专题13.1 三角形的概念（暑假预习讲义）（2大知识点+ 7大分层题型+易错重难点+巩固练习）2026-2027学年人教版八年级数学上学期

专题13.1 三角形的概念 【本节预习目标】 1.理解三角形的严格几何定义，掌握三角形的边、顶点、内角等基本元素，能规范用符号表示三角形，准确识别角的对边与边的对角。 2.掌握三角形按角、按边的两种分类标准，厘清各类三角形之间的从属关系，能正确判断三角形的类型。 3.掌握有序计数三角形的方法，能在简单和较复杂图形中准确数出三角形的个数，提升几何直观核心素养。 4.能从生活、跨学科情境中抽象出三角形模型，运用三角形概念解决实际问题，体会数学的应用价值。 【前置旧知回顾】 知识模块 已学旧知 本节新知关联 三角形初步认识 知道三角形有3条边、3个角、3个顶点，能直观识别三角形 从直观感知上升到严格的几何定义，明确三角形的构成条件与规范的符号表示方法 三角形分类 初步认识等腰三角形、等边三角形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形 建立系统的分类体系，按角、按边两种标准分类，厘清各类三角形的包含与从属关系 几何图形计数 简单图形的线段、角的有序计数方法 迁移有序计数的思想，掌握三角形计数的多种方法，解决复杂图形的计数问题 知识点1：三角形的有关概念 1.三角形的定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 两个核心条件缺一不可：①三条线段不共线；②首尾依次连接，形成封闭图形。 2.三角形的基本元素与表示 基本元素 定义 表示方法 图例 顶点 相邻两边的公共端点 用大写字母表示，如顶点 边 组成三角形的三条线段 ①用两端顶点表示，如边；②用小写字母表示，顶点对的边记为，顶点对的边记为，顶点对的边记为 内角 相邻两边组成的角，简称三角形的角 用“”加顶点字母表示，如 三角形的符号表示：顶点是的三角形记作，读作“三角形”，三个顶点字母的顺序可以任意调换。 知识点2：三角形的分类 1.按内角的大小分类 根据三角形中最大内角的类型，可分为三类： 类型 定义 图例 锐角三角形 三个内角都是锐角的三角形 直角三角形 有一个内角是直角的三角形 钝角三角形 有一个内角是钝角的三角形 其中，锐角三角形和钝角三角形统称为斜三角形。 2.按边的相等关系分类 分类 包含子类型 说明 三边都不相等的三角形 — 三条边长度都不相等 等腰三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 有两条边相等，相等的边叫腰，第三条边叫底边；两腰的夹角叫顶角，腰与底边的夹角叫底角 等边三角形 三条边都相等，是特殊的等腰三角形（底边与腰相等的等腰三角形） 注意：等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形，二者是特殊与一般的从属关系。 【基础巩固题型】 【题型1】三角形定义的辨析判断 1.核心知识点 三角形的定义；构成三角形的两个核心条件 2.解题方法技巧 ①紧扣两个判定要点：三条线段是否不在同一直线上，是否首尾顺次相接形成封闭图形； ②排除三类错误图形：线段有交叉、首尾未完全衔接、三条线段共线； ③多个图形判断时，逐个对照定义筛选，避免凭直观感觉误判。 【例题1】.（25-26八年级上·山西朔州·阶段检测）小华用三根火柴搭成下列图形，其中是三角形的是（    ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·全国·课后作业）下面是小航用三根火柴组成的图形，其中符合三角形的概念的是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（24-25八年级上·云南曲靖·期中）下列图形中，是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（24-25七年级下·全国·随堂练习）下面是用火柴棒围成的图形，其中是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【题型2】三角形的元素识别与规范表示 1.核心知识点 三角形的边、顶点、内角的对应关系；三角形的符号表示 2.解题方法技巧 ①找角的对边：角的顶点的对边，就是不经过该顶点的那条边； ②找边的对角：边所对的角，就是边两端点之外的那个顶点处的角； ③表示三角形时，必须使用符号“”加三个顶点大写字母，不可只写顶点字母。 【例题2】.（25-26八年级上·全国·课后作业）图中有____ 个三角形，用符号表示这些三角形_______________________________________ ． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·云南曲靖·期中）如图，用数字标注了3个三角形，其中表示的是（   ）    A．① B．② C．③ D．以上都不对 【变式题2-2】.（25-26八年级上·广西崇左·阶段检测）在中，边所对的角是（ ） A． B． C． D． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·河南商丘·期中）如图，在中，，点是垂足，点是边上的一点，连接． (1)写出的三个内角； (2)在中，的对边是__________；在中，的对边是__________． (3)图中共有________个三角形，是哪几个三角形的公共角？ 【题型3】按角判断三角形的类型 1.核心知识点 三角形按角分类的标准；最大内角与三角形类型的对应关系 2.解题方法技巧 ①判断三角形按角的类型，只需看最大的内角：最大角是锐角就是锐角三角形，是直角就是直角三角形，是钝角就是钝角三角形； ②已知两个内角时，可结合三角形内角和推出第三个角，再判断类型； ③直角三角形、钝角三角形都只需有一个对应角即可判定，不需要多个对应角。 【例题3】.（25-26七年级下·上海金山·期末）在中，若，则是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能 【变式题3-1】.（25-26七年级下·上海杨浦·期末）如果一个三角形中最长的边所对的角是锐角，那么这个三角形是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上皆有可能 【变式题3-2】.（25-26八年级下·上海·期中）在平面直角坐标系中，有点、、，则是（     ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【变式题3-3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）观察下面的三角形，其中哪些是锐角三角形，哪些是直角三角形，哪些是钝角三角形？ 【题型4】按边判断三角形的类型 1.核心知识点 三角形按边分类的标准；等腰三角形与等边三角形的从属关系 2.解题方法技巧 ①等边三角形是特殊的等腰三角形，因此“等边三角形一定是等腰三角形”的说法正确，反之不成立； ②判断等腰三角形只需确认有两条边相等，与边的位置、方向无关； ③结合非负性的题型，先根据“绝对值、平方的和为0”的性质求出各边长，再判断三角形类型。 【例题4】.（25-26八年级下·山东枣庄·期中）已知，是的两边，且满足，则的形状一定是__________． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·周测）的三边为，且满足关系，则是___________三角形． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·广东江门·期中）已知a，b，c是的三边长，且，则的形状是（   ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【变式题4-3】.（25-26八年级上·云南临沧·期中）在中，如果，那么是（   ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【培优提升题型】 【题型5】简单图形中的三角形有序计数 1.核心知识点 三角形的识别；有序计数的数学思想 2.解题方法技巧 ①固定顶点法：固定一个顶点，依次变换另外两个顶点，按顺序数出所有包含该顶点的三角形，再换顶点重复操作； ②按边计数法：以某条线段为公共边，找出所有以该边为边的三角形，逐条线段统计； ③计数时遵循“不重复、不遗漏”的原则，按从左到右、从上到下的顺序进行。 【例题5】.（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）图中共有（     ）个三角形 A．2 B．4 C．6 D．8 【变式题5-1】.（2026·陕西西安·模拟预测）如图，中，，D是延长线上一点，于F，交于E，图中有（    ）个直角三角形． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式题5-2】.（25-26七年级下·安徽宿州·期中）如图，第①个图形中有1个三角形，第②个图形中有3个三角形，第③个图形中有6个三角形，…，按此规律变化，第⑧个图形中三角形的个数是（   ） A．36 B．37 C．38 D．39 【变式题5-3】.（25-26七年级上·贵州贵阳·期末）小星想通过多边形分割三角形的活动探究多边形的边数、多边形内点的个数以及分割三角形的个数之间的关系，于是他做了如下操作：在一个n边形内部取m个点，连同n边形的n个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到n边形内所有区域都变成三角形．设分得三角形的个数为y（不计被分割的三角形）． 【问题解决】 （1）如图①，当，时，_____；如图②，当，时，_____； 【问题探究】 （2）当时，直接写出n，m的值，并画出图形； 【拓展延伸】 （3）直接写出y，m，n之间的关系：_____． 【题型6】根据外露部分判断三角形类型 1.核心知识点 三角形按角分类；内角的大小范围判断 2.解题方法技巧 ①露出的角是钝角或直角，可直接确定三角形是钝角或直角三角形； ②露出的角是锐角，无法直接确定类型，三种三角形都有可能； ③若露出两个角，可计算出第三个角的范围，进一步缩小类型判断的范围。 【例题6】.（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，三角形有一部分被遮挡，我们可以判定此三角形的类型为（　　） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 【变式题6-1】.（24-25八年级上·浙江温州·阶段检测）如图所示，小手盖住了一个三角形的一部分，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定三角形的形状 【变式题6-2】.（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，老师讲桌上的一个三角形卡片被压在了书下．请你根据三角形卡片露出的部分判断该三角形的形状，是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【变式题6-3】.（25-26七年级上·河南信阳·开学考试）如图，一张三角形纸片被撕去了一个角，撕去的这个角是___________，原来这张纸片的形状是___________三角形，也是___________三角形． 【压轴素养题型】 【题型7】三角形计数的规律探究 1.核心知识点 三角形计数；归纳推理与规律探究 2.解题方法技巧 ①从第1、2、3个简单图形入手，分别数出三角形个数，记录对应数据； ②观察个数与图形序号的关系，总结通项公式或周期规律； ③将目标序号代入规律公式计算结果，可代入小序号验证规律的正确性。 【例题7】.（25-26八年级上·广东江门·阶段检测）如果依次用分别表示图3中内三角形的个数，那么，______________． 【变式题7-1】.（2026七年级下·全国·专题练习）找规律，填空： (1)请按照下列要求数出三角形的个数． ①边上有1个点〔图（1）〕，三角形的个数为________． ②边上有2个点〔图（2）〕，三角形的个数为________． ③边上有3个点〔图（3）〕，三角形的个数为________． (2)当边上有m个点（不含两点）时，图形中三角形的个数为________． 【变式题7-2】.（25-26七年级上·山东济南·期中）通过对现象的观察、分析，从特殊到一般的探索这类现象的规律、提出猜想的思想方法称为归纳法．运用归纳法探求如下规律： 在三角形的内部取个点，连同三角形的3个顶点，逐步连接这些点，保证所有的连线不再产生新的点，直到三角形内部所有区域都变成三角形．那么最多可以得到多少个三角形（不计被分割的三角形）? 如图，为了解决这个问题，我们可以从、、等具体简单的情形入手，探索最多可得到三角形个数的变化规律：    统计几种简单的情况如下表： 三角形内点的个数 1 2 3 … 最多三角形的个数 3 5 … (1)________，当三角形的内部取4个点时，最多可以得到________个三角形； (2)观察和比较下面的式子：，，，则下一个式子为______； 分析可知：三角形内的点每增加1个，最多可得到的三角形增加________个； 归纳可知：当三角形内点的个数为时，最多可以得到________个三角形； (3)请你尝试用上面的方法探索：在十边形的内部取个点，连同十边形的10个顶点，逐步连接这些点，保证所有的连线不再产生新的点，直到十边形内部所有区域都变成三角形．那么最多可以得到多少个三角形（不计被分割的三角形）? 【变式题7-3】.（25-26七年级上·江苏盐城·期末）“低多边形风格”是一种数字艺术设计风格，它将整个区域分割成若干个三角形，通过把相邻三角形涂上不同颜色，产生立体及光影的效果，随着三角形数量的增加，效果更为斑斓绚丽（如图1）．受此启发，小聪提出如下问题：设多边形中，有m个“内点”，连接它们成一张互相毗邻的三角形网（，时的情形如图2）． 若称每个小三角形为一个“网眼”，则网中“网眼”的个数t，多边形的边数n，多边形“内点”的个数m之间存在怎样的数量关系． 小慧采用由特殊到一般的方法进行探索，当多边形为三角形()时，列表如下： 三角形（） … 三角形内点的个数（m） 1 2 3 … 网眼个数（t） 3 x y … (1)表中___________，___________． 根据上述探索过程，猜想m，t之间满足的等量关系为___________． (2)根据小慧同学的探索思路，当多边形为四边形()时，写出m，t之间满足的等量关系___________． (3)若已知一个多边形内的“网眼”个数比边数多12，求这个多边形“内点”的个数． 易错点 1、三角形定义理解不准确：忽略“三条线段不在同一直线上”“首尾顺次相接”的条件，误将交叉、不封闭的三线图形判定为三角形。 2、分类概念混淆：误认为“等腰三角形一定是锐角三角形”“等边三角形不是等腰三角形”，混淆按角分类和按边分类两套独立的分类体系。 3、三角形计数重复或遗漏：没有采用有序的计数方法，随意数图形，导致重复计数或漏掉部分三角形。 4、等腰三角形概念误解：错误认为底边一定在图形下方、顶角一定在顶部，混淆了腰与底边、顶角与底角的定义，其划分只与边的相等关系有关，与摆放位置无关。 重点 1、三角形的定义、基本元素名称与规范的符号表示方法。 2、三角形按角、按边的两种分类标准，厘清各类三角形之间的包含与从属关系。 难点 1、复杂图形中三角形的有序计数，掌握科学的计数方法做到不重不漏。 2、动态几何、规律探究类问题，培养归纳推理能力与数形结合思想。 一、单选题 1．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）在中，边的对角是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·河南安阳·期末）图中共有（   ）个三角形． A．5 B．6 C．7 D．8 3．（25-26八年级上·云南昭通·期末）如图，以为公共角的三角形有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 4．（25-26八年级上·云南红河·期中）已知a，b，c是的三边，且满足，则是________三角形． 5．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知中，，，．则是__________三角形．(填“锐角”“直角”或“钝角”) 6．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图为一张藏宝图，有一人想出发寻宝，已知秘密宝藏藏在图中的某个黑点标示的位置．经过调查，秘密宝藏的位置P满足条件：为直角三角形，符合条件的P点的个数为______个． 三、解答题 7．（2026七年级下·江苏·专题练习）请给如图所示的图形命名，并给出名称的定义． 8．（25-26九年级上·云南昆明·期中）如图，在中，，分别是，上的点，连接，交于点． (1)以为边的三角形有几个？用符号表示； (2)以点为顶点的三角形有几个？用符号表示． 9．（25-26八年级上·云南曲靖·期中）如图，过A，B，C，D，E五个点中任意三点画三角形． (1)其中以为一边可以画______个三角形； (2)其中以A为顶点可以画______个三角形． 10．（24-25七年级上·山西大同·阶段检测）如图，请你探索正方形的个数与等腰三角形的个数之间的关系，并把表格补全． 正方形的个数 1 2 3 4 … n 等腰三角形的个数 … （1）照这样的画法，如果画15个正方形，可以得到_______个等腰三角形； （2）若要得到152个等腰三角形，则应画_______个正方形． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13.1 三角形的概念 【本节预习目标】 1.理解三角形的严格几何定义，掌握三角形的边、顶点、内角等基本元素，能规范用符号表示三角形，准确识别角的对边与边的对角。 2.掌握三角形按角、按边的两种分类标准，厘清各类三角形之间的从属关系，能正确判断三角形的类型。 3.掌握有序计数三角形的方法，能在简单和较复杂图形中准确数出三角形的个数，提升几何直观核心素养。 4.能从生活、跨学科情境中抽象出三角形模型，运用三角形概念解决实际问题，体会数学的应用价值。 【前置旧知回顾】 知识模块 已学旧知 本节新知关联 三角形初步认识 知道三角形有3条边、3个角、3个顶点，能直观识别三角形 从直观感知上升到严格的几何定义，明确三角形的构成条件与规范的符号表示方法 三角形分类 初步认识等腰三角形、等边三角形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形 建立系统的分类体系，按角、按边两种标准分类，厘清各类三角形的包含与从属关系 几何图形计数 简单图形的线段、角的有序计数方法 迁移有序计数的思想，掌握三角形计数的多种方法，解决复杂图形的计数问题 知识点1：三角形的有关概念 1.三角形的定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 两个核心条件缺一不可：①三条线段不共线；②首尾依次连接，形成封闭图形。 2.三角形的基本元素与表示 基本元素 定义 表示方法 图例 顶点 相邻两边的公共端点 用大写字母表示，如顶点 边 组成三角形的三条线段 ①用两端顶点表示，如边；②用小写字母表示，顶点对的边记为，顶点对的边记为，顶点对的边记为 内角 相邻两边组成的角，简称三角形的角 用“”加顶点字母表示，如 三角形的符号表示：顶点是的三角形记作，读作“三角形”，三个顶点字母的顺序可以任意调换。 知识点2：三角形的分类 1.按内角的大小分类 根据三角形中最大内角的类型，可分为三类： 类型 定义 图例 锐角三角形 三个内角都是锐角的三角形 直角三角形 有一个内角是直角的三角形 钝角三角形 有一个内角是钝角的三角形 其中，锐角三角形和钝角三角形统称为斜三角形。 2.按边的相等关系分类 分类 包含子类型 说明 三边都不相等的三角形 — 三条边长度都不相等 等腰三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 有两条边相等，相等的边叫腰，第三条边叫底边；两腰的夹角叫顶角，腰与底边的夹角叫底角 等边三角形 三条边都相等，是特殊的等腰三角形（底边与腰相等的等腰三角形） 注意：等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形，二者是特殊与一般的从属关系。 【基础巩固题型】 【题型1】三角形定义的辨析判断 1.核心知识点 三角形的定义；构成三角形的两个核心条件 2.解题方法技巧 ①紧扣两个判定要点：三条线段是否不在同一直线上，是否首尾顺次相接形成封闭图形； ②排除三类错误图形：线段有交叉、首尾未完全衔接、三条线段共线； ③多个图形判断时，逐个对照定义筛选，避免凭直观感觉误判。 【例题1】.（25-26八年级上·山西朔州·阶段检测）小华用三根火柴搭成下列图形，其中是三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三角形的定义．三角形的定义为：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形．据此求解即可 【详解】解：因为三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形． 用三根火柴搭成下列图形，其中是三角形的是 ， 故选：C． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·全国·课后作业）下面是小航用三根火柴组成的图形，其中符合三角形的概念的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的定义，解题的关键是熟练记住定义. 根据三角形的定义进行判断即可. 【详解】解：因为三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形， 所以选项C符合题意. 故选： C． 【变式题1-2】.（24-25八年级上·云南曲靖·期中）下列图形中，是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的定义，三角形是由同一平面内，不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形，据此可得答案． 【详解】解：由三角形的定义可知，四个选项中，只有B选项中的图形是三角形， 故选：B． 【变式题1-3】.（24-25七年级下·全国·随堂练习）下面是用火柴棒围成的图形，其中是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的定义，根据不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接得到的封闭图形是三角形解题即可． 【详解】解：首尾顺次相接得到三角形的是B选项， 故选：B． 【题型2】三角形的元素识别与规范表示 1.核心知识点 三角形的边、顶点、内角的对应关系；三角形的符号表示 2.解题方法技巧 ①找角的对边：角的顶点的对边，就是不经过该顶点的那条边； ②找边的对角：边所对的角，就是边两端点之外的那个顶点处的角； ③表示三角形时，必须使用符号“”加三个顶点大写字母，不可只写顶点字母。 【例题2】.（25-26八年级上·全国·课后作业）图中有____ 个三角形，用符号表示这些三角形_______________________________________ ． 【答案】 5 ，，，， 【分析】三条线段首尾顺次相接组成的图形是三角形．由三角形的概念，结合图形可知，图中以 为一个顶点的三角形有、、，不以为顶点的三角形有、，所以共有5个三角形． 【详解】图中有5个三角形，用符号表示这些三角形，，，，． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·云南曲靖·期中）如图，用数字标注了3个三角形，其中表示的是（   ）    A．① B．② C．③ D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形的概念，熟练掌握三角形的概念是解题的关键；根据题意及三角形的表示可进行求解． 【详解】解：表示的是①； 故选：A． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·广西崇左·阶段检测）在中，边所对的角是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查“三角形的基本概念”，了解三角形中的相关概念是解题关键． 根据图形和三角形的边所对角的概念进行判断即可． 【详解】解：根据三角形的边所对角的概念， 在中，边所对的角是， 故选：B． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·河南商丘·期中）如图，在中，，点是垂足，点是边上的一点，连接． (1)写出的三个内角； (2)在中，的对边是__________；在中，的对边是__________． (3)图中共有________个三角形，是哪几个三角形的公共角？ 【答案】(1)的三个内角是：，， (2)； (3)6，是，的公共角 【分析】本题考查了三角形的基本概念（内角、对边、公共角）及图形中三角形的识别，解题的关键是结合图形明确三角形的组成元素及相互关系． （1）根据三角形内角的定义，直接从中找出三个内角． （2）依据“角的对边是角对面的边”，分别在、△ABC中确定的对边． （3）先逐一数出图中三角形的数量，再根据公共角的定义，找出包含的三角形． 【详解】（1）的三个内角是：，，； （2）在中，的对边是；在中，的对边是． 故答案为：；； （3）图中共有6个三角形，分别是：，，，，，． 故答案为：6； 是，的公共角； 【题型3】按角判断三角形的类型 1.核心知识点 三角形按角分类的标准；最大内角与三角形类型的对应关系 2.解题方法技巧 ①判断三角形按角的类型，只需看最大的内角：最大角是锐角就是锐角三角形，是直角就是直角三角形，是钝角就是钝角三角形； ②已知两个内角时，可结合三角形内角和推出第三个角，再判断类型； ③直角三角形、钝角三角形都只需有一个对应角即可判定，不需要多个对应角。 【例题3】.（25-26七年级下·上海金山·期末）在中，若，则是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能 【答案】B 【分析】根据三角形的分类定义判断即可． 【详解】解：∵在中，， ∴是直角三角形． 【变式题3-1】.（25-26七年级下·上海杨浦·期末）如果一个三角形中最长的边所对的角是锐角，那么这个三角形是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上皆有可能 【答案】A 【分析】利用大边对大角的性质，判断最大角的类型，即可确定三角形的类型． 【详解】∵在同一个三角形中，大边对大角，最长边所对的角是三角形的最大角，又已知最长边所对的角是锐角，即三角形的最大角是锐角， ∴三角形其余两个角都小于最大角，也都是锐角， ∴三个内角均为锐角的三角形是锐角三角形， ∴这个三角形是锐角三角形． 【变式题3-2】.（25-26八年级下·上海·期中）在平面直角坐标系中，有点、、，则是（     ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】根据点的坐标判断边的位置关系，计算边长，结合垂直和边长关系判断三角形形状． 【详解】解：如图， ∵点、、， ∴，，， ∴， ∴ 是直角三角形，不是等腰，等边或等腰直角三角形， 选项C符合题意． 【变式题3-3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）观察下面的三角形，其中哪些是锐角三角形，哪些是直角三角形，哪些是钝角三角形？ 【答案】锐角三角形：③ ⑤；直角三角形：① ④ ⑥；钝角三角形：② ⑦ 【分析】根据三角形按角分类的定义：三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，据此对图中三角形逐个分类即可求解． 【详解】解：观察图形可得①，④，⑥中都有一个标注直角符号的内角，说明有一个内角是直角，因此①④⑥是直角三角形； ②，⑦中都有一个内角是钝角，因此②⑦是钝角三角形； ③，⑤中三个内角都是锐角，因此③⑤是锐角三角形． 【题型4】按边判断三角形的类型 1.核心知识点 三角形按边分类的标准；等腰三角形与等边三角形的从属关系 2.解题方法技巧 ①等边三角形是特殊的等腰三角形，因此“等边三角形一定是等腰三角形”的说法正确，反之不成立； ②判断等腰三角形只需确认有两条边相等，与边的位置、方向无关； ③结合非负性的题型，先根据“绝对值、平方的和为0”的性质求出各边长，再判断三角形类型。 【例题4】.（25-26八年级下·山东枣庄·期中）已知，是的两边，且满足，则的形状一定是__________． 【答案】等腰三角形 【分析】根据，是的两边可知，进而根据得到，可知的形状一定是等腰三角形． 【详解】解：∵，是的两边， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的形状一定是等腰三角形． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·周测）的三边为，且满足关系，则是___________三角形． 【答案】 等腰 【分析】题目主要考查乘法的性质，等腰三角形的定义，熟练掌握是解题关键． 根据乘积为零的性质，至少有一个因子为零，从而得到至少有两边相等，因此三角形为等腰三角形． 【详解】解：∵， ∴或或，即或或， ∴至少有两边相等，是等腰三角形， 故答案为：等腰． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·广东江门·期中）已知a，b，c是的三边长，且，则的形状是（   ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查绝对值与平方数的非负性、三角形形状的判定，解题的关键是利用非负性求出边的关系． 根据绝对值和平方数的非负性，由已知等式得出，进而判断三角形形状． 【详解】解：绝对值和平方数均具有非负性，即， 且，即， ， 由于是的两边长，因此有两边相等，是等腰三角形． 故选：B． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·云南临沧·期中）在中，如果，那么是（   ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，根据等腰三角形的定义，有两边相等的三角形是等腰三角形，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，， ∴是等腰三角形， 故选：B． 【培优提升题型】 【题型5】简单图形中的三角形有序计数 1.核心知识点 三角形的识别；有序计数的数学思想 2.解题方法技巧 ①固定顶点法：固定一个顶点，依次变换另外两个顶点，按顺序数出所有包含该顶点的三角形，再换顶点重复操作； ②按边计数法：以某条线段为公共边，找出所有以该边为边的三角形，逐条线段统计； ③计数时遵循“不重复、不遗漏”的原则，按从左到右、从上到下的顺序进行。 【例题5】.（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）图中共有（     ）个三角形 A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【详解】解：如图， 三角形有，一共有6个． 【变式题5-1】.（2026·陕西西安·模拟预测）如图，中，，D是延长线上一点，于F，交于E，图中有（    ）个直角三角形． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据垂直的定义找出图中的直角，进而确定直角三角形的个数． 【详解】解：， 是直角三角形， 是延长线上一点， ， 是直角三角形， ， ， 和都是直角三角形， 综上所述，图中的直角三角形有、、、，共个． 【变式题5-2】.（25-26七年级下·安徽宿州·期中）如图，第①个图形中有1个三角形，第②个图形中有3个三角形，第③个图形中有6个三角形，…，按此规律变化，第⑧个图形中三角形的个数是（   ） A．36 B．37 C．38 D．39 【答案】A 【分析】根据各图形三角形的个数即可找到规律，根据规律即可解答． 【详解】解：第①个图中三角形的个数为1； 第②个图中三角形的个数为； 第③个图中三角形的个数为； …， 故第n个图中三角形的个数为， 故第⑧个图形中三角形的个数为：． 【变式题5-3】.（25-26七年级上·贵州贵阳·期末）小星想通过多边形分割三角形的活动探究多边形的边数、多边形内点的个数以及分割三角形的个数之间的关系，于是他做了如下操作：在一个n边形内部取m个点，连同n边形的n个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到n边形内所有区域都变成三角形．设分得三角形的个数为y（不计被分割的三角形）． 【问题解决】 （1）如图①，当，时，_____；如图②，当，时，_____； 【问题探究】 （2）当时，直接写出n，m的值，并画出图形； 【拓展延伸】 （3）直接写出y，m，n之间的关系：_____． 【答案】（1）3，6；（2），，图见详解；（3） 【分析】本题主要考查了图形规律探索，利用数形结合正确找出三角形的个数与n边形内点的个数关系是解题的关键． （1）根据三角形内有1个点时，三角形个数为3；四边形内有2个点时，三角形个数为6； （2）根据四边形内有2个点时，三角形个数为6；四边形内有1个点时，三角形个数为4；得出三角形个数为5时，多边形是三角形，三角形内的点数大于1，验证即可； （3）由（1）（2）中的规律可得n边形的规律． 【详解】解：（1）如图①，三角形内有1个点时，三角形个数为3， 即当，时，； 如图②，四边形内有2个点时，三角形个数为6， 即当，时，； 故答案为：3；6； （2）当，时，；当，时，； 故当时，， 当，时，如图，； 综上，，； （3）根据（1）（2）可知当，时，； 当，时，； 当，时，； ， 当，时，； 当，时，； 综上，． 【题型6】根据外露部分判断三角形类型 1.核心知识点 三角形按角分类；内角的大小范围判断 2.解题方法技巧 ①露出的角是钝角或直角，可直接确定三角形是钝角或直角三角形； ②露出的角是锐角，无法直接确定类型，三种三角形都有可能； ③若露出两个角，可计算出第三个角的范围，进一步缩小类型判断的范围。 【例题6】.（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，三角形有一部分被遮挡，我们可以判定此三角形的类型为（　　） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的分类，根据直角三角形，锐角三角形以及钝角三角形的定义分析即可． 【详解】解∶ 已知此三角形露出的一个角是锐角． 对于锐角三角形，它的三个角都是锐角所以仅一个锐角不能确定它就是锐角三角形． 对于直角三角形，除了一个直角外，另外两个角是锐角，所以仅一个锐角也不能排除它是直角三角形． 对于钝角三角形，除了一个钝角外，另外两个角是锐角，所以仅一个锐角同样不能排除它是钝角三角形． 因此，仅根据露出的这一个锐角，这个三角形可能是锐角三角形，也可能是直角三角形，还可能是钝角三角形，此三角形的类别无法确定． 故选：D． 【变式题6-1】.（24-25八年级上·浙江温州·阶段检测）如图所示，小手盖住了一个三角形的一部分，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定三角形的形状 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形的分类，掌握各类三角形的定义是解题的关键． 根据钝角三角形的定义作答即可． 【详解】解：由三角形中有1个已知角为钝角，则这个三角形是钝角三角形． 故选：C． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，老师讲桌上的一个三角形卡片被压在了书下．请你根据三角形卡片露出的部分判断该三角形的形状，是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】D 【分析】本题考查了三角形，解题的关键是熟练掌握三角形的分类；根据三角形的分类即可得到正确的结论 【详解】解：由图可知：三角尺露出的角是钝角， 故该三角形是钝角三角形， 故选D 【变式题6-3】.（25-26七年级上·河南信阳·开学考试）如图，一张三角形纸片被撕去了一个角，撕去的这个角是___________，原来这张纸片的形状是___________三角形，也是___________三角形． 【答案】 67 锐角 等腰 【分析】本题主要考查三角形内角和定理的应用及三角形的分类．三角形的内角和是，因此用减另外两个角的度数之和即可求出撕去的这个角是多少；然后根据三角形分类的标准填空，两腰相等，两个底角相等的三角形是等腰三角形；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形． 【详解】解： ， 三角形三个角都小于，所以原来这张纸片的形状是锐角三角形； ，所以原来这张纸片的形状也是等腰三角形． 答：撕去的这个角是；原来这张纸片的形状是锐角三角形，也是等腰三角形． 故答案为：67，锐角，等腰． 【压轴素养题型】 【题型7】三角形计数的规律探究 1.核心知识点 三角形计数；归纳推理与规律探究 2.解题方法技巧 ①从第1、2、3个简单图形入手，分别数出三角形个数，记录对应数据； ②观察个数与图形序号的关系，总结通项公式或周期规律； ③将目标序号代入规律公式计算结果，可代入小序号验证规律的正确性。 【例题7】.（25-26八年级上·广东江门·阶段检测）如果依次用分别表示图3中内三角形的个数，那么，______________． 【答案】 【分析】本题考查了图形类规律探索，三角形的个数问题，是分层有序计数，归纳规律是解题的关键． 根据图形结构灵活选择分层，通过已知数据验证规律的合理性，最终得出答案． 【详解】解：， ， 故答案为：． 【变式题7-1】.（2026七年级下·全国·专题练习）找规律，填空： (1)请按照下列要求数出三角形的个数． ①边上有1个点〔图（1）〕，三角形的个数为________． ②边上有2个点〔图（2）〕，三角形的个数为________． ③边上有3个点〔图（3）〕，三角形的个数为________． (2)当边上有m个点（不含两点）时，图形中三角形的个数为________． 【答案】(1)3，6，10 (2) 【分析】此题考查了规律型：图形的变化类． （1）由已知条件可得出点、之间有1个点时，即线段共有3个点时，边上线段的总数为：，共有3个三角形；点、之间有2个点时，共有6个三角形；点、之间有3个点时，共有10个三角形； （2）通过观察得知，点、之间有个点时，边上线段的总数为：，推出结论； 【详解】（1）解：通过观察得知： 点、之间有1个点时，即线段共有3个点时，边上线段的总数为：，共有3个三角形； 点、之间有2个点时，即线段共有4个点时，边上线段的总数为：，共有6个三角形； 点、之间有3个点时，即线段共有5个点时，边上线段的总数为：，共有10个三角形； 故答案为：3，6，10 （2）解：由（1）可看出，点、之间有个点时，即线段共有个点时，边上线段的总数为：，共有个三角形； 故答案为：． 【变式题7-2】.（25-26七年级上·山东济南·期中）通过对现象的观察、分析，从特殊到一般的探索这类现象的规律、提出猜想的思想方法称为归纳法．运用归纳法探求如下规律： 在三角形的内部取个点，连同三角形的3个顶点，逐步连接这些点，保证所有的连线不再产生新的点，直到三角形内部所有区域都变成三角形．那么最多可以得到多少个三角形（不计被分割的三角形）? 如图，为了解决这个问题，我们可以从、、等具体简单的情形入手，探索最多可得到三角形个数的变化规律：    统计几种简单的情况如下表： 三角形内点的个数 1 2 3 … 最多三角形的个数 3 5 … (1)________，当三角形的内部取4个点时，最多可以得到________个三角形； (2)观察和比较下面的式子：，，，则下一个式子为______； 分析可知：三角形内的点每增加1个，最多可得到的三角形增加________个； 归纳可知：当三角形内点的个数为时，最多可以得到________个三角形； (3)请你尝试用上面的方法探索：在十边形的内部取个点，连同十边形的10个顶点，逐步连接这些点，保证所有的连线不再产生新的点，直到十边形内部所有区域都变成三角形．那么最多可以得到多少个三角形（不计被分割的三角形）? 【答案】(1)7；9 (2)；2； (3)最多可以得到个三角形 【分析】本题考查了三角形的个数问题，数字规律，图形类规律探索，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先充分理解题意，再调整图形，运用数形结合思想，进行作答即可； （2）先充分理解题意，观察式子特征，进行总结归纳，即可作答． （3）先充分理解题意，模仿（1）（2）的解题过程，且作图分析，进行总结归纳，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，三角形内点的个数，最多三角形的个数是，如图所示： 依题意，三角形内点的个数，最多三角形的个数是7，如图所示： ∴， 同理：三角形内点的个数，最多三角形的个数是9，如图所示： 即当三角形的内部取4个点时，最多可以得到9个三角形； （2）解：观察和比较下面的式子：，，， 则下一个式子为 分析可知：三角形内的点每增加1个，最多可得到的三角形增加2个； 归纳可知：当三角形内点的个数为时，最多可以得到个三角形； （3）解：当时，如图所示： 此时最多三角形的个数为， 当时，如图所示： 此时最多三角形的个数为， 当时，如图所示： 此时最多三角形的个数为， …… 依次类推：十边形内点的个数为时，则最多三角形的个数， 即保证所有的连线不再产生新的点，直到十边形内部所有区域都变成三角形．那么最多可以得到个三角形． 【变式题7-3】.（25-26七年级上·江苏盐城·期末）“低多边形风格”是一种数字艺术设计风格，它将整个区域分割成若干个三角形，通过把相邻三角形涂上不同颜色，产生立体及光影的效果，随着三角形数量的增加，效果更为斑斓绚丽（如图1）．受此启发，小聪提出如下问题：设多边形中，有m个“内点”，连接它们成一张互相毗邻的三角形网（，时的情形如图2）． 若称每个小三角形为一个“网眼”，则网中“网眼”的个数t，多边形的边数n，多边形“内点”的个数m之间存在怎样的数量关系． 小慧采用由特殊到一般的方法进行探索，当多边形为三角形()时，列表如下： 三角形（） … 三角形内点的个数（m） 1 2 3 … 网眼个数（t） 3 x y … (1)表中___________，___________． 根据上述探索过程，猜想m，t之间满足的等量关系为___________． (2)根据小慧同学的探索思路，当多边形为四边形()时，写出m，t之间满足的等量关系___________． (3)若已知一个多边形内的“网眼”个数比边数多12，求这个多边形“内点”的个数． 【答案】(1)，； (2) (3)这个多边形“内点”的个数为 【分析】本题考查了多边形的三角剖分规律探究，解题的关键是通过特殊情形归纳出一般数量关系，再结合多边形边数与内点个数推导“网眼”数的公式． （1） 当时，观察内点个数与网眼数的对应关系：时，时，时，归纳得； （2） 当时，同理归纳得； （3） 由一般规律，结合，代入化简得． 【详解】（1）解：观察图形，网眼个数如下： 当时，，即； 当时，，即； …… 可见，网眼点数每增加1个，则三角形内点个数就增加2， 归纳得． 故答案为：，；． （2）解：如图，当时， 取，得； 取，得； 取，得； …… 可见，网眼点数每增加1个，则三角形内点个数就增加2， 归纳得． 故答案为：． （3）解：由多边形三角剖分的一般规律，得． 已知，代入得， 化简得， 解得． 答：这个多边形“内点”的个数为． 易错点 1、三角形定义理解不准确：忽略“三条线段不在同一直线上”“首尾顺次相接”的条件，误将交叉、不封闭的三线图形判定为三角形。 2、分类概念混淆：误认为“等腰三角形一定是锐角三角形”“等边三角形不是等腰三角形”，混淆按角分类和按边分类两套独立的分类体系。 3、三角形计数重复或遗漏：没有采用有序的计数方法，随意数图形，导致重复计数或漏掉部分三角形。 4、等腰三角形概念误解：错误认为底边一定在图形下方、顶角一定在顶部，混淆了腰与底边、顶角与底角的定义，其划分只与边的相等关系有关，与摆放位置无关。 重点 1、三角形的定义、基本元素名称与规范的符号表示方法。 2、三角形按角、按边的两种分类标准，厘清各类三角形之间的包含与从属关系。 难点 1、复杂图形中三角形的有序计数，掌握科学的计数方法做到不重不漏。 2、动态几何、规律探究类问题，培养归纳推理能力与数形结合思想。 一、单选题 1．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）在中，边的对角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形定义，熟记三角形对边对角定义是解决问题的关键． 根据三角形中边的对角定义，一条边的对角是与该边不相邻的角． 【详解】解：如图所示： ∴边的对角是， 故选：D． 2．（25-26八年级上·河南安阳·期末）图中共有（   ）个三角形． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查三角形的定义，熟练掌握相关知识是关键． 不在同一直线上的三个点可以确定一个三角形，使用列举法即可． 【详解】解：如图， 图中三角形为、、、、、共个． 故选：B． 3．（25-26八年级上·云南昭通·期末）如图，以为公共角的三角形有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的概念，根据三角形的概念即可求解，正确理解三角形的概念是解题的关键． 【详解】解：以为公共角的三角形有，，共个， 故选：． 二、填空题 4．（25-26八年级上·云南红河·期中）已知a，b，c是的三边，且满足，则是________三角形． 【答案】等边 【分析】本题考查绝对值的非负性，三角形的分类，根据绝对值的非负性，两个非负数的和为零，则每个数都为零，得到，进而得到是等边三角形． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵a，b，c是的三边， ∴是等边三角形． 故答案为：等边． 5．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知中，，，．则是__________三角形．(填“锐角”“直角”或“钝角”) 【答案】直角 【分析】本题考查了三角形的分类：按照边分类可分为三边均不等三角形和等腰三角形，按照角分类可分为锐角三角形，直角三角形和钝角三角形，根据三角形三个角的度数即可判断． 【详解】解：已知中，，，． 则是直角三角形， 故答案为：直角． 6．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图为一张藏宝图，有一人想出发寻宝，已知秘密宝藏藏在图中的某个黑点标示的位置．经过调查，秘密宝藏的位置P满足条件：为直角三角形，符合条件的P点的个数为______个． 【答案】 【分析】分三种情况，当时，当时，当时，分别找出符合条件的P点的个数，即可解决问题． 本题考查了直角三角形的性质，正确作出图形是解题的关键． 【详解】解：如图，分三种情况： 当时，符合条件的P点的个数有2个； 当时，符合条件的P点的个数有2个； 当时，符合条件的P点的个数有2个； 综上所述，为直角三角形，符合条件的P点的个数为（个）． 故答案为：6． 三、解答题 7．（2026七年级下·江苏·专题练习）请给如图所示的图形命名，并给出名称的定义． 【答案】见解析 【详解】解：直角三角形，定义：有一个角为直角的三角形是直角三角形． 8．（25-26九年级上·云南昆明·期中）如图，在中，，分别是，上的点，连接，交于点． (1)以为边的三角形有几个？用符号表示； (2)以点为顶点的三角形有几个？用符号表示． 【答案】(1)个， (2)个， 【分析】本题考查认识三角形，熟记三角形的定义是解决问题的关键． （1）根据三角形的定义，由图数出以为边的三角形即可； （2）根据三角形的定义，由图数出以点为顶点的三角形即可． 【详解】（1）解：以为边的三角形有个， 用符号表示：； （2）解：以点为顶点的三角形个， 用符号表示：． 9．（25-26八年级上·云南曲靖·期中）如图，过A，B，C，D，E五个点中任意三点画三角形． (1)其中以为一边可以画______个三角形； (2)其中以A为顶点可以画______个三角形． 【答案】(1)3 (2)6 【分析】本题考查三角形的个数，熟练掌握三角形的定义，是解题的关键： （1）根据三角形的定义，进行判断即可； （2）根据三角形的定义，进行判断即可． 【详解】（1）解：如图，以为一边的三角形有：，，，共3个， 故答案为：3； （2）如图，以A为顶点的三角形有：，，，，，，共6个； 故答案为：6． 10．（24-25七年级上·山西大同·阶段检测）如图，请你探索正方形的个数与等腰三角形的个数之间的关系，并把表格补全． 正方形的个数 1 2 3 4 … n 等腰三角形的个数 … （1）照这样的画法，如果画15个正方形，可以得到_______个等腰三角形； （2）若要得到152个等腰三角形，则应画_______个正方形． 【答案】0，4，8，12，（1）；（2）． 【分析】本题考查了规律型-图形的变化类，有理数的乘法，一元一次方程的应用，通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况． 当有1个正方形时，等腰直三角形的个数为：，当有2个正方形时，等腰直角三角形的个数为：，当有3个正方形时，等腰直角三角形的个数为：，当有4个正方形时，等腰直角三角形的个数为：，当有个正方形时，等腰直角三角形的个数为：， （1）由前面得到的规律：当有个正方形时，等腰直角三角形的个数为，即可求解； （2）令，然后解方程即可． 【详解】解：当有1个正方形时，等腰直三角形的个数为：， 当有2个正方形时，等腰直角三角形的个数为：， 当有3个正方形时，等腰直角三角形的个数为：， 当有4个正方形时，等腰直角三角形的个数为：， ∴当有个正方形时，等腰直角三角形的个数为：， 故答案为：0，4，8，12，； （1）当正方形的个数为时，等腰三角形有： （个）， 故答案为：． （2）根据题意得：， 解得：， 即当正方形的个数为时，等腰三角形有个， 故答案为：． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $