专题05 三角函数与解三角形（期中真题汇编，辽宁专用）高三数学上学期

专题05 三角函数与解三角形 4大高频考点概览 考点01 同角三角函数的基本关系及诱导公式 考点02 三角恒等变换 考点03 三角函数的图象、性质与实际应用 考点04 解三角形 考点01 同角三角函数的基本关系及诱导公式 1．（2026·辽宁七校协作体·联考）若，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 先由条件得到，化弦为切，代入求出答案. 【详解】 因为，所以， 所以. 故选：C 2．（25-26学年高三上·辽宁名校联盟）已知为第二象限角，且，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用诱导公式可得，根据同角三角关系运算求解即可. 【详解】 因为，则，即 且，即，可得， 且为第二象限角，则， 可得，. 故选：A. 3．（25-26学年高三上·辽宁大连·期中）已知向量，，若，则（     ） A.  B. 2 C.  D. -2 【答案】C 【分析】 首先根据平面向量垂直关系，得到，即可得到答案. 【详解】 因为，所以，即. 所以. 故选：C 4．（25-26学年高三上·辽宁阜新·期中）若，，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用诱导公式将已知条件化简，再结合同角三角函数的基本关系式求解即可. 【详解】 由，可得，所以，所以， 又因为，所以，所以， 又因为，所以，所以， 所以. 故选：B. 5．（25-26学年高三上·辽宁大连·期中）计算求值. （1）已知，求的值. （2）若，且，求下列式子的值. （i）；（ii）. 【答案】（1）.     （2）（i），（ii）.      【分析】 （1）由诱导公式化简原式，然后代入求值； （2）由同角三角函数的关系求出，（i）分子分母同除，得到关于的代数式，然后代值求结果；（ii）由诱导公式化简代数式，然后代值求结果. (1) 小问详解： (2) 小问详解： ∵ ∴， 则 （i） （ii） 考点02 三角恒等变换 1．（25-26学年高三上·辽宁名校联盟·期中）（多选）已知，且，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】ABD 【分析】 三角展开求出和，然后代入验证CD即可. 【详解】 由， 由， 由上两式解得 ，所以A,B正确； 对于C：，C错误； 对于D：， 所以或者， 又因为，所以，所以，D正确， 故选：ABD 2．（25-26学年高三上·辽宁重点高中点·期中）在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则（       ） A. 6 B. 1 C. 3 D. 2 【答案】C 【分析】 利用诱导公式以及两角和的正切公式解方程即可求得结果. 【详解】 由可得，解得， 所以， 由可得，解得或（舍）， 故. 故选：C. 3．（25-26学年高三上·辽宁阜新·期中）已知，，函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）若，求. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由题意，根据平面向量数量积的坐标表示、三角恒等变换的化简计算可得，结合正弦函数性质利用整体代换法即可求出函数的单调区间； （2）由（1）可得，结合二倍角的余弦公式和诱导公式计算即可求解. (1) 小问详解： ， 由，得， 所以的单调递增区间为. (2) 小问详解： 由（1）， 所以，即， 所以， 故. 4．（25-26学年高三上·辽宁营口·期中）若，写出的一个值：　　　　　　　　　　　　　　　. 【答案】答案不唯一，只要满足即可） 【分析】 利用两角差的正切公式将化简即可得解. 【详解】 因为，所以， 则，解得. 故答案为：答案不唯一，只要满足即可） 考点03 三角函数的图象、性质与实际应用 1．（高三上·辽宁沈阳·期中）（多选）已知函数，则（       ） A. 最小正周期为 B. 图象关于对称 C. 最大值为 D. 在区间上单调递增 【答案】AB 【分析】 利用诱导公式化简函数，再利用正弦函数的性质逐项分析判断. 【详解】 函数， 对于A，函数的最小正周期为，A正确； 对于B，由，得图象关于对称，B正确； 对于C，函数的最大值为2，C错误； 对于D，当时，，则当，即时， 函数取到最大值2，D错误. 故选：AB 2．（25-26学年高三上·辽宁大连·期中）已知函数的部分图象如图所示（P为图象与x轴的一个交点，Q为图象的一个最高点），且，则的一个对称中心可以是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据题意结合图象可知，即可得，进而求对称中心逐项分析判断即可. 【详解】 设函数的最小正周期为， 结合图象可知， 则 ，即 ， 且，则，解得，所以， 令，解得， 可知的一个对称中心为. 对于选项A：令，解得，故A错误； 对于选项B：令，解得，故B正确； 对于选项C：令，解得，故C错误； 对于选项D：令，解得，故D错误； 故选：B. 3．（25-26学年高三上·辽宁沈阳·期中）（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（     ） A. 函数的最小正周期为 B. 点是函数图象的一个对称中心 C. 直线是函数图象的一条对称轴 D. 函数图象可以由函数的图象向右平移个单位长度得到 【答案】ABD 【分析】 由图象可求得，即可判断A；再由函数过点，可求得，根据三角函数的对称性可判断B，C；利用诱导公式得，根据图象的平移法则可判断D. 【详解】 因为，即，所以，故A正确； 而，则， 又因为过点，则，即， 所以， 对于B，因为， 所以是函数图象的一个对称中心，故B正确； 对于C，， 所以直线不是函数图象的对称轴，故C错误； 对于D，， 所以函数图象可以由函数的图象向右平移个单位长度得到，故D正确． 故选：ABD． 4．（25-26学年高三上·辽宁普通高中·期中）函数的部分图像如图所示，是等腰直角三角形，其中两点为图像与轴的交点，为图像的最高点，且，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据题意，过作轴于点，结合函数图像可得函数的解析式，从而可得，代入计算，即可得到结果. 【详解】 过作轴于点，则， 因为是等腰直角三角形，所以，故， 则，且，则， 因为，所以， 所以，，， 所以，解得，， 因为，所以，则， 则， 故. 故选：A 5．（25-26学年高三上·辽宁大连·期中）（多选）如图是函数的部分图象，则（     ） A. 是函数的一条对称轴 B. 的最小正周期为 C. 若，则 D. 将函数的图象向右平移个单位后，得到的函数为奇函数. 【答案】ABC 【分析】 由题求出周期和A，进而求得，由得，从而，根据正弦函数的对称性即可判断A和B；利用正弦函数的性质求值域判断C；利用图象变换求出解析式，然后根据奇函数定义判断D. 【详解】 对于A，由题，因为，所以，则， ，又因为，所以， 所以，解得，所以， 当时，，所以， 故是函数的一条对称轴，故A正确； 对于B，的最小正周期为，故B正确； 对于C，由，则，所以， 所以，故C正确； 对于D，将函数的图象向右平移个单位得到 ， 又， 所以不是奇函数，故D错误. 故选：ABC. 6．（25-26学年高三上·辽宁大连·期中）若函数的定义域内存在，使得成立，则称该函数为“完整函数”．已知是上的“完整函数”，则的取值范围为（     ） A.  B.  C. [3，5] D.  【答案】B 【分析】 根据三角恒等变换可知，再由三角函数值域以及“完整函数”定义将问题转化为在上至少存在两个最大值点，结合正弦函数图象性质得出不等式即可得解得的取值范围. 【详解】 由题意可得： ， 即是上的“完整函数”，所以存在， 使得成立； 即存在，使得成立； 又因为，因此， 即在上至少存在两个最大值点， 所以，解得； 当，即时，一定满足题意； 若，因为，，所以， 又易知； 所以只需保证即可，解得， 综上可知． 故选：B． 7．（25-26学年高三上·辽宁阜新·期中）（多选）函数的部分图象如图所示，，是的2个零点，则（     ） A. 的图象关于点对称 B. 的最小值为 C. 当取最小值时，的最大值为 D. 若在区间上至少有10个零点，则的最小值为 【答案】ABD 【分析】 本题考查三角函数的图象与性质，可先根据函数图象求出函数的表达式，再根据三角函数的性质逐一分析选项即可。 【详解】 由图象知，，则，根据周期公式，可得. 又因为函数的最大值为3，最小值为，所以 当时，取得最小值，即，解得. . A：根据余弦函数的对称中心公式，令可得的对称中心为， 当时，对称中心为，所以的图象关于点对称，故A正确。 B：因为是的两个零点，令，则， 所以或，解得，或， 根据题意，取，，所以， 当时，，故其相邻零点的最小间距为，故B正确. C：当取最小值时，， 不妨设，所以，则= 所以的最大值为，故C错误.        D：令，则， 所以或，解得，或， 所以在上的10个零点依次为：，，，，. 由在区间上至少有10个零点，则 故的最小值为，故D正确； 故选：ABD. 【点睛】 方法点睛： 的解析式的确定： （1）由最值确定； （2）由周期确定； （3）由图象上的特殊点确定. 提醒：根据“五点法”中的零点求时，一般先根据图象的升降分清零点的类型. 8．（25-26学年高三上·辽宁辽西重点高·期中）先将函数（且）的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到函数的图象，若方程有无数个解，则的值不能为（     ） A. 1 B.  C. 2 D.  【答案】D 【分析】 先根据三角函数图象的变换得出解析式，然后根据三角函数的图象性质分析满足题意的值，即可解出. 【详解】 由题意可得，函数（且）， 所以由三角函数周期性性质可知， 方程有无数个解方程有解方程有解， 设，因为且， 所以当为奇数时，， 当时，， 综上，的值域为，所以的取值范围为. 故选：D. 9．（25-26学年高三上·辽宁名校联盟）（多选）已知函数，，且，则（     ） A. 函数的一个周期为 B. 函数在上单调递减 C. 曲线关于对称 D. 函数与函数的最大值相等 【答案】ABD 【分析】 由判断A；由在上单调递减，结合复合函数的单调性可判断B；利用可判断C；求得函数与函数的最大值可判断D. 【详解】 对于A，因为， 所以函数的一个周期为，故A正确； 对于B，，当时，， 又因为在上单调递减， 由复合函数的单调性可得在上单调递减，故B正确； 对于C，， 所以曲线关于对称，故C错误； 对于D，，所以， 当时，，所以函数的最大值为， 又，又因为， 所以， 当且仅当时取等号， 所以的最大值为，所以函数与函数的最大值相等，故D正确. 故选：ABD. 10．（25-26学年高三上·辽宁营口·期中）将函数图象上每个点的横坐标变为原来的,纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象. （1）求的解析式； （2）求曲线的对称轴方程； （3）求函数的值域. 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据伸缩与平移变换的知识得到； （2）利用正余弦函数对称轴为最值点所在直线求出对称轴； （3）运用正弦函数的和角公式，配合辅助角公式进行运算求解即可. (1) 小问详解： 依题意可得. (2) 小问详解： 令,         得,此即曲线的对称轴方程. (3) 小问详解： 因为 , 所以的值域为. 11．（25-26学年高三上·辽宁名校联盟·期中）已知函数． （1）求函数的单调递减区间； （2）求函数在上的值域； （3）求在上的解集． 【答案】（1），．     （2）     （3）      【分析】 （1）根据余弦函数的减区间即可列不等式求解； （2）求出的范围，根据余弦函数的性质即可求解； （3）求出的范围，根据余弦函数的性质求出范围，即可求出不等式的解集． (1) 小问详解： ，令，， 解得，， ∴函数的单调递减区间为，； (2) 小问详解： ，∵，∴， 可得， 则， 即函数在上的值域为； (3) 小问详解： 由题得，即， ∵，∴， ∴，可得， ∴该不等式的解集为． 12．（25-26学年高三上·辽宁名校联盟·期中）已知，函数在上单调递减，则的取值范围是　　　　　　　　. 【答案】. 【分析】 由条件得出，进而求得，根据正弦函数的单调性得出 ，即可得正实数的取值范围． 【详解】 解：由题可知，，函数在上单调递减， 可得函数的半个周期大于或等于，即， 则，， 由 ， 解得：，， 而，所以当时，， 则正实数的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】 本题考查由正弦型函数的单调性求参数范围，涉及正弦函数的周期和单调性的应用，属于中档题． 13．（2026·辽宁七校协作体·联考）已知函数． （1）若，求函数的值域； （2）若函数在上有且仅有两个零点，求的取值范围． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）通过三角恒等式、诱导公式、二倍角公式以及降幂公式进行化简，代入即可. （2）求解零点的分布，解得通解，再分析解的分布即可. (1) 小问详解： 化简函数， 利用恒等式，，， 得到： ， 当时，，在的值域为， 所以若，函数的值域为. (2) 小问详解： 令，解得， 则或， 即或， 在区间内，前两个非负解为，，后续解依次为，等， 为使恰好有两个零点，需满足， 因此，的取值范围为. 14．（25-26学年高三上·辽宁名校联盟）已知函数． （1）若函数的最小正周期为，求的定义域及单调递增区间； （2）若函数在上单调递增，求的取值范围． 【答案】（1）函数的定义域为：，单调递增区间为：     （2）      【分析】 （1）由，解得，再利用正切函数定义域及单调性列式求解； （2）利用正切函数的单调区间列出不等式求解即得. (1) 小问详解： 由题意可知，函数的最小正周期，则； ，即，所以函数的定义域为：； 令，化简得：， 所以函数的单调递增区间为：； (2) 小问详解： 令，因为，所以， 因为函数在上单调递增， 所以， 所以 ，即 ，则有 ， 解得，又因为，所以或1， 则或，即的取值范围为． 15．（25-26学年高三上·辽宁普通高中·期中）将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若在区间上的最大值为1，则　　　　　. 【答案】 【分析】 先求出平移后的解析式，结合图形分析可知要使在区间上的最大值为1，则在区间上单调递增，即，求解即可. 【详解】 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象， 则， 当时，， 由于在区间上的最大值为1，则在区间上单调递增，即， 所以，解得：. 故答案为： 16．（25-26学年高三上·辽宁普通高中·期中）已知函数图象的一条对称轴为． （1）求的最小值； （2）当取最小值时，若，求的值． 【答案】（1）的最小值为1．     （2）      【分析】 （1）变形化简为，再由进行求解； （2）由（1）知，得，则进行求解． (1) 小问详解： 由题意得 ． 因为函数的一条对称轴为， 所以， 所以． 又， 所以的最小值为1． (2) 小问详解： 由（1）知． ． ． ． 17．（25-26学年高三上·辽宁重点高中点·期中）已知函数. （1）求的单调递减区间； （2）若在上恰有两条对称轴，求的取值范围. 【答案】（1），.     （2）.      【分析】 （1）利用两角和差、倍角三角函数公式化简得，利用正弦函数的周期性与单调性即可求得的单调递减区间； （2）利用正弦函数图像，可得若在上恰有两条对称轴，则，解不等式即可. (1) 小问详解： 由已知， 再令，解得，其中， 所以函数的单调递减区间为：，. (2) 小问详解： 由（1）得，， 当时，则， 因函数在，处有对称轴，则函数在直线右侧的三个临近对称轴为：，，. 又在上恰有两条对称轴，所以， 解得. 18．（25-26学年高三上·辽宁大连·期中）设函数. （1）求函数在上的最大值； （2）若不等式在上恒成立，求的取值范围； （3）若方程在上有三个不相等的实数根，求的取值. 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）令，根据正弦函数的有界性知，原函数变为以为自变量的开口向下的二次函数，讨论对称轴与区间端点的关系，分别求解即可； （2）利用换元法将问题转化为在上恒成立求解即可； （3）令把方程变为在上有三个不相等的实数根，再分根的范围讨论可得. (1) 小问详解： 令，得，对称轴，开口向下， ① 当，即时，. ② 当，即时，. ③ 当，即时，. 综上可知， . (2) 小问详解： 若要，则需， 当时，， 函数变为， 所求问题变为恒成立，易知的图象是开口向下的抛物线的一部分， 最小值一定在区间端点处取得，所以有 ， 解得，故的取值范围是. (3) 小问详解： 令，， 则，，方程有两个不同的实数根， 其中一个在，另一个根在； 或者一个根在，另一个根为1， 令， 则有 或， ，，， 解得， 代入，此时方程为，解得根分别为0和-1，且时，或；时，三个根，符合条件； 当时，方程为，此时不符合题意， 综上. 考点04 解三角形 1．（25-26学年高三上·辽宁营口·期中）已知三边的中线、、的长分别为、、，则的面积为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 设、、交于点，则为的重心，求出、、的长，结合平面向量数量积的定义、运算性质可求出的值，进而可得出的值，利用三角形的面积公式结合可得答案. 【详解】 设、、交于点，则为的重心，    根据重心的性质可得，，， 则由，， 得， 则，解得， 则， 所以. 故选：C. 2．（25-26学年高三上·辽宁名校联盟）中，、、的对边分别为、、，若且，则的形状是（       ） A. 顶角为的等腰三角形 B. 等边三角形 C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形 【答案】C 【分析】 由推导得的平分线垂直于边，进而得，再由给定面积导出得解. 【详解】 如图所示，在边、上分别取点、，使、， 以、为邻边作平行四边形，则，显然， 因此平行四边形为菱形，平分，而， 所以，即，于是得是等腰三角形，即， 令直线交于点，则是边的中点，， 而，因此，从而得， 综上，是等腰直角三角形. 故选：C 3．（25-26学年高三上·辽宁辽西重点高·期中）在中，，，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用正弦定理及三角恒等式化简即可得出结果. 【详解】 在中，， 由正弦定理可得：， 所以 即 即 又因为，得： 在中，，， 所以. 故选：C 4．（25-26学年高三上·辽宁重点高中点·期中）如图，1752年，两位法国天文学家为了测量地球与月球之间的距离，利用几乎位于同一经线上，且纬度差约为的柏林（点）与好望角（点）为基点，测量出，的大小.设地球半径为，则地球表面与月球表面的最小距离约为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由正弦定理，求出，，设，根据正弦定理求出，根据求出，再减去地球半径即可. 【详解】 设地球球心为，月球表面上的点为， 因为柏林与好望角纬度差约为，可以将其看作进行计算，    则， 由地球半径为，则， 在中，由正弦定理，， 解得，， 设， 在中，由正弦定理，， 解得， 在中，由正弦定理，， 解得， 因为， 则， 故， 因此， 而地球表面与月球表面的最小距离为减去地球半径， 故答案为. 故选：A. 5．（25-26学年高三上·辽宁名校联盟·期中）若内一点满足，则称点为的布洛卡点，为的布洛卡角．如图，已知在中，，，，点为的布洛卡点，为的布洛卡角．若，且满足，则其布洛卡角的正切值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由题意可得，则可得，再借助余弦定理的推论即可得，从而可得，则可用表示出，最后利用正弦定理计算即可得. 【详解】 因为，即，得， 点满足，则， 在与中，，， 所以，则，即，所以，且； 在中，由余弦定理得， 因为，所以，所以，， 在中，由正弦定理得， 化简得，解得． 故选：C． 6．（25-26学年高三上·辽宁营口·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求； （2）若，求的周长； （3）若外接圆的半径为，求数列的前项和. 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）先用正弦定理角化边，再用余弦定理即可求出； （2）由(1)知，又，可求出边，进而求出周长； （3）由正弦定理可求出，进而求出，再用求和公式即可求出. (1) 小问详解： 因为， 所以，即，        所以.              因为，所以. (2) 小问详解： 由，得，        解得（负根已舍去），              所以的周长为 (3) 小问详解： 设外接圆的半径为，则，        所以，得，              所以. 7．（25-26学年高三上·辽宁重点高中点·期中）设的内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的周长为　　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用余弦定理求出，再结合可求. 【详解】 因为，，， 由余弦定理，得，即， 故，解得， 故的周长为. 故答案为：. 8．（25-26学年高三上·辽宁大连·期中）在中，角所对的边分别为，已知是边上的中线，且. （1）求角的大小； （2）求及的面积. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由正弦定理及三角恒等变换进行求解； （2）由余弦定理及三角形的面积公式求解． (1) 小问详解： 由正弦定理得： ，再根据两角和的正弦公式展开得： ， 消去，整理得：， ，两边同除以得：， 由辅助角公式得：， 又，则，故，解得． (2) 小问详解： 由题意得：， 平方得：，化简得， 解得舍. 由余弦定理得： 的面积 9．（25-26学年高三上·辽宁沈阳·期中）已知向量，，函数 （1）求的单调递增区间； （2）在三角形中，角，，所对的边分别为，，.并且满足.若，求的值. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据题意，求得，结合正弦型函数的性质，即可求解； （2）由，利用正弦定理，求得，得到，再由，求得，得到，结合，即可求解. (1) 小问详解： 解：由向量，， 可得函数， 令，解得， 所以函数的单调递增区间为. (2) 小问详解： 解：因为，由正弦定理得， 又因为，可得，所以，即， 因为，所以， 由（1）知， 因为，可得， 即，即，所以， 又因为，则 因为，则 . 10．（25-26学年高三上·辽宁重点高中点·期中）在中，，且. （1）求； （2）点满足，求. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）将的值代入，再利用辅助角公式求出，根据三角形内角关系即可得到； （2）根据满足，得到点在边上，且可得到与三边的长度关系，在中，分别利用余弦定理和正弦定理即可求出. (1) 小问详解： 由，可知， 故，即. 故，即，. 由，是三角形的内角， 所以，故， 则，所以，. (2) 小问详解： 由（1）可知，，所以是等边三角形， 设的边长， 因为满足，故点在边上， ，且，即且， 在中，由余弦定理有，解得， 由正弦定理可得，， 所以. 11．（25-26学年高三上·辽宁名校联盟·期中）在中，内角所对的边分别为，为边上一点，且，，． （1）求的长； （2）点在的内部，当时，，求． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）设，利用及三角恒等变换公式得，然后利用余弦定理求解即可； （2）设，则，且，然后在中，利用正弦定理化简得，即可求解． (1) 小问详解： 设，，因为， 所以， 所以， 所以， 因为 ， 所以，因为为锐角，， 所以，即， 解得（负值舍去），为锐角，所以． 在中，由余弦定理得． (2) 小问详解： 在中，设，则，且． 在中，， 由正弦定理得，所以， 所以，化简得， 所以． 12．（2026·辽宁七校协作体·联考）锐角中，角、、的对边分别为、、，，则的取值范围是　　　　　　. 【答案】 【分析】 由余弦定理确定，由锐角三角形确定，再由正弦定理即可求解. 【详解】 由， 可得：, 化简可得：， 由正弦定理可得：， 所以，又, 所以，， 因为为锐角三角形， 所以 解得：，所以， 所以， 所以， 故答案为： 13．（2026·辽宁七校协作体·联考）在中，内角的对边分别为，且． （1）求的大小； （2）为边的中点，且，求的长． 【答案】（1）;     （2）.      【分析】 （1）利用正弦定理边化角，再结合两角和正弦公式即可求解； （2）利用中线向量公式，结合向量的数量积运算即可求解. (1) 小问详解： 由正弦定理边化角可得：， 再利用三角形内角和可知：， 所以有， 整理得：，在三角形中， 所以有， 又因为，所以； (2) 小问详解： 由中线向量可得：， 则， 所以. 14．（25-26学年高三上·辽宁普通高中·期中）在中，角，，的对边分别是，，，且. （1）求角的大小； （2）若，且，求的面积. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由正弦定理边角互化，代入化简可得结果； （2）由余弦定理结合三角形的面积公式代入计算，即可求得结果. (1) 小问详解： 由， 根据正弦定理可得， 即， 即，， 所以，又，则. (2) 小问详解： 由，可得，， 因为，所以① ， 因为，所以② ， 联立① ② 可得，解得. 故的面积为. 15．（高三上·辽宁沈阳·期中）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，角A为钝角，，． （1）若，求c的值； （2）求面积的最小值． 【答案】（1）     （2）72      【分析】 （1）由结合，求得，进而求得，结合，得解； （2）由正弦定理结合条件式可得，进而得，利用基本不等式求解. (1) 小问详解： 由， 则，又， 所以， 化简整理得，解得或， 又为钝角，故为锐角，所以，则， 由 ，解得， . (2) 小问详解： 因为， 又，则，所以， 所以的面积 ， 又为锐角，所以，， ， 当且仅当，即，时，取等号， 所以的面积的最小值为72. 16．（25-26学年高三上·辽宁辽西重点高·期中）已知的内角，，对应的边分别为，，，为边上的高，若，则　　　　. 【答案】 【分析】 借助同角三角函数基本关系及三角恒等变换公式化简后，利用等面积法与正弦定理将边化为角计算即可得解. 【详解】 ，同理， 故 ， 又，则， 由正弦定理可得， 化简得，故. 故答案为：. 17．（25-26学年高三上·辽宁名校联盟）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求. （2）若在AB上，CD平分. （i）若，求BD； （ii）若在AC上，BE平分，且，求. 【答案】（1）     （2）（i）或   （ii）      【分析】 （1）根据正弦定理进行边角互化，结合两角和的正弦公式及诱导公式可得； （2）根据正弦、余弦定理解三角形即可. (1) 小问详解： 因为，由正弦定理 得：， 因为，所以. 因为，所以，所以，所以. (2) 小问详解： 因为CD平分，所以 （i）中，，由余弦定理， 得：，所以，或. 当时，，所以，所以，所以. 所以，所以. 当时，，所以，所以， 所以，所以，所以. （ii）设，则，因为， 所以，， 由正弦定理，得，. 因为BC，所以 因为所以，即 所以 因为， 所以， 即， 所以. 因为，所以，所以， 所以，所以，所以. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 三角函数与解三角形 4大高频考点概览 考点01 同角三角函数的基本关系及诱导公式 考点02 三角恒等变换 考点03 三角函数的图象、性质与实际应用 考点04 解三角形 考点01 同角三角函数的基本关系及诱导公式 1．（2026·辽宁七校协作体·联考）若，则（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高三上·辽宁名校联盟）已知为第二象限角，且，则（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高三上·辽宁大连·期中）已知向量，，若，则（     ） A.  B. 2 C.  D. -2 4．（25-26学年高三上·辽宁阜新·期中）若，，则（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高三上·辽宁大连·期中）计算求值. （1）已知，求的值. （2）若，且，求下列式子的值. （i）；（ii）. 考点02 三角恒等变换 1．（25-26学年高三上·辽宁名校联盟·期中）（多选）已知，且，，则（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高三上·辽宁重点高中点·期中）在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则（       ） A. 6 B. 1 C. 3 D. 2 3．（25-26学年高三上·辽宁阜新·期中）已知，，函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）若，求. 4．（25-26学年高三上·辽宁营口·期中）若，写出的一个值：　　　　　　　　　　　　　　　. 考点03 三角函数的图象、性质与实际应用 1．（高三上·辽宁沈阳·期中）（多选）已知函数，则（       ） A. 最小正周期为 B. 图象关于对称 C. 最大值为 D. 在区间上单调递增 2．（25-26学年高三上·辽宁大连·期中）已知函数的部分图象如图所示（P为图象与x轴的一个交点，Q为图象的一个最高点），且，则的一个对称中心可以是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高三上·辽宁沈阳·期中）（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（     ） A. 函数的最小正周期为 B. 点是函数图象的一个对称中心 C. 直线是函数图象的一条对称轴 D. 函数图象可以由函数的图象向右平移个单位长度得到 4．（25-26学年高三上·辽宁普通高中·期中）函数的部分图像如图所示，是等腰直角三角形，其中两点为图像与轴的交点，为图像的最高点，且，则（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高三上·辽宁大连·期中）（多选）如图是函数的部分图象，则（     ） A. 是函数的一条对称轴 B. 的最小正周期为 C. 若，则 D. 将函数的图象向右平移个单位后，得到的函数为奇函数. 6．（25-26学年高三上·辽宁大连·期中）若函数的定义域内存在，使得成立，则称该函数为“完整函数”．已知是上的“完整函数”，则的取值范围为（     ） A.  B.  C. [3，5] D.  7．（25-26学年高三上·辽宁阜新·期中）（多选）函数的部分图象如图所示，，是的2个零点，则（     ） A. 的图象关于点对称 B. 的最小值为 C. 当取最小值时，的最大值为 D. 若在区间上至少有10个零点，则的最小值为 8．（25-26学年高三上·辽宁辽西重点高·期中）先将函数（且）的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到函数的图象，若方程有无数个解，则的值不能为（     ） A. 1 B.  C. 2 D.  9．（25-26学年高三上·辽宁名校联盟）（多选）已知函数，，且，则（     ） A. 函数的一个周期为 B. 函数在上单调递减 C. 曲线关于对称 D. 函数与函数的最大值相等 10．（25-26学年高三上·辽宁营口·期中）将函数图象上每个点的横坐标变为原来的,纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象. （1）求的解析式； （2）求曲线的对称轴方程； （3）求函数的值域. 11．（25-26学年高三上·辽宁名校联盟·期中）已知函数． （1）求函数的单调递减区间； （2）求函数在上的值域； （3）求在上的解集． 12．（25-26学年高三上·辽宁名校联盟·期中）已知，函数在上单调递减，则的取值范围是　　　　　　　　. 13．（2026·辽宁七校协作体·联考）已知函数． （1）若，求函数的值域； （2）若函数在上有且仅有两个零点，求的取值范围． 14．（25-26学年高三上·辽宁名校联盟）已知函数． （1）若函数的最小正周期为，求的定义域及单调递增区间； （2）若函数在上单调递增，求的取值范围． 15．（25-26学年高三上·辽宁普通高中·期中）将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若在区间上的最大值为1，则　　　　　. 16．（25-26学年高三上·辽宁普通高中·期中）已知函数图象的一条对称轴为． （1）求的最小值； （2）当取最小值时，若，求的值． 17．（25-26学年高三上·辽宁重点高中点·期中）已知函数. （1）求的单调递减区间； （2）若在上恰有两条对称轴，求的取值范围. 18．（25-26学年高三上·辽宁大连·期中）设函数. （1）求函数在上的最大值； （2）若不等式在上恒成立，求的取值范围； （3）若方程在上有三个不相等的实数根，求的取值. 考点04 解三角形 1．（25-26学年高三上·辽宁营口·期中）已知三边的中线、、的长分别为、、，则的面积为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高三上·辽宁名校联盟）中，、、的对边分别为、、，若且，则的形状是（       ） A. 顶角为的等腰三角形 B. 等边三角形 C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形 3．（25-26学年高三上·辽宁辽西重点高·期中）在中，，，则（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高三上·辽宁重点高中点·期中）如图，1752年，两位法国天文学家为了测量地球与月球之间的距离，利用几乎位于同一经线上，且纬度差约为的柏林（点）与好望角（点）为基点，测量出，的大小.设地球半径为，则地球表面与月球表面的最小距离约为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高三上·辽宁名校联盟·期中）若内一点满足，则称点为的布洛卡点，为的布洛卡角．如图，已知在中，，，，点为的布洛卡点，为的布洛卡角．若，且满足，则其布洛卡角的正切值为（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高三上·辽宁营口·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求； （2）若，求的周长； （3）若外接圆的半径为，求数列的前项和. 7．（25-26学年高三上·辽宁重点高中点·期中）设的内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的周长为　　　　　　　　　　　　. 8．（25-26学年高三上·辽宁大连·期中）在中，角所对的边分别为，已知是边上的中线，且. （1）求角的大小； （2）求及的面积. 9．（25-26学年高三上·辽宁沈阳·期中）已知向量，，函数 （1）求的单调递增区间； （2）在三角形中，角，，所对的边分别为，，.并且满足.若，求的值. 10．（25-26学年高三上·辽宁重点高中点·期中）在中，，且. （1）求； （2）点满足，求. 11．（25-26学年高三上·辽宁名校联盟·期中）在中，内角所对的边分别为，为边上一点，且，，． （1）求的长； （2）点在的内部，当时，，求． 12．（2026·辽宁七校协作体·联考）锐角中，角、、的对边分别为、、，，则的取值范围是　　　　　　. 13．（2026·辽宁七校协作体·联考）在中，内角的对边分别为，且． （1）求的大小； （2）为边的中点，且，求的长． 14．（25-26学年高三上·辽宁普通高中·期中）在中，角，，的对边分别是，，，且. （1）求角的大小； （2）若，且，求的面积. 15．（高三上·辽宁沈阳·期中）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，角A为钝角，，． （1）若，求c的值； （2）求面积的最小值． 16．（25-26学年高三上·辽宁辽西重点高·期中）已知的内角，，对应的边分别为，，，为边上的高，若，则　　　　. 17．（25-26学年高三上·辽宁名校联盟）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求. （2）若在AB上，CD平分. （i）若，求BD； （ii）若在AC上，BE平分，且，求. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 三角函数与解三角形 考点01 同角三角函数的基本关系及诱导公式 考点02 三角恒等变换 考点03 三角函数的图象、性质与实际应用 考点04 解三角形 考点01 同角三角函数的基本关系及诱导公式 1．C 2．A 3．C 4．B 5．【答案】（1）.     （2）（i），（ii）.      【分析】 （1）由诱导公式化简原式，然后代入求值； （2）由同角三角函数的关系求出，（i）分子分母同除，得到关于的代数式，然后代值求结果；（ii）由诱导公式化简代数式，然后代值求结果. (1) 小问详解： (2) 小问详解： ∵ ∴， 则 （i） （ii） 考点02 三角恒等变换 1．ABD 2．C 3．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由题意，根据平面向量数量积的坐标表示、三角恒等变换的化简计算可得，结合正弦函数性质利用整体代换法即可求出函数的单调区间； （2）由（1）可得，结合二倍角的余弦公式和诱导公式计算即可求解. (1) 小问详解： ， 由，得， 所以的单调递增区间为. (2) 小问详解： 由（1）， 所以，即， 所以， 故. 4．【答案】答案不唯一，只要满足即可） 【分析】 利用两角差的正切公式将化简即可得解. 【详解】 因为，所以， 则，解得. 故答案为：答案不唯一，只要满足即可） 考点03 三角函数的图象、性质与实际应用 1．AB 2．B 3．ABD 4．A 5．ABC 6．B 7．ABD 8．D 9．ABD 10．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据伸缩与平移变换的知识得到； （2）利用正余弦函数对称轴为最值点所在直线求出对称轴； （3）运用正弦函数的和角公式，配合辅助角公式进行运算求解即可. (1) 小问详解： 依题意可得. (2) 小问详解： 令,         得,此即曲线的对称轴方程. (3) 小问详解： 因为 , 所以的值域为. 11．【答案】（1），．     （2）     （3）      【分析】 （1）根据余弦函数的减区间即可列不等式求解； （2）求出的范围，根据余弦函数的性质即可求解； （3）求出的范围，根据余弦函数的性质求出范围，即可求出不等式的解集． (1) 小问详解： ，令，， 解得，， ∴函数的单调递减区间为，； (2) 小问详解： ，∵，∴， 可得， 则， 即函数在上的值域为； (3) 小问详解： 由题得，即， ∵，∴， ∴，可得， ∴该不等式的解集为． 12．【答案】. 【分析】 由条件得出，进而求得，根据正弦函数的单调性得出 ，即可得正实数的取值范围． 【详解】 解：由题可知，，函数在上单调递减， 可得函数的半个周期大于或等于，即， 则，， 由 ， 解得：，， 而，所以当时，， 则正实数的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】 本题考查由正弦型函数的单调性求参数范围，涉及正弦函数的周期和单调性的应用，属于中档题． 13．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）通过三角恒等式、诱导公式、二倍角公式以及降幂公式进行化简，代入即可. （2）求解零点的分布，解得通解，再分析解的分布即可. (1) 小问详解： 化简函数， 利用恒等式，，， 得到： ， 当时，，在的值域为， 所以若，函数的值域为. (2) 小问详解： 令，解得， 则或， 即或， 在区间内，前两个非负解为，，后续解依次为，等， 为使恰好有两个零点，需满足， 因此，的取值范围为. 14．【答案】（1）函数的定义域为：，单调递增区间为：     （2）      【分析】 （1）由，解得，再利用正切函数定义域及单调性列式求解； （2）利用正切函数的单调区间列出不等式求解即得. (1) 小问详解： 由题意可知，函数的最小正周期，则； ，即，所以函数的定义域为：； 令，化简得：， 所以函数的单调递增区间为：； (2) 小问详解： 令，因为，所以， 因为函数在上单调递增， 所以， 所以 ，即 ，则有 ， 解得，又因为，所以或1， 则或，即的取值范围为． 15．【答案】 【分析】 先求出平移后的解析式，结合图形分析可知要使在区间上的最大值为1，则在区间上单调递增，即，求解即可. 【详解】 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象， 则， 当时，， 由于在区间上的最大值为1，则在区间上单调递增，即， 所以，解得：. 故答案为： 16．【答案】（1）的最小值为1．     （2）      【分析】 （1）变形化简为，再由进行求解； （2）由（1）知，得，则进行求解． (1) 小问详解： 由题意得 ． 因为函数的一条对称轴为， 所以， 所以． 又， 所以的最小值为1． (2) 小问详解： 由（1）知． ． ． ． 17．【答案】（1），.     （2）.      【分析】 （1）利用两角和差、倍角三角函数公式化简得，利用正弦函数的周期性与单调性即可求得的单调递减区间； （2）利用正弦函数图像，可得若在上恰有两条对称轴，则，解不等式即可. (1) 小问详解： 由已知， 再令，解得，其中， 所以函数的单调递减区间为：，. (2) 小问详解： 由（1）得，， 当时，则， 因函数在，处有对称轴，则函数在直线右侧的三个临近对称轴为：，，. 又在上恰有两条对称轴，所以， 解得. 18．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）令，根据正弦函数的有界性知，原函数变为以为自变量的开口向下的二次函数，讨论对称轴与区间端点的关系，分别求解即可； （2）利用换元法将问题转化为在上恒成立求解即可； （3）令把方程变为在上有三个不相等的实数根，再分根的范围讨论可得. (1) 小问详解： 令，得，对称轴，开口向下， ① 当，即时，. ② 当，即时，. ③ 当，即时，. 综上可知， . (2) 小问详解： 若要，则需， 当时，， 函数变为， 所求问题变为恒成立，易知的图象是开口向下的抛物线的一部分， 最小值一定在区间端点处取得，所以有 ， 解得，故的取值范围是. (3) 小问详解： 令，， 则，，方程有两个不同的实数根， 其中一个在，另一个根在； 或者一个根在，另一个根为1， 令， 则有 或， ，，， 解得， 代入，此时方程为，解得根分别为0和-1，且时，或；时，三个根，符合条件； 当时，方程为，此时不符合题意， 综上. 考点04 解三角形 1．C 2．C 3．C 4．A 5．C 6．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）先用正弦定理角化边，再用余弦定理即可求出； （2）由(1)知，又，可求出边，进而求出周长； （3）由正弦定理可求出，进而求出，再用求和公式即可求出. (1) 小问详解： 因为， 所以，即，        所以.              因为，所以. (2) 小问详解： 由，得，        解得（负根已舍去），              所以的周长为 (3) 小问详解： 设外接圆的半径为，则，        所以，得，              所以. 7．【答案】 【分析】 利用余弦定理求出，再结合可求. 【详解】 因为，，， 由余弦定理，得，即， 故，解得， 故的周长为. 故答案为：. 8．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由正弦定理及三角恒等变换进行求解； （2）由余弦定理及三角形的面积公式求解． (1) 小问详解： 由正弦定理得： ，再根据两角和的正弦公式展开得： ， 消去，整理得：， ，两边同除以得：， 由辅助角公式得：， 又，则，故，解得． (2) 小问详解： 由题意得：， 平方得：，化简得， 解得舍. 由余弦定理得： 的面积 9．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据题意，求得，结合正弦型函数的性质，即可求解； （2）由，利用正弦定理，求得，得到，再由，求得，得到，结合，即可求解. (1) 小问详解： 解：由向量，， 可得函数， 令，解得， 所以函数的单调递增区间为. (2) 小问详解： 解：因为，由正弦定理得， 又因为，可得，所以，即， 因为，所以， 由（1）知， 因为，可得， 即，即，所以， 又因为，则 因为，则 . 10．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）将的值代入，再利用辅助角公式求出，根据三角形内角关系即可得到； （2）根据满足，得到点在边上，且可得到与三边的长度关系，在中，分别利用余弦定理和正弦定理即可求出. (1) 小问详解： 由，可知， 故，即. 故，即，. 由，是三角形的内角， 所以，故， 则，所以，. (2) 小问详解： 由（1）可知，，所以是等边三角形， 设的边长， 因为满足，故点在边上， ，且，即且， 在中，由余弦定理有，解得， 由正弦定理可得，， 所以. 11．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）设，利用及三角恒等变换公式得，然后利用余弦定理求解即可； （2）设，则，且，然后在中，利用正弦定理化简得，即可求解． (1) 小问详解： 设，，因为， 所以， 所以， 所以， 因为 ， 所以，因为为锐角，， 所以，即， 解得（负值舍去），为锐角，所以． 在中，由余弦定理得． (2) 小问详解： 在中，设，则，且． 在中，， 由正弦定理得，所以， 所以，化简得， 所以． 12．【答案】 【分析】 由余弦定理确定，由锐角三角形确定，再由正弦定理即可求解. 【详解】 由， 可得：, 化简可得：， 由正弦定理可得：， 所以，又, 所以，， 因为为锐角三角形， 所以 解得：，所以， 所以， 所以， 故答案为： 13．【答案】（1）;     （2）.      【分析】 （1）利用正弦定理边化角，再结合两角和正弦公式即可求解； （2）利用中线向量公式，结合向量的数量积运算即可求解. (1) 小问详解： 由正弦定理边化角可得：， 再利用三角形内角和可知：， 所以有， 整理得：，在三角形中， 所以有， 又因为，所以； (2) 小问详解： 由中线向量可得：， 则， 所以. 14．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由正弦定理边角互化，代入化简可得结果； （2）由余弦定理结合三角形的面积公式代入计算，即可求得结果. (1) 小问详解： 由， 根据正弦定理可得， 即， 即，， 所以，又，则. (2) 小问详解： 由，可得，， 因为，所以① ， 因为，所以② ， 联立① ② 可得，解得. 故的面积为. 15．【答案】（1）     （2）72      【分析】 （1）由结合，求得，进而求得，结合，得解； （2）由正弦定理结合条件式可得，进而得，利用基本不等式求解. (1) 小问详解： 由， 则，又， 所以， 化简整理得，解得或， 又为钝角，故为锐角，所以，则， 由 ，解得， . (2) 小问详解： 因为， 又，则，所以， 所以的面积 ， 又为锐角，所以，， ， 当且仅当，即，时，取等号， 所以的面积的最小值为72. 16．【答案】 【分析】 借助同角三角函数基本关系及三角恒等变换公式化简后，利用等面积法与正弦定理将边化为角计算即可得解. 【详解】 ，同理， 故 ， 又，则， 由正弦定理可得， 化简得，故. 故答案为：. 17．【答案】（1）     （2）（i）或   （ii）      【分析】 （1）根据正弦定理进行边角互化，结合两角和的正弦公式及诱导公式可得； （2）根据正弦、余弦定理解三角形即可. (1) 小问详解： 因为，由正弦定理 得：， 因为，所以. 因为，所以，所以，所以. (2) 小问详解： 因为CD平分，所以 （i）中，，由余弦定理， 得：，所以，或. 当时，，所以，所以，所以. 所以，所以. 当时，，所以，所以， 所以，所以，所以. （ii）设，则，因为， 所以，， 由正弦定理，得，. 因为BC，所以 因为所以，即 所以 因为， 所以， 即， 所以. 因为，所以，所以， 所以，所以，所以. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $