专题06 数列（期中真题汇编，辽宁专用）高三数学上学期

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题06数列 5大高频考点概览 考点01等差数列 考点02等比数列 考点03数列的通项公式与求和 考点04数列的综合应用（与不等式、概率统计等综合） 考点05数列新定义 》 考点01等差数列 1. （25-26学年高三上-辽宁营口·期中)若等差数列a,的前两项分别为1，-2则a。=（ ) A.-8 B.-7 C.-5 D.10 2.(25:26学年高三上辽宁重点高中点期中)已知数列a,满足a,=-2n+9n∈N,则数列a,的前 12项和为( A.108 B.28 C.62 D.80 3。(25-26学年高三上辽宁普通高中期中)记Sn为等差数列a,的前n项和，若S,=6:S,=-10则S。 ( A.-4 B.-16 C.-32 D.-64 4。(高三上辽宁沈阳：期中)（多选)已知数列[a,是首项为1，公差为d的等差数列，数列b,是首项为 2的等比数列，且a2=b2,a5=b3+5,则( A.d=3 B.m∈N,使得am=b C.数列1a,b,的前20项和为10+55×2 D.数列a,+b,的前n项和为3n-n-4+21 2 5.(2026辽宁七校协作体联考)设数列a,的前n顶和为s,若a,1=2口，且a=1则 115 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.a<5 B.a5>10 C.S100>1000 D.S10o<10000 6.（25-26学年高三上-辽宁名校联盟）在等差数列a,冲，a+a,=14:当a+a+2取得最小值时， a2025=( ) A.7 B.14 C.2021 D.2028 7.（2526学年商三上·辽宁辽西重点高·期中）单调递增的等差数列{a]满足 a+a++aoa-1+a,-1+…+lao-1=la,+3+o,+3l++ao+3,当公差a取最小值时， a1=( A.-15 B.-17 c.-19 D.-21 8.（25-26学年高三上辽宁沈阳期中)）已知S,T分别为等差数列a,bj的前n项和， Sn=2n+2; T。7n-5 设点A是直线BC外一点，点P是直线BC上一点，满足AP-ACA=0;+a:+aAB:则λ的值为 ( 4 4 A.11 B.-1 15 C. 1 D. 11 9.《2526学年高三上辽宁重点高中点期中)已知数列a中，Q》Q11-0则Q了 1 10.(2026辽宁七校协作体·联考)已知{an是等差数列，a3+ag=12,则a32a20= 》 考点02等比数列 1.(25-26学年高三上·辽宁重点高中点·期中）（多选）记Sn为数列a,的前n项和，且a,=1 2Sn+1-Sn=2n+2,则( ) 215 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0。-2为等差数列 B. C.数列a,单调递减 D.s=2n-2+2 2.(25-26学年高三上辽宁名校联里期等比微列o的公比为9∈Na,高爱列b,满足 b,=log,a,'当且仅当n=4时，b,的前n项和有最小值，则g的值是( A.2 B.3 C.4 D.5 3.（25:26学年高三上-辽宁名校联盟）（多选)已知数列[a,共有5项，前三项成等比数列，后三项成等 差数列，且a,=80:a,+a4=136:a,+a,=132若{a,的前n项和为S。:则下列选项可能正确的是 ) A.a1=180 B.Q3为最大项 C.S3=140 D.数列a3,a4,a5的公差为64 4.（25-26学年高三上-辽宁普通高中：期中)等比数列[a的前n项和为S,:若4a,一a,=S,则公比g=一 》 考点03数列的通项公式与求和 1.(25-26学年高三上辽宁普通高中期中)已知数列a的前n项和为S,:且S,=+3n. (1)求数列。的通项公式： an 4+1,求数列b,的前n项和T （2令bm-ana1 2.（25-26学年高三上辽宁沈阳期中)在等差数列a,中，ag=8,a6=a1+a,+ay记sn为数列b的前n 315 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 项和，且Sn=2bn+1 I)分别求数列a,b,的通项公式： (2)求数列 an 的前n项和 3。(25-26学年高三上辽宁名校联盟：期中)已知数列a,的各项均为正数，其前n项和为S,且20口 数列b满足 b,=0,+1,n为奇数 3an,n为偶数 ,其前n项和为Tn 1）求数列a,的通项公式： (2)若Tn-Sn>入n对任意n∈N恒成立，求实数入的取值范围 4.(2526学年商三上辽宁名校联盟)已知数列0，满足，a=1,a,=4,斤+n十 an+an-1=3. (1）求a,]的通项公式： (2)a的前n项和记为s,试求s, (3)若入∈R:且对任意的正整数n都有S,4≤入·n2恒成立，求，的取值范围. 》 考点04数列的综合应用（与不等式、概率统计等综合） 1.(2026辽宁七校协作体联考)设数列a的前n项和为S,:已知a=1,Sn1-2S,=1n∈N (1)求数列an 的通项公式： (2)若数列b满足b。= 4an an+1-1a+2-1 数列b,的前n项和为Tn,Yn∈N心都有m2-号m<Tn 3 求m的取值范围， 2（2026辽宁七校协作作联考)已知函数fx-血x+asX-号昌x的号数为fx.且数列a,满 415 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 足a+a,=nf(g+3n∈N 1)若数列a是等差数列，求a,的值： (2)若对任意n∈N,都有+口之4成立，求g,的取值范国。 an+an-1 》 考点05数列新定义 1.(25-26学年高三上辽宁营口：期中)定义：若a,=b,+c,:且b,和c是公比不相同的等比数列，则 称a为“混双等比数列”.已知数列a,满足a1=3,Q1=3a,+k-5”,其中常数k≠0且k≠ 5 (1)证明：a1-5a,是等比数列 (2)设a,的前n项和为S,若S是“混双等比数列”，求k的值。 2。(25-26学年高三上辽宁名校联盟期中)设t∈N,n∈N,若正项数列a,满足a,<a1<0,则 称数列a,具有性质“P1d” (1)若数列8,6，m,3,2具有性质“P3”,求实数m的取值范围： (2)设数列a的通项公式为a,=n+1 t”, 则是否存在（使得数列a具有性质“Pt”？若存在， 求t的最小值，若不存在，请说明理由： (3)设函数fx-e1,正项数列a,的前n项和为S,且满足a,=1,e=fa,证明：数列a,具有 X 性质“P2P,并比饺，与2高的大水 515 专题06 数列 考点01 等差数列 考点02 等比数列 考点03 数列的通项公式与求和 考点04 数列的综合应用（与不等式、概率统计等综合） 考点05 数列新定义 考点01 等差数列 1．A 2．D 3．D 4．ACD 5．C 6．A 7．C 8．A 9．【答案】 【分析】 根据题意，可知数列的周期为，求解即可. 【详解】 由题意可得，，，则，，，，…， 所以数列的周期为，则. 故答案为：2. 10．【答案】3 【分析】 利用等差中项求出，再将化简即可得出结果. 【详解】 因为，所以， 因为， 所以. 故答案为：3. 考点02 等比数列 1．AD 2．B 3．AC 4．【答案】或1 【分析】 将题设化为，解此方程即可. 【详解】 因为，所以， 即，即，又因为， 所以，，解得或. 故答案为：或1 考点03 数列的通项公式与求和 1．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）结合和与项的递推关系进行转化即可求解； （2）利用裂项求和即可求解． (1) 小问详解： 因为数列的前n项和为，且， 当时，， 当时，，适合上式， 故. (2) 小问详解： ， 2．【答案】（1）,     （2）      【分析】 （1）根据等差数列基本量的计算即可求解，利用的关系可得为等比数列求解， （2）利用错位相减法即可求解. (1) 小问详解： 解：设数列的首项为，公差为d， ，则， 所以数列的通项公式为． 因为，所以当时，，则． 当时，，则， 所以是以首项为，公比为2的等比数列，所以． (2) 小问详解： 因为，设数列的前项和为， ① ② ① -②得 ∴ ， 则． 3．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）借助与的关系，结合等差数列定义计算即可得； （2）分为偶数及为奇数进行讨论，结合分组求和法与等差数列求和公式计算后解出相应不等式即可得. (1) 小问详解： 当时，有， 所以，得， 当时，有， 即，而， 两式作差，得，即， 化简得， 又，所以， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以； (2) 小问详解： 当为偶数时， ， 所以，为偶数， 由恒成立，得， 是偶数，当时，有最小值，所以； 当为奇数时，为偶数， ， 所以，为奇数， 由恒成立，得， 又在上单调递增， 所以当时，有最小值1，所以． 综上，实数的取值范围是. 4．【答案】（1） ，     （2） ，     （3）      【分析】 （1）通过对已知条件变形，构成新的数列，利用累加法求出新的数列通项，进而得到的通项公式. （2）根据的奇偶性，分别计算前项和. （3）先求出的表达式，再将不等式变形，通过数列的最大值来确定的范围. (1) 小问详解： 已知数列满足． 当时，，两式相减得：，即． 则，，且时，. ，，且时，. 经检验，也符合通式． 综上 ． (2) 小问详解： 依题意，当，，且时. ，也符合通式. 当，，且时，． 综上 ． (3) 小问详解： 由（2）中结论，. 则时，原式等价于，恒成立，即恒成立. 记. 则时，. 即在时，单调递减． 可知，可得． 考点04 数列的综合应用（与不等式、概率统计等综合） 1．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）首先可以根据已知得到，其次注意到，结合等比数列的定义即可求解. （2）由（1）可知，先将数列的通项公式裂项得，从而可求得其前项和为，若，都有，则只需，研究的单调性即可得到其最小值，从而解不等式即可求解. (1) 小问详解： 一方面：因为，所以， 所以，即； 另一方面：又时，有，即，且， 所以此时； 结合以上两方面以及等比数列的概念可知数列是首先为，公比为的等比数列， 所以数列的通项公式为. (2) 小问详解： 由（1）可知， 又由题意， 数列的前项和为， 又，都有，故只需， 而关于单调递增， 所以关于单调递减，关于单调递增， 所以当时，有， 因此，即，解得， 综上所述：的取值范围为. 2．【答案】（1）；（2）． 【分析】 （1），，因此可得数列的递推公式，要求，只要令得 ，由数列是等差数列，可得答案． （2）由递推公式可知数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，因此可得 ，不等式的问题需按为奇偶分类讨论求出的取值范围 【详解】 （1）由题意， 所以， 所以， ∴ ， ∴， ∵数列是等差数列，设公差为， ∴，得， ∴， ∴， （2）由，得 ∴， ∴是以为首项，4为公差的等差数列，是以为首项，4为公差的等差数列， ∴， ∴ ． ① 当为奇数时，， 由得 令， ∴， ∴， 解得或 ② 当为偶数时，， 由得， 令， ∴，∴，解得, 综上，的取值范围是． 考点05 数列新定义 1．【答案】（1） 由题意得，        则， 所以.              又，              所以是以为首项，为公比的等比数列.     （2）      【分析】 （1）利用等比数列的定义可证得数列是等比数列； （2）根据（1）中的结论可得出数列的通项公式，联立可得出数列的通项公式，利用分组求和法可求出的表达式，根据“混双等比数列”的定义可得出关于的等式，解之即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）可得.        因为，代入可得， 可得， . 因为是“混双等比数列”，所以，解得. 2．【答案】（1）     （2）存在，的最小值为3；理由如下： 假设数列具有性质“”， 则，即， 由，得， 即， 所以， 因为，所以，且时，，所以， 由，可得，所以， 因为，所以，则． 综上，， 因为，所以的最小值为3；     （3）数列具有性质“”，.证明如下： 函数，数列中，，由，得， 则，要证，即证，即证， 只需证； 令函数，，求导得， 则函数在上单调递增，， 所以，故得证； 要证，即证，只需证， 令，，求导得， 令函数，，求导得， 故在上单调递增， 则，即，函数在上单调递增， 则，即，所以成立， 由，得，而， 则当时，， 故， 又，所以．      【分析】 （1）由题意可得，，解出即可得； （2）假设存在，则有，再分别根据 及计算即可得解； （3）由题意可得，则要证，转化后只需证，构造函数，结合导数研究单调性后计算即可得；再证，转化后只需证，构造函数后，结合导数研究其单调性后即可得，即得证数列具有性质“”；再由该性质可得，从而可得，即可结合等比数列求和公式比较与的大小. (1) 小问详解： 已知数列，，，，具有性质“”， 则，，，， 由，可得，由，可得， 综上，，则实数的取值范围是； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 数列 5大高频考点概览 考点01 等差数列 考点02 等比数列 考点03 数列的通项公式与求和 考点04 数列的综合应用（与不等式、概率统计等综合） 考点05 数列新定义 考点01 等差数列 1．（25-26学年高三上·辽宁营口·期中）若等差数列的前两项分别为，则（     ） A. -8 B. -7 C. -5 D. 10 【答案】A 【分析】 利用等差数列的通项公式求解. 【详解】 等差数列的前两项分别为， 可得等差数列的公差为， 则. 故选：A. 2．（25-26学年高三上·辽宁重点高中点·期中）已知数列满足，，则数列的前12项和为（       ） A. 108 B. 28 C. 62 D. 80 【答案】D 【分析】 利用数列的通项公式，可判断各项的正负，去绝对值，再求数列的前12项的和即可. 【详解】 设数列的前项和为， 则， 因为当时，，当时，， 所以. 故选：D. 3．（25-26学年高三上·辽宁普通高中·期中）记为等差数列的前项和，若，，则（       ） A. -4 B. -16 C. -32 D. -64 【答案】D 【分析】 用首项和公差表示出已知条件并求解，再由等差数列前项和公式计算. 【详解】 设等差数列的首项为，公差为，则 ，解得： ，所以， 故选：D 4．（高三上·辽宁沈阳·期中）（多选）已知数列是首项为1，公差为d的等差数列，数列是首项为2的等比数列，且，，则（       ） A.  B. ，使得 C. 数列的前20项和为 D. 数列的前n项和为 【答案】ACD 【分析】 根据题意可求出等差数列的公差，判断A；求出数列的通项公式，求解方程可判断B；利用错位相减法求数列的前n项和，判断C；利用分组求和法，结合等差数列以及等比数列的前n项和公式即可判断D. 【详解】 对于A，设的公比为q，由于，，则 ， 解得 ，所以A正确； 对于B，由A的分析可知， 令，即，解得，不是整数， 故不存在，使得，所以B错误； 对于C，，则， 故， 两式相减得： ， 故，则，所以C正确； 对于D，， 设数列的前项和为. 则 ，所以D正确， 故选：ACD 5．（2026·辽宁七校协作体·联考）设数列的前项和为，若，且，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据给定条件，利用，结合已知变形构造数列，求出，进而求出即可判断得解. 【详解】 数列中，由，得，整理得， 则，数列是以为首项，1为公差的等差数列， 于是，即，而满足上式， 因此，，，ABD错误，C正确. 故选：C 6．（25-26学年高三上·辽宁名校联盟）在等差数列中，，当取得最小值时，（       ） A. 7 B. 14 C. 2021 D. 2028 【答案】A 【分析】 设等差数列的公差为，进而根据等差数列的角标和性质得，再将所求问题转化为关系求解即可. 【详解】 设等差数列的公差为，因为，，所以， 所以， 当时，有最小值，此时数列为常数列， 所以等差数列的通项公式为：，故. 故选：A 7．（25-26学年高三上·辽宁辽西重点高·期中）单调递增的等差数列满足，当公差取最小值时，（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据等差数列的性质以及绝对值的几何意义，分析，，的特点，进而确定公差的最小值以及的值. 【详解】 设等差数列的公差为，，表示点到原点的距离，表示点到点的距离，表示点到点的距离； 已知， 根据绝对值的几何意义可知，数列中的项应满足，，  因为，由，可得，所以的最小值为， 当时，，， 解不等式可得；解不等式可得，所以. 故选:C． 8．（25-26学年高三上·辽宁沈阳·期中）已知，分别为等差数列，的前n项和，，设点A是直线外一点，点P是直线上一点，满足，则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用等差数列求和公式的性质及三点共线的推论计算参数即可. 【详解】 根据等差数列前项和公式的二次函数特性，且， 不妨设， 则， 又三点共线，则， 所以. 故选：A 9．（25-26学年高三上·辽宁重点高中点·期中）已知数列中，，，则　　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据题意，可知数列的周期为，求解即可. 【详解】 由题意可得，，，则，，，，…， 所以数列的周期为，则. 故答案为：2. 10．（2026·辽宁七校协作体·联考）已知是等差数列，，则　　　　　　　　　　　. 【答案】3 【分析】 利用等差中项求出，再将化简即可得出结果. 【详解】 因为，所以， 因为， 所以. 故答案为：3. 考点02 等比数列 1．（25-26学年高三上·辽宁重点高中点·期中）（多选）记为数列的前项和，且，，则（       ） A.  B. 为等差数列 C. 数列单调递减 D.  【答案】AD 【分析】 对于A：令可判断；对于B：利用与的关系，把转化成关于的递推公式，然后利用定义可判断；对于C：求出的通项，利用指数函数单调性判断；对于D：利用分组求和以及等比数列的前项和公式计算可判断. 【详解】 对于A，令可得，即， 又，解得，故A正确； 对于B，当时，，两式相减可得，且， 即，故是以首项，公比为的等比数列，故B错误； 对于C，易得， 故，易得数列单调递增，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：AD. 2．（25-26学年高三上·辽宁名校联盟·期中）等比数列的公比为，，数列满足，当且仅当时，的前项和有最小值，则的值是（       ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【分析】 根据等差数列前n项和的性质即可求解． 【详解】 解：可知， 又∵， ∴数列是以为首项，为公差的等差数列， ∴． ∵当且仅当时，的前项和有最小值， ∴ ，即 ， ∴，∴， ∵，∴． 故选：B． 3．（25-26学年高三上·辽宁名校联盟）（多选）已知数列共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，且，，.若的前项和为，则下列选项可能正确的是（       ） A.  B. 为最大项 C.  D. 数列，，的公差为64 【答案】AC 【分析】 根据前三项成等比数列、后三项成等差数列，设后三项的公差为，根据题意将表示成关于d的方程，解出d，分情况逐项讨论即可． 【详解】 设后三项的公差为，因为，则，， 由，得， 由前三项成等比数列，公比，所以， 结合，可得， 解得或， 当时，数列为； 当时，数列为； 对于A，当时，，故A正确； 对于B，两种情况的最大项分别是112和180，均不是，故B错误； 对于C，当时，，故C正确； 对于D，公差为16或，均不是64，故D错误． 故选：AC． 4．（25-26学年高三上·辽宁普通高中·期中）等比数列的前项和为，若，则公比　　　　　　． 【答案】或1 【分析】 将题设化为，解此方程即可. 【详解】 因为，所以， 即，即，又因为， 所以，，解得或. 故答案为：或1 考点03 数列的通项公式与求和 1．（25-26学年高三上·辽宁普通高中·期中）已知数列的前项和为，且 （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）结合和与项的递推关系进行转化即可求解； （2）利用裂项求和即可求解． (1) 小问详解： 因为数列的前n项和为，且， 当时，， 当时，，适合上式， 故. (2) 小问详解： ， 2．（25-26学年高三上·辽宁沈阳·期中）在等差数列中，；记为数列的前项和，且. （1）分别求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）,     （2）      【分析】 （1）根据等差数列基本量的计算即可求解，利用的关系可得为等比数列求解， （2）利用错位相减法即可求解. (1) 小问详解： 解：设数列的首项为，公差为d， ，则， 所以数列的通项公式为． 因为，所以当时，，则． 当时，，则， 所以是以首项为，公比为2的等比数列，所以． (2) 小问详解： 因为，设数列的前项和为， ① ② ① -②得 ∴ ， 则． 3．（25-26学年高三上·辽宁名校联盟·期中）已知数列的各项均为正数，其前项和为，且.数列满足 ，其前项和为. （1）求数列的通项公式； （2）若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）借助与的关系，结合等差数列定义计算即可得； （2）分为偶数及为奇数进行讨论，结合分组求和法与等差数列求和公式计算后解出相应不等式即可得. (1) 小问详解： 当时，有， 所以，得， 当时，有， 即，而， 两式作差，得，即， 化简得， 又，所以， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以； (2) 小问详解： 当为偶数时， ， 所以，为偶数， 由恒成立，得， 是偶数，当时，有最小值，所以； 当为奇数时，为偶数， ， 所以，为奇数， 由恒成立，得， 又在上单调递增， 所以当时，有最小值1，所以． 综上，实数的取值范围是. 4．（25-26学年高三上·辽宁名校联盟）已知数列满足，，，． （1）求的通项公式； （2）的前项和记为，试求； （3）若，且对任意的正整数，都有恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） ，     （2） ，     （3）      【分析】 （1）通过对已知条件变形，构成新的数列，利用累加法求出新的数列通项，进而得到的通项公式. （2）根据的奇偶性，分别计算前项和. （3）先求出的表达式，再将不等式变形，通过数列的最大值来确定的范围. (1) 小问详解： 已知数列满足． 当时，，两式相减得：，即． 则，，且时，. ，，且时，. 经检验，也符合通式． 综上 ． (2) 小问详解： 依题意，当，，且时. ，也符合通式. 当，，且时，． 综上 ． (3) 小问详解： 由（2）中结论，. 则时，原式等价于，恒成立，即恒成立. 记. 则时，. 即在时，单调递减． 可知，可得． 考点04 数列的综合应用（与不等式、概率统计等综合） 1．（2026·辽宁七校协作体·联考）设数列的前项和为，已知. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，数列的前项和为，都有，求的取值范围. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）首先可以根据已知得到，其次注意到，结合等比数列的定义即可求解. （2）由（1）可知，先将数列的通项公式裂项得，从而可求得其前项和为，若，都有，则只需，研究的单调性即可得到其最小值，从而解不等式即可求解. (1) 小问详解： 一方面：因为，所以， 所以，即； 另一方面：又时，有，即，且， 所以此时； 结合以上两方面以及等比数列的概念可知数列是首先为，公比为的等比数列， 所以数列的通项公式为. (2) 小问详解： 由（1）可知， 又由题意， 数列的前项和为， 又，都有，故只需， 而关于单调递增， 所以关于单调递减，关于单调递增， 所以当时，有， 因此，即，解得， 综上所述：的取值范围为. 2．（2026·辽宁七校协作体·联考）已知函数的导数为，且数列满足． （1）若数列是等差数列，求的值； （2）若对任意，都有，成立，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【分析】 （1），，因此可得数列的递推公式，要求，只要令得 ，由数列是等差数列，可得答案． （2）由递推公式可知数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，因此可得 ，不等式的问题需按为奇偶分类讨论求出的取值范围 【详解】 （1）由题意， 所以， 所以， ∴ ， ∴， ∵数列是等差数列，设公差为， ∴，得， ∴， ∴， （2）由，得 ∴， ∴是以为首项，4为公差的等差数列，是以为首项，4为公差的等差数列， ∴， ∴ ． ① 当为奇数时，， 由得 令， ∴， ∴， 解得或 ② 当为偶数时，， 由得， 令， ∴，∴，解得, 综上，的取值范围是． 考点05 数列新定义 1．（25-26学年高三上·辽宁营口·期中）定义：若，且和是公比不相同的等比数列，则称为“混双等比数列”.已知数列满足，，其中常数且. （1）证明：是等比数列. （2）设的前项和为，若是“混双等比数列”，求的值. 【答案】（1） 由题意得，        则， 所以.              又，              所以是以为首项，为公比的等比数列.     （2）      【分析】 （1）利用等比数列的定义可证得数列是等比数列； （2）根据（1）中的结论可得出数列的通项公式，联立可得出数列的通项公式，利用分组求和法可求出的表达式，根据“混双等比数列”的定义可得出关于的等式，解之即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）可得.        因为，代入可得， 可得， . 因为是“混双等比数列”，所以，解得. 2．（25-26学年高三上·辽宁名校联盟·期中）设，，若正项数列满足，则称数列具有性质“”． （1）若数列，，，，具有性质“”，求实数的取值范围； （2）设数列的通项公式为，则是否存在，使得数列具有性质“”？若存在，求的最小值，若不存在，请说明理由； （3）设函数，正项数列的前项和为，且满足，，证明：数列具有性质“”，并比较与的大小． 【答案】（1）     （2）存在，的最小值为3；理由如下： 假设数列具有性质“”， 则，即， 由，得， 即， 所以， 因为，所以，且时，，所以， 由，可得，所以， 因为，所以，则． 综上，， 因为，所以的最小值为3；     （3）数列具有性质“”，.证明如下： 函数，数列中，，由，得， 则，要证，即证，即证， 只需证； 令函数，，求导得， 则函数在上单调递增，， 所以，故得证； 要证，即证，只需证， 令，，求导得， 令函数，，求导得， 故在上单调递增， 则，即，函数在上单调递增， 则，即，所以成立， 由，得，而， 则当时，， 故， 又，所以．      【分析】 （1）由题意可得，，解出即可得； （2）假设存在，则有，再分别根据 及计算即可得解； （3）由题意可得，则要证，转化后只需证，构造函数，结合导数研究单调性后计算即可得；再证，转化后只需证，构造函数后，结合导数研究其单调性后即可得，即得证数列具有性质“”；再由该性质可得，从而可得，即可结合等比数列求和公式比较与的大小. (1) 小问详解： 已知数列，，，，具有性质“”， 则，，，， 由，可得，由，可得， 综上，，则实数的取值范围是； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $