精品解析：安徽阜阳市临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）2026-2027学年高二上学期9月阶段检测数学试题

高二数学 （120分钟 150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 已知动点D在所在的平面内运动，若对于空间中任意一点（不在平面中），都有，则实数λ的值为（ ） A. B. － C. 2 D. －2 4. 在三棱锥中，点，则点P到平面的距离为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 5. 一家造纸厂的厂房的外形可以近似看作如图所示的六面体模型，其中四边形和为直角梯形，A，D，C，B为直角顶点，其他四个面均为矩形．若，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知空间向量，，且，则实数等于（ ） A. B. C. D. 7. 在正四棱台中，，，则正四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，圆柱的轴截面是正方形，且正方形的对角线长为，点在上，，点在上，在平面的同侧．记二面角，的大小分别为，若，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的有（ ） A. 空间中不相交的两条直线是异面直线 B. 已知A，B，C，D，E是空间中的任意五点，则 C. 若两个非零向量，满足，则A，B，C，D四点共线 D. 若E，B，C，D四点共面，且点B，C，D不共线，则存在，使得，且 10. 如图，在长方体中，，分别是，的中点，，则下列结论正确的是（ ） A. 的面积为 B. 平面 C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 点到平面的距离为 11. 将正方形沿对角线翻折，记二面角为，的中点为，则下列结论正确的是（ ） A. ，都有 B. 若正方形折叠后，，则是等边三角形 C. 若，则 D. 若，则直线与平面所成角的正弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为____． 13. 在空间直角坐标系中，已知点，，，点在线段上运动，当取得最小值时，点的坐标为______，此时点到线段的中点的距离为______． 14. 如图，在某市一建筑物楼顶有一四面钟楼，四个大钟对称分布在四棱柱的四个侧面(四棱柱镶嵌时钟的部分可以看成正四棱柱，钟面圆心在棱柱侧面对角线的交点处)．已知在3点整点时刻，相邻两钟面上的时针所在的两条直线相互垂直，则在4点时，相邻两钟面上的时针所在的两条直线所成角的正切值为____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，AB是圆的直径，AM与圆所在的平面垂直，C是圆上不同于A，B的一点，． （1）求点B到平面ACM的距离； （2）求异面直线CM与AB所成角的正弦值． 16. 如图，在平行六面体中，向量，，两两之间的夹角均为，，，． （1）求线段的长度； （2）求证：． 17. 如图，已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，侧面底面，，，分别是，的中点，点在棱上，且． （1）求证：平面． （2）求直线与平面所成角的正弦值． 18. 如图，平面平面，其中四边形为矩形，四边形为梯形，，，． （1）求证：平面⊥平面． （2）若，求二面角的余弦值． 19. 已知一组空间向量，，，，，记，如果存在（），使得，那么称是该向量组的“向量”． （1）已知，，，若是向量组，，的“向量”，求实数的取值范围． （2）四面体内接于以为球心，为半径的球，且. ①记，，，向量组，，中是否存在“向量”？若存在，指出哪个是“向量”并证明；若不存在，请说明理由． ②求四面体体积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $6学科网6组卷网 高二数学 (120分钟150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.已知向量a=(-13,0,6=(2,54),则2a-36=（) A.（-7,18,-12) B.（-8,21,-12) c(4,9,12) D.（-3,8,4) 【答案】B 【解析】 【详解)因为ā=（13,0)，6=(2，-5,4) 所以2ā-36=2(-13,0）-3(2，-5,4)=(-2,6,0)-(6，-15,12)=(-8,21，-12) 2已知向量=(-L-2,2),6=(3,0-,则向量d在向量ā+6上的投影向量的坐标为《) 仔引 (23 (99 n( 84 【答案】D 【解析】 【详解1因为ā=（，-2,2)，6=(3,0，-)，所以+6=(2，-2，)， 所以a-(a+b）=-2+4+2=4,a+6=3, 则后6语-g-620-得 第1页/共28页 6学科网命组卷网 3.已知动点D在△ABC所在的平面内运动，若对于空间中任意一点E(不在平面ABC中)，都有 DE=3AE-BE-2ACE ,则实数1的值为() 1 A.2 B.-2 C.2 D.-2 【答案】A 【解析】 【详解】因为DE=3AE-B距-21C正，所D=-3A征+BE+2ACE 所以BD=3EA-EB-21EC 1 λ= 又动点D在△ABC所在的平面内运动，所以3-1-2九=1，解得2. 4在三棱锥P-4BC中，点4，-2B0,3,C20,2P2,43 ,则点P到平面 ABC 的距离为( ) A.4 B.2 c v3 D.V2 【答案】C 【解析】 A1,-1,2),B(0,3,1),C(2,0,2),P(2,4,3) 【详解】因为点 所以B=(-14,-,AC=(,10),AP=(,5,1) 设平面4BC的法向量为i=(x,八，2)， nAB=0 -x+4y-z=0 所以万AC=0即 x+y=0 令x=1,则y=-12=-5,所以i=(0,-山，-5) 第2页/共28页 6学科网命组卷网 所以点P到平面 的距离为 n.Ar1-5-5_9 =5 ABC V1+1+25V27 5.一家造纸厂的厂房的外形可以近似看作如图所示的六面体模型，其中四边形ADEH和BCFG为直角梯 4 形，A,D,C,B为直角顶点，其他四个面均为矩形.若 B=BG=CF=4,且Ci.BE=27,则 3 AD=() G A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标表示求解 DA,DC,DE 【详解】依题意，直线 两两垂直，如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系， ZA E G 设AD=m(m>0),由A AB-4BG-CF-4 得AH=BG=3, 则B(m,4,0),C(0,4,0),E(0,04),H(m,03,Cf=m,4,3).BE=(-m,-4,4、 第3页/共28页 命学科网命组卷网 C.BE=-m+16+12=27,解得m=1,所以4D= 6.已知空间向量a=(-l0,x,a+6=(-3,3x,x),且(2a-b)小(36-d=0,则实数r等于() A.-1 80 c t1 D.t2 【答案】B 【解析】 【详解)因为i=（1,0,x),a+6=(-3,3x,x) 所以6=(a+b）-a=(-3,3x,x)-(-10,x)=(-2,3x,0). 又因2a-b=2(-1,0,x)-(-2,3x0)=(0,-3x2x). 36-a=3(-2,3x,0)-(-1,0,x)=(-5,9x,-x) 电(2a-b)36-d)=0可得-27x2-2x=0,解得x=0. 7在正四楼台4BCD-ABCD中，AB=24B=25,AC·B丽=4，则正四陵台的体积为( 28 26 A.3 B.3 C.12 D.8 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，结合正四棱台的结构特征建立直角坐标系求出棱台的高，再利用棱台的体积公 式计算得解 【详解】设正四棱台ABCD-AB,CD的高为h(h>0）,由于四边形ABCD,4BCD都是正方形，设 其中心分别为F,E,连接1C,4G 第4页/共28页 学科网丽组卷网 如图，以F为原点，过点F且与AB垂直的直线为x轴，过点F且与BC垂直的直线为y轴，FE所在的 直线为z轴，建立空间直角坐标系， 作GG1CF D B 因为4B=2A8=25,由勾股定理得4C=4,4G=2,所以CF=2,CE=1, 由题意得 CE//CF,CG//EF ， 所以四边 EFGC是平行四边形， 所以FG=LBF=CG,CG=1 4小2i022(号小三要】 4c(m( c画〔- 由于AC·BD=4,即R=4,解得h=2, 所以正四棱台的体 V-j2x2xx2xx22 3,故A正确 8如图，圆柱O0的轴截面ABCD是正方形，且正方形的对角线长为25，点E在O0上.B配=C配 点F在OO上，E,F在平面ABCD的同侧.记二面角D-AF-E,A-DF-E的大小分别为~，B 第5页/共28页 命学科网组卷网 若tana-tanB=8 则点F到平面 OEO 的距离为() D B √2 5 √万 A.5 B.8 c.8 D.4 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，以点O为坐标原点，分别以 0E,0C,00 所在的直线为x轴、》轴、乙轴，建立空间 直角坐标系，设点F化，元，2) 分别求出平面AEF和平面DEF的法向量，利用公式求出tana,tanP 再结合题意求出九即可 【详解】因为圆柱O0的轴截面4BCD是正方形，且正方形的对角线长为2√5 所以0B=0C=1,00=2,O01底面圆0， 因为点E在O上，BE-CE,所以OE1BC, 如图，以点0为坐标原点，分别以OE,OC,O0所在的直线为轴、y镇、2轴，建立空间直角坐标系， 第6页/共28页 6学科网6组卷网 所以点A(0,-12),E(1,00).D(0,12) 设点F,元，2)，其中0<1≤1，-1<元<0，P+2=1,且风即为点F到平面0B0的距离， 设平面ABF的法向量为m=(x,,2),AE=(1,-2),AF=(化，+1,0)。 m·AE=0 x+y-2z=0 白m那-0+a+y-0◆=A+1则=6=2-，越 2 m-2*-2） 设平面DEF的法向量为i=(,片，)，DF=(么，元-1,0）.DE=(仙，-1，-2) i.DF=0x+(2-1)y=0 曲后0E=0图20”令5=-1=44=2，所以 -(2-24） 依题意，平面4DF的一个法向量为00=(00,2). 记二面角D-F-E,A-DF-E的大小分别 a,B.a为锐角， B 为钝角， 因为+2=1，所以-(+)>0.(-)-t>0 第7页/共28页 学科网命组卷网 m.00 2-t+1 t-（2+1) coSa= 所以 m00 2+1++8-+x2v5r+5a+-2a+0). 22+(2+1)月 所以sina= 2VP+(2+1) V52+5(2+1}-2(1+1）, t-（2+1) cos B=n00 2+t-1 (（1-)-t 00 a-1++2+-少x2V5+50--21-刀)，所以 sin B= 5r+50-jP-2x0-刀，mA-=2y2+0-y 2VP+1-)月 (1-)-t 所以ma2可，2A22-2-a 1 4V2 t-(2+1)(1-)-tt-(2+1)(1-)-t 因为m-mB=8,所以厂天+元8，又因为e(-L0,所以无=-万 4V2 4 √7 所以点F到平面OEO的距离为4· 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列命题正确的有() A.空间中不相交的两条直线是异面直线 B.已知1，B,C,D,E是空间中的任意五点，则B+BC+CD+DE+EA=-0 C,若两个非零向量征，C⑦满足+西=0，则A,B,C,D四点共线 第8页/共28页 学科网命组卷网 D.若B,B,C,D四点共面，且点B,C,D不共线，则存在z∈R,使得MB=xAC+yAD+zAE x+y+z=1 且 【答案】BD 【解析】 【分析】依次判断每个命题，利用空间直线位置关系、向量加法法则、共线向量性质、共面向量定理判定 真假 【详解】对于A,空间中不相交的两条直线是异面直线或平行直线，故A项错误： 对于B,已知4，B,C,D,B是空间中的任意五点，则B+BC+CD+DE+EA=0,故B项正确： 对于C,若两个非零向量AB,CD情足B+C而=0，则4，B,C,D四点共线或4B11CD 故C项 错误； 对于D,若E,B,C,D四点共面，且点B,C,D不共线， 由共面向量定理，存在实数m,”使得EB=mEC+nD 辰开AB-征=mAC-A回+m(MD-AE,整理得B=mAC+nAD+I-m-)M正 对比AB=xAC+yAD+zA正，可得X=my=,2=1-m-n, 所以 x+y+z=1 ,故D项正确 10.如图，在长方体 BCD-4BCD中，E,F分别是AB,AD的中点，4B=D=2DD=2 则下列结论正确的是() D A A.ABCD 的面积为2√6 第9页/共28页 命学科网命组卷网 B.EF平面BCD √10 C.异面直线EF与CD,所成角的余弦值为5 √6 D.点E到平面BCD的距离为2 【答案】BCD 【解析】 【分析】借助长方体几何性质或空间直角坐标系，通过线线平行转化判断线面平行、异面直线夹角，结合 解三角形与点到平面距离公式逐一验证命题 【详解】对于A,因为在长方体MBCD-4B,CD中，MB=D=2DD=2, 所以△B,CD是等腰三角形，B,D=2V2,B,C=D,C=V5,其面积为2 2W2×5-2=V6 故A 项错误； 对于B,E,F分别是AB,AD的中点，由长方体的性质知， EF//BD//BD 又因为EF女平面B,CD,BDc平面B,CD,所以EF/平面BCD,故B项正确： 对于C,因为 EF//B D ,所以异面直线EF与CD所成的角为∠CD,B或∠CD,B的补角， LBD √20 cos ZCD,B.CD65·故c项正确 以D为坐标原点，DA,DC,DD所在的直线分别为轴、y轴、2轴，建立空间直角坐标系，如图所 示， 第10页/供28页 6学科网6组卷网 D B D B 因 AB=AD=2DD=2,E,F分别是AB,AD的中点， 所以点D(0,01,C(0,2,0）,E(21,0）.B(22,) 所以BC=(-2,0-),BD=(-2,-2,0).CE=(2,-1,0) 设平面B,CD的法向量为=(x,y2), n.B,C=-2x-z=0 则i-BD,=-2x-2y=0 令x=-1,得y=1,2=2,则i=(-11,2). 又CE=(2-1,0) n.CE_(-)×2+1x(-)+2x0_3=V6 所以点E到平面BCD的距离为闭 V(-1)2+12+22 √62，故D项正确. 11.将正方形ABCD沿对角线BD翻折，记二面角A-BD-C为O,BD的中点为O,则下列结论正确的 是() AVB∈(O,可，都有AC⊥BD B.若正方形折叠后，AB=2AC,则△AOC是等边三角形 C若b=交。4c 4,则B=1-2 2 第11页/共28页 命学科网命组卷网 √3 D.若0=2，则直线AB与平面ACD所成角的正弦值为3 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A,利用线面垂直的判定定理证明BD⊥平面AOC,可得结论；对于B,通过计算三角形 边的关系即可判断；对于C,利用余弦定理推理计算即得；对于D,利用条件建系，求出相关点与向量的 坐标，利用空间向量的夹角公式计算即可 【详解】易知原正方形ABCD的对角线相交于点O,翻折后，得到的图形如图所示. B D 对于A,由正方形的性质知 40LBD,C0LBD,A0,0Cc平面A0C,A0nOC=O, 所以BD⊥平面A0C,又因ACc平面A0C,则9∈(0，列，都有BD⊥AC,故A正确： 对于B,正方形4BCD翻折后，4B=24C,易得OM=OC=)B=V2AC 所以△AOC不是等边三角形，故B错误； 对于C,由正方形的性质知OA1=OC=2 O42 1 B,所以AB22 2 在aA0C中，因为∠A0C=0=元 O+0C2-AC22 2,化简得0=2-V2 AC2 4,由余弦定理， 20A-OC 所以B=22-V2)=1-2 AC2 1 2,故C正确； 第12页/共28页 6学科网命组卷网 对于D,因为2，如图所示，以O为坐标原点，OC,OD,OA所在的直线分别为x、y、z轴，建立空间 O-xyZ 直角坐标系 y 设翻折前正方形MBCD的边长为V2, A(0,0,1),B(0,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0) 则点 所以B=0,-l,-0,CD=(-1,10,AD=(0,1-) 设平面ACD的法向量为m=(:,水，2)， m.CD=-x+y=0 所以 mD=y-2=0，故可取m=1, cos(AB,m)=- AB.m -26 AB川mV2x53, 6 所以当？2时，直线B与平面4CD所成角的正弦值为3，故D错澳 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12在空间直角坐标系0-2中，点(m,”P)关于平面0对称的点的坐标为一 第13页/共28页 6学科网列组卷网 【答案】（-m,h,p) 【解析】 【详解】依题意，点(m,n,P)关于平面0：对称的点的坐标为←m,P) 13.在空间直角坐标系0-2中，已知点4,02)，B(3,-,2）,C(-12,）,点M在线段0A上运 动，当MB·MC取得最小值时，点M的坐标为一，此时点M到线段BC的中点的距离为 V30 【答案】 ① ②.10 【解析】 【分析】先根据点M在线段QA上运动设出点M的坐标，再求出M历与MC的坐标，进而求得M砺MC 关于参数的表达式，根据二次函数性质求出最小值时参数的值，得到点M的坐标；最后求出线段BC的中 点坐标，利用两点间距离公式求出点M到线段BC的中点的距离 【详解】设点M(xy2),因为点M在线段O4上运动，所以OM川O1, 因为点A,0,2),B(3,-1,2).C(-1,2,1) 设OM=0A(0≤11)，则点M飞，0,2)）， 所以M=(3-4,-山2-2），MC=(-1-62,1-2）. 则师-Mc-B-4-122刘(1-421-20=5-&-3=51- 31 当时..C3,时点为专Q 因为点B(3,-1,2),C(-1,2,1), 所u服ac时内e标〔引 第14页/供28页 学科网组卷网 所以点M到线段BC的中点的距离为 -日-八传哥- 14.如图，在某市一建筑物楼项有一四面钟楼，四个大钟对称分布在四棱柱的四个侧面（四棱柱镶嵌时钟的 部分可以看成正四棱柱，钟面圆心在棱柱侧面对角线的交点处).已知在3点整点时刻，相邻两钟面上的时 针所在的两条直线相互垂直，则在4点时，相邻两钟面上的时针所在的两条直线所成角的正切值为一 【答案】 V15 【解析】 【分析】利用正四棱柱建空间直角坐标系，借助3点时针垂直的条件确定底面边长与侧棱长的关系，求 出4点对应两条时针方向向量，用向量夹角公式算出夹角正切值 【详解】如图，在正四棱柱 BCD-4BGD中，F为DD的中点，CROCD=:E,EF在3点钟时 针所在的直线上，EG在4点钟时针所在的直线上， M为CG的中点， BC∩BC=H,HM在3点钟时针所在的直线上，HL在4点钟时针所在的直线上， 则∠LHM=∠GEF=30° a(a>0) ,侧棱长为 b(b>0) 设正四棱柱的底面边长为 以A为原点，AB,AD,A4的方向分别为x轴、y轴、2轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所 示， 第15页/共28页 6学科网命组卷网 D C B F E H G M D立 3a 所以点E(a,2a,b) 0,2a,b- 3 H(2a,a,b): 2a,2a,b-3a 设两条直线所成角为B, EG.HL 4-a顶-0c 3 EG.HL 4a24, 15 s如0=-s0=,5,所以m-=i5 164 4 故在4点时，相邻两钟面上的时针所在的两条直线所成角的正切值为5 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.如图，AB是圆的直径，AM与圆所在的平面垂直，C是圆上不同于A,B的一点， AB=AM=2AC=2 M C B 第16页/供28页 6学科网列组卷网 (1)求点B到平面ACM的距离： (2)求异面直线CM与AB所成角的正弦值. 【答案】(1)V3 √95 (2)10 【解析】 【分析】(I)通过证明线面垂直可得到点B到平面ACM的距离为BC的长，利用直径所对圆周角为直角 可得△ABC为直角三角形，根据勾股定理即可求出点到平面的距离BC的长： (2)根据(1)中的线面垂直，建立空间直角坐标系，根据向量角求出异面直线所成角的正弦值. 【小问1详解】 因为AM⊥平面ABC,BCC平面ABC,所以AM⊥BC, 因为AB是圆的直径，所以AC⊥BC, AMDAC=-A,且4M,4Cc平面ACM 因为 ，且 所以BC1平面ACM,因为AB=2AC=2,所以BC=V5 所以点B到平面4CM的距窝为BC的长，即V5 【小问2详解】 因为AB是圆的直径，所以AC⊥BC, 因为AM与圆所在的平面垂直，C是圆上不同于A,B的一点， C-xyz 所以作AM的平行线，建立空间直角坐标系 ,如图所示 第17页/供28页 6学科网命组卷网 ZA 因为AB=AM=2AC=2,所以点C(00,0),A(0,10).B(V5,0,0）,M(0,1,2) 则CM=(0,12),AB=(5,-1,0) 所以cosCM,AB= CM.AB -1 √5 CM AB1+22×√3+I 110, 5 所以异面直线CM与AB所成角的余弦值为10， 5v5 故异面直线CM与4B所成角的正弦值为110010· 16如图，在平行六面体1BCD-AB,GD中，向量AB,AD,M4两两之间的夹角均为60°， AD=AA=AB=1.AN=2NC DM+BM=0 (1)求线段MN的长度： (2)求证：MN⊥BD 2 【答案】(1)2 第18页/供28页 6学科网6组卷网 =B+0+,a4 (2)证明：由(1)知， 6 6 BD=AD-AB ,0-而4-D4-x×}}, 所m-BD-名B+石4D+4(aD-码 -B-AD-AB+AD-ABAD+3AD-348-4 1w1-0 所以MN⊥BD,故MN LBD 【解析】 【分析】(1)由空间向量基本定理得到662 ,通过平方结合向量数量积的运算 即可求解； (2)结合()通过M·BD=0;即可求证 【小问1详解】 因为在平行六面 ABCD-AB,CD中， 由AN=2NC,DM+BM=0 可.4w-号4C@=A 所以MN=MD+DA+4N (DB-DD)D++AD) 第19页/供28页 6学科网命组卷网 号4-(-0)-0+号6+0) +而+4 因为4D=14=4B=1,向量B,AD,4两两之间的夹角均为60， 则840-6.4-D4-1xg 所-(G+后0+4》 =3(+40+9G+2.0+6B-4+6.d2. 2 故线段MN的长度为2 【小问2详解】 略 17.如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为4的正方形，侧面PCD⊥底面ABCD, CP=DP=VI3,E,G分别是CD,DP的中点，点F在棱AB上，且MF=3BF (1)求证：FG/平面BEP. (2)求直线FG与平面BCP所成角的正弦值， 第20页/共28页 6学科网 命组卷网 【答案】（证：明因为在四棱能P-ABCD中，CP-=DP=5,E是CD的中点，所以EPLCD, 又侧 PCDL底面MBCD,侧面CDPn底西MBCD=CD.PEc平面PCD, ,侧面 所以EP⊥平面ABCD」 以E为坐标原点，垂直于CD的直线为x轴，直线EC,EP分别为y轴和z轴，建立如图所示的空间直 角坐标系. 因为底面MBCD是边长为4的正方形，CP=DP=3,E,G分别是CD,DP的中点， AF=3BF EP=3 AF=3 BF=1 ,所以 则点E(0,00),P(0,0,3).F(41,0).B(4,2,0).D(0,-2,0) 90-.则5c-(42. EP=(0,0,3),EB=(4,2,0), n.EP=3z=0 设平面E的法向量为万=(x,y,z)'则n-EB=4x+2y=0” BEP 取y=-2,得x=1,2=0,所以i=(山-2,0) 所以 -i=(4x1+(2x(2+x0=0即7 '即FG⊥n, 又FGa平面BEP,所以FGII平面BEP 第21页/供28页 6学科网 命组卷网 6W1157 (2)1157 【解析】 【分析】(1)建立如图所示的空间直角坐标系，用向量法证明线面平行； (2)由空间向量法求线面角即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由(1)知 BP=(-4,-2,3),BC=(-4,0,0), m.BC=-4x=0 BCp的法向量为m=(6,2)则m-Bm=4x-2%+32=0 设平面 取=2，得x=0,片=3，所以m=(0,32) 所以Cos<m,FGdi=mFG -6+3 -6/1157 FG= -4, 2 mFG 16+4+9x/9+4 1157,则 设直线FG与平面BCP所成的角为0，则sim0=c0sm,FG=657 1157, 6W1157 所以直线FG与平面BCP所成角的正弦值为1157· 18.如图，平面 BCD1平面1DBF,其中四边形MBCD为矩形，四边形4DEF为梯形，MF=2DE AF.EF=0,AF-AD=4 第22页/共28页 6学科网命组卷网 (1)求证：平面ADEF⊥平面ABF (2)若4B=25,求二面角C-BD-F的余弦值 【答案】(I)证明：因为四边形ABCD为矩形，所以AB⊥AD 因为平面ABCD⊥平面ADEF, 且平面ABCD∩平面ADEF=AD,BAC平面ABCD,所以AB⊥平面ADEF. 又EFC平面ADEF,所以AB⊥EF, 又MF.F=0,所以AF⊥EF,且4FnAB=4M,ABC平面ABF, 所以EF⊥平面ABF. 因为EFC平面ADEF,所以平面ADEF⊥平面ABF. 2 (2)4 【解析】 【分析】(I)由条件得到AB⊥平面ADEF,进而得到AB⊥EF,再结合AF⊥EF,即可求证； (2)建系，求得平面法向量，代入夹角公式即可求解， 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为四边形ABC 为矩形，四边形ADF为梯形，AF.EF=0,所以F⊥EF】 以F为坐标原点， AF,FE 所在的直线分别为轴、'轴。 第23页/共28页 6学科网列组卷网 又AB⊥平面ADEF.过点F作AB的平行线为z轴，如图： 因为AB=23,AF=2DE,M=AD=4,所以DE=2. 在梯形ADEF中，取AF的中点G,连接DG, D G 因为DEMF,MF=2DE,G为MF的中点，所以DEFG,DE=FG 故四边形DEFG为平行四边形，所以DGIIEF，DG=EF=2, 因为EF⊥AF,所以四边形DEFG为矩形，则AG=AF-GF=4-2=2, 所以EF=DG=VAD2-AG=V4-22=2V5 所以点F(0,0.0),C-2,23,2,B(4,023),D(-2,25,0. 则DF=(2,-25,0),BC=(2,25,0,BD=(2,25,-2) 设平面BCD的一个法向量为m=(x,少，2)】 m.BC=2x+2√3y=0 m.BD=2x+2V3y-25z=0 第24页/共28页 学科网命组卷网 令y=-1,得x=,z=0,所以m=(N5,-1,0) 设平面BDF的一个法向量为i=(a,b,c) i.DF=2a-23b=0 则i-BD=2a+23b-2V3c=0' 令b=1,得a=V3,c=2,所以i=(V5,12. 所以cosm,n= mn。2V2 m同2×2√24， √2 由图可知二面角C-BD-F为钝二面角，所以二面角C-BD-F的余弦值为4· 19.已知一组空间向量4，马，4，…，a.(n∈N,）,记S.=4+a+a++a,如果存在马，( p∈{1,23，n),使得回，≤S,-a,那么称a,是该向量组的“@向量”。 4)已知4=(4,0,3)，4=(31，m）,4=(0,24),若4是向量组4,4,4的“0向量”，求 实数m的取值范围. (2)四面体P-ABC内接于以0为球心，3为半径的球，且501+130丽+120C=0, ①记4=01,4=0B,4=0C,向量组4,4,4中是否存在“0向量”？若存在，指出哪个是 “0向量”并证明；若不存在，请说明理由. ②求四面体P-ABC体积的最大值. 【答案】1)[-V59,V59 (2②)①因为四面体P-ABC内接于球0，所以问=可=回， 因为50A+1308+120C-0,所以5a+13a+12a=0,所以5a+12a=-13a 第25页/供28页 6学科网命组卷网 等式两边同时平方得25(@+14(@+120a·g=169(可，所以4·4=0，即414， 所以OA10c,且4，B,C,0在同一平面内. 如图所示，以O为原点，OA,OC所在的直线分别为x,y轴建立平面直角坐标系， A大 则点43,0)，C(0,3),所以4=(3,0)，4=(0,3)， 将装入5+13a+12a=0中.得马-(1得) 同-5--+回-，g9- a=3<s,-4=a+网=v32+32=32 a-小水k-a-+-3-2 由“0向量”的定义，得马，4都是向量组4,4，a的“0向量”. 135 ②13 【解析】 【分析】(4)根据题干信息求出S,再代入题干关系得到不等式，解得m的取值范围： (2)①由5a+13a,+12a,=0结合向量的运算可得0A10C,且A,B,C,0在同一平面内，随之 第26页/共28页 6学科网命组卷网 将问题转化为平面向量的问题，再依次分析4，a，马哪个满足“0向量”的定义： ②由①可知△ABC过球心O,OP⊥平面ABC时，四面体P-ABC的体积取得最大值. 【小问1详解】 因为4=(4,0,3)，4=(3,1，m).g=(02,4) 所以s,=(7,37+m),回=i0+m,区，-ag=v6 又因为4是向量组4,4,4的“0向量”， 所以回≤-a,所以10+msV69, 解得V59≤m≤V59 所以实数m的取值范围为[-V59,V59]】 【小问2详解】 ①略 ②白0得O110C,且4，B,C,0在同-平面内，所以△4BC在过球心0的做面上， 又因为501+130丽+120元=0，所以501+130丽=-120元 等式两边同时平方可得，25(OA+169(OB+1300A,0Bcos∠A0B=144(0C 所以0s∠A0B=-5 13,所 sin∠A0B=I12 3 同理可得1308+120C=-50A 等式两边同时平方可得169(OB+14(oC+3120 OCcos∠B0C=25(OA, 所以os∠B0C=-12 =13,所以sin∠B0C=A 0-13, 第27页/供28页 6学科网6组卷网 SM4nC=SAOn+SMc+SmOC =2 sin∠AoB+2oA,o+oocsin∠B0c 21313 当OP⊥平面ABC时，四面体P-ABC的体积取得最大值， nw号8con-3-g 13 第28页/共28页