专题04 平面向量与复数（期中真题汇编，辽宁专用）高三数学上学期

专题04 平面向量与复数 2大高频考点概览 考点01 平面向量 考点02 复数 考点01 平面向量 1．（高三上·辽宁沈阳·期中）已知平面向量，，若，则实数（       ） A.  B.  C.  D. 11 【答案】C 【分析】 根据向量垂直的坐标表示列方程，解方程即可求出的值. 【详解】 因为， 所以. 因为，所以 所以. 解得. 故选：C. 2．（25-26学年高三上·辽宁营口·期中）（多选）在等腰梯形中，，是边的中点，与交于点．设，则（     ） A.  B.  C.  D. 在上的投影向量为 【答案】BC 【分析】 根据等腰梯形的性质结合已知条件，运用投影向量与平面向量基本定理计算求解． 【详解】 连接，为的中点，， ，故B正确. 三点共线，存在x，y满足，且， 又三点共线，， 由平面向量基本定理得，， ，，故A错误，C正确； 四边形是等腰梯形，，过点作，垂足为， ，即， 在上的投影向量为，故D错误． 故选：BC． 3．（2026·辽宁七校协作体·联考）（多选）已知向量，，则（       ） A.  B.  C. ，可以作为平面向量的一组基底 D.  【答案】AC 【分析】 利用向量的坐标求模判断选项A；利用向量线性运算的坐标表示判断选项B；由平面向量基底的条件判断选项C；由向量共线的坐标表示判断选项D. 【详解】 向量，， ，，，A正确； ，B错误； 因为，所以，不共线，即，可以作为平面向量的一组基底，C正确； ，由，得与不共线，D错误． 故选：AC 4．（25-26学年高三上·辽宁普通高中·期中）已知向量，满足，，则（     ） A. 2 B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 借助模长与数量积的关系计算及数量积公式计算即可得. 【详解】 由，得，即， 又，所以， 即，则，所以. 故选：D. 5．（25-26学年高三上·辽宁普通高中·期中）（多选）已知平面向量，，，下列说法正确的有（       ） A. 若，，则 B.  C.  D. 若且，，则与垂直 【答案】CD 【分析】 对于A：举反例说明即可；对于B：根据数量积的定义以及向量数乘分析判断；对于C：根据向量模长的三角不等式分析判断；对于D：根据数量积的运算律结合向量垂直分析判断. 【详解】 对于选项A：当时，满足，，但不一定成立，故A错误； 对于选项B：因为是实数，可知表示与共线的向量； 同理表示与共线的向量，所以等式不一定相等，故B错误； 对于选项C：因为，故C正确； 对于选项D：因为，则， 即，整理可得， 即，所以与垂直，故D正确； 故选：CD. 6．（25-26学年高三上·辽宁大连·期中）已知向量满足，且，设的夹角为，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 借助向量垂直数量积为零及向量夹角公式可得，再借助二倍角公式计算即可得. 【详解】 由，则， 故，则， 故. 故选：D. 7．（25-26学年高三上·辽宁阜新·期中）已知非零向量满足，则与的夹角为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据向量垂直得到方程组，设，则，，利用向量夹角余弦公式求出答案. 【详解】 ， 所以，不妨设，则，， 所以，故， 又，故与的夹角为. 故选：D 8．（25-26学年高三上·辽宁辽西重点高·期中）在中，为边上一点，且满足，设，，若存在实数，使，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 把用得到，， ，再根据的范围即可求解. 【详解】 以为基底， ， 又，所以由平面向量基本定理可知，， 则，又，所以． 故选：C 9．（25-26学年高三上·辽宁营口·期中）已知均为单位向量，且，则与的夹角的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由两边平方，根据平面向量数量积的运算性质可得，然后由向量夹角公式求解． 【详解】 因为均为单位向量，所以， 由，得， 则， 则，即， 则， 因为，所以. 则与的夹角的取值范围是. 故选：D. 10．（2026·辽宁七校协作体·联考）已知平面向量与的夹角为，，，则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 先求出，由平面向量的数量积可求得，计算的值，再开方即可求解. 【详解】 因为，所以， 所以， 所以 ， 所以， 故选：B. 11．（25-26学年高三上·辽宁沈阳·期中）已知向量，，满足，，，则的最大值为（     ） A.  B.  C. 1 D. 2 【答案】D 【分析】 由题意可设、、，又，，则可计算出的范围，从而可得解. 【详解】 ，则可设、、， 由，则， 又， 则，则， 故，则， 即的最大值为. 故选：D. 12．（25-26学年高三上·辽宁重点高中点·期中）设平面向量，，. （1）若，求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先求出，再由平行向量的坐标表示求解即可； （2）先求出，再由垂直向量的坐标表示求解即可； (1) 小问详解： 因为，，所以， 又，且，所以， 解得. (2) 小问详解： 因为，，所以， 又，且，所以， 解得. 13．（25-26学年高三上·辽宁名校联盟·期中）已知向量，，若向量与垂直，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据两向量垂直，它们的数量积为0即可计算求解． 【详解】 ， ∵向量与垂直， ∴， ∴， 即， 即， 解得． 故答案为：． 14．（25-26学年高三上·辽宁名校联盟）已知向量，且在上的投影向量的坐标为，则与的夹角为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据投影向量公式得在上的投影向量为，结合已知可得结果. 【详解】 设与的夹角为，且，， 则在上的投影向量为， 即，所以，所以， 故答案为：. 15．（25-26学年高三上·辽宁大连·期中）设，是两个不共线的向量，且，，，且，则　　　　　　　. 【答案】5 【分析】 将，代入，根据向量相等的条件列出方程组解出 即可得解. 【详解】 ，代入，并整理得， 又，所以 ，解得 ， 所以. 故答案为：5. 16．（25-26学年高三上·辽宁辽西重点高·期中）已知向量满足，且对任意的，都有，则的最大值是　　　　　　． 【答案】12 【分析】 首先由数形结合可得进而得到，再根据基本不等式即可求解. 【详解】 因为对任意，都有，如图，由图可知， ，又，所以， 又， 所以，即，所以，所以，当且仅当时取等号，所以的最大值是12． 故答案为：12 考点02 复数 1．（25-26学年高三上·辽宁营口·期中）若，则的实部为（     ） A. 1 B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用复数的运算法则以及两复数相等的条件可得答案. 【详解】 设，则， 则，解得，故的实部为. 故选：C 2．（25-26学年高三上·辽宁重点高中点·期中）（多选）已知复数，，则（       ） A. 的虚部为 B.  C. 为纯虚数 D. 在复平面内，复数所对应的点位于第四象限 【答案】BCD 【分析】 利用复数的运算，共轭复数和模的概念，以及复数的几何意义，即可求解. 【详解】 因为，， 对于A，易知，其虚部为，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，为纯虚数，故C正确； 对于D，，对应的点位于第四象限，故D正确. 故选：BCD. 3．（25-26学年高三上·辽宁名校联盟）复数满足（为虚数单位），则在复平面内对应的点所在象限为（       ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【分析】 根据复数的四则运算法则，可得答案. 【详解】 ，， 即对应的点在第四象限， 故选：D. 4．（高三上·辽宁沈阳·期中）已知，则的虚部为（       ） A.  B. 2 C. 3 D. 6 【答案】C 【分析】 根据复数的除法运算及共轭复数、虚部的概念求解即可. 【详解】 因为， 所以，所以的虚部为3. 故选：C 5．（25-26学年高三上·辽宁大连·期中）已知复数满足，则的虚部为（     ） A.  B.  C. 1 D.  【答案】A 【分析】 利用复数除法运算化简复数，结合虚部定义即可求解. 【详解】 由题可得，所以则的虚部为, 故选：A 6．（25-26学年高三上·辽宁沈阳·期中）若为复数，且，则（ ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】利用复数的四则运算求出后可计算. 【详解】，故，故选A. 【点睛】本题考查复数的四则运算，属于基础题. 7．（25-26学年高三上·辽宁名校联盟·期中）若复数满足，则的虚部为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据复数代数形式的除法运算化简，即可判断. 【详解】 因为，所以，所以的虚部为． 故选：B． 8．（2026·辽宁七校协作体·联考）已知复数满足，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据复数除法运算直接化简即可. 【详解】 ，. 故选：A. 9．（25-26学年高三上·辽宁普通高中·期中）若复数满足，则的虚部是（       ） A.  B.  C. 1 D. 3 【答案】D 【分析】 根据的幂次规律，，把化为复数标准形式，其虚部即为前 的系数. 【详解】 因为， 代入原式得：， 所以复数标准形式中，虚部为3. 故选：D. 10．（25-26学年高三上·辽宁阜新·期中）已知复数（其中为虚数单位），则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 先对复数进行化简，再分别计算和，接着求出，最后根据复数模的计算公式求出. 【详解】 因为， 所以， 所以. 故选： 11．（25-26学年高三上·辽宁辽西重点高·期中）设有复数，，令，则复数（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用复数三角形式的乘方运算，化简计算即可得到答案. 【详解】 根据复数的三角形式，复数，模为，极角为， 则.又因为， 所以， 所以， ，所以. ， 故选：A 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04平面向量与复数 2大高频考点概览 考点01平面向量 考点02复数 》 考点01平面向量 1.（高三上·辽宁沈阳期中)已知平面向量a=1,-2方=m,1'若ā1a+36}则实数m= B.-1 D.11 2.(25-26学年高三上辽宁营口·期中)（多选）在等腰梯形ABCD中，AB=2CD,E是BC边的中点， AE与BD交于点F.设AF=xAB+yAD,则() 7 A.X=10 B.AE-3AB+AD 4 c.y=2 5 D,AD在AB上的投影向量为AB 3.(2026辽宁七校协作体联考)（多选)已知向量ā=(2,1》6=(-3,4则（ ) A.lap= B.4a-36=17,8 C.a,b可以作为平面向量的一组基底 D.a-611i 在(2526学年商三上辽宁音通商中：期中)已知向画满足a=a-26a上a-26》则誉 1/5 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ) A.2 B c.▣ D.▣ 5.(25-26学年高三上·辽宁普通高中·期中)（多选）已知平面向量ā，b,c,下列说法正确的有 ) A.若a/b,b//c,则a/1e B.(a.b)c=ab.c) C.la+als a++B- D.若|a+6=a-且a≠06≠0则a卢6垂直 6.（25-26学年商三上辽宁大连期中)已知向量a,6满足a=3,6l=☐，且a1a-3设a,6的夹 角为0，则cos20=( A.▣ B吉 3 D.- 7.(25-26学年高三上-辽宁阜新期中)已知非零向量a,6满足(a+46)1ā，（ā+36）1方则a与6的夹 角为( a君 D 5π 6 8.（25-26学年高三上·辽宁辽西重点高·期中)在△ABC中，D为边BC上一点，且满足BD=2DC, 设AP=入AD,入∈0,1，若存在实数m,n,使BP=mBA+nBC,则m+n的取值范围是 ) A3别 D利 215 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 9.(25:26学年高三上辽宁营口·期中)已知à，6均为单位向量，且后+2<3-引则a与6的夹角的 取值范围是( 0 A. 2π B. 2, 3 c.I 0 3 0 10. （2026辽宁七校协作体联考)已知平面向量。与8的夹角为60，日=120同 则日-2的值为 ) A.▣ B.2 C.4 0.2 11.(25-26学年高三上辽宁沈阳·期中)已知向量a方满足=2a=2'a6=1'a+6-2=2 则ā·c的最大值为( ) A.2☐ B.2□ ▣ C.1 D.2 12.(25-26学年高三上辽宁重点高中点期中)设平面向量a=2,06=1,2'c=-3,2 1)若ka+6/2求k的值： (2)若ta+61求的值。 13.（25-26学年高三上辽宁名校联盟期中)已知向量a=3,2'6=1,-1若向量a+k6与垂直，则 k= 14。（25-26学年高三上·辽宁名校联盟)已知向量a=1,1,=4且在a上的投影向量的坐标为 -2,-2,则a与b的夹角为 315 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 15.(25-26学年高三上·辽宁大连·期中)设m,i是两个不共线的向量，且ā=m+i,b=成-， c=2m-4n,且c=xa+yb,则x+2y= 16。(25-26学年高三上辽宁辽西重点高·期中)已知向量ā，6满足6=6口：且对任意的teR,都有 i-tl6-a,则la-+al的最大值是 四 考点02复数 1. （25-26学年高三上辽宁营口：期中)若2z+z=(1+21}则z的实部为（ ) A.1 3 B.2 C.-1 25.26学年高三上辽宁重点高中点期中)）（多选)已知复数乙3,2681， A乙的虚部为 B. 2=10 C.z2-12z1为纯虚数 D.在复平面内，复数20z1+z2所对应的点位于第四象限 3.(25-26学年高三上·辽宁名校联盟)复数2满足z2-=2+1(i为虚数单位)，则z在复平面内对应的 点所在象限为( ) A第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.（高三上辽宁沈阳期中)已知2=5-1， 1+i 则z的虚部为( A.-3 B.2 C.3 D.6 5.(25-26学年高三上~辽宁大连期中)已知复数，满足z1+i=1-1,则z的虚部为（ A.-1 B.-i C.1 D.i 6.(25-26学年高三上·辽宁沈阳期中)若z为复数，且1-3iz=-2+iz+1-i,则z=（) 415 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A四 B.2V c婴 D.▣ 7。(25-26学年高三上~辽宁名校联盟期中)若复数2满足2-i2=i3,则，的虚部为（ ) C. 8.(2026辽宁七校协作体联考)已知复数z满足1z=1-21,则z=( A.-2-i B.-2+i c.2-i D.2+i 9.(25-26学年高三上·辽宁普通高中·期中)若复数z满足z=3i+21°，则z的虚部是( ) A.-2i B.3i C.1 D.3 10.(25-26学年高三上·辽宁阜新·期中)已知复数2=i1-i（其中：为虚数单位)， 则 ( ) A.▣ B.V▣ C.2V▣ D.▣ 2 2526学年高三上辽宁遮西重点高期中)设有复数@，三号+冯.©，=c0s2n+isin1,令 5 0=0102,则复数0+02+03++02026=（ A.ω B.2 C.c3 D.04 5/5函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04平面向量与复数 考点01平面向量 考点02复数 D考点01平面向量 1.C 2.BC 3.AC 4.D 5.CD 6.D 7.D 8.C 9.D 10.B 11.D 12.【答案】(1)k=-2 【分析】 (1)先求出kā+b,再由平行向量的坐标表示求解即可： (2)先求出tā+b,再由垂直向量的坐标表示求解即可： (1)小问详解： 因为a=2,0?6=1,2所以ka+6=2k+1,2 又=-3,2且kā+6/12所以2k+1×2=-3×2 解得k=-2. (2)小问详解： 因为a=2,0'6=1,2所以tā+i=2t+1,2 又：=-3,2且ta+6⊥2所以2t+1×-3+2×2=0 114 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 解得t=1 6 13. 【斧案】-方05 【分析】 根据两向量垂直，它们的数量积为0即可计算求解. 【详解】 @+kb=(3+k,2-k' :向量a+kb与b垂直， a+k66=0 …3+k,2-k1,-1=0 即3+k×1+2-k×-1=0, 即2k+1=0, 解得k=号 1 故答案为：一 4【浴案】135 【分析】 根据投影向量公式得b在ā上的投影向量为lcos0 a 结合已知可得结果。 【详解】 设。与6的夹角为g且日∈0，ma=□ 恩斯在阿限列6sA骨s9合acs0 1,1=-2,2=-21. a 即s0-2所以o50=-9,所以g=3L, 4 214 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 π 故答案为：4 15.【答案】5 【分析】 将ā=成+，b=m-n代入，根据向量相等的条件列出方程组解出 x=-1 y=3 即可得解。 【详解】 =x石+y6代入a=而+疗石=市-i并整理得：=x+y苏+x-yn” 又c=2m-4i,所以X+y=2 x=-1 (x~y=-4，解得 y=3, 所以x+2y=-1+6=5. 故答案为：5 16.【答案】12 【分析】 首先由数形结合可得6-d上a进而得到|6=6-a+,再根据基本不等式即可求解。 【详解】 因为对任意t∈R都有6-t≥6-：如图，由图可知， 6-a1a又6=6-a+a所以=6-+a, 又6-f+a=6-d+af-26-d6-d+a'-2×6-d+, 4 所以166-d+d.即72≥6-d+,所以6-+a≤144所以a-+d≤12当且议 2 当a-=a=6时取等号，所以a-+a的最大值是12. 故答案为：12 314 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 b-ia 1a 方-a a D考点02复数 1.C 2.BCD 3.D 4.C 5.A 6.A 7.B 8.A 9.D 10.D 11.A 414