浙江绍兴鲁迅中学2026-2027学年高二上学期数学限时训练9.13

绍兴鲁迅中学高二数学限时训练9.13 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的、 1.在空间直角坐标系中，点P(-1,2,-3)关于xOy平面的对称点P的坐标为() A.(L,2,-3) B.（-1,-2,-3) c.（-1,2,3) D.0,-2,-3) 2.直线：√3x+y-3=0的倾斜角为() A.30° B.60° C.120° D.90° 3.设向量g,弓，马不共面，已知AB=-36-g+2g,BC=日+g-6%,CD=4+28+86,若A,C, D三点共线，则九=() A.1 B.0 C.3 D.2 4.已知直线：(3+m)x+4y=5-3m,2:2x+(5+m)y=8平行，则实数m的值为() A.-1 B.-7 C.-1或-7 D.1或7 5.已知四面体0ABC中，0A=1,0B=2,0C=2,40B=∠A0C=∠B0C=行，空间-点M满足 -号O+O丽+m0c,若么8，C,M因点共面，则OM=（） 2 A. 2 B.6 C.2 D.5 6.已知空间向量à=（久-2，-l),6=(3,0,1),则向量6在向量ā上的投影向量是（） ) A. B9到 c(层 10105 D.9-99 7.已知点A(亿，-3)B(-3,-2),斜率为k的直线1过点P(1,),则满足下列条件的直线1与线段AB相交的是（) A.(-0,4] B[ c n.e4[& 8.已知在边长为a的正方体ABCD-ABCD中，E,F分别为AB,BC上的动点，且AE=BF当B-BEF的体 积取最大值时，平面B,EF与平面BEF的夹角的正切值为() A.2 B.3 3 c 3 D.22 二、多选题：本题共3小题，共8分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.己知直线1：-y+2=0,直线2：-y+2=0,则（) A.当a=0时，两直线的交点为(-2,2) B.直线恒过点(0，-2) C.若⊥l2,则a=0 D.若W儿2，则a=1或a=-1 10.过点P(-2,3),并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是() A.x-y+1=0 B.x+y+1=0 C.x-y+5=0 D.3x+2y=0 11.如图，点M是棱长为1的正方体ABCD-ABCD的侧面ADDA上的一个动点（包含边界），则下列结论正 确的是（) D C A.当CM⊥AD时，点M一定在线段AD上 ® B.当M为AD的中点时，三棱锥M-ABD的外接球的表面积为2π C.当点M在棱DD上运动时，MA+MB的最小值为√5+1 D D.线段4D上存在点M,使异面直线MB与CD所成角的正切值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.如图所示，二面角a-1-B为60°，A,B是棱I上的两点，AC,BD分别在半平面a,B内，且AC⊥I,BD⊥1， AB=2,AC=3,BD=4,则CD的长 D B,已知a>0,b>0,直线m+2y-3=0和+b-y+2=0垂直，则。+3的最小值为 14.如图，在正四棱锥P-ABCD中，PF=F而，P亚=2丽，设平面AEF与直线PC交于点G,PG=2GC,则 = A B 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.如图，正四面体ABCD(所有棱长均相等)的棱长为1，E,F,G,H分别是正四面体ABCD中各棱的中点，设AB=a, AC=b,AD=c. (1)用a,石，c表示EF,并求EF的长； G (2)求EF与G五夹角的大小. B E 16.已知空间中三点A(-1,1,1),B(0,2,1),C(-2,1,3): (1)设=2V2,且11AB,求元的坐标： (2)若四边形ABCD是平行四边形，求顶点D的坐标； (3)求△ABC的面积. C 17.如图，在正三棱柱ABC-AB,C中，M是BC的中点. B (1)证明：AM⊥BC,: (②若AB=2,直线4C与平面BCC8所成角为牙，求点M到平面4BC的距离， M 18.设直线1的方程为(a+1)x+y+2-a=0(aeR) (1)求证：直线1经过定点，并求此定点坐标， (2)若1在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程。 (3)若直线1交x轴正半轴于点A,交y轴负半轴于点B,△AOB的面积为S,求S的最小值并求此时直线I的方程， 19.如图，圆台O,O2的一个轴截面为等腰梯形AACC,AC=2A4=2AC1=4,B为底面圆周上异于A、C的 点。 分 (1)求该圆台的侧面积S; (2)若P是线段BC的中点，求证：直线CPI/平面AAB; (3)若AB=BC,设直线I为平面AAB与平面CCB的交线，设I∩平面AA,CC=D,点2在线段BD上（不 含端点)，直线BC与平面QAC所成的角大小为a,求sina的最大值. 绍兴鲁迅中学高二数学限时训练9.13答案 1.C【详解】在空间直角坐标系中，点P(-1,2,-3)关于x0y平面的对称点的横坐标和纵坐标不变，竖坐标变为原来的 相反数，即P(-1,2,3).故选：C. 2.C【详解】直线1：√3x+y-3=0的倾斜角为a则k=tama=-5,因为a∈[0,180)，所以a=120° 3.B【详解】因为西=-3g-马+2%，C=g+g-6g,C而=46+28+8%，所以AC=B+BC=-2g+(2-1)只-4g, 因为A,C,D三点共线，所以存在唯一的y,使得CD=yAC, [4=-2y 即4+2运+=2+(1-日-4妈)，即2--)，解得：亿0放选：B 8=4y 4.B【详解】直线：(3+m)x+4y=5-3m,2:2x+(5+m)y=8平行，则(3+m(5+m)=8,m2+8m+7=0,解得m=-1 成m-71检验当m=时，12x+4y8:2x+49=8两直线重合：当m=-7时，4x-少=-)人：x少=4 两直线平行.∴实数m的值应为一7. 5.B【详解】由M=-Oi+0丽+m0c,得oM-01=-o1+o丽+m0c,所以oM-号o1+0丽+m0c. 2 由4C,M四点共面，知计}m=1,解得m=子又0-O丽=07-.O元=2eo号=1，O丽0c=4co号-2， 24 3 :ow=oi+o丽+0c=oi+o丽+o0,0M=V2oa+o丽+00可 =号oP+oP+10cP+4oa.oi+40a.oc+208.o元-24+4+4+4+4+4= 2. 6.D【详解】向量a=(2,-2,-1),6=(3,0,1),则向量五在向量a上的投影向量为： 筒.22-020g-号引aD 1-（-2)3 7D详解】根据题意，在平面直角坐标系中，作出A,B,P点，如图，当直线1与线段AB相交时，k2m一司-4？ k≤，1-=4，所以，斜率k取值范图是k≥2或k≤4. 1-2 8.D【详解】设BB=10S1≤，因为B=F,则BF=a-,所以8ma-小s兮g=膏，当且仅 当1=a-1,即1=号时取等号，又%晒=×8a×B照，且BB=a,所以当1=号时，B-BBF的体积取最大 值，即E,F为AB,BC的中点时，B,-BEF的体积取最大值，取EF中点O,连接BO,BO,因为BE=BF, 所以BO⊥EF,又BB⊥平面ABCD,EFC平面ABCD,所以BB⊥EF,又OB∩BB=B,OB,BBC平 面OBB,所以EF⊥平面OBB,又OB,C平面OBB,所以EF⊥平面OBB,则∠B,OB为二面角B-EF-B a 的平面角，在R△BBF中，B驱=那-号，即-乌。， ,所以oB=BF 4 2 BF 2 则m☑BA08-船-：-2w5 OB a 所以平面B,EF与平面BEF的夹角的正切值为2√2 2W2 9AC【详解】对于A当a=0时直线：y+2=0,直线6：x+2=0,2。,解海仁2。 {=2,所以两直 线的交点为(-2)，放人正确：对干B:直线：瓜-少+2=0，令仁，0解将2即直绒恒过点（包2）。 故B错误：对于C:若4⊥l,则a×1+(-1)×(-a=0,解得a=0,故C正确：对于D:若亿2，则a×(-a)-1×(-1)=0, 解得a=1或a=-1,当a=1时直线l:x-y+2=0,直线：x-y+2=0两直线重合，故舍去，当a=-1时 直线L:x+y-2=0,直线l2:x+y+2=0,两直线平行，所以a=-1,故D错误；故选：AC 10.CD【详解】若直线在坐标轴上的截距为0，设直线方程为y=ac(k≠0)， 又直线过点P(2小，所以3=2水，即无=子所以直线方程为y=子，即3x+2y-0: 若直线在坐标轴上的截距不为0，设直线方程为产+=1≠0)，又直线过点P(-2,3),所以2+3=1，解得a=-5, a-a a-a 所以直线方程为专考+号1，即x-y+5=0.综上可知，所求直线方程为3x+2y=0或x-y+5=0。 11.ABD【详解】对于A,若CM⊥AD,又因为CD⊥平面ADD4,ADc平面ADD4,所以CD⊥AD,又 CD∩CM1=C,CD,CM1C平面CDM,可得AD⊥平面CDM,所以AD⊥DM,又因为ABCD是正方形， 所以AD⊥AD,所以点M一定在线段AD上，故A正确：对于C,如图，旋转平面ADDA 使之与平面BBDD共面，连接A'B,交DD于M,此时MA+MB最短为B,大小 为V1+2+=V4+2互，故C错误，对于B,分别以DA,DC,DD所在的直线为x,,2 轴，建立空间直角坐标系，当M为4D的中点时，则M0,40,0),DQQo,B,10) 设三棱锥M-ABD的外接球的球心为O(x,y,2),则DO=MO=BO=AO, x+y+2=1-x}+y+2 x=2 即x+y+2-(1-+-y+2,解得y=2,∴三棱锥M-ABD的外接球半径R= 2+r+-Gj++Gj z=0 ∴.三棱锥M-ABD的外接球表面积为S=4R2=4×元× 2 =2π，则B正确： 设线段AD,上存在点M,设DW=DA=1,0,-)=化0，-)，则可得M(,0,1-),t∈[0，]， 又C(0,1,0),D(0,0,0),B（1,1,1,则DC=(01,0),MB=(（1-11,),设异面直线MB与CD所 4 2,若正切值为如0则8即心6圆P440-广化简得32r-321+7江 1:,故线段A0上存在点M,使异面直线MB,与CD所成角的正切值为子，故D正确放选：ABD, 12.√17【详解】因为AC⊥1，BD⊥1，所以ACAB=0,BDB=0,又因为二面角x-l-B为60°，ACca,BDCB, 且AC⊥1，BD⊥1，所以向量AC与BD的夹角为60°，则向量CA与BD的夹角为120°.CD=CA+AB+BD,所以 D-(@+而+丽-0++D+2a,西+20i,D+2而而=+2++2x3x4×(》,即问. 13.号【详解】由直线ax+2y-3=0和x+(亿-1)y+2=0垂直，得a+26-)=0,即a+2b=2,而a>0,b>0, 侧2号+2+号-0台+号0+后系-号当且仅当a=6=号时取等号，所以片号的最小值为号 14. 名【详解】因为元=丽+配=P丽+而-丽+历-，因为所=历，死=2丽，所以而=2丽，死=号丽，所 以元-+师-A,又G=0c,所以元后元，所以元2历+2原-a,因为 2(2+1) 2+1 元+1 区R,G共面，所以路，解得-导 15.【小问1详解】因为E,F分别为棱BC,AD的中点，且B=a,AC=,AD=c,可得 厨-题++不-o-西知--网-石+号知-而号灭+号而-，因为正四面体400D的按 长为1。则回-月-1，且a5-a-8-7可得厨气-5-+a5-e 计柠柠行脚网-号【小间2深】由医意得 顾-+而+丽西+而c0西+而+c-而=号丽+号c+号而=+3+，因此 丽丽=+6-a-6--+2-2ad-北-11-2x对-0，即丽1丽，即丽与6丽的夹角为90°. 16.【小问1详解】由已知得AB=(0,2,1)-(-1,1,1)=(11,0).因为c∥AB,所以可设c=1AB, 所以-=AE=×1+1+0=V2风=2W2,解得1=2，所以G=2AB=(2,2,0)或c=-2AB=(-2,-2,0) 【小问2详解】设D(xyz),因为ABCD是平行四边形，所以AB=DC,由A(-1,1,1),B(0,2,1),C(-21,3), [-2-x=1[x=-3 得B=(11,0),DC=（-2-x1-y,3-z),所以1-y=1→y=0,故D(-3,0,3). 3-z=0z=3 【小问3详解】由题可得CA=(1,0,-2),C丽=(2,1，-2)，所以回=2+0+(-2=5，@-=√22+12+(-2=3， 所收@器a苧@小血@网-画-5 所以6BC的面积5-回网轴@，网-分5x35} 17.【详解】(1)在正三棱柱ABC-ABC,中，因为△ABC是正三角形，M是BC的中点，所以AM⊥BC, 又因为CC⊥平面ABC,AMc平面ABC,所以AM⊥CC,因为BCnCc,=C,BC,CC,C平面BCC,B, 所以AM⊥平面BCC,B,因为BCC平面BCCB,所以AM⊥BC. (2)在正△ABC中，因为AB=2,所以CM=1,AM=√5.连接C,M,因为AM⊥平面BCC,B,所以∠AC,M是 直线AC与平面BCC,B的所成角，所以∠AC,M=45°，所以CM=V5.在正三棱柱ABC-4BC,中，CM=V5, CM=1,所以CC=√2，CA=CB=V6,在△ABC,中，由余弦定理AB2=CA+CB2-2×C,A×CB×co9∠AC,B, 得e心4CB=号，所以s血C0-5,所以M8C的面积5s-方x56x5-5,设点M到平面BC的距 离是d,则号5xd时x2x9,解得，所以点M到平面BC的矩夷 10 10 18.【详解】(1)因为直线a(-小+x+y2=0。令)20解得巴g,所以直线过定点亿-). (2)因为直线1：(a+1)x+y+2-a=0(a∈R),当直线过原点时满足条件，则2-a=0,解得a=2, 可得直线1的方程为：3x+y=0；当直线不过原点时，则直线斜率为-1，则a+1=1,解得a=0, 可得直线1的方程为：x+y+2=0:综上所述，直线1的方程为3x+y=0或x+y+2=0 (3)令x=0,解得y=a-2<0,解得a<2:令y=0,解得x=9-2>0,解得a>2或a<-1: a+1 综上所选：as-1则8m-招-部1+23+北e-+。]计3a-高-6，当且仅当 -a-1= -0一)即a=-4时取等号所以640B(0为坐标原点)面积的最小值是6，此时直线方程为3x-y-6=0. 9 19.【小问1详解】因为AC=2A4=2AC=4,所以圆台的侧面积为2m×2+2rx)×2=6m: 【小问2详解】证明：取AB中点H,连接AH,PH,如图，因为P为BC中点，所以 PH1AC,PH=4C，在等腰梯形A4CC中，4C14C,4G=号4C,所以P/AG,HD=4G,所以四边形 ACPH为平行四边形，所以CPI1AH,又AHC平面AAB,CP￠平面AAB,所以CP/1平面AAB: 【小问3详解】延长AA,CC交于点O,作直线BO,因为B,O两点分别在平面AAB与平面CCB内， 所以直线BO即为直线I,又I∩平面AACC=D,所以O点，即为点D,:AB=BC，,则OB⊥AC, 以直线O2A,O2B,O20分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，在等腰梯形AACC中， (D)0 4C=2A4=2A9=4,此梯形的高为A=-(4C,4S=5,因为4G=方4C,4G14C,所 以4C1为△0AC的中位线，则0，(00,0)，000,25,4A(2,0,0),B(0,2,0),C(-1,0,N5),所以 BC=（-1,-2,V5,丽=(-2,2,0)，0=(0，-2,25)，0，A=(20,0),设B0=1B0,则 亚=西+丽=瓜+0=(-2,2-21,25，设平面2AC的-个法向量为i=(x八z),则 i.024=2x=0 i-A0=-2x+(2-22)y+2W5z=01 -2x5+5(2-1 5+ 令y=3,得0-则有：血a=a阿-同同5+a-×矿+-2+ 2W2xV422-21+1' 令t=九+1，则ina=- H 当t=0时，sina=0,此时2=-1，当t≠0时， 2W2×V4r2-10t+7 5 0<sina= 4,当且仅当1=，即1-子时取等号，综上所述，sina的最大值为 4