数学(五)函数的图象、函数与方程、函数模型及应用-【衡水金卷·先享题】2026-2027学年高三数学一轮复习周测卷

数学（五）函数的图象、函数与方程、函数模型及应用 (建议用时120分钟，满分150分) 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 1.函数f(x)=一log2x一x2十4的零点所在区间是 A.(4,5) B.(3,4) C.(2,3) D.(1,2) 2.已知函数f(x)= 6 -lnx,若xo是函数f(x)的零点，且0<x1<xo,则f(x1)的值 A.恒为正数 B.等于0 C.恒为负数 D.不能确定正负 3.用二分法求函数f(x)=lx十2x-6在(2,3)内的零点近似值，若精确度要求为0.1，则需重复 相同步骤的次数至少为 A.3 B.4 C.5 D.6 4.已知x=1是函数f(x)=(x-a)(2x-b)一1的零点，若a>1,b>2,则a十b的最小值为 A.7 B.6 C.4 D.5 5.牛顿冷却定律是牛顿在1701年用实验确定的：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为 01℃，环境温度为0，℃，则t分钟后物体的温度0（单位：℃）满足：0=0。十(01一0)e:.已知环境 温度为20℃，一块面包从温度为140℃的烤箱里拿出，经过10分钟温度降至80℃，那么大约 再经过( )分钟，温度降至35℃. A.10 B.20 C.30 D.40 6.设函数f(x)=x3-3x,则方程f(x)=1的所有解之和为 A.-1 B.0 C.1 D.3 7.已知函数f(x)=2x·log2(2x-2)-1,g(x)=3x·1og3(3x-3)-1,h(x)=log(5.x-5)-5 的零点分别为a,b,c,则a,b,c的大小顺序为 A.abc B.a>c>b C.b>a>c D.c>b>a -x2-2x+2,x0 8.已知函数f(x)= 若函数g(x)=f(x)一af(x)+6有8个不同的零点，则 (In z,x>0 实数a的取值范围是 A.(26,5 B.（26,5) C.(4,5] D.(4,5) 数学（五）第1页（共4页） 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)在（一∞，0）内单调递减，则函数y=f(x十1) +1的图象可能是 2 A 10.下列说法正确的是 A.函数f(x)=x2+2√5x十5可以用二分法求零点的近似值 B.已知x1,x2分别是函数f(x)=e十x-2,g(x)=lnx十x一2的零点，则e1十lnx2=2 C若函数)=a(侵 十b的图象过原点，且无限接近直线y=2但又不与该直线相交，则函 数g(x)=f(x)-1的零点为1，一1 D.若直线y=2a与函数f(x)=。-1川的图象有两个公共点，则实数a的取值范围是(0,2) 11.若直角坐标平面内两点P,Q满足条件：①P,Q都在函数y=f(x)的图象上；②P,Q关于原点 对称，则称(P,Q)是关于函数y=f(x)的一个“伙伴点组”（点组(P,Q)和点组(Q,P)看作同一 个“伙伴点组”)，则下列函数中，“伙伴点组”的个数为0的函数是 (x3,x>0 A.f(x)= B.f(x) 2x-1,x>0 -x—1,x0 x2+3x+2,x<0 x>0 1 C.f(x)= 3.x+2x>0 /11 D.f(x)= 2/x<0 le ,x<0 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 答案 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.若函数f(x)=mx2-2x十1有两个零点x1,x2,且x1<1,x2>1,则实数m的取值范围 为 13.若m满足e十x=2,n满足e3-x-x=-1,则m十n= 14.设y=f(x)是定义在R上的偶函数，对Hx∈R,都有f(一x)=f(x十4)，且当x∈[-2,0]时， f(x)=(份广-1.设g()=fx)-1og.(x+2)(a>1),若函数y=g(x)在区间(-2,6上恰有 3个不同的零点，则实数a的取值范围是 数学（五）第2页（共4页） 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 已知幂函数f(x)=(m2+m一5)xm(m∈R)是定义在R上的偶函数. (1)求函数f(x)的解析式； (2)当x∈[片27时求函数gx)=fogx）-210g[f(x)1+3的零点个数。 16.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=ax2-(2a+1)x+2. (1)当a=-1时，求f(x)的零点； (2)“若f(x)在区间(0,3)内恰有一个零点，求实数α的取值范围”.某同学给出了如下解答：由 f0)f(3)=2(3u一1)<0，解得a<分所以，实数a的取值范围是(-0，号)上述解答正确吗？ 若不正确，请说明理由，并给出正确的解答. 17.(本小题满分15分) 低碳环保的新能源汽车逐渐走进千家万户.新能源汽车采用非常规的车用燃料作为动力来源， 目前比较常见的主要有两种：混合动力汽车、纯电动汽车.为了提高生产质量，有关部门在国道 上对某型号纯电动汽车进行测试，已知国道限速80k/h.经数次测试，得到纯电动汽车每小 时耗电量Q(单位：Wh)与速度x(单位：km/h)的部分数据如下表所示： 0 10 40 60 Q 0 825 2400 4200 为了描述该纯电动汽车在国道上行驶时每小时耗电量Q与速度x的关系，现有以下三种函数模 型供选择：①Q(x)=0r+b+c:②Q(x)=100·(号+a:③Q.(x)=301cg.x+6 (1)当0≤x≤80时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（不需说明理由），并求出 相应的函数表达式； (2)现有一辆同型号纯电动汽车在甲、乙两地间的国道上匀速行驶，其中甲、乙两地间国道长度 为30k,求车速为多少时，该车辆的总耗电量最少，最少总耗电量为多少？ 数学（五）第3页（共4页） 18.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=a(x2-4x)+1十，1（其中a为常数）. T4-7 (1)当a=0时，求函数f(x)在(0,4)上的最小值； (2)证明：函数f(x十2)为偶函数； (3)若对于任意m∈(1,2)，关于x的方程f(x)+m=0在(0,4)上有解，求实数a的取值范围. 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=xx一a十2x. (1)当a=3时，写出函数f(x)的单调递增区间； (2)求所有实数Q,使得对任意x∈[1,2]时，函数f(x)的图象总在g(x)=2x十1的图象下方； (3)若存在a∈[-2,4]，使得关于x的方程f(x)=tf(a)有三个不相等的实数根，求t的取值 范围. 数学（五）第4页（共4页） 2·数学· 数学（五） 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I,抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ.空间想象能力V.数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) Ⅲ ① ②③④ ⑥ 档次 系数 判断零点所在的 1 选择题 5 易 0.85 区间 函数的性质与函数 选择题 易 0.75 的零点 二分法求方程近 3 选择题 5 似解 L 易 0.72 根据零点求函数解 4 选择题 5 析式中的参数、条件 / 中 0.68 等式求最值 利用指数型模型解 5 选择题 5 中 0.65 决实际问题 6 函数奇偶性、求零点 选择题 中 的和 0.60 指、对数函数图象的 7 选择题 应用、函数与方程的 L 中 0.55 综合应用 分段函数的性质及 8 选择题 5 应用、根据函数零点 / / 中 0.40 的个数求参数范围 9 选择题 6 函数图象的识别 易 0.72 函数与方程、函数图 10 选择题 6 分 0.65 象综合 函数新定义、函数图 11 选择题 6 象的应用、函数与方 中 0.40 程的综合应用 二次函数零点的 12 填空题 5 易 0.80 分布 指数函数的性质综 13 填空题 5 中 0.65 合，求零点的和 ·23· ·数学· 参考答案及解析 函数周期性的应用、 14 填空题 5 函数的奇偶性、函数 / 中 0.50 的零点 15 解答题 13 函数零点的个数 易 0.75 求函数的零点、根据 16 解答题 15 函数零点的个数求 中 0.68 参数范围 17 利用给定函数模型 解答题 15 中 0.60 解决实际问题 奇偶性、根据二次函 18 解答题 17 数零点的分布求参 中 0.55 数的范围 函数不等式恒成立 19 解答题 17 问题、函数图象、零 难 0.28 点的综合 春考答案及解析 一、选择题 偶函数，其图象关于y轴对称，因为f(0)=0≠1，所 1.D【解析】因为f(x)=-log2x一x2十4在 以x=0不是方程的解，若x。为方程f(x)=1的解， (0,十∞)上单调递减，而f(1)=3>0,f(2)=-1< 则f(x)=1,由f(x)为偶函数可知，f(-xo)= 0,所以函数的零点所在区间是(1,2).故选D. f(x)=1,所以一x。也是方程的解，因此，方程的非 2.A【解析】：函数f)=(合）厂-lhnx在0，十∞) 零解成对出现，其和为0，故方程∫(x)=1的所有解 之和为0.故选B. 上单调递减，且x。是函数f(x)的零点，f(xo)= 7.A【解析】令f(x)=0,则log(2x-2)=2,化 0,在(0，x6)上，有f(x)>0,0<x1<x, 简得1og22十log2(x-1)=2,即1og2(x-1)=2 ∴.f(x1)>0.故选A -1,换底后得到1g(x-1)=lg2×(2x-1);令 3.B【解析】原始区间长度为3一2=1，第一次，区间长 g(x)=0,则log:(3x-3)=3x,化简得log3十 度减半，为0.5>0.1，第二次，区间长度减半，为0.25 log(x-1)=3,即log8(x-1)=3x-1,换底后 >0.1,第三次，区间长度减半，为0.125>0.1，第四 得到1g(x-1)=1g3×(3-1):令h（x)=0,则 次，区间长度减半，为0.0625<0.1，故至少需要重复 1og(5.x-5)=5x,化简得1og5十log:(x-1)= 四次.故选B. 5x,即10g(x-1)=5x-1,换底后得到1g(x-1) 4.D【解析】由题意得(1-a)(2-b)=1,即(a-1)(b =lg5×(5x一1)，分别画出它们的图象，如图，由图 -2)=1,则a+b=(a-1)十(b-2)十3≥ 可以看出a>b>c.故选A. 2/(a-1)(b-2)+3=5,当且仅当a-1=b-2=1 y 时取等号，所以a十b的最小值为5.故选D. y=lg3(3x-1) 5.B【解析】由已知0=0。十(0一a)e:,又环境温度 y=1g5(5x-1) 为20℃，一块面包从温度为140℃的烤箱里拿出，经 过10分钟温度降为80℃，即0=20,01=140,0=80， y=1g2(2-x1) t=10,代入可知80=20十(140-20)e1,则e= 1i cba2 2,设再经过t分钟，温度可由80℃降为35℃，即35 =20十(80-20)e:,即e“=4=22=e20k,即t=20. 故选B. ly=lg(x-1) 6.B【解析】因为f(-x)=|(-x)3-3(-x)|= 8.B【解析】根据对数函数与二次函数的图象与性质 |-x3+3x|=|x3-3x|=f(x),所以函数f(x)为 可作出f(x)的大致图象如下： ·24· ·数学· 2 象如图所示， .y=3 y2..… y= y=f切 ly=f(x) 设f(x)=t,则y=一at十6有8个不同的零点，需 t一at十6=0有两个不同的根t1,t,不妨设ti<t, 当0<a<1时，函数f(x)=|a一1的图象下图 同时f(x)=t,f(x)=t2分别对应4个根，若t, 所示， △=a2-24>0 ∈(2,3)，即t1十t2=a ,则t1十t2=a>0,∴.a≥ t1t2=6 2na- (6-2a十4>0 6-3a+9>0'解 y-f(x) 之得2√6<a<5.若ti1=2,则仍需t2∈(2,3)，此时a =5,t2=3,不符合题意，舍去，综上2√6<a<5.故 选B. 二、选择题 则当0<2a<1时，直线y=2a与函数∫(x)= 9.AC【解析】令g(x)=f(|x十1|)+1，其中x∈ R,则g(-1-x)=f(|-1-x+1|)+1= [。一1川的图象有两个公共点，所以0<a<宁，实 f(|x|)+1,g(-1+x)=f(|-1+x+1|)+1= f(|x|)十1，则g(-1-x)=g(-1十x),故函数 数u的取值范围是(o,号)，故D正确，故选BCD. g(x)=f(|x十1|)+1的图象关于直线x=-1对 11.CD【解析】对于A,函数y=一x-1(x<0)关于 称，排除B选项；因为函数∫(x)是定义在R上的奇 原点对称的函数为-y=x一1，即y=一x十1，在x 函数，且函数f(x)在（一○，0）上单调递减，故函数 >0上作出两个函数的图象如图， f(x)在(0，十o∞)上单调递减，故当x>-1时，x十1 y >0,此时g(x)=f(x十1)十1，故函数g(x)在 (一1，十o)上单调递减，排除D选项.故选AC 10.BCD【解析】对于A,因为f(x)=x2+2√5x十5 =(x十√5)≥0，故不能用二分法求零点的近似值， 放A格说对于B由题在知：”，所以 x1x分别为y=e、y=lnx与直线y=2-x交点 的横坐标，因为y=e与y=lnx关于直线y=x对 由图象可知两个函数在x>0上的交点个数只有一 称，y=2-正关于直线y=x对称，由y2‘得 个，所以函数∫(x)的“伙伴点组”有1个，不满足条 y=x 件；对于B,函数y=x2十3x十2(x<0)关于原点对 =1所以1十西=2，所以e1+n=2-西十2 |x=1 称的函数为-y=x2-3.x十2，即y=-x2十3x-2, 在x>0上作出两个函数的图象如图， 一x2=4一(x1十x2)=2,故B正确；对于C,根据题 y 意可得f(0)=a()°十6=0>a十6=0，根据 f(x)的图象与y=2无限接近，且不相交，所以b= 2,故a=-2,因此f(x)=-2(3）”+2,令g(x) =fx)-1=0.则f)=1,放1=-2（号）+2 →（分）=子，故小=1，解得x=士1，故C正 确：对于D,当a>1时，函数(x)=a-1|的图 由图象可知两个函数在x>0上的交点个数恰有两 ·25· ·数学· 参考答案及解析 个，所以函数∫(x)的“伙伴点组”有2个，不满足条 解得4<a<2. 件：对于C,函数y=(）厂关于原点对称的函数为 同的交点，所以log(2+2)<3 log。(6+2)>3 y -y=(侵)）‘，即y=一2，在x>0上作出两个函 y=log (x+2) 数的图象如图， (x) 四、解答题 15.解：(1)因为f(x)=(m2十m-5)xm(m∈R)是幂 函数， 故m2+m-5=1, 解得m=-3或2， (3分) 由图象可知两个函数在x>0上的交点个数有0个， 当m=-3时，f(x)=x3, 所以函数f(x)的“伙伴点组”有0个，满足条件；对 其定义域为(-∞，0)U(0,十∞)， 于D,函数y=ex(x<0)关于原点对称的函数为 且∫(-x)=(-x)-3=-x3=-f(x), 一y=e,即y=一e,在x>0上作出两个函数的图 即函数为奇函数，不符合题意； (4分) 象如图， 当m=2时，f(x)=x,函数为偶函数，符合题意， 所以函数f(x)的解析式为f(x)=x.(5分) (2)由(1)知f(x)=x2, 则g(x)=(logx)2-2log4x2十3 =(ogx)-4ogx+3,e[分27]， 令g(x)=0,即(1ogx)2-4logx=-3, 令logx=t,t∈[-1,3]， 即2-4t+3=0. (8分) 解得t=1或3，均在[-1,3]内， 所以x=3或27， 由图象可知两个函数在x>0上的交点个数有0个， 即函数g(x)有2个零点. (13分) 所以函数f(x)的“伙伴点组”有0个，满足条件.故 16.解：(1)当a=-1时，f(x)=-x2+x+2, 选CD. 令f(x)=0,解得x=2或x=-1, 三、填空题 所以函数f(x)的零点为-1,2. (4分) 12.(0,1)【解析】由题意得mf(1)<0,即m(m-1) (2)上述解答不正确. <0,解得0<m<1. 当a=0时，f(x)=-x十2， 13.3【解析】由e-x-x=-1得e-x十3-x=2,所以 令f(x)=0得x=2∈(0,3). m是e十x=2的根，3-n也是方程e十x=2的根， 即当a=0时，f(x)在(0,3)内恰有一个零点. 又函数f(x)=e十x是增函数，所以m=3-n,则 (6分) m十n=3, 当a≠0时，△=(2a+1)2-8a=(2a-1)2, 14.(,2)【解析】因为f(x)是定义在R上的偶函 1 若△=0，即a= 数，则f(一x)=f(x),函数f(x)的图象关于y轴 对称，且f(x十4)=f(x),即f(x)的周期为4，作 则函数f(x)的图象与x轴交于点(2,0)， 即x=2是(0,3)内的唯一零点； (9分) 出函数f()=(号厂-1在x∈[-2,0]上的图 若4>0，即a≠号， 象，根据f(x)的对称性及周期性，可得出∫(x)在 [一2,6]上的图象，若函数y=g(x)在区间 当0)/3)=2(3a-1)<0时，解得a<分 (一2,6]上恰有3个不同的零点，则在区间 (-2,6]上关于x的方程f(x)-log(x十2)=0 即a<号且a≠0， (12分) (a>1)恰有3个不同的实数根，则函数(x)与函 数y=log(x+2)(a>1)在(-2,6]上恰有3个不 当f(3)=0.即a=子时fx)=号x-号： 3x+2= ·26· ·数学· 号(2-5x十6)，解得1=2=3， f(-x+2)=a(-x+2-2)-4如+4-（-x+2-2) 4 x=2是(0,3)内的唯一零点， 综上可得a的取值范围是(-o,]U(分}： =ax2-4a+4-x' 4 (8分) 所以f(x十2)=f(-x十2)， (15分) 即f(x十2)为偶函数. (9分) 1 17.解：(1)由题意显然选择Q(x)=0r+b+cx, (3)y=f(x)十 4 (3分) =a(x-2)2-4a+4=(x-2)+m, 40 ×103+b×102+c×10=825 令t=x2-4x=(x-2)2-4∈[-4,0)， 由表中数据，可得 1 则f(x)十m=0在(0,4)上有解等价于at-冬十m 40 ×403+b×402十c×40=2400 =0在t∈[-4,0)上有解， (11分) 解得/6一2 (6分) 1c=100 即a=兰-m·在te[-4,0)上有解，12分) .Q(x) 40x-2x2+100x. (7分) 令u= 1 (2)设车速为a,国道上行驶0km,所用时句为碧。 则由e[-4,0)可得u=∈(-0，-子]， (8分) 即a=4w-mu在u∈(-o,-子]上有解。 则所耗电量为f(0)=30 ·Q(v) 因为m∈(1,2)， =0.(-2+10o】 所以a=4r-mu在u∈(-oo,-]上单调递减， 号r-6030o0 所以-mu∈[子+受十)： (15分) 2(。-40)y2+180, 因为m∈(1,2)， (12分) 0≤≤80， 所以+学∈（分）， ∴.当v=40时，f()mim=f(40)=1800Wh, 则a=-mu在u∈(-o,-子] 上有解可得a .当这辆车在国道上的行驶速度为40km/h时，该 车的总耗电量最少，最少为1800Wh, (15分) ∈[，+eo小， 18解：1由a=0,得x)=十己 即a的取值范围为[子，十∞) (17分) =[x+4-(+) (2分) x2-x,x≥3 19.解：(1)当a=3时，函数f(x) -x2+5x,x<3 =1+后++ (2分) ≥2+2)=1 即两数f)的单调递增区间是（一，号]， [3,+∞). (4分) 故f(x)的最小值为1，当且仅当x=2时取到最小 (2)依题意得∫(x)<g(x)对任意x∈[1,2]都 值. (5分) 成立， (2)函数y=f(x十2)的定义域为{xx≠士2}，关 等价于x|x-a|<1对任意x∈[1,2]恒成立. 于原点对称. (6分) f)=ar-4)++ 于是1x-a<子， =a(r2-4x)+x(4-x) 4 即x-上<a<x十上对任意的x∈[1,2]恒成立. x (5分) =a(x-2)2-4a+4=(x-2) 4 即当[1,2时o>(2)且a<(+） 则f(x+2)=a(x+2-2)2-4a+4-(x2-2) 4 而函数y=一之在区间[1,2]上单调递增， =ar2-4a+4-x' 4 :y=2-立= 13 (7分) ·27· ·数学· 参考答案及解析 函数y=x十上在区间[1,2]上单调递增， 于是可得∫(x)的大致图象如图， y ∴.ymim=1+1=2, (8分) y=2ta- 综上可得，实数a的取值范围是（号，2）， 2a (9分) (3)由题知fx)= |x2+(2-a)x,x≥a -x2+(a十2)x,x<a 22-a=-是，-a=222,f0)=0, 212 f(a)=2a, 0 at2 a （i)当2a≤2时，“号<a,>a,于是可得 yf) f(x)的大致图象如图， 由题意得fa)<fa)<f(e士). (14分) y=f(x) 又f()= a+2) -,f(a)=2a, 4 2a----- 1<t<a+2)2 8a 又当2<a<4时，2-吉(a+告+4)∈ 8a (16分) a x 1,] 1<号 据图可得，f(x)在R上是增函数，不合题意. 即的取值范围为(1，号)）： (17分) (12分) （1)当2<a<4时，2<a,<a ·28·