专题03 导数及其应用（期中真题汇编，辽宁专用）高三数学上学期

专题03 导数及其应用 考点01 导数的概念、运算及其几何意义 考点02 导数在研究函数中的应用 考点03 导数的综合应用（与数列、不等式等的综合） 考点04 导数的新定义 考点01 导数的概念、运算及其几何意义 1．A 2．B 3．A 考点02 导数在研究函数中的应用 1．B 2．C 3．AB 4．C 5．B 6．ACD 7．B 8．ACD 9．ABD 10．ACD 11．【答案】（1）     （2）单调递增区间，，单调递减区间.     （3）      【分析】 （1）利用导数的几何意义求函数在点处的切线方程. （2）求导，分析导函数的符号，可得函数的单调区间. （3）结合（2）的结论，转化为与在上有两个交点，数形结合，可求m的范围. (1) 小问详解： 因为，所以. 又，所以. 所以在处的切线方程为：即. (2) 小问详解： 因为. 由或；由. 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为. (3) 小问详解： 由（2）可知，函数在上单调递减，在上单调递增. 且，，. 所以在区间上有两个零点，即在上有两个解， 可得. 即的取值范围为： 12．【答案】（1）单调递增区间为，，单调递减区间为.     （2）      【分析】 （1）利用导数求函数的单调区间； （2）由函数在区间内的单调性求解函数的最大值，可得的值. (1) 小问详解： 函数的定义域为， 则， 当时， 令，解得：；令，解得：， 所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为. (2) 小问详解： ① 当时，在内恒成立，在内单调递增， 则，解得与矛盾； ② 当时，有，时；时， 所以在上单调递增，在上单调递减， ∴，即， 令，则， 则在上单调递减， 又，故； 综上，. 13．【答案】（1），极小值点     （2）     （3）      【分析】 （1）利用导数求出的极小值点可得答案；           （2）利用导数求出曲线在点处的切线方程的答案； （3）设，设，利用导数得出存在唯一的实数，使得，再利用，得出在上单调递增可得答案. (1) 小问详解： 因为，              所以，解得.              当时，，当时，，              所以是的极小值点； (2) 小问详解： 由（1）知，         因为，所以曲线在点处的切线方程为； (3) 小问详解： 设，则，      令 ，则 的导函数.设， 则，所以为增函数.              因为，        所以存在唯一的实数，使得. 当时，则，当时，，        所以在上单调递减，在上单调递增，且， 则，则， 所以在上单调递增.              又因为，所以，即的取值范围是. 14．【答案】（1）最大值是，最小值是     （2）      【分析】 （1）利用导数先判断出在上的单调性，然后可计算出最值； （2）设出切点坐标，表示出切线方程并代入点坐标，将切线条数问题转化为方程解的个数问题，构造新函数结合函数图象结果可求. (1) 小问详解： 函数，，， 当或时，，当时，， 函数在，上单调递增，在上单调递减， 又，，， 所以函数在区间上的最大值是，最小值是． (2) 小问详解： 设过点的直线与曲线相切的切点为， 由（1）得切线斜率，切线方程为， 由切线过点，得，整理得， 令，求导得， 当或时，，当时，， 函数在，上单调递减，在上单调递增， 函数在处取得极小值为，在处取得极大值为， 由过点存在条直线与曲线相切，得方程有个互不相同的解， 即直线与函数的图象有个交点， 观察图象得当时，直线与函数的图象有个交点， 所以实数的取值范围是． 15．【答案】（1）     （2）当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.     （3）      【分析】 （1）根据导数几何意义直接求解即可； （2）求导后，分别在和的情况下，根据的正负得到结论； （3）将问题转化为，由二次函数性质可求得，采用参变分离的方式可得，利用导数可求得的最小值，进而得到结果. (1) 小问详解： 当时，，则， ，在处切线的斜率为. (2) 小问详解： 由题意知：的定义域为，， ① 当时，，，， 在上单调递增； ② 当时，令，解得：， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. (3) 小问详解： 对任意，均存在，使得，； ，当时，， 在上恒成立，即在上恒成立，； 令，则， 令，解得：， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增，， ，即实数的取值范围为. 16．【答案】2 【分析】 由 ，求出，结合导数研究函数在上的单调性即可求出其最小值. 【详解】 由题可得： ，解得： ， 所以，则，令,解得：， 令，解得：，令，解得：， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以 故答案为： 17．【答案】（1） 时，的单调增区间为；时，的单调减区间为，单调增区间为；     （2）.      【分析】 （1）分，两种情况结合正负性可得函数单调区间； （2）分，，三种情况结合在上的单调性可得答案. (1) 小问详解： 由题可得定义域为：.. 若，则在上单调递增； 若，则， 从而在上单调递减；在上单调递增. 综上，时，的单调增区间为；时，的单调减区间为，单调增区间为； (2) 小问详解： 由（1），若，则在上单调递增， 则此时，这与假设不符； 若，则在上单调递增， 则此时，这与假设不符. 若，则在上单调递减，在上单调递增， 则此时，符合假设. 若，则在上单调递减， 则此时，这与假设不符. 综上可得，实数m的值为. 18．【答案】（1） 函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.     （2）      【分析】 （1）求，求不等式，的解集，即可求解； （2）根据函数极值的个数得出，进而根据韦达定理得，再构造新函数，求导判断单调性，求新函数的最值即可求解. (1) 小问详解： 若，，定义域为， ， 由可得：或， 由可得：， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 综上，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为. (2) 小问详解： 定义域为， ， 令可得， 当即时，对于恒成立，所以在上单调递增，无极值； 当即时，由可得：， 由可得：或，由可得：， 所以在和上单调递增，在上单调递减，满足函数有两个极值点， 所以， 由可得，则， 由，可得， 所以， 所以 设， 则， 当时，，故单调递增， 当时，，故单调递减， 所以在处取得最大值， 又因为，， 所以， 故，故的取值范围为. 19．【答案】（答案不唯一） 【分析】 对函数求导后，令导数为零，讨论方程的根，再根据零点的定义即可求值. 【详解】 由，得， 令，则或， 当时，由，得， 所以，则， 当时，由，得， 由，得或， 当时，不存在极值点， 当时，得， 综上，， 所以当时，. 故答案为：（答案不唯一）. 20．【答案】 【分析】 利用导数分析函数的单调性，作出函数的大致图象，令可得，或，由条件结合图象可得的取值范围. 【详解】 当时，，所以， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 且，，， 当时，，当时，， 当时，与一次函数相比，函数增长速度更快， 从而， 当时，，所以， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 且，， 当时，，当时，， 当时，与对数函数相比，一次函数增长速度更快， 从而， 当，且时，， 根据以上信息，可作出函数的大致图象如下： 函数的零点个数与方程的解的个数一致， 方程，可化为， 所以或， 由图象可得没有解， 所以方程的解的个数与方程解的个数相等， 而方程的解的个数与函数的图象与函数的图象的交点个数相等， 由图可知：当时，函数的图象与函数的图象有3个交点. 故答案为：. 【点睛】 方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 21．【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为     （2）证明：设，， 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 故，即.     （3）      【分析】 （1）求出函数的导数，根据单调性与导数的关系，即可求得答案； （2）设，求出其导数，判断的单调性，即可证明结论； （3）根据导数的几何意义可得在点处的切线方程，设与曲线相切于点， 则可表示为，由此可得.设，利用导数判断函数单调性，可求出的值，即可求得答案. (1) 小问详解： 由题意得的定义域为，， 令，解得， 令，解得， 故的单调递减区间为，单调递增区间为. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： ，， 故曲线在点处的切线为， 即， 记与曲线相切于点，，， 则， 则可表示为，即， 于是 ，故 ， 即，即. 设，， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 故，故当且仅当时，. 于是，故. 22．【答案】 【分析】 先根据分类讨论确定出的最小值点，由此可表示出的最小值，再将的最小值表示为关于最小值点的函数，利用导数求解出的最大值，由此可求解出的值. 【详解】 ，记，则， 若，则在上单调递增，且，， 所以存在，使得， 当，，则在上单调递减， 当，，则在上单调递增， 所以是的极小值点，也是最小值点； 若，当，，在上单调递减， 当，，在上单调递增， 又， 且又知， 所以存在，使得， 当，，则在上单调递减， 当，，则在上单调递增， 所以是的极小值点，也是最小值点； 由知，故， 记，则， 当， ，则在上单调递增， 当，，则在上单调递减， 所以， 即时，取得最大值，也即， 故答案为：. 23．【答案】 【分析】 根据条件和，构造函数，利用函数单调递增得，代入化简即可求解. 【详解】 且，且， 故，构造函数，则， 所以在上单调递增，所以，所以． 故答案为： 24．【答案】（1）极小值，无极大值     （2）      【分析】 （1）由题可得，然后求导求出函数的单调区间，即可求解； （2）令，化简得到，令，，则得函数与在上有两个交点，再利用导数求得图象，即可求解. (1) 小问详解： 当时，，， ，令，解得（舍），， 当时，；当时，； 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以当时，取到极小值， 综上所述：函数有极小值，无极大值. (2) 小问详解： 令，解得，因， 所以，令，， 则得函数与在上有两个交点， ，令，， 则，所以在上单调递增，又因为， 所以当时，，； 当时，，； 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以当时，取到极小值， 又，则可作出相应图象，如下图， 所以可得，解得， 故实数的取值范围. 考点03 导数的综合应用（与数列、不等式等的综合） 1．【答案】（1） 当时，在上单调递增.              当时，在上单调递减，       在上单调递增.     （2） 当时，由（1）可得在和上单调递增， 在上单调递减，                     所以.              设，则， 则在上恒成立，即在上单调递增， 故，即在上恒成立.        因为，所以.        因为，且在上单调递减， 所以，即.              设， 则 则在上恒成立，即在上单调递增， 故，即在上恒成立.        因为，所以.        因为，且在上单调递增， 所以，即.              又，所以，则，即.      【分析】 （1）求导，分或两种情况，结合导数符号判断函数单调性； （2）利用极值点偏移分别证明，，然后两个不等式作差可得答案. (1) 小问详解： 由题意可得.        设方程. 当，即时，，              则在上单调递增.              当且，即时，方程的两根均大于0， 令，得， 则在上单调递减，        令，得或， 则在上单调递增. (2) 小问详解： 略 2．【答案】（1）     （2） 证明：不等式恒成立，即恒成立， 设，则， 易知是定义域上的增函数，又， 则在上有一个根，即 当时，，当时，， 此时在单调递减，在单调递增， 的最小值为， ， ， ， 恒成立，故结论成立.     （3） 证明：由（2）知，，令， 则. 由此可知，当时，， 当时，， 当时，， ， 当时，， 累加得： ， 又， 所以.      【分析】 （1）求导，求极值点，讨论函数单调性，找到极小值即可解决问题； （2）不等式恒成立，即恒成立， 设，构造新函数求导利用函数导数单调性进行分析即可证明结论. （3）由（2）知，，令，则 从而有，由的不同值，分别写出不等式，然后累加，结合等比数列求和进行放缩，分析得到结论. (1) 小问详解： ，令，解得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以有极小值， 所以，即. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 【点睛】 函数与导数综合简答题常常以压轴题的形式出现， 难度相当大，主要考向有以下几点： 1.求函数的单调区间（含参数）或判断函数（含参数）的单调性； 2.求函数在某点处的切线方程，或知道切线方程求参数； 3.求函数的极值（最值）； 4.求函数的零点（零点个数），或知道零点个数求参数的取值范围； 5.证明不等式； 解决方法：对函数进行求导，结合函数导数与函数的单调性等性质解决， 在证明不等式或求参数取值范围时，通常会对函数进行参变分离，构造新函数， 对新函数求导再结合导数与单调性等解决. 3．【答案】（1）当时，， 当时，， 当时，     （2）0     （3）证明：由（2）知，当，时，，即， 令，则 ， 令，① ，② ①② 可得：， 化简得：， 所以， 当或2时，， 则成立 当时，， 则成立； 当时，， 所以， 综上：对，都有，得证.      【分析】 （1）求出，分类讨论和时，的正负，得到函数的单调区间，从而求出函数在的最小值； （2）当时，，得到在上单调递减，从而； （3）由（2）知， ，得到，求出，分以及可证明结论. (1) 小问详解： 由题可得，因为，所以， 当时，，所以函数在上单调递增，， 当时，令，即， 因为在上单调递减，所以存在唯一的，使得， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 由于，， 当，即时，， 当，即时，， 综上，当时，， 当时，， 当时， (2) 小问详解： 由题可得，因为时，， 当，，等号仅在某些特殊值时取得，所以在上单调递减， 所以 (3) 小问详解： 略 4．【答案】（1）     （2）      （3） 当时，由（2）得， 对任意的，有，即， 因此（，且），即， 设，，则， 令，， 则，可得在区间上单调递减， 所以， 所以在区间上单调递减，所以， 所以当时，， 可得当且时，， 所以， 因此，.      【分析】 （1）先求出为函数的一个正周期，接着利用导数求解时的值域即可； （2）记，求其导数，因为，由，解得，分和分别讨论函数单调性，从而分析不等式是否恒成立； （3）当时，由（2）得，对任意的，有，因此（，且），即，令，，利用导数证明，进而得，即可得证. (1) 小问详解： 因为， 所以为函数的一个正周期，所以可求时的值域， 对求导得， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 又，，，， 所以函数的值域为； (2) 小问详解： 记， ， 因为，由，解得， 当时，，因此在区间上单调递减， 所以，即在区间上恒成立， 当时，存在，使得当时，，因此在区间上单调递增， 当时，，即在区间上不恒成立， 故实数的取值范围为. (3) 小问详解： 略 5．【答案】（1）极大值，无极小值；     （2）；     （3）证明：由（2）得，当时，，所以． 当时，，所以． 令，得，即． 所以， 即．      【分析】 （1）求定义域，求导，得到函数单调性，从而求出的极值情况； （2）求导，分，和三种情况，结合放缩法，进而得到的单调性，最终得到答案； （3）由（2）得，当时，，所以，令，得，所以. (1) 小问详解： 当时，，定义域为， ， 由，得；由，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以函数有极大值，无极小值． (2) 小问详解： 由题意得，． ① 当时，， 令，则， 当时，，则在上单调递增， 所以，所以当时，， 所以，所以在上单调递增， 所以，所以满足题意． ② 当时，令， 所以当时，，所以在上单调递减， 又，所以当时，，所以在上单调递减， 所以，所以不符合题意． ③ 当时，，所以在上单调递减， 所以，所以不符合题意． 综上，实数a的取值范围是． (3) 小问详解： 略 6．【答案】（1）证明：由题意得， 则，且， 故切线的方程为， 即，即， 易得过轴上的定点.     （2）证明：设，则为增函数，且， 故，有，即， 且时，，故，即     （3）时，零点个数为0， 时，零点个数为1， 时，零点个数为2.      【分析】 （1）分别求出，，再表示出切线方程，根据切线方程即可得到定点； （2）设，分析得，代入的条件即可证明； （3）对分类讨论，分析的零点个数即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 易得的定义域为. ①若，则为增函数，且， 时，，故由零点存在定理，在上存在唯一零点， ②若，则，有，故不存在零点； ③若，先证明恒成立，当且仅当取等； 设，则有. ，有，且为增函数， 故在区间上，单调递减，在区间上，单调递增， 则即恒成立，当且仅当取等； （i）若，则， 时，由（2）知， 时，有， 故恒成立，不存在零点； （ii）若，则，， 因为，显然在上单调递增， 又因为，则在区间上，单调递减，在区间上，单调递增， 所以，故有唯一零点； (iii)若，则，且单调递增，，， 令，则， 则在上单调递增， 又因为，所以在上恒成立， 所以， 故在区间上存在唯一零点，且在区间上，，单调递减， 在上，，单调递增， 由，，可知在时，存在唯一零点， 因为， 因为， 则时，成立， 又因为， 故在时存在唯一零点， 故零点个数为2； 综上所述，时，零点个数为0， 时，零点个数为1， 时，零点个数为2. 7．【答案】（1） 曲线y=不为轴对称图形，理由如下： 若曲线为轴对称图形，存在直线对，都有， 即， 所以，对恒成立， 令，， 显然，当时，由指数爆炸模型，，，对恒成立不满足， 故曲线y=不为轴对称图形；     （2）（i） ； （ii）要证：，由， 即证：， 即， 令，由（i）知， 即证当时，恒成立， 令， 即证：在恒成立，注意到， ， ，且， 又由，知， ，且， 令，， 则，且， 令，， 则，当且仅当时等号成立， 则恒成立， 在单调递减，故， 在单调递减，故； 在单调递减，故， 故原不等式成立．      【分析】 （1）假设存在对称轴，即对，都有，进而整理化简得对恒成立，再根据指数爆炸增长，说明不恒成立即可. （2）（i）求导得，再多次求导后对进行分类讨论，最后利用隐零点法和零点存在性定理即可判断；（ii）等价转化为证明当时，恒成立，再次设新函数，多次求导，逐层传递即可证明. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： (i)，， 令，，则，， 令，，则，， 又，则， 则在上单调递增，即在上单调递增， ① 当时，，对恒成立， 在上单调递增，， 在上单调递增，， 在上无极值点，也没有零点，不满足题意； ② 当时，，又在上单调递增， 且当，，因此，使， 当时，单调递减， 当时，单调递增， ，又时，， 由零点存在性定理知：，使， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 在有唯一的极值点 又且当时，， 由零点存在性定理知：，使， 在有唯一的零点， 综上所述：，满足题意； （ii）略 考点04 导数的新定义 1．【答案】（1） 由题意得，化简得 令则，，当时，取得最小值， 即时取得最小值， 又，所以点是M在的“最近点”.     （2）存在，     （3）严格单调递减      【分析】 （1）由题意得，化简换元即可得解 （2）由题意得，通过求导可得该函数的单调性，进而求出点 再证明直线与切线垂直即可. （3）根据题意得到，对两等式化简得，再利用“最近点”的定义得到不等式组，即可证明，最后得到函数单调性. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由题意得，. 令，， 所以在上单调递增，又， 所以，，，，， 所以在单调递减，在单调递增， 所以时取得最小值，所以点，，，， 所以在处的切线方程为：.又， 所以存在点，它是M在的“最近点”，且直线与在点P处的切线垂直； (3) 小问详解： 设,， ，， 若对任意的，存在点P同时是，在的“最近点”， 设则既是的最小值点，也是的最小值点， 因为两个函数的定义域均为R，则也是两函数的极小值点，所以， 即 ，由化简得， 即，因为，所以 接下来证明，因为既是的最小值点，也是的最小值点，则， 即③ ， ④ 得 即，所以 ，解得， 则，因为的任意性，则严格单调递减. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 导数及其应用 4大高频考点概览 考点01 导数的概念、运算及其几何意义 考点02 导数在研究函数中的应用 考点03 导数的综合应用（与数列、不等式等的综合） 考点04 导数的新定义 考点01 导数的概念、运算及其几何意义 1．（25-26学年高三上·辽宁大连·期中）若曲线，在点处的切线分别为，且，则的值为 A.  B. 2 C.  D.  【答案】A 【详解】试题分析：因为，则f′（1）=，g′（1）=a，又曲线a在点P（1，1）处的切线相互垂直，所以f′（1）•g′（1）=-1，即，所以a=-2．故选A． 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程． 2．（25-26学年高三上·辽宁大连·期中）已知为函数的导函数，则的值为（       ） A. 2 B.  C. 0 D. 2025 【答案】B 【分析】 由对数的性质求出函数的定义域，再根据解析式得，并应用求导法则得，即可求值. 【详解】 由或，则函数的定义域为， 又， 所以，则， 综上，. 故选：B 3．（25-26学年高三上·辽宁营口·期中）若直线与曲线相切于点，其中，则（     ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【分析】 先求出，利用导数的几何意义求出，将切点代入，再解方程组即可得解. 【详解】 设，则， 则 ，则， 整理得， 解得或. 当时，，又，所以， 则. 故选：A. 考点02 导数在研究函数中的应用 1．（2026·辽宁七校协作体·联考）设函数，若，则a的最小值为（       ） A.  B.  C. 2 D. 1 【答案】B 【分析】 根据对数函数性质判断在不同区间的符号，在结合二次函数性质得为该二次函数的一个零点，结合恒成立列不等式求参数最值. 【详解】 函数定义域为，而，，， 要使，则二次函数，在上，在上， 所以为该二次函数的一个零点，易得， 则，且开口向上， 所以，只需，故a的最小值为. 故选：B 2．（25-26学年高三上·辽宁普通高中·期中）已知函数，则满足不等式的实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 构造函数，利用奇函数定义得到是奇函数，求导得到在上单调递减，将原不等式转化为，利用的奇偶性和单调性解不等式. 【详解】 设，的定义域为，关于原点对称， ，所以是奇函数， ，所以在上单调递减， 由得， 即，， 因为在上单调递减，所以，解得， 故选：C. 3．（25-26学年高三上·辽宁大连·期中）（多选）下列命题中，正确的有（     ） A. 已知关于的不等式的解是，则关于x的不等式的解为或 B. 已知是函数的最大值点，则 C. 在同一坐标系中，函数的图象和函数的图象有三个公共点； D. 若函数，函数与函数的图象关于直线对称，则函数的单调递减区间是 【答案】AB 【分析】 对A，根据条件，利用一元二次不等式得，从而得，即可求解；对B，利用辅助角公式及诱导公式，即可求解；对C，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，求出的单调区间，即可求解；对D，根据条件得，利用导数，即可求解. 【详解】 对于A，由题知，方程的解为或，且， 则 ，得到，则，等价于， 即，等价于，所以或，故A正确， 对于B，因为，其中， 由题知，得到， 所以，故B正确， 对于C，令，则恒成立，当且仅当时取等号， 所以在上单调递增，又，所以当时，，即， 当时，， 所以在同一坐标系中，函数的图象和函数的图象有一个公共点，故C错误， 对于D，由题知，所以， 由，得到， 令，则， 由，又，得到，解得， 所以的减区间为，故D错误， 故选：AB. 4．（25-26学年高三上·辽宁大连·期中）若函数有且只有一个极值点，则实数a的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 首先求导得到，根据题意得到方程有一个根大于0，一个根小于等于0，即可得到答案. 【详解】 ，定义域为，， 因为函数有且只有一个极值点， 所以方程有一个根大于0，一个根小于等于0， 所以 . 故选：C 5．（25-26学年高三上·辽宁沈阳·期中）已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据题意转化为，同构得到，通过构造得到原题意即存在，使得，再构造，研究最值即可求解. 【详解】 ， 即， 即， 构造，则在上单调递增， 因为，所以， 即存在，使得， 记， ，令，则， 所以在单调递减，在单调递增，， 因为，， 所以， 所以，所以， 所以 所以实数的取值范围是. 故选：B 【点睛】 关键点点睛：本题考查函数同构问题和存在性问题.关键点在于将原式进行变形转化，转化为，构造，得到，进而得到自变量的关系，再通过构造函数研究最值即可.本题考查了转化与化归能力、数学运算能力，属于中档题. 6．（25-26学年高三上·辽宁名校联盟·期中）（多选）已知函数，则下列结论正确的为（       ） A. 的图象在处的切线方程为 B. 在区间上有3个极值点 C. 的实数解有无穷多个 D. 在上恒成立 【答案】ACD 【分析】 利用导数的几何意义求切线方程，即可判断A，在区间上解方程，即可判断B，将方程，转化为，利用数形结合，即可判断C，区间上，利用不等式两边的正负，即可判断，区间上，构造函数，利用导数求函数的最小值，即可判断. 【详解】 对于A项，，所以在处的切线的斜率， 又，所以切线方程为，A项正确． 对于B项，，在区间上，令，得或或或，这4个根都是变号零点，所以有4个极值点，B项错误． 对于C项，，，即， 设，，如图，画出这两个函数的图象，由图象可知，两个函数的图象有无数个交点，所以的实数解有无穷多个，C项正确； 对于D项，在上，，，原式成立； 在上，令，则， 令，则恒成立， 所以在上单调递减，则，所以在上单调递减，所以，又，所以，所以，所以，D项正确． 故选：ACD 7．（25-26学年高三上·辽宁大连·期中）若函数对任意的都有成立，则与的大小关系为（     ） A.  B.  C.  D. 无法比较大小 【答案】B 【分析】 构造函数，然后求导数，由条件得到函数的单调性，利用函数单调性得到的不等式，化简不等式即可得到结果. 【详解】 ∵，即， 令，则 即在上单调递增， ∵ ∴，即， 则，即. 故选：B 8．（25-26学年高三上·辽宁辽西重点高·期中）（多选）已知函数，则（   ） A.  B. 是的极值点 C. 当时， D. 当时， 【答案】ACD 【分析】 直接求的值可判断选项A，利用导数分析函数的单调性，可判断选项B,C；分析函数的对称性并结合单调性可判断选项D. 【详解】 选项A：由题可知：，所以选项A正确； 选项B：由得函数的定义域为， 在上恒成立，所以函数单调递增，没有极值点，所以选项B错误； 选项C：当时，因为，所以，由选项B知，函数单调递增，所以，所以选项C正确； 选项D：因为函数， 所以， 所以，所以. 当时，，即，由选项B知函数单调递增，所以，所以所以选项D正确. 故选：ACD. 9．（25-26学年高三上·辽宁重点高中点·期中）（多选）记函数的导函数为，的导函数为，且，，定义域均为，若为偶函数，为奇函数，，且对任意的，，均有，则（       ） A. 为周期函数 B.  C.  D. 在区间上单调递减 【答案】ABD 【分析】 根据函数奇偶性以及对称性即可证明A正确，选取特殊值代入计算可得B正确，对函数求导并结合不等式恒成立得出函数极值可判断C错误，根据C中分析并结合周期性即可判断D正确. 【详解】 对于A，由题得，. 故，则， 可得，故周期为4，故A正确； 对于B，代入，，可得， 整理得，故B正确； 对于C，首先有恒成立，故恒成立， 又，则， 求导得，即，再求导得. 令，则等价于恒成立，又， 令即，即. 令，解得， 故，同时代入， 由有， 故为的最大值点，也为极大值点， 令的导函数为，则， 必有，否则使得在区间上恒正，与极大值点矛盾， 则，故，故C错误； 对于D，由，则取值范围为，故，， 故在区间单调递减， 且可得，故在上，单调递减， 由周期为4，且，故在区间上单调递减，故D正确. 故选：ABD. 10．（2026·辽宁七校协作体·联考）（多选）已知函数，则（     ） A. 在和上是单调递减函数 B. 当方程有且只有唯一实根时， C. 当不等式的正整数解恰有三个时， D. 当过点可作曲线的三条切线时，或或 【答案】ACD 【分析】 A项，求出单调性，即可得出结论；B项，根据函数单调性和在与的趋近值，处的值，即可得出结论；C项，将问题转化为的图象在上方的正整数解有3个的问题，求出相应的值，即可求出的范围；D项，设出切点，求出切线方程，代入得出一元二次方程，构造函数，利用判别式和在对称轴处即可求出的范围. 【详解】 A、B、C：由题意可得的定义域为， 对于函数，，，， 当时，解得或， 当即，时，函数单调递减， 当即时，函数单调递增， 所以在内单调递增，在，内单调递减，故A正确； 当时，，当时，，则， 作出相应图象，如下图， 当方程有个实根时， 所以或，即或，故B错误； 当不等式恰有三个不等的正整数解时， 的图象在上方的正整数解有3个， 因为，，，， 在，内单调递减，在内单调递增， 当即时，的图象在上方的正整数解为，故C正确； D：设切点为，则切线斜率， 切线方程为， 因为切线过点，所以， 当时，切线方程为，满足过点且与相切条件； 当时，得，即， 因为过点可作曲线的三条切线， 所以方程有两个不同的非零实根， 所以且，即且， 解得或或，故D正确. 故选：ACD. 11．（25-26学年高三上·辽宁沈阳·期中）已知函数 （1）求在处的切线方程； （2）求函数的单调区间； （3）在区间上有两个零点，求m的范围. 【答案】（1）     （2）单调递增区间，，单调递减区间.     （3）      【分析】 （1）利用导数的几何意义求函数在点处的切线方程. （2）求导，分析导函数的符号，可得函数的单调区间. （3）结合（2）的结论，转化为与在上有两个交点，数形结合，可求m的范围. (1) 小问详解： 因为，所以. 又，所以. 所以在处的切线方程为：即. (2) 小问详解： 因为. 由或；由. 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为. (3) 小问详解： 由（2）可知，函数在上单调递减，在上单调递增. 且，，. 所以在区间上有两个零点，即在上有两个解， 可得. 即的取值范围为： 12．（25-26学年高三上·辽宁大连·期中）已知函数，. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若在内的最大值为2，求的值. 【答案】（1）单调递增区间为，，单调递减区间为.     （2）      【分析】 （1）利用导数求函数的单调区间； （2）由函数在区间内的单调性求解函数的最大值，可得的值. (1) 小问详解： 函数的定义域为， 则， 当时， 令，解得：；令，解得：， 所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为. (2) 小问详解： ① 当时，在内恒成立，在内单调递增， 则，解得与矛盾； ② 当时，有，时；时， 所以在上单调递增，在上单调递减， ∴，即， 令，则， 则在上单调递减， 又，故； 综上，. 13．（25-26学年高三上·辽宁营口·期中）已知是函数的一个极值点. （1）求的值，并判断是的极大值点还是极小值点； （2）求曲线在点处的切线方程； （3）若对恒成立，求的取值范围.（提示：） 【答案】（1），极小值点     （2）     （3）      【分析】 （1）利用导数求出的极小值点可得答案；           （2）利用导数求出曲线在点处的切线方程的答案； （3）设，设，利用导数得出存在唯一的实数，使得，再利用，得出在上单调递增可得答案. (1) 小问详解： 因为，              所以，解得.              当时，，当时，，              所以是的极小值点； (2) 小问详解： 由（1）知，         因为，所以曲线在点处的切线方程为； (3) 小问详解： 设，则，      令 ，则 的导函数.设， 则，所以为增函数.              因为，        所以存在唯一的实数，使得. 当时，则，当时，，        所以在上单调递减，在上单调递增，且， 则，则， 所以在上单调递增.              又因为，所以，即的取值范围是. 14．（25-26学年高三上·辽宁名校联盟·期中）已知函数． （1）求在区间上的最值； （2）若过点存在条直线与曲线相切，求实数的取值范围． 【答案】（1）最大值是，最小值是     （2）      【分析】 （1）利用导数先判断出在上的单调性，然后可计算出最值； （2）设出切点坐标，表示出切线方程并代入点坐标，将切线条数问题转化为方程解的个数问题，构造新函数结合函数图象结果可求. (1) 小问详解： 函数，，， 当或时，，当时，， 函数在，上单调递增，在上单调递减， 又，，， 所以函数在区间上的最大值是，最小值是． (2) 小问详解： 设过点的直线与曲线相切的切点为， 由（1）得切线斜率，切线方程为， 由切线过点，得，整理得， 令，求导得， 当或时，，当时，， 函数在，上单调递减，在上单调递增， 函数在处取得极小值为，在处取得极大值为， 由过点存在条直线与曲线相切，得方程有个互不相同的解， 即直线与函数的图象有个交点， 观察图象得当时，直线与函数的图象有个交点， 所以实数的取值范围是． 15．（2026·辽宁七校协作体·联考）已知函数. （1）若时，求曲线在处切线的斜率； （2）求的单调区间； （3）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围. 【答案】（1）     （2）当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.     （3）      【分析】 （1）根据导数几何意义直接求解即可； （2）求导后，分别在和的情况下，根据的正负得到结论； （3）将问题转化为，由二次函数性质可求得，采用参变分离的方式可得，利用导数可求得的最小值，进而得到结果. (1) 小问详解： 当时，，则， ，在处切线的斜率为. (2) 小问详解： 由题意知：的定义域为，， ① 当时，，，， 在上单调递增； ② 当时，令，解得：， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. (3) 小问详解： 对任意，均存在，使得，； ，当时，， 在上恒成立，即在上恒成立，； 令，则， 令，解得：， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增，， ，即实数的取值范围为. 16．（25-26学年高三上·辽宁名校联盟）函数在上的最小值为　　　　　　　　　　. 【答案】2 【分析】 由 ，求出，结合导数研究函数在上的单调性即可求出其最小值. 【详解】 由题可得： ，解得： ， 所以，则，令,解得：， 令，解得：，令，解得：， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以 故答案为： 17．（25-26学年高三上·辽宁大连·期中）已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）若函数在上的最小值为，求实数m的值. 【答案】（1） 时，的单调增区间为；时，的单调减区间为，单调增区间为；     （2）.      【分析】 （1）分，两种情况结合正负性可得函数单调区间； （2）分，，三种情况结合在上的单调性可得答案. (1) 小问详解： 由题可得定义域为：.. 若，则在上单调递增； 若，则， 从而在上单调递减；在上单调递增. 综上，时，的单调增区间为；时，的单调减区间为，单调增区间为； (2) 小问详解： 由（1），若，则在上单调递增， 则此时，这与假设不符； 若，则在上单调递增， 则此时，这与假设不符. 若，则在上单调递减，在上单调递增， 则此时，符合假设. 若，则在上单调递减， 则此时，这与假设不符. 综上可得，实数m的值为. 18．（高三上·辽宁沈阳·期中）已知函数，. （1）若，求的单调区间； （2）若函数有两个极值点，且，求的取值范围. 【答案】（1） 函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.     （2）      【分析】 （1）求，求不等式，的解集，即可求解； （2）根据函数极值的个数得出，进而根据韦达定理得，再构造新函数，求导判断单调性，求新函数的最值即可求解. (1) 小问详解： 若，，定义域为， ， 由可得：或， 由可得：， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 综上，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为. (2) 小问详解： 定义域为， ， 令可得， 当即时，对于恒成立，所以在上单调递增，无极值； 当即时，由可得：， 由可得：或，由可得：， 所以在和上单调递增，在上单调递减，满足函数有两个极值点， 所以， 由可得，则， 由，可得， 所以， 所以 设， 则， 当时，，故单调递增， 当时，，故单调递减， 所以在处取得最大值， 又因为，， 所以， 故，故的取值范围为. 19．（25-26学年高三上·辽宁大连·期中）设函数，若存在使得既是的零点，也是的极值点，则的可能取值为　　　　　　　　　　　　　　. 【答案】（答案不唯一） 【分析】 对函数求导后，令导数为零，讨论方程的根，再根据零点的定义即可求值. 【详解】 由，得， 令，则或， 当时，由，得， 所以，则， 当时，由，得， 由，得或， 当时，不存在极值点， 当时，得， 综上，， 所以当时，. 故答案为：（答案不唯一）. 20．（25-26学年高三上·辽宁沈阳·期中）已知函数 ，函数，若函数恰有三个零点，则的取值范围是　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用导数分析函数的单调性，作出函数的大致图象，令可得，或，由条件结合图象可得的取值范围. 【详解】 当时，，所以， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 且，，， 当时，，当时，， 当时，与一次函数相比，函数增长速度更快， 从而， 当时，，所以， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 且，， 当时，，当时，， 当时，与对数函数相比，一次函数增长速度更快， 从而， 当，且时，， 根据以上信息，可作出函数的大致图象如下： 函数的零点个数与方程的解的个数一致， 方程，可化为， 所以或， 由图象可得没有解， 所以方程的解的个数与方程解的个数相等， 而方程的解的个数与函数的图象与函数的图象的交点个数相等， 由图可知：当时，函数的图象与函数的图象有3个交点. 故答案为：. 【点睛】 方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 21．（25-26学年高三上·辽宁重点高中点·期中）已知函数，. （1）求的单调区间； （2）证明：； （3）若曲线在点处的切线与曲线相切，求. 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为     （2）证明：设，， 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 故，即.     （3）      【分析】 （1）求出函数的导数，根据单调性与导数的关系，即可求得答案； （2）设，求出其导数，判断的单调性，即可证明结论； （3）根据导数的几何意义可得在点处的切线方程，设与曲线相切于点， 则可表示为，由此可得.设，利用导数判断函数单调性，可求出的值，即可求得答案. (1) 小问详解： 由题意得的定义域为，， 令，解得， 令，解得， 故的单调递减区间为，单调递增区间为. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： ，， 故曲线在点处的切线为， 即， 记与曲线相切于点，，， 则， 则可表示为，即， 于是 ，故 ， 即，即. 设，， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 故，故当且仅当时，. 于是，故. 22．（25-26学年高三上·辽宁重点高中点·期中）设为已知正数，记函数的最小值是关于的函数，则当取得最大值时，　　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 先根据分类讨论确定出的最小值点，由此可表示出的最小值，再将的最小值表示为关于最小值点的函数，利用导数求解出的最大值，由此可求解出的值. 【详解】 ，记，则， 若，则在上单调递增，且，， 所以存在，使得， 当，，则在上单调递减， 当，，则在上单调递增， 所以是的极小值点，也是最小值点； 若，当，，在上单调递减， 当，，在上单调递增， 又， 且又知， 所以存在，使得， 当，，则在上单调递减， 当，，则在上单调递增， 所以是的极小值点，也是最小值点； 由知，故， 记，则， 当， ，则在上单调递增， 当，，则在上单调递减， 所以， 即时，取得最大值，也即， 故答案为：. 23．（25-26学年高三上·辽宁名校联盟·期中）已知实数满足，，其中e为自然对数的底数，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据条件和，构造函数，利用函数单调递增得，代入化简即可求解. 【详解】 且，且， 故，构造函数，则， 所以在上单调递增，所以，所以． 故答案为： 24．（25-26学年高三上·辽宁大连·期中）设函数. （1）若，求函数的极值； （2）设函数在上有两个零点，求实数的取值范围.（其中e是自然对数的底数） 【答案】（1）极小值，无极大值     （2）      【分析】 （1）由题可得，然后求导求出函数的单调区间，即可求解； （2）令，化简得到，令，，则得函数与在上有两个交点，再利用导数求得图象，即可求解. (1) 小问详解： 当时，，， ，令，解得（舍），， 当时，；当时，； 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以当时，取到极小值， 综上所述：函数有极小值，无极大值. (2) 小问详解： 令，解得，因， 所以，令，， 则得函数与在上有两个交点， ，令，， 则，所以在上单调递增，又因为， 所以当时，，； 当时，，； 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以当时，取到极小值， 又，则可作出相应图象，如下图， 所以可得，解得， 故实数的取值范围. 考点03 导数的综合应用（与数列、不等式等的综合） 1．（25-26学年高三上·辽宁营口·期中）已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，若，且，证明：. 【答案】（1） 当时，在上单调递增.              当时，在上单调递减，       在上单调递增.     （2） 当时，由（1）可得在和上单调递增， 在上单调递减，                     所以.              设，则， 则在上恒成立，即在上单调递增， 故，即在上恒成立.        因为，所以.        因为，且在上单调递减， 所以，即.              设， 则 则在上恒成立，即在上单调递增， 故，即在上恒成立.        因为，所以.        因为，且在上单调递增， 所以，即.              又，所以，则，即.      【分析】 （1）求导，分或两种情况，结合导数符号判断函数单调性； （2）利用极值点偏移分别证明，，然后两个不等式作差可得答案. (1) 小问详解： 由题意可得.        设方程. 当，即时，，              则在上单调递增.              当且，即时，方程的两根均大于0， 令，得， 则在上单调递减，        令，得或， 则在上单调递增. (2) 小问详解： 略 2．（25-26学年高三上·辽宁普通高中·期中）已知函数，其中为自然对数的底数，. （1）当时，函数有极小值，求； （2）证明：恒成立； （3）证明：. 【答案】（1）     （2） 证明：不等式恒成立，即恒成立， 设，则， 易知是定义域上的增函数，又， 则在上有一个根，即 当时，，当时，， 此时在单调递减，在单调递增， 的最小值为， ， ， ， 恒成立，故结论成立.     （3） 证明：由（2）知，，令， 则. 由此可知，当时，， 当时，， 当时，， ， 当时，， 累加得： ， 又， 所以.      【分析】 （1）求导，求极值点，讨论函数单调性，找到极小值即可解决问题； （2）不等式恒成立，即恒成立， 设，构造新函数求导利用函数导数单调性进行分析即可证明结论. （3）由（2）知，，令，则 从而有，由的不同值，分别写出不等式，然后累加，结合等比数列求和进行放缩，分析得到结论. (1) 小问详解： ，令，解得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以有极小值， 所以，即. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 【点睛】 函数与导数综合简答题常常以压轴题的形式出现， 难度相当大，主要考向有以下几点： 1.求函数的单调区间（含参数）或判断函数（含参数）的单调性； 2.求函数在某点处的切线方程，或知道切线方程求参数； 3.求函数的极值（最值）； 4.求函数的零点（零点个数），或知道零点个数求参数的取值范围； 5.证明不等式； 解决方法：对函数进行求导，结合函数导数与函数的单调性等性质解决， 在证明不等式或求参数取值范围时，通常会对函数进行参变分离，构造新函数， 对新函数求导再结合导数与单调性等解决. 3．（25-26学年高三上·辽宁普通高中·期中）已知函数. （1）当时，求函数在的最小值； （2）当时，求函数在的最大值； （3）求证：对，都有. 【答案】（1）当时，， 当时，， 当时，     （2）0     （3）证明：由（2）知，当，时，，即， 令，则 ， 令，① ，② ①② 可得：， 化简得：， 所以， 当或2时，， 则成立 当时，， 则成立； 当时，， 所以， 综上：对，都有，得证.      【分析】 （1）求出，分类讨论和时，的正负，得到函数的单调区间，从而求出函数在的最小值； （2）当时，，得到在上单调递减，从而； （3）由（2）知， ，得到，求出，分以及可证明结论. (1) 小问详解： 由题可得，因为，所以， 当时，，所以函数在上单调递增，， 当时，令，即， 因为在上单调递减，所以存在唯一的，使得， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 由于，， 当，即时，， 当，即时，， 综上，当时，， 当时，， 当时， (2) 小问详解： 由题可得，因为时，， 当，，等号仅在某些特殊值时取得，所以在上单调递减， 所以 (3) 小问详解： 略 4．（25-26学年高三上·辽宁辽西重点高·期中）已知函数. （1）求函数的值域； （2）若对任意的，都有，求实数的取值范围； （3）设，且，证明：. 【答案】（1）     （2）      （3） 当时，由（2）得， 对任意的，有，即， 因此（，且），即， 设，，则， 令，， 则，可得在区间上单调递减， 所以， 所以在区间上单调递减，所以， 所以当时，， 可得当且时，， 所以， 因此，.      【分析】 （1）先求出为函数的一个正周期，接着利用导数求解时的值域即可； （2）记，求其导数，因为，由，解得，分和分别讨论函数单调性，从而分析不等式是否恒成立； （3）当时，由（2）得，对任意的，有，因此（，且），即，令，，利用导数证明，进而得，即可得证. (1) 小问详解： 因为， 所以为函数的一个正周期，所以可求时的值域， 对求导得， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 又，，，， 所以函数的值域为； (2) 小问详解： 记， ， 因为，由，解得， 当时，，因此在区间上单调递减， 所以，即在区间上恒成立， 当时，存在，使得当时，，因此在区间上单调递增， 当时，，即在区间上不恒成立， 故实数的取值范围为. (3) 小问详解： 略 5．（25-26学年高三上·辽宁沈阳·期中）已知函数． （1）当时，求函数的极值； （2）当时，，求a的取值范围； （3）求证：． 【答案】（1）极大值，无极小值；     （2）；     （3）证明：由（2）得，当时，，所以． 当时，，所以． 令，得，即． 所以， 即．      【分析】 （1）求定义域，求导，得到函数单调性，从而求出的极值情况； （2）求导，分，和三种情况，结合放缩法，进而得到的单调性，最终得到答案； （3）由（2）得，当时，，所以，令，得，所以. (1) 小问详解： 当时，，定义域为， ， 由，得；由，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以函数有极大值，无极小值． (2) 小问详解： 由题意得，． ① 当时，， 令，则， 当时，，则在上单调递增， 所以，所以当时，， 所以，所以在上单调递增， 所以，所以满足题意． ② 当时，令， 所以当时，，所以在上单调递减， 又，所以当时，，所以在上单调递减， 所以，所以不符合题意． ③ 当时，，所以在上单调递减， 所以，所以不符合题意． 综上，实数a的取值范围是． (3) 小问详解： 略 6．（25-26学年高三上·辽宁重点高中点·期中）已知函数，曲线在处的切线为. （1）证明：过轴上的定点； （2）证明：若，则，； （3）讨论的零点个数. 【答案】（1）证明：由题意得， 则，且， 故切线的方程为， 即，即， 易得过轴上的定点.     （2）证明：设，则为增函数，且， 故，有，即， 且时，，故，即     （3）时，零点个数为0， 时，零点个数为1， 时，零点个数为2.      【分析】 （1）分别求出，，再表示出切线方程，根据切线方程即可得到定点； （2）设，分析得，代入的条件即可证明； （3）对分类讨论，分析的零点个数即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 易得的定义域为. ①若，则为增函数，且， 时，，故由零点存在定理，在上存在唯一零点， ②若，则，有，故不存在零点； ③若，先证明恒成立，当且仅当取等； 设，则有. ，有，且为增函数， 故在区间上，单调递减，在区间上，单调递增， 则即恒成立，当且仅当取等； （i）若，则， 时，由（2）知， 时，有， 故恒成立，不存在零点； （ii）若，则，， 因为，显然在上单调递增， 又因为，则在区间上，单调递减，在区间上，单调递增， 所以，故有唯一零点； (iii)若，则，且单调递增，，， 令，则， 则在上单调递增， 又因为，所以在上恒成立， 所以， 故在区间上存在唯一零点，且在区间上，，单调递减， 在上，，单调递增， 由，，可知在时，存在唯一零点， 因为， 因为， 则时，成立， 又因为， 故在时存在唯一零点， 故零点个数为2； 综上所述，时，零点个数为0， 时，零点个数为1， 时，零点个数为2. 7．（25-26学年高三上·辽宁名校联盟）已知函数． （1）请判断曲线是否可以为轴对称图形，并说明理由； （2）若在区间上有唯一的极值点和零点分别为． （i）求实数的取值范围； （ii）证明：． 【答案】（1） 曲线y=不为轴对称图形，理由如下： 若曲线为轴对称图形，存在直线对，都有， 即， 所以，对恒成立， 令，， 显然，当时，由指数爆炸模型，，，对恒成立不满足， 故曲线y=不为轴对称图形；     （2）（i） ； （ii）要证：，由， 即证：， 即， 令，由（i）知， 即证当时，恒成立， 令， 即证：在恒成立，注意到， ， ，且， 又由，知， ，且， 令，， 则，且， 令，， 则，当且仅当时等号成立， 则恒成立， 在单调递减，故， 在单调递减，故； 在单调递减，故， 故原不等式成立．      【分析】 （1）假设存在对称轴，即对，都有，进而整理化简得对恒成立，再根据指数爆炸增长，说明不恒成立即可. （2）（i）求导得，再多次求导后对进行分类讨论，最后利用隐零点法和零点存在性定理即可判断；（ii）等价转化为证明当时，恒成立，再次设新函数，多次求导，逐层传递即可证明. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： (i)，， 令，，则，， 令，，则，， 又，则， 则在上单调递增，即在上单调递增， ① 当时，，对恒成立， 在上单调递增，， 在上单调递增，， 在上无极值点，也没有零点，不满足题意； ② 当时，，又在上单调递增， 且当，，因此，使， 当时，单调递减， 当时，单调递增， ，又时，， 由零点存在性定理知：，使， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 在有唯一的极值点 又且当时，， 由零点存在性定理知：，使， 在有唯一的零点， 综上所述：，满足题意； （ii）略 考点04 导数的新定义 1．（25-26学年高三上·辽宁大连·期中）对于一个函数和一个点，令，若是取到最小值的点，则称P是M在的“最近点”． （1）对于，求证：对于点，存在点P，使得点P是M在的“最近点”； （2）对于，，请判断是否存在一个点P，它是M在的“最近点”，且直线与在点P处的切线垂直； （3）已知在定义域R上存在导函数，且函数在定义域R上恒正，设点，．若对任意的，存在点P同时是，在的“最近点”，试判断的单调性． 【答案】（1） 由题意得，化简得 令则，，当时，取得最小值， 即时取得最小值， 又，所以点是M在的“最近点”.     （2）存在，     （3）严格单调递减      【分析】 （1）由题意得，化简换元即可得解 （2）由题意得，通过求导可得该函数的单调性，进而求出点 再证明直线与切线垂直即可. （3）根据题意得到，对两等式化简得，再利用“最近点”的定义得到不等式组，即可证明，最后得到函数单调性. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由题意得，. 令，， 所以在上单调递增，又， 所以，，，，， 所以在单调递减，在单调递增， 所以时取得最小值，所以点，，，， 所以在处的切线方程为：.又， 所以存在点，它是M在的“最近点”，且直线与在点P处的切线垂直； (3) 小问详解： 设,， ，， 若对任意的，存在点P同时是，在的“最近点”， 设则既是的最小值点，也是的最小值点， 因为两个函数的定义域均为R，则也是两函数的极小值点，所以， 即 ，由化简得， 即，因为，所以 接下来证明，因为既是的最小值点，也是的最小值点，则， 即③ ， ④ 得 即，所以 ，解得， 则，因为的任意性，则严格单调递减. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 导数及其应用 4大高频考点概览 考点01 导数的概念、运算及其几何意义 考点02 导数在研究函数中的应用 考点03 导数的综合应用（与数列、不等式等的综合） 考点04 导数的新定义 考点01 导数的概念、运算及其几何意义 1．（25-26学年高三上·辽宁大连·期中）若曲线，在点处的切线分别为，且，则的值为 A.  B. 2 C.  D.  2．（25-26学年高三上·辽宁大连·期中）已知为函数的导函数，则的值为（       ） A. 2 B.  C. 0 D. 2025 3．（25-26学年高三上·辽宁营口·期中）若直线与曲线相切于点，其中，则（     ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 考点02 导数在研究函数中的应用 1．（2026·辽宁七校协作体·联考）设函数，若，则a的最小值为（       ） A.  B.  C. 2 D. 1 2．（25-26学年高三上·辽宁普通高中·期中）已知函数，则满足不等式的实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高三上·辽宁大连·期中）（多选）下列命题中，正确的有（     ） A. 已知关于的不等式的解是，则关于x的不等式的解为或 B. 已知是函数的最大值点，则 C. 在同一坐标系中，函数的图象和函数的图象有三个公共点； D. 若函数，函数与函数的图象关于直线对称，则函数的单调递减区间是 4．（25-26学年高三上·辽宁大连·期中）若函数有且只有一个极值点，则实数a的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高三上·辽宁沈阳·期中）已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高三上·辽宁名校联盟·期中）（多选）已知函数，则下列结论正确的为（       ） A. 的图象在处的切线方程为 B. 在区间上有3个极值点 C. 的实数解有无穷多个 D. 在上恒成立 7．（25-26学年高三上·辽宁大连·期中）若函数对任意的都有成立，则与的大小关系为（     ） A.  B.  C.  D. 无法比较大小 8．（25-26学年高三上·辽宁辽西重点高·期中）（多选）已知函数，则（   ） A.  B. 是的极值点 C. 当时， D. 当时， 9．（25-26学年高三上·辽宁重点高中点·期中）（多选）记函数的导函数为，的导函数为，且，，定义域均为，若为偶函数，为奇函数，，且对任意的，，均有，则（       ） A. 为周期函数 B.  C.  D. 在区间上单调递减 10．（2026·辽宁七校协作体·联考）（多选）已知函数，则（     ） A. 在和上是单调递减函数 B. 当方程有且只有唯一实根时， C. 当不等式的正整数解恰有三个时， D. 当过点可作曲线的三条切线时，或或 11．（25-26学年高三上·辽宁沈阳·期中）已知函数 （1）求在处的切线方程； （2）求函数的单调区间； （3）在区间上有两个零点，求m的范围. 12．（25-26学年高三上·辽宁大连·期中）已知函数，. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若在内的最大值为2，求的值. 13．（25-26学年高三上·辽宁营口·期中）已知是函数的一个极值点. （1）求的值，并判断是的极大值点还是极小值点； （2）求曲线在点处的切线方程； （3）若对恒成立，求的取值范围.（提示：） 14．（25-26学年高三上·辽宁名校联盟·期中）已知函数． （1）求在区间上的最值； （2）若过点存在条直线与曲线相切，求实数的取值范围． 15．（2026·辽宁七校协作体·联考）已知函数. （1）若时，求曲线在处切线的斜率； （2）求的单调区间； （3）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围. 16．（25-26学年高三上·辽宁名校联盟）函数在上的最小值为　　　　　　　　　　. 17．（25-26学年高三上·辽宁大连·期中）已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）若函数在上的最小值为，求实数m的值. 18．（高三上·辽宁沈阳·期中）已知函数，. （1）若，求的单调区间； （2）若函数有两个极值点，且，求的取值范围. 19．（25-26学年高三上·辽宁大连·期中）设函数，若存在使得既是的零点，也是的极值点，则的可能取值为　　　　　　　　　　　　　　. 20．（25-26学年高三上·辽宁沈阳·期中）已知函数 ，函数，若函数恰有三个零点，则的取值范围是　　　　　　. 21．（25-26学年高三上·辽宁重点高中点·期中）已知函数，. （1）求的单调区间； （2）证明：； （3）若曲线在点处的切线与曲线相切，求. 22．（25-26学年高三上·辽宁重点高中点·期中）设为已知正数，记函数的最小值是关于的函数，则当取得最大值时，　　　　　　　　　　　　. 23．（25-26学年高三上·辽宁名校联盟·期中）已知实数满足，，其中e为自然对数的底数，则　　　　　　． 24．（25-26学年高三上·辽宁大连·期中）设函数. （1）若，求函数的极值； （2）设函数在上有两个零点，求实数的取值范围.（其中e是自然对数的底数） 考点03 导数的综合应用（与数列、不等式等的综合） 1．（25-26学年高三上·辽宁营口·期中）已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，若，且，证明：. 2．（25-26学年高三上·辽宁普通高中·期中）已知函数，其中为自然对数的底数，. （1）当时，函数有极小值，求； （2）证明：恒成立； （3）证明：. 3．（25-26学年高三上·辽宁普通高中·期中）已知函数. （1）当时，求函数在的最小值； （2）当时，求函数在的最大值； （3）求证：对，都有. 4．（25-26学年高三上·辽宁辽西重点高·期中）已知函数. （1）求函数的值域； （2）若对任意的，都有，求实数的取值范围； （3）设，且，证明：. 5．（25-26学年高三上·辽宁沈阳·期中）已知函数． （1）当时，求函数的极值； （2）当时，，求a的取值范围； （3）求证：． 6．（25-26学年高三上·辽宁重点高中点·期中）已知函数，曲线在处的切线为. （1）证明：过轴上的定点； （2）证明：若，则，； （3）讨论的零点个数. 7．（25-26学年高三上·辽宁名校联盟）已知函数． （1）请判断曲线是否可以为轴对称图形，并说明理由； （2）若在区间上有唯一的极值点和零点分别为． （i）求实数的取值范围； （ii）证明：． 考点04 导数的新定义 1．（25-26学年高三上·辽宁大连·期中）对于一个函数和一个点，令，若是取到最小值的点，则称P是M在的“最近点”． （1）对于，求证：对于点，存在点P，使得点P是M在的“最近点”； （2）对于，，请判断是否存在一个点P，它是M在的“最近点”，且直线与在点P处的切线垂直； （3）已知在定义域R上存在导函数，且函数在定义域R上恒正，设点，．若对任意的，存在点P同时是，在的“最近点”，试判断的单调性． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $