的坐标分别是什么？将结果填入下表． 旋转的角度 对应点的坐标 (1)完成表格剩余部分； (2)【迁移应用】新定义：现将点绕原点顺时针旋转，当时，旋转角度为，当时，旋转角度为，得到的对应点称作点P的变换点． 求的变换点坐标________． 直线上所有点的变换点组成一个新图形记为W，请求出W的解析式． 【拓展延伸】点M在直线上，点为点M的变换点，当时，求a的取值范围． 5．（2026·吉林吉林·一模）如图；抛物线经过两点．点在轴上，其横坐标为． (1)求此抛物线的解析式． (2)将坐标原点绕点顺时针旋转得到点，当点在抛物线上时，求的值． (3)将绕点顺时针旋转得到． ①当线段与抛物线有公共点时，直接写出的取值范围． ②当抛物线在内的部分（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为2时，直接写出的值． 图形旋转的规律探究题型01 1．小王正在玩“俄罗斯方块”游戏，现在屏幕上出现的图形（见下图），每按一下旋转键，图形就会逆时针旋转，小王趁它未“落地”之前，连续按了15次后出现的图案是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·江苏镇江·期中）已知：如图，等边三角形的边长为2，边在x轴正半轴上，现将等边三角形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束后，等边三角形中的点A坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·四川·期末）已知，图①正方体骰子的平面展开图为图②，把图①向右滚动，如图③，再继续向右滚动……，按此规律连续滚动2026次后，骰子朝上一面的点数是_____________． 4．（24-25九年级上·江西赣州·期末）如图，一段抛物线：记为，它与轴交于点，；将绕点旋转得，交轴于另一点；将绕点旋转得，交轴于另一点；……如此进行下去，则的顶点坐标是______． 5．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形，，直角边在x轴上，且．将绕原点O顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，再将绕原点O顺时针旋转得到等腰直角三角形，且…，依此规律，得到等腰直角三角形．则点的坐标_________． 线段问题（旋转综合题）题型02 1．如图，太原方特大摆锤的长度为米，当大摆锤绕点O顺时针旋转到时，点B到的距离是______米．    2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，点D在线段BC上，BD＝3，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，EF⊥AC，垂足为点F．则AF的长为________． 3．【问题背景】学校数学兴趣小组在专题学习中遇到一个几何问题：如图1，已知等边△ABC，D是△ABC外一点，连接AD、CD、BD，若∠ADC＝30°，AD＝3，BD＝5，求CD的长．该小组在研究如图2中△OMN≌△OPQ中得到启示，于是作出图3，从而获得了以下的解题思路，请你帮忙完善解题过程． 解：如图3所示，以DC为边作等边△CDE，连接AE． ∵△ABC、△DCE是等边三角形， ∴BC＝AC，DC＝EC，∠BCA＝∠DCE＝60°． ∴∠BCA+∠ACD＝ +∠ACD， ∴∠BCD＝∠ACE， ∴ ， ∴AE＝BD＝5． ∵∠ADC＝30°，∠CDE＝60°， ∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝90°． ∵AD＝3， ∴CD＝DE＝ ． 【尝试应用】如图4，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝，BC＝4，以AC为直角边，A为直角顶点作等腰直角△ACD，求BD的长． 【拓展创新】如图5，在△ABC中，AB＝4，AC＝8，以BC为边向外作等腰△BCD，BD＝CD，∠BDC＝120°，连接AD，求AD的最大值．    4．（1）如图1，是锐角内一动点，把绕点逆时针旋转60°得到，连接，这样就可得出，请给出证明过程． （2）图2所示的是一个锐角为30°的直角三角形公园（，），其中顶点、、为公园的出入口，，工人师傅准备在公园内修建一凉亭，使该凉亭到三个出入口的距离最小，求这个最小的距离． 5．从特殊到一般再到特殊是数学学习的重要模式，某数学兴趣小组拟做以下探究学习． 在中，，，将线段绕点C顺时针旋转（）得到线段，取中点H，直线与直线交于点E，连接． (1)【感知特殊】 如图1，当时，小组探究得出：为等腰直角三角形，请写出证明过程； (2)【探究一般】 ①如图2，当时，试探究线段，，之间的数量关系并证明； ②当时，直接写出线段，，之间的数量关系． (3)【应用迁移】 已知，在线段的旋转过程中，当时，求线段的长． 面积问题（旋转综合题）题型03 1．如图，两个边长都为2的正方形ABCD和OPQR，如果O点正好是正方形ABCD的中心，而正方形OPQR可以绕O点旋转，那么它们重叠部分的面积为(   ) A．4 B．2 C．1 D． 2．如图，P是等边三角形ABC内一点，将△ACP绕点A顺时针旋转60°得到△ABQ，若PA＝2，PB＝4，，则四边形APBQ的面积为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分的面积为______． 4．（25-26九年级上·北京·期中）如图，点O、坐标分别为、，将绕O点按逆时针方向旋转到． (1)画出平面直角坐标系和； (2)直接写出点的坐标___________； (3)旋转到所围成的图形面积为___________． 5．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）已知中，，将绕着点C顺时针旋转，得到． (1)如图1，当点M落在边上时，求线段的长； (2)如图2，当绕着点C顺时针旋转到的位置时，连接． ①判断线段与的位置关系并说明理由； ②求的值； ③在的旋转过程中，直接写出的面积与的面积之和的最大值为________． 角度问题（旋转综合题）题型04 1．（2026·河北沧州·模拟）如图，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，则__________°． 2．如图，点E是正方形内一点，将绕点A顺时针旋转至，点E的对应点为点F． (1)若，，求的度数． (2)连接，若，求线段的长． 3．如图，在中，，，将绕点B按逆时针方向旋转，得到，连接，交于点F． (1)求证：； (2)求的度数． 4．在学习利用旋转解决图形问题时，老师提出如下问题： （1）如图1，点是正方形内一点，，，，你能求出的度数吗？ 小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路： 思路一：将绕点逆时针旋转，得到，连接，可求出的度数； 思路二：将绕点顺时针旋转，得到，连接，可求出的度数； 请参照小明的思路，任选一种写出完整的解答过程； （2）如图2，若点是等边三角形内一点，若，则线段，，满足怎样的等量关系？请参考小明上述解决问题的方法进行探究，直接写出线段，，满足的等量关系． 5．已知在中，，四边形是正方形，H为所在的直线与的交点． 问题解决： (1)如图1，当点F在上时，请判断和的关系，并说明理由． 问题探究： (2)如图2，将正方形绕点C旋转，当点D在直线右侧时，求证：； 问题拓展： (3)将正方形绕点C旋转一周，当时，若，请直接写出线段的长．    利用旋转解决以特殊图形为背景的题目题型05 1．如图，在中，，若是边上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点为点，连接，则在下列结论中：①，②；③，④，一定正确的是（　　）    A．①③ B．③ C．①③④ D．①②③④ 2．如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，若，则的度数为___________． 3．已知和均为等腰直角三角形，．连接，，为的中点，连接． (1)如图①，求证：且． (2)①将绕点旋转到如图②所示的位置，线段与有怎样的关系？请证明你的结论． ②将绕点继续旋转到如图③所示的位置，①中的结论还成立吗？请说明理由． 4．[方法探索] (1)如图1，在等边中，点在内，且，，，求的长． 小敏在解决这个问题时，想到了以下思路： 如图1，把绕着点顺时针旋转得到，连接，分别证明和是特殊三角形，从而得解．请在此思路提示下，求出的长．解：把绕着点顺时针旋转得到，连接． 接着写下去： [方法应用] 请借鉴上述利用旋转构图的方法，解决下面问题： (2)如图2，点在等边外，且，，若，求度数． (3)如图3，在中，，，是外一点，连接、、．已知，．求的长． 5．阅读下列材料：数学课上老师出示了这样一个问题：如图，等腰的直角顶点在正方形的边上，斜边交于点，连接，求证：．某学习小组的同学经过思考，交流了自己的想法：利用现在所学的旋转知识，可将旋转到，然后通过证明全等三角形来完成证明． （1）（问题解决）请你根据他们的想法写出证明过程； （2）（学以致用）如图，若等腰的直角顶点在正方形的边的延长线上，斜边的延长线交的延长线于点，连接，猜想线段，，满足怎样的数量关系？并证明你的结论； （3）（思维拓展）等腰直角中，，为内部一点，若，则的最小值______． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $