单元(二)一元二次函数、方程和不等式-【衡水金卷·先享题】2026-2027学年高三数学一轮复习单元卷（B 冀鄂黑吉辽蒙宁青陕赣豫晋甘黔皖滇鲁粤专版）

B ·数学· 单元（二） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I,抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ.空间想象能力V.数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) Ⅲ ① ②③④ ⑤ ⑥ 档次系数 元二次不等式的解 1 选择题 法，集合并运算 易 0.80 利用基本不等式求积 选择题 易 0.78 式的最值 选择题 5 充分必要性的判定 易 0.72 利用基本不等式求 4 选择题 5 √ L 中 0.65 最值 解分式不等式，子集个 5 选择题 5 中 0.55 数问题 6 选择题 二次函数的图象 书 0.45 作差比较法的实际 7 选择题 / 分 0.40 应用 不等式恒成立与基本 8 选择题 不等式的综合 秘 0.28 9 选择题 6 不等式的性质 易 0.72 二次函数与根式函数 10 选择题 6 复合的函数性质 L 0.40 由条件等式结合基本 11 选择题 6 中 0.35 不等式求最值 12 由存在量词命题的真 填空题 S 易 0.78 假求参 利用不等式的性质求 13 填空题 S 0.45 代数式的取值范围 分 与不等式有关的数学 14 填空题 0.35 文化题 分 由充分必要性及集合 15 解答题 13 中 0.65 运算求参 16 解答题 15 二次函数性质的综合 0.60 利用基本不等式证明 17 解答题 15 中 0.50 不等式 ·%5 ·数学· 参考答案及解析 基本不等式、一元二次 18 解答题 17 中 0.45 不等式的实际应用 由二次不等式解集求 19 解答题 17 参，解含参的一元二次 / 中 0.40 不等式 香考答案及解析 一、选择题 f(x)=ax十x,当a=0时，f(x)=x,故A符合题 1.B【解析】由已知得A=(1,4),B=(-∞，3)，所以 意；当a>0时，二次函数f(x)=ax2+x的图象开口 AUB=(-∞，4).故选B. 向上，由f(x)=ax2十x=x(a.x十1)=0，解得x=0 2.C【解析】由题知x(-2x)=（2x)(5-2x)≤2 或x=-日所以f(x)的零点为0和-日且- a ×(2+52)-装，当且仅当2z=5-2x,即x <0,故B符合题意，而C不符合；当a<0时，二次函 数f(x)=ax2十x的图象开口向下，f(x)的零点为 号时等号成立.故选C 0和-1 且-日>0，故D符合题意.故选C 3.D【解析标】取a=1,6=-1,满足。>6，但日<古不 7,D【解析】原来公园的绿化率为名，扩建后公园的 成立，充分性不成立：取a=-16=1,满足日<古 绿化率为，b+x-b=ab十ax一ab-3bx a+3x'a十3x a a(a十3x) 但>6不成立：必要性不成立，故“>6"是*日<号 ax-3bxx(a-3b b十x a(a+3x)a(a+3x ,则当b<a<36时，a+3 成立”的既不充分也不必要条件，故选D b<0,绿化率变小，当a=36时，十-b=0,绿 a+3x a 4.B【解析】由题意x十3y= 化率不变：当。>6时，品一会0，绿化率变大 a+3x 3y+3江+1+92W2·y /3y.3x +10 故选D =8,当且仅当3型 8.D【解析】，ab十b2十1≥m(a十b),∴.b(a十b)十1≥ m(a十b),.m≤b十 a干b恒成立，“m≤ 1 结合上十号-2.即=y=2时取等号，所以 y +3y的最小值为8.故选B. (6+品5)又a≤b叶1.6叶≥6+2b点=b 5.C【解折】由不等式<1，可得-1 x-1 1 长0，解得1<x≤4，即A=《0,12…,B- {x|1<x≤4}，所以A∩B={2,3,4},所以A∩B的 当a=6十1且6=时，取等号m≤2店 真子集的个数为23-1=7.故选C 6.C【解析】由题知-之，0是2x+br十c=0的两个 m的最大值为2E-1.故选D, 2 二、选择题 0+(-)=-名 b=1 9.ABC【解析】对于A,a>b>c,.a-c>b-c>0, 实数根，可得 ox(-2)=号 1<1 a-<6-。A正确：对于B,“>b,且有>0， ·%6 B ·数学· >气放B正确：对于Ca>,a> 确.故选ACD. 三、填空题 c2027,C正确：取a=一1，b=-2,c=-2.5,则a+2b =-5<-2.5=c,D错误.故选ABC. 12.(-是，+∞) 【解析】由题意可知，不等式x2-3.x 10.AB【解析】对于A,由f(x)的定义域为R,得Hx -m<0有解，∴4=9十4m>0,解得m>-号，“实 ∈R,m.x2-m.x十3≥0成立，当m=0时，3≥0成立， 1m>0 数m的取值范围为（一？，十∞）】 则m=0;当m≠0时， 1△=m2-12m≤01 ,解得0<m 【解析】设a十2b=m(a十b)十n(a-b) ≤12，因此0≤m≤12，A正确；对于B,由f(x)的定 1(经号) 义域为[-2,3]，得[-2,3]是不等式1.x2-mx十3 、三m十n)a十(mn)b,即2解得 ≥0的解集，则m<0,且-2,3为方程mx2-mx十3 3 =0的两根，一2X3=品，解得m=一方，B正确：对 ,所以a+2h=号(a十b)-(a-b).因 于C,由f(x)的值域为[0，十∞)，得函数y=m.x2 m>0 m.x十3的值域包含[0，+o∞)，则 为2<a十b<3,-2<a-b<-1,所以3< 4=m2-12m≥0 (a+b)<号，<-a-6)<1,所以子<a 3 解得m≥12，C错误：对于D,由(x)在（分，十） +2b<号 m>0 上单调递增，得 ,解得0<m≤12，D错 3- 4m≥ 14.6【解析】令x1=√2，y1=1,x2=√a+2,y2= √+I,又a≥0，b≥0，a+b=9,所以 误.故选AB (√2a+4+√b+I)2≤(2+1)(a+2+b+1)=3 11.ACD【解析】对于A,3ab=a+3b,3=方 ×12=36,所以√2a十4十√6+I≤6，当且仅当 吾，2a+b=号（分+是）2a+b)=号(1+6+器 √2·√b十I=√a+2,即a=6,b=3时取等号，所 以/2a干4+√十I的最大值为6. 驰）≥号(1+26)，当且仅当光-的，即a 四、解答题 15.解：(1)由题意知B={xx≤1或x≥4)， (1分) 6十6，b-6+1时，取等号，A正确：对于B,:a> 当2-3a≥2十a,即a≤0时，A=⑦， 6 此时A∩B=,符合题意； (3分) 0,b>0.3ab=a+3b≥2V3ab,即Vab≥25，ab 3 当2-3a<2十a,即a>0时， ≥专，当且仅当a=3h,即a=2,6=号时取等号，B 因为A∩B=0, a>0 错误：对于C.:3a6=a+3动…36=。马36-1- 所以{2-3a≥1， (2+a≤4 马-1=a-1 解得0<a≤子， >0,b>0,即。>0∴a-1>0,2号 1 a-13b- 综上a的取值范周是（一0，号] (7分) a十a-1≥2，当且仅当。=a-1.即a=2,6= (2)CRB={x1<x<4}, 因为“x∈A”是“x∈(CRB)”的必要不充分条件， 号时取等号，C正确：对于D.+96≥6ab≥6×号 所以CRB是A的真子集， 时取等号，D正 12-3a≤1， =8,当且仅当a=3b,即a=2,b= 所以 且等号不能同时取得， {2+a≥4， ·7 ·数学· 参考答案及解析 解得a≥2， 所以a的取值范围是[2，十o∞). (13分) 所以u6十3，bg≥，-a2-1 16.解：(1)设t=x十1，则x=t-1, 所以b332a6十2≥8×-2+2=2， 8 从而f(t)=(t-1)2-(t-1)十3=-3t+5, 故f(x)=x2-3x十5. (4分) 即g片>2 (15分) (2)由(1)可知f(x)=x2-3x十5， 18.解：(1)E(0)的实际意义是修建这种沼气发电池的 则gx)=r+ax+5=(x+号)广-年+5.(6分) 容积为0时的用电费用， 即未修建沼气发电池时，该工厂每年消耗的电费. 当-号<-1，即a>2时， 由题意可得：E(0)合-32，则=1280， g(x)在[-1,2]上单调递增， 所以该工厂修建此沼气发电池的费用与12年所消 则g(x)m=g(-1)=6-a=1,解得a=5;(8分) 耗的电费之和为S=12×1280+0.15x=0.15x+ 当-1≤-受≤2，即-4≤a≤2时， x+40 15360 g(x)在[-1，-号）上单调递减， x+40 ,0x500, (5分) 在[-号，2]上单调递增， (2)由(1)可得S=0.15x+15360 x+40 则g(x)m=g(-号）=-军十5=1， =0.15(x+40)+15360 x+40 6 解得a=-4(a=4舍去)； (11分) ≥2√6.15(x+40).5360-6=90. (9分) x+40 当-号>2，即a<-4时，g(x)在[-1,2]上单调 当且仅当0.15(x十40)=15360 x十40' 递减， 即x=280时，等号成立， 则g(x)m=g(2)=2a+9<1,则a∈0，(14分) 所以该工厂应修建容积为280m3的沼气发电池，可 综上，a的取值集合是{5，-4}. (15分) 使S最小，且最小值为90万元. (12分) 17.解：(1)因为a>0,b>0,且a十b=2, (3)为使S不超过114万元， 所以b=2-a>0, 所以0<a<2, 即S=0.15x 15360≤114， x十40 (14分) 而a2+2ab-b=a2十2a(2-a)-(2-a)=-a2+ 整理得x2-720x十72000≤0， 5a-2, 即(x-120)(x-600)≤0， 因为0<a<2,y=-a十5a-2在(0,2)上单调 解得120≤x≤600， 递增， 又0≤x≤500，可得120≤x≤500， 所以-a2+5a-2<-22+5×2-2=4, 所以x的取值范围是[120,500]. (17分) 即a2+2ab-b<4成立. (7分) 19.解：(1)：f(x)=a.x2-(a+1)x+1, (2)0+b++a-。2+(2-a)+B+(2-b) a+1 b+1 .f(x)>(2-a)x-1可化为a.x2-(a十1)x十1> a+1 b+1 (2-a)x-1, =a2+B-a-b+2 2 a十1T6+1 移项整理得ax2-3.x十2>0， =(a+b)2-2ab+ 2(a+b+2) .不等式ax2-3x+2>0的解集为{xx<1或x> (a+1)(6+1)-2 b5, 8 ab+3 -2ab+2, ∴.x=1和x=b是方程a.x2-3.x十2=0的两个根， 且a>0. 因为6≤（生）°-1（当且仅当a=6=1时取等 将x=1代入方程ax2-3x十2=0，可得a-3十2= 号)， 0,解得a=1. ·8 B ·数学· 把a=1代人方程a.x2-3x十2=0，得到x2-3x十2 分解为(a.x-1)(x-1)<0, =0,因式分解为(x-1)(x-2)=0, :a>0,.(ax-1)(x-1)=0的两根为x1=1,x= 即b=2,故a=1,b=2. (5分) (2由知a=162.则+号=1. a, ①当】=1，即a=1时，(x-1)2<0,不等式的解集 x>0,y>0, (13分) 2+=2x+(+号)=4+号+ 为☑； y x ②当名>1，即0<a<1时，不等式的解集 ≥2V停×文+4=4什4仁8 为(1<<}： x=2 当且仅当g=义，即时，等号成立， (8分) y=4 ⑨当子<1，即a>1时，不等式的解集 ∴.(2x十y)im=8, 2x十y≥2十k十2恒成立， 为{日<<1： .(2x十y)min≥k2+k十2， 综上可知，当a=1时，不等式的解集为0： .8≥k2+k+2, 当0<a<1时，不等式的解集为(x1<x<}: ∴.k2十k-6≤0， .(k十3)(k-2)≤0， 当。>1时，不等式的解集为日<x<1. .-3≤k2, (17分) 故的取值范围是[一3,2]· (11分) (3)不等式f(x)<0,即a.x2-(a十1)x十1<0，因式 ·%9·单元（二）一元二次函数、方程和不等式 (建议用时120分钟，满分150分) 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的) 1.设集合A={xx2-5x+4<0},集合B={x2<8},则AUB= A.(-∞，4] B.(-∞，4) C.(1,3) D.(1,+∞) 2.已知0<x<号，则x(6-2x)的最大值为 A.1 B.2 c号 D. 3.已知非零实数a,6则“a>是*日<方成立”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.若正实数，y满足上+3=2，则十3y的最小值为 A.7 B.8 C.9 D.10 5.已知集合A=(∈Zx>-1,B=(<1则AnB的真子集的个数为 A.3 B.4 C.7 D.8 6.已知关于x的不等式2x十bx+c<0的解集是(-号，0)，设f(x)=a2十m十c,则函数y= f(x)的大致图象不可能为 A. B. C D 7.公园的绿化率是指绿化面积与公园的面积之比.已知某公园的面积为am,绿化面积为bm (0<b<a),现对该公园再扩建面积3xm,其中绿化面积为xm,则扩建后公园的绿化率与原来 公园的绿化率相比 A.变大 B.变小 C.当a<3b时，变大 D.当a>3b时，变大 8.已知a,b为正实数，且a≤b十1，若ab十b2+1≥m(a十b)恒成立，则m的最大值为 A.②-1 B.②+1 2 C.√2-1 D.22-1 2 2 第1页（共4页） 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知非零实数a,b,c满足a>b>c,则 A.1<1 b ·a-cb-c B.2+1>c2+1 C.a2027>c2027 D.a+2b>c 10.已知函数f(x)=√mx2一mx十3，则下列选项正确的是 A.若f(x)的定义域为R,则m∈[0,12] B.若j)的定义域为[-2,3]，则m=司 C.若f(x)的值域为[0，十∞)，则m∈(12，十∞) D.若fx)在（分，十∞）上单调递增，则m∈(0，十∞) 11.已知正数a,b满足3ab=a+3b,则 A.2a+b的最小值为26+7 3 B.ab的最大值为青 C。马十3动一的最小值为2 1 D.a+9b2的最小值为8 班级 姓名 分数 题号 5 9 10 11 答案 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.若命题“]x∈R,x2一3.x<m”为真命题，则实数m的取值范围为 13.已知2<a十b<3,-2<a-b<-1,则a+2b的取值范围为 14.柯西不等式是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有着广泛 的应用，现给出一个二维柯西不等式：a+)(十dP)≥(ac十bdP,当且仅当号-合时等号成 立.现已知a≥0，b≥0，a十b=9,则√2a+4十√b+1的最大值为 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 已知集合A={x2-3a<x<2十a},B={x(x2+1)(x-1)(x-4)≥0}. (1)若A∩B=心，求a的取值范围； (2)若“x∈A”是“x∈（CRB)”的必要不充分条件，求a的取值范围. 数学·二 第2页（共4页） >方回 16.(本小题满分15分) 已知函数f(x+1)=x2-x十3. (1)求f(x)的解析式； (2)设函数g(x)=(a+3)x+f(x),若g(x)在[一1,2]上的最小值是1， 17.(本小题满分15分) 设正数a,b满足a十b=2. 证明：(1)a2+2ab-b<4; 3+g≥2. 第3页（共4页） 18.(本小题满分17分) 某工厂每年消耗电费32万元.为了节能环保，考虑修建一个可使用12年的沼气发电池，并人该 工厂的电网.修建沼气发电池的费用（单位：万元）与沼气发电池的容积x(单位：m3)成正比，比例 求a的取值集合. 系数为0.15.由于场地的限制，如果修建沼气发电池，它的容积不能超过500m3.为了保证正常 用电，修建后采用沼气能和电能互补的供电模式用电.设在此模式下，修建后该工厂每年消耗的 电费E(单位：万元)与修建的沼气发电池的容积x(单位：m)之间的函数关系为E(x)三 (实数k为常数).记该工厂修建此沼气发电池的费用与12年所消耗的电费之和为S(单位： 万元). (1)试解释E(0)的实际意义，并写出S关于x的函数关系； (2)该工厂应修建多大容积的沼气发电池，可使S最小，并求出S的最小值； (3)要使S不超过114万元，求沼气发电池的容积x(单位：m3)的取值范围. 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=a.x2-(a十1)x+1,a∈R. (1)若关于x的不等式f(x)>(2-a)x-1的解集为{xx<1或x>b},求实数a,b的值； (2)在(1)的情况下，当x>0,y>0且满足十6=1时，有2x十y≥2十k十2恒成立，求k的取 x V 值范围： (3)当a>0时，求关于x的不等式f(x)<0的解集. 数学·二 第4页（共4页） 回