精品解析：安徽省阜阳市临泉县安徽省临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

高二数学 （120分钟　150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列各组向量互相垂直的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 若，，，则在上的投影向量的模为（ ） A. B. C. D. 3. 在正方体中，（ ） A. B. C. D. 4. 在空间直角坐标系中，等腰梯形的三个顶点分别为，，且分别为等腰梯形的腰，则点的坐标为（ ） A B. C. D. 5. 已知椭圆的右焦点为，点在直线上，，为坐标原点，则=（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 阅读材料：在空间直角坐标系中，过点且一个法向量为平面α的方程为；过点且一个方向向量为的直线l的方程为. 利用上面的材料，解决下面的问题：已知平面α的方程为且平面α过点，直线l过点A且其一个方向向量为，则直线l与平面α所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 若点O和点F分别为双曲线的中心和右焦点，点P为双曲线上的任意一点，则·的最小值为（ ） A. B. 3 C. D. 8. 在四面体中，已知，，，，则与平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 定义：空间向量满足.若向量，向量为单位向量，则的值可以是（ ） A. 6 B. 9 C. D. 10. 小强同学在学习平面的法向量的过程中，发现了一种求解已知平面的法向量的快速方法：在空间直角坐标系中，平面α内两个不共线的向量分别为则平面α的一个法向量为.若已知在平面ABO中，O为原点，点，小强选取点O，A，B三点中的两点，用他的方法计算平面ABO的法向量，下列结论正确的是（ ） A. 是其中一个解 B. 是其中一个解 C. 用上述条件在该方法下得到的法向量是唯一的 D. 用上述条件在该方法下得到法向量的模长是唯一的 11. 已知是圆上的点，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为4 D. 的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，则____. 13. 以双曲线焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆的标准方程为____. 14. 已知，.若，则b的取值范围是____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，. （1）若，求； （2）若不构成空间的一组基，求x的值. 16. 已知双曲线C：，为双曲线C的两个焦点. （1）若双曲线C的离心率，求实数m的取值范围； （2）若，为双曲线C上一点，且，求的值. 17 已知直线l经过点. （1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程； （2）若l与圆C：相交于A，B两点，，求l的一般式方程. 18. 已知抛物线与直线相交于点两点（点在第一象限），是该抛物线上位于第一象限内且异于的点. （1）记直线的斜率分别为，求证：. （2）过点作抛物线的切线与直线相交于点，若，求点的坐标. 19. 如图，是三棱锥的高，，，分别为的中点和四等分点. （1）证明：平面. （2）若，，求二面角的平面角的正弦值. （3）求直线与平面所成角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 （120分钟　150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列各组向量互相垂直的是（ ） A. ， B. ， C ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量垂直的坐标运算判断ABD，根据空间向量共线坐标运算判断C即可. 【详解】对于A，因为，所以不垂直； 对于B，因为，所以不垂直； 对于C，因为，，所以，所以； 对于D，因为，所以. 故选：D 2. 若，，，则在上的投影向量的模为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的坐标运算得，进而利用数量积的坐标运算求得和，最后代入投影向量公式求解即可. 【详解】因为，，所以， 又，所以， 又， 所以在上的投影向量的模为 . 故选：A 3. 在正方体中，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的加减运算法则即可求解. 【详解】正方体中，，， ， 故， 故B正确. 故选：B. 4. 在空间直角坐标系中，等腰梯形的三个顶点分别为，，且分别为等腰梯形的腰，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，根据为等腰梯形列方程组，由此求得点的坐标. 【详解】设, 由题意得,, 因为为等腰梯形,所以，且, 所以， 解得，即. 故选：B 5. 已知椭圆的右焦点为，点在直线上，，为坐标原点，则=（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】设出坐标，根据垂直关系得到坐标关系，然后将坐标关系代入数量积得到结果. 【详解】设，则， 因为，所以，所以， 所以， 故选：C. 6. 阅读材料：在空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面α的方程为；过点且一个方向向量为的直线l的方程为. 利用上面的材料，解决下面的问题：已知平面α的方程为且平面α过点，直线l过点A且其一个方向向量为，则直线l与平面α所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用材料带入点求出平面方程，结合材料变形待定系数得出其法向量，再利用空间向量计算线面夹角即可. 【详解】将点代入中，得， 方程整理为. 由题意，可得平面α过点，且法向量. 设直线与平面夹角为， 则，∴故直线l与平面α所成角的大小为. 故选：B 7. 若点O和点F分别为双曲线的中心和右焦点，点P为双曲线上的任意一点，则·的最小值为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将的表达式列出来，然后根据的范围求出最小值即可. 【详解】设，点为双曲线上的一点，所以满足，即. 由题知，则，， 所以， ， 所以当时，最小. 故选：C. 8. 在四面体中，已知，，，，则与平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，，，并以这三个向量为基底向量，然后设平面的法向量为，由空间向量垂直求得其中一个法向量，然后由空间向量求出线面角的正弦值，从而得到线面角的余弦值. 【详解】 设，，，则，，，， 故可作为一个基底. 设平面的法向量为，， 由，， 得，则，令，则， 所以其中一个法向量， 设与平面所成的角为， ， 所以. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 定义：空间向量满足.若向量，向量为单位向量，则的值可以是（ ） A. 6 B. 9 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题中的定义直接计算并判断可得. 【详解】由题意可得，， 设， 则， 又，所以，所以. 故选：BC. 10. 小强同学在学习平面的法向量的过程中，发现了一种求解已知平面的法向量的快速方法：在空间直角坐标系中，平面α内两个不共线的向量分别为则平面α的一个法向量为.若已知在平面ABO中，O为原点，点，小强选取点O，A，B三点中的两点，用他的方法计算平面ABO的法向量，下列结论正确的是（ ） A. 是其中一个解 B. 是其中一个解 C. 用上述条件在该方法下得到的法向量是唯一的 D. 用上述条件在该方法下得到的法向量的模长是唯一的 【答案】BD 【解析】 【分析】利用法向量求法求解. 【详解】由题意，若取， 则由计算规则得出. 若取， 则由计算规则得出. 无论法向量方向如何，模长均为：， 故选：BD 11. 已知是圆上的点，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为4 D. 的最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】将圆的方程化为标准方程，利用直线与圆的位置关系结合截距可判定A，结合两点斜率公式可判定B，利用点与圆的位置关系可判定C，利用点到直线的距离公式可判定D. 【详解】将化为标准方程， 得，圆心，半径. 对于A，设,则 P ( a , b ) 在直线l：上， 即当直线l与圆相切时，m有最大值或最小值， 则，所以，所以的最小值为，此时点P位于图中处，故A项错误； 对于B，设，当与圆相切时，斜率取得最大值或最小值， 直线的方程为， 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径， 即，可得，所以的最大值为， 此时点P位于图中处，故B项正确； 对于C，圆心到点的距离为， 所以圆上的点到点的距离的最小值为， 所以的最小值为4，此时点P位于图中处，故C项正确； 对于D，圆心到直线距离=， 所以点到直线距离的最大值为， 所以的最大值为，此时点P位于图中处，故D项错误. 故选:：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，则____. 【答案】或 【解析】 【分析】先根据空间向量线性运算的坐标表示求出，再根据空间向量的模的坐标公式求解即可. 【详解】， 则，解得或. 故答案为：或. 13. 以双曲线焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆的标准方程为____. 【答案】 【解析】 【分析】确定双曲线的焦点和顶点坐标，即可求解 【详解】由，可得焦点坐标为，顶点坐标为 设椭圆的方程为， 由题意可知： ， 所以， 所以椭圆的标准方程为， 故答案为： 14. 已知，.若，则b的取值范围是____. 【答案】 【解析】 【分析】变形得到A表示一个以为圆心，为半径且的半圆，表示斜率为1的一条直线，结合点到直线距离公式和图象可得临界情况，从而得到答案. 【详解】因为，所以， 即， 将两边平方并化简，得，， 所以A表示一个以为圆心，为半径且半圆. 表示斜率为1的一条直线. 因为，所以直线与半圆没有交点， 结合图象可得，当直线过点时，可得，解得. 当直线与半圆相切时，可得，即， 结合图象可知，不符合题意，舍去，即. 所以若，则b的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，. （1）若，求； （2）若不构成空间的一组基，求x的值. 【答案】（1）5； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用空间向量垂直关系的坐标表示求出，进而求出的坐标，再利用坐标求出模. （2）利用空间基底的意义，结合共面向量定理列式求解. 【小问1详解】 由，得，解得，则，而， 因此，所以. 【小问2详解】 由不构成空间的一组基，得向量共面，设， 即，因此，解得， 所以x的值是. 16. 已知双曲线C：，为双曲线C的两个焦点. （1）若双曲线C的离心率，求实数m的取值范围； （2）若，为双曲线C上一点，且，求的值. 【答案】（1）； （2）10. 【解析】 【分析】（1）根据离心率公式及关系，结合题意列式求解即可； （2）根据双曲线的定义及勾股定理列式求解即可. 【小问1详解】 因为， 因为， 所以， 所以，解得， 所以实数m的取值范围为. 【小问2详解】 当时，双曲线， 所以， 所以， 所以， 所以. 17. 已知直线l经过点. （1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程； （2）若l与圆C：相交于A，B两点，，求l的一般式方程. 【答案】（1）或； （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，按直线是否过原点分类，再利用直线的截距式方程求解. （2）由圆的弦长公式求出圆心到直线的距离，再按直线的斜率是否存在分类求解. 【小问1详解】 当l经过原点时，直线l的方程为； 当l不经过原点时，设l的截距式方程为（a≠0）， 由直线过点，得，解得，则l的方程为，即， 所以直线l的方程为或. 【小问2详解】 圆C：的圆心，半径， 由，得圆心到直线的距离， 当l的斜率不存在时，点到直线的距离为1，因此l的方程可以为； 当l的斜率存在时，设l的方程为：，即， 于是，解得，l的方程为， 所以直线的方程为或. 18. 已知抛物线与直线相交于点两点（点在第一象限），是该抛物线上位于第一象限内且异于的点. （1）记直线的斜率分别为，求证：. （2）过点作抛物线的切线与直线相交于点，若，求点的坐标. 【答案】（1）证明见解析 （2）或. 【解析】 【分析】（1）先求出的坐标，然后将的表达式列出来，进而可证明结果. （2）先求出切线的方程，然后根据面积等式求得结果. 【小问1详解】 由题意得点的坐标分别为， 设点的坐标为，且， 则，，所以. 【小问2详解】 设点的坐标为，则切线的方程可设为， 联立该切线方程和抛物线方程为，化简得， 因为该切线与抛物线只有一个交点，所以， 解得，所以切线的方程为， 令，则的坐标为， 因为，所以，， 所以，解得或.故点的坐标或. 19. 如图，是三棱锥的高，，，分别为的中点和四等分点. （1）证明：平面. （2）若，，求二面角的平面角的正弦值. （3）求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）. （3）. 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，通过证明平面平面，即可求证； （2）建系，求得平面法向量，代入夹角公式即可； （3）由线面角的向量法公式即可求解. 【小问1详解】 证明：如图， 取的中点，连接，由， 故，又，又共面， 所以，平面，平面， 故平面， 又由中位线可得：， 平面，平面， 得平面， 为平面内两条相交直线， 所以平面平面， 又平面， 所以平面. 【小问2详解】 ， 由（1）可知平面平面， 故二面角与二面角的平面角相等. 以点为原点，所在的直线为x，z轴，过点且平行于的直线为y轴建立空间直角坐标系，如图所示. 则， 故，. 设平面的法向量为，易知平面ABC的一个法向量为， 设二面角平面角为， 则， 令，得， 则 ， 所以二面角的平面角的正弦值. 【小问3详解】 因为，平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为， 所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $