精品解析：辽宁省大连市滨城联盟2025-2026学年高三上学期期中Ⅱ联考数学试题

滨城高中联盟2025-2026学年度上学期高三期中Ⅱ考试 数学试卷 命题人：大连一中 高志岩 校对人：大连一中 贾天雷 一．单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 2. 设，是两个不同平面，m，n是两条不重合直线，若，，则“”是“，”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知向量满足，且，设的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的部分图象如图所示（P为图象与x轴的一个交点，Q为图象的一个最高点），且，则的一个对称中心可以是（ ） A. B. C. D. 5. 已知一正三棱柱的底面边长为6，其内部有一球与其各表面都相切，则该正三棱柱的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知为函数导函数，则的值为（ ） A. 2 B. C. 0 D. 2025 7. 已知是圆的一条弦，且，是的中点，当弦在圆上运动时，直线上存在两点，使得恒成立，则线段长度的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 若函数的定义域内存在，使得成立，则称该函数为“完整函数”．已知是上的“完整函数”，则的取值范围为（ ） A B. C. [3，5] D. 二．多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆上，则下列说法正确的是（ ） A. 使为直角三角形的点P有8个 B. 的面积可能为2 C. 的最大值为4 D. 的最小值为 10. 下列说法正确的是（ ） A. 已知直线和以，为端点的线段相交，则实数的取值范围为 B. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 C. 已知，圆，过点作两条互相垂直的直线，分别交圆于点和，则四边形的面积的最大值为 D. 直线与直线互相平行，则 11. 在棱长为4正方体中，是棱的中点，点在线段上，点在四边形（包含边）内，且平面，则（ ） A. 的最小值是 B. 三棱锥的体积为定值 C. 点的轨迹长度为 D. 的最小值为 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在平行六面体中，，，，，．则与所成角的余弦值为______． 13. 已知椭圆左、右焦点分别为，，焦距为2，若直线与椭圆交于点M，满足，则离心率是________. 14. 设函数，若存在使得既是的零点，也是的极值点，则的可能取值为______________. 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角所对的边分别为，已知是边上的中线，且. （1）求角的大小； （2）求及的面积. 16. 已知椭圆的短轴长为，离心率为． （1）求椭圆的方程． （2）过椭圆的右焦点，斜率存在且与轴不重合的直线交椭圆于、两点，在轴上是否存在点，使得?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 17. 已知函数，. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若在内的最大值为2，求的值. 18. 在四棱锥中，侧面平面，四边形为直角梯形，，，，为等边三角形，点，分别为的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值； （3）点为线段上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 19. 对于一个函数和一个点，令，若是取到最小值的点，则称P是M在的“最近点”． （1）对于，求证：对于点，存在点P，使得点P是M在的“最近点”； （2）对于，，请判断是否存在一个点P，它是M在的“最近点”，且直线与在点P处的切线垂直； （3）已知在定义域R上存在导函数，且函数在定义域R上恒正，设点，．若对任意的，存在点P同时是，在的“最近点”，试判断的单调性． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 滨城高中联盟2025-2026学年度上学期高三期中Ⅱ考试 数学试卷 命题人：大连一中 高志岩 校对人：大连一中 贾天雷 一．单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数除法运算化简复数，结合虚部定义即可求解. 【详解】由题可得，所以则的虚部为, 故选：A 2. 设，是两个不同平面，m，n是两条不重合直线，若，，则“”是“，”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合面面平行的判定和性质分析判断即可. 【详解】由，，可以得到，， 若，，，不能得到，缺条件相交， 所以“”是“，”的充分不必要条件. 故选：A 3. 已知向量满足，且，设的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助向量垂直数量积为零及向量夹角公式可得，再借助二倍角公式计算即可得. 【详解】由，则， 故，则， 故. 故选：D. 4. 已知函数的部分图象如图所示（P为图象与x轴的一个交点，Q为图象的一个最高点），且，则的一个对称中心可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合图象可知，即可得，进而求对称中心逐项分析判断即可. 【详解】设函数的最小正周期为， 结合图象可知， 则，即， 且，则，解得，所以， 令，解得， 可知的一个对称中心为. 对于选项A：令，解得，故A错误； 对于选项B：令，解得，故B正确； 对于选项C：令，解得，故C错误； 对于选项D：令，解得，故D错误； 故选：B. 5. 已知一正三棱柱的底面边长为6，其内部有一球与其各表面都相切，则该正三棱柱的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正三棱柱的性质，结合勾股定理即可求得外接球表面积. 【详解】 边长为6的正三角形的内切圆半径为：， 所以正三棱柱的高为， 则外接球半径， 所以外接球的表面积为：， 故选：D. 6. 已知为函数的导函数，则的值为（ ） A. 2 B. C. 0 D. 2025 【答案】B 【解析】 【分析】由对数的性质求出函数的定义域，再根据解析式得，并应用求导法则得，即可求值. 【详解】由或，则函数的定义域为， 又， 所以，则， 综上，. 故选：B 7. 已知是圆的一条弦，且，是的中点，当弦在圆上运动时，直线上存在两点，使得恒成立，则线段长度的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件先确定出点的轨迹方程，然后将问题转化为“以为直径的圆要包括圆”，由此利用圆心到直线的距离结合点的轨迹所表示圆的半径可求解出的最小值. 【详解】由题可知：，圆心，半径， 又，是的中点，所以， 所以点的轨迹方程，圆心为点，半径为， 若直线上存在两点，使得恒成立， 则以为直径的圆要包括圆， 点到直线的距离为， 所以长度的最小值为， 故选：B． 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于点轨迹方程的求解以及转化思想的运用，根据弦中点以及线段长度可求点轨迹方程，其次“恒成立”转化为“以为直径的圆包括的轨迹”，结合圆心到直线的距离加上半径可分析的最小值. 8. 若函数定义域内存在，使得成立，则称该函数为“完整函数”．已知是上的“完整函数”，则的取值范围为（ ） A. B. C. [3，5] D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角恒等变换可知，再由三角函数值域以及“完整函数”定义将问题转化为在上至少存在两个最大值点，结合正弦函数图象性质得出不等式即可得解得的取值范围. 【详解】由题意可得： ， 即是上的“完整函数”，所以存在， 使得成立； 即存在，使得成立； 又因为，因此， 即在上至少存在两个最大值点， 所以，解得； 当，即时，一定满足题意； 若，因为，，所以， 又易知； 所以只需保证即可，解得， 综上可知． 故选：B． 二．多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆上，则下列说法正确的是（ ） A. 使为直角三角形的点P有8个 B. 的面积可能为2 C. 的最大值为4 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的垂直表示判断A；当P位于短轴端点时，的面积最大，求出面积最大值判断B；根据椭圆的定义及基本不等式判断C；设，可求出，坐标，根据数量积公式，结合椭圆方程及x的范围判断D. 【详解】A：当或时，为直角三角形，此时满足条件的点有个， 当为直角顶点时，设点，则，，， 所以，解得， 此时满足条件的点有个，所以满足是直角三角形的点有个，正确； B：当P位于短轴端点时，不妨取上端点，则， 此时的面积最大，且为， 所以的面积最大为，不可能为2，错误； C：由椭圆的定义得，所以， 当且仅当时取等号，所以的最大值为4，正确； D：设，由题意， 所以，则， 因为P在椭圆上，所以，且，故， 所以当时，的最小值为，正确. 故选：ACD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 已知直线和以，为端点的线段相交，则实数的取值范围为 B. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 C. 已知，圆，过点作两条互相垂直的直线，分别交圆于点和，则四边形的面积的最大值为 D. 直线与直线互相平行，则 【答案】CD 【解析】 【分析】整理可得直线过定点，可判断A选项；找到过原点的直线，也满足，判断B选项；设两弦长分别为，结合垂径定理和圆心距，可判断C选项；根据两条直线平行的性质，即可判断D选项. 【详解】选项A，直线，过定点， 则， 直线和以为端点的线段相交， 由图可知，或，所以实数的取值范围为，故A错误； 选项B，过点且截距相等的直线，除了，还有过原点的直线，截距都为，故B错误； 选项C，圆，半径，点到圆心距离， 设两弦长分别为，由垂径定理：，且， 面积，当时等号成立， 所以，面积的最大值为，故C正确； 选项D，当时，易知两直线相交，所以两直线平行的条件：， 即，解得或， 当时，两直线重合，当时，两直线平行，故D正确. 故选：CD. 11. 在棱长为4的正方体中，是棱的中点，点在线段上，点在四边形（包含边）内，且平面，则（ ） A. 的最小值是 B. 三棱锥的体积为定值 C. 点的轨迹长度为 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据三棱锥的体积公式、面面平行的判定和性质等知识进行逐项判断即可. 【详解】因为正方体中，，所以. 因为点在线段上，所以当为的中点时， 取最小值为，所以A错误. 因为平面，所以三棱锥的体积与三棱锥的体积相等， 因为点是固定的，所以点到平面的距离确定，所以三棱锥的体积与三棱锥的体积是定值，B正确. 分别取棱的中点，连接. 所以，. 又平面，而不平面内， 所以平面，平面. 又，所以平面平面. 因为点在四边形（包含边）内，且平面，所以点的轨迹为线段. 因为分别是棱的中点，所以，C正确. 将平面与平面展开到同一平面，则，连接. 由题意可得，， 则， 当是线段与交点时，，即的最小值为，D正确. 故选：BCD. 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在平行六面体中，，，，，．则与所成角的余弦值为______． 【答案】##0.1 【解析】 【分析】以为基底向量，结合空间向量运算求，进而可求线线夹角. 【详解】以为基底向量，则， 因为，且， 则，且， 可得， 所以与所成角的余弦值为. 故答案为：. 13. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为2，若直线与椭圆交于点M，满足，则离心率是________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，可得，结合椭圆的定义及离心率公式求解即可. 【详解】依题意，直线经过椭圆的左焦点，且， 由，得，则， 因此，所以离心率. 故答案为： 14. 设函数，若存在使得既是的零点，也是的极值点，则的可能取值为______________. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】对函数求导后，令导数为零，讨论方程的根，再根据零点的定义即可求值. 【详解】由，得， 令，则或， 当时，由，得， 所以，则， 当时，由，得， 由，得或， 当时，不存在极值点， 当时，得， 综上，， 所以当时，. 故答案为：（答案不唯一）. 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角所对的边分别为，已知是边上的中线，且. （1）求角的大小； （2）求及的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理及三角恒等变换进行求解； （2）由余弦定理及三角形的面积公式求解． 【小问1详解】 由正弦定理得： ，再根据两角和的正弦公式展开得： ， 消去，整理得：， ，两边同除以得：， 由辅助角公式得：， 又，则，故，解得． 【小问2详解】 由题意得：， 平方得：，化简得， 解得舍. 由余弦定理得： 的面积 16. 已知椭圆的短轴长为，离心率为． （1）求椭圆的方程． （2）过椭圆的右焦点，斜率存在且与轴不重合的直线交椭圆于、两点，在轴上是否存在点，使得?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）存在，且点 【解析】 【分析】（1）由已知条件得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程； （2）假设轴上是否存在点满足题设条件，分析可知，设直线的方程为，设点、，将该直线方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式结合韦达定理可得出的值，即可得出结论. 【小问1详解】 由题意可得，解得，故椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 不妨设点到直线、的距离分别为、， 则，故，所以轴平分， 假设轴上是否存在点满足题设条件， 不妨设直线的方程为，设点、， 联立可得， ， 由韦达定理可得，， 由题意可知，即 ， 即， 故，解得， 故在轴上存在点，使得. 17 已知函数，. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若在内的最大值为2，求的值. 【答案】（1）单调递增区间为，，单调递减区间为. （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数求函数的单调区间； （2）由函数在区间内的单调性求解函数的最大值，可得的值. 【小问1详解】 函数的定义域为， 则， 当时， 令，解得：；令，解得：， 所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为. 【小问2详解】 ①当时，在内恒成立，在内单调递增， 则，解得与矛盾； ②当时，有，时；时， 所以在上单调递增，在上单调递减， ∴，即， 令，则， 则在上单调递减， 又，故； 综上，. 18. 在四棱锥中，侧面平面，四边形为直角梯形，，，，为等边三角形，点，分别为的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值； （3）点为线段上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，利用余弦定理可得，结合勾股定理可得，可得，由面面垂直的性质可得平面，进而可得，可证结论； （2）取的中点，连接，可证，，以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，求得两平面的一个法向量，利用向量法可求得平面与平面所成角的余弦值； （3）设，设平面与平面所成夹角为， 可得，利用换元法，结合二次函数的性质，可求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 【小问1详解】 连接，因为点，分别为的中点，所以， 因为四边形为直角梯形，，，， 所以，， 在中，由余弦定理可得， 所以，所以，所以， 又因为为等边三角形，点为的中点，所以， 又因为侧面平面，侧面平面， 所以平面，又平面，所以， 又因为，平面，所以平面； 【小问2详解】 取的中点，连接，可得， 又平面，又平面，所以， 以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的一个法向量为， ，令，则， 则平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 则， 所以平面与平面所成角的余弦值为； 【小问3详解】 设，则， 又， 又平面的一个法向量为， 设平面与平面所成的夹角为， 则， 令，， 则， 令，可得， 所以, 所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围为． 19. 对于一个函数和一个点，令，若是取到最小值的点，则称P是M在的“最近点”． （1）对于，求证：对于点，存在点P，使得点P是M在的“最近点”； （2）对于，，请判断是否存在一个点P，它是M在的“最近点”，且直线与在点P处的切线垂直； （3）已知在定义域R上存在导函数，且函数在定义域R上恒正，设点，．若对任意的，存在点P同时是，在的“最近点”，试判断的单调性． 【答案】（1）见解析 （2）存在， （3）严格单调递减 【解析】 【分析】（1）由题意得，化简换元即可得解 （2）由题意得，通过求导可得该函数的单调性，进而求出点 再证明直线与切线垂直即可. （3）根据题意得到，对两等式化简得，再利用“最近点”的定义得到不等式组，即可证明，最后得到函数单调性. 【小问1详解】 由题意得，化简得 令则，，当时，取得最小值， 即时取得最小值， 又，所以点是M在的“最近点”. 【小问2详解】 由题意得，. 令，， 所以在上单调递增，又， 所以，，，，， 所以在单调递减，在单调递增， 所以时取得最小值，所以点，，，， 所以在处的切线方程为：.又， 所以存在点，它是M在的“最近点”，且直线与在点P处的切线垂直； 【小问3详解】 设,， ，， 若对任意的，存在点P同时是，在的“最近点”， 设则既是的最小值点，也是的最小值点， 因为两个函数的定义域均为R，则也是两函数的极小值点，所以， 即 ，由化简得， 即，因为，所以 接下来证明，因为既是的最小值点，也是的最小值点，则， 即③， ④ 得 即，所以，解得， 则，因为的任意性，则严格单调递减. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $