专题3.4 函数的应用（一）专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题3.4 函数的应用（一） 考点预览 考点一 一次函数模型 考点二 二次函数模型 考点三 分段函数模型（计费问题） 考点四 反比例、幂与其他常见模型 考点五 根据数据选择并检验函数模型 一、知识填空 1．解函数应用题的一般步骤 （1）审题：弄清题意，分清 量与 量。 （2）建模：设出自变量，列出函数 ，并注明它的 。 （3）求解：利用函数的 、 等性质求出所需的结果。 （4）检验：把所得结果放回 中检验是否合理，再写出答案。 2．一次函数模型 （1）形如 （）的函数叫做 。 （2）它的图象是一条 ，其中 叫做 ，表示函数值随自变量变化的快慢。 （3）当 时 随 的增大而 ；当 时 随 的增大而 。 （4）典型实例：匀速运动的路程 ；固定费用加变动费用的总费用模型。 3．二次函数模型 （1）形如 （）的函数叫做 。 （2）它的图象是一条 ，对称轴为直线 。 （3）当 时，函数在对称轴处取得最 值；当 时取得最 值。 （4）实际应用中最常见的是求"最 利润""最 面积"等问题。 4．分段函数模型 （1）当自变量在不同范围内对应关系不同时，需要建立 函数模型。 （2）处理这类模型要 讨论，最后的结果再按需要取 。 （3）常见的分段计费问题有：水费、电费、 、快递费等。 5．函数模型的选择与检验 （1）常用的函数模型有：一次函数、 、 、幂函数、分段函数等。 （2）自变量每增加一个单位时，若函数值增加量相同，则考虑 模型；若增加量本身又依次相差同一个数，则考虑 模型。 （3）选定模型后，要代入 的数据进行检验，确认后再用来预测。 自检自纠： 1．（1）自变；因变 （2）关系式；定义域 （3）单调性；最值 （4）原问题 2．（1）一次函数 （2）直线；斜率 （3）增大；减小 （4） 3．（1）二次函数 （2）抛物线； （3）大；小 （4）大；大 4．（1）分段 （2）分段；并集 （3）出租车费 5．（1）二次函数；反比例函数 （2）一次函数；二次函数 （3）剩余 二、考点专练 考点一 一次函数模型 方法与技巧： 1. 识别信号：单价固定求总价、匀速运动求路程、固定费用加变动费用、每单位投入带来固定产出等，共同特征是"每增加 个单位，总量增加固定的数"。 1. 操作流程：设自变量 → 列 → 代入两组已知数据解 、 → 用所得关系式求其余量。 1. 技巧·口诀：找出"不变的量"（）与"起始的量"（），关系式往往可以直接写出来，不必列方程组。 1. 易错点：别忘了写出自变量的实际取值范围（件数、人数取正整数，长度、时间为正且受总量限制）；答句要与问题对应，不能只写解析式。 【例题精讲】 1．一根弹簧的原长为 cm，每挂 kg 重物弹簧伸长 cm，则挂 kg 重物时弹簧长度 （cm）关于 的关系式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】总长度 原长 伸长量 。 其中原长 就是截距 ，每千克伸长 cm 就是斜率 。 C 把两者的位置写反了。故选 B。 2．已知某汽车行驶的耗油量与路程成正比例，行驶 千米耗油 升，则耗油量 （升）关于路程 （千米）的关系式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】每千米耗油 升，这正是比例系数 。 故 。 先算出"单位量的对应值"就是 ，这是列正比例关系式最快的方法。故选 C。 【变式训练】 1．某种商品每件售价 元，购买 件需付款 元，则 关于 的关系式及 的取值范围为（　　） A．， B．， C． D． 【答案】A 【详解】总价 单价 件数，故 。 件数只能取正整数，因此要注明 。 应用题的自变量取值范围必须写。故选 A。 2．汽车以 km/h 的速度匀速行驶，则路程 （km）关于时间 （h）的函数图象是（　　） A．二次函数图象的一段 B．反比例函数图象的一支 C．一条折线 D．过原点的一条射线 【答案】D 【详解】，是一次函数，图象是直线；又因 ，故只是第一象限内过原点的一条射线。 实际问题的图象通常只是函数图象的一部分。故选 D。 3．若一次函数 的图象经过点 与 ，则 、 的值分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】把 代入得 ；把 代入得 ，故 。 过 轴的点可直接读出截距。故选 B。 【巩固练习】 1．某种报纸每份 元，购买 份需付款 元，下列关系式正确的是（　　） A． B． C．（） D． 【答案】C 【详解】总价 单价 份数，即 ，且份数为正整数。 B、D 都把因变量与自变量写反了。故选 C。 2．某水库汛期水位以每小时 m 的速度上涨，初始水位为 m，则 小时后水位 （m）为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】初始水位 m 对应 时的函数值（截距），每小时涨 m 是斜率，故 。 "上涨"说明斜率为正，排除 B。故选 A。 3．某电信套餐月租 元，通话每分钟 元，则月费用 （元）关于通话时间 （分钟）的关系式为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】月费 月租 通话费 。 固定部分作为截距，变动部分作为斜率。 A 把两者的位置弄反了。故选 D。 4．已知 与 成正比例，且当 时 ，则比例系数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设 ，代入得 ，故 。 正比例函数没有截距项，只有一个待定系数。故选 B。 5．某种产品的产量 （吨）与投入 （万元）满足 ，若要产量达到 吨，需投入（　　） A． 万元 B． 万元 C． 万元 D． 万元 【答案】C 【详解】由 得 ，故 万元。 这是已知函数值反求自变量，解方程即可。故选 C。 6．一根蜡烛长 cm，点燃后每分钟缩短 cm，则点燃 分钟后剩余长度 （cm）为（　　） A．（） B． C． D． 【答案】A 【详解】剩余长度 原长 烧掉的长度 。 由 得 ，实际问题的定义域要一并写出。故选 A。 7．点 与 都在直线 上，且 ，则（　　） A． B． C．无法比较 D． 【答案】D 【详解】斜率 ，函数为减函数，故由 得 。 减函数的方向要与增函数相反。故选 D。 8．某种树苗现高 m，以后每年长高 m，则 年后树高 （m）关于 的关系式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】现在的高度 是初始值，每年长高 是增长率，故 。 C 把初始值与增长量写反了。故选 B。 考点二 二次函数模型 方法与技巧： 1. 识别信号：周长一定求面积最大值、售价与销量此消彼长求最大利润、抛物线型运动（抛球、炮弹）求最高点与落地时间。 1. 操作流程：设自变量 → 列二次关系式 → 化为顶点式或直接用对称轴 找极值点 → 检验该点是否落在自变量的取值范围内。 1. 技巧·口诀：利润类问题的通式是（售价 成本） 销量，售价每涨 元少卖 件时，销量 涨价额。 1. 易错点：顶点横坐标若不在实际取值范围内，最值要在边界取；求"不亏本"这类问题时不要忘记把 写成不等式再解；利润为负的情形要一并讨论。 【例题精讲】 1．一个矩形的周长为 ，一边长为 ，则面积 关于 的关系式为（　　） A．（） B． C． D． 【答案】A 【详解】邻边长为 ，故 。 两边长为正，故 。 注意周长除以 才是两邻边之和。故选 A。 2．某商品每件进价 元，售价定为 元时每天可卖出 件，则每天利润最大时的售价为（　　） A． 元 B． 元 C． 元 D． 元 【答案】C 【详解】。 对称轴 ，开口向下，故售价为 元时利润最大。 列式时务必分清"每件利润"与"销量"两项。故选 C。 【变式训练】 1．用长为 m 的篱笆围一块矩形场地，当它的长为下列哪个值时面积最大（　　） A． m B． m C． m D． m 【答案】D 【详解】设一边长为 ，则 ，对称轴 。 周长一定时，围成正方形面积最大，边长为 m。故选 D。 2．竖直向上抛出的物体，其高度 （m）与时间 （s）满足 ，则物体达到的最大高度为（　　） A． m B． m C． m D． m 【答案】B 【详解】配方得 ，当 时取得最大值 m。 这类问题的最大值就是抛物线的顶点纵坐标。故选 B。 3．某商品每件进价 元，按 元出售时每天卖 件，单价每涨 元每天少卖 件，则每件定价为多少时每天利润最大（　　） A． 元 B． 元 C． 元 D． 元 【答案】A 【详解】设售价为 元，则销量为 。 ，对称轴 。 先把销量表示成售价的一次函数，再相乘。故选 A。 【巩固练习】 1．抛物线 的顶点坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】配方得 ，故顶点为 。 也可直接用 再求纵坐标。故选 C。 2．某产品的月利润 （万元）与月产量 （百台）满足 ，则不亏本时 的取值范围为（　　） A． B． C． 或 D． 【答案】D 【详解】由 得 ，即 ，解得 。 注意两边乘 时不等号要变向。故选 D。 3．面积一定的矩形，当它为下列哪种形状时周长最小（　　） A．长为宽的 倍 B．正方形 C．长为宽的 倍 D．无法确定 【答案】B 【详解】由基本不等式，面积一定时周长最小当且仅当长宽相等，即围成正方形。 与"周长一定时正方形面积最大"是同一事实的两个侧面。故选 B。 4．某种商品的销量 （件）与售价 （元）满足 ，每件成本 元，则每天的最大利润为（　　） A． 元 B． 元 C． 元 D． 元 【答案】A 【详解】，对称轴 。 此时销量为 件，每件利润 元，总利润 元。故选 A。 5．二次函数 的图象开口向下，且与 轴交于点 、，则不等式 的解集为（　　） A． B． C． 或 D． 【答案】D 【详解】画草图可知，开口向下时函数值大于 的部分在与 x 轴两个交点之间，故 。 口诀："小于取中间"是对开口向上而言，开口向下要看图判断。故选 D。 6．炮弹飞行的高度 （m）与时间 （s）满足 ，则它落地所需的时间为（　　） A． s B． s C． s D． s 【答案】C 【详解】落地时 ，即 ，得 ，舍去 得 s。 是发射时刻，要舍去。故选 C。 7．某商场平均每天售出某款衬衫 件，每件盈利 元；每件降价 元，平均每天可多售出 件。要使每天盈利最大，每件应降价（　　） A． 元 B． 元 C． 元 D． 元 【答案】B 【详解】设降价 元，，对称轴 。 注意"降价"与"涨价"确定销量表达式时符号相反。故选 B。 8．一块矩形场地的周长为 ，则这块场地面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】周长一定时正方形面积最大，边长为 ，面积最大为 。 也可设一边长为 ，用 求顶点。故选 A。 考点三 分段函数模型（计费问题） 方法与技巧： 1. 识别信号：水费、电费、出租车费、快递费、停车费、有起征点的税费等，共同特征是"超出某个额度后单价发生变化"。 1. 操作流程：先判断所给量落在哪一个收费档 → 费用 基础费用 超出部分 超出单价 → 反向求用量时先比较总额与基础费用确定档位。 1. 技巧·口诀："先判档，再代入"；反向求解时先用总额减去基础费用，把得数除以超出单价即可得到超出部分的数量。 1. 易错点：忘记超出部分要另行计价，直接按单价乘总量；"不足 个单位按 个单位计"要向上取整；分段函数在分界点处要检验是否连续。 【例题精讲】 1．某市出租车 千米以内（含 千米）收费 元，超过 千米的部分每千米 元。小明乘车 千米，应付车费（　　） A． 元 B． 元 C． 元 D． 元 【答案】B 【详解】超出部分为 千米，车费 元。 起步里程内的费用已经包含在 元中，不能再用 计算。故选 B。 2．某地为节约用水规定：每月每户用水不超过 吨时按 元/吨收费，超过部分按 元/吨收费。某户某月用水 吨，应缴水费（　　） A． 元 B． 元 C． 元 D． 元 【答案】D 【详解】前 吨费用为 元，超出 吨费用为 元，合计 元。 两段分别计价后相加是处理分段计费的通法。故选 D。 【变式训练】 1．承上题的水费标准，若某户某月缴水费 元，则该户当月用水量为（　　） A． 吨 B． 吨 C． 吨 D． 吨 【答案】A 【详解】因 ，说明用水量超过 吨。 超出部分费用为 元，对应 吨，故总用水量为 吨。 反向求解先判档是关键。故选 A。 2．某快递公司规定：寄件重量不超过 千克收费 元，超出部分每千克加收 元（不足 千克按 千克计）。寄一件 千克的物品应付款（　　） A． 元 B． 元 C． 元 D． 元 【答案】C 【详解】超出部分为 千克，不足 千克按 千克计，应按 千克收费。 故费用为 元。 "向上取整"是这类题的易错点。故选 C。 3．个人所得税对超过起征点的部分按不同税率分段计算应纳税额，这种计费方式建立的函数模型是（　　） A．一次函数模型 B．分段函数模型 C．二次函数模型 D．反比例函数模型 【答案】B 【详解】不同区间的对应法则不同，必须用分段函数来描述。 这类模型的图象通常由几段线段拼接而成。故选 B。 【巩固练习】 1．某停车场收费标准为： 小时内（含 小时）收费 元，超过部分每小时 元。停车 小时应缴费（　　） A． 元 B． 元 C． 元 D． 元 【答案】D 【详解】超出部分为 小时，费用为 元。 第一小时已包含在 元中。故选 D。 2．某网约车起步价（含 千米）为 元，之后每千米 元，若车费为 元，则乘坐路程为（　　） A． 千米 B． 千米 C． 千米 D． 千米 【答案】A 【详解】超出部分费用为 元，对应路程 千米，总路程为 千米。 别忘了加上起步里程。故选 A。 3．某宽带套餐：每月流量不超过 G 收费 元，超出部分每 G 收费 元。小张本月使用 G，应缴（　　） A． 元 B． 元 C． 元 D． 元 【答案】C 【详解】超出 G，费用为 元。 基础费用与超出费用相加。故选 C。 4．某景区成人票每张 元，学生票每张 元。某旅游团有成人 人、学生 人，则总票价为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】总票价 。 不同对象的单价不同，要分别相乘后再相加，不能先求平均价。故选 B。 5．某市居民用电每月不超过 度的部分按 元/度，超过部分按 元/度。某户本月用电 度，应缴电费（　　） A． 元 B． 元 C． 元 D． 元 【答案】D 【详解】前 度费用为 元，超出 度费用为 元，合计 元。故选 D。 6．承上题的收费标准，若某户本月缴纳电费 元，则其用电量为（　　） A． 度 B． 度 C． 度 D． 度 【答案】A 【详解】因 ，用电量超过 度。 超出费用为 元，对应 度，故总用电量为 度。故选 A。 7．某书店规定：购买同种图书不超过 本时每本 元，超过 本的部分打八折。买 本应付（　　） A． 元 B． 元 C． 元 D． 元 【答案】C 【详解】前 本费用为 元，超出 本每本 元，共 元。 合计 元。注意打折只针对超出部分。故选 C。 8．下列关于分段函数模型的说法，正确的是（　　） A．它一定无法用解析式表示 B．求值时必须先判断自变量所在的区间 C．它是若干个函数相加的结果 D．它的图象一定不连续 【答案】B 【详解】B 正确：分段函数求值的第一件事就是判段。 A 错，分段函数正是用解析式分情形给出的；C 错，它是一个函数；D 错，分段函数的图象可以连续。故选 B。 考点四 反比例、幂与其他常见模型 方法与技巧： 1. 识别信号：两个量的乘积为定值（路程一定时速度与时间、工作总量一定时效率与时间、矩形的面积一定时长与宽）；或结果随自变量的平方、立方变化（面积、体积）。 1. 操作流程：先判断是"和为定值""积为定值"还是"平方关系"，再决定用一次、反比例还是二次、幂函数模型，最后代入一组已知数据确定系数。 1. 技巧·口诀："积定则反比，边长定面积则平方"；反比例模型只有一个待定系数 ，代入一组数据即可确定。 1. 易错点：把反比例当成正比例；幂函数模型中 与 是两个不同的待定系数，需要两组数据才能确定。 【例题精讲】 1．已知某气体的体积 与压强 成反比例，当 时 ，则 关于 的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设 ，代入得 ，故 ，即 。 也可以直接用"乘积为定值"：。故选 C。 2．某农作物的产量 （kg）与施肥量 （kg）近似满足 ，则施肥 kg 时的产量为（　　） A． kg B． kg C． kg D． kg 【答案】A 【详解】代入得 kg。 分数指数要先还原成根式求值，别把 算成 。故选 A。 【变式训练】 1．在路程一定的条件下，汽车行驶的速度 与所用时间 之间的函数关系是（　　） A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．二次函数关系 D．反比例函数关系 【答案】D 【详解】由 （定值）得 ，是反比例函数关系。 判断口诀：积为定值就是反比例。故选 D。 2．正方体的体积 与它的棱长 之间的关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】正方体体积为棱长的立方，即 。 是它的表面积公式，别与体积混淆。故选 B。 3．圆的面积 与它的半径 之间， 是 的（　　） A．一次函数 B．正比例函数 C．二次函数 D．反比例函数 【答案】C 【详解】，自变量的最高次数为 ，是二次函数关系。 正比例要求次数为 ，故排除 B。故选 C。 【巩固练习】 1．已知 与 成反比例，且当 时 ，则当 时 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 得 时 。 用"乘积恒定"可以少绕一步。故选 A。 2．完成一项工程时，工作效率 与工作时间 之间的关系是（　　） A．正比例关系 B．一次函数关系 C．二次函数关系 D．反比例关系 【答案】D 【详解】工作总量一定时， 定值，故二者成反比例关系。 效率越高用时越短，方向也符合。故选 D。 3．若正方形的边长为 ，则它的周长 与面积 分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】周长为边长的 倍，面积为边长的平方，故 ，。 两者不要写反。故选 B。 4．自由落体下落的距离 （m）与时间 （s）满足 （ 为常数），这说明 是 的（　　） A．正比例函数 B．反比例函数 C．二次函数 D．既非二次也非幂函数 【答案】C 【详解】关系式形如 （ 为非零常数），自变量的最高次数为 ，是二次函数。 它同时也属于幂函数，故选 C。 5．已知 与 成正比例，且当 时 ，则 关于 的关系式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设 ，代入得 ，故 ，即 。 注意是"与 "成正比例，不是与 成正比例。故选 A。 6．某种电池的剩余电量 与使用时间 满足 ，则电量耗尽需要（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令 得 ，故 。 这是一次函数解相应方程的问题。故选 D。 7．下列实际问题中，适合建立二次函数模型的是（　　） A．匀速运动的路程与时间 B．矩形周长一定时的面积与边长 C．单价一定时的总价与数量 D．路程一定时的速度与时间 【答案】B 【详解】B 中面积 ，是边长 的二次函数。 A、C 是一次函数；D 是反比例函数。故选 B。 8．某公司收益函数为 ，成本函数为 ，则利润最大时的 值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】利润 。 对称轴 ，开口向下，故当 时利润最大。 收益减成本才是利润。故选 B。 考点五 根据数据选择并检验函数模型 方法与技巧： 1. 识别信号：给出一组自变量与函数值的对应数据（表格或点列），要求"选择哪种模型合适""求出关系式""预测某个值"。 1. 操作流程：先看相邻两项函数值的差是否恒定（恒定 一次函数）；若差的差恒定，则考虑二次函数；若相邻两项的比恒定，则考虑指数型；若乘积恒定，则为反比例。 1. 技巧·口诀："一差定一次，二差定二次，积定选反比"；选出候选模型后设一般式，代入两组数据解系数，再用第三组数据验证。 1. 易错点：只代入一组数据就下结论；求出关系式后没有用剩余数据检验；忽略了自变量的取值范围与问题背景的限制。 【例题精讲】 1．某同学每隔一周测量一次植物高度，依次记录为 ，，，，（单位：cm），则该植物的高度与时间最适合用哪种模型描述（　　） A．一次函数模型 B．二次函数模型 C．反比例函数模型 D．幂函数模型 【答案】A 【详解】相邻两项的差都是 ，为常数，故适合用一次函数模型描述。 判断口诀：一差恒定选一次。故选 A。 2．已知某组数据满足：当 依次取 ，，， 时， 依次取 ，，，。则 关于 的关系式可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】四组数据分别对应 ，，，，故 最合适。 代入选项验证是最稳妥的办法：A 在 时为 ，不符。故选 C。 【变式训练】 1．已知四个点的坐标依次为 ，，，，则下列模型中最合适的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】逐项代入可知只有 与四个点都吻合：，，，。 相邻两项的比恒为 ，是"翻倍"型增长。故选 B。 2．收集到的数据中，自变量每增加 ，函数值的增加量依次为 ，，，，则比较合适的模型是（　　） A．一次函数模型 B．正比例函数模型 C．反比例函数模型 D．二次函数模型 【答案】D 【详解】函数值的增加量本身依次相差同一个数（都是 2），这是二次函数的典型特征。 口诀：二差恒定选二次。故选 D。 3．为了检验所选函数模型是否合理，通常的做法是（　　） A．把其余的数据代入进行检验 B．只看前两组数据是否吻合 C．画出草图即可 D．凭经验直接确定 【答案】A 【详解】选定模型后必须用未被用于求系数的那些数据来检验，若都吻合才说明模型合理。 只凭两组数据定出的模型存在多种可能。故选 A。 【巩固练习】 1．某产品的成本 （万元）与产量 （吨）的数据依次为 ，，，，则 关于 的关系式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】相邻两项函数值的差恒为 ，故 。 代入 得 ，故 ，即 。 再用 验证：，吻合。故选 C。 2．已知点 ，， 在同一直线上，则该直线对应的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】斜率 ，代入 得 ，故 ，即 。 用 验证：，吻合。故选 B。 3．某同学记录了 ，，， 四组数据，应建立的模型是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】四组数据满足 ，，，，故模型为 。 代入 A： 时应为 ，与 不符。故选 D。 4．某商场统计发现，某种商品的日销量 （件）与售价 （元）近似满足 ，则售价为 元时销量为（　　） A． 件 B． 件 C． 件 D． 件 【答案】A 【详解】代入得 件。 这类关系式一般由统计数据拟合而得，得到后可直接用于预测。故选 A。 5．一组数据的散点图大致分布在一条向下倾斜的直线上，则应选用的模型是（　　） A．反比例函数模型 B．二次函数模型 C．斜率小于 的一次函数模型 D．幂函数模型 【答案】C 【详解】散点近似共线即选一次函数，向下倾斜说明斜率小于 。 "直线型"散点是判断的直观依据。故选 C。 6．用定长的绳子围成矩形，下列结论正确的是（　　） A．面积没有最大值 B．围成正方形时面积最大 C．长与宽相差越大面积越大 D．面积是一个定值 【答案】B 【详解】设一边长为 ，另一边为 ，面积 是开口向下的二次函数，在 时最大，此时为正方形。故选 B。 7．建立函数模型解决实际问题时，自变量的取值范围（　　） A．总是 B．可以不考虑 C．只需使解析式有意义 D．必须同时满足解析式有意义与实际意义 【答案】D 【详解】D 正确：既要使解析式有意义，又要符合实际背景（如个数为正整数、边长为正等）。 只看解析式往往会把取值范围写大。故选 D。 8．某工厂生产某种产品的固定成本为 元，每多生产一件增加成本 元，则总成本 （元）关于产量 （件）的关系式为（　　） A．（） B． C． D． 【答案】A 【详解】总成本 固定成本 变动成本 。 产量只能取非负整数，故注明 。 C 把固定与变动的位置弄反了。故选 A。 三、达标检测 1．某商店以每件 元购进某种商品，以每件 元售出时每天卖 件，售价每提高 元每天少卖 件，则每天利润最大时的售价为（　　） A． 元 B． 元 C． 元 D． 元 【答案】B 【详解】设售价为 元，销量为 。 ，对称轴 。 先把销量写成售价的一次式再代入。故选 B。 2．已知汽车匀速行驶 千米用 小时，则在这一过程中速度 （km/h）与时间 （h）的关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】路程一定时 ，故 ，是反比例函数关系。 C 只对应 这一个特定值，不是函数关系。故选 D。 3．某市水费标准为：每月 吨以内每吨 元，超出部分每吨 元。某户用水 吨，应缴水费（　　） A． 元 B． 元 C． 元 D． 元 【答案】A 【详解】前 吨费用为 元，超出 吨费用为 元，合计 元。故选 A。 4．一个矩形的周长为 ，设它的一边长为 ，则这个矩形面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】另一边长为 ，面积 ，当 时取最大值 。 周长一定时正方形面积最大。故选 C。 5．某公司月产量为 吨时，月利润 （万元）满足 ，则利润最大时的月产量为（　　） A． 吨 B． 吨 C． 吨 D． 吨 【答案】B 【详解】对称轴 ，开口向下，故月产量为 吨时利润最大。故选 B。 6．某种商品每件进价 元，若按每件 元销售，每天可卖出 件，则每天利润 （元）关于售价 的关系式为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】利润 售价 进价 销量 。 B 漏减了成本；A 中销量随售价上升，不符合常理。故选 D。 7．已知一组数据点为 ，，，，则与之相符的函数模型为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】相邻两项函数值的差恒为 ，故 ；代入 得 ，即 。 用 验证：，吻合。故选 C。 8．竖直上抛物体的高度 （m）与时间 （s）满足 ，则它在空中运动的总时间为（　　） A． s B． s C． s D． s 【答案】A 【详解】落地时 ，即 ，舍去 得 s。 是抛出时刻。故选 A。 9．建立数学模型解决实际问题后，下列做法正确的是（　　） A．只要解析式正确就可以直接使用 B．不必检验所得结果是否符合实际 C．自变量的取值可以任意取定 D．要把数学结果放回原问题中检验并作答 【答案】D 【详解】D 正确：求出数学结果后必须回到原问题中检验，不合实际的值要舍去，最后写成完整的答句。 这是解应用题最后也是最容易被忽略的一步。故选 D。 10．某电话套餐月租 元，含 分钟通话，超出部分每分钟 元。某月通话 分钟，应缴费用为（　　） A． 元 B． 元 C． 元 D． 元 【答案】B 【详解】超出 分钟，费用为 元。 套餐内含的部分不再另收。故选 B。 11．已知 与 成正比例，且当 时 ，则比例系数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设 ，代入得 ，故 。 负数代入时符号要小心。故选 C。 12．用长为 m 的篱笆围一个一边靠墙的矩形菜园，设垂直于墙的边长为 m，则菜园面积 关于 的关系式为（　　） A．（） B． C． D． 【答案】A 【详解】三边总长为 ，故平行于墙的一边长为 ，面积 。 由 得 。靠墙时只需围三边，别写成 。故选 A。 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.4 函数的应用（一） 考点预览 考点一 一次函数模型 考点二 二次函数模型 考点三 分段函数模型（计费问题） 考点四 反比例、幂与其他常见模型 考点五 根据数据选择并检验函数模型 一、知识填空 1．解函数应用题的一般步骤 （1）审题：弄清题意，分清 量与 量。 （2）建模：设出自变量，列出函数 ，并注明它的 。 （3）求解：利用函数的 、 等性质求出所需的结果。 （4）检验：把所得结果放回 中检验是否合理，再写出答案。 2．一次函数模型 （1）形如 （）的函数叫做 。 （2）它的图象是一条 ，其中 叫做 ，表示函数值随自变量变化的快慢。 （3）当 时 随 的增大而 ；当 时 随 的增大而 。 （4）典型实例：匀速运动的路程 ；固定费用加变动费用的总费用模型。 3．二次函数模型 （1）形如 （）的函数叫做 。 （2）它的图象是一条 ，对称轴为直线 。 （3）当 时，函数在对称轴处取得最 值；当 时取得最 值。 （4）实际应用中最常见的是求"最 利润""最 面积"等问题。 4．分段函数模型 （1）当自变量在不同范围内对应关系不同时，需要建立 函数模型。 （2）处理这类模型要 讨论，最后的结果再按需要取 。 （3）常见的分段计费问题有：水费、电费、 、快递费等。 5．函数模型的选择与检验 （1）常用的函数模型有：一次函数、 、 、幂函数、分段函数等。 （2）自变量每增加一个单位时，若函数值增加量相同，则考虑 模型；若增加量本身又依次相差同一个数，则考虑 模型。 （3）选定模型后，要代入 的数据进行检验，确认后再用来预测。 二、考点专练 考点一 一次函数模型 方法与技巧： 1. 识别信号：单价固定求总价、匀速运动求路程、固定费用加变动费用、每单位投入带来固定产出等，共同特征是"每增加 个单位，总量增加固定的数"。 1. 操作流程：设自变量 → 列 → 代入两组已知数据解 、 → 用所得关系式求其余量。 1. 技巧·口诀：找出"不变的量"（）与"起始的量"（），关系式往往可以直接写出来，不必列方程组。 1. 易错点：别忘了写出自变量的实际取值范围（件数、人数取正整数，长度、时间为正且受总量限制）；答句要与问题对应，不能只写解析式。 【例题精讲】 1．一根弹簧的原长为 cm，每挂 kg 重物弹簧伸长 cm，则挂 kg 重物时弹簧长度 （cm）关于 的关系式为（　　） A． B． C． D． 2．已知某汽车行驶的耗油量与路程成正比例，行驶 千米耗油 升，则耗油量 （升）关于路程 （千米）的关系式为（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．某种商品每件售价 元，购买 件需付款 元，则 关于 的关系式及 的取值范围为（　　） A．， B．， C． D． 2．汽车以 km/h 的速度匀速行驶，则路程 （km）关于时间 （h）的函数图象是（　　） A．二次函数图象的一段 B．反比例函数图象的一支 C．一条折线 D．过原点的一条射线 3．若一次函数 的图象经过点 与 ，则 、 的值分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 【巩固练习】 1．某种报纸每份 元，购买 份需付款 元，下列关系式正确的是（　　） A． B． C．（） D． 2．某水库汛期水位以每小时 m 的速度上涨，初始水位为 m，则 小时后水位 （m）为（　　） A． B． C． D． 3．某电信套餐月租 元，通话每分钟 元，则月费用 （元）关于通话时间 （分钟）的关系式为（　　） A． B． C． D． 4．已知 与 成正比例，且当 时 ，则比例系数为（　　） A． B． C． D． 5．某种产品的产量 （吨）与投入 （万元）满足 ，若要产量达到 吨，需投入（　　） A． 万元 B． 万元 C． 万元 D． 万元 6．一根蜡烛长 cm，点燃后每分钟缩短 cm，则点燃 分钟后剩余长度 （cm）为（　　） A．（） B． C． D． 7．点 与 都在直线 上，且 ，则（　　） A． B． C．无法比较 D． 8．某种树苗现高 m，以后每年长高 m，则 年后树高 （m）关于 的关系式为（　　） A． B． C． D． 考点二 二次函数模型 方法与技巧： 1. 识别信号：周长一定求面积最大值、售价与销量此消彼长求最大利润、抛物线型运动（抛球、炮弹）求最高点与落地时间。 1. 操作流程：设自变量 → 列二次关系式 → 化为顶点式或直接用对称轴 找极值点 → 检验该点是否落在自变量的取值范围内。 1. 技巧·口诀：利润类问题的通式是（售价 成本） 销量，售价每涨 元少卖 件时，销量 涨价额。 1. 易错点：顶点横坐标若不在实际取值范围内，最值要在边界取；求"不亏本"这类问题时不要忘记把 写成不等式再解；利润为负的情形要一并讨论。 【例题精讲】 1．一个矩形的周长为 ，一边长为 ，则面积 关于 的关系式为（　　） A．（） B． C． D． 2．某商品每件进价 元，售价定为 元时每天可卖出 件，则每天利润最大时的售价为（　　） A． 元 B． 元 C． 元 D． 元 【变式训练】 1．用长为 m 的篱笆围一块矩形场地，当它的长为下列哪个值时面积最大（　　） A． m B． m C． m D． m 2．竖直向上抛出的物体，其高度 （m）与时间 （s）满足 ，则物体达到的最大高度为（　　） A． m B． m C． m D． m 3．某商品每件进价 元，按 元出售时每天卖 件，单价每涨 元每天少卖 件，则每件定价为多少时每天利润最大（　　） A． 元 B． 元 C． 元 D． 元 【巩固练习】 1．抛物线 的顶点坐标为（　　） A． B． C． D． 2．某产品的月利润 （万元）与月产量 （百台）满足 ，则不亏本时 的取值范围为（　　） A． B． C． 或 D． 3．面积一定的矩形，当它为下列哪种形状时周长最小（　　） A．长为宽的 倍 B．正方形 C．长为宽的 倍 D．无法确定 4．某种商品的销量 （件）与售价 （元）满足 ，每件成本 元，则每天的最大利润为（　　） A． 元 B． 元 C． 元 D． 元 5．二次函数 的图象开口向下，且与 轴交于点 、，则不等式 的解集为（　　） A． B． C． 或 D． 6．炮弹飞行的高度 （m）与时间 （s）满足 ，则它落地所需的时间为（　　） A． s B． s C． s D． s 7．某商场平均每天售出某款衬衫 件，每件盈利 元；每件降价 元，平均每天可多售出 件。要使每天盈利最大，每件应降价（　　） A． 元 B． 元 C． 元 D． 元 8．一块矩形场地的周长为 ，则这块场地面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 考点三 分段函数模型（计费问题） 方法与技巧： 1. 识别信号：水费、电费、出租车费、快递费、停车费、有起征点的税费等，共同特征是"超出某个额度后单价发生变化"。 1. 操作流程：先判断所给量落在哪一个收费档 → 费用 基础费用 超出部分 超出单价 → 反向求用量时先比较总额与基础费用确定档位。 1. 技巧·口诀："先判档，再代入"；反向求解时先用总额减去基础费用，把得数除以超出单价即可得到超出部分的数量。 1. 易错点：忘记超出部分要另行计价，直接按单价乘总量；"不足 个单位按 个单位计"要向上取整；分段函数在分界点处要检验是否连续。 【例题精讲】 1．某市出租车 千米以内（含 千米）收费 元，超过 千米的部分每千米 元。小明乘车 千米，应付车费（　　） A． 元 B． 元 C． 元 D． 元 2．某地为节约用水规定：每月每户用水不超过 吨时按 元/吨收费，超过部分按 元/吨收费。某户某月用水 吨，应缴水费（　　） A． 元 B． 元 C． 元 D． 元 【变式训练】 1．承上题的水费标准，若某户某月缴水费 元，则该户当月用水量为（　　） A． 吨 B． 吨 C． 吨 D． 吨 2．某快递公司规定：寄件重量不超过 千克收费 元，超出部分每千克加收 元（不足 千克按 千克计）。寄一件 千克的物品应付款（　　） A． 元 B． 元 C． 元 D． 元 3．个人所得税对超过起征点的部分按不同税率分段计算应纳税额，这种计费方式建立的函数模型是（　　） A．一次函数模型 B．分段函数模型 C．二次函数模型 D．反比例函数模型 【巩固练习】 1．某停车场收费标准为： 小时内（含 小时）收费 元，超过部分每小时 元。停车 小时应缴费（　　） A． 元 B． 元 C． 元 D． 元 2．某网约车起步价（含 千米）为 元，之后每千米 元，若车费为 元，则乘坐路程为（　　） A． 千米 B． 千米 C． 千米 D． 千米 3．某宽带套餐：每月流量不超过 G 收费 元，超出部分每 G 收费 元。小张本月使用 G，应缴（　　） A． 元 B． 元 C． 元 D． 元 4．某景区成人票每张 元，学生票每张 元。某旅游团有成人 人、学生 人，则总票价为（　　） A． B． C． D． 5．某市居民用电每月不超过 度的部分按 元/度，超过部分按 元/度。某户本月用电 度，应缴电费（　　） A． 元 B． 元 C． 元 D． 元 6．承上题的收费标准，若某户本月缴纳电费 元，则其用电量为（　　） A． 度 B． 度 C． 度 D． 度 7．某书店规定：购买同种图书不超过 本时每本 元，超过 本的部分打八折。买 本应付（　　） A． 元 B． 元 C． 元 D． 元 8．下列关于分段函数模型的说法，正确的是（　　） A．它一定无法用解析式表示 B．求值时必须先判断自变量所在的区间 C．它是若干个函数相加的结果 D．它的图象一定不连续 考点四 反比例、幂与其他常见模型 方法与技巧： 1. 识别信号：两个量的乘积为定值（路程一定时速度与时间、工作总量一定时效率与时间、矩形的面积一定时长与宽）；或结果随自变量的平方、立方变化（面积、体积）。 1. 操作流程：先判断是"和为定值""积为定值"还是"平方关系"，再决定用一次、反比例还是二次、幂函数模型，最后代入一组已知数据确定系数。 1. 技巧·口诀："积定则反比，边长定面积则平方"；反比例模型只有一个待定系数 ，代入一组数据即可确定。 1. 易错点：把反比例当成正比例；幂函数模型中 与 是两个不同的待定系数，需要两组数据才能确定。 【例题精讲】 1．已知某气体的体积 与压强 成反比例，当 时 ，则 关于 的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 2．某农作物的产量 （kg）与施肥量 （kg）近似满足 ，则施肥 kg 时的产量为（　　） A． kg B． kg C． kg D． kg 【变式训练】 1．在路程一定的条件下，汽车行驶的速度 与所用时间 之间的函数关系是（　　） A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．二次函数关系 D．反比例函数关系 2．正方体的体积 与它的棱长 之间的关系为（　　） A． B． C． D． 3．圆的面积 与它的半径 之间， 是 的（　　） A．一次函数 B．正比例函数 C．二次函数 D．反比例函数 【巩固练习】 1．已知 与 成反比例，且当 时 ，则当 时 等于（　　） A． B． C． D． 2．完成一项工程时，工作效率 与工作时间 之间的关系是（　　） A．正比例关系 B．一次函数关系 C．二次函数关系 D．反比例关系 3．若正方形的边长为 ，则它的周长 与面积 分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 4．自由落体下落的距离 （m）与时间 （s）满足 （ 为常数），这说明 是 的（　　） A．正比例函数 B．反比例函数 C．二次函数 D．既非二次也非幂函数 5．已知 与 成正比例，且当 时 ，则 关于 的关系式为（　　） A． B． C． D． 6．某种电池的剩余电量 与使用时间 满足 ，则电量耗尽需要（　　） A． B． C． D． 7．下列实际问题中，适合建立二次函数模型的是（　　） A．匀速运动的路程与时间 B．矩形周长一定时的面积与边长 C．单价一定时的总价与数量 D．路程一定时的速度与时间 8．某公司收益函数为 ，成本函数为 ，则利润最大时的 值为（　　） A． B． C． D． 考点五 根据数据选择并检验函数模型 方法与技巧： 1. 识别信号：给出一组自变量与函数值的对应数据（表格或点列），要求"选择哪种模型合适""求出关系式""预测某个值"。 1. 操作流程：先看相邻两项函数值的差是否恒定（恒定 一次函数）；若差的差恒定，则考虑二次函数；若相邻两项的比恒定，则考虑指数型；若乘积恒定，则为反比例。 1. 技巧·口诀："一差定一次，二差定二次，积定选反比"；选出候选模型后设一般式，代入两组数据解系数，再用第三组数据验证。 1. 易错点：只代入一组数据就下结论；求出关系式后没有用剩余数据检验；忽略了自变量的取值范围与问题背景的限制。 【例题精讲】 1．某同学每隔一周测量一次植物高度，依次记录为 ，，，，（单位：cm），则该植物的高度与时间最适合用哪种模型描述（　　） A．一次函数模型 B．二次函数模型 C．反比例函数模型 D．幂函数模型 2．已知某组数据满足：当 依次取 ，，， 时， 依次取 ，，，。则 关于 的关系式可能是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．已知四个点的坐标依次为 ，，，，则下列模型中最合适的是（　　） A． B． C． D． 2．收集到的数据中，自变量每增加 ，函数值的增加量依次为 ，，，，则比较合适的模型是（　　） A．一次函数模型 B．正比例函数模型 C．反比例函数模型 D．二次函数模型 3．为了检验所选函数模型是否合理，通常的做法是（　　） A．把其余的数据代入进行检验 B．只看前两组数据是否吻合 C．画出草图即可 D．凭经验直接确定 【巩固练习】 1．某产品的成本 （万元）与产量 （吨）的数据依次为 ，，，，则 关于 的关系式为（　　） A． B． C． D． 2．已知点 ，， 在同一直线上，则该直线对应的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 3．某同学记录了 ，，， 四组数据，应建立的模型是（　　） A． B． C． D． 4．某商场统计发现，某种商品的日销量 （件）与售价 （元）近似满足 ，则售价为 元时销量为（　　） A． 件 B． 件 C． 件 D． 件 5．一组数据的散点图大致分布在一条向下倾斜的直线上，则应选用的模型是（　　） A．反比例函数模型 B．二次函数模型 C．斜率小于 的一次函数模型 D．幂函数模型 6．用定长的绳子围成矩形，下列结论正确的是（　　） A．面积没有最大值 B．围成正方形时面积最大 C．长与宽相差越大面积越大 D．面积是一个定值 7．建立函数模型解决实际问题时，自变量的取值范围（　　） A．总是 B．可以不考虑 C．只需使解析式有意义 D．必须同时满足解析式有意义与实际意义 8．某工厂生产某种产品的固定成本为 元，每多生产一件增加成本 元，则总成本 （元）关于产量 （件）的关系式为（　　） A．（） B． C． D． 三、达标检测 1．某商店以每件 元购进某种商品，以每件 元售出时每天卖 件，售价每提高 元每天少卖 件，则每天利润最大时的售价为（　　） A． 元 B． 元 C． 元 D． 元 2．已知汽车匀速行驶 千米用 小时，则在这一过程中速度 （km/h）与时间 （h）的关系为（　　） A． B． C． D． 3．某市水费标准为：每月 吨以内每吨 元，超出部分每吨 元。某户用水 吨，应缴水费（　　） A． 元 B． 元 C． 元 D． 元 4．一个矩形的周长为 ，设它的一边长为 ，则这个矩形面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 5．某公司月产量为 吨时，月利润 （万元）满足 ，则利润最大时的月产量为（　　） A． 吨 B． 吨 C． 吨 D． 吨 6．某种商品每件进价 元，若按每件 元销售，每天可卖出 件，则每天利润 （元）关于售价 的关系式为（　　） A． B． C． D． 7．已知一组数据点为 ，，，，则与之相符的函数模型为（　　） A． B． C． D． 8．竖直上抛物体的高度 （m）与时间 （s）满足 ，则它在空中运动的总时间为（　　） A． s B． s C． s D． s 9．建立数学模型解决实际问题后，下列做法正确的是（　　） A．只要解析式正确就可以直接使用 B．不必检验所得结果是否符合实际 C．自变量的取值可以任意取定 D．要把数学结果放回原问题中检验并作答 10．某电话套餐月租 元，含 分钟通话，超出部分每分钟 元。某月通话 分钟，应缴费用为（　　） A． 元 B． 元 C． 元 D． 元 11．已知 与 成正比例，且当 时 ，则比例系数为（　　） A． B． C． D． 12．用长为 m 的篱笆围一个一边靠墙的矩形菜园，设垂直于墙的边长为 m，则菜园面积 关于 的关系式为（　　） A．（） B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $