专题09 三角形特殊线段综合（压轴题专项训练）数学新教材沪科版八年级上册

专题09 三角形特殊线段综合 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、构成三角形的条件（选择填空基础题） 题型二、高线等面积计算（核心计算题） 题型三、中线周长与面积综合计算（高频大题） 题型四、角平分线线段与角度计算 题型五、三类线段综合压轴题（期中期末难点） 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 所有三角形特殊线段题型，均可通过以下4种通法破解，覆盖95%以上考题。 通法一：等面积法（高线专属万能法） 适用场景：已知三角形任意一组底和高，求另一组底、高；直角三角形斜边上的高计算；多高共存的面积换算。 解题步骤： 1.用一组已知底和高，表示三角形面积； 2.用未知量和对应底/高，列面积等式； 3.解方程求出未知线段长度。 核心公式：S=a·hₐ=b·hᵦ=c·h꜀ 通法二：中线双性质法（面积+周长） 适用场景：中线相关周长计算、面积分割、不规则三角形面积求解。 解题逻辑： 1.遇面积问题：直接用“中线等分面积”，多层中线可层层等分； 2.遇周长问题：剔除公共中线边长，周长差=两边边长差，无需逐一计算周长。 通法三：角平分线距离等量代换法 适用场景：角平分线+垂线、求线段长度、证明线段相等、面积计算。 解题步骤： 1.过角平分线上的点，向角两边作垂直辅助线； 2.利用“距离相等”进行线段等量替换； 3.结合直角三角形、面积公式求解。 通法四：分类讨论法（高频易错必考） 适用场景：高线位置不确定、等腰三角形特殊线段、周长多解问题。 分类标准：按三角形类型（锐角、直角、钝角）分类，重点讨论高线在内部/外部的情况，最后用三角形三边关系验证解的有效性，舍去不合理值。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、构成三角形的条件（选择填空基础题） 【典例1】．（25-26八年级上·安徽淮北·期末）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（    ） A．1，2，3 B．2，3，5 C．3，4，8 D．4，5，6 【典例2】．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）下列各组线段中，能构成三角形的是（） A．2，2，5 B．3，4，1 C．4，5，6 D．3，5，8 【典例3】．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）下列长度的三条线段首尾相连能组成三角形的是（    ） A．3，3，6 B．5，12，5 C．7，8，9 D．12，7，4 题型模版 考查内容：区分线段、射线、直线；判断三类线段的位置、交点性质；辨析各类三角形高的分布。 【变式1】．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）若长度分别为a、3、5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（   ） A．10 B．8 C．6 D．2 【变式2】．（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段检测）如图，在锐角中，是边上的高，是线段上一点，连接，则图中的直角三角形共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式3】．（2024八年级上·安徽合肥·期中）有4条线段的长度分别是和，选择其中能组成三角形的三条线段作三角形，则可作______个不同的三角形． 题型二、高线等面积计算（核心计算题） 【典例4】．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，、分别为的边BC上的高线和中线，为边上的高线，已知，，． (1)求的长和的面积； (2)求的长． 【典例5】．（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段检测）在中，，分别是，的高，，，，． (1)求的长． (2)若是的中点，连接，求的面积． 【典例6】．如图所示，已知，分别是的高和中线，，，，． (1)求的长． (2)求的面积． 题型模版 公式：斜边上的高=直角边乘积÷斜边。 【变式1】．（25-26八年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，分别是的高和中线． (1)若的面积为，，求的长； (2)若，，求与的周长差． 【变式2】．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，在与中，与相交于点E，交于点F． (1)中边上的高是___________；中边上的高是___________； (2)若，，，求的面积． 【变式3】．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图所示，分别是的高，已知． (1)请画出的高和； (2)求的面积； (3)若，求的长． 题型三、中线周长与面积综合计算（高频大题） 【典例7】．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，是的中线，E，F分别是和的中点，若的面积为，则的面积为（   ） A．6 B．9 C．12 D．15 【典例8】．（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）如图，是上的中线，是上的中线．是的中点，的面积是40，则的面积是______． 【典例9】．（25-26八年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，为的中线，为的中线． (1)已知，的周长为，求的周长； (2)若的面积为，，则点到边的距离为多少？ 【典例10】．如图，在中，E是中线的中点，的面积是1，求的面积． 题型模版 考法1：周长差计算：三角形中线分三角形为两个小三角形，周长差等于原三角形两组对边的边长差，与中线无关。 考法2：面积递推计算：多条中线嵌套，面积逐层减半，可快速求不规则阴影面积。 考法3：周长分类讨论：等腰三角形一腰上的中线分周长为两部分，已知周长差，求腰长、底边长，需分类验证三边关系。 【变式1】．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，已知点D，E，F分别为线段中点，且的面积等于，则阴影部分图形面积等于（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，是边上的中线，，与交于点F，若的面积等于16． （1）的面积为_________； （2）设的面积为m，的面积为n，则_________． 【变式3】．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，、分别为的边BC上的高线和中线，为边上的高线，已知，，． (1)求的长和的面积； (2)求的长． 【变式4】．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，是的中线，是的中线． (1)若，的周长为24，求的周长； (2)若，求的面积． 题型四、角平分线线段与角度计算 【典例11】．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，在中，线段是的角平分线、是边上的中线，垂直于，已知：，则长是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【典例12】．（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，是的高，是的角平分线，，求的度数． 【典例13】．（25-26八年级上·安徽亳州·期末）如图，中，是上的高，平分，，，求与的度数． 题型模版 考法1：单纯角度计算，结合三角形内角和、外角性质求角度； 考法2：角平分线+垂线，利用距离相等求线段长、图形面积； 考法3：双角平分线模型（内角平分线、内外角平分线夹角计算）。 【变式1】．（25-26八年级上·安徽铜陵·期中）如图，在中，，点，，分别是边，，上的点，且，，相交于点，若点是的重心．则以下结论：①线段，，是的三条角平分线；②的面积是面积的一半；③图中与面积相等的三角形有个；④；⑤．其中一定正确结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，分别为的中线和高，为的角平分线． (1)若，求的大小； (2)若的面积为48，，求的长． 【变式3】．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，是上一点，连接，是的中点，于点． (1)若平分，，，求的度数． (2)若，且的面积，求的值．（用含的式子表示） 【变式4】．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，四边形，、分别平分四边形的外角和，若，． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，若与相交于点，，请直接写出，所满足的数量关系式； (3)如图，若，判断，的位置关系，并说明理由． 题型五、三类线段综合压轴题（期中期末难点） 【典例14】．如图，在中，是边上的高，． (1)若是的平分线，求的度数； (2)若是边上的中线，求的长． 【典例15】．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，和分别是的高和角平分线，是边的中线． (1)若的面积为6，则的面积为 ； (2)若，求和的度数． 【典例16】．（25-26八年级上·安徽淮北·期中）如图，，，分别是的高线，角平分线和中线． (1)下列结论：①，②，③，④与互余，其中正确的是_____（只填序号）． (2)若，，求的度数． (3)若，请直接写出与之间的数量关系． 题型模版 1.命题特点：同时结合中线、高、角平分线，融合角度计算、面积求解、线段证明、分类讨论。 2.常见考法：证明线段相等、证明垂直、求动态三角形面积、多解问题探究。 【变式1】．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图，AD是的角平分线，点在上（不与点重合），连接BE，交AD于点O． (1)如图1，若BE是的中线，，则与的周长差为___________； (2)如图2，若BE是的高，，则的度数为___________； (3)如图3，若BE是的角平分线，，求的度数． 【变式2】．如图，是的角平分线，点E在边上（不与点A，C重合），连接，交于点O． (1)如图1，若BE是的中线，，则与的周长差为 ． (2)如图2，若，BE是的高，则的度数为 ． (3)如图3，若，BE是的角平分线，求的度数． 【变式3】．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，，，分别是的高线，角平分线和中线， (1)下列结论：①，②，③，④与互余，其中正确的是________（只填序号）． (2)若，，求的度数． (3)若，直接写出与之间的数量关系． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，将三角形纸片沿折叠，点A落在点F处，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）已知等腰三角形的两边长为和，这个三角形周长是（   ）cm A．16 B．20 C．16或20 D．不确定 3．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，AD，AE分别是边BC上的中线和高，点在点的左侧，已知，，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26八年级上·安徽宣城·期末）如图，在中，点分别在边上，是的中点，与相交于点，则的面积为（    ） A．9 B．12 C．16 D．18 5．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，在中，分别取，的中点，，连接，过点作，垂足为，将分割后拼接成长方形．若，，则的面积是（    ） A．60 B．90 C．100 D．120 6．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，D是中边AB的中点，连接，E是的中点，连接，．若，则阴影部分的面积为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 7．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，已知点为上一点，点分别为的中点，且，则图中的面积是（　　） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，线段，交于点O，点E在的延长线上，，分别平分，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·安徽·期末）如图，在中，已知D，E，F分别是边的中点，且阴影部分图形的面积为6，则的面积为（    ） A．12 B．16 C．18 D．24 二、填空题 10．（25-26八年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，已知点D，E，F分别是的中点，且的面积是5，则的面积是______． 11．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，在中，于点D，，于点F，则线段与的比值为__________ 12．（25-26八年级上·安徽蚌埠·阶段检测）如图，的面积为，D是的中点，点E在边上，且，与相交于点O，则四边形的面积为________． 13．如图，在中，是边上的点，是边上的点，且，，若的面积为，则的面积为____．      14．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图1已知线段，相交于点，连接，，我们把这种图形称之为“8字型”，试解答下列问题： （1），，，之间的等量关系为______； （2）如图2，和的平分线和相交于点，并与，分别交于点，．若，，则的度数为______． 三、解答题 15．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）如图，在中，是的平分线，交边于点，在上取点，连接，使． (1)求证：； (2)当，时，求的度数． 16．（25-26八年级上·安徽亳州·期末）已知的三边长分别为，，． (1)若，，满足，试判断的形状； (2)若，，且为整数，求的周长的最大值． 17．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，在平面直角坐标系中，有． (1)点A的坐标是________，点B的坐标是________． (2)将向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到，在坐标系中画出． (3)求的面积． 18．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，是的边上的中线，已知，． (1)边的取值范围是 ； (2)若的周长为30，则的周长为 ； (3)在中，若边上的高为6，求边上的高． 19．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，平面直角坐标系中，有三角形． (1)请直接写出点的坐标是_____； (2)将三角形向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到三角形，请在坐标系中作出平移后的三角形； (3)请求出三角形的面积． 20．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，点在上，过点作，交于点．平分，交的平分线于点，与相交于点，过点作交的延长线于点． (1)若，，则_____，_____． (2)若，当的度数发生变化时，，的度数是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，求，的度数（用含的代数式表示）． (3)若，试猜想与之间的数量关系，并证明． 21．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图1，已知线段，相交于点，连接，，我们把形如这样的图形称为“八字图形”． (1)如图1，探究，，，之间的数量关系． (2)如图2，平分，平分，，交于点． ①若，，求的度数； ②如图3，若将条件中角的关系改成“，”，试判断与，之间存在的数量关系，并说明理由． 22．如图，在中，是角平分线，点在边上（不与点，重合），与交于点． (1)若是中线，，，则与的周长差为 ； (2)若是高，，求的度数； (3)若是角平分线，，求的度数． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 三角形特殊线段综合 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、构成三角形的条件（选择填空基础题） 题型二、高线等面积计算（核心计算题） 题型三、中线周长与面积综合计算（高频大题） 题型四、角平分线线段与角度计算 题型五、三类线段综合压轴题（期中期末难点） 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 所有三角形特殊线段题型，均可通过以下4种通法破解，覆盖95%以上考题。 通法一：等面积法（高线专属万能法） 适用场景：已知三角形任意一组底和高，求另一组底、高；直角三角形斜边上的高计算；多高共存的面积换算。 解题步骤： 1.用一组已知底和高，表示三角形面积； 2.用未知量和对应底/高，列面积等式； 3.解方程求出未知线段长度。 核心公式：S=a·hₐ=b·hᵦ=c·h꜀ 通法二：中线双性质法（面积+周长） 适用场景：中线相关周长计算、面积分割、不规则三角形面积求解。 解题逻辑： 1.遇面积问题：直接用“中线等分面积”，多层中线可层层等分； 2.遇周长问题：剔除公共中线边长，周长差=两边边长差，无需逐一计算周长。 通法三：角平分线距离等量代换法 适用场景：角平分线+垂线、求线段长度、证明线段相等、面积计算。 解题步骤： 1.过角平分线上的点，向角两边作垂直辅助线； 2.利用“距离相等”进行线段等量替换； 3.结合直角三角形、面积公式求解。 通法四：分类讨论法（高频易错必考） 适用场景：高线位置不确定、等腰三角形特殊线段、周长多解问题。 分类标准：按三角形类型（锐角、直角、钝角）分类，重点讨论高线在内部/外部的情况，最后用三角形三边关系验证解的有效性，舍去不合理值。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、构成三角形的条件（选择填空基础题） 【典例1】．（25-26八年级上·安徽淮北·期末）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（    ） A．1，2，3 B．2，3，5 C．3，4，8 D．4，5，6 【答案】D 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题考查三角形三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，判断各组线段是否能组成三角形． 【详解】解：对于选项A：∵，∴不能组成三角形． 对于选项B：∵，∴不能组成三角形． 对于选项C：∵，∴不能组成三角形． 对于选项D：∵，∴能组成三角形． 故选：D． 【典例2】．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）下列各组线段中，能构成三角形的是（） A．2，2，5 B．3，4，1 C．4，5，6 D．3，5，8 【答案】C 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题考查三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边．判断时，只需计算较短两条线段的和是否大于最长线段． 【详解】解：∵选项A：，∴不能构成三角形； ∵选项B：，∴不能构成三角形； ∵选项C：，∴能构成三角形； ∵选项D：，∴不能构成三角形． 故选：C． 【典例3】．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）下列长度的三条线段首尾相连能组成三角形的是（    ） A．3，3，6 B．5，12，5 C．7，8，9 D．12，7，4 【答案】C 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题考查三角形的三边关系．根据三角形三边关系“三角形的任意两边之和大于第三边”进行解答即可．直接计算每个选项的任意两边之和与第三边比较即可判断． 【详解】∵ 三角形三边关系要求任意两边之和大于第三边，所以只需要两条 较小的边长之和大于第三边即可， 对于：，等于第三边，不满足； 对于：，不满足； 对于：，满足； 对于：，不满足； ∴ 能组成三角形的是． 故选：C． 题型模版 考查内容：区分线段、射线、直线；判断三类线段的位置、交点性质；辨析各类三角形高的分布。 【变式1】．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）若长度分别为a、3、5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（   ） A．10 B．8 C．6 D．2 【答案】C 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，解题的关键是掌握三角形的三边关系． 根据三角形三边关系，求出a的取值范围，再从选项中选取符合范围的值． 【详解】解：∵三角形三边关系为任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 ∴， 即， ∵选项中只有6在的范围内， 故选：C． 【变式2】．（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段检测）如图，在锐角中，是边上的高，是线段上一点，连接，则图中的直角三角形共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】三角形的分类 【分析】本题考查三角形的高，直角三角形的概念，利用三角形的高确定直角，再确定直角三角形即可． 【详解】∵是边上的高， ∴， ∴， ∴、、都是直角三角形， 图中的直角三角形共有3个， 故选：B． 【变式3】．（2024八年级上·安徽合肥·期中）有4条线段的长度分别是和，选择其中能组成三角形的三条线段作三角形，则可作______个不同的三角形． 【答案】3 【知识点】构成三角形的条件 【分析】根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，即可获得答案． 【详解】解：（1）当取、、三条线段时，∵，，故能构成三角形； （2）当取、、三条线段时，∵，故不能构成三角形； （3）当取、、三条线段时，∵，，故能构成三角形； （4）当取、、三条线段时，∵，，故能构成三角形． 综上所述，可作3个不同的三角形． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形三边关系，理解并掌握三角形三边关系解题的关键． 题型二、高线等面积计算（核心计算题） 【典例4】．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，、分别为的边BC上的高线和中线，为边上的高线，已知，，． (1)求的长和的面积； (2)求的长． 【答案】(1)20；60 (2)24 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了三角形的中线以及面积公式的应用，解题的关键是利用中线的性质确定底边长度，结合面积公式进行计算． （1）利用中线性质求的长，再用三角形面积公式求面积； （2）通过三角形面积的两种表示方法求的长． 【详解】（1）解：是的中线， ， 则， 的面积为； （2）解：， ． 【典例5】．（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段检测）在中，，分别是，的高，，，，． (1)求的长． (2)若是的中点，连接，求的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了三角形的高，三角形的中线，解题的关键是掌握相关知识． （1）利用等面积法求解即可； （2）先求出的面积，再根据三角形的中线平分三角形的面积即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 在中，，分别是，的高，， ，即， ； （2），， ， 是的中点， ． 【典例6】．如图所示，已知，分别是的高和中线，，，，． (1)求的长． (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求面积 【分析】本题考查三角形的面积，中线；掌握三角形的中线分出的两个三角形的面积相等是解题的关键． （1）利用“面积法”来求线段的长度； （2）先求出的面积，然后根据三角形的中线分出的两个三角形的面积相等解答即可． 【详解】（1）解：∵，是边上的高， ∴， ∴， ∴的长度为． （2）解：∵是直角三角形，， ∴， 又∵是边的中线， ∴． 题型模版 公式：斜边上的高=直角边乘积÷斜边。 【变式1】．（25-26八年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，分别是的高和中线． (1)若的面积为，，求的长； (2)若，，求与的周长差． 【答案】(1) (2) 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求长度 【分析】本题主要考查三角形高、中线的计算，掌握高的定义，中线的定义是关键． （1）根据三角形的面积公式计算即可； （2）根据中线得到，分别表示出的周长，的周长，列式求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，，，， ∴； （2）解：∵是的中线， ∴， ∵的周长，的周长， ∴的周长减去的周长表示为 ， ∴与的周长差为． 【变式2】．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，在与中，与相交于点E，交于点F． (1)中边上的高是___________；中边上的高是___________； (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)； (2)8 【知识点】画三角形的高、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查了三角形高的意义和求三角形面积，解题的关键是掌握三角形高的意义和求三角形面积公式． （1）根据三角形某条边上高的定义可以得解； （2）根据三角形面积公式即可求出答案． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴的边上的高是； ∵在中， ∴的边上的高是； 故答案为：，. （2）解：∵在中， ，，， 的面积为． 【变式3】．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图所示，分别是的高，已知． (1)请画出的高和； (2)求的面积； (3)若，求的长． 【答案】(1) 解：依题意，即为所求作的高，如图所示： ； (2)30 (3) 【知识点】画三角形的高、与三角形的高有关的计算问题 【分析】（1）根据三角形的高的定义，分别画出和即可； （2）利用三角形面积公式列式计算，即可求得； （3）根据三角形面积公式得到，即可得到，从而求得． 本题主要考查了三角形的高、三角形的面积，熟知三角形的面积公式是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：∵，是的高， ∴． （3）解：∵是的高，且 ∴， ∴， ∴． 题型三、中线周长与面积综合计算（高频大题） 【典例7】．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，是的中线，E，F分别是和的中点，若的面积为，则的面积为（   ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】C 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题主要考查了根据三角形中线求面积，由中线可分别得出，，进而可求出． 【详解】解∶∵F是的中点， ∴， ∵的面积为， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， 故选C． 【典例8】．（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）如图，是上的中线，是上的中线．是的中点，的面积是40，则的面积是______． 【答案】5 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了根据三角形的中线求面积，熟练掌握三角形的中线将三角形的面积平分是解题的关键．根据三角形中线将三角形的面积平分，可逐步求得，，． 【详解】解：是上的中线，的面积是40， ， 是上的中线， ， 是的中点， ． 故答案为：5． 【典例9】．（25-26八年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，为的中线，为的中线． (1)已知，的周长为，求的周长； (2)若的面积为，，则点到边的距离为多少？ 【答案】(1) (2) 【知识点】根据三角形中线求长度、根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的中线，三角形的高，解题的关键是掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形． （1）根据中线的定义可得，然后表示出的周长，进而可得的周长； （2）根据等底等高的三角形的面积相等用的面积表示出的面积，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】（1）解：为的中线， ， ， ， 的周长为：， ， 的周长为：； （2）解：设点到边的距离为， 为的中线，为的中线， ，， ， ， ，即点到边的距离为． 【典例10】．如图，在中，E是中线的中点，的面积是1，求的面积． 【答案】 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查三角形的中线．根据三角形的中线平分三角形的面积，进行求解即可． 【详解】解：作于点H， ∵E为中点， ∴， ∵， ∴， ∵是中线， ∴同理可得． 题型模版 考法1：周长差计算：三角形中线分三角形为两个小三角形，周长差等于原三角形两组对边的边长差，与中线无关。 考法2：面积递推计算：多条中线嵌套，面积逐层减半，可快速求不规则阴影面积。 考法3：周长分类讨论：等腰三角形一腰上的中线分周长为两部分，已知周长差，求腰长、底边长，需分类验证三边关系。 【变式1】．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，已知点D，E，F分别为线段中点，且的面积等于，则阴影部分图形面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题主要考查了三角形的中线的性质，解题的关键是掌握三角形中线的性质． 根据三角形中线的性质得出相等的边，然后得出三角形面积的关系进行求解即可． 【详解】解：∵点F是的中点， ∴， ∵的底是的底是，高相等， ∴， ∵E是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵的面积等于， ∴阴影部分的面积为． 故选：A． 【变式2】．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，是边上的中线，，与交于点F，若的面积等于16． （1）的面积为_________； （2）设的面积为m，的面积为n，则_________． 【答案】 4 / 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了三角形中线的意义，三角形面积的性质，解方程，熟练掌握中线的意义是解题的关键． （1）设边上的高为h，根据题意，得，，结合得，代入计算即可． （2）根据是边上的中线，的面积等于16，得到，结合的面积为m，的面积为n，得到即，连接，根据，得到，根据是边上的中线，，继而得到，得到，代入解答即可． 【详解】（1）解：设边上的高为h，根据题意，得， ， ∵， ∴， 故答案为：4． （2）解：根据是边上的中线，的面积等于16，得到， 又的面积为m，的面积为n，得到即， 如图，连接，根据， 得到， 又是边上的中线，， 故， 解得， 故． 故答案为：． 【变式3】．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，、分别为的边BC上的高线和中线，为边上的高线，已知，，． (1)求的长和的面积； (2)求的长． 【答案】(1)20；60 (2)24 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了三角形的中线以及面积公式的应用，解题的关键是利用中线的性质确定底边长度，结合面积公式进行计算． （1）利用中线性质求的长，再用三角形面积公式求面积； （2）通过三角形面积的两种表示方法求的长． 【详解】（1）解：是的中线， ， 则， 的面积为； （2）解：， ． 【变式4】．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，是的中线，是的中线． (1)若，的周长为24，求的周长； (2)若，求的面积． 【答案】(1)20 (2)8 【知识点】根据三角形中线求长度、根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了三角形中线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形中线等分线段，等分面积． （1）由是的中线，得到，再结合的周长，，即可得到的周长； （2）由三角形中线的性质可得，，易得，即，最后再求的面积即可． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， ∵的周长，， ∴ ∴， ∴， ∴的周长 （2）解：是的中线， ， ， ， 又∵是的中线， ， 又， ， ， 的面积是． 题型四、角平分线线段与角度计算 【典例11】．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，在中，线段是的角平分线、是边上的中线，垂直于，已知：，则长是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求面积、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形面积公式． 过点作于点，如图，先利用三角形面积公式得到，再根据角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式，利用可求出的长． 【详解】解：过点作于点，如图， ∵是边上的中线， ∴， ∴， ∵线段是的角平分线，， ∴， ∵， ∴， 解得． 故答案为：B． 【典例12】．（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，是的高，是的角平分线，，求的度数． 【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】由高线可得，再由三角形的内角和可求得，从而可求得，由角平分线的定义可求得，则可根据三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：是的高线， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 【典例13】．（25-26八年级上·安徽亳州·期末）如图，中，是上的高，平分，，，求与的度数． 【答案】、的度数分别为、 【知识点】角平分线的有关计算、与三角形的高有关的计算问题、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，关键是三角形内角和定理的应用； 先利用三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线的定义求出，的度数，再利用三角形内角和定理求出，的度数，即可求出的度数． 【详解】解：，， ， 是的平分线， ， ，是边上的高， ， ； 在中，， 答：、的度数分别为、． 题型模版 考法1：单纯角度计算，结合三角形内角和、外角性质求角度； 考法2：角平分线+垂线，利用距离相等求线段长、图形面积； 考法3：双角平分线模型（内角平分线、内外角平分线夹角计算）。 【变式1】．（25-26八年级上·安徽铜陵·期中）如图，在中，，点，，分别是边，，上的点，且，，相交于点，若点是的重心．则以下结论：①线段，，是的三条角平分线；②的面积是面积的一半；③图中与面积相等的三角形有个；④；⑤．其中一定正确结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】根据三角形中线求面积、重心的有关性质 【分析】本题考查了三角形重心的性质以及三角形面积计算，依次判断各结论． 【详解】解：①，，相交于点，点是的重心，重心是三条中线的交点， 线段，，是的三条中线， 故①错误； ②线段，，是的三条中线， 三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分， 即， 设过顶点的高为，则， ， ， 设过顶点的高为，则， ， ， ， 故②正确； ③根据②可同理得到：， 故③正确； ④， 等底同高的三角形面积相等， 即， ， ， 故④正确； ⑤和不一定相等， 不一定等于， 故⑤错误； 故答案为：C． 【变式2】．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，分别为的中线和高，为的角平分线． (1)若，求的大小； (2)若的面积为48，，求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求面积、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查三角形外角的性质，角平分线定义，直角三角形的性质，三角形面积公式．本题的关键应用三角形的角平分线、高和中线的定义，三角形外角的性质，三角形面积公式． （1）由三角形的外角性质计算出，由角平分线定义得到，由直角三角形的性质求出的度数为； （2）先根据三角形中线定义得到，然后利用三角形面积公式即可求的长． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵为高， ∴， ∴． （2）∵为中线，， ∴， ∵的面积为48，， ∴． 【变式3】．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，是上一点，连接，是的中点，于点． (1)若平分，，，求的度数． (2)若，且的面积，求的值．（用含的式子表示） 【答案】(1) (2)m 【知识点】根据三角形中线求面积、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形内角和，角平分线的定义，三角形中线的性质． （1）根据三角形内角和得到，根据角平分线的定义得到，根据三角形内角和得到，最后根据计算即可； （2）根据是的中点得到，根据得到，最后根据即可得到． 【详解】（1）解：，，， ． 平分， ． ， ， ， ； （2）解：是的中点， ，． ， ． ， ． 【变式4】．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，四边形，、分别平分四边形的外角和，若，． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，若与相交于点，，请直接写出，所满足的数量关系式； (3)如图，若，判断，的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) ，理由：如图，过点作，    则， ， 由（1）知， ， ， 又、分别平分和， ， ， 又， ， ， 又， ． 【知识点】角平分线的有关计算、与平行线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用 【分析】此题主要考查了平行线的性质及其判定、平角的定义，三角形内角和，角平分线的定义，用整体代换的思想是解本题的关键，整体思想是初中阶段的一种重要思想，要多加强训练． （1）利用四边形的内角和和平角的定义推导即可； （2）利用角平分线的定义，四边形的内角和以及三角形的内角和转化即可； （3）利用角平分线的定义以及平行线的判定与性质即可解答． 【详解】（1）解：四边形的内角和为， ， 和是四边形的外角， ，， ， ； （2）解：． 理由：如图1，连接BD，    由（1）有，， 、分别平分四边形的外角和， ， ， ， 在中，， 在中，，， ， ， ， ． 故答案为； 题型五、三类线段综合压轴题（期中期末难点） 【典例14】．如图，在中，是边上的高，． (1)若是的平分线，求的度数； (2)若是边上的中线，求的长． 【答案】(1) (2)6 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求长度、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、中线以高线，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）根据三角形内角和定理得，根据角平分线定义求出，再由三角形的内角和定理求得； （2）根据三角形面积公式求出，再由中线的性质求出． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∵是的平分线， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵是边上的高，， ∴，即， ∴， ∵是边上的中线， ∴． 【典例15】．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，和分别是的高和角平分线，是边的中线． (1)若的面积为6，则的面积为 ； (2)若，求和的度数． 【答案】(1)12 (2) 【知识点】根据三角形中线求面积、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查三角形的三线，与角平分线有关的三角形的内角和问题，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据三角形的中线平分面积即可得出结果； （2）高线得到，三角形的内角和定理求出，的度数，角平分线求出的度数，再根据三角形的内角和定理求出的度数即可． 【详解】（1）解：∵是边的中线， ∴， ∵的面积为6， ∴的面积为12， 故答案为：； （2）解：∵是的高， ∴， ∵， ∴，， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 【典例16】．（25-26八年级上·安徽淮北·期中）如图，，，分别是的高线，角平分线和中线． (1)下列结论：①，②，③，④与互余，其中正确的是_____（只填序号）． (2)若，，求的度数． (3)若，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)②③④ (2) (3) 【知识点】角平分线的有关计算、与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求面积、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线、高线、中线的性质以及三角形的内角和定理，熟悉相关性质是解题的关键． （1）依据分别是三角形的高线，角平分线及中线，即可得出 ， ，，据此分别判断各选项即可； （2）先根据三角形的内角和求出，然后分别求出和，再利用角的和差计算即可； （3）根据题意可以用和表示出和，从而可以得到与的关系． 【详解】（1）解：∵，，分别是的高线，角平分线，中线， ∴ ， ，， 而不一定成立，故①不正确，②正确； ∴， ∴，即与互余，④正确； ∴，， ∴，③正确； 综上所述，正确的是：②③④， 故答案为：②③④； （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ， ∴； （3）解：， 理由：在中，，分别是的高和角平分线， ，，， ． 题型模版 1.命题特点：同时结合中线、高、角平分线，融合角度计算、面积求解、线段证明、分类讨论。 2.常见考法：证明线段相等、证明垂直、求动态三角形面积、多解问题探究。 【变式1】．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图，AD是的角平分线，点在上（不与点重合），连接BE，交AD于点O． (1)如图1，若BE是的中线，，则与的周长差为___________； (2)如图2，若BE是的高，，则的度数为___________； (3)如图3，若BE是的角平分线，，求的度数． 【答案】(1)3 (2) (3) 【知识点】角平分线的有关计算、与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求长度、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形的中线，角平分线，高线以及三角形内角和． （1）由中线的定义得，然后利用周长公式求解即可； （2）先求出，再根据角平分线的定义求出，， 然后利用三角形内角和定理求出，则，即可求解； （3）先由三角形内角和定理求出，再根据求解即可． 【详解】（1）∵是的中线， ∴， ∴与的周长差为： ． 故答案为：3； （2）∵是的高， ∴． ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （3）∵， ∴， ∵是的角平分线，是的角平分线， ∴， ∴ ． 【变式2】．如图，是的角平分线，点E在边上（不与点A，C重合），连接，交于点O． (1)如图1，若BE是的中线，，则与的周长差为 ． (2)如图2，若，BE是的高，则的度数为 ． (3)如图3，若，BE是的角平分线，求的度数． 【答案】(1)3 (2) (3) 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求长度、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形的中线，角平分线，高线以及三角形内角和． （1）由中线的定义得，然后利用周长公式求解即可； （2）先求出，再根据角平分线的定义求出，然后利用三角形内角和定理即可求解； （3）先由三角形内角和定理求出，再根据求解即可． 【详解】（1）∵是的中线， ∴， ∴与的周长差为： ． 故答案为：3； （2）∵是的高， ∴． ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 故答案为：； （3）∵， ∴， ∵是的角平分线，是的角平分线， ∴， ∴ ． 【变式3】．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，，，分别是的高线，角平分线和中线， (1)下列结论：①，②，③，④与互余，其中正确的是________（只填序号）． (2)若，，求的度数． (3)若，直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)②③④ (2) (3) 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求面积、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线、高线、中线的性质以及三角形的内角和定理，熟悉相关性质是解题的关键． （1）依据分别是三角形的高线，角平分线及中线，即可得出 ， ，，据此分别判断各选项即可； （2）先根据三角形的内角和求出，然后分别求出和，再利用角的和差计算即可； （3）根据题意可以用和表示出和，从而可以得到与的关系． 【详解】（1）解：∵，，分别是的高线，角平分线，中线， ∴ ， ，， 而不一定成立，故①不正确，②正确； ∴， ∴，即与互余，④正确； ∴，, ∴，③正确； 综上所述，正确的是：②③④， 故答案为：②③④； （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ， ∴； （3）解：， 理由：在中，，分别是的高和角平分线， ，，， ． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，将三角形纸片沿折叠，点A落在点F处，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据翻折的性质得出相等角，再根据平角定义表示出，最后利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：根据折叠的性质得，，， ∴，， ， ∴ ， ∴． 2．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）已知等腰三角形的两边长为和，这个三角形周长是（   ）cm A．16 B．20 C．16或20 D．不确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，解题的关键是掌握分类讨论的数学思想． 等腰三角形有两边相等，需分情况讨论并验证三角形三边关系. 【详解】解：当腰为时， ∵， ∴该三边无法构成三角形，该种情况舍去； 当腰为时， ， 满足三边关系， 周长为， 故选：B． 3．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，AD，AE分别是边BC上的中线和高，点在点的左侧，已知，，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了三角形面积及中线的性质，根据面积及高求出底边，再利用中线的性质解决问题是解题的关键．根据三角形的面积及高求得底边的值，再利用中线的性质即可求得结果． 【详解】解：由题意得， ， ， 又为的中线， ， ， ， 故选：B． 4．（25-26八年级上·安徽宣城·期末）如图，在中，点分别在边上，是的中点，与相交于点，则的面积为（    ） A．9 B．12 C．16 D．18 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质和同高不等底的三角形面积关系，根据三角形中线平分三角形面积，可得，再由，求出即可． 【详解】解：由是的中点，， ∴， 由， ∴， 故选：C． 5．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，在中，分别取，的中点，，连接，过点作，垂足为，将分割后拼接成长方形．若，，则的面积是（    ） A．60 B．90 C．100 D．120 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质、三角形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据图形的拼剪，求出以及边上的高即可解决问题． 【详解】解：由题意，，，， ∴， ∴， ∴的边上的高为， ∴． 故选：D ． 6．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，D是中边AB的中点，连接，E是的中点，连接，．若，则阴影部分的面积为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了中线平分三角形面积，解题关键是理解三角形的中线平分三角形的面积．本题利用阴影面积等于整个大三角形面积的一半即可求解． 【详解】解：∵E是的中点， ∴， 则， 故选： C． 7．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，已知点为上一点，点分别为的中点，且，则图中的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段中点的性质，由是的中点可得，，即得，进而由是的中点即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：是的中点， ，， ∴， 是的中点， ， 故选：． 8．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，线段，交于点O，点E在的延长线上，，分别平分，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题涉及角平分线的性质、三角形内角和定理等知识点，先根据三角形内角和定理得出，结合，得出，根据角平分线的定义得出，，即可得出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，分别平分， ∴，， ∴． 故选：C． 9．（25-26八年级上·安徽·期末）如图，在中，已知D，E，F分别是边的中点，且阴影部分图形的面积为6，则的面积为（    ） A．12 B．16 C．18 D．24 【答案】D 【分析】本题主要考查了与中线有关的三角形面积的计算，利用三角形中线将三角形面积进行转化是解题的关键． 由点F是的中点可得，由点E是的中点可得，，从而得到，再由，进而求得的面积． 【详解】解：∵点F是的中点， ∴， ∵点E是的中点， ∴，， ， ∵， ． 故选：D． 二、填空题 10．（25-26八年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，已知点D，E，F分别是的中点，且的面积是5，则的面积是______． 【答案】5 【分析】本题考查了三角形中线平分三角形面积，掌握这一性质是关键；由点D，F分别是的中点，可得的面积等于的面积，再由点E是的中点即可求得的面积． 【详解】解：∵点D，F分别是的中点， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 故答案为：5． 11．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，在中，于点D，，于点F，则线段与的比值为__________ 【答案】 【分析】本题考查了三角形高的定义，求线段的比，利用三角形的面积作为桥求解是解的关键． 设，则，令,，根据求出，即可求解比值． 【详解】， 设，则， ， ， 令,， ，， ， ， ，， ， ， ； 故答案是． 12．（25-26八年级上·安徽蚌埠·阶段检测）如图，的面积为，D是的中点，点E在边上，且，与相交于点O，则四边形的面积为________． 【答案】 【分析】连接，设，，则由题意，，利用已知条件可知，，据此列出方程组，解方程组即可得出结论． 【详解】解：连接， ∵D是的中点， ． ∴， ∵， ， 设，，则，， ∵， ， ， ． ，， 可列方程组：， 解得：． ． 故答案为：． 【点睛】本题考查二元一次方程组，三角形的面积公式，等底同高的三角形面积相等，高相同的三角形的面积比等于底的比，二元一次方程组的解法，掌握相关知识是解决问题的关键． 13．如图，在中，是边上的点，是边上的点，且，，若的面积为，则的面积为____．      【答案】 【分析】连接，把分成几个小三角形，再根据线段比，用，表示小三角形面积，由面积和即可求解． 【详解】如图，连接，令、、、的面积分别为、、、，    ∵，， ∴，，，， ∴，， 整理得：，， ∵，， 解得：，，，， ∴， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了三角形的面积，解题的关键是根据线段比，求出小三角形面积，充分运用数形结合的思想方法，从图形中寻找各三角形面积之间的关系． 14．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图1已知线段，相交于点，连接，，我们把这种图形称之为“8字型”，试解答下列问题： （1），，，之间的等量关系为______； （2）如图2，和的平分线和相交于点，并与，分别交于点，．若，，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理及角平分线的性质，解题的关键是利用“8字型”图形中对顶角相等，结合三角形内角和推导角度关系． （1）利用三角形内角和定理，结合对顶角相等，推导、、、的等量关系； （2）设角平分线分成的角为相等的两部分，结合“8字型”角度关系，联立方程求解 【详解】（1）解：在和中， ∵ （对顶角相等），， ， ∴ ， 故答案为：． （2）解：设，， 由（1）得：， 两式相加得：，代入，，得， 解得， 故答案为：． 三、解答题 15．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）如图，在中，是的平分线，交边于点，在上取点，连接，使． (1)求证：； (2)当，时，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵是的平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴； (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，角平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）由角平分线定义可得，从而有，然后通过平行线的判定方法即可求证； （）由平行线的性质可得，再通过三角形内角和定理求出，最后由角平分线定义即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∴， 又∵平分， ∴． 16．（25-26八年级上·安徽亳州·期末）已知的三边长分别为，，． (1)若，，满足，试判断的形状； (2)若，，且为整数，求的周长的最大值． 【答案】(1)是等边三角形 (2)的周长的最大值为19 【分析】本题考查了三角形的三边关系，非负数的性质，三角形的分类． （1）根据偶次幂的非负性可得，然后问题可求解； （2）根据三角形的三边关系可得，然后问题可求解． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：∵，， ∴根据三角形三边关系可知， ∵为整数， ∴当时，的周长为最大，即为． 17．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，在平面直角坐标系中，有． (1)点A的坐标是________，点B的坐标是________． (2)将向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到，在坐标系中画出． (3)求的面积． 【答案】(1)， (2) 如下图所示： (3)2.5 【分析】本题主要考查了画平移图形，写出直角坐标系中点的坐标以及网格求三角形面积等知识． （1）根据直角坐标系直接写出点的坐标即可． （2）根据平移画出图形即可． （3）利用网格求三角形面积即可． 【详解】（1）解：根据平面直角坐标系可知，， 故答案为：，． （2）略 （3）解：的面积可视为长方形面积减去三个三角形的面积，将其设为S， 则， 故的面积为2.5． 18．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，是的边上的中线，已知，． (1)边的取值范围是 ； (2)若的周长为30，则的周长为 ； (3)在中，若边上的高为6，求边上的高． 【答案】(1) (2)28 (3)边上的高为 【分析】本题考查了三角形的三边关系，三角形的角平分线、中线，和高，熟知三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边是解题的关键． （1）直接根据三角形三边关系进行解答即可； （2）将的周长转换为即可得出答案； （3）设边上的高为h，根据三角形面积公式列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：∵，的周长为30， ∴， ∴， ∴， ∵点D是边的中点， ∴， ∴， 故答案为：28． （3）解：设边上的高为h， 则， 解得， ∴边上的高为． 19．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，平面直角坐标系中，有三角形． (1)请直接写出点的坐标是_____； (2)将三角形向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到三角形，请在坐标系中作出平移后的三角形； (3)请求出三角形的面积． 【答案】(1) (2) 如图，即为所求： (3) 【分析】本题考查了平移变换以及坐标与图形，熟练掌握割补法求格点三角形的面积是解题关键． （1）根据图形直接写出坐标即可； （2）根据平移的性质作图即可； （3）利用割补法求面积即可． 【详解】（1）解：由平面直角坐标系可知B的坐标是， 故答案为：； （2）略 （3）解：的面积． 20．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，点在上，过点作，交于点．平分，交的平分线于点，与相交于点，过点作交的延长线于点． (1)若，，则_____，_____． (2)若，当的度数发生变化时，，的度数是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，求，的度数（用含的代数式表示）． (3)若，试猜想与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)114；24 (2)， (3) 解：，证明如下： 依题意，设，， 在中， ∵平分， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 即． ∴． 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，准确识图，理解角平分线定义，熟练掌握平行线的性质，灵活运用三角形的内角和定理进行计算是解决问题的关键． （1）先求出，根据角平分线的定义及平行线的性质得，，然后根据三角形的内角和定理可得出的度数；根据，进而可得出的度数； （2）根据角平分线的定义及平行线的性质得，根据三角形内角和定理得，则，进而可得出的度数；然后根据可得出的度数； （3）先理解题意，设，，在中，，因为平分，得，根据，得，又因为，所以，即，整理得，即可作答． 【详解】（1）解： 在中，，， ， 平分， ， ， ，， 平分， ， 在中，； ， ∵， ， 在中，； 故答案为：，； （2）解：、均不发生变化，，，理由如下： ， ，， 平分，平分， ，， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ∵ ∴， 在中，； （3）略 21．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图1，已知线段，相交于点，连接，，我们把形如这样的图形称为“八字图形”． (1)如图1，探究，，，之间的数量关系． (2)如图2，平分，平分，，交于点． ①若，，求的度数； ②如图3，若将条件中角的关系改成“，”，试判断与，之间存在的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①； ②．理由如下： 根据（1）可得， ，， ，， ③，④， 由③④得， ， ． 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的四等分线，对顶角的性质，三角形的内角和定理及应用，灵活运用三角形内角和定理是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理和对顶角相等求解即可； （2）①根据（1）中的结论得①，②，将，结合角平分线定义得出，最后将代入即可求解；②类比①中的方法求解即可． 【详解】解：（1），， （2）（i）根据（1）可得①，②， 由得， 平分，平分， ，， ， ， ． （ii）略． 22．如图，在中，是角平分线，点在边上（不与点，重合），与交于点． (1)若是中线，，，则与的周长差为 ； (2)若是高，，求的度数； (3)若是角平分线，，求的度数． 【答案】(1)1 (2) (3) 【知识点】角平分线的有关计算、与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求长度、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线，中线和高，理解三角形的角平分线，中线和高的定义，灵活运用三角形的内角和定理及外角性质进行角的计算是解决问题的关键． （1）根据的周长为：，的周长为：，可得与的周长差为：，再根据中线定义得，以及，即可得出答案； （2）根据是的平分线得，再根据是的高得，再由三角形外角性质得，据此即可得出答案； （3）根据得，再根据角平分线定义得，然后再由三角形内角和定理即可得出的度数． 【详解】（1）解：的周长为：， 的周长为：， 与的周长差为：， 是的中线， ， 又，， ， 即与的周长差为：1． 故答案为：1． （2）解：是的平分线，， ， 是的高， ， ； （3）解：在中，， ， 是的平分线，是平分线， ，， ， . 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $