数学(二)一元二次函数、方程和不等式-【衡水金卷·先享题】2026-2027学年高三数学一轮复习周测卷

数学（二）一元二次函数、方程和不等式 (建议用时120分钟，满分150分) 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 1.已知集合A={xx2+4x+4>0},B={x14-4x2≤x},则A∩B= A{<2或≥ B.z ≤-2或≥引 C.x -2<≤引 nd2≤ 2.若命题“3x∈R,(a一1)x2十(a一1)x一1≥0”是假命题，则实数a的取值范围为 A.{a-3<a<1} B.{a-3<a≤1} C.{aa<-3或a>1} D.{aa<-3或a≥1} 3.已知a>0,且a2-2ab十6=0，则b十4的最小值为 A. g号 C.2 D.3 4.《算经十书》是中国古代数学典籍的合集.书中记载（用现代文表达）：今有牛、羊、猪各数头（各有 至少1头)，已知猪的数量多于羊，羊的数量多于牛，牛的数量的3倍多于猪、羊数量之和，则牛、 羊、猪的总头数至少为 A.12 B.15 C.18 D.21 5对于间题：若正数@，b满足。十么=1，求。+名的最小值有一种常规解法：+名 a+6)日+号)=1+是+器+2≥3+22，当且仅当会-=器且a+6=1时，即a=巨-1b=2- 时，等号成立，请运用上述方法，解决下列间题：若实数Q,6,x,y满足多一1(@>B M=a-,N=(女+，则M,N的大小关系为 A.M-N B.M≤N C.M≥N D.不确定 6.已知函数f(x)=x2+ax十b,g(x)=x-1,h(x)=2x2-3x+1,若Hx∈R,g(x)≤f(x)≤h(x), 则a= A.4 B.1 C.2 D.-1 7.柯西不等式(Caulhy一Schwarz Lnequality)是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发 现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：(a2+b)(c2+d)≥(ac+ bd)2,当且仅当=乡时等号成立.根据柯西不等式，已知x>0,y∈R,且x2+xy一x+5y=30, 则√2-x+√30一3y的最大值为 A.√3 B.√6 C.2√6 D.32 数学（二）第1页（共4页） 8.1471年米勒向诺德尔教授提出了一个有趣的问题：在地球表面的什么部位，一根竖直的悬杆呈 现最长？我们把地球表面视为平面α，悬杆视为直线1上两点A,B间的连线，则上述问题可以转 化为以下的数学问题：如图1所示，直线l垂直于平面α，直线l上有两点A,B位于平面α的同 侧，求平面上一点C,使得∠ACB最大.建立如图2所示的平面直角坐标系.若A,B两点的坐标 分别为(0,8)，(0,4)，点C的坐标为(c,0),则当∠ACB最大时，c的值为 a C 图1 图2 A.64 B.32 C.82 D.4√2 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.下列命题正确的是 A.若a>b,则a十b>a-b B.若>分<0，则a>b>0 C.若a>0,b>0,且ab=a十b+7,则a+2b的最小值为11 D.若a>0,b>0,且a+4b=1,则√a+2√b的最大值为√2 10.已知关于x的不等式x2-十1x十1<0的解集为A,则 √a A.当A=⑦时，a=1 B.当2∈A时，a>4 C.当a>1时，1∈A D.当AnZ中有4个元素时，a的取值范围是[号，)U(4,9] 11.已知x>0>y,且x-3y=13+4,则x-3y的可能值为 A.8 B.10 C.1+25 D.2+2√/5 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 答案 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.若关于x的一元二次不等式a.x2一3x十a<0的解集为{xx≠m},则m十a= 13.若Hx>0,m.x2一x十m>0,则实数m的取值范围是 数学（二）第2页（共4页） 14.如图，某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形AB CD和EFGH构成的十字形地域.四个小矩形AMQD,MNFE,BCPN,PQHG与小正方形 MNPQ的面积之和为400m,且AM=ME=3NB.计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价 为1000元/m;在四个矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为400元/m;在四个空角 (图中四个三角形)上铺草坪，造价为200元/m2.则当总造价最低时，AD的长为 m. H 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 已知a>0,b>0,且2a+3b=3. (1)求ab的最大值； (2)求a一品的最大值： （③求号+7的最小值。 16.(本小题满分15分) 已知不等式ax2-3x十2>0的解集为{xx<1或x>b}. (1)求a,b的值； (2)若ax2+mx十3<0的解集为☑，求实数m的取值范围； (3)解不等式a.x2-(ac十b)x+bc<0. 17.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=x2-2(a十2)x+a2-1. (1)当a=1时，解不等式f(x)十9≤0： (2)设关于x的不等式f(x)<0的解集为(m,n). (1)若+=一4，求实数a的值： m n (i)若m>1,求实数a的取值范围. 数学（二）第3页（共4页） 18.(本小题满分17分) 某市足球联赛（简称“某超”）火爆出圈，激发了全民运动热情.为进一步改善员工身体健康状 况，某单位顺势举办一场接力跑活动，规定两人组成一队，接力跑完1公里的路程.现有两种接 力方案.A方案：每队的两人跑相等的路程；B方案：每队的两人跑相等的时间.设甲、乙两人组 成一队，两人都是匀速跑，但速度不相等 (1)猜想甲、乙两人应选择哪一种方案，才能使两人所用的总时间较短（不用说明理由）； (2)设甲、乙两人的速度分别是，2，试用一个含有v,和2的不等式表示你的猜想，并用数学 方法给出证明； (3)我们都有从函数观点出发解决不等式问题的体验.例如： 二次函数y=ax2+b.x十c(a>0)的图象 ax2十bx十c>0(a>0)的解集 (-∞，x1)U(x2,+∞) 试引用某函数的图象说明(2)中的含有和2的不等式的正确性. 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=x2-2ax+5(a>1). (1)若f(x)的定义域和值域均是[1，a],求实数a的值； (2)若f(x)在区间[-1,2]上的最小值为0，求实数a的值； (3)若g(x)=f(x)|+f(|x),对任意的x∈[-1,1]都有g(x)>0恒成立，求实数a的取值 范围. 数学（二）第4页（共4页） 2·数学· 数学（二） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I,抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ.空间想象能力V.数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) Ⅲ ②③④ ⑤ ⑥ 档次 系数 解不含参数的一元 1 选择题 易 0.85 二次不等式 一元二次不等式在 2 选择题 5 实数集上恒成立 L 易 0.80 问题 基本不等式求和的 3 选择题 5 最小值 易 0.75 实际问题、利用不等 4 选择题 5 中 0.65 式求值或取值范围 由基本不等式比较 5 选择题 5 中 0.60 大小 6 一元二次函数、二次 选择题 5 中 0.55 不等式恒成立问题 新定义题、条件等式 选择题 5 中 0.50 求最值 实际问题、基本不等 8 选择题 5 中 0.45 式的实际应用 不等式的性质、基本 9 选择题 6 易 0.70 不等式 由一元二次不等式 的解确定参数、解含 10 选择题 6 中 0.65 有参数的一元二次 不等式 换元思想、基本不等 选择题 6 中 0.40 式的应用 由一元二次不等式 12 填空题 5 的解确定参数 易 0.80 用基本不等式解决 13 填空题 5 中 0.70 恒成立问题 实际问题、基本不等 14 填空题 5 中 0.55 式的应用 ·%5 ·数学· 参考答案及解析 基本不等式求积的 15 解答题 13 最大值、基本不等式 / 易 0.70 “1”的妙用求最值 由一元二次不等式 的解确定参数、解含 16 解答题 15 L 中 0.60 有参数的一元二次 不等式 15 一元二次函数、方 17 解答题 中 0.58 程、不等式的综合 实际问题、作差法比 18 解答题 17 较代数式的大小、由 中 0.50 已知条件判断所给 不等式是否正确 根据二次函数的最 值或值域求参数、一 19 解答题 17 难 0.28 元二次不等式求解 L 及恒成立问题 季考答案及解析 一、选择题 则(x十y十x)im=4十5十6=15.故选B. 1.A【解析】：A={xx2十4x十4>0}={xx≠ -2},B={x14-4x2≤x}={x4x2十x-14≥0} 5.B【解析】因为M=a-=(a-:)(等-花） (-2或≥子}AnB={ x<-2或x =+￥-（任器）+兰-2√·器 ≥子}故选A =x2+y -|≤x+苦+y=(x+)'=N, 2.B【解析】由题意知命题“Hx∈R,(a-1)x十 (a-1)x-1<0”是真命题，当a=1时，(a-1)x2十 即M长N,当且仅当法-器且<0时上述不 (a-1)x-1=-1<0恒成立，满足题意，当a≠1 等式中的两个等号同时成立，故M≤N.故选B. /a-1<0 6.D【解析】因为Hx∈R,g(x)≤∫(x)≤h(x),且 时，则 △=(a-1)2+4(a-1)<0' 可得 g(1)=h(1)=0,则必然有f(1)=0,所以1十a十b a1 {(a十3)(a-1)<0所以-3<a<1,综上，-3<a≤ =0,即b=-a-1,所以f(x)=x2十ax-a-1= (x十a十1)(x-1).又因为h(x)=(2x-1)(x 1.故选B. 1),故x-1≤(x十a十1)(x-1)≤(2x-1)(x- 3.D【解析】已知a>0,且a2-2ab十6=0，则b= 1可得（仁9与在R上租度立， 则-a=1且a十2=1，所以a=-1.故选D. 名≥2√学·名=8，当且仅当号-名即a=2时等 7.C【解析】由x2十xy-x十5y=30,得x2-x-30十 a xy+5y=0,即(x+5)(x+y-6)=0,由x>0,得x+ 号成立，则6十的最小值为3.故选D, y=6,则√2-x+√/30-3y=√2-x+√12+3x= √/2-x+√5·√4十x,由x>0,2-x≥0，得0<x≤ 4.B【解析】设牛、羊、猪分别为x,y,x头，则根据题意 3x>y十x 2,由柯西不等式得（√2一x十√·√4十x)≤[1十 y>≥x+1 12>y十x (W5)2]·[(√2-x)2十(4+x)2]=24,因此 有 ≥x十2 ,则x>3,则x=4,则 y≥5 x≥6 r,y,z∈N 2-x+·V+x≤26，当4正=2-这 √3 1 ·数学· 即x=号时取等号，所以V2一文十V30一3的最大 9:当0<a<1时，得a<|x<是，所以这4个元 值为2√6.故选C 8.D【解析】由题意得知∠ACB是锐角，且∠ACB= 素是士1，士2，所以号<瓜<得号≤a<综 ∠OCA-∠0CB,而an∠OCA=,tan∠OCB3 上，当A∩Z中有4个元素时，a的取值范围是 名，所以an∠ACB=an(∠0CA-∠OCB) [日，)U(4,9],D正确放选ACD, 11.ABD【解析】因为x>0>y,设x-3y=t,则t>0, 8-4 由x-3y=1-3十4，可得1-3=1一4，则有 CC 4 x y 1叶婴 C人32，而c+9兰≥2√32=8/2，所以 c 4-0=(x-30(日-子)=10-5-义=10+ tan∠ACB=4 2长。4后2，当且仅当=老，即 4 d (-)+(-2)≥10+25-16，当且仅当-延 c =4√2时，等号成立，所以当c=4√2时，tan∠ACB= =一3义，即x=一y=51时，等号成立，即得 2 票此时∠ACB最大故选D 4t-16≥0，解得t≥2√5十2，即x-3y的最小值为 2√5+2.故选ABD. 二、选择题 三、填空题 9.CD【解析】A选项，当b<0时，a十b<a-b,A错 误：因为号一云-。>0且〔<0，所以62< 12.-号 【解析】因为关于x的一元二次不等式ax 一3x十a<0的解集为{x|x≠m},所以对应的一元 0,即ab(a-b)>0,则a>b>0或0>a>b或a<0 二次方程ax2-3x十a=0有且仅有一个解，且a< b,B错误；ab=a十b+7可整理为(a-1)(b-1)=8, 得(a-1)(2b-2)=16,再由基本不等式可得 0,所以合（一3）一a=0,解得a=一号，代入 a<0 a-102%-2)=16≤(21片22)，得a+% 一元二次方程得-一子2-3x-号=0，解得x -3)≥64，所以a十2b≥11，当且仅当a-1=2b-2, 即a=5,b=3时，等号成立，C正确；因为a十4b=1≥ 一1所以m一1，所以加a=-1一多=一吾。 2√4ab=4V√ab,所以（√a+2b)'=a+4b+4√ab 13.(2,+o∞） 【解析】：Hx>0,m.x2-x十m>0, ≤2(a十b)=2,当且仅当a=4h=合时等号成立， x（x>0),又f1 1 x2+1 1≤ 即√a十2√b的最大值为√2，D正确.故选CD x十 10AD【解标】对于A,当A=时，4=（岩） ，当且仅当=1取等号，则m>之 1 4≤0，化简得a1)≤0，解得a=1或a<0,因为 14,4√5【解析】设AD的长为xm,总造价为y元，因 a 为四个小矩形AMQD,MNFE,BCPN,PQHG与小 a>0,所以a=1,A正确：对于B,因为2∈A,所以2 正方形MNPQ的面积之和为400m',且AM=ME 满足不等式成立，则2a-5√a+2>0,因为a>0,所 =3VB,则小正方形MNPQ的面积为x,其中矩形 以解得a>4或0<a<子，B错误；对于C,当>1 AMQD的面积为号(400-)，则AM=冬· 时，不等式x2一 x+1<0,可化为 √a 400-亡，因为AMD0,所以0<x<20,阴影部分的 x -后)（后）<0，则解集A 面积为40-，因为Sawr=号AM=令× (-,后)U(后wa),此时由于1∈ (g×400,Y）',SAma=SAN=5Ae,Sa 3 (后a)一定有1∈A,C正确：对于D,AnZ中有 -号Swe,所以草坪面积是△AME面积的1十号 4个元素则：1.当>1时，得后<<瓜，所 十号十日=9（倍），所以原坪面积为吕×号× 以这4个元素是±1，士2，所以2<√a≤3，得4<a≤ (g×4002),所以y=1000x+400× x ·7 ·数学· 参考答案及解析 (400-x)+200× 即(x-c)(x-2)<0, (12分) 9 当c=2时，不等式化为(x一2)2<0，不等式无解， 10(25+00 +140000,因为0<x<20,所 当c>2时，解不等式可得2<x<c, 当c<2时，解不等式可得c<x<2, 以y≥100×2√/2t×40000+140000=24000, 综上，当c=2时，不等式的解集为⑦； 4 当c>2时，不等式的解集为(2，c): 当且仅当25x-40000,即x=45时，等号成立，所 当c<2时，不等式的解集为(c,2). (15分) 4 17.解：(1)当a=1时，f(x)=x2-6x, 以当x=45时，总造价y最小，最小值为 则f(x)十9≤0台x-6x十9≤0， 240000元. 解得x=3, (3分) 四、解答题 所以不等式的解集为{3}. (4分) 15.解：(1)由题意得2a+3b=3≥2√6ab,得ab≤ (2)由题意可知m,n是方程x2-2(a十2)x十a2-1 8 =0的两个不等实数根， 当且仅当2如=0=兰， 所以4=4a十2)-4(a-1)>0,解得。>-是 即a=子6=时，等号成立 (6分) (1)因为m十n=2(a十2)，mn=a2-1, (7分) 故6的最大值是号 (3分) 所以1+1=m十n-2(a+2) =一4， m n mn a2-1 (2)由2a十36=3，得a=号-号6， (4分) 整理得2a2十a=0,且a2-1≠0， 则a品号-（受品》 解得a=一 或a=0,经检验满足△>0 3 11 所以a=一 (6分) 或a=0. (10分) (i)若m>1,则方程x2-2(a+2)x十a2-1=0有 当且仅当子6一品即a=16=号时，等号成立 1 两个大于1的不等实数根， △>0， 故。一品的最大值是号 (8分) 所以{f(1)=1-2(a十2)+a2-1>0, (12分) (3)由2a十3b=3,得2a十3(b+1)=6, (9分) (a+2>1, 则+高（）儿2a+36+ 解得 =[18+6D 6a a>5+1或a<-√5+1' b+1 a>-1 ≥[18+2V 6(b+1).6a 25 (11分) 所以a>√5+1， a b+1 6* 即a的取值范围是{aa>√5十1. (15分) 当且仅当5(6+1)=6a 18.解：(1)假设甲的速度为0.5km/min,乙的速度为 a b+1' 0.25 km/min, 即a=号6=方时，等号成立 1 放子+高的显小值为得 =3 min, (13分) A方案用时：1十了 2 4 16.解：(1)由已知可得x=1,x=b是方程ax2-3x十2 设B方案用时为：，则宁×7计子× 1 =0的两根， 2t=1→t 1+b=3 3 min, 则 1X6=2' (2分) 猜测B方案所用的时间较短. (3分) 1 解得a=1,b=2. (5分) (2)若x2十m.x十3<0的解集为， (②)对A方案，甲、乙各跑号公里，用的时间为 则△=m2-12≤0， (7分) 1 解得一2√3≤m≤2√3， -+) (5分) 即实数m的取值范围为[-2√3,2√5] (10分) (3)不等式化为x2-(c十2)x十2c<0, 对B方案，设用的时间为，则甲、乙均跑了乞的 8 ·数学· 时间， (17分) 所以受十乞贴=1， 则2（什+）n 19.解：(1)由f(x)=x2-2ax十5可知，函数图象的对 所以用的时间为产 (7分) 称轴为x=a, 因为a>1, 则（日+） (9分) 所以函数f(x)在[1，a]上单调递减， (2分) 下面用作差法证明. 可阳0博 (4分) a2-2a2+5=11 因为号（日十品）。 2_十2」 2 解得a=2. (5分) U1十2 =十二整= (4-2)9 (2)当a>2时，f(x)mim=f(2)=9-4a=0, 2(1干) 边（边十) 解得a=号， (7分) 因为≠2，且1>0,2>0， 当1<a≤2时，f(x)mim=f(a)=5-a2=0, 所以0 解得a=士√5（舍去）， 即（号+日） (11分) 综上a=是 (9分) (3)设函数f(x)=1,x>0.如图， (3)由f(x)=x2-2a.x十5可知，函数对称轴为x= x a,在[-1,1]上单调递减， y↑ f(-1)=1+2a十5=6十2a,由a>1可知f(-1)> (ifx)) 0恒成立， (10分) y=f(x) 当f(1)=1-2a+5=6-2a>0时， f(x)+f(x2) 即1<a<3,f(x)在[-1,1]上恒大于零， 3 则此时g(x)=|f(x)|十f(|x|)=f(x)十 ) f(|x), c2fx2》 因为当x∈[-1,1]时，x∈[0,1]二[-1,1]， 故f(x)>0且fx)>0, 0 x1+x2 对任意的x∈[-1,1]都有g(x)>0恒成立； 2 (13分) 函数f(x)在(0，十∞)上为凹函数，对0<x<x2, 当a=3时，f(1)=0, 有())) (14分) 则g(1)=|f(1)|+f(|1川)=0，不符合题意： 2 (14分) 所以对>0,2>0，h≠2， 当a>3时，因为f(0)=5>0且f(1)=6-2a<0, 恒有f(”)<)0) 所以存在t∈(0,1)，使得f(t)=0, 2 则当t长x<1时，f(x)<0,|f(x)|=-f(x), 1+1 即1<边」 此时g(x)=|f(x)|+f(|x|)=-f(x)+f(x) 十边 2， =0,不符合题意. (16分) 2 综上所述，a的取值范围为(1,3). (17分) ·%9·