专题07 三角形边角关系与角度综合计算（压轴题专项训练）数学新教材沪科版八年级上册

专题07 三角形边角关系与角度综合计算 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、外角计算（基础） 题型二、八字模型（8 字模型，相交对顶三角形） 题型三、飞镖（燕尾）模型，凹四边形多角叠加 题型四、三角形折叠角度综合（高频压轴填空） 题型五、平行线与三角形边角关系综合（期中期末压轴） 题型六、角平分线 + 角度综合（期中期末压轴） 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 （一）通法一：内角和定理“设元列方程”法 核心原理：三角形内角和恒为180°，直角三角形两锐角互余。凡是“已知部分角、求未知角”的问题，都可以转化为“设一个未知数、列一个一元一次方程”来解决，这是角度计算最根本的通法。 操作步骤： 1. 找到或构造一个三角形（优先选“已知角最多、未知角最少”的那个）； 2. 把它的三个内角分别用已知数与未知数表示（未知角可设为x）； 3. 由内角和列方程 ，解出未知角； 4. 回代检验：三个角之和应为180°，防止运算错误。 （二）通法二：折叠（翻折）角度通法 折叠的本质：折叠是一种轴对称变换，折痕所在直线即对称轴。折叠前后有以下不变关系： ① 对应角相等（折叠前与折叠后“同一位置”的角相等）；② 对应边相等；③ 对应点关于折痕对称，折痕垂直平分对应点连线。 三种折叠落点： 1. 顶点A落在边BC上：此时∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，且∠A＝∠A′； 2. 顶点A落在四边形BCDE内部（折叠问题的常见压轴情境）：设∠1＝∠BDA′，∠2＝∠CEA′，则有重要结论 （推导见下）； 3. 顶点A落在四边形BCDE外部：此时用“外角＝不相邻内角和”与折叠对应角共同建立等量关系。 （三）通法三：外角模型通法 模型① 直接外角：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，即 。作用是“一个角换两个角”或“两个角并一个角”，实现角的集中与拆分。 模型② “8字”模型：若两条线段AC与BD相交于O（两三角形有一对对顶角），则 。证明：△AOB中∠A＋∠B＝180°－∠AOB，△COD中∠C＋∠D＝180°－∠COD；而∠AOB＝∠COD（对顶角相等），故等式成立。作用是沟通对顶角两侧的角，实现角的转移。 模型③ “飞镖”（箭头）模型：点D在△ABC外，连接BD、CD，则 （其中∠B＝∠ABD，∠C＝∠ACD）。证明：连接AD并延长，由外角定理：∠BDE＝∠BAD＋∠ABD，∠CDE＝∠CAD＋∠ACD，两式相加即得。作用是“凹角＝三个角之和”，或反过来把三个分散角聚成一个角。 模型④ 角平分线夹角：两条内角平分线交于I（内心）时 ；两条外角平分线交于P时 。记忆口诀：“内角平分线夹角＝90°加顶角一半；外角平分线夹角＝90°减顶角一半。”（一条内角平分线与一条外角平分线交于一点时，其夹角恒等于第三角的一半。） 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、外角计算（基础） 【典例1】．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，中，，，，垂足为，平分，则的度数为________． 【答案】 【知识点】角平分线的有关计算、直角三角形的两个锐角互余、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查了三角形外角性质及角平分线的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键．先求出，从而求出，然后根据角平分线的定义求出，再根据三角形的外角的性质即可求出的度数． 【详解】解：，， ， ， ， 平分， ， ， ， 故答案为：． 题型模版 1.题型特征：三角形边向外延长，出现多层外角，多个角叠加求未知角。 2.解题技巧：层层向外代换，外角 = 不相邻两内角之和，一层一层往目标角转化；多个外角叠加，不断把角拆成更小内角。 【变式1-1】．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）请将图中的三个角、、按照大小关系排列________（用“<”连接） 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．根据三角形的外角性质得到，，进而得出结论． 【详解】解：如图， 是的外角， ， 是的外角， ， ， 故答案为：． 【变式1-2】．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，，，则的度数为 ．（用含，的式子表示） 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查了三角形的外角的性质，根据三角形的外角的性质可得，则可推出，据此可得答案． 【详解】解：如图所示， 由三角形的外角的性质可得， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 【变式1-3】．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，在中，点在边的延长线上，．求证：． 【答案】 证明：由三角形的外角性质得， ∵， ∴，即． 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了三角形的外角性质．根据三角形的外角性质得，结合，即可证明． 题型二、八字模型（8 字模型，相交对顶三角形） 【典例2】．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）线段、相交于点，连接、，我们把如图1的图形称之为“8字形”，则，如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、，若，，则的度数是______．    【答案】/35度 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查三角形内角和及外角，角平分线等知识点，熟练掌握基本知识是解题关键； 由“8字形”结论可知， ，结合，得到，再由角平分线得到，，最后代入计算即可． 【详解】解：由“8字形”结论得到， ， ∵，， ∴， ∴， ∵和的平分线和相交于点P， ∴，， ∵， ∴ ． 故答案为： ． 【典例3】．如图，平分，交于点F，平分交于点E，与相交于点G，． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 【答案】（1）；（2）． 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠ADP= ，然后利用三角形外角的性质即可得解； （2）根据角平分线的定义可得∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA，再根据三角形的内角和定理可得∠A+∠ADP=∠P+∠ABP，∠C+∠CBP=∠P+∠PDF，所以∠A+∠C=2∠P，即可得解． 【详解】解：（1）∵DP平分∠ADC， ∴∠ADP=∠PDF=， ∵， ∴， ∴； （2）∵BP平分∠ABC，DP平分∠ADC， ∴∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA， ∵∠A+∠ADP=∠P+∠ABP， ∠C+∠CBP=∠P+∠PDF， ∴∠A+∠C=2∠P， ∵∠A=42°，∠C=38°， ∴∠P=（38°+42°）=40°． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理及三角形外角的性质，角平分线的定义，熟记定理并理解“8字形”的等式是解题的关键． 【典例4】．（2025八年级上·安徽滁州·专题练习）已知：线段、相交于点，连接、． (1)如图，求证：； (2)如图，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于点、，，，求的度数； (3)如图，和的三等分线和相交于点，并且与、分别相交于点、，，，试探究、、三者之间存在的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) 证明：，， ； (2) (3) ． 理由：，， ，， 由（1）可得，， ， ． 【知识点】角平分线的有关计算、角n等分线的有关计算、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查角平分线的定义、三角形的内角和定理等知识点，灵活运用三角形外角的性质是解题的关键． （1）根据三角形的内角和定理以及对顶角相等即可证明结论； （2）由角平分线的定义可得∠ADE=∠CDE、∠ABE=∠CBE，由（1）可得，，得出，代入数据即可求解； （3）由三等分线的定义可得，，由（1）可得，代入即可求解． 【详解】（1）略 （2）和的平分线和相交于点， ，， 由（1）可得，， ， ，， ； （3） 略 题型模版 1.图形特征：两个三角形对顶相交，形似 “8”，交点产生一组对顶角。 2.解题技巧 1. 看到两条线段交叉形成两个三角形，立刻识别八字模型； 2. 作用：实现角的等量转移，把左边两个角 “搬运” 到右边； 3. 复杂图形可以嵌套多个八字，一层一层倒角。 【变式2-1】．（25-26八年级上·安徽池州·阶段检测）如图①，与相交于点，得到一个“字”． (1)求证：. (2)如图②，其中共有几个“字” (3)如图②，若，分别是，的平分线，利用（1）中的结论，求证：． 【答案】(1) 证明：在中，． 在中，． ， ； (2) (3) 证明：在“字”中，由（1），可得． 在“字”中，由（1），可得． 由，得． 平分，平分， ，． ∴，即 【知识点】角平分线的有关计算、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义，熟练掌握“字”的定义是解此题的关键 （1）利用三角形内角和定理解决问题即可； （2）根据“字”的定义即可解决问题； （3）利用（1）中结论解决问题即可 【详解】（1）略 （2）解：如图：令、交于点，、交于点，、交于点， 由图可得：图中有“字”、“字”、“字”，“字”、“字”、“字”，共有个“字”； （3）略 【变式2-2】（1）已知：如图（1）的图形我们把它称为“8字形”，试说明：． （2）如图（2），分别平分，若．求的度数． （3）如图（3），直线平分平分的外角，猜想与的数量关系是______； （4）如图（4），直线平分的外角平分的外角，猜想与的数量关系是______．    【答案】（1）解：如图，   ，， ． ， ； （2）； （3）； （4） 【知识点】角平分线的有关计算、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）根据三角形的内角和等于和对顶角的性质即可得证； （2）设，，解方程即可得到答案； （3）根据直线平分，平分的外角，得到 ，从而可以得到，再根据，得到即可求解； （4）连接,求得，，再根据，，，，即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）如图.   ，分别平分，，设，， 则有， ， （3）如图.   直线平分，平分的外角， ，， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， 即． （4）连接   直线平分的外角，平分的外角， ，， ∵， ∴ 同理得到： ∴ ∴ ∵180°， ∴， 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 【变式2-3】．阅读材料： 如图1，AB、CD交于点O，我们把△AOD和△BOC叫做对顶三角形． 结论：若△AOD和△BOC是对顶三角形，则∠A+∠D＝∠B+∠C． 结论应用举例： 如图2：求五角星的五个内角之和，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的度数． 解：连接CD，由对顶三角形的性质得：∠B+∠E＝∠1+∠2， 在△ACD中，∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°， 即∠A+∠3+∠1+∠2+∠4＝180°， ∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180° 即五角星的五个内角之和为180°． 解决问题： （1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝　； （2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝　； （3）如图③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝　； （4）如图④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝　； 请你从图③或图④中任选一个，写出你的计算过程． 【答案】（1）360°；（2）540°；（3）720°； （4）1080°； 连接ND、NE， ∵由对顶角三角形可知∠1＋∠2＝∠NGH＋∠EHG， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠M＋∠N＝六边形BCFGHM的内角和＋△AND的内角和＋△NDE的内角和＝（6－2）×180°＋360°＝1080°． 【知识点】三角形的外角的定义及性质、复杂图形的内角和 【分析】（1）连接CD，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BDC＋∠ACD，再由四边形的内角和定理得出结论； （2）连接ED，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BED＋∠ADE，再由五边形的内角和定理得出结论； （3）连接BH、DE，由对顶角三角形可知∠EBH＋∠BHD＝∠HDE＋∠BED，再根据五边形的内角和定理得出结论； （4）连接ND、NE，由对顶角三角形可知∠1＋∠2＝∠NGH＋∠EHG，再由六边形的内角和定理得出结论． 【详解】解：（1）连接CD，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BDC＋∠ACD，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°； （2）连接ED，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BED＋∠ADE，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝540°； （3）连接BH、DE， ∵由对顶角三角形可知∠EBH＋∠BHD＝∠HDE＋∠BED， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝五边形CDEFG的内角和＋△ABH的内角和＝540°＋180°＝720°； （4）略． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，根据题意作出辅助线，利用△AOD和△BOC叫做对顶三角形的性质及多边形的内角和定理解答是解答此题的关键． 题型三、飞镖（燕尾）模型，凹四边形多角叠加 【典例5】．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段检测）在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果，，那么的度数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用邻补角互补求角度、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、多边形内角和问题 【分析】延长BE交CF的延长线于O，连接AO，根据三角形内角和定理求出再利用邻补角的性质求出，再根据四边形的内角和求出，根据邻补角的性质即可求出的度数． 【详解】延长BE交CF的延长线于O，连接AO，如图， ∵ ∴ 同理得 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴, 故选：B． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，多边形内角和，三角形的外角的性质，邻补角的性质，解题关键是会添加辅助线，将已知条件联系起来进行求解．三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；邻补角性质：邻补角互补；多边形内角和：． 题型模版 1.图形特征：凹四边形，图形向内凹进，像飞镖。 2.解题技巧 1. 凹四边形直接识别飞镖，凹角等于外面三个尖角之和； 2. 复杂多角叠加图形，常嵌套八字 + 飞镖组合； 3. 求多个分散角总和，优先飞镖、八字把分散角收拢到同一个三角形。 【变式3-1】．（2025八年级上·安徽阜阳·期末）如图，若，则____________． 【答案】230° 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】根据三角形外角的性质，得到∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，即可得到结论． 【详解】解：如图 ∵∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C， ∴∠E+∠D+∠C=115°， ∵∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B， ∴∠A+∠B+∠F=115°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=230°， 故答案为：230°． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理和三角形外角的性质，解决本题的关键是要熟练掌握三角形外角性质． 【变式3-2】．如图所示，已知四边形，求证． 【答案】 证明：方法1如图所示，连接BC. 在中，，即. 在中，， ； 方法2如图所示，连接AD并延长. 是的外角， . 同理，. . 即. 方法3如图所示，延长BD，交AC于点E. 是的外角， . 是的外角， . . 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】方法1连接BC，根据三角形内角和定理可得结果； 方法2 作射线，根据三角形的外角性质得到，，两式相加即可得到结论； 方法3延长BD，交AC于点E，两次运用三角形外角的性质即可得出结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了三角形的外角性质：解题的关键是知道三角形的任一外角等于与之不相邻的两内角的和．也考查了三角形内角和定理． 【变式3-3】．模型规律：如图1，延长交于点D，则． 因为凹四边形形似箭头，其四角具有“”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．      模型应用 (1)直接应用： ①如图2，，，，则 °； ②如图3， °； (2)拓展应用： ①如图4，、的2等分线（即角平分线）、交于点，已知，，则 °； ②如图5，、分别为、的10等分线（，2，3，…，8，9）．它们的交点从上到下依次为、、、…、．已知，，则 °； ③如图6，、的角平分线、交于点D，已知，，则 °； ④如图7，、的角平分线、交于点D，则、、之间的数量关系为 ． 【答案】(1)①110；②260 (2)①85；②99；③142；④ 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】（1）①根据题干中的等式直接计算即可；②同理可得，代入计算即可； （2）①同理可得，代入计算可得； ②同理可得，代入计算即可； ③利用计算可得； ④根据两个凹四边形和得到两个等式，联立可得结论． 【详解】（1）解：（1）①； ②；    （2）① ； ② ； ③ ； ④， ， 联立得：． 所以． 【点睛】本题主要考查了新定义—箭头四角形，利用了三角形外角的性质，还考查了角平分线的定义，图形类规律，解题的关键是理解箭头四角形，并能熟练运用其性质． 题型四、三角形折叠角度综合（高频压轴填空） 【典例6】．如图，把纸片沿DE折叠，使点A落在图中的处，若，，则的大小为______． 【答案】/32度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形折叠中的角度问题 【分析】利用折叠性质得，，再根据三角形外角性质得，利用邻补角得到，则，然后利用进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵纸片沿DE折叠，使点A落在图中的A'处， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理等，理解题意，熟练掌握综合运用各个知识点是解题关键． 【典例7】．（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）如图，把沿着折叠，使点A落在四边形的内部，并且，，则的度数是______． 【答案】/45度 【知识点】三角形折叠中的角度问题 【分析】本题考查了折叠的性质和三角形的内角和定理的应用，根据折叠得出，，求出和的度数，根据三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：延长和交于O， 把沿DE折叠，点A落在四边形BCDE内部， ，， ，， ，， ，， ， 故答案是：． 题型模版 1. 第一步必须写：由折叠得：对应角相等，这是得分点； 2. 分清落点：内部用∠1+∠2=2∠A；外部用∠1‑∠2=2∠A； 3. 大题不要直接套结论，用平角、内角和推导； 4. 折叠题最容易漏看两组相等角，不要只写一组。 【变式4-1】．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）如图，在中，点是上两点，点分别是上的点，将和分别沿着折叠，它们的对应三角形分别是和．若，则______︒．    【答案】40 【知识点】三角形折叠中的角度问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了折叠的性质以及三角形内角和定理．由折叠的性质得，，利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：由折叠的性质得，， 又∵， ∴ ， 故答案为：40． 【变式4-2】．（24-25八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，在中，D、E分别是边AB、AC上一点，将沿DE折叠，使点A落在边BC上．若，求四个角和的度数？ 【答案】235° 【知识点】三角形折叠中的角度问题 【分析】依据三角形内角和定理，可得△ABC中，∠B+∠C=125°，即可得出∠1+∠2+∠3+∠4的度数． 【详解】解：∵∠A=55°， ∴△ABC中，∠B+∠C=125°， 又∵∠1+∠2+∠B=180°，∠3+∠4+∠C=180°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°-（∠B+∠C）=360°-125°=235°． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，综合运用各定理是解答此题的关键． 【变式4-3】．（2025八年级上·安徽六安·期中）如图，将三角形纸片的一个角折叠，折痕为，若． （1）求的度数； （2）求的度数．    【答案】（1）70°；（2）70° 【知识点】三角形折叠中的角度问题 【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出∠C的度数，再根据∠CFE＝75°即可得出结论； （2）由折叠可得∠BFC=180°-2∠CFE，∠AEC=180°-2∠CEF，先求出∠CFE+∠CEF=145°，然后即可求出答案． 【详解】（1）解：∵△ABC中，∠A＝80°，∠B＝65°， ∴∠C＝180°−80°−65°＝35°， ∵△AEF中，∠C＝35°，∠CFE＝75°， ∴∠CEF＝180°−35°−75°＝70°； （2）由折叠可得∠BFC=180°-2∠CFE，∠AEC=180°-2∠CEF， ∵∠C+∠CFE+∠CEF=180°，∠C=35°， ∴∠CFE+∠CEF=145°， ∴∠AEC+∠BFC=180°-2∠CEF+180°-2∠CFE=360°-2（∠CEF+∠CFE）=70°． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键． 题型五、平行线与三角形边角关系综合（期中期末压轴） 【典例8】．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）如图，，的顶点F、G分别落在直线、上，交于点H，平分．若，，求的度数． 【答案】 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】根据直角三角形的性质求出，根据角平分线的定义、平行线的性质求出，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、平行线的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键． 【典例9】．（25-26八年级上·安徽滁州·期中）如图，在中，，点在边上，于点，为的角平分线，的平分线交于点． (1)如图1，延长，交于点，若，，求的度数． (2)如图2，当，与的延长线交于点，用含的代数式表示，并说明理由． (3)如图3，若，与线段交于点，用含的代数式表示，并说明理由． 【答案】(1) (2) 解：．理由： 由八字模型可得，和中， ． (3) 解：．理由： 由四边形的内角和得， ． 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）根据平行线的性质得，根据角平分线性质得，根据平行线的性质得，根据垂直定义得，根据直角三角形锐角性质得，根据角平分线性质得，由三角形内角和定理得； （2）由八字模型可得，和中，，再利用四边形内角和整理可得答案； （3）根据四边形内角和及三角形内角和定理整理即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． （2）略 （3）略 【点睛】本题主要考查四边形内角和，三角形的内角和定理，平行线的性质，角平分线性质，熟练掌握平行线的性质和三角形的内角和是解题关键． 【变式5-1】．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，的外角的平分线交的延长线于点E． (1)求的度数； (2)过点作，交的延长线于点F，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质及三角形的外角性质，熟知直角三角形的性质及三角形的外角性质是解题的关键． （1）先求出的度数，再根据角平分线的定义即可解决问题； （2）先求出的度数，再结合平行线的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：∵在中，， 是的平分线， （2） 【变式5-2】．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，已知，点在上，点、在上．在中，，，点、在直线上，在中，，． (1)请将下列命题补充完整为一个真命题并证明： 沿直线平移的过程中，如果______，那么； (2)将沿直线平移，当点在上时，求的度数； (3)将沿直线平移，当以、、为顶点的三角形中有两个角相等时，请直接写出的度数． 【答案】(1) ， 证明：沿直线平移的过程中，如果，那么； ，， ∴， ∴ (2) (3)的度数为或或或 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、三角形内角和定理，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）根据同位角相等，两直线平行即可得解； （2）根据三角形内角和定理并结合平行线的性质计算即可得解； （3）分两种情况：当向上平移时；当向下平移时，分别结合三角形内角和定理计算即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：分两种情况， 当向上平移时， 如图1所示：当以、、为顶点的三角形中有两个角相等，即时， ， ∵， ∴； 如图所示：当以、、为顶点的三角形中有两个角相等，即时， ∵，， ∴， ∴， ， ∴； 如图所示：当以、、为顶点的三角形中有两个角相等，即时， ，， ∴， ， ∴； 当向下平移时，如图所示： 当以、、为顶点的三角形中有两个角相等，即时， ∴， ， ∴； 综上可知：将沿直线平移，当以、、为顶点的三角形中有两个角相等时，的度数为或或或． 【变式5-3】．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，四边形，、分别平分四边形的外角和，若，． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，若与相交于点，，请直接写出，所满足的数量关系式； (3)如图，若，判断，的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) ，理由：如图，过点作，    则， ， 由（1）知， ， ， 又、分别平分和， ， ， 又， ， ， 又， ． 【知识点】角平分线的有关计算、与平行线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用 【分析】此题主要考查了平行线的性质及其判定、平角的定义，三角形内角和，角平分线的定义，用整体代换的思想是解本题的关键，整体思想是初中阶段的一种重要思想，要多加强训练． （1）利用四边形的内角和和平角的定义推导即可； （2）利用角平分线的定义，四边形的内角和以及三角形的内角和转化即可； （3）利用角平分线的定义以及平行线的判定与性质即可解答． 【详解】（1）解：四边形的内角和为， ， 和是四边形的外角， ，， ， ； （2）解：． 理由：如图1，连接BD，    由（1）有，， 、分别平分四边形的外角和， ， ， ， 在中，， 在中，，， ， ， ， ． 故答案为； （3）略 题型六、角平分线 + 角度综合（常和外角、折叠结合） 【典例10】．（25-26八年级上·安徽蚌埠·阶段检测）如图，在中，是高线，，是角平分线，，相交于点O，，． (1)求的度数． (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】角平分线的有关计算、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查角平分线、角之间的计算，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． （1）根据题意易得到，根据角平分线的性质得到，根据进行计算求解即可； （2）根据题意易得到，根据角平分线的性质得到和，根据进行计算求解即可． 【详解】（1）解：， ． ， ． 平分，， ， ． （2）解：，， ． ，分别是，的平分线， ，， ． 【典例11】．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，在中，内角平分线和外角平分线相交于点P，根据下列条件求的度数． (1)若，，则 ，若，则 ； (2)若，则 ； (3)从以上的计算中，你能发现与的关系是 ； (4)证明第（3）题中你所猜想的结论． 【答案】(1)； (2) (3) (4) ∵的内角平分线和外角平分线相交于点P， ∴， 即与的关系是． 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，，再由三角形外角的性质，即可； （2）根据角平分线的定义，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，即可； （3）根据前两问的结果，即可求解； （4）根据角平分线的定义和再由三角形外角的性质，即可． 【详解】（1）解：∵的内角平分线和外角平分线相交于点P，，， ∴，， ∵， ∴； ∵的内角平分线和外角平分线相交于点P， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵的内角平分线和外角平分线相交于点P， ∴， ∴； 故答案为： （3）解：从以上的计算中，能发现与的关系是 故答案为： （4）解：略． 【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，有关角平分线的三角形的内角和定理，熟练掌握三角形外角的性质，三角形的内角和定理是解题的关键． 【典例12】．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图1，在中，若，则称，分别为的“三分线”，其中，是“邻三分线”，是“邻三分线”． (1)如图2，在中，，．若的邻三分线交于点D，则 °； (2)如图3，在中，是的邻三分线，是的邻三分线．若，求的度数； (3)如图4，在中，是的外角，的三分线与的邻三分线交于点P．若，，求的度数．(用含的代数式表示) 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查三角形内角和定理、三角形外角性质、角三分线的定义，同时涉及分类讨论思想与代数推导能力． （1）先根据“邻三分线”的定义求出，再利用三角形外角性质()计算； （2）先由三角形内角和得的度数，再根据三分线定义得到的比例关系，最后用内角和求出； （3）先由外角性质得，再分“为邻三分线”“为邻三分线”两种情况，结合外角性质分别推导的表达式． 【详解】（1）解：∵，是邻三分线， ∴． ∵是的外角，， ∴． 故答案为：； （2）解：∵，∴． ∵是的邻三分线，是的邻三分线， ∴，． ∴． 在中，； （3）解：∵是的外角，∴． ∵是的邻三分线， ∴，． 情况1：如图，为的邻三分线 ∵是的邻三分线， ∴，． ∵是的外角，∴， 代入得，化简得． 情况2：如图，为的邻三分线 ∵是的邻三分线，∴． ∵是的外角，∴． 代入得，化简得． 故答案为：或． 【变式6-1】．在中，点B，C分别是，上一点，和的角平分线交于点 (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，求的度数； (3)如图3，和的角平分线交于点Q，直接写出和之间的数量关系______． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】角平分线的有关计算、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据三角形内角和求出，再根据角平分线的定义得到，，继而利用三角形内角和代入计算即可； 根据角平分线的定义得到，，再利用三角形内角和得出，结合，代入求解即可； 根据角平分线的定义得到，，，，继而推出，再利用四边形内角和计算即可得出关系． 【详解】， ， 和的角平分线交于点P， ，， ； 和的角平分线交于点P， ，， ， ， ， ， 解得：， ； 和的角平分线交于点P， ，， 和的角平分线交于点Q， ，， ， ， 同理：， 故答案为：． 【变式6-2】．（25-26八年级上·安徽淮北·期中）如图，，，分别是的高线，角平分线和中线． (1)下列结论：①，②，③，④与互余，其中正确的是_____（只填序号）． (2)若，，求的度数． (3)若，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)②③④ (2) (3) 【知识点】角平分线的有关计算、与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求面积、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线、高线、中线的性质以及三角形的内角和定理，熟悉相关性质是解题的关键． （1）依据分别是三角形的高线，角平分线及中线，即可得出 ， ，，据此分别判断各选项即可； （2）先根据三角形的内角和求出，然后分别求出和，再利用角的和差计算即可； （3）根据题意可以用和表示出和，从而可以得到与的关系． 【详解】（1）解：∵，，分别是的高线，角平分线，中线， ∴ ， ，， 而不一定成立，故①不正确，②正确； ∴， ∴，即与互余，④正确； ∴，， ∴，③正确； 综上所述，正确的是：②③④， 故答案为：②③④； （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ， ∴； （3）解：， 理由：在中，，分别是的高和角平分线， ，，， ． 【变式6-3】．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图，AD是的角平分线，点在上（不与点重合），连接BE，交AD于点O． (1)如图1，若BE是的中线，，则与的周长差为___________； (2)如图2，若BE是的高，，则的度数为___________； (3)如图3，若BE是的角平分线，，求的度数． 【答案】(1)3 (2) (3) 【知识点】角平分线的有关计算、与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求长度、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形的中线，角平分线，高线以及三角形内角和． （1）由中线的定义得，然后利用周长公式求解即可； （2）先求出，再根据角平分线的定义求出，， 然后利用三角形内角和定理求出，则，即可求解； （3）先由三角形内角和定理求出，再根据求解即可． 【详解】（1）∵是的中线， ∴， ∴与的周长差为： ． 故答案为：3； （2）∵是的高， ∴． ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （3）∵， ∴， ∵是的角平分线，是的角平分线， ∴， ∴ ． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．如图，在中，点D，E分别是上两点，将沿折叠，使点A落在点F处，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，翻折的性质，解题的关键是掌握以上性质． 根据翻折的性质得出相等的角，然后利用周角、平角以及三角形内角和定理进行求解即可． 【详解】解：由折叠可得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 2．如图，将沿翻折交于点，又将沿翻折，点落在上的处，其中，，则原三角形中的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查折叠中的三角形的内角和问题，根据折叠的性质，得到，根据平角的定义，三角形的内角和定义，进行求解即可． 【详解】解：∵翻折， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：A． 3．如图，、是边、上的点，沿翻折后得到，沿翻折后得到，且点在边上，沿翻折后得到，且点在边上，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的内角和定理．根据折叠的性质以及三角形内角和定理得出，，将已知数据代入，即可求解． 【详解】解：如图所示，    依题意，， ∴ ， 即， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题 4．如图甲所示三角形纸片中，，将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到边上的E点处，折痕为（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为（如图丙），则的大小为 _______． 【答案】72 【分析】本题主要考查了翻折变换、三角形的内角和定理等知识点，设，根据翻折不变性可知，，利用三角形内角和定理构建方程即可解决问题，解题的关键是学会用方程的思想思考问题． 【详解】设，根据翻折不变性可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：72． 5．如图，，，则的度数为 ．（用含，的式子表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的外角的性质，根据三角形的外角的性质可得，则可推出，据此可得答案． 【详解】解：如图所示， 由三角形的外角的性质可得， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 6．如图，中，，，，垂足为，平分，则的度数为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形外角性质及角平分线的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键．先求出，从而求出，然后根据角平分线的定义求出，再根据三角形的外角的性质即可求出的度数． 【详解】解：，， ， ， ， 平分， ， ， ， 故答案为：． 7．请将图中的三个角、、按照大小关系排列________（用“<”连接） 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．根据三角形的外角性质得到，，进而得出结论． 【详解】解：如图， 是的外角， ， 是的外角， ， ， 故答案为：． 三、解答题 8．如图，在中，是边上的高，，平分交于点E，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的高、角平分线的性质以及三角形内角和定理、外角性质．先利用高的定义得到直角，结合已知角度求出，再由角平分线的性质得到的度数，最后根据三角形内角和定理求出． 【详解】解：∵是边上的高， ∴． ∵， ∴． ∵，且，， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴． 9．在中，的度数为，分别是、的平分线． (1)求的度数（用含的式子表示）； (2)求证：平分． 【答案】(1) (2) 证明：作， ∵分别是，的外角平分线， ∴， 则， 即平分． 【分析】本题考查了角平分线的性质与判定，三角形内角和性质，三角形外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据三角形的外角等于与他不相邻的两个内角的和，得，，然后根据三角形内角和性质列式计算，即可作答． （2）结合角平分线是性质得，又根据角平分线的判定即可作答． 【详解】（1）解：∵ 的度数为，，， ∴ 则． （2）略 10．如图，在中，是高，是角平分线，若，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，三角形外角的性质，三角形内角和定理． 根据三角形内角和定理求出，根据三角形外角的性质求出，根据角平分线的定义得到，进而根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：是高，， ， ，且， ， 平分， ， ． 11．如图，是的平分线，CH是的平分线，与CH交于点，若，，求的度数. 【答案】. 【分析】根据三角形的外角的性质得出燕尾角的基本图形的结论得出∠BDC、∠BOC，在根据角平分线的性质即可得出 【详解】解：由燕尾角的基本图形与结论可得， ① ② 是的平分线，是的平分线 ，． ①-②得，． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义．注意利用“8字形”的对应角相等求出角的关系是解题的关键，要注意整体思想的利用． 12．如图1，AD、BC交于点O，得到的数学基本图形我们称之为‘8’字形ABCD． （1）试说明：∠A+∠B＝∠C+∠D； （2）如图2，∠ABC和∠ADC的平分线相交于E，尝试用（1）中的数学基本图形和结论，猜想∠E与∠A、∠C之间的数量关系并说明理由． 【答案】 （1）证明：∵∠A+∠B+∠AOB＝180°，∠C+∠D+∠COD＝180°， 又∵∠AOB＝∠COD， ∴∠A+∠B＝∠C+∠D． （2）解：结论：2∠E＝∠A+∠C． 理由：∵∠ABC和∠ADC的平分线相交于E， ∴设∠ABE＝∠EBC＝x，∠ADE＝∠EDC＝y， ∵∠A+x＝∠E+y，∠C+y＝∠E+x， ∴∠A+∠C＝∠E+∠E， ∴2∠E＝∠A+∠C ． 【分析】（1）利用三角形内角和定理：，结合对顶角相等可得结论． （2）利用（1）中结论，设∠ABE=∠EBC=x，∠ADE=∠EDC=y，可得∠A+x=∠E+y，∠C+y=∠E+x，两式相加可得结论． 【详解】略 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 13．在中，平分，为延长线上一点，于点． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，若，求证：． 【答案】(1) (2) 证明：， ， ， ， ， ， 平分， ， ． 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理及外角定理，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据垂直得出直角，根据直角三角形的性质得出角的度数，根据角平分线的定义得出相等的角，最后利用三角形外角定理进行求解即可； （2）根据垂直得出直角，根据直角三角形的性质得出相等的角，然后根据角平分线得出角的关系，即可得出结论． 【详解】（1）解：， ； ， ； ， ∵平分， ， ； （2）略 14．如图，中，是边上的高，是的平分线． (1)若，，求的度数． (2)若，求．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线和高；直角三角形两锐角互余，三角形的内角和定理； （1）根据直角三角形两锐角互余求出，再根据三角形的内角和等于求出的度数，然后根据角平分线的定义求出，再求解即可； （2）根据，分别表示出，计算即可． 【详解】（1）解： ，是边上的高， ， ，， ， 是的平分线， ， ； （2）解：∵是边上的高，，是的平分线． ∴， ∴ 15．（1）如图①，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数； （2）如图②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数； （3）如图③，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数． 【答案】（1）360°；（2）720°；（3）540° 【分析】（1）连接AD，根据三角形的内角和定理得∠B＋∠C＝∠BAD＋∠CDA，进而将问题转化为求四边形ADEF的内角和， （2）与（1）方法相同转化为求六边形ABCDEF的内角和， （3）使用上述方法，转化为求五边形ABCDE的内角和． 【详解】解：（1）如图①，连接AD， 由三角形的内角和定理得，∠B＋∠C＝∠BAD＋∠CDA， ∴∠BAF＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＝∠BAF＋∠BAD＋∠CDA＋∠D＋∠E＋∠F 即四边形ADEF的内角和，四边形的内角和为360°， ∴∠BAF＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＝360°， （2）如图②，由（1）方法可得： ∠BAH＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠G＋∠H的度数等于六边形ABCDEF的内角和， ∴∠BAH＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠G＋∠H＝（6－2）×180°＝720°， （3）如图③，根据（1）的方法得，∠F＋∠G＝∠GAE＋∠FEA， ∠BAG＋∠B＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＋∠G的度数等于五边形ABCDE的内角和， ∴∠BAG＋∠B＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＋∠G＝（5－2）×180°＝540°， 【点睛】本题考查三角形的内角和、多边形的内角和的计算方法，适当的转化是解决问题的关键． 16．（25-26八年级上·安徽淮北·期中）如图，在中，点在上，过点作，交于点．平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与的延长线相交于点． (1)若，，则_____，_____； (2)若，求，的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1)，； (2)； 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查角平分线的定义，三角形内角和定理，准确识图，理解角平分线定义，熟练掌握平行线的性质，灵活运用三角形的内角和定理进行计算是解决问题的关键． （1）先求出，根据角平分线的定义及平行线的性质得，，然后根据三角形的内角和定理可得出的度数；根据角平分线的定义及邻补角的定义得，进而可得出的度数； （2）根据角平分线的定义及平行线的性质得，根据三角形内角和定理得，则，进而可得出和的度数；然后根据可得出的度数． 【详解】（1）解：∵，且，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， 在中，； ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴， ∴平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 由（1）可知：， 在中，． 17．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）【新知探究】 （1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，求证：； 【问题探究】 （2）如图2，、分别平分，，若，求的度数； 【拓展提升】 （3）如图3，直线平分的外角，平分的外角，请猜想的数量关系，并说明理由． 【答案】 （1）证明：在中，，则， 在中，，则， ∵， ∴； （2）； （3），理由如下： 如图3， 由（1）得， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵平分的外角，平分的外角， ∴， ∴． 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、等式的性质1 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，应用等式的性质进行推理等知识﹒ （1）根据三角形内角和定理得到，，根据即可证明； （2）由（1）得：，进而得到，根据角平分线定义得到，即可得到，从而求出； （3）由（1）得，根据，得到，，从而得到，结合即可得到． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得：， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）略 18．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）综合实践 【问题情境】 （1）如图1，在中，与的平分线交于点，如果，求的度数．请补全探究过程： 在中，根据三角形内角和为，则． 由于，分别是，的平分线， 所以，． 所以（_______）． 因为，所以_______． 在中，根据三角形内角和为，有_______． 【问题探究】 （2）如图2，在中，作外角，的平分线交于点． 求证：． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，与的平分线交于点，与的平分线交于点，延长，交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的倍，则_______．（直接写出答案） 【答案】（1），， （2）证明：，，， ， 外角，的平分线交于点， ，， ， ； （3）或或或 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题、角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、三角形外角的性质、三角形内角和定理． (1)根据角平分线的定义和三角形内角和定理找到角之间的关系求解； (2)根据邻补角定义可知，根据角平分线定义可得，根据三角形内角和定理可证结论成立； (3)根据角平分线定义可知，再根据一个内角等于另一个内角的倍，分情况求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：或或或， 是的平分线，是的平分线， ，， ， ， ， ①当时， ， ； ②当时，， ； ； ③当时， ， ； ④当时， ， ， ； 综上所述，或或或. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 三角形边角关系与角度综合计算 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、外角计算（基础） 题型二、八字模型（8 字模型，相交对顶三角形） 题型三、飞镖（燕尾）模型，凹四边形多角叠加 题型四、三角形折叠角度综合（高频压轴填空） 题型五、平行线与三角形边角关系综合（期中期末压轴） 题型六、角平分线 + 角度综合（期中期末压轴） 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 （一）通法一：内角和定理“设元列方程”法 核心原理：三角形内角和恒为180°，直角三角形两锐角互余。凡是“已知部分角、求未知角”的问题，都可以转化为“设一个未知数、列一个一元一次方程”来解决，这是角度计算最根本的通法。 操作步骤： 1. 找到或构造一个三角形（优先选“已知角最多、未知角最少”的那个）； 2. 把它的三个内角分别用已知数与未知数表示（未知角可设为x）； 3. 由内角和列方程 ，解出未知角； 4. 回代检验：三个角之和应为180°，防止运算错误。 （二）通法二：折叠（翻折）角度通法 折叠的本质：折叠是一种轴对称变换，折痕所在直线即对称轴。折叠前后有以下不变关系： ① 对应角相等（折叠前与折叠后“同一位置”的角相等）；② 对应边相等；③ 对应点关于折痕对称，折痕垂直平分对应点连线。 三种折叠落点： 1. 顶点A落在边BC上：此时∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，且∠A＝∠A′； 2. 顶点A落在四边形BCDE内部（折叠问题的常见压轴情境）：设∠1＝∠BDA′，∠2＝∠CEA′，则有重要结论 （推导见下）； 3. 顶点A落在四边形BCDE外部：此时用“外角＝不相邻内角和”与折叠对应角共同建立等量关系。 （三）通法三：外角模型通法 模型① 直接外角：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，即 。作用是“一个角换两个角”或“两个角并一个角”，实现角的集中与拆分。 模型② “8字”模型：若两条线段AC与BD相交于O（两三角形有一对对顶角），则 。证明：△AOB中∠A＋∠B＝180°－∠AOB，△COD中∠C＋∠D＝180°－∠COD；而∠AOB＝∠COD（对顶角相等），故等式成立。作用是沟通对顶角两侧的角，实现角的转移。 模型③ “飞镖”（箭头）模型：点D在△ABC外，连接BD、CD，则 （其中∠B＝∠ABD，∠C＝∠ACD）。证明：连接AD并延长，由外角定理：∠BDE＝∠BAD＋∠ABD，∠CDE＝∠CAD＋∠ACD，两式相加即得。作用是“凹角＝三个角之和”，或反过来把三个分散角聚成一个角。 模型④ 角平分线夹角：两条内角平分线交于I（内心）时 ；两条外角平分线交于P时 。记忆口诀：“内角平分线夹角＝90°加顶角一半；外角平分线夹角＝90°减顶角一半。”（一条内角平分线与一条外角平分线交于一点时，其夹角恒等于第三角的一半。） 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、外角计算（基础） 【典例1】．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，中，，，，垂足为，平分，则的度数为________． 题型模版 1.题型特征：三角形边向外延长，出现多层外角，多个角叠加求未知角。 2.解题技巧：层层向外代换，外角 = 不相邻两内角之和，一层一层往目标角转化；多个外角叠加，不断把角拆成更小内角。 【变式1-1】．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）请将图中的三个角、、按照大小关系排列________（用“<”连接） 【变式1-2】．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，，，则的度数为 ．（用含，的式子表示） 【变式1-3】．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，在中，点在边的延长线上，．求证：． 题型二、八字模型（8 字模型，相交对顶三角形） 【典例2】．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）线段、相交于点，连接、，我们把如图1的图形称之为“8字形”，则，如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、，若，，则的度数是______．    【典例3】．如图，平分，交于点F，平分交于点E，与相交于点G，． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 【典例4】．（2025八年级上·安徽滁州·专题练习）已知：线段、相交于点，连接、． (1)如图，求证：； (2)如图，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于点、，，，求的度数； (3)如图，和的三等分线和相交于点，并且与、分别相交于点、，，，试探究、、三者之间存在的数量关系，并说明理由． 题型模版 1.图形特征：两个三角形对顶相交，形似 “8”，交点产生一组对顶角。 2.解题技巧 1. 看到两条线段交叉形成两个三角形，立刻识别八字模型； 2. 作用：实现角的等量转移，把左边两个角 “搬运” 到右边； 3. 复杂图形可以嵌套多个八字，一层一层倒角。 【变式2-1】．（25-26八年级上·安徽池州·阶段检测）如图①，与相交于点，得到一个“字”． (1)求证：. (2)如图②，其中共有几个“字” (3)如图②，若，分别是，的平分线，利用（1）中的结论，求证：． 【变式2-2】（1）已知：如图（1）的图形我们把它称为“8字形”，试说明：． （2）如图（2），分别平分，若．求的度数． （3）如图（3），直线平分平分的外角，猜想与的数量关系是______； （4）如图（4），直线平分的外角平分的外角，猜想与的数量关系是______．    【变式2-3】．阅读材料： 如图1，AB、CD交于点O，我们把△AOD和△BOC叫做对顶三角形． 结论：若△AOD和△BOC是对顶三角形，则∠A+∠D＝∠B+∠C． 结论应用举例： 如图2：求五角星的五个内角之和，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的度数． 解：连接CD，由对顶三角形的性质得：∠B+∠E＝∠1+∠2， 在△ACD中，∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°， 即∠A+∠3+∠1+∠2+∠4＝180°， ∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180° 即五角星的五个内角之和为180°． 解决问题： （1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝　； （2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝　； （3）如图③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝　； （4）如图④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝　； 请你从图③或图④中任选一个，写出你的计算过程． 题型三、飞镖（燕尾）模型，凹四边形多角叠加 【典例5】．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段检测）在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果，，那么的度数是（    ）． A． B． C． D． 题型模版 1.图形特征：凹四边形，图形向内凹进，像飞镖。 2.解题技巧 1. 凹四边形直接识别飞镖，凹角等于外面三个尖角之和； 2. 复杂多角叠加图形，常嵌套八字 + 飞镖组合； 3. 求多个分散角总和，优先飞镖、八字把分散角收拢到同一个三角形。 【变式3-1】．（2025八年级上·安徽阜阳·期末）如图，若，则____________． 【变式3-2】．如图所示，已知四边形，求证． 【变式3-3】．模型规律：如图1，延长交于点D，则． 因为凹四边形形似箭头，其四角具有“”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．      模型应用 (1)直接应用： ①如图2，，，，则 °； ②如图3， °； (2)拓展应用： ①如图4，、的2等分线（即角平分线）、交于点，已知，，则 °； ②如图5，、分别为、的10等分线（，2，3，…，8，9）．它们的交点从上到下依次为、、、…、．已知，，则 °； ③如图6，、的角平分线、交于点D，已知，，则 °； ④如图7，、的角平分线、交于点D，则、、之间的数量关系为 ． 题型四、三角形折叠角度综合（高频压轴填空） 【典例6】．如图，把纸片沿DE折叠，使点A落在图中的处，若，，则的大小为______． 【典例7】．（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）如图，把沿着折叠，使点A落在四边形的内部，并且，，则的度数是______． 题型模版 1. 第一步必须写：由折叠得：对应角相等，这是得分点； 2. 分清落点：内部用∠1+∠2=2∠A；外部用∠1‑∠2=2∠A； 3. 大题不要直接套结论，用平角、内角和推导； 4. 折叠题最容易漏看两组相等角，不要只写一组。 【变式4-1】．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）如图，在中，点是上两点，点分别是上的点，将和分别沿着折叠，它们的对应三角形分别是和．若，则______︒．    【变式4-2】．（24-25八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，在中，D、E分别是边AB、AC上一点，将沿DE折叠，使点A落在边BC上．若，求四个角和的度数？ 【变式4-3】．（2025八年级上·安徽六安·期中）如图，将三角形纸片的一个角折叠，折痕为，若． （1）求的度数； （2）求的度数．    题型五、平行线与三角形边角关系综合（期中期末压轴） 【典例8】．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）如图，，的顶点F、G分别落在直线、上，交于点H，平分．若，，求的度数． 【典例9】．（25-26八年级上·安徽滁州·期中）如图，在中，，点在边上，于点，为的角平分线，的平分线交于点． (1)如图1，延长，交于点，若，，求的度数． (2)如图2，当，与的延长线交于点，用含的代数式表示，并说明理由． (3)如图3，若，与线段交于点，用含的代数式表示，并说明理由． 【变式5-1】．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，的外角的平分线交的延长线于点E． (1)求的度数； (2)过点作，交的延长线于点F，求的度数． 【变式5-2】．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，已知，点在上，点、在上．在中，，，点、在直线上，在中，，． (1)请将下列命题补充完整为一个真命题并证明： 沿直线平移的过程中，如果______，那么； (2)将沿直线平移，当点在上时，求的度数； (3)将沿直线平移，当以、、为顶点的三角形中有两个角相等时，请直接写出的度数． 【变式5-3】．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，四边形，、分别平分四边形的外角和，若，． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，若与相交于点，，请直接写出，所满足的数量关系式； (3)如图，若，判断，的位置关系，并说明理由． 题型六、角平分线 + 角度综合（常和外角、折叠结合） 【典例10】．（25-26八年级上·安徽蚌埠·阶段检测）如图，在中，是高线，，是角平分线，，相交于点O，，． (1)求的度数． (2)求的度数． 【典例11】．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，在中，内角平分线和外角平分线相交于点P，根据下列条件求的度数． (1)若，，则 ，若，则 ； (2)若，则 ； (3)从以上的计算中，你能发现与的关系是 ； (4)证明第（3）题中你所猜想的结论． 【典例12】．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图1，在中，若，则称，分别为的“三分线”，其中，是“邻三分线”，是“邻三分线”． (1)如图2，在中，，．若的邻三分线交于点D，则 °； (2)如图3，在中，是的邻三分线，是的邻三分线．若，求的度数； (3)如图4，在中，是的外角，的三分线与的邻三分线交于点P．若，，求的度数．(用含的代数式表示) 【变式6-1】．在中，点B，C分别是，上一点，和的角平分线交于点 (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，求的度数； (3)如图3，和的角平分线交于点Q，直接写出和之间的数量关系______． 【变式6-2】．（25-26八年级上·安徽淮北·期中）如图，，，分别是的高线，角平分线和中线． (1)下列结论：①，②，③，④与互余，其中正确的是_____（只填序号）． (2)若，，求的度数． (3)若，请直接写出与之间的数量关系． 【变式6-3】．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图，AD是的角平分线，点在上（不与点重合），连接BE，交AD于点O． (1)如图1，若BE是的中线，，则与的周长差为___________； (2)如图2，若BE是的高，，则的度数为___________； (3)如图3，若BE是的角平分线，，求的度数． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．如图，在中，点D，E分别是上两点，将沿折叠，使点A落在点F处，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 2．如图，将沿翻折交于点，又将沿翻折，点落在上的处，其中，，则原三角形中的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，、是边、上的点，沿翻折后得到，沿翻折后得到，且点在边上，沿翻折后得到，且点在边上，若，则（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 4．如图甲所示三角形纸片中，，将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到边上的E点处，折痕为（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为（如图丙），则的大小为 _______． 5．如图，，，则的度数为 ．（用含，的式子表示） 6．如图，中，，，，垂足为，平分，则的度数为________． 7．请将图中的三个角、、按照大小关系排列________（用“<”连接） 三、解答题 8．如图，在中，是边上的高，，平分交于点E，，求的度数． 9．在中，的度数为，分别是、的平分线． (1)求的度数（用含的式子表示）； (2)求证：平分． 10．如图，在中，是高，是角平分线，若，，求的度数． 11．如图，是的平分线，CH是的平分线，与CH交于点，若，，求的度数. 12．如图1，AD、BC交于点O，得到的数学基本图形我们称之为‘8’字形ABCD． （1）试说明：∠A+∠B＝∠C+∠D； （2）如图2，∠ABC和∠ADC的平分线相交于E，尝试用（1）中的数学基本图形和结论，猜想∠E与∠A、∠C之间的数量关系并说明理由． 13．在中，平分，为延长线上一点，于点． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，若，求证：． 14．如图，中，是边上的高，是的平分线． (1)若，，求的度数． (2)若，求．（用含的代数式表示） 15．（1）如图①，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数； （2）如图②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数； （3）如图③，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数． 16．（25-26八年级上·安徽淮北·期中）如图，在中，点在上，过点作，交于点．平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与的延长线相交于点． (1)若，，则_____，_____； (2)若，求，的度数（用含的代数式表示）． 17．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）【新知探究】 （1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，求证：； 【问题探究】 （2）如图2，、分别平分，，若，求的度数； 【拓展提升】 （3）如图3，直线平分的外角，平分的外角，请猜想的数量关系，并说明理由． 18．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）综合实践 【问题情境】 （1）如图1，在中，与的平分线交于点，如果，求的度数．请补全探究过程： 在中，根据三角形内角和为，则． 由于，分别是，的平分线， 所以，． 所以（_______）． 因为，所以_______． 在中，根据三角形内角和为，有_______． 【问题探究】 （2）如图2，在中，作外角，的平分线交于点． 求证：． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，与的平分线交于点，与的平分线交于点，延长，交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的倍，则_______．（直接写出答案） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $