(2)一元二次函数、方程和不等式-【衡水金卷·先享题】2026年高考数学一轮复习单元检测卷（B）

数学第1页（共4页） 衡水金卷·先享题·高三一轮复习单元检测卷二 数学第2页（共4页） ® 16.(本小题满分15分) 1已知x<号，求函数f2)=3x+1十3”2的最大值： 2)已知a>06>0,且，十=1，求2u+6的最小值 1 17.(本小题满分15分) 由于我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影 响，医疗器械市场近年来一直保持着持续增长的趋势.某医疗器械公司为了进一步加强市场竞争 力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为100万元，最大产能为80台.每 x2十kx, 0≤x≤40， 生产x台该产品，需另投人成本G(x)万元，且G(x)= 101x+2500-1100,40<x≤80， 当年 产量为10台时，需另投人成本500万元.由市场调研知，每台该产品的售价为100万元，且全年 内生产的该产品当年能全部销售完. (1)求k的值； (2)写出年利润W(x)(单位：万元)关于年产量x(单位：台)的函数关系式（利润=销售收人 成本)； (3)当该产品的年产量为多少时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 数学第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高 18.(本小题满分17分) 已知二次函数f(x)满足∫(1)=一4且f(0)=f(2)=-3,函数g(x)=∫(x)十m.x-2m十3 (m∈R). (1)求函数f(x)的解析式： (2)求函数f(x)在区间[0,3]上的最值； (3)解关于x的不等式g(x)<0. 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=2x2-2ax+2-a2,g(x)=x2十3x-a2-4. (1)当a=1时，解不等式f(x)>g(x): (2)若对任意x>0,都有f(x)>g(x)成立，求实数a的取值范围； (3)若对Hx1∈[0,1]，]x2∈[0,1]，使得不等式f(x1)>g(x2)成立，求实数a的取值范围. 三一轮复习单元检测卷二 数学第4页（共4页） 回高三一轮复习B ·数学· 高三一轮复习单元检测卷/数学（二） 9 9 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ.运算求解能力V,空间想象能力V.数据处理能力 Ⅵ，应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 题号 题型 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 值 (主题内容) ① ② ③④ ⑤ ⑥ 档次系数 选择题 集合包含关系及集合 易 0.85 的运算 2 选择题 5 充分必要条件应用 √ 易 0.80 3 选择题 5 求函数的值域 易 0.78 4 选择题 5 不等式的判定 易 0.75 分段函数的单调性 选择题 0.70 应用 / 易 6 与数学文化有关的基 选择题 本不等式的应用 必 0.65 7 选择题 5 权方和不等式的计算 / 中 0.50 恒成立问题与分类讨 8 选择题 5 难 0.28 论思想 L 9 选择题 6 不等式大小比较 易 0.85 条件等式下利用基本 10 选择题 / / 中 0.68 不等式求最值 11 6 不等式的解的关系 选择题 中 0.35 判定 12 填空题 6 充分必要条件应用 易 0.72 13 填空题 5 利用不等式的解集反 0.45 求待定参数的值 中 14 填空题 5 利用基本不等式解决 / 中 0.40 实际问题 15 解答题 13 集合运算与充分必要 易 0.70 条件的应用 ·5 ·数学· 参考答案及解析 利用均值不等式求 16 解答题 15 为 0.65 最值 17 解答题 15 实际问题的应用求解 中 0.55 解答题 17 二次函数的解析式及 18 中 0.35 最值，解不等式 解答题 解不等式，由不等式 19 17 难 0.28 求参 0 昏考答案及解析 一、选择题 7.B 1.B【解析】由题可得M={xx2-1=0}={-1,1}, 【解析】因为0<x<号所以3x>0,1-3x>0, 故ACD选项错误，B选项正确.故选B. 1612 42 fx)=3十3x3x1-33 (1+4)2 2.A【解析】ab+1≠a+b=(a一1)(b-1)≠0台a≠1 且b≠1，所以“ab+1≠a十b”的充要条件是a,b都不 =5,当且仅当品=即=言时，等号成立， 为1.故选A. 3.D【解析】函数∫(x)=√元十√2一x的定义域为 所以函数f)=十9(0<<)的最小值 2-x≥0，且x≥0，解得x∈[0,2].将f(x)=√x+ 为25.故选B. √2-π两边平方，得[f(x)]=2+2√一x2+2x. 8.B【解析】当m>0时，g(x)>0在(0，十∞)上恒 当0≤x≤2时，由二次函数性质，可知y=一x2+2x 成立，g(x)<0在(-∞，0)上恒成立，g(0)=0,而 f(0)=1,所以需f(x)>0在（一∞，0）上恒成立， 的值域为[0,1]，所以[f(x)]=2+2√一x2+2x 的值域为[2,4]，所以f(x)=√（十√2-x的值域为 又因为f()的图象开日向上，所以20>0 [√2,2].故选D. 或△=4(4-m)2-4×2m=4(m2-10m+16)<0, aa十m 4.C【解析】当6>a>0,m>0时，方<6+m 解得0<m<4或2<m<8,所以0<m<8;当m=0 证明如 时，g(x)=0,f(x)=-8x+1>0在R上不恒成立， 下：台一8册-十+0 故m=0不符合题意；当m<0时，g(x)>0在 b(b-m) (-∞，0)上恒成立，g(x)<0在(0，十∞)上恒成 6(6+n,b>a>0,m>0, abtambabom m(ab) 立，g(0)=0,而f(0)=1,所以需f(x)>0在 b(b-m) (0,十∞)上恒成立，又因为f(x)的图象开口向下， 006十m>003<0号<号0 所以f(x)>0在(0，十∞)上不恒成立，故m<0不 故选C 符合题意.综上，实数的取值范围为(0,8).故 5.B【解析】因为当x≥0时，∫(.x)=x十3单调递增， 选B. 所以要使f(x)在R上单调递增，则需满足 二、选择题 9.AC【解析】因为a<0<b,且a十b>0,所以b>一a -2a 2x(-1D≥0 ,解得-3≤a≤0，所以实数a的取 >0,所以方<1，即分>-1，放A正确：因为a<0 一a3 值范围是[一3,0].故选B. <b,所以ah<0,又a+b>0,所以1+1=4+b<0. a b ab 6.C【解析】由题可知a+6=8,c=4,p=号(a+b+) 故B错误；因为b>-a>0,所以2>(-a)2=a,故 =6,所以S=√6(6-a)(6-b)(6-4)= C正确：当a=一之，6=1时满足题设条件，但 1 12(6-a)(6-D≤v位×6-a叶6-b=4W5,当且 (a-1)(b-1)<0不成立，故D错误.故选AC. 2 10.AC【解析】因为x2+y2-xy=3,所以x2+y2-3 仅当a=b=4时取得等号，故△ABC面积的最大值 为45.故选C. =≤十立，所以x2+y≤6，当且仅当x=y 2 ·6 高三一轮复习B ·数学· 士√时等号成立，故A正确；因为x2十y-xy=3 解得a≤0或a≥4， (12分) ≥2xy-xy,所以xy≤3，当且仅当x=y=士V3时等 所以实数a的取值范围为（一o∞，0]U[4,十∞）. 号成立，故D错误；因为x2+y2-xy=3=(x+y) (13分) -3.xy,所以(x十y)2-3=3.y≤3×+)2 ，所以 16.解：1D由x<号可得3x-2<0, (2分) 4 9 (x+y)≤12，所以-2V5≤x+y≤2√3，当x=y= 所以f(x)=3x+1十3x92=3.x一2+37之+3s V3时，x十y取得最大值2v3;当x=y=一√3时，x十 y取得最小值一2√3，故B错误，C正确.故选AC. -(2-3x+2”3)+3≤-2V√2-3x)×2 9 11.AB【解析】由题意可得a<0,a(x-1)(x十3) +3=-3, (6分) 2=a(x-0)(x2),即a.x2十2a.x-3a-2=a.x a(u十n)x+a,所以(2a=-a(a十 当且仅当2-3x=23z即x=-3时取等号， ,所 -3a-2=a.x1x2 (7分) 以x1+2+2=0x1m十3=- 2>0,故A正确D 所以函数了()=3x+1十3”2的最大值为-3 (8分) 错误；令a(x-1)(x+3)=0,其根为x8=一3， x1=1,结合二次函数性质可得一3<<x2<1, (2)根据题意a>0,6>0,且，十十=1 所以x2-x1<1-(-3)=4,即|x-x2|<4,故B 可得2a+b=2(a+1)+b+1-3 正确，C错误.故选AB. 三、填空题 =[2a+1)+6+1(+）-3 12.必要不充分【解析】若x一y=x+Iy,则x,y 异号或x,y至少有一个为0，故充分性不成立.若xy √×=2w2. 2+2+≥2 b+1 <0,则x,y异号，故|x-y=|x+|y成立，故必 (13分) 要性成立，所以“|x一y=|x+|y”是“xy<0”的 必要不充分条件. 当且仅当a=号6=V8时取等号. (14分) 13.3【解析】a(x-1)(x-2)>2x2-8x+8台 所以2a十b的最小值为2√2 (15分) (x-2)[a.x-a-2(x-2)]>0=(x-2)[(a-2)x十 17.解：(1)将x=10,G(x)=500代入G(x)=x2+k.x, 4一a]>0,当a=2时，2(x-2)>0,解得x>2,故a= 得100十10k=500,解得k=40. (3分) 2不符合题意；当a≠2时，因为(x-2)[(a-2)x十 (2)由题意可得，当0≤x≤40时，W(x)=100.x-x2 4一a]>0的解集为(-∞，-1)U(2,十∞)，所以 -40x-100=-x2+60.x-100: (5分) 日是-1，解得a=3.而当a=3时，(x-2)[a 当40<x≤80时，W(x)=100x-101x-2500+ x 2)x十4-a]>0等价于(x-2)(x+1)>0,解得 x<一1或x>2,故a=3符合题意.综上所述，a的 1100-100=-x 2500+1000. (7分) 值为3. 故年利润W(x)关于年产量x的函数关系式为 14.18648π【解析】设矩形的长为acm,宽为 〔-x2+60.x-100,0≤x≤40， bcm,,矩形的周长为72cm,.2(a十b)=72, W(x)= 2500 (8分) .b=36-a,而旋转形成的圆柱的侧面积为2πab= x +1000,40<x≤80. 2u(36-a)≤2x×「a+(36-a）]=648元，当且 (3)由(2)得当0≤x≤40时，W(x)=一x2+60x一 2 100=-(x-30)2+800: 仅当a=36-a,即a=b=18时等号成立，∴.当矩形 当x=30时，W(x)max=800; (11分) 的长、宽均为18cm时，旋转形成的圆柱侧面积最 大，最大值为648πcm. 当40<x≤80时，W(.x)=-x- 2500+1000= 四、解答题 15.解：(1)解不等式x2-4x+3≥0，得x≥3或x≤1， (+2500)+1000<-2√.250 +1000 故B={xx≥3或x1}. (2分) =900, 假设存在实数a,使得A∩B=0,AUB=R, 当且仅当x=2500,即x=50时，等号成立， 则有a+1=3且a-1=1, 解得a=2, (6分) W(z)max-900. (14分) 所以当a=2时满足题意。 (7分) 而900>800，故当x=50时，年利润最大，最大年利 (2)若p是q的充分不必要条件，则A手B, 润是900万元. (15分) 所以a十11或a一1≥3， 7 ·数学· 参考答案及解析 18.解：(1)因为二次函数f(x)满足f(0)=f(2)= 一3， 所以2a<26-3,即a<6-号， 所以二次函数f(x)的图象的对称轴为直线x=1, 所以实数口的取值范围是(-©V5-号).(9分) 又f(1)=-4,故设f(.x)=a(x-1)2-4,a≠0， 因为f(0)=-3,所以a-4=-3,则a=1, (3)因为对Vx1∈[0,1]，了x2∈[0,1]，使得不等 所以f(x)=(.x-1)2-4,即f(x)=x2-2x-3. 式f(x)>g()成立， (6分) 所以不等式f(x)mim>g(x)mim' (10分) (2)由(1)知，f(x)=x2-2x-3图象的对称轴为直 因为g(x)=r+3x-a-4=(+号)》-心 线x=1,且开口向上， 2 所以f(x)在[0,1]上单调递减，在[1,3]上单调 4, 递增， 所以g(.x)在[0,1]上单调递增， 所以f(x)mn=f(1)=12-2-3=一4，f(x)max= 所以g(x)min=g(0)=-a2-4. (12分) f(3)=32-2×3-3=0, 所以f(x)在区间[0,3]上的最小值为一4，最大值 为f(r)=2x-2ax+2-a2=2(a-号）广+2 为0. (11分) 3a2 (3)因为g(x)=f(x)十nx-2m十3， 2· (13分) 由(1)知，f(x)=x2-2x-3, 不等式g(x)<0即为x2-2x-3十mx-2m十3<0， 所以当号<0，即a<0时，f(x)在[0,1门上单调 即x2+(m-2)x-2m<0,即(x十m)(x-2)<0, 递增， (14分) 所以f(x)mm=f(0)=2-a2, 所以当-m>2,即m<-2时，解集为(2，一m): 则2-a>-a2-4成立，故a<0; (14分) 当一m=2,即m=一2时，解集为心： 当-m<2,即m>-2时，解集为(-m,2).(17分) 当0≤号<1，即0<a<2时， 19.解：(1)当a=1时，f(x)>g(x)即2x2-2x+1> =f(受)=2号， x2+3x-5, 所以x2-5.x+6>0,所以(.x-3)(.x-2)>0, 由2-3g>--4得-2V5<a<25, 2 所以x>3或x<2, 所以0≤a≤2； (15分) 所以不等式f(x)>g(x)的解集为{x|x>3或 x2}. (4分) 当号>1，即a>2时，f(x)在[0,1]上单调递减，所 (2)“对任意x>0,都有f(x)>g(.x)恒成立”等价 以f(x)mm=f(1)=-a2-2a+4, 于“对任意x>0,都有x+ 由-a2-2a十4>-a2-4得a<4, x -3>2a恒成立”， 所以2<a<4. (16分) 因为>0时+是一322…至 6 -3=2√6-3 综上所述，实数a的取值范围是（一∞，4）.(17分) (当且仅当x=6时等号成立)， ·8