专题26.2 二次函数的图像和性质 培优讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

专题26.2 二次函数的图像和性质 知识点1：二次函数 的图象与性质 1、二次函数 的图象叫做抛物线，它是轴对称图形，对称轴为y轴（直线），顶点坐标为。 2、系数决定开口方向与开口宽窄；开口向上，顶点是最低点；开口向下，顶点是最高点；越大，抛物线开口越小。 3、增减性：，时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；，时，随的增大而增大；时，随的增大而减小。 4、最值：，当时，；，当时，。 知识点2：、、 图象与平移规律 1、平移核心规律：上加下减常数项，左加右减自变量；平移只改变抛物线位置，二次项系数a保持不变，开口大小、方向不变。 2、四种顶点式特征对比表 函数解析式 顶点坐标 对称轴 直线（y 轴） 直线（y 轴） 直线 直线 3、 性质：开口向上，时，；，随增大而减小；，随增大而增大；开口向下，时，；，随增大而增大；，随增大而减小。 知识点3：二次函数一般式 的图象与性质 1、配方法转化顶点式：。 2、对称轴：直线；顶点坐标：。 3、符号对图象的影响 （1）：决定开口方向与开口宽窄； （2）共同决定对称轴位置，口诀“左同右异”：对称轴在y轴左侧；对称轴在y轴右侧；对称轴为y轴； （3）：抛物线与y轴交点纵坐标，交点坐标。 4、增减性：以对称轴直线作为分界；最值在顶点处取得；自变量有取值限制时，最值不一定在顶点。 知识点4：描点法画二次函数图象 1、步骤：①化为顶点式，确定对称轴、顶点； ②在对称轴左右对称选取自变量，列表算函数值； ③描点； ④平滑曲线连线，图象两端无限延伸。 2、画图优先选取顶点，再在对称轴左右对称取2‑4组点，减少计算量。 【基础必考题型】 【题型1】识别抛物线开口、对称轴、顶点坐标 1、 核心知识点   、解析式结构；对开口方向的作用；顶点、对称轴概念。 2、解题方法技巧   ①顶点式直接读取顶点，注意中h符号；   ②开口方向只看正负，控制开口宽窄；   ③一般式先配方或者套公式求对称轴。 【例题1】.（2026九年级上·全国·专题练习）抛物线的开口方向为___________，对称轴为___________，顶点坐标为___________． 【答案】 向上 轴 【分析】利用的图像和性质求解即可． 【详解】解：， 开口向上； 型对称轴为轴，顶点为， 对称轴为轴，顶点为． 【变式题1-1】.（2026九年级上·全国·专题练习）已知二次函数． (1)用配方法将其化为 的形式； (2)指出该函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】(1) (2)开口向上，对称轴 ，顶点 【分析】（1）先在一次项后面加上一次项系数一半的平方，接着在最后面减去刚加上的数，前面三项化成完全平方，后面的合并同类项即可得到； （2）根据二次函数的性质确定即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：二次项系数为， 开口向上，对称轴为，顶点坐标为． 【变式题1-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）用配方法把二次函数化为的形式，并指出该函数图象的对称轴和顶点坐标． 【答案】， ∴该二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为． 【详解】略 【变式题1-3】.（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）二次函数的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的顶点式可得答案，即二次函数的顶点坐标为． 【详解】解：∵二次函数， ∴顶点坐标为． 【题型2】抛物线图象平移基础变换 1、 核心知识点   抛物线平移规则“上加下减常数项，左加右减自变量”；平移过程不变。 2、解题方法技巧   ①优先把解析式化为顶点式，跟踪顶点坐标的变化判断平移路径；   ②上下平移改变常数项，左右平移改变括号内自变量；   ③逆向平移题，将平移步骤反向操作，注意符号不要出错。 【例题2】.（2026九年级上·全国·专题练习）将抛物线 先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，求所得抛物线的解析式． 【答案】 【分析】先化为顶点式，然后根据二次函数图象平移规律：“上加下减，左加右减”，据此求解即可． 【详解】解：将，向左平移2个单位，再向下平移3个单位， 得． 【变式题2-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）怎样移动抛物线可以得到抛物线？ 答：把抛物线先向右平移_____个单位长度，再向______平移_____个单位长度，可以得到抛物线． 【答案】 1 下 1 【分析】根据抛物线平移规律“左加右减，上加下减”即可求解． 【详解】解：抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，可以得到抛物线． 【变式题2-2】.（2026九年级上·全国·专题练习）将抛物线 先向左平移 个单位，再向下平移 个单位，得到的抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】按照抛物线平移“左加右减，上加下减”的规律进行解答即可． 【详解】解：∵将抛物线向左平移个单位， ∴， ∵再向下平移个单位， ∴． 【变式题2-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）我们已经知道二次函数的图象和性质，利用这些知识来讨论二次函数的图象和性质． (1)求抛物线的对称轴和顶点坐标． (2)抛物线可以看作是由抛物线怎样平移得到的? (3)在平面直角坐标系中，画出抛物线． 【答案】(1)抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为 (2)抛物线可以看作是由抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的 (3)如图： 【分析】（1）利用配方法将一般式转化为顶点式，再写出对称轴和顶点坐标即可； （2）对比（1）中所得的顶点式与抛物线，结合平移规律即可得到平移过程； （3）利用描点法画函数图象即可． 【详解】（1）解：， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：由（1）得， ∴抛物线可以看作是由抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的； （3）略 【题型3】抛物线上点代入求值与对称性简单应用 1、 核心知识点   函数图象上点坐标满足解析式；抛物线轴对称：函数值相等的两个点关于对称轴对称。 2、解题方法技巧   ①点在抛物线上，直接将横坐标代入解析式求；   ②若，，两点中点横坐标等于对称轴；   ③利用对称性可以简化计算，避免重复代入计算。 【例题3】.（25-26九年级上·山东威海·期中）将抛物线向上平移3个单位长度后，经过点，则的值是_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的平移，代数式求值，将抛物线向上平移后得到新解析式，代入给定点坐标得到关于、的方程，再变形目标代数式求值． 【详解】解：抛物线向上平移3个单位长度后，解析式为． 该抛物线经过点，代入得： 则，代入得： 故答案为：． 【变式题3-1】.（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）已知抛物线经过点，则代数式的值为______． 【答案】2025 【分析】本题考查了二次函数图象上的点和代数式求值，掌握二次函数图象上的点满足函数解析式以及整体思想的运用成为解答本题的关键． 将点代入抛物线中，得到的值，然后整体代入代数式求解即可． 【详解】解：∵抛物线经过点， ∴ ， ∴ ． 故答案为：2025． 【变式题3-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）二次函数（）中，当x分别取，（）时，它们对应的函数值相等，则当x取时，函数的值为________． 【答案】c 【分析】二次函数的对称轴为，函数值相等的两个不同点关于对称轴对称，据此求出的值，再代入计算函数值． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线， 当，（）时对应的函数值相等， ∴点与点关于对称轴对称， ∴，即， 将代入得． 【变式题3-3】.（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图，抛物线的部分图像，对称轴为直线，则的值（    ） A．－3 B．－2 C．－1 D．0 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，解题关键是掌握二次函数的性质． 根据二次函数关于对称轴对称，可以求出与轴另一个交点坐标，再将坐标代入解析式中即可求解． 【详解】解：设抛物线与轴交点的横坐标为，， 由图像得，， 对称轴为直线， ，． 抛物线经过点． ． 故选：D． 【题型4】判断二次函数增减性，简单最值（全体实数范围） 1、 核心知识点   二次函数增减性以对称轴作为分界线；全体实数下，最值在顶点处取得。 2、解题方法技巧   ①先确定开口方向、对称轴；   ②开口向上：对称轴左边递减，右边递增；开口向下：对称轴左边递增，右边递减；   ③全体实数范围，最值就是顶点纵坐标，同时写明取到最值对应的值。 【例题4】.（2026九年级上·全国·专题练习）已知二次函数 ． (1)指出该函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)当 时， 随 的增大而___________；当 时， 随 的增大而___________． 【答案】(1)开口向下，对称轴 轴(或直线),顶点 (2)减小，增大 【详解】（1）解：∵二次函数 中， ∴函数图象的开口向下，对称轴为 轴(或直线)，顶点坐标为； （2）解：∵函数图象的开口向下，对称轴为 轴， ∴当 时， 随 的增大而减小；当 时， 随 的增大而增大． 【变式题4-1】.（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）关于二次函数的图象，下列描述错误的是（     ） A．该抛物线开口向上 B．当时，y有最小值2 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】D 【分析】该二次函数为顶点式，可直接获取开口方向、顶点坐标与对称轴，据此判断选项． 【详解】解：二次函数解析式为，． ∴ 抛物线开口向上， 抛物线顶点坐标为，对称轴为直线， A正确． ∴ 当时，有最小值，B正确． ∵ 抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴ 当时，随的增大而减小，C正确． ∴ 当时，随的增大而增大，D错误． 【变式题4-2】.（26-27九年级上·广西南宁·开学考试） … 1 2 3 … … 3 0 … 则下列关于二次函数的说法正确的是（     ） A．二次函数图象的开口向下 B．二次函数图象的对称轴为直线 C．若点在该函数图象上，则 D．当时，随的增大而增大 【答案】C 【分析】根据表格中所给数据，可利用待定系数法求出函数解析式，并化为顶点式，进而得到开口方向，增减性和对称轴，再对所给选项依次进行判断，据此可得答案． 【详解】解：将点、代入中， 得：， 解得， ∴二次函数解析式为， A、∵， ∴函数图象开口向上， 故A不符合题意； B、∵二次函数解析式为， ∴对称轴为直线， 故B不符合题意； C、当时，， 故C符合题意； D、∵二次函数解析式的对称轴为直线，函数图象开口向上， ∴当时，的值随值的增大而增大， 故D项不符合题意． 【变式题4-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）对于抛物线，开口方向是______，顶点坐标是_______，对称轴是________；当______时，随的增大而增大；当______时，随的增大而减小；当_____时，函数取得最______值，为______． 【答案】 向上 直线 小 【详解】解：在抛物线解析式中， 抛物线开口向上，函数存在最小值，顶点坐标为，对称轴为直线， 开口向上的抛物线，在对称轴右侧随的增大而增大，在对称轴左侧随的增大而减小， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小；当时，函数取得最小值，最小值为． 【培优高频题型】 【题型5】函数值大小比较（探究比较方法） 1、 核心知识点   抛物线的对称性；点到对称轴距离与函数值大小关系；数形结合思想。 2、解题方法技巧   ①方法一：代入计算，算出各个值直接比较；   ②方法二：距离法：开口向上，点离对称轴越远函数值越大；开口向下，点离对称轴越远函数值越小；   ③方法三：利用对称轴，将点转化到对称轴同一侧，再利用增减性判断。 【例题5】.（26-27九年级上·福建福州·开学考试）若二次函数的图象经过点，，则，的大小关系是__________（用“<”连接）． 【答案】 【分析】先确定二次函数的开口方向与对称轴，利用开口向下的二次函数点离对称轴越远函数值越小的性质，通过比较两点到对称轴的距离比较大小． 【详解】解：二次函数中，，，根据对称轴公式得对称轴为， ∵ ， ∴ 抛物线开口向下，抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值越小， ∵点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为，， ∴ ． 【变式题5-1】.（25-26九年级上·重庆綦江·期中）已知在函数上有点，点，C则关于，的大小判断正确的是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质， 二次函数开口向上，对称轴为，点A和点B关于对称轴对称，y值相等，点C离对称轴更远，y值更大． 【详解】解：∵二次函数 中，， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线． ∵， ∴点A，B到对称轴的距离相等， ∴． ∵点到对称轴的距离为， ∴ ， 即． 故选：C． 【变式题5-2】.（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）已知，，三点均在抛物线上，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法判断 【答案】B 【分析】分别将三个点的横坐标代入抛物线的解析式中求得，，，再比较大小即可求解． 【详解】解：将代入，得， 将代入，得， 将代入，得， ∵， ∴． 【变式题5-3】.（2026九年级上·江苏泰州·专题练习）已知二次函数的图象经过点和点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点，都在该二次函数的图象上，试比较和的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)当时，；当时，；当时，． 【分析】本题考查求二次函数的解析式，代数式比大小，掌握好作差法比较大小是解题关键． （1）将点和点代入表达式，求出和的值； （2）先用m表示出和，用作差法比较和的大小即可． 【详解】（1）解：将点和点代入表达式，得， ， 解得，， ∴二次函数的表达式为； （2）解：将点代入，得， ， 同理，， ． 当时，，此时，即； 当时，，此时，即； 当时，，此时，即； ∴当时，；当时，；当时，． 【题型6】定区间条件下求二次函数最值（定轴定区间） 1、核心知识点   二次函数增减性；对称轴与给定自变量区间的位置关系；区间端点函数值计算。 2.解题方法技巧   ①第一步：确定开口方向、对称轴；   ②判断对称轴是否落在给定自变量区间内部；   ③对称轴在区间内：一个最值取顶点，另一个最值比较两个端点函数值；   ④对称轴不在区间：函数在区间单调，最值直接取区间两个端点。 【例题6】.（25-26九年级上·河南濮阳·阶段检测）已知二次函数，当时，函数的取值范围是_____． 【答案】 【分析】首先得到，求出二次函数开口向上，对称轴为直线，有最小值，然后将代入得到，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴二次函数图象开口向上，对称轴为直线，有最小值， 比离对称轴远，对应的函数值较大， 把代入， ∴当时，函数值y的取值范围是． 故答案为：． 【变式题6-1】.（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为______． 【答案】或 【分析】二次函数开口方向不确定，分和两种情况讨论，根据对称轴位置确定区间内最小值的位置，列方程求解． 【详解】解：∵二次函数， ∴对称轴为直线，且在区间内， 分两种情况讨论：当时，抛物线开口向上， ∴在对称轴处取得最小值， ∵最小值为， ∴将，代入函数得，解得； 当时，抛物线开口向下， ∴顶点处取得最大值，最小值出现在区间端点，需计算两个端点的函数值， 当时，，当时，， ∵， ∴，即最小值为， 由题意得， 解得； 综上，的值为或． 【变式题6-2】.（2026九年级上·全国·专题练习）已知二次函数． (1)用配方法将其化为 的形式； (2)指出该函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)当 时，求函数的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)开口向上，对称轴， 顶点坐标 (3)最大值，最小值 【详解】（1） ； （2），所以开口向上，对称轴， 顶点坐标， （3）开口向上，对称轴，， 当时，最小值为； 当时，最大值为8； 综上，当 时，函数最大值 ，最小值． 【变式题6-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知二次函数（h是常数），且自变量的取值范围是． (1)当时，求函数的最大值； (2)若函数的最大值为，求h的值． 【答案】(1)当时，函数有最大值0 (2)6或1 【分析】（1）由题意得，由二次函数的性质，结合自变量的取值范围即可求解； （2）分、及三种情况，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：， ∴二次函数的解析式为． ∴当时，函数有最大值0． （2）解：二次函数（h是常数），当自变量x满足时，其对应函数值y的最大值为， 若，则当时，y最大，即， 解得（舍去），； 若，则当时，y最大，即， 解得（舍去）； 若，则函数的最大值为0，与题意不符． 综上所述，h的值是6或1． 【题型7】由图象性质求参数值、参数范围 1、 核心知识点   开口、对称轴、顶点、增减性条件转化为方程、不等式。 2、解题方法技巧   ①读懂题干条件，翻译成关于或者等式或不等式；   ②注意隐藏条件；   ③求出参数后代回检验，确认是否符合题目全部条件。 【例题7】.（26-27九年级上·北京·开学考试）抛物线，当时，随增大而减小，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】先确定抛物线开口方向和对称轴，根据二次函数增减性得到对称轴满足的条件，解不等式得到的取值范围. 【详解】解：∵ 抛物线的二次项系数为， ∴ 抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴ 在对称轴左侧，即时，随的增大而减小， ∵ 当时，随的增大而减小， ∴ ， 解得 ． 【变式题7-1】.（2026·山东烟台·二模）当时，最大值与最小值的差为，则的值________． 【答案】或/或 【分析】二次函数开口向上，对称轴，根据对称轴与区间的位置关系分情况讨论，分别求出最大值和最小值，根据差为计算，舍去不符合条件的解． 【详解】解：∵ 中， ∴ 抛物线开口向上，对称轴为直线， 又∵ ， ∴ ，分情况讨论： ①当对称轴在区间的右侧，即时，得，此时函数在上，随的增大而减小， ∴ 当时，取得最大值；当时，取得最小值， 由题意得 ， 解得 ，不符合，故舍去； ②当，即时，此时最小值在对称轴处， ∴的最小值为， ∵抛物线开口向上， ∴离对称轴越近，函数值越小， 又∵， ∴当时，取得最大值， 由题意得 ， 整理得 ， 解得 或（其中与题设矛盾，舍去）； ③当，即时， 同理，此时的最小值为， ∵， ∴  当时，取得最大值， 由题意得 ， 整理得 ， 解得 或（其中与题设矛盾，舍去）； 综上，的值为或． 【变式题7-2】.（26-27九年级上·全国·单元复习）已知二次函数（k是常数），当时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是___________． 【答案】 【分析】先求出二次函数的对称轴，根据开口方向确定函数增减性规律，再结合题目条件得到k的取值范围． 【详解】解：∵二次函数中，， ∴抛物线开口向下， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴． 【变式题7-3】.（26-27九年级上·湖北武汉·开学考试）已知抛物线与x轴交于两点，在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，若，则n的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】利用抛物线的对称性求得对称轴，进一步求得，即可求得结合在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，且利用二次函数的性质即可求解． 【详解】解：∵抛物线与x轴交于两点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴，解得， ∴， ∴顶点为， ∵在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n， ∴时，， 当时，， ∵， ∴， ∴n的取值范围是． 【题型8】配方将一般式转化顶点式综合题型 1.核心知识点   配方法；完全平方公式；一般式与顶点式互相转化；顶点、对称轴读取。 2.解题方法技巧   ①提出二次项系数，括号内配常数，括号外同步修正常数；   ②配方完成后，直接读出顶点坐标、对称轴；   ③可以使用顶点公式验证配出来结果是否正确。 【例题8】.（2026·甘肃兰州·中考真题）已知二次函数，下列结论正确的是__________．（填序号） ①函数图象与轴的交点坐标是；    ②函数图象的对称轴是直线； ③当时，随的增大而增大；    ④当时，函数的最大值是10． 【答案】 ①②④ 【分析】根据二次函数的性质，逐个验证每个结论的正确性即可． 【详解】解：①：把代入，得， ∴函数图象与轴的交点坐标为，故①正确； ②：二次函数的对称轴为直线，故②正确； ③：∵，抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，故③错误； ④：∵抛物线开口向下，顶点在对称轴处，此时取最大值， ∴代入得，即函数最大值是，故④正确； 综上，正确结论的序号是①②④． 【变式题8-1】.（26-27九年级上·福建福州·开学考试）函数的最小值为________． 【答案】 【分析】二次函数开口向上，最小值在顶点处，利用交点式求对称轴后代入计算即可． 【详解】解：∵中二次项系数， ∴函数开口向上，顶点处取得最小值， ∵函数图象与轴交点横坐标为和， ∴对称轴为， 将代入函数得：， 因此函数的最小值为． 【变式题8-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）把抛物线向下平移3个单位长度后得到抛物线． (1)求平移前的抛物线的解析式； (2)求函数的最大值或最小值，并指出相应的x的值； (3)对于，指出当x为何值时，y随x的增大而减小？ 【答案】(1)平移前的抛物线的解析式为． (2)当时，函数取得最大值，最大值为2． (3)当时，y随x的增大而减小． 【分析】（1）根据平移的性质“上加下减”可求出a、c的值，由此即可得出平移前的抛物线的解析式； （2）根据二次函数的性质即可解决最值问题； （3）根据原抛物线的解析式，利用二次函数的性质即可找出函数值y随x的增大而减小时的取值范围． 【详解】（1）解：抛物线向下平移3个单位长度后得到抛物线， ，． ． 平移前的抛物线的解析式为． （2）解：由（1）可知抛物线的解析式为， 当时，函数取最大值，最大值为2． （3）解：由（1）可知抛物线的解析式为，对称轴为直线，且， 当时，函数的值y随x的增大而减小． 【变式题8-3】.（2026·河南南阳·二模）在二次函数中，图象经过点和．    (1)求二次函数的表达式； (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象； (3)将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最小值为，直接写出的值． 【答案】(1) (2)，    (3)的值为6或2 【分析】（1）利用待定系数法进行解答即可； （2）利用配方法化成顶点式即可得到二次函数图象的顶点坐标，根据描点法画出图象即可； （3）求出平移后的抛物线解析式，根据的范围进行解答即可． 【详解】（1）解：把点和代入，得： ， 解得， 二次函数的表达式为； （2）解：， 二次函数图象的顶点坐标为， 当时，， ∴抛物线与轴的交点为， 当时，，解得， ∴抛物线与轴的交点为和， 画函数图象略； （3）由题意，二次函数的图象向右平移个单位长度， 新函数为． 此时函数图象开口向上，对称轴是直线，函数的最小值为， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 当时，图象对应的函数最小值为， 或， 当，即时，此时当时，图象对应的函数最小值为， 即 ， 解得：或4（舍去）； 当，即时，此时当时，图象对应的函数最小值为， b ， 解得：或4（舍去）； 综上所述，的值为6或2． 【压轴素养题型】 【题型9】图象信息探究：由图象判断代数式符号（素养题） 1、 核心知识点   对图象的影响；特殊自变量取值（）对应函数值；数形结合推理。 2、解题方法技巧   ①对应；对应，看图象上对应点上下判断正负；   ②结合开口、对称轴、与y轴交点综合判断符号；   ③多个结论要逐个推导，不要凭直觉猜测。 【例题9】.（26-27九年级上·重庆·开学考试）如图，二次函数的图象与轴交于，对称轴为直线，以下结论正确的是（     ） A． B． C． D．（为实数） 【答案】D 【分析】二次函数图象开口向上，，与y轴交于负半轴，，对称轴在y轴左侧，，可以判断A选项是否正确；根据对称轴，可以判断B选项是否正确；根据二次函数图象的对称性和当时，可以判断C选项是否正确；根据时y有最小值，可以判断D选项是否正确． 【详解】解：由图象可知，，， ∵对称轴在轴左边， ∴， ∴， ，故A选项不符合题意； ， ， ，故B选项不符合题意； 当时，，根据二次函数图象的对称性可知，当时，， ，故C选项不符合题意； 当时，函数有最小值， （m为实数），D选项符合题意． 【点睛】二次函数图象开口向上，，有最小值，对称轴在x的负半轴，b和a同号． 【变式题9-1】.（26-27九年级上·天津·开学考试）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（     ） A．①②③ B．①③④ C．②④⑤ D．①②④ 【答案】D 【分析】由抛物线开口方向、对称轴位置、与轴交点位置判断符号及关系；利用对称性求出抛物线与轴另一交点坐标，进而判断代数式符号；利用二次函数性质比较函数值大小及最值问题． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为直线，，即， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴的上方， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线经过，对称轴为直线， ∴抛物线经过， 即，故⑤不正确； 把代入得，即，故②正确； ∵，且开口向下， ∴到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ∴，故③不正确； ∵抛物线开口向下，对称轴是直线， 当时，抛物线取得最大值， 当时，，且， ∴，故④正确； 综上所述，正确的结论是①②④． 【变式题9-2】.（26-27九年级上·北京·课堂例题）二次函数（）的部分图象如图所示，已知图象过点，对称轴为直线，有下列结论：①，，；②；③；④若点、点、点在该函数图象上，则．其中正确的结论有________个． 【答案】２ 【分析】先根据抛物线开口方向判断的符号，因为对称轴公式为，所以可推导的符号，再根据抛物线与轴交点位置判断的符号，验证结论①；由对称轴，变形后可验证结论②；把结论③的不等式变形为，因为该式对应时的函数值，结合抛物线对称性和已知零点判断函数值符号，验证结论③；先根据抛物线开口方向确定离对称轴越近的点函数值越大，再分别计算三个点到对称轴的距离，比较距离大小后判断的大小关系，验证结论④． 【详解】解：由二次函数的部分图象可知，抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ∴，， ∵对称轴为直线， ， ， ，①错误，②正确； ∵图象过点，对称轴为直线， ∴图象过点， 当时，， ， 即，③错误； ∵点、点、点在该函数图象上，对称轴为直线， ∴点离对称轴最远， ∴最小， 点B离对称轴最近， ∴最大， ，④正确， ∴正确的结论有2个． 【变式题9-3】.（2026·甘肃嘉峪关·二模）已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①②③④，下列选项正确的是（     ） A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①② 【答案】C 【分析】由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①由图可知，抛物线与轴有两个不同的交点， 则，故①正确． ②③由图可知，抛物线的开口向上，则， 抛物线的对称轴为，，故③正确； ，， 抛物线交轴于负半轴，可得：， ，故②正确． ④由图可知，当时，，故④不正确． 综上所述：以上结论正确的有①②③． 【题型10】网格几何探究，抛物线与几何图形结合 1、核心知识点   顶点式求解析式；网格坐标读取；正方形、矩形等几何约束条件。 2、解题方法技巧   ①网格中读出顶点或者抛物线上点坐标，代入顶点式求出；   ②结合几何边长限制，得到自变量或者参数不等式；   ③注意交点是否包含边界，看清题干“有交点”、“穿过”等描述。 【例题10】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，菱形的顶点在抛物线上，其中点O为坐标原点，对角线在y轴上，且． (1)求两点的坐标； (2)求菱形的面积． 【答案】(1) (2)菱形的面积为 【分析】（1）如图：连接交y轴于点D，由菱形的性质可得轴，，易得A，C点纵坐标为1，即，解得：，从而完成解答； （2）先说明，再利用菱形的性质求面积即可． 【详解】（1）解：如图：连接交y轴于点D， ∵菱形的顶点在抛物线上，其中点O为坐标原点，对角线在y轴上，且 ∴轴，， ∴轴，， ∴A，C点纵坐标为1，即，解得：， ∴． （2）解：∵轴，， ∴，即， ∴菱形的面积是：． 【变式题10-1】.（26-27九年级上·北京·课后作业）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A点坐标为为二次函数图象的顶点． (1)求二次函数的表达式． (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线的解析式，过点M作y轴的平行线交于点H，利用分割法求出三角形的面积即可. 【详解】（1）解：设函数的表达式为， 将点代入得，解得， 故二次函数的表达式为， 即； （2）解：∵， ∴当时，， ． ∵A点坐标为，对称轴为直线， ， 设直线的解析式为， 把代入，得，解得， ∴直线函数表达式为， 把代入得， 过点M作y轴的平行线交于点H，则点， ∴． 【变式题10-2】.（2026九年级上·浙江·专题练习）如图，在直角坐标系中，二次函数经过，，三个点． (1)求该二次函数的解析式； (2)若在该函数图象的对称轴上有个动点，求当点坐标为何值时，的周长最小． 【答案】(1) (2)当点的坐标为时，的周长最小 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）连接，先求出抛物线的对称轴为直线，根据题意可得，关于抛物线的对称轴对称，则，得到的周长为，当、、三点共线时，最小，最小值为的长，此时的周长取得最小值，点即为所求，再求出直线的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：将点代入，得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）如图，连接， ，， ，， ， 抛物线的对称轴为直线， ，， ，关于抛物线的对称轴对称， ， 的周长为， 当、、三点共线时，最小，最小值为的长，此时的周长取得最小值，点即为所求， 设直线的解析式为，将、两点代入，得， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 当点的坐标为时，的周长最小． 【变式题10-3】.（26-27九年级上·北京·课后作业）在平面直角坐标系中，抛物线过两点． (1)若抛物线与y轴交于点，求此抛物线的顶点坐标； (2)如图，小敏发现所有过A、B两点的抛物线，如果与y轴负半轴交于点C，M为抛物线的顶点，那么与的面积比不变，请你求出这个比值． 【答案】(1)抛物线的顶点坐标为 (2) 【分析】（1）根据题意得到，据此求解即可； （2）用含的代数式表示和，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过， ， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：连接，由题意，得， ， ，而， ， 过M作轴于D， ∵， ． 易错点 1、混淆顶点式中h的符号，直接把括号中的数字当作顶点横坐标，例如误写顶点，正确顶点是。 2、平移口诀使用错误，“左加右减” 是针对自变量，不是对；混淆坐标轴平移与抛物线图象平移。 3、判断增减性直接以 y 轴为分界线，忽略对称轴不一定是 y 轴，必须以直线或者作为分界。 4、求给定区间最值，直接照搬顶点的最值，忽略顶点不在自变量取值区间的情况。 5、配方时，提出二次项系数之后，常数项计算出错；使用顶点公式混淆与符号。 6、跨学科、实际情境忘记限制自变量取值，直接默认 x 取全体实数。 重点 1、掌握四种顶点形式、、、，可以直接读出开口方向、对称轴、顶点、增减性、最值。 2、掌握抛物线平移规律，理解平移只改变位置，保持不变，会正向、逆向平移变换解析式。 3、掌握配方法，会将一般式化为顶点式，熟练运用对称轴与顶点坐标公式、。 4、掌握比较函数值大小的方法；会在给定自变量区间内求二次函数最值。 难点 1、一般式与顶点式互相转化，配方法的运算，理解公式，推导来源，不死记硬背。 2、定区间求最值，分类讨论对称轴和自变量区间的位置关系，结合图象数形结合分析。 3、由抛物线图象，判断以及等代数式符号，综合推理多个结论。 4、无图问题、参数抛物线，结合几何图形约束，进行分类讨论；跨学科问题剥离情境抽象数学模型。 【对应练习题】 一、单选题 1．抛物线与抛物线相比较，其不同点是（     ） A．对称轴不同 B．开口方向不同 C．顶点坐标不同 D．形状不同 【答案】C 【分析】根据二次函数与的图象及性质逐项判断即可． 【详解】解：A、抛物线与抛物线的对称轴都是y轴，两者相同，故本选项不合题意； B、抛物线与抛物线的开口方向都向上，两者相同，故本选项不合题意； C、抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标是，两者不同，故本选项符合题意； D、抛物线可以由抛物线平移得到，故两者形状相同，故本选项不合题意． 2．已知点，，都在抛物线上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将点A，B，C代入抛物线解析式，求出，，，即可比较． 【详解】解：∵点，，都在抛物线上， ∴， ， ， ∴． 3．已知二次函数 的图像如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵图像开口向上 ∴ （A 正确）； ∵对称轴在右侧， ∴， ∴ （B 错）； ∵与 轴交于正半轴 ∴ （C 错）； ∵ 时， ， ∴（D 错）． 二、填空题 4．抛物线 的开口方向为___________，对称轴为___________，顶点坐标为___________． 【答案】 向下 直线 【分析】本题给出抛物线顶点式，可根据二次项系数判断开口方向，直接得到对称轴和顶点坐标． 【详解】解：将抛物线解析式整理为标准顶点式，其中，，， ∵ ， ∴ 抛物线开口方向向下， ∵ 顶点式的对称轴为直线， ∴ 抛物线对称轴为直线， ∵ 顶点式的顶点坐标为， ∴ 抛物线顶点坐标为． 5．将抛物线向上平移个单位，得到的抛物线解析式为______． 【答案】 【分析】根据抛物线平移规律，向上平移常数项加平移的单位，即可得到新抛物线解析式． 【详解】解：将抛物线向上平移个单位，得到的抛物线解析式为． 6．已知二次函数（h为常数），当自变量x的值满足时，函数值y的最小值为1，则h的值为__________． 【答案】 或 【分析】二次函数开口向上，顶点为，根据对称轴与给定自变量的范围的位置关系分类讨论，列方程求解即可． 【详解】解：二次函数开口向上，顶点坐标为， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，分三种情况讨论： ① 若，此时在的范围内，随增大而增大，最小值在处取得，可得，解得或， ， ； ②若，此时在的范围内，随增大而减小，最小值在处取得，可得，解得或， ， ； ③若，此时顶点的横坐标在的范围内，函数最小值为， 不满足最小值为的条件，舍去； 综上，的值为或． 三、解答题 7．已知抛物线的顶点坐标为，且经过点，求这个二次函数的解析式． 【答案】 【分析】先由题意得到抛物线的顶点式，再将点代入解析式解方程即可得到答案． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， ， 抛物线经过点， ，解得， 则这个二次函数的解析式为． 8．如图所示，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，过点作轴交抛物线的对称轴于点，连接，已知点的坐标为．求该抛物线的函数解析式． 【答案】 【详解】解：将代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为． 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过点． (1)求抛物线的解析式； (2)设抛物线的顶点为，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将A和B两点坐标代入抛物线的解析式，求得b，c，从而得出结果； （2）运用配方法求出顶点的坐标，再根据三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵抛物线 经过点， ∴， 解得：， 所以，抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴抛物线的顶点P的坐标为， ∵， ∴， ∴． 10．二次函数 的自变量x与对应的函数y的值（部分）如表所示： x … 0 1 2 … y … m 7 1 1 7 … 解答下列问题： (1)表格中m的值等于 ； (2)在直角坐标系中，画出这个函数的图象． 【答案】(1)17 (2) 【分析】（1）根据待定系数法求出函数解析式，再把代入即可求解； （2）根据描点法，描点连线即可. 【详解】（1）解：由表格可得， ，解得， ， 当时，. （2）略 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题26.2 二次函数的图像和性质 知识点1：二次函数 的图象与性质 1、二次函数 的图象叫做抛物线，它是轴对称图形，对称轴为y轴（直线），顶点坐标为。 2、系数决定开口方向与开口宽窄；开口向上，顶点是最低点；开口向下，顶点是最高点；越大，抛物线开口越小。 3、增减性：，时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；，时，随的增大而增大；时，随的增大而减小。 4、最值：，当时，；，当时，。 知识点2：、、 图象与平移规律 1、平移核心规律：上加下减常数项，左加右减自变量；平移只改变抛物线位置，二次项系数a保持不变，开口大小、方向不变。 2、四种顶点式特征对比表 函数解析式 顶点坐标 对称轴 直线（y 轴） 直线（y 轴） 直线 直线 3、 性质：开口向上，时，；，随增大而减小；，随增大而增大；开口向下，时，；，随增大而增大；，随增大而减小。 知识点3：二次函数一般式 的图象与性质 1、配方法转化顶点式：。 2、对称轴：直线；顶点坐标：。 3、符号对图象的影响 （1）：决定开口方向与开口宽窄； （2）共同决定对称轴位置，口诀“左同右异”：对称轴在y轴左侧；对称轴在y轴右侧；对称轴为y轴； （3）：抛物线与y轴交点纵坐标，交点坐标。 4、增减性：以对称轴直线作为分界；最值在顶点处取得；自变量有取值限制时，最值不一定在顶点。 知识点4：描点法画二次函数图象 1、步骤：①化为顶点式，确定对称轴、顶点； ②在对称轴左右对称选取自变量，列表算函数值； ③描点； ④平滑曲线连线，图象两端无限延伸。 2、画图优先选取顶点，再在对称轴左右对称取2‑4组点，减少计算量。 【基础必考题型】 【题型1】识别抛物线开口、对称轴、顶点坐标 1、 核心知识点   、解析式结构；对开口方向的作用；顶点、对称轴概念。 2、解题方法技巧   ①顶点式直接读取顶点，注意中h符号；   ②开口方向只看正负，控制开口宽窄；   ③一般式先配方或者套公式求对称轴。 【例题1】.（2026九年级上·全国·专题练习）抛物线的开口方向为___________，对称轴为___________，顶点坐标为___________． 【变式题1-1】.（2026九年级上·全国·专题练习）已知二次函数． (1)用配方法将其化为 的形式； (2)指出该函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【变式题1-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）用配方法把二次函数化为的形式，并指出该函数图象的对称轴和顶点坐标． 【变式题1-3】.（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）二次函数的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【题型2】抛物线图象平移基础变换 1、 核心知识点   抛物线平移规则“上加下减常数项，左加右减自变量”；平移过程不变。 2、解题方法技巧   ①优先把解析式化为顶点式，跟踪顶点坐标的变化判断平移路径；   ②上下平移改变常数项，左右平移改变括号内自变量；   ③逆向平移题，将平移步骤反向操作，注意符号不要出错。 【例题2】.（2026九年级上·全国·专题练习）将抛物线 先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，求所得抛物线的解析式． 【变式题2-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）怎样移动抛物线可以得到抛物线？ 答：把抛物线先向右平移_____个单位长度，再向______平移_____个单位长度，可以得到抛物线． 【变式题2-2】.（2026九年级上·全国·专题练习）将抛物线 先向左平移 个单位，再向下平移 个单位，得到的抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 【变式题2-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）我们已经知道二次函数的图象和性质，利用这些知识来讨论二次函数的图象和性质． (1)求抛物线的对称轴和顶点坐标． (2)抛物线可以看作是由抛物线怎样平移得到的? (3)在平面直角坐标系中，画出抛物线． 【题型3】抛物线上点代入求值与对称性简单应用 1、 核心知识点   函数图象上点坐标满足解析式；抛物线轴对称：函数值相等的两个点关于对称轴对称。 2、解题方法技巧   ①点在抛物线上，直接将横坐标代入解析式求；   ②若，，两点中点横坐标等于对称轴；   ③利用对称性可以简化计算，避免重复代入计算。 【例题3】.（25-26九年级上·山东威海·期中）将抛物线向上平移3个单位长度后，经过点，则的值是_____． 【变式题3-1】.（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）已知抛物线经过点，则代数式的值为______． 【变式题3-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）二次函数（）中，当x分别取，（）时，它们对应的函数值相等，则当x取时，函数的值为________． 【变式题3-3】.（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图，抛物线的部分图像，对称轴为直线，则的值（    ） A．－3 B．－2 C．－1 D．0 【题型4】判断二次函数增减性，简单最值（全体实数范围） 1、 核心知识点   二次函数增减性以对称轴作为分界线；全体实数下，最值在顶点处取得。 2、解题方法技巧   ①先确定开口方向、对称轴；   ②开口向上：对称轴左边递减，右边递增；开口向下：对称轴左边递增，右边递减；   ③全体实数范围，最值就是顶点纵坐标，同时写明取到最值对应的值。 【例题4】.（2026九年级上·全国·专题练习）已知二次函数 ． (1)指出该函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)当 时， 随 的增大而___________；当 时， 随 的增大而___________． 【变式题4-1】.（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）关于二次函数的图象，下列描述错误的是（     ） A．该抛物线开口向上 B．当时，y有最小值2 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，y随x的增大而减小 【变式题4-2】.（26-27九年级上·广西南宁·开学考试） … 1 2 3 … … 3 0 … 则下列关于二次函数的说法正确的是（     ） A．二次函数图象的开口向下 B．二次函数图象的对称轴为直线 C．若点在该函数图象上，则 D．当时，随的增大而增大 【变式题4-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）对于抛物线，开口方向是______，顶点坐标是_______，对称轴是________；当______时，随的增大而增大；当______时，随的增大而减小；当_____时，函数取得最______值，为______． 【培优高频题型】 【题型5】函数值大小比较（探究比较方法） 1、 核心知识点   抛物线的对称性；点到对称轴距离与函数值大小关系；数形结合思想。 2、解题方法技巧   ①方法一：代入计算，算出各个值直接比较；   ②方法二：距离法：开口向上，点离对称轴越远函数值越大；开口向下，点离对称轴越远函数值越小；   ③方法三：利用对称轴，将点转化到对称轴同一侧，再利用增减性判断。 【例题5】.（26-27九年级上·福建福州·开学考试）若二次函数的图象经过点，，则，的大小关系是__________（用“<”连接）． 【变式题5-1】.（25-26九年级上·重庆綦江·期中）已知在函数上有点，点，C则关于，的大小判断正确的是（    ） A． B． C． D．无法确定 【变式题5-2】.（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）已知，，三点均在抛物线上，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法判断 【变式题5-3】.（2026九年级上·江苏泰州·专题练习）已知二次函数的图象经过点和点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点，都在该二次函数的图象上，试比较和的大小，并说明理由． 【题型6】定区间条件下求二次函数最值（定轴定区间） 1、核心知识点   二次函数增减性；对称轴与给定自变量区间的位置关系；区间端点函数值计算。 2.解题方法技巧   ①第一步：确定开口方向、对称轴；   ②判断对称轴是否落在给定自变量区间内部；   ③对称轴在区间内：一个最值取顶点，另一个最值比较两个端点函数值；   ④对称轴不在区间：函数在区间单调，最值直接取区间两个端点。 【例题6】.（25-26九年级上·河南濮阳·阶段检测）已知二次函数，当时，函数的取值范围是_____． 【变式题6-1】.（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为______． 【变式题6-2】.（2026九年级上·全国·专题练习）已知二次函数． (1)用配方法将其化为 的形式； (2)指出该函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)当 时，求函数的最大值和最小值． 【变式题6-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知二次函数（h是常数），且自变量的取值范围是． (1)当时，求函数的最大值； (2)若函数的最大值为，求h的值． 【题型7】由图象性质求参数值、参数范围 1、 核心知识点   开口、对称轴、顶点、增减性条件转化为方程、不等式。 2、解题方法技巧   ①读懂题干条件，翻译成关于或者等式或不等式；   ②注意隐藏条件；   ③求出参数后代回检验，确认是否符合题目全部条件。 【例题7】.（26-27九年级上·北京·开学考试）抛物线，当时，随增大而减小，则的取值范围是________． 【变式题7-1】.（2026·山东烟台·二模）当时，最大值与最小值的差为，则的值________． 【变式题7-2】.（26-27九年级上·全国·单元复习）已知二次函数（k是常数），当时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是___________． 【变式题7-3】.（26-27九年级上·湖北武汉·开学考试）已知抛物线与x轴交于两点，在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，若，则n的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 【题型8】配方将一般式转化顶点式综合题型 1.核心知识点   配方法；完全平方公式；一般式与顶点式互相转化；顶点、对称轴读取。 2.解题方法技巧   ①提出二次项系数，括号内配常数，括号外同步修正常数；   ②配方完成后，直接读出顶点坐标、对称轴；   ③可以使用顶点公式验证配出来结果是否正确。 【例题8】.（2026·甘肃兰州·中考真题）已知二次函数，下列结论正确的是__________．（填序号） ①函数图象与轴的交点坐标是；    ②函数图象的对称轴是直线； ③当时，随的增大而增大；    ④当时，函数的最大值是10． 【变式题8-1】.（26-27九年级上·福建福州·开学考试）函数的最小值为________． 【变式题8-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）把抛物线向下平移3个单位长度后得到抛物线． (1)求平移前的抛物线的解析式； (2)求函数的最大值或最小值，并指出相应的x的值； (3)对于，指出当x为何值时，y随x的增大而减小？ 【变式题8-3】.（2026·河南南阳·二模）在二次函数中，图象经过点和．    (1)求二次函数的表达式； (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象； (3)将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最小值为，直接写出的值． 【压轴素养题型】 【题型9】图象信息探究：由图象判断代数式符号（素养题） 1、 核心知识点   对图象的影响；特殊自变量取值（）对应函数值；数形结合推理。 2、解题方法技巧   ①对应；对应，看图象上对应点上下判断正负；   ②结合开口、对称轴、与y轴交点综合判断符号；   ③多个结论要逐个推导，不要凭直觉猜测。 【例题9】.（26-27九年级上·重庆·开学考试）如图，二次函数的图象与轴交于，对称轴为直线，以下结论正确的是（     ） A． B． C． D．（为实数） 【变式题9-1】.（26-27九年级上·天津·开学考试）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（     ） A．①②③ B．①③④ C．②④⑤ D．①②④ 【变式题9-2】.（26-27九年级上·北京·课堂例题）二次函数（）的部分图象如图所示，已知图象过点，对称轴为直线，有下列结论：①，，；②；③；④若点、点、点在该函数图象上，则．其中正确的结论有________个． 【变式题9-3】.（2026·甘肃嘉峪关·二模）已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①②③④，下列选项正确的是（     ） A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①② 【题型10】网格几何探究，抛物线与几何图形结合 1、核心知识点   顶点式求解析式；网格坐标读取；正方形、矩形等几何约束条件。 2、解题方法技巧   ①网格中读出顶点或者抛物线上点坐标，代入顶点式求出；   ②结合几何边长限制，得到自变量或者参数不等式；   ③注意交点是否包含边界，看清题干“有交点”、“穿过”等描述。 【例题10】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，菱形的顶点在抛物线上，其中点O为坐标原点，对角线在y轴上，且． (1)求两点的坐标； (2)求菱形的面积． 【变式题10-1】.（26-27九年级上·北京·课后作业）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A点坐标为为二次函数图象的顶点． (1)求二次函数的表达式． (2)求的面积． 【变式题10-2】.（2026九年级上·浙江·专题练习）如图，在直角坐标系中，二次函数经过，，三个点． (1)求该二次函数的解析式； (2)若在该函数图象的对称轴上有个动点，求当点坐标为何值时，的周长最小． 【变式题10-3】.（26-27九年级上·北京·课后作业）在平面直角坐标系中，抛物线过两点． (1)若抛物线与y轴交于点，求此抛物线的顶点坐标； (2)如图，小敏发现所有过A、B两点的抛物线，如果与y轴负半轴交于点C，M为抛物线的顶点，那么与的面积比不变，请你求出这个比值． 易错点 1、混淆顶点式中h的符号，直接把括号中的数字当作顶点横坐标，例如误写顶点，正确顶点是。 2、平移口诀使用错误，“左加右减” 是针对自变量，不是对；混淆坐标轴平移与抛物线图象平移。 3、判断增减性直接以 y 轴为分界线，忽略对称轴不一定是 y 轴，必须以直线或者作为分界。 4、求给定区间最值，直接照搬顶点的最值，忽略顶点不在自变量取值区间的情况。 5、配方时，提出二次项系数之后，常数项计算出错；使用顶点公式混淆与符号。 6、跨学科、实际情境忘记限制自变量取值，直接默认 x 取全体实数。 重点 1、掌握四种顶点形式、、、，可以直接读出开口方向、对称轴、顶点、增减性、最值。 2、掌握抛物线平移规律，理解平移只改变位置，保持不变，会正向、逆向平移变换解析式。 3、掌握配方法，会将一般式化为顶点式，熟练运用对称轴与顶点坐标公式、。 4、掌握比较函数值大小的方法；会在给定自变量区间内求二次函数最值。 难点 1、一般式与顶点式互相转化，配方法的运算，理解公式，推导来源，不死记硬背。 2、定区间求最值，分类讨论对称轴和自变量区间的位置关系，结合图象数形结合分析。 3、由抛物线图象，判断以及等代数式符号，综合推理多个结论。 4、无图问题、参数抛物线，结合几何图形约束，进行分类讨论；跨学科问题剥离情境抽象数学模型。 【对应练习题】 一、单选题 1．抛物线与抛物线相比较，其不同点是（     ） A．对称轴不同 B．开口方向不同 C．顶点坐标不同 D．形状不同 2．已知点，，都在抛物线上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 3．已知二次函数 的图像如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．抛物线 的开口方向为___________，对称轴为___________，顶点坐标为___________． 5．将抛物线向上平移个单位，得到的抛物线解析式为______． 6．已知二次函数（h为常数），当自变量x的值满足时，函数值y的最小值为1，则h的值为__________． 三、解答题 7．已知抛物线的顶点坐标为，且经过点，求这个二次函数的解析式． 8．如图所示，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，过点作轴交抛物线的对称轴于点，连接，已知点的坐标为．求该抛物线的函数解析式． 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过点． (1)求抛物线的解析式； (2)设抛物线的顶点为，求的面积． 10．二次函数 的自变量x与对应的函数y的值（部分）如表所示： x … 0 1 2 … y … m 7 1 1 7 … 解答下列问题： (1)表格中m的值等于 ； (2)在直角坐标系中，画出这个函数的图象． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $