第五单元 第05课时 探索规律 —— 路程中的数量关系（教学课件）数学人教版五年级上册（新教材）

第五单元 用字母表示数和数量的关系 第五单元 第05课时 探索规律—路程中的数量关系 小学数学·五年级（上）·RJ 通过读取信息、列表整理、归纳规律、验证结论，提升抽象概括、逻辑分析能力，发展符号意识、模型意识与推理意识。 经历拼摆情境的探究过程，巩固字母式子书写、代入求值方法；能提取情境信息，发现变化规律，抽象写出字母数量关系式；会正向代入求值，能借助等式性质逆向求解未知数。 感受字母符号表达变化规律的简洁通用，理解字母取值要符合现实情境，体会代数知识解决生活问题的实用价值，养成读懂题目、验证数学结论的严谨学习习惯。 学习目标 Leaning objectives 1 2 3 2 读懂分段行程情境，提取数学信息；借助线段图分析分段路程的数量关系；抽象写出两种等价的字母表示的路程关系式；理解乘法分配律在字母运算中的应用，会代入求值。 理解同一个实际问题可以写出形式不同但结果等价的字母式子；实现从具体行程数据到复合字母关系式的抽象；把整数乘法分配律迁移到字母式子化简。 体会字母符号刻画复合变化规律的作用，进一步渗透模型思想、推理思想，沟通整数运算定律与字母代数运算，为后续列方程解决实际问题做好铺垫。 学习重点 学习难点 核心素养 重点难点 Leaning points 3 课前导入 Lead in 说一说速度、时间和路程之间有怎样的关系? 路程=速度×时间 速度=路程÷时间 时间=路程÷速度 知识链接 Knowledge link 如果一列火车每小时行驶320km，行驶了2小时，一共行驶多少千米? S=vt =320×2 =640(千米) 答：一共行驶640千米。 知识链接 Knowledge link 探究分段路程的变化规律，建立字母关系式 学习任务一 小明一家暑假期间乘坐火车去旅游，复兴号列车在这条线路上平均每小时行驶 320 km，从甲站出发到乙站用了a 小时，从乙站到丙站用了 b 小时。列车从甲站到丙站行驶的路程是s km，怎样表示 s 和 a、b 之间的关系？ 认真读题，先独立完成下面各题，再在小组内交流。 （1）从图中能得到哪些数学信息？ （2）你能尝试用含有字母的式子表示路程 S 和时间 a、速度 b 之间的关系吗？ 探究新知 Presentation 8 小明一家暑假期间乘坐火车去旅游，复兴号列车在这条线路上平均每小时行驶 320 km，从甲站出发到乙站用了a 小时，从乙站到丙站用了 b 小时。列车从甲站到丙站行驶的路程是s km，怎样表示 s 和 a、b 之间的关系？ 知道了 列车经过的站点和平均速度，还知道每段路程所用的时间。 要解决的问题是 用含有字母的式子表示总路程和每段路所用时间之间的关系。 你知道哪些数学信息？ 探究新知 Presentation 9 可以先画线段图，再分析数量关系。 a 小时 b 小时 甲站 乙站 丙站 s km （1）总路程 = 平均速度 × 总时间 （2）总路程 =甲站到乙站的路程+乙站到丙站的路程 探究新知 Presentation 总路程 = 平均速度×总时间 = 320(a+b) 从甲站到丙站共行驶了(a + b)小时。 探究新知 Presentation 总路程 = 甲站到乙站的路程+乙站到丙站的路程 = 320a + 320b = 320(a+b) 甲站到丙站的总路程是甲站到乙站的路程与乙站到丙站的路程之和。 探究新知 Presentation 12 总路程 ＝平均速度×总时间 ＝320（a＋b） 总路程 ＝甲站到乙站的路程＋乙站到丙站的路程 ＝320a＋320b ＝320（a＋b） 所以s＝320（a＋b） 运用分配律时，可以把字母看成数一样进行运算。 探究新知 Presentation 实践应用 —— 验证关系式等价性，双向理解字母运算 学习任务二 答：s 和 a、b 之间 的关系可以表示为 s = 320(a + b)。 可以画线段图来分析数量关系。 用字母表示数量关系的方法和以前一样，只不过把具体的数换成了字母而已。 探究新知 Presentation (1)当a = 2， b = 3时， s 等于多少？ s = 320(a+b) = 320×5 = 320×(2+3) = 1600 s = 320a+320b = 640+960 = 320×2+320×3 = 1600 探究新知 Presentation (2)当s = 2240，a = 3时，b 等于多少？ 320×(3+b) = 2240 320×(3+b)÷320 = 2240÷320 3+b = 7 3+b-3 = 7-3 b = 4 探究新知 Presentation 课堂练习 Practice 1.甲、乙两个工程队分别从一条隧道的两端同时相向开凿。甲队每天开凿a m，乙队每天开凿b m，150天完工。 （1）这条隧道一共长多少米? （2）当a=10，b=9时，这条隧道长多少米? s=150(a+b) 150(a+b)=150×(10+9)=2850(m) 答：这条隧道长2850米。 达标练习 Practice 2.2022年，第二十四届冬季奥林匹克运动会在我国北京和张家口举行，其中冰壶项目的第一阶段为单循环赛，每两队之间都要进行一场比赛。如果有10支队伍参赛，第一阶段一共要比多少场?如果有a支队伍呢? 10支队伍:10×(10-1)÷2=45(场) a支队伍:a (a-1)÷2场 达标练习 Practice b＝36÷100×a＋200 ＝0.36a＋200 3.一辆电动货车行驶100km所需的充电费用为36元， 快递工作人员装卸这辆车上货物的劳务费用是200元。如果甲城和乙城之间的路程为akm，这辆电动货车 从甲城到乙城的充电费用和装卸费用一共是b元，怎 样表示b和 a之间的关系? 达标练习 Practice 4.和谐号列车在一条线路上的平均速度为200千米/时，复兴号列车在这条线路上的平均速度为320千米/时。一辆和谐号列车和一辆复兴号列车分别从这条线路上的两站同时出发，相向而行，行驶x小时后相遇。这时，两辆列车一共行驶了多少千米?复兴号列车比和谐号列车多行驶多少千米? 200x＋320x＝520x 320x－200x＝120x 答：两辆列车一共行驶了520x千米。复兴号列车比和谐号列车多行驶120x千米。 达标练习 Practice 5.任意画一个多边形，从一个顶点向一个不相邻的顶点连一 条线段，这样的线段叫作这个多边形的对角线。 （1）从四边形的一个顶点可以画出1条对角线，从五边形的一个顶点可以画出2条对角线，六边形呢?补全下表，你发现了什么规律? 达标练习 Practice 多边形边数 4 5 6 7 8 ······ n 一个顶点能画出的对角线条数 1 2 ······ （1）发现：多边形的一个顶点 可以画出的对角线比多边形的边数小3。 3 4 5 n－3 5.任意画一个多边形，从一个顶点向一个不相邻的顶点连一 条线段，这样的线段叫作这个多边形的对角线。 （1）从四边形的一个顶点可以画出1条对角线，从五边形的一个顶点可以画出2条对角线，六边形呢?补全下表，你发现了什么规律? 达标练习 Practice （2）一个多边形中一共有多少条对角线?先根据第 （1）题的结果猜一猜，再画几个多边形数一数，你发现了什么? 2条 5条 9条 14条 …… 该多边形从一个顶点能画出的对角线条数 ＝2 1×4 2 ＝5 2×5 2 ＝9 3×6 2 4×7 2 数对角线的过程中，每条对角线会被数2次，所以在求对角线条数时要除以2。 达标练习 Practice 发现：数对角线的过程中，每条对角线会被数2次，所以在求对角线条数时要除以2。 （2）一个多边形中一共有多少条对角线?先根据第（1） 题的结果猜一猜，再画几个多边形数一数，你发现了什么? 达标练习 Practice 6.当x＝8时，x2和4x各等于多少？当x是多少时，x2和4x正好相等？ 当x2和4x相等时， 4x＝4×8＝32。 x2 ＝82 ＝64， x2 ＝4x 当x＝0时，左边＝0，右边＝0，等式成立； 答：当x＝8时， x2 ＝64， 4x＝32。当x ＝0或x＝4时， x2和4x正好相等。 当x≠0时， x2÷x＝4x÷x x＝4 当x＝8时， 可以利用等式的基本性质求未知数，但要注意等式两边同时除以同一个数时, 除数不为0。 达标练习 Practice 7.我国记录温度常用摄氏温度（单位：℃），还有一些国家用华氏温度（单位： ℉ ）。华氏温度与摄氏温度的关系如下: 试着用字母表示摄氏温度和华氏温度的关系。如果某地气温是86℉，相当于多少摄氏度? 华氏温度＝摄氏温度 ×1.8＋32 用m表示摄氏温度，用n表示华氏温度，摄氏温度和华氏温度的关系表示为n＝1.8m＋32。 1.8m＋32＝86 1.8m＋32－32＝86－32 1.8m＝54 1.8m÷1.8＝54÷1.8 m＝30 答：相当于30摄氏度。 探究新知 Presentation 8.重庆到宜昌的水路长648km。游轮以36千米/时的速度从重庆开往宜昌。 （1）开出t小时后，游轮离重庆有多远？如果t＝10， 游轮离重庆有多远？ （2）开出t小时后，游轮到宜昌还有多远？如果t＝12， 游轮到宜昌还有多远？ 重庆 宜昌 离重庆有多远？ 到宜昌还有多远？ 开出t小时后 648 km 每小时36 km 探究新知 Presentation （1）开出t小时后，游轮离重庆有多远？如果t＝10，游轮离重庆有多远？ 重庆 宜昌 离重庆有多远？ 到宜昌还有多远？ 开出t小时后 648 km 每小时36 km 开出t小时后，游轮离重庆36t千米。 当t＝10 时，36t＝36×10＝360， 即游轮离重庆360 千米。 探究新知 Presentation （2）开出t小时后，游轮到宜昌还有多远？如果t＝12，游轮到宜昌还有多远？ 开出t小时后，游轮到宜昌还有（648－36t）千米。 当t＝12时， 648－36t＝648－36×12＝216， 即游轮到宜昌还有216千米。 求到宜昌还有多远，实际求的是游轮剩下的路程。 探究新知 Presentation 9.根据下图回答问题。 （1）哪个正方形的面积是a2？哪个正方形的面积是b2？ （2）整个图形的面积是多少？你有不同的表示 方法吗？你发现了什么？ （1）大正方形的面积是a²。 小正方形的面积是b²。 a²＋b²＋2ab （2）（a＋b）2 发现：（a＋b）2＝a²＋b²＋2ab。 达标练习 Practice 通过这节课的学习，你学会了什么？ 1.用含字母的式子表示稍复杂的数量关系时，可先根据题意画出线段图分析数量关系，再把字母看作数参与运算。 2.解答时思考方式不同，列出的数量关系就不同，但结果是相同的。 知识总结 Summary 33 1. 绘制本节课知识的思维导图； 2. 完成《分层作业》。 课后作业 Homework 第五单元 用字母表示数和数量的关系 同学们再见THANKS FOR WATCHING $