专题07 立体几何与空间向量（期中真题汇编，辽宁专用）高三数学上学期

专题07 立体几何与空间向量 3大高频考点概览 考点01 空间几何体 考点02 点、直线、平面间的位置关系 考点03 空间向量的应用 考点01 空间几何体 1．（25-26学年高三上·辽宁大连·期中）已知一正三棱柱的底面边长为6，其内部有一球与其各表面都相切，则该正三棱柱的外接球的表面积为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用正三棱柱的性质，结合勾股定理即可求得外接球表面积. 【详解】    边长为6的正三角形的内切圆半径为：， 所以正三棱柱的高为， 则外接球半径， 所以外接球的表面积为：， 故选：D. 2．（25-26学年高三上·辽宁阜新·期中）（多选）已知边长为2的菱形，且，沿对角线折起，使点不在平面内，为的中点，在翻折过程中，则（     ） A. 平面平面 B. 当时，直线与平面所成角的余弦值为 C. 当二面角的大小为时，点在三棱锥的表面上运动，且，则点运动轨迹长度为 D. 当二面角的余弦值为，则三棱锥的外接球的表面积为 【答案】ABD 【分析】 对于A，根据线面垂直的判定定理先证明平面，从而得到平面平面；对于B，用等体积法可求得点A到平面的距离，从而求得直线与平面所成角的正弦值，由同角三角函数关系式可求得直线与平面所成角的余弦值；对于C，分析点在三棱锥的表面上运动时，则点在各个侧面的运动轨迹，并求其长度的和即可判断；对于D，根据题意列得关于三棱锥的外接球半径的方程组，求解可得外接球半径，从而得到外接球的表面积. 【详解】 由题可知，，所以. 由，得， 所以，所以. 折起如图2. 对于选项A，由图1知，菱形中， 图2中平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面.所以选项A正确； 对于选项B，由题可知，是等边三角形， 取的中点E，连接，则，且. 因为平面， 所以平面， 又平面，所以. 所以. 因为，所以， 所以. 所以. 所以. 因为， 所以点A到平面的距离为. 所以直线与平面所成角的正弦值为， 所以直线与平面所成角的余弦值为.故选项B正确. 对于选项C，当二面角的大小为时，由选项A可知，. 因为，所以. 因为， 所以点C到平面的距离为，所以中，点运动轨迹为一个点； 点在三棱锥的侧面上运动，且时， 点运动轨迹分别为三棱锥的三个侧面上的三段圆弧. 中，，所以点运动轨迹长度为； 中，.所以， 所以，所以点运动轨迹长度大于； 同理中，， 所以，所以点运动轨迹长度大于； 所以点运动轨迹长度大于；所以选项C错误. 对于选项D，当二面角的余弦值为时，由选项A可知，. 所以，所以， 记棱的中点为F，则. 记三棱锥的外接球球心为T，因为O为的中点，且平面， 所以T在等腰三角形的中线上. 设三棱锥的外接球的半径为R， 则 ，解得. 所以三棱锥的外接球的表面积为.所以选项D正确. 故选：ABD. 3．（25-26学年高三上·辽宁沈阳·期中）已知圆锥底面半径为，侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的母线长为　　　　　　　　 【答案】 【分析】 根据圆锥侧面展开图的知识求得正确答案. 【详解】 设圆锥的母线长为，则. 故答案为： 4．（25-26学年高三上·辽宁营口·期中）如图，某粮仓（粮仓的底部位于地面上）是由圆柱和圆锥构成的，其容积为，且圆柱的高是圆锥高的2倍.若在粮仓的圆锥表面涂一层防水漆，每平方米需要涂料1kg，圆柱表面不需要涂防水漆，则给这个粮仓涂防水漆至少需要涂料　　　　　　　　　　　　　　　kg.（取） 【答案】 【分析】 根据圆锥和圆柱的体积公式以及表面积公式可得圆锥的侧面积表达式为，求导，即可根据函数的单调性求解. 【详解】 设圆锥的母线为，底面半径为，高为. 由题意知该粮仓的容积，则， 则该粮仓的圆锥侧面积为， 设，则. 令，得，易得在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以给这个粮仓涂防水漆至少需要涂料. 故答案为： 5．（25-26学年高三上·辽宁沈阳·期中）如图，在棱长为2的正方体中，E为棱的中点，动点P在直线DC上移动，对于下列四个结论： ①存在唯一点P，使得； ②三棱锥的体积不变； ③平面截正方体所得截面形状是梯形或平行四边形； ④的面积最小值为； 则所有正确结论的序号是　　　　　　　　　　. 【答案】① ② 【分析】 设，分类讨论点位置，求出，由解得，确定① 正确，考虑到到平面的距离不变，从而易判断② ，通过作辅助线得到截面图形，即可判断③ ，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，设，分类讨论点位置，由空间向量法求得到的距离，由距离的变化规律进行求解即可判断④ 正确. 【详解】 对于① ：由平面平面，得，同理， 若在线段上，设， 所以， 又， 由得，存在唯一点使得； 若在直线上，且在点左侧，设，则， 所以， 又， 由，得，舍去； 若在直线上，且在点右侧，设，则， 所以， 又， 由，得，舍去，① 正确； 对于② ：正方体中，平面，所以到平面的距离不变， 即到平面的距离不变，而面积不变， 因此三棱锥，即四面体的体积不变，② 正确；     对于③ ：过作平面，则为中点，连接，则， 过作，则为中点，过作，则， 连接，则平面； 过作，则为中点， 过作，则为中点， 过作，则是靠近的三等分点， 所以，连接， 则五边形是平面截正方体所得，③ 错误； 对于④ ：以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图，     正方体棱长为，则， 设， 则，， 又，， 所以， 设到直线的距离为， 则 ， 若在线段上，则， 由二次函数性质知时，递减， 所以，又不变， 所以的面积最小为； 若直线上，且在左侧，则， 由二次函数性质知，时，无最小值； 若直线上，且在右侧，则， 由二次函数性质知，时，在时，取得最小， 且此时，又不变， 所以的面积最小为，④ 错误； 故答案为：① ② . 考点02 点、直线、平面间的位置关系 1．（25-26学年高三上·辽宁沈阳·期中）已知，是两个不同的平面，，为两条不重合的直线，则下列命题中正确的为（     ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】C 【分析】 根据线线、线面、面面平行或垂直的判定与性质定理进行判断即可． 【详解】 解：因为，是两个不同的平面，，为两条不重合的直线， 对于A：若，，，则或或或与相交（不垂直），故A错误； 对于B：若，，，则或与相交，故B错误； 对于C：若，，，面面垂直的判定可知，故C正确； 对于D：若，，，则或与相交，故D错误； 故选：C 2．（25-26学年高三上·辽宁大连·期中）（多选）在棱长为4的正方体中，是棱的中点，点在线段上，点在四边形（包含边）内，且平面，则（       ） A. 的最小值是 B. 三棱锥的体积为定值 C. 点的轨迹长度为 D. 的最小值为 【答案】BCD 【分析】 根据三棱锥的体积公式、面面平行的判定和性质等知识进行逐项判断即可. 【详解】 因为正方体中，，所以. 因为点在线段上，所以当为的中点时， 取最小值为，所以A错误. 因为平面，所以三棱锥的体积与三棱锥的体积相等， 因为点是固定的，所以点到平面的距离确定，所以三棱锥的体积与三棱锥的体积是定值，B正确. 分别取棱的中点，连接. 所以，. 又平面，而不在平面内， 所以平面，平面. 又，所以平面平面. 因为点在四边形（包含边）内，且平面，所以点的轨迹为线段. 因为分别是棱的中点，所以，C正确. 将平面与平面展开到同一平面，则，连接. 由题意可得，， 则， 当是线段与的交点时，，即的最小值为，D正确. 故选：BCD. 3．（25-26学年高三上·辽宁沈阳·期中）（多选）如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（       ） A. 若点满足，则动点的轨迹长度为 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 当直线与所成的角为45°时，点的轨迹长度为 D. 当在底面上运动，且满足平面时，线段长度最大值为 【答案】CD 【分析】 利用线面垂直的性质定理可得动点的轨迹为矩形，其周长为；显然三棱锥体积的最大值即为正四面体，易知最大值为；易知当点在线段和弧上时，直线与所成的角为，可知其轨迹长度为；根据面面平行的判定定理可求出点在底面上的轨迹为三角形，易知长度的最大值为. 【详解】 对于A，易知平面平面，故动点的轨迹为矩形， 动点的轨迹长度为矩形的周长，即为，所以错误； 对于B，因为，而等边的面积为定值， 要使三棱锥的体积最大，当且仅当点到平面的距离最大， 易知点是正方体到平面距离最大的点， 所以，此时三棱锥即为棱长是的正四面体， 其高为，所以，B错误； 对于C：连接AC，，以B为圆心，为半径画弧，如图1所示， 当点在线段和弧上时，直线与所成的角为， 又， 弧长度，故点的轨迹长度为，故正确； 对于D，取的中点分别为， 连接，如图2所示， 因为平面平面，故平面， ，平面平面，故平面； 又平面，故平面平面； 又， 故平面与平面是同一个平面. 则点的轨迹为线段： 在三角形中， 则， 故三角形是以为直角的直角三角形； 故，故长度的最大值为，故正确. 故选：. 【点睛】 方法点睛：立体几何中动点轨迹问题经常利用不动点的位置和动点位置关系，利用线面、面面平行或垂直的判定定理和性质定理，找出动点的轨迹进而计算出其轨迹长度. 考点03 空间向量的应用 1．（25-26学年高三上·辽宁沈阳·期中）（多选）关于空间向量，以下说法正确的是（       ） A. 若，则向量，的夹角是锐角 B. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 C. 若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 D. 已知向量满足， 且， 则 【答案】BC 【分析】 对A：向量，的夹角可能为；对B：根据空间向量共面定理即可得；对C：由即可得；对D：借助空间向量数量积公式及数量积与模长的关系计算即可得. 【详解】 对A：若，则向量，的夹角是锐角或，故A错误； 对B：根据空间向量共面定理知：空间中的三个向量，若有两个向量共线， 则这三个向量一定共面，故B正确； 对C：由，故P，A，B，C四点共面，故C正确； 对D：由，则，又， 故，又，则， 故，即，则，故D错误. 故选：BC. 2．（25-26学年高三上·辽宁阜新·期中）在棱长为1的正方体中，点在正方形内，且不在棱上，又，则下列结论中错误的是（　　） A. 四棱锥的体积不变 B. 总有 C. 点在一条定线段（不含端点）上 D. 记直线分别与平面和平面所成角为，则可以为 【答案】D 【分析】 建立如图所示的空间直角坐标系，根据可得的轨迹为如图所示的线段（不含两点），故可判断AC的正误，利用空间向量数量积的坐标形式计算后可判断B的正误，利用向量法求出后结合三角变换公式求出后结合在上无解可判断D的正误. 【详解】 根据正方体可建立如图所示的空间直角坐标系， 其中， 因为点在正方形内，且不在棱上，故设， 对于C，因为，故，故， 故，取的中点为，的中点为， 则的轨迹为（不含两点），故C正确； 对于A，因为，故到平面的距离为1， 而正方形的面积为定值，故四棱锥的体积为为定值， 故A正确； 对于B，又， 故，故B正确； 对于D，，设平面的法向量为， 则 ，取， 而，故. 而，设平面的法向量为， 则 ，取， 故. 因为，故，， 故， 令，整理得， 故，而，故， 而，故在无解，故D错误， 故选：D. 3．（高三上·辽宁沈阳·期中）（多选）已知正方体的棱长为4，N为棱上一点，且，动点M在正方体内及其表面上运动，下列说法正确的是（       ） A. 异面直线与所成角的余弦值为 B. 若M是线段上的动点，则M到平面的距离为定值 C. 若，则的最小值为 D. 若M满足，，则M的轨迹的长度为 【答案】BCD 【分析】 对A，连接交于，可得为异面直线与所成角，解三角形得解；对B，由平面，可得点到平面的距离为定值；对C，由题可得，过点作平面与垂直，平面被正方体所截的图形为正方形（及内部），由图得解；对D，设的中点分别为，由题在以为球心，为直径的球面上，也在以为球心，为直径的球面上，作出截面图如图，点的轨迹是以为直径的圆，运算得解. 【详解】 对于A，连接交于，由正方体的性质可得， 所以为异面直线与所成角，如图， 由，且，故，， ，故A错误； 对于B，由正方体的性质可得，平面，平面， 所以平面， 点在线段上，所以点到平面的距离为定值，故B正确； 对于C，设边上的高为，如图， 因为，所以，即， 又，所以，过点作平面与垂直， 记平面被正方体所截的图形为正方形（及内部），如图， 所以点在正方体内（含边界），故的最小值为，故C正确； 对于D，设的中点分别为，因为，所以在以为球心，为直径的球面上， 同理也在以为球心，为直径的球面上， 由正方形的性质可知，为直径的球面与为直径的球面是同一个球面， 因为，所以两球面的半径均为，截面图如图， 所以点的轨迹是以为直径的圆，由勾股定理可得， 所以点轨迹的长度为，故D正确. 故选：BCD. 4．（高三上·辽宁沈阳·期中）如图，圆锥的轴截面PAB是边长为2的正三角形，C，D为底面圆周上的点，且是正三角形，E为母线PB上的一动点．    （1）若平面CDE，求PE的长； （2）若直线DE与平面所成角的正弦值为．求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）取的中点，以为原点建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用线面平行的性质，结合平行线分线段成比例定理求解. （2），利用线面角的向量法求出，进而求出平面的法向量，再利用面面角的向量法求解. (1) 小问详解： 取直径的中点，连接，在底面圆所在平面内作，直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建空间直角坐标系， 由都是正三角形，，得， ，令，则， 由平面，平面平面，平面，得， 因此，，所以PE的长为. (2) 小问详解： 由（1）知，设，则， ，而平面的法向量， 由直线DE与平面所成角的正弦值为，得 ，整理得，又，解得， 于是，而，设平面的法向量， 则 ，令，得， 因此， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 5．（25-26学年高三上·辽宁大连·期中）在平行六面体中，，，，，．则与所成角的余弦值为　　　　　　． 【答案】.1 【分析】 以为基底向量，结合空间向量运算求，进而可求线线夹角. 【详解】 以为基底向量，则， 因为，且，    则，且， 可得， 所以与所成角的余弦值为. 故答案为：. 6．（25-26学年高三上·辽宁阜新·期中）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，，点P在底面的射影点Q在线段AC上. （1）过A作，H为垂足，证明：面PCD； （2）若，证明：，并求平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值. 【答案】（1） 连接，平面，所以. 在中，. 同理，在中，有. 又因为，所以， 所以，，故，即. 又因为，，平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面. 因为，平面，则平面，又因为平面， 所以平面， 又因为平面平面，，平面平面， 所以平面.     （2） 连接，因为平面，面， 所以，由勾股定理得， 同理可得，即， 因为，所以. 平面与平面所成角的余弦值为      【分析】 （1）根据题意，由余弦定理可得，结合勾股定理即可得到，再由面面垂直的判定定理可证平面平面，再由面面垂直的性质定理即可证得平面； （2）利用勾股定理即可证明，再建立空间直角坐标系，求出关键平面的法向量，利用二面角的向量求法求解即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 证明略. 由上知为的交点，且由平行线性质得， 得到，故， 过作直线的平行线，则两两垂直， 如图，以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 得到，， ，， 设平面的法向量为， 则 ，令， 解得，，故， 设平面的法向量为， 则 ，令， 解得，，故， 设平面与平面所成角为， 则， 故平面与平面所成角的余弦值为． 7．（25-26学年高三上·辽宁辽西重点高·期中）如图，在三棱锥中，平面为棱的中点，，. （1）求二面角的余弦值； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）取中点，连接，，即可得到、，则为二面角的平面角，再由锐角三角函数计算可得； （2）设点到平面的距离为，利用等体积法求出，设直线与平面所成角为，则，即可得解. (1) 小问详解： 取中点，连接， ，因为，为 中点， 所以. 因为平面平面，所以， . 在中，， 在中，， 从而，又 为中点， 所以. 故为二面角的平面角， 因为平面 平面，所以， 又，所以， 从而， 所以二面角的余弦值为. (2) 小问详解： 设点到平面的距离为. 因为平面，所以平面. 又平面，所以. 所以. 由，得，即，故， 设直线与平面所成角为，则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 8．（25-26学年高三上·辽宁大连·期中）在四棱锥中，侧面平面，四边形为直角梯形，，，，为等边三角形，点，分别为的中点．    （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值； （3）点为线段上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】（1） 连接，因为点，分别为的中点，所以， 因为四边形为直角梯形，，，， 所以，， 在中，由余弦定理可得， 所以，所以，所以， 又因为为等边三角形，点为的中点，所以， 又因为侧面平面，侧面平面， 所以平面，又平面，所以， 又因为，平面，所以平面；     （2）      （3）       【分析】 （1）连接，利用余弦定理可得，结合勾股定理可得，可得，由面面垂直的性质可得平面，进而可得，可证结论； （2）取的中点，连接，可证，，以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，求得两平面的一个法向量，利用向量法可求得平面与平面所成角的余弦值； （3）设，设平面与平面所成的夹角为，可得，利用换元法，结合二次函数的性质，可求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 取的中点，连接，可得， 又平面，又平面，所以， 以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，    则， 则， 设平面的一个法向量为， ，令，则， 则平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则 ，令，则， 所以平面的一个法向量为， 则， 所以平面与平面所成角的余弦值为； (3) 小问详解： 设，则， 又， 又平面的一个法向量为， 设平面与平面所成的夹角为， 则， 令，， 则， 令，可得， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围为． 9．（25-26学年高三上·辽宁阜新·期中）已知正方体的棱长为2，点在正方体的内切球表面上运动，且满足平面，则的最小值为　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据题意结合正方体的性质可得点的轨迹是平面与正方体内切球的交线，此交线为圆，记圆心，以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求出球心到平面的距离，从而可求出，进而可求出的最小值. 【详解】 在正方体中，，且平面， 平面，所以平面，平面. 因为，且平面，所以平面平面， 因为平面，平面，所以平面， 所以点的轨迹是平面与正方体内切球的交线，此交线为圆，记圆心为. 如图，以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以. 设平面的法向量为， 则 ，令，则， 所以球心到平面的距离. 如图，因为正方体的内切球半径，所以圆的半径. 因为，所以，即， 所以， 所以的最小值为. 故答案为：. 10．（25-26学年高三上·辽宁沈阳·期中）如图，平面平面ABCD，，，，，E为PD中点. （1）求证：平面PBC； （2）求平面ABE与平面PAB所成角的余弦值； （3）求点D到平面ABE的距离. 【答案】（1） 取PC的中点F，连接，BF， 因为E是PD的中点，则，， 又因为，，则，， 可知四边形是平行四边形，则， 且平面，平面， 所以平面.     （2）      （3）       【分析】 （1）取PC的中点F，连接，BF，根据平行关系可证，进而可证线面平行； （2）建系标点，分别求平面ABE与平面的法向量，利用空间向量求面面夹角； （3）由（2）可得，平面ABE的法向量，利用空间向量求点到面的距离. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 在平面内过点B作垂直于AB， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，可得，， 且，以B为原点，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 可得，， 设平面ABE的法向量为，则 ， 取，则，，可得， 又因为平面的一个法向量为， 设平面ABE与平面所成角为，且为锐角， 则， 故平面ABE与平面所成角的余弦值为. (3) 小问详解： 由（2）可知：，平面ABE的法向量为， 所以点D到平面ABE的距离. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题07立体几何与空间向量 3大高频考点概览 考点01空间几何体 考点02点、直线、平面间的位置关系 考点3空间向量的应用 D考点01空间几何体 1.(25-26学年高三上·辽宁大连·期中)已知一正三棱柱的底面边长为6，其内部有一球与其各表面都相 切，则该正三棱柱的外接球的表面积为( ) A.20▣ B.64V▣ c.96π D.60π 2.(25-26学年高三上-辽宁卓新期中)（多选）已知边长为2的菱形ABCD,且∠BCD-号沿对角 线BD折起，使点C不在平面ABD内，O为BD的中点，在翻折过程中，则( A.平面AOC⊥平面BCD B.当BC⊥AD时，直线AB与平面BCD所成角的余弦值为四 C当=面角A-BD-C的大小为胥时，点P在三枝维C-ABD的表面上运动，且CP多则P点运动 3 轨迹长度为行π 4则三棱锥C-ABD的外接球的表面积为 8 D.当二面角A-BD-C的余弦值为- 9 25-26学年高三上辽宁沈阳期中)已知圆锥底面半径为口，侧面展开图是圆心角为3的扇形，贝 此圆锥的母线长为 4.(25-26学年高三上·辽宁营口·期中)如图，某粮仓（粮仓的底部位于地面上）是由圆柱和圆锥构成的， 8 其容积为3 m，且圆柱的高是圆锥高的2倍.若在粮仓的圆锥表面涂一层防水漆，每平方米需要涂料 1kg,圆柱表面不需要涂防水漆，则给这个粮仓涂防水漆至少需要涂料 kg（取7=2.153 115 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5.(25-26学年高三上·辽宁沈阳·期中)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱 BC1的中点，动点P在直线DC上移动，对于下列四个结论： ①存在唯一点P,使得PA1=PE: ②三棱锥A1-PB,E的体积不变： ③平面PA1E截正方体ABCD-A,B,C,D1所得截面形状是梯形或平行四边形： ④△PA1E的面积最小值为V▣： D C B D. 则所有正确结论的序号是 》 考点02点、直线、平面间的位置关系 1.(25-26学年高三上·辽宁沈阳·期中)已知c,B是两个不同的平面，m,n为两条不重合的直线，则下 列命题中正确的为( A.若a⊥B,anB=n,m⊥n,则m⊥a B.若mca,ncB,m/1n,则a//B C.若m⊥a,n⊥B,m⊥n,则a⊥β D.若m/1a,n/β，m/In,则a/1β 2.(25-26学年高三上·辽宁大连期中)（多选）在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱 A1B的中点，点F在线段BD1上，点G在四边形C1CDD1(包含边)内，且EG/平面BCD1,则 ) A.CF的最小值是2V▣ B.三棱锥G-B1CD1的体积为定值 C.点G的轨迹长度为2V▣ 215 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D.(CF+EF2的最小值为28+8□ 3.(25-26学年高三上·辽宁沈阳·期中)（多选）如图，点P是棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的 表面上一个动点，F是线段AB的中点，则( D C B A C B A.若点P满足AP⊥BC,则动点P的轨迹长度为4口 6 B.三棱锥A-PB1D1体积的最大值为 3 C.当直线AP与AB所成的角为45时，点P的轨迹长度为π+4□ D.当P在底面ABCD上运动，且满足PF/1平面BCD1时，线段PF长度最大值为2V叵 》 考点03空间向量的应用 1.（25-26学年高三上·辽宁沈阳·期中)（多选）关于空间向量，以下说法正确的是( ) A.若a·b>0,则向量a,b的夹角是锐角 B.空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 C若对空间中任意一点0，有OD=2O入+OB+号O元，则P,A,B,c因点共面 D.已知向量a,6满足1a=2,a-2=4且6+26=0：则6=2 2.(25-26学年高三上·辽宁阜新·期中)在棱长为1的正方体ABCD-A1BC1D1中，点P在正方形 A,BC1D1内，且不在棱上，又PA=PD,则下列结论中错误的是() D D B A.四棱锥P-ABCD的体积不变 B.总有AP·BP>0 C.点P在一条定线段（不含端点）上 3/5 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D.记直线AA分别与平面PAD和平面PBC所成角为a,B,则a+B可以为写 3.(高三上辽宁沈阳期中)（多选）己知正方体ABCD-A1B,CD1的棱长为4，N为棱AB上一点， 且AN=1,动点M在正方体ABCD-AB,C1D1内及其表面上运动，下列说法正确的是 ) A.异面直线DN与A,C,所成角的余弦值为V口 ☐ B.若M是线段BC上的动点，则M到平面DA1C1的距离为定值 C.若tan∠MAD=2an∠MDA,则MC,的最小值为 8 D.若M满足MA⊥MC,MB1⊥MD1,则M的轨迹的长度为4π 4.(高三上·辽宁沈阳·期中)如图，圆锥的轴截面PAB是边长为2的正三角形，C,D为底面圆周上的点， 且△BCD是正三角形，E为母线PB上的一动点， C -B D (1)若PA/平面CDE,求PE的长： (2)若直线DE与平面BCD所成角的正弦值为口.求平面CDE与平面BCD夹角的余弦值. 5.(25-26学年高三上·辽宁大连·期中)在平行六面体ABCD-ABCD中，AB=4,AD=3, AA=5,∠BAD=90°，∠BAA=∠DAA=60°.则AA与BD所成角的余弦值为 6.(25-26学年高三上·辽宁阜新·期中)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形， AD=2AB=2BC=2,点P在底面的射影点Q在线段AC上. B (1)过A作AH⊥PC,H为垂足，证明：AH⊥面PCD; (2)若PA=PD=2,证明：AQ=DQ,并求平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值 7.(25-26学年高三上·辽宁辽西重点高·期中)如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,D为棱 415 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 PB的中点，∠BAC= -2 AB=AC-2PA=2 (1)求二面角P-BC-A的余弦值： (2)求直线PC与平面ADC所成角的正弦值， 8.(25-26学年高三上·辽宁大连·期中)在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥平面ABCD,四边形 ABCD为直角梯形，AB‖CD,∠ADC=90°，AD=AB=2,DC=4,△PAD为等边三角形， 点E,F分别为AD,AB的中点， D M A FB (1)证明：BC⊥平面PEF: (2)求平面PEF与平面PCD所成角的余弦值； (3)点M为线段DC上的动点，求直线PM与平面PEF所成角的正弦值的取值范围. 9.(25-26学年高三上辽宁阜新，期中)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点P在正方体的内 切球表面上运动，且满足D1P∥平面A1BC1,则AP的最小值为 10.(25-26学年高三上·辽宁沈阳·期中)如图，平面PAB⊥平面ABCD,PA=PB=3,AB∥DC, DC=2AB=2BC=4,AB⊥BC,E为PD中点 E :>B (1)求证：AE∥平面PBC: (2)求平面ABE与平面PAB所成角的余弦值： (3)求点D到平面ABE的距离. 5/5 专题07 立体几何与空间向量 考点01 空间几何体 考点02 点、直线、平面间的位置关系 考点03 空间向量的应用 考点01 空间几何体 1．D 2．ABD 3．【答案】 【分析】 根据圆锥侧面展开图的知识求得正确答案. 【详解】 设圆锥的母线长为，则. 故答案为： 4．【答案】 【分析】 根据圆锥和圆柱的体积公式以及表面积公式可得圆锥的侧面积表达式为，求导，即可根据函数的单调性求解. 【详解】 设圆锥的母线为，底面半径为，高为. 由题意知该粮仓的容积，则， 则该粮仓的圆锥侧面积为， 设，则. 令，得，易得在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以给这个粮仓涂防水漆至少需要涂料. 故答案为： 5．【答案】① ② 【分析】 设，分类讨论点位置，求出，由解得，确定① 正确，考虑到到平面的距离不变，从而易判断② ，通过作辅助线得到截面图形，即可判断③ ，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，设，分类讨论点位置，由空间向量法求得到的距离，由距离的变化规律进行求解即可判断④ 正确. 【详解】 对于① ：由平面平面，得，同理， 若在线段上，设， 所以， 又， 由得，存在唯一点使得； 若在直线上，且在点左侧，设，则， 所以， 又， 由，得，舍去； 若在直线上，且在点右侧，设，则， 所以， 又， 由，得，舍去，① 正确； 对于② ：正方体中，平面，所以到平面的距离不变， 即到平面的距离不变，而面积不变， 因此三棱锥，即四面体的体积不变，② 正确；     对于③ ：过作平面，则为中点，连接，则， 过作，则为中点，过作，则， 连接，则平面； 过作，则为中点， 过作，则为中点， 过作，则是靠近的三等分点， 所以，连接， 则五边形是平面截正方体所得，③ 错误； 对于④ ：以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图，     正方体棱长为，则， 设， 则，， 又，， 所以， 设到直线的距离为， 则 ， 若在线段上，则， 由二次函数性质知时，递减， 所以，又不变， 所以的面积最小为； 若直线上，且在左侧，则， 由二次函数性质知，时，无最小值； 若直线上，且在右侧，则， 由二次函数性质知，时，在时，取得最小， 且此时，又不变， 所以的面积最小为，④ 错误； 故答案为：① ② . 考点02 点、直线、平面间的位置关系 1．C 2．BCD 3．CD 考点03 空间向量的应用 1．BC 2．D 3．BCD 4．【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）取的中点，以为原点建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用线面平行的性质，结合平行线分线段成比例定理求解. （2），利用线面角的向量法求出，进而求出平面的法向量，再利用面面角的向量法求解. (1) 小问详解： 取直径的中点，连接，在底面圆所在平面内作，直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建空间直角坐标系， 由都是正三角形，，得， ，令，则， 由平面，平面平面，平面，得， 因此，，所以PE的长为. (2) 小问详解： 由（1）知，设，则， ，而平面的法向量， 由直线DE与平面所成角的正弦值为，得 ，整理得，又，解得， 于是，而，设平面的法向量， 则 ，令，得， 因此， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 5．【答案】.1 【分析】 以为基底向量，结合空间向量运算求，进而可求线线夹角. 【详解】 以为基底向量，则， 因为，且，    则，且， 可得， 所以与所成角的余弦值为. 故答案为：. 6．【答案】（1） 连接，平面，所以. 在中，. 同理，在中，有. 又因为，所以， 所以，，故，即. 又因为，，平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面. 因为，平面，则平面，又因为平面， 所以平面， 又因为平面平面，，平面平面， 所以平面.     （2） 连接，因为平面，面， 所以，由勾股定理得， 同理可得，即， 因为，所以. 平面与平面所成角的余弦值为      【分析】 （1）根据题意，由余弦定理可得，结合勾股定理即可得到，再由面面垂直的判定定理可证平面平面，再由面面垂直的性质定理即可证得平面； （2）利用勾股定理即可证明，再建立空间直角坐标系，求出关键平面的法向量，利用二面角的向量求法求解即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 证明略. 由上知为的交点，且由平行线性质得， 得到，故， 过作直线的平行线，则两两垂直， 如图，以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 得到，， ，， 设平面的法向量为， 则 ，令， 解得，，故， 设平面的法向量为， 则 ，令， 解得，，故， 设平面与平面所成角为， 则， 故平面与平面所成角的余弦值为． 7．【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）取中点，连接，，即可得到、，则为二面角的平面角，再由锐角三角函数计算可得； （2）设点到平面的距离为，利用等体积法求出，设直线与平面所成角为，则，即可得解. (1) 小问详解： 取中点，连接， ，因为，为 中点， 所以. 因为平面平面，所以， . 在中，， 在中，， 从而，又 为中点， 所以. 故为二面角的平面角， 因为平面 平面，所以， 又，所以， 从而， 所以二面角的余弦值为. (2) 小问详解： 设点到平面的距离为. 因为平面，所以平面. 又平面，所以. 所以. 由，得，即，故， 设直线与平面所成角为，则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 8．【答案】（1） 连接，因为点，分别为的中点，所以， 因为四边形为直角梯形，，，， 所以，， 在中，由余弦定理可得， 所以，所以，所以， 又因为为等边三角形，点为的中点，所以， 又因为侧面平面，侧面平面， 所以平面，又平面，所以， 又因为，平面，所以平面；     （2）      （3）       【分析】 （1）连接，利用余弦定理可得，结合勾股定理可得，可得，由面面垂直的性质可得平面，进而可得，可证结论； （2）取的中点，连接，可证，，以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，求得两平面的一个法向量，利用向量法可求得平面与平面所成角的余弦值； （3）设，设平面与平面所成的夹角为，可得，利用换元法，结合二次函数的性质，可求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 取的中点，连接，可得， 又平面，又平面，所以， 以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，    则， 则， 设平面的一个法向量为， ，令，则， 则平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则 ，令，则， 所以平面的一个法向量为， 则， 所以平面与平面所成角的余弦值为； (3) 小问详解： 设，则， 又， 又平面的一个法向量为， 设平面与平面所成的夹角为， 则， 令，， 则， 令，可得， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围为． 9．【答案】 【分析】 根据题意结合正方体的性质可得点的轨迹是平面与正方体内切球的交线，此交线为圆，记圆心，以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求出球心到平面的距离，从而可求出，进而可求出的最小值. 【详解】 在正方体中，，且平面， 平面，所以平面，平面. 因为，且平面，所以平面平面， 因为平面，平面，所以平面， 所以点的轨迹是平面与正方体内切球的交线，此交线为圆，记圆心为. 如图，以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以. 设平面的法向量为， 则 ，令，则， 所以球心到平面的距离. 如图，因为正方体的内切球半径，所以圆的半径. 因为，所以，即， 所以， 所以的最小值为. 故答案为：. 10．【答案】（1） 取PC的中点F，连接，BF， 因为E是PD的中点，则，， 又因为，，则，， 可知四边形是平行四边形，则， 且平面，平面， 所以平面.     （2）      （3）       【分析】 （1）取PC的中点F，连接，BF，根据平行关系可证，进而可证线面平行； （2）建系标点，分别求平面ABE与平面的法向量，利用空间向量求面面夹角； （3）由（2）可得，平面ABE的法向量，利用空间向量求点到面的距离. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 在平面内过点B作垂直于AB， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，可得，， 且，以B为原点，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 可得，， 设平面ABE的法向量为，则 ， 取，则，，可得， 又因为平面的一个法向量为， 设平面ABE与平面所成角为，且为锐角， 则， 故平面ABE与平面所成角的余弦值为. (3) 小问详解： 由（2）可知：，平面ABE的法向量为， 所以点D到平面ABE的距离. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $