02讲 二次函数的图像和性质 预习讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦二次函数图像和性质核心知识点，从特殊形式（如y=ax²、y=ax²+k）到一般式y=ax²+bx+c，系统梳理图像特征、变换规律、解析式求解及应用，构建从基础到综合的学习支架。 资料通过表格对比不同形式二次函数性质培养抽象能力与几何直观，题型分层设计训练推理与运算能力，结合实际情境体现模型与应用意识。课中辅助教师系统授课，课后助力学生查漏补缺。

第二十六章 二次函数 02讲 二次函数的图像和性质 题型归纳 【知识点1 二次函数的图像和性质 2】 【知识点2 二次函数的图像和性质 2】 【知识点3 二次函数的图像和性质 3】 【知识点4 二次函数的图像和性质 4】 【知识点5 二次函数的图像和性质 5】 【知识点6 待定系数法求二次函数解析式 6】 【题型1. 二次函数的图像和性质 7】 【题型2. 的图像和性质 11】 【题型3. 的图像和性质 16】 【题型4. 的图像和性质 20】 【题型5. 把化成顶点式 25】 【题型6. 的图像和性质 26】 【题型7. 待定系数法求二次函数解析式 31】 【题型8. 二次函数图像的平移 33】 【题型9. 二次函数图像的对称 36】 【题型10. 比较二次函数值的大小 40】 【题型11. 由二次函数的图像判断式子符号 45】 【题型12. 一次函数与二次函数图像综合判断 50】 【题型13. 二次函数中简单最值问题 54】 【巩固练习 59】 知识清单 知识点1 二次函数的图像和性质 函数解析式 图像 开口方向 向上 向下 开口大小 |越小，开口越大 顶点坐标 (0,0) (0,0) 对称轴 轴（直线） 增减性 ，随增大而增大； ，随增大而减小 ，随增大而减小； ，随增大而增大 最值 0时，最小值0 0时，最大值0 【提示】 ① 抛物线是一个轴对称图形，开口方向、对称轴、顶点通常被称为抛物线的三要素； ② ||越大，开口越小；反之，||越小，开口越大； ③ 由于抛物线关于轴对称，所以若点A在抛物线的图像上，则点A’也在抛物线的图像上. 知识点2 二次函数的图像和性质 项目 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 轴（直线） 顶点坐标 增减性 ，随增大而增大； ，随增大而减小 ，随增大而减小； ，随增大而增大 最值 0时，最小值 0时，最大值 2.二次函数与的图像之间的平移： 向上平移个单位 （1）当时， 向下平移个单位 （2）当时， 知识点3 二次函数的图像和性质 项目 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 顶点坐标 增减性 ，随增大而增大； ，随增大而减小 ，随增大而减小； ，随增大而增大 最值 时，最小值 时，最大值 2.二次函数与的图像之间的平移：向右平移个单位 （1）当时， 向左平移个单位 （2）当时， 知识点4 二次函数的图像和性质 项目 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 顶点坐标 增减性 ，随增大而增大； ，随增大而减小 ，随增大而减小； ，随增大而增大 最值 时，最小值 时，最大值 2.抛物线平移到抛物线的方法： 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到（，）处，具体平移方法如下： 向右（）或向左（）平移||个单位长度 向右（）或向左（）平移||个单位长度 向上（）或向下（）平移||个单位长度 向上（）或向下（）平移||个单位长度 向右（）或向左（）平移||个单位长度 向上（）或向下（）平移||个单位长度 知识点5 二次函数的图像和性质 1.一般式化为顶点式： ∴ 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是． 2.二次函数的图像和性质： 项目 图象 （图像参考上表，即的图像） 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 顶点坐标 增减性 ，随增大而增大； ，随增大而减小 ，随增大而减小； ，随增大而增大 最值 时，最小值 时，最大值 3.二次函数图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系： 项目 字母 字母的符号 图象的特征 开口向上 开口向下 b 对称轴在轴左侧 对称轴在轴右侧 c 图象过原点 与轴正半轴相交 与轴负半轴相交 与轴有唯一交点 与轴有两个交点 与轴没有交点 知识点6 待定系数法求二次函数解析式 1.待定系数法求二次函数解析式步骤： ①根据已知条件，设合适的二次函数解析式 给3个普通点 → 设一般式 给顶点坐标/对称轴/最值 → 设顶点式 给抛物线与x轴两个交点 → 设交点式 ②把图像经过的点的坐标代入所设解析式 点在抛物线上，则 满足函数式，代入得到含待定系数的方程。 顶点式/交点式：只需要1个额外点，得到一元一次方程，直接解； 一般式：3个点代入，得到三元一次方程组。 ③解方程（组），求出所有待定系数的值 顶点/交点式：直接解出； 一般式：消元法解三元一次方程组，算出。 ④将求出的系数代回最初设的解析式 ⑤整理化简：根据题意化简成所需形式。 题型专练 题型1. 二次函数的图像和性质 【例1】下列各点在函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式，将各选项点的横坐标代入解析式，计算得到的y值与点的纵坐标相等，该点就在函数图象上，由此判断选项即可． 【详解】解：A选项，当时，， ∴不在该函数图象上，不符合题意； B选项，当时，， ∴不在该函数图象上，不符合题意； C选项，当时，，与点的纵坐标相等， ∴在该函数图象上，符合题意； D选项，当时，， ∴不在该函数图象上，不符合题意． 【例2】根据函数图象填空： （1）抛物线的对称轴是________，顶点坐标是________，当x________时，抛物线上的点都在x轴的上方； （2）抛物线的开口向________，除顶点外，抛物线上的点都在x轴的________方，它的顶点是抛物线上的最________点． 【答案】 轴（或直线） 下 下 高 【分析】本题考查形如的二次函数的图象性质．根据二次项系数的符号判断开口方向．结合函数性质即可求解各空． 【详解】（1）抛物线属于型二次函数． 根据二次函数性质，其对称轴是轴，即直线．顶点坐标是． ．则抛物线开口向上．且． 仅当时． 当时．．抛物线上的点都在轴上方． （2）抛物线中． ．根据二次函数性质，抛物线开口向下． ． 仅当，即顶点处时． 除顶点外，抛物线上的点都满足，都在轴的下方．开口向下的抛物线，顶点是抛物线上的最高点． 【例3】已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)当m为何值时，该函数图象的开口向下？ (3)当m为何值时，该函数有最小值，最小值是多少？ 【答案】(1) (2)当时，该函数图象的开口向下 (3)当时，最小值为 【分析】该题主要考查了二次函数的定义及其性质的应用问题． （1）根据二次函数的定义求出m的值即可解决问题． （2）运用当二次项系数小于0时，抛物线开口向下； （3）运用当二次项系数大于0时，抛物线开口向上，图象有最低点，函数有最小值． 【详解】（1）解：∵函数是关于x的二次函数， ∴，， 解得：； （2）解：∵函数图象的开口向下， ， ， ∴当时，该函数图象的开口向下； （3）解：∵当时，抛物线有最低点，函数有最小值， ，即 ∵抛物线顶点坐标为， ∴该函数最小值为． 【变式1】关于函数，，的图象，下列说法中不正确的是（    ） A．顶点坐标相同 B．对称轴相同 C．图象形状相同 D．最低点相同 【答案】C 【分析】本题考查了的图象和性质，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据的性质求解即可． 【详解】解：函数，，都是形式， 二次函数， 顶点坐标均为，对称轴均为y轴，最低点均为， 但a值分别为，1，2，不相等， ∴图象开口大小不同，形状不同， 故选：C． 【变式2】对于二次函数，当时，y随x的增大而（　　） A．增大 B．减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 【答案】A 【分析】此题主要考查了二次函数图象的性质．根据二次函数的性质，由二次项系数判断开口方向，再根据对称轴分析增减性． 【详解】解：二次函数的二次项系数， 抛物线开口向下，对称轴为． 当 时，在对称轴左侧，y 随 x 的增大而增大． 故选：A． 【变式3】与抛物线形状相同，顶点相同，开口方向相反的抛物线是________． 【答案】 【分析】根据题意，顶点相同形状相同说明顶点坐标不变，二次项系数的绝对值不变，开口方向相反说明二次项系数符号相反，据此即可求解． 【详解】解：已知抛物线的顶点坐标为，由题意可知，所求抛物线顶点坐标不变，二次项系数绝对值不变，符号相反，因此所求抛物线的解析式为． 【变式4】如图，分别对应与的函数图象，则，的大小关系______． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：如图： 因为直线与两条抛物线的交点从上到下依次为，， 所以． 【变式5】已知抛物线经过点 (1)求此抛物线的函数解析式； (2)判断点是否在此抛物线上； (3)求出抛物线上纵坐标为的点的坐标． 【答案】(1)； (2)点B不在此抛物线中； (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数的知识，涉及到待定系数法求函数的解析式、二次函数的性质以及二次函数的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的性质，此题难度不大． 把点代入抛物线中求得a的值，即可求得此抛物线的解析式； 把代入此函数解析式即可判断； 把代入抛物线的解析式中求得x的值即可． 【详解】（1）抛物线经过点， 把点代入抛物线中：， ， 此抛物线的函数解析式为：； （2）当时，， 点不在此抛物线上； （3）此抛物线上一点的纵坐标为， 把代入此抛物线中得：， ， 此抛物线上纵坐标为的点的坐标为或． 题型2. 的图像和性质 【例1】下列关于抛物线的说法正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴为 C．顶点坐标为 D．由抛物线向上平移一个单位得到 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，包括开口方向、对称轴、顶点坐标和平移变换，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 根据二次函数的图象与性质逐项判断即可． 【详解】解：∵ 抛物线的二次项系数， 抛物线开口向下，故A错误； 对称轴为直线，故B错误； 当时，， 顶点坐标为，故C错误； 抛物线 向上平移一个单位得到，与给定抛物线一致，故D正确； 故选：D． 【例2】二次函数的图象是一条______，它的对称轴为______，它的顶点坐标为______． 【答案】 抛物线 y轴 【分析】本题考查了二次函数的对称轴与顶点坐标，熟练掌握二次函数的性质是解决本题的关键． 根据二次函数的解析式即可求解． 【详解】解：二次函数的图象是一条抛物线，它的对称轴为，即y轴，它的顶点坐标为． 故答案为：①抛物线；②y轴；③． 【例3】已知二次函数． (1)在下列坐标系中画出它的图象； (2)并指出它的图象的开口方向、顶点坐标、对称轴． 【答案】(1)见解析 (2)抛物线的开口向上，顶点坐标是，对称轴是直线 【分析】此题考查的是二次函数的性质、抛物线与轴的交点等知识，掌握二次函数的性质是解决此题的关键． （1）利用描点法画出函数图象； （2）利用配方法将函数解析式化为顶点式，由的符号及配方结果直接确定抛物线的开口方向、顶点坐标与对称轴． 【详解】（1）解：作图如下： ； （2）二次函数的解析式为， 抛物线的开口向上，顶点坐标是，对称轴是直线． 【变式1】下列函数中，y的值随x值的增大而减小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．中，，∴y随x的增大而增大，不符合题意； B．中，，∴y随x的增大而减小，符合题意； C．是二次函数，开口向下，对称轴为y轴，时y随x的增大而增大，时y随x的增大而减小，不是对所有x都满足y随x的增大而减小，不符合题意； D．是二次函数，开口向上，对称轴为y轴，时y随x的增大而减小，时y随x的增大而增大，不是对所有x都满足y随x的增大而减小，不符合题意． 【变式2】抛物线的顶点坐标是，且形状及开口方向与抛物线相同，则a，c的值分别为（   ） A．，2 B．， C．，2 D．， 【答案】A 【分析】本题考查了利用抛物线的性质求解参数，抛物线的形状和开口方向由二次项系数a决定，形状与开口方向相同的抛物线二次项系数a相同，再将顶点坐标代入解析式即可求出c． 【详解】∵抛物线的形状及开口方向与相同， ∴， ∵抛物线的顶点坐标是， ∴将，代入解析式得： ， ∴． 【变式3】若抛物线（为常数）的开口向下，则的值可以是______．（写出一个即可） 【答案】0（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质， 根据抛物线开口向下可知，再选择适合的值即可. 【详解】∵抛物线的开口向下， ∴， 解得， a的值是0（答案不唯一）. 故答案为：0. 【变式4】对于二次函数，当时，y的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握抛物线对称轴和增减性是解决本题的关键．由抛物线解析式可得对称轴为直线，且开口向上，再由可知，当时，取得最小值，当时，，即可求出答案． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向上， ∵， 当时，取得最小值， 当时，， 当时，， ∴当时，y的取值范围是， 故答案为：． 【变式5】已知二次函数． x … 0 1 2 … y … … (1)填写上表，并在下边平面直角坐标系中描出表中的点并画出函数图象． (2) 由图可知抛物线开口方向为______，对称轴为______，顶点坐标为______，当时，y随x的增大而______． (3)利用图象写出当时，y的取值范围是______． 【答案】(1)见解析 (2)向下；y轴；；减小； (3) 【分析】本题考查二次函数的基础知识点， （1）根据列表、描点、连线三步作出函数图象即可； （2）观察函数图象求解即可； （3）观察函数图象求解即可； 解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象画法，通过数形结合求解． 【详解】（1）解：如下表所示： x … 0 1 2 … y … 0 3 4 3 0 … 函数图象如图所示： （2）根据函数图象得：抛物线开口方向为向下；对称轴为y轴；顶点坐标为；当时，y随x的增大而减小； 故答案为：向下；y轴；；减小； （3）有函数图象可得：当时，y的取值范围是， 故答案为：． 题型3. 的图像和性质 【例1】已知抛物线，下列结论错误的是（    ） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线 C．抛物线的顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质，逐一进行判断即可. 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时，y随x的增大而减小； 综上，只有选项C错误. 【例2】抛物线的开口_________，对称轴是_________，顶点坐标是_________，对称轴左侧，随的增大而_________． 【答案】 向下 直线 增大 【分析】本题考查二次函数顶点式的性质，通过比较标准形式可直接得出开口方向、对称轴、顶点坐标及增减性．抛物线的顶点式为需注意的符号对开口方向和增减性的影响．根据二次函数的性质，由解析式可直接判断开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性． 【详解】解： ， ， 开口方向向下； 对称轴是直线， 顶点坐标为， 当时，抛物线开口向下， 在对称轴左侧（即时），函数值随的增大而增大． 故答案为：①向下；②直线；③；④增大． 【变式1】已知某二次函数，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，则该二次函数的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的增减性，可知抛物线开口向上，且对称轴为，对此一一分析选项即可得出答案． 【详解】解：∵当时，y随x的增大而减小；当时，y随x增大而增大， ∴抛物线开口向上，且对称轴为． 对于选项A：， ∵，抛物线开口向上，对称轴， ∴符合题意． 选项B：对称轴，不符合题意； 选项C和D：，开口向下，不符合题意． 故选A． 【变式2】下列函数的图象中，与的函数图象形状一致的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象的形状由二次项系数决定，系数的绝对值相同则形状一致，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，与的函数图象形状一致的二次函数的二次项系数的绝对值要为3， ∴四个选项中，只有A选项中的函数符合题意， 故选：A． 【变式3】下面是三位同学对某个二次函数的描述． 甲：图像的形状、开口方向与的相同； 乙：顶点在x轴上； 丙：对称轴是直线． 请写出这个二次函数的表达式：________． 【答案】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数的图象和性质．根据抛物线的顶点在x轴上，对称轴是直线，可得抛物线的顶点坐标为，再由抛物线的形状、开口方向与的相同，即可求解． 【详解】解：∵抛物线的顶点在x轴上，对称轴是直线， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线的形状、开口方向与的相同， ∴可设二次函数的表达式为． 故答案为： 【变式4】课堂归纳 图像 开口 开口 开口 越大，开口越小 对称轴 直线 顶点 顶点是最低点 顶点是最高点 增减性 ，随的增大而增大 ，随的增大而减小 ，随的增大而减小 ，随的增大而增大 【答案】向上；向下； 【分析】本题考查了二次函数的图像及性质，掌握二次函数性质是解题关键． 【详解】解：根据二次函数图像性质，可知当时开口向上；当时开口向下； 对称轴为直线． 故答案为：向上；向下；． 【变式5】已知函数，请在下面的网格中画出函数图象，并根据图象回答下列问题： （1）当时，求y的取值范围． （2）当时，y的取值范围是多少？ 【答案】函数的图象如图所示． （1）y的取值范围是． （2）y的取值范围是． 【分析】描点、连线作出图象即可； （1）根据图象即可求得； （2）根据图象即可求得． 【详解】解：由函数可知顶点为，对称轴为， 当时，可得； 当时，可得； 当时，可得； 将在坐标系内描出、连线， 图象如图所示， （1）由图象可知，当时，的取值范围是； （2）由图象可知，当时，的取值范围是． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，确定二次函数的顶点坐标以及对称轴是解决有关二次函数的题目的关键． 题型4. 的图像和性质 【例1】已知二次函数（其中a是常数，且），下列叙述中正确的是（    ） A．当时，二次函数图象开口向下 B．二次函数图象与y轴的交点的坐标为 C．顶点坐标是 D．当时，顶点是二次函数图象的最低点 【答案】C 【分析】二次项系数大于0，则函数图象开口向上，二次项系数小于0，则函数图象开口向下，且函数图象有最高点，据此可判断A、D；求出时，y的值可判断B；根据解析式可得顶点的坐标，则可判断C． 【详解】解：A、当时，二次函数图象开口向上，原说法错误，不符合题意； B、当时，，则二次函数图象与y轴的交点的坐标为， ∵， ∴， ∴二次函数图象与y轴的交点的坐标不是，原说法错误，不符合题意； C、由解析式可得顶点坐标为，原说法正确，符合题意； D、当时，顶点是二次函数图象的最高点，原说法错误，不符合题意； 【例2】抛物线的开口方向是_________，顶点坐标是___________，对称轴是直线___________．当x__________时，函数y随x的增大而增大；当x__________时，函数y随x的增大而减小． 【答案】 向下 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，主要包括：抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标，函数的增减性，理解和掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据二次函数的顶点式性质，结合条件，直接得出开口方向、顶点坐标、对称轴及增减性． 【详解】解：由抛物线是顶点式，可写为， ∴顶点坐标为，对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下，当时，函数随的增大而增大，当时，函数随的增大而减小． 故答案为：向下；，，，． 【例3】已知二次函数的解析式 (1)在直角坐标系中画出它的图象； (2)观察图象可知时，的取值范围是 ； (3)当时，观察图象直接写出函数值的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）根据列表，描点，连线即可作图； （2）根据函数图象，得出当时，的取值范围即可； （3）根据函数的增减性以及最值，结合函数图象求出两个端点时的函数值即可求解． 【详解】（1）解：列表如下： … 0 1 3 … … 0 6 … 描点，连线画出抛物线，如图所示． （2）解：根据函数图象可知，当时，的取值范围是； （3）解：由图象可知顶点坐标为， 当时，随的增大而减小， 当时，随的增大而增大， 当时，， 综上，当时，的取值范围为． 【变式1】抛物线的顶点坐标在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查二次函数顶点式的性质及平面直角坐标系象限的判断，先根据顶点式求出顶点坐标，再判断所在象限即可． 【详解】∵二次函数顶点式（）的顶点坐标为， ∴对于抛物线，其顶点坐标为， ∵横坐标，纵坐标，符合第二象限点的坐标特征， ∴顶点坐标在第二象限， 故选：B. 【变式2】关于二次函数的最大值或最小值，下列叙述正确的是（     ） A．当时，有最大值4 B．当时，有最小值4 C．当时，有最大值4 D．当时，有最小值4 【答案】B 【分析】本题考查二次函数顶点式的性质，掌握顶点式中参数与函数最值的关系是解题关键． 【详解】解：∵二次函数表达式为，是顶点式的形式． 又∵． ∴抛物线开口向上，函数有最小值． ∵该函数的顶点坐标为． ∴当时，有最小值4． 故选：B． 【变式3】已知抛物线（h为常数），当自变量x满足时，与其对应的函数值y的最小值是3，则h的值是______． 【答案】或5 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题时注意抛物线的增减性和分类讨论数学思想的运用． 由解析式可知函数在时取得最小值，时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小；根据时，函数的最小值为3可分如下两种情况：①当时，时，y取得最小值3，②当时，当时，y取得最小值3，分别列出关于h的方程求解即可． 【详解】解：由题意可得，根据二次函数的图象与性质，h的值不可能在1到3之间， ①当时， ∴当时，取得最小值， ∴， ∴或（舍去）， ②当时， ∴当时，取得最小值， ∴， ∴或（舍去）， 综上可得，或5． 故答案为：或5． 【变式4】二次函数，当时，随的增大而增大，写出一个符合条件的的值_______． 【答案】（答案不唯一，任意负数均可） 【分析】根据顶点式得到对称轴，结合给定的增减性判断的取值范围，即可写出符合条件的的值． 【详解】解：二次函数解析式为， ∴对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， 二次函数图象开口向下， ， （答案不唯一）． 【变式5】已知二次函数． (1)写出函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)当x取何值时，y随x的增大而增大？ 【答案】(1)对称轴是直线，顶点坐标是 (2)当时，y随x的增大而增大 【分析】本题考查二次函数的有关知识点，了解二次函数的图像及性质；熟知相关知识是正确解答此题的关键． （1）运用二次函数的顶点式即可求出对称轴和顶点坐标； （2）由二次函数开口向上，运用二次函数的增减性即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数， ∴函数图象的对称轴为直线，顶点坐标是； （2）解：， 当时，y随x的增大而增大． 题型5. 把化成顶点式 【例1】将二次函数化成的形式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用配方法，将二次函数的一般式转化为的形式，对比选项得到结果． 【详解】解：． 【例2】二次函数，用配方法化为的形式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的关系式， 利用配方法将二次函数一般式化为顶点式，再匹配对应选项即可． 【详解】解：∵， ∴正确选项为A． 故选：A． 【变式1】把二次函数配方成的形式，结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用配方法对原式变形即可得到结果． 【详解】解： ． 【变式2】抛物线的顶点坐标是__________． 【答案】 【分析】将抛物线的一般式通过配方法转化为顶点式，即可得到顶点坐标，也可利用顶点坐标公式求解． 【详解】解： 抛物线顶点坐标为． 【变式3】把二次函数变形为的形式，则的值为______ ． 【答案】4 【分析】先把二次函数化为顶点式，再求出，的值，进而可得出结论． 【详解】， ，， ． 题型6. 的图像和性质 【例1】关于抛物线，下列说法中错误的是（   ） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴是直线 C．抛物线的顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，正确理解二次函数的性质是解题的关键． 将一般式配方化为顶点式，再根据二次函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵，二次项系数， ∴抛物线开口向上，A选项说法正确，不符合题意， ∴抛物线对称轴是直线，顶点坐标为，B，C选项说法正确，不符合题意， ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，因此D选项说法错误，符合题意， 故选：D． 【例2】已知二次函数，当时，该二次函数的最小值为____________． 【答案】3 【分析】先求出二次函数的对称轴和开口方向，再根据二次函数的增减性确定给定区间内最小值的位置，代入计算得到结果． 【详解】解：∵二次函数， ∴该函数的对称轴是直线，二次项系数，开口向上， ∴当时，随的增大而增大， ∵，区间在对称轴右侧， ∴当时，取得最小值， 此时． 【变式1】若抛物线的对称轴为直线，则“”内的数为（    ） A． B．1 C． D．4 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的对称轴性质，设“□”内的数为，利用二次函数的对称轴公式代入计算即可求解． 【详解】解：设“□”内的数为，则抛物线解析式为， ∵对称轴为直线 ∴ ∴ 故“□”内的数为4． 故选：D． 【变式2】若抛物线 与x轴的一个交点坐标为，则该抛物线与x轴的另一个交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出抛物线的对称轴，再利用对称轴是x轴两交点横坐标的中点来计算另一个交点坐标． 【详解】∵抛物线的对称轴为直线， 又∵抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，已知一个交点为，设另一个交点为， ∴， 解得， ∴另一个交点坐标为． 【变式3】若二次函数的图象经过点，则______． 【答案】2027 【分析】将点代入可得，进而可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：将点代入，得 ， 即， ． 【变式4】已知二次函数． (1)请把下面的表格补充完整： x … 0 1 2 3 … … ____ 2 ___ 2 … (2)根据上表，在图中画出这个二次函数的图像． (3)根据图像，回答下列问题： ①当时，随的增大而________； ②当时，的取值范围是________． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析 (3)减小， 【分析】本题考查求二次函数的函数值，画二次函数的图像，二次函数的图像和性质，正确的画出函数图像是解题的关键． （1）把自变量的值代入函数解析式进行求解即可； （2）描点，连线，作图即可； （3）直接根据图像作答即可． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 补全表格如下： ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 2 3 2 ．．． （2）解：画出二次函数的图像如下： （3）解：①观察图像可知，当时，随x的增大而减小； 故答案为：减小； ②观察图像可知，当时，的取值范围是， 故答案为：． 【变式5】已知二次函数 (1)求该二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)当时，直接写出x的取值范围． 【答案】(1)开口方向向上，对称轴为直线，顶点坐标为 (2)或 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握图象开口，对称轴，顶点坐标的计算是关键． （1）根据二次函数解析式中二次系数的正负性判定图象开口，将一般式化顶点式可得对称轴直线，顶点坐标； （2）根据二次函数图象开口，与x轴交点判定即可求解． 【详解】（1）解：由， ∵， ∴开口方向向上， 由顶点式得到对称轴为直线，顶点坐标为． （2）解：当时，， 解得，， ∵图象开口向上，与x轴的交点坐标为， ∴当时，或． 题型7. 待定系数法求二次函数解析式 【例1】已知二次函数的图象经过、、三点，求这个二次函数的解析式． 【答案】 【详解】解：设二次函数的解析式为，把点、、代入得， ，解得， ∴这个二次函数的解析式为． 【变式1】如图，二次函数的图象经过坐标原点，与轴交于点．求此二次函数的解析式； 【答案】 【分析】本根据二次函数图象经过原点得到，再结合图象经过点，进而联立方程求出的值，确定二次函数的解析式． 【详解】解：函数图像经过原点和点， ， 解得：， 二次函数的解析式为． 【变式2】已知二次函数的图象经过，两点．求二次函数解析式并试判断点是否在此函数图象上． 【答案】 ，点不在此函数图象上 【分析】本题考查了待定系数法、二次函数的解析式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据待定系数法求出函数解析式，验证当时的纵坐标即可解题． 【详解】解：将，代入， 得， 解得， ∴二次函数的解析式为， 当时，， ∴不在函数图象上． 【变式3】已知二次函数的图象经过点，对称轴为直线，求该二次函数的表达式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求解二次函数解析式，二次函数的图象与性质．根据对称轴公式，以及将点代入抛物线表达式得到方程组求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点，对称轴为直线， ∴， 解得， ∴该二次函数的表达式为． 【变式4】已知抛物线经过点和及轴正半轴一点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线顶点坐标； (3)求直线解析式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，求一次函数的解析式，化为顶点式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合，得出，再把，，代入，进行计算，即可作答． （2）把化为顶点式，得出顶点坐标，即可作答． （3）把，代入，进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点及轴正半轴一点，且． ∴， ∴， 设抛物线的解析式为， 把，，代入， 得， 解得， ∴； （2）解：， ∴抛物线顶点坐标为， （3）解：由（1）得， 依题意，设直线解析式为， 把，代入， 得， ∴， ∴直线解析式为． 题型8. 二次函数图像的平移 【例1】将抛物线平移得到抛物线，下列叙述正确的是（   ） A．向右平移2个单位，向上平移3个单位 B．向左平移2个单位，向下平移3个单位 C．向右平移2个单位，向下平移3个单位 D．向左平移2个单位，向上平移3个单位 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象平移的规律．根据二次函数图象平移的规律“左加右减，上加下减”进行分析即可 【详解】解：将抛物线平移得到抛物线，其平移方式是向左平移2个单位，向上平移3个单位． 故选：D． 【例2】将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，平移后所得抛物线的表达式为________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移．根据左加右减，上加下减进行求解作答即可． 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，平移后所得抛物线的表达式为， 故答案为：． 【例3】已知二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，与y轴的交点坐标为． (1)求该二次函数的表达式； (2)将该二次函数图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位，求平移后的二次函数的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法进行求二次函数的解析式，二次函数的平移性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用待定系数法进行求二次函数的解析式，即可作答． （2）先把二次函数的解析式化为顶点式，，得根据二次函数图象平移规律 “左加右减，上加下减”，进行作答即可． 【详解】（1）解：依题意，把点，分别代入中， 得到方程组， 解得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：由（1）得， 则 ∵该二次函数图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位． ∴． 【变式1】把抛物线向左平移2个单位长度，平移后抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：把抛物线向左平移2个单位长度，所得直线解析式为：,即； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 【变式2】在平面直角坐标系中，若抛物线平移后经过原点O，则平移的方式可能是（　　） A．向上平移3个单位长度 B．向下平移3个单位长度 C．向左平移3个单位长度 D．向右平移3个单位长度 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象的平移，掌握相关知识是解决问题的关键．根据平移规律“左加右减，上加下减”解答． 【详解】解：由抛物线向右平移3个单位，得到抛物线解析式为：，此时抛物线经过原点． 故选：D． 【变式3】把抛物线向左平移3个单位，然后向下平移1个单位，则平移后抛物线的解析式为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移与几何变换，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题的关键． 直接根据“上加下减，左加右减”的平移规律进行解答即可． 【详解】解：把抛物线向左平移3个单位，然后向下平移1个单位，则平移后抛物线的解析式为， 故答案为：． 【变式4】（1）将函数的图象向左平移个单位，使其经过坐标原点，求的值； （2）将函数的图象向上平移个单位，使其顶点落在轴上，求平移后的函数表达式． 【答案】（1）1或2；（2） 【分析】（1）求出函数的图象与轴的交点再求出即可； （2）利用顶点式解析式平移求解即可． 【详解】解：（1）令，求得，， 函数的图象向左平移或个单位，使其经过坐标原点， 所以或． （2）函数的图象向上平移个单位，使其顶点落在轴上， 平移后的函数表达式为． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，解题的关键是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；或只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 【变式5】已知二次函数，若将该二次函数图象向上平移个单位长度，平移后的抛物线经过点，求的值． 【答案】的值为 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的图象的平移，由二次函数的图象的平移法则得出平移后的抛物线的解析式为，再将点代入平移后的解析式计算即可得解，熟练掌握二次函数图象的平移是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数， ∴将该二次函数图象向上平移个单位长度，平移后的抛物线的解析式为， ∵平移后的抛物线经过点， ∴， 解得：， 故的值为． 题型9. 二次函数图像的对称 【例1】在同一坐标系中，图象与的图象关于x轴对称的函数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，熟知直角坐标系中关于轴对称的点的坐标的关系是解题的关键．根据关于轴对称的点的坐标特征求得即可． 【详解】解：函数的图象关于轴对称的函数为，即． 故选：． 【例2】求抛物线关于直线对称后所得抛物线的解析式是_______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，轴对称的性质，先把整理得，则顶点坐标为，结合关于直线对称后所得，则，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴抛物线的顶点坐标为， 则 ∴关于直线对称后所得， 则 故答案为：． 【变式1】与二次函数关于x轴对称的抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线的对称，熟练掌握对称的特点是解题的关键． 设上的一个点坐标为，关于x轴的对称点为，则一定在抛物线上，则，回代解析式得即，解答即可． 【详解】解：设上的一个点坐标为，关于x轴的对称点为，则一定在抛物线上， 则，回代解析式得即， 故抛物线的表达式为． 故选：C． 【变式2】已知抛物线与抛物线关于轴对称，那么的值是_______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，掌握两条抛物线关于x轴对称，则对应点的纵坐标互为相反数是解题的关键．根据两条抛物线关于x轴对称，则对应点的纵坐标互为相反数，因此二次项系数互为相反数，即可得解． 【详解】解：抛物线与抛物线关于轴对称， 对于任意，有， ． 故答案为：． 【变式3】把抛物线先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，得到抛物线． (1)试确定a，h，k的值； (2)若以x轴为对称轴，将原抛物线翻折，求所得抛物线的函数表达式． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查抛物线的平移与翻折，掌握平移与翻折规律是解题的关键． （1）根据抛物线平移规律，向左平移3个单位则x替换为，向上平移4个单位则函数值加4，比较平移后的抛物线方程可得a，h，k的值； （2）求出原抛物线顶点关于x轴的对称点，沿x轴翻折后所得新抛物线的形状不变，开口方向与原抛物线相反，由此可解． 【详解】（1）解：由题意知，抛物线向下平移4个单位，再向右平移3个单位，可得， 抛物线为：， ，，； （2）解：抛物线的顶点坐标为， 点关于x轴的对称点为，沿x轴翻折后所得新抛物线的形状不变，开口方向与原抛物线相反， 所得抛物线的函数表达式为． 【变式4】如图，“心形”图案是由抛物线的一部分及其关于直线的对称图形组成，点E、F是“心形”图案与其对称轴的两个交点，点A、B、C、D是该图案与坐标轴的交点，且点D的坐标为． (1)求m的值及的长； (2)求的长； (3)若点P是该图案上的一动点，点P、点Q关于直线对称，连接，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的图象与性质，并结合了图象对称，线段的长度和最值，体现了方程和数形结合的思想． （1）把点D的坐标代入得m，； （2）联立与，求出交点E、F，再求的长； （3）设过点P与平行的直线为，根据图形可知当直线与只有1个交点时最大，联立与，利用求出m，进而求出P、Q，最后求的最大值；当点与点E、F重合时最小． 【详解】（1）解：把点D的坐标代入，得， 由对称性得， ∴； （2）解：联立与得， ∴，即， ∴或， ∴，， ∴； （3）解：如图所示，设过点P与平行的直线为，当直线与只有1个交点时最大． 由得， ∴， ∴，， 把代入得，， ∴， ∵点P、点Q关于直线对称， ∴， ∴， 由对称性得点Q的坐标为时亦满足题意， ∴的最大值为， 当点与点E、F重合时最小．最小值为0， 综上，的取值范围． 题型10. 比较二次函数值的大小 【例1】已知点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，二次函数 开口向下，对称轴为 y 轴，点的横坐标的绝对值越小，离对称轴越近，函数值越大． 把点的横坐标分别代入抛物线解析式分别求出、、的值，比较大小即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 当 时，； 当 时，； 当 时，． ∵ ， ∴ ． 故选：A． 【例2】已知二次函数的图像上有两点、，则与大小关系是（   ） A． B． C． D．没法确定 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数值的大小比较； 先求出二次函数的对称轴，根据二次函数开口方向判断对称轴左侧的单调性，再结合两点横坐标的大小比较函数值大小． 【详解】解：∵二次函数中，，开口向上， ∴对称轴为直线， ∵点、的横坐标都小于1，即在对称轴左侧， 又∵开口向上的二次函数，在对称轴左侧随的增大而减小， 且， ∴， 故选：B． 【例3】已知点，在抛物线上，且，则__________（填“>”“<”或“=”）． 【答案】> 【分析】先判断抛物线的开口方向与对称轴，再利用二次函数的增减性比较和的大小． 【详解】对于抛物线， 二次项系数， 因此抛物线开口向下，对称轴为直线， 根据二次函数的性质，当时，随的增大而减小， ， ． 【变式1】已知二次函数的图象上有三点，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的顶点式性质、二次函数的增减性，熟练掌握开口向上的二次函数上的点到对称轴的距离与函数值大小的关系是解题的关键． 先由二次函数顶点式确定其开口方向和对称轴，再分别计算三点到对称轴的距离，根据开口向上时“点到对称轴的距离越远，函数值越大”的性质，比较、、的大小． 【详解】解：∵二次函数为顶点式，且． ∴抛物线开口向上，对称轴为直线． ∵点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为． 又∵开口向上时，在对称轴两侧，点到对称轴的距离越远，函数值越大． ∴， 故选：B． 【变式2】函数的图象上有三个点，分别为，，，则，，的大小关系为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的增减性，熟练掌握当开口向下时，离对称轴越近的点纵坐标越大是解题的关键． 先确定二次函数的对称轴与开口方向，再根据各点到对称轴的距离远近判断纵坐标大小，开口向下时，离对称轴越近的点纵坐标越大． 【详解】解：∵函数， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线． ∵点到对称轴的距离为， 点在对称轴上，到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为． ∵抛物线开口向下，离对称轴越近的点纵坐标越大， ∵， ∴． 故选：D． 【变式3】已知二次函数图像的对称轴为直线，且经过点、，试比较大小：______．（填“>”“＜”或“＝”） 【答案】> 【分析】本题主要二次函数的性质、二次函数的图象、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，由抛物线对称轴是直线, 从而抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，又, 则, 最后可以判断得解. 【详解】解：由题意，抛物线对称轴是直线, 抛物线上的点离对称轴越近函数值越小. 又, 故答案为：>. 【变式4】在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上． (1)若，，求该抛物线的对称轴； (2)若时，已知点，在该抛物线上．比较，的大小，并说明理由； (3)若，已知点，，在该抛物线上．比较，，的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质和二次函数的解析式． 根据题意将点和点代入解析式求解． 根据题意将点和点，在抛物线，因为，所以对称轴为，因为，所以开口向上，横坐标距离对称轴越大，纵坐标的值越大，即可得到答案． 分类讨论b的正负情况，根据可得对称轴在与直线之间，再根据各点到对称轴的距离判断y值的大小． 【详解】（1）解：根据题意，，点和点在抛物线上， ∴将点，代入解析式得：，解得：， ∴解析式为：． （2）解：根据题意将 点和点，在抛物线， 因为，， ∴对称轴为， ∵，所以开口向上，横坐标距离对称轴越大，纵坐标的值越大， ∴，， ∴． （3）解：∵， ∴抛物线开口向上且经过原点， 当时，抛物线顶点为原点，时y随x增大而增大，不满足题意， 当时，抛物线对称轴在y轴左侧，同理，不满足题意， ∴时，抛物线对称轴在y轴右侧，时，时， 即抛物线和x轴的2个交点，一个为，另一个再2和4之间， ∴抛物线对称轴在直线与直线之间， 即， ∴三点离对称轴由近到远的顺序是，， ∴． 题型11. 由二次函数的图像判断式子符号 【例1】如图是二次函数的图象，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对称轴是直线，可得，即，即可判断A；根据抛物线开口判断，然后根据对称轴判断，抛物线交y轴于正半轴，，可判断B；由图象知：当时，，可判断C；由图可知时，可判断D． 本题考查了二次函数的图象与系数的关系，理解题意，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题关键． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，故选项A正确； ∵， ∴， ∵抛物线交y轴于正半轴得：； ∴，故选项B错误； 由图象知：当时，， ∴， ∴，故选项C错误； 由图可知，时， ∴，故选项D错误． 故选：A． 【例2】二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④（m为实数）．其中正确的有______． 【答案】①②③④ 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象与其系数间的关系等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据该二次函数图象的开口方向、对称轴以及与轴交点位置分析的符号，即可判断结论①②；由函数图象可知，当时，，即可判断结论③；结合当时，该二次函数取最小值，易知（为实数），即可判断结论④． 【详解】解：根据题意，该函数图象开口向上， ∴， ∵对称轴是直线， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵该函数图象与轴交于负半轴， ∴当时，， ∴，故结论①正确； 由图象可知，当时，， ∴，又， ∴，即，故结论③正确； ∵当时，该二次函数取最小值， ∴（为实数）， 即（为实数），故④正确； 综上所述，结论正确的有①②③④． 故答案为：①②③④ 【变式1】对称轴为直线的抛物线，，为常数，且如图所示，下列结论正确为（    ） A． B． C．当时，随的增大而增大 D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，二次函数图象与系数的关系，由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断，熟知二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定是解题的关键． 【详解】解：A∵抛物线开口向上，与y轴交于负半轴， ∴，， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ，故A正确； B.由函数图象可知，抛物线与x轴有两个不同交点， ， ，故B错误； C.由图象可知，当时，y随x的增大而减小，故C错误， D.对称轴为直线， ∴当和时的函数值相等，且都小于0， ，故D错误； 故选：A． 【变式2】如图所示的是二次函数图象的一部分，其对称轴是直线，且过点，下列说法：①；②；③；④若是抛物线上的两点，则．其中说法正确的是（     ） A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．根据抛物线开口向上，可得，再由抛物线对称轴为直线，可得，，②正确．再由，可得，①正确．再根据抛物线的对称性可得抛物线经过，从而得到时，，③错误．再根据二次函数的对称性可得，④错误，即可求解． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线的对称轴为直线 ， ，则，所以②正确； 抛物线与轴的交点在轴下方， ， ，所以①正确； 时，， ， ③错误； 点与点关于对称轴对称， ，所以④错误． 故选：A． 【变式3】二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为，且图象经过点，下列结论：①；②；③若且，则；④若，两点都在抛物线的图象上，则．正确的有______．（填正确的序号） 【答案】 ①②③ 【分析】根据抛物线的开口向下，与y轴交于正半轴，可得，再根据对称轴为直线，可得，即可判断①②；然后说明，可得和关于对称轴对称，进而得出，说明③即可；最后根据抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小解答④． 【详解】解：由图象可知抛物线的开口向下，与y轴交于正半轴， ∴． ∵对称轴为直线， ∴， 则可知①②正确； ∵，且， ∴， ∴和关于对称轴对称， ∴， 则，可知③正确； ∵抛物线开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小． 若两点都在抛物线的图象上， ∵， ∴，可知④不正确． 则正确的有． 题型12. 一次函数与二次函数图像综合判断 【例1】函数和函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象问题． 先求出的顶点坐标， 再分情况讨论即可． 【详解】解：当时，， 即函数的顶点为，B、D不符合要求； 当时，函数经过一、三象限，函数开口向上，C符合； 当时，函数经过二、四象限，函数开口向下，无符合选项； 故选：C． 【变式1】在同一坐标系中画出直线与抛物线，有可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两个函数的性质和图象的特征，结合选项中的图象逐项判断即可． 【详解】解：A、直线中，，抛物线中，，故本选项符合题意； B、直线中，，抛物线中，，矛盾，故本选项不符合题意； C、直线中，，抛物线中，，矛盾，故本选项不符合题意； D、直线中，，抛物线中，，矛盾，故本选项不符合题意． 【变式2】在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数与一次函数的图象及性质是解题的关键；因此此题可根据二次函数与一次函数的图象及性质依次进行排除选项即可． 【详解】解：A、由图象可知：一次函数中，，所以二次函数的开口向上，对称轴为直线，即对称轴在y轴的右侧，故符合题意； B、由图象可知：一次函数中，，所以二次函数的开口向下，对称轴为直线，即对称轴在y轴的右侧，故不符合题意； C、由图象可知：一次函数中，，所以二次函数的开口向下，对称轴为直线，即对称轴在y轴的左侧，故不符合题意； D、由图象可知：一次函数中，，所以二次函数的开口向上，对称轴为直线，即对称轴在y轴的左侧，故不符合题意； 故选A． 【变式3】一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象的综合判断，根据一次函数经过的象限可得，进而可得二次函数开口向上，对称轴在y轴左侧，据此结合函数图象可得答案． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴， ∴， ∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线，即对称轴在y轴左侧， ∴四个选项中，只有C选项中的函数图象符合题意， 故选：C． 【变式4】二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图像的基本性质及判断一次函数图像所经过的象限，熟练掌握二次函数及一次函数的性质是解题关键． 由二次函数的图像可得，根据一次函数图像的性质即可判断出正确答案． 【详解】解：由图象可知，中，当时，， ∴， ∴的图象经过一、二、三象限，与y轴交于正半轴， 故选A． 题型13. 二次函数中简单最值问题 【例1】二次函数有（   ） A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，以及最值的求解，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 先将其化为顶点式，即可求解最值． 【详解】解：将二次函数化成顶点式为 ∵ ， ∴ 二次函数有最小值．最小值为． 故选：C． 【例2】若二次函数有最大值7，则的值为________． 【答案】6 【分析】将二次函数解析式配方为顶点式，根据二次函数有最大值，列出关于的方程，求解即可得到的值. 【详解】解：， ， 二次函数开口向下， 二次函数的最大值为， 二次函数的最大值为， ， 解得. 【例3】已知二次函数． (1)求二次函数图象的顶点坐标； (2)当时，函数的最大值和最小值分别为多少？ 【答案】(1) (2)当时，函数的最大值为4，最小值为0 【分析】（1）化成顶点式即可求解； （2）根据二次函数的性质求解即可． 本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴顶点坐标为； （2）解：∵抛物线的对称轴为， 又∵，，抛物线开口向下， 当时，函数有最大值，最大值为； 当时，函数有最小值，最小值为． 【变式1】若二次函数的图象经过点，则函数y的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，将点代入函数解析式求出的值，得到二次函数解析式，再通过配方法求函数最小值． 【详解】解：二次函数的图象经过点， 当时，， 即， 解得， 二次函数解析式为， 配方法：， ， ， ， ， ， ， 当时取等号， 函数的最小值为． 故选：． 【变式2】已知实数，满足，则的最大值为________． 【答案】34 【分析】根据已知条件将用含的代数式表示，代入所求式子，转化为关于的二次函数，利用二次函数的性质求解最大值． 【详解】解：， ， 将 代入得 ． 二次项系数， 该二次函数开口向下，当时，取得最大值，最大值为． 【变式3】点C与点构成一个平行四边形，当取得最小值时，点C的坐标是_________________． 【答案】或或 【分析】根据题意，得有最小值，且当时，取得最小值， 得到，利用中点坐标公式，分三种情况求解即可； 【详解】解：， ， ， ， 有最小值，且当时，取得最小值， ， 由点C与点构成一个平行四边形， 设， 当为对角线时，由中点坐标公式得： 解得：，9 ∴； 当为对角线时，由中点坐标公式得： 解得：， ∴； 当为对角线时，由中点坐标公式得： 解得：， ∴． 综上所述，满足条件的点C的坐标为，，． 【变式4】已知二次函数（，为常数），当时，该函数的最大值与最小值的差是，求的值． 【答案】 【分析】先确定顶点坐标为，可得最小值为，当时，函数取得最大值，为，即可列方程求解． 【详解】解：， 顶点坐标为， ，即抛物线开口向上，，最小值为， 当时，该函数的最小值为， ， 当时，函数取得最大值，为， 由题意可得， 解得． 【变式5】学习完二次函数的性质后，某兴趣小组以一组习题为依托，开展了进一步的研究，以下是他们的研究过程． ①，②，③． 【任务一】研究增减性 （1）当时， 随的增大而增大的是 ；（填序号） 【任务二】研究对称性 （2）函数 的对称轴是 ； 【任务三】研究最值 （3）当取何值时，函数 有最小值，并写出最小值； 【任务四】研究复杂问题的最值 （4） 若 ，求的最小值． 【答案】（1）①③；（2）直线；（3）时，最小值为；（4） 【分析】本题考查二次函数的图象及性质， （1）分别求出每一个函数的对称轴，再结合函数的性质确定即可； （2）根据二次函数的性质，直接求对称轴即可； （3）将代入函数的解析式，即可求最小值； （4）先求出，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：（1）①的对称轴为直线，开口向上，当时，值随的增大而增大； ②的对称轴为直线，开口向上，当时，值随的增大而增大； ③的对称轴为直线，开口向上，当时，值随的增大而增大； 故答案为：①③． （2）函数 的对称轴是直线； 故答案为：直线． （3）当时，函数 有最小值 （4）∵，，． ∴ ∴当时，的最小值为． 巩固练习 1．（2026·吉林长春·一模）下列函数中，的值随的值增大而增大的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不同函数的增减性逐一判断即可得到答案． 【详解】解：选项A，是二次函数，开口向上，对称轴为，当时，随的增大而减小，不符合要求． 选项B，，是一次函数，，随的增大而减小，不符合要求． 选项C，，是二次函数，开口向下，对称轴为，当时，随的增大而减小，不符合要求. 选项D，是一次函数，，随的增大而增大，符合要求． 2．（2025·广东广州·二模）已知二次函数，其顶点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数顶点式的顶点坐标，利用二次函数顶点式的性质即可直接求解． 【详解】解：二次函数顶点式的形式为，其顶点坐标为． ∵已知二次函数为，对比顶点式可得， ∴该二次函数的顶点坐标为． 3．（2026·广东惠州·二模）二次函数开口向上，与轴交于负半轴，对称轴在轴左侧，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题根据二次函数的基本性质，由开口方向与的关系确定a的正负，对称轴位置与的关系确定b的正负，与轴交点的位置与的关系确定c的正负，逐一判断选项，即可得到正确结论． 【详解】解： 二次函数 开口向上， ，选项A错误； 对称轴在轴左侧，二次函数对称轴为 ， ， 又， ，选项B错误； 二次函数与轴交于负半轴，且当时，， ，选项C错误； 由， 得， ∴， ∵， ∴，选项D正确． 4．（2026·河南三门峡·二模）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由得出，利用二次函数的性质即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∴顶点坐标为． ∴的最小值为． 5．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线解析式是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象的平移，利用“左加右减自变量，上加下减常数项”的平移规则计算即可得到新抛物线的解析式． 【详解】解：原抛物线解析式为 ∵抛物线向左平移2个单位，根据平移规则“左加右减自变量”，得平移后解析式为 再将得到的抛物线向下平移3个单位，根据平移规则“上加下减常数项”，得最终解析式为． 6．（25-26九年级上·浙江金华·期末）已知三个二次函数的图象如图所示，那么，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次函数的图象，抛物线开口大小与二次项系数的绝对值大小成反比，正确记忆开口方向和大小与a的关系是解题关键． 直接利用二次函数的图象开口大小和方向与a的关系进而得出答案． 【详解】解：如图所示：的开口向上，， 与开口向下，则， ∵的开口大于开口， ∴ ∴， ∴ 故选：D． 7．（2026·广东深圳·三模）当两条曲线关于某直线对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线的对称曲线．如果抛物线与抛物线是关于轴的对称曲线，则的值为（     ） A．3 B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质与图象的轴对称变换，得出两条关于轴对称的抛物线开口大小方向一致，顶点关于轴对称，先求出的顶点坐标，再得到对称顶点，对应得到和的值，即可计算出结果 【详解】解：抛物线与抛物线是关于轴的对称曲线， 二者开口大小方向一致，顶点坐标关于轴对称， 对配方得 ， 的顶点坐标为， 点关于轴对称的点的坐标为，即的顶点坐标为， 又的顶点式为，其顶点坐标为， ，， 8．（2026·河南驻马店·三模）请写出一个满足以下条件的关于的二次函数表达式： ①图象经过原点；②当时，随的增大而增大． 则这个二次函数表达式可以是_________________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】二次函数的一般式为，若图象经过原点，将，代入，得，解得，因此，函数表达式可简化为； 二次函数的增减性由开口方向和对称轴决定：当时，抛物线开口向上，在对称轴右侧随的增大而增大；当时，抛物线开口向下，在对称轴右侧随的增大而减小，题目中“时随的增大而增大”，说明抛物线开口向上（即），且对称轴需在或其左侧，对称轴公式为，因此需满足． 【详解】解：设该二次函数表达式为， 由题意，可知该二次函数图象开口向上（即），对称轴（即）， 且，则满足题意．（答案不唯一，符合题意即可） 9．（2026·广东江门·三模）已知点、在二次函数的图象上，若，则___（填“”、“”或“”）． 【答案】< 【分析】先确定二次函数的开口方向与对称轴，再根据二次函数的增减性，结合比较与的大小． 【详解】二次函数 中，二次项系数，因此抛物线开口向上， 该抛物线的对称轴为直线 ， 根据二次函数的性质，当 时， 随 的增大而减小， 已知 ，所以 ． 10．（2026·上海虹口·一模）如果抛物线（为常数）开口向下，那么的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质．根据二次函数的性质，当二次项系数小于0时，抛物线开口向下，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵抛物线 的开口向下， ∴， 解得． 故答案为： 11．（25-26九年级上·河南周口·期末）已知二次函数图像经过点． (1)判断这个函数图像的开口方向； (2)点在这个函数图像上，求m的值． 【答案】(1)开口向上 (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质． （1）先将点的坐标代入二次函数解析式求出的值，根据的正负判断函数图像的开口方向； （2）将点的坐标代入已确定的二次函数解析式，计算求出的值. 【详解】（1）解：将点代入中 得 即 解得 因为 所以这个函数图像的开口向上 （2）解：由（1）可知二次函数解析式为 将点代入中 得 解得. 12．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数，将函数图象沿轴向上平移1个单位． (1)求平移后的函数表达式． (2)判断是否在平移后的函数图象上，并说明理由． 【答案】(1) (2)点不在这个二次函数图象上，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数图象的平移、二次函数图象上点的坐标特征，正确求出函数解析式是解此题的关键． （1）利用函数图象的平移规则“上加下减”求解即可； （2）求出当时对应的函数值，比较即可得出答案． 【详解】（1）解：将二次函数图象沿轴向上平移1个单位，得到平移后的函数表达式为，即； （2）解：点不在这个二次函数图象上，理由如下： 当时，， ∴点不在这个二次函数图象上． 13．（25-26九年级上·福建泉州·期末）已知二次函数()的图象上的部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： … 0 … … 1 1 … (1)二次函数图象的顶点坐标为_________，_________； (2)求该二次函数的表达式． 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，涉及对称性、顶点坐标的确定及二次函数表达式的求解，关键是利用二次函数的对称性快速定位对称轴与顶点，再选择合适的表达式形式简化计算． （1）通过表格中纵坐标相同的两个点，计算得到二次函数的对称轴，结合表格数据直接得出顶点坐标；再利用对称性找到的对称点，进而求出的值； （2）已知顶点坐标，优先选择顶点式设函数表达式，代入表格中一个已知点求解出参数即可． 【详解】（1）解：∵当时，时， ∴二次函数的对称轴为直线， 又∵时， ∴二次函数图象的顶点坐标为； ∵与关于对称轴对称，且时， ∴； 故答案为：，； （2）解：设二次函数的顶点式为， 将点代入表达式得：，解得， ∴，即． 14．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）已知抛物线（b，c为常数）． (1)当，时， ①求该抛物线的顶点坐标． ②将该抛物线向下平移个单位得到的新抛物线过点，且，请求出h的取值范围． (2)当时，y的最小值为6；当时，y的最小值为2．求该抛物线的表达式． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查二次函数的图像性质，熟练掌握二次函数的图像性质是解题的关键． （1）①将，代入抛物线，将其改写为顶点式，进而得到顶点坐标； ②先根据平移规律得到新抛物线的表达式，再将点代入，得到h关于n的表达式，最后根据n的取值范围求出h的取值范围； （2）先确定抛物线的对称轴，再结合已知条件分情况讨论，根据二次函数的单调性求出b、c的值，进而得到抛物线的表达式． 【详解】（1）①解：当，时，抛物线， 则抛物线的顶点坐标为； ②解：由①知抛物线， 将该抛物线向下平移个单位得到的新抛物线为：， 将点代入新抛物线得：，即， 由于， 则当时，有最小值，最小值为1， 当时，， 当时，， 因此，h的取值范围为； （2）解：抛物线开口向上，对称轴为， 当时，y的最小值为6；当时，y的最小值为2， 则 即当时，；时，， 代入抛物线得， 解得或（舍去）， 则该抛物线的表达式为． 15．（25-26九年级上·安徽宿州·期末）已知二次函数的图象经过点． (1)求的值； (2)在所给的坐标系中画出这个函数的图象． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了求二次函数的关系式，画二次函数的图象， 对于（1），将点代入，求出a值即可； 对于（2），根据列表，描点，连线可得答案． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点， ， 解得； （2）解：由（1）可知函数解析式为， 列表： 0 1 0 1 0 描点、连线，作图如下． 16．（25-26九年级上·河北张家口·期末）已知抛物线． (1)判断点是否在此抛物线上． (2)若点，在该函数图象上，试比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)点在此抛物线上 (2)，见解析 【分析】本题主要考查二次函数的性质． （1）判断点是否在抛物线上，只需将点的横坐标代入抛物线解析式，看得到的纵坐标是否与该点的纵坐标相等； （2）比较函数值的大小，可根据抛物线的开口方向和点离对称轴的远近进行判断，即可得出答案． 【详解】（1）解：把点代入抛物线解析式中， 当时，， 点在此抛物线上； （2）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵，抛物线上离对称轴越远的点函数值越大， ∴’． 17．（25-26九年级上·河南安阳·期末）某校“数学谜题俱乐部”学习小组在研究函数时，对函数的图象和性质进行了探究．探究过程如下： (1)与的几组对应值如表： … 1 2 3 … … 3 4 6 1 … 其中________，自变量的取值范围为________． (2)在平面直角坐标系中，描出上表中以各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象； (3)观察图象，写出该函数的两条性质： ①____________________ ②____________________ (4)我们知道，函数(，，)的图象是由二次函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位得到的．类似地，我们可以认为函数的图象可由函数的图象向________平移1个单位，再向上平移________个单位得到； (5)根据函数图象，当时，自变量的取值范围为________． 【答案】(1)，； (2)见解析； (3)①当时，随的增大而增大；②函数图象是中心对称图形(答案不唯一)； (4)左，； (5)或 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，涉及自变量取值范围、函数单调性及利用图象解不等式，核心是掌握“左加右减，上加下减”的平移法则与反比例函数的图象特征． （1）通过代入的具体值计算函数值得到，根据分式分母不为0确定自变量取值范围； （2）根据给定坐标描点，再用平滑曲线分两支连接，注意避开渐近线； （3）观察图象的增减性、对称性等特征总结性质； （4）利用平移法则分析函数图象的平移过程； （5）结合函数图象与方程求解确定时的取值范围． 【详解】（1）解：当时，； ∵， ∴分母，解得； 故答案为：；． （2）解：在平面直角坐标系中描出点、、、、、、、、、，再用平滑曲线分别连接的点和的点，如图所示： （3）解：观察图象，写出该函数的两条性质： ①当时，随的增大而增大； ②函数图象是中心对称图形；(答案不唯一，合理即可 （4）解：∵，根据“左加右减，上加下减”的平移规律，函数的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到的图象； 故答案为：左；． （5）解：令，则，解得； 结合函数图象可知，当时，；当时，；当时，； ∴当时，自变量的取值范围是或； 故答案为：或． 18．（25-26八年级下·福建泉州·期末）定义：关于自变量的函数，对于该函数图象上任意两点，，当时，都有，称该函数为“增函数”，当，时，都有，称该函数为“减函数”． 【例题】证明：函数 （x是任意实数）是“减函数”， 证明：设，则， 因为，所以， 所以， 所以，因此该函数是“减函数”． (1)根据定义可以判断函数（x是任意实数）是“______函数”（填“增”或者“减”）； (2)根据例题，请判断函数在自变量时是“增函数”还是“减函数”；并说明此时该函数是否存在最大值或最小值，若存在，请求出最大值或最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)增 (2)函数（）是增函数，存在最小值，最小值为，不存在最大值，理由如下： 设，则， ∵， ∴，， ∴ ∴，即该函数是“增函数”， ∵在时是“增函数”， ∴随的增大而增大， ∴当时，有最小值，最小值为，并且不存在最大值． 【分析】（1）先设，运算，再根据，推出，据题意即可判断； （2）设，运算，再根据，，推出，即可判断在自变量时为增函数，最后根据函数的性质辨别最值即可． 【详解】（1）设，则， ∵， ∴， ∴ ∴，即该函数是“增函数”． （2）略 19．（2026·吉林·三模）在跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究．先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析，并进一步应用． 【设计实验方案】如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到A点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间、运动快慢、运动路程的数据． 【收集整理数据】 运动时间 0 4 8 12 16 20 … 运动快慢 12 10 8 6 4 2 … 运动路程 0 44 80 108 128 140 … 【数学建模探究】 (1)【猜想】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想： ①v与t之间的关系可以近似地用________函数表示．（填：“一次”、“二次”或“反比例”） ②y与t之间的关系可以近似地用________函数表示．（填：“一次”、“二次”或“反比例”） (2)【检验】直接写出v与t，y与t之间的函数关系式． (3)【应用】当弹珠到达水平轨道上A点时，前方B点处有一辆电动小车以的速度向前匀速直线运动．当时，弹珠刚好追上小车，则A，B两点间的距离为________． 【答案】(1)图象见解析；①一次；②二次 (2)v与t之间的函数关系式为；y与t之间的函数关系式为 (3)55 【分析】（1）描出图象后，根据图象判断函数关系即可； （2）使用待定系数法求出解析式即可； （3）用（2）中的二次函数模型计算出弹珠运动的路程，减去同时间电动小车的运动路程即得结果． 【详解】（1）解：图象如图所示， ①v与t之间的关系可以近似地用一次函数表示． ②y与t之间的关系可以近似地用二次函数表示． （2）解：设v与t之间的函数关系式为， 把代入得： ，解得：， ∴v与t之间的函数关系式为， 设y与t之间的函数关系式为， 把点代入得： ，解得：， ∴y与t之间的函数关系式为； （3）解：对于， 当时，，即弹珠运动了， ∵前方B点处有一辆电动小车以的速度向前匀速直线运动．当时，弹珠刚好追上小车， ∴A，B两点间的距离为． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $第二十六章二次函数 02讲二次函数的图像和性质 题型归纳 【知识点1二次函数y=ax2的图像和性质一 …1】 【知识点2二次函数y=ax2十k的图像和性质…2】 【知识点3二次函数y=a(x-h)“的图像和性质· 。。。。。。。。。。。。。。 …3】 【知识点4二次函数y=Q(x一h)2+的图像和性质 4】 【知识点5二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质： 5】 【知识点6待定系数法求二次函数解析式…6】 【题型1.二次函数y=ax2的图像和性质… …7】 【题型2.y=ax2+k的图像和性质… 8】 【题型3.y=Q(x一h)2的图像和性质…10】 【题型4.y=a(x-)2+k的图像和性质 11】 【题型5.把y=ax2+bx+c化成顶点式 13】 【题型6.y=ax2+bx+c的图像和性质 13】 【题型7.待定系数法求二次函数解析式… 14】 【题型8.二次函数图像的平移… 15】 【题型9.二次函数图像的对称… 16】 【题型10.比较二次函数值的大小… …17】 【题型11.由二次函数的图像判断式子符号… 18】 【题型12.一次函数与二次函数图像综合判断 20】 【题型13.二次函数中简单最值问题… …21】 【巩固练习………23】 1/28 知识清单 知识点1二次函数y=ax2的图像和性质 函数解析式 y=ax2(a>0) y=ax2(a<0) 图像 开口方向 向上 向下 开口大小 a越小，开口越大 顶点坐标 (0,0) (0,0) 对称轴 y轴（直线x=0) x>0,y随x增大而增大： x>0,y随x增大而减小： 增减性 x<0,y随x增大而减小 x<0,y随x增大而增大 最值 x=0时，y最小值=0 x=0时，y大值=0 【提示】 ①抛物线是一个轴对称图形，开口方向、对称轴、顶点通常被称为抛物线的三要素； ②a越大，开口越小：反之，a越小，开口越大： ③由于抛物线y=ax2关于y轴对称，所以若点A(x,y)在抛物线y=ax2的图像上，则点A'(- x,y)也在抛物线y=ax2的图像上. 知迟点2二次函数y=ax2土k的图像和性质 项目 a>0(k>0) a>0(k<0) a<0k>0) a<0(k<0) 2/28 项目 a>0(k>0) a>0(k<0) a<0(k>0) a<0(k<0) y↑ 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴（直线x=0) 顶点坐标 (0,k) x>0,y随x增大而增大： x>0,y随x增大而减小： 增减性 x<0,y随x增大而减小 x<0,y随x增大而增大 最值 x=0时，y小值=k X=0时，y最大植=k 2.二次函数y=ax2与y=ax2+k的图像之间的平移： 向上平移k个单位 (1)当k>0时，y=ax2 >y=ax2+k 向下平移k个单位 (2)当k<0时，y=ax2 >y=ax2+k 知迟点3二次函数y=Q(K-h)2的图像和性质 项目 a>0(h>0) a>0h<0) a<0(h>0) a<0(h<0) 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线x=h 顶点坐标 h,0) 增减性 x>h,y随x增大而增大： x>h,y随x增大而减小： 3/28 项目 a>0(h>0) a>0h<0) a<0(h>0) a<0(h<0) x<h,y随x增大而减小 x<h,y随x增大而增大 最值 x=h时，y最小橙=0 x=h时，y最大值=0 2二次函数y=a(x-h)2与y=ar2的图像之间的平移： 向右平移h个单位 (1)当h>0时，y=ax2 →y=a(x-h)2 向左平移个单 (2)当h<0时，y=ax2 y=a(x-h)2 知迟点4二次函数y三a(x-h)2+k的图像和性质 项目 a>0 a<0 h>0,k>0 h>0,k<0 h>0,k>0 h>0,k<0 图象 A.A h<0.k>0 h<0,k>0 h>0,k<0 h<0,k>0 h<0,k<0 h<0,k<0 h<0,k<0 开口方向 向上 向下 对称轴 直线x=h 顶点坐标 (h,k) 4/28 x>h,y随x增大而增大； x>h,y随x增大而减小： 增减性 x<h,y随x增大而减小 x<h,y随x增大而增大 最值 x=h时，y最小值=k x=h时，y最大值=k 2 2.抛物线y=ax2平移到抛物线y=a(x-h)+k的方法： 保持抛物线y=ax的形状不变，将其顶点平移到(h,k)处，具体平移方法如下： 向上(k>0)或向下(k<0)平移 y=ax2 k|个单位长度 y=ax2+k 向右(h>0)或 向右(h>0)或向左(h<0)平移h个单位长度 向上(k>0)或向下(k<0)平移1k个单位长度 向右(h>0)或 向左(h<0)平 向左(h<0)平 移1h个单位长度 移1h|个单位长度 3 y=a(x-h) y=a(x-h)2+k 向上(k>0)或向下 (k<0)平移1k1个单位 知识点5二次函数y=ax2土bx土c的图像和性质 1.一般式化为顶点式： y=ax2+bx+c= Aac-b2 Aa ∴.抛物线y=x2+bx+c的对称轴是直线x= b 顶点坐标是 b Aac-b2 2a 2a 2,二次函数y=ax2+bx十c的图像和性质： 项目 a>0 a<0 图象 (图像参考上表，即y=a(x-h)2+k的图像) 5/28 项目 a>0 a<0 开口方向 向上 向下 对称轴 直线x=六 顶点坐标 b (-2a 4ac-b2 4a x>- ay随x增大而增大： ,y随x增大而减小： 增减性 x<、 2ay随x增大而减小 x<-,y随x增大而增大 2a 最值 X=- 会时，y啦= 4ac-b2 4a x=- 会时，y=如 4a 3.二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)图象的特征与a、b、c及b4ac的符号之 间的关系： 项目 字母的符号 图象的特征 字母 a>0 开口向上 a a<0 开口向下 ab>0(a,b同号) 对称轴在y轴左侧 b ab<0(a,b异号) 对称轴在y轴右侧 c=0 图象过原点 c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与y轴负半轴相交 b2-4ac=0 与x轴有唯一交点 b2-4ac b2-4ac>0 与x轴有两个交点 b2-4ac<0 与x轴没有交点 知识点6待定系数法求二次函数解析式 1.待定系数法求二次函数解析式步骤： ①根据已知条件，设合适的二次函数解析式 6/28 给3个普通点→设一般式y=ax2+bx+c 给顶点坐标/对称轴/最值一设顶点式y=α(x-)+k 给抛物线与x轴两个交点一设交点式y=a(x-x1)(x-x2) ②把图像经过的点的坐标代入所设解析式 点(mm)在抛物线上，则x=m,y=n满足函数式，代入得到含待定系数的方程。 顶点式/交点式：只需要1个额外点，得到一元一次方程，直接解a: 一般式：3个点代入，得到三元一次方程组。 ③解方程（组），求出所有待定系数的值 顶点/交点式：直接解出a: 一般式：消元法解三元一次方程组，算出a、b、c。 ④将求出的系数代回最初设的解析式 ⑤整理化简：根据题意化简成所需形式。 盟型专练 题型1.二次函数y三ax的图像和性质 【例1】下列各点在函数y=的图象上的是（) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,2) D.(4,4) 【例2】根据函数图象填空： （1)抛物线y=3x2的对称轴是 顶点坐标是 当x 时，抛物线上的点 都在x轴的上方： (2)抛物线y=-x2的开口向 除顶点外，抛物线上的点都在x轴的 方，它的 顶点是抛物线上的最 点。 【例3】已知函数y=(m+3)xm2+3m-2是关于x的二次函数. (1)求m的值： (2)当为何值时，该函数图象的开口向下？ (3)当为何值时，该函数有最小值，最小值是多少？ 7/28 【变式1】关于函数y=x2,y=2,y=2x2的图象，下列说法中不正确的是（) A.顶点坐标相同 B.对称轴相同 C.图象形状相同 D.最低点相同 【变式2】对于二次函数y=-x2,当x<0时，y随x的增大而() 101 A.增大 B.减小 C.先增大后减小 D.先减小后增大 【变式3】与抛物线y=x形状相同，项点相同，开口方向相反的抛物线是 【变式4】如图，①②分别对应y=ax2与y=bx2的函数图象，则a,b的大小关系 【变式5】己知抛物线y=ax2经过点A(-2,-8). (1)求此抛物线的函数解析式： (2)判断点B(-1,-4)是否在此抛物线上： (3)求出抛物线上纵坐标为-18的点的坐标. 题型2.y三Qx2土k的图像和性质 【例1】下列关于抛物线y=-x2+1的说法正确的是() A.开口向上 B.对称轴为x=1 C.顶点坐标为(-1，-1) D.由抛物线y=-x2向上平移一个单位得到 【例2】二次函数y=x2一3的图象是一条，它的对称轴为 ,它的顶点坐标为 【例3】已知二次函数y=2x2-2. 543-2-1012345 -5 8/28 (1)在下列坐标系中画出它的图象： (2)并指出它的图象的开口方向、顶点坐标、对称轴. 【变式1】下列函数中，y的值随x值的增大而减小的是() A.y=4+1B.y=-4x+1 C.y=-3x2+1D.y=3x2+1 【变式2】抛物线y=ax2+c的顶点坐标是(0,2)，且形状及开口方向与抛物线y=-x2相同，则a, c的值分别为() A.-字2 B.-克-2 C.2 0.克-2 【变式3】若抛物线y=(a-1)x2+5(a为常数)的开口向下，则a的值可以是 (写出一 个即可) 【变式4】对于二次函数y=2x2+5,当-2<x<3时，y的取值范围是 【变式5】已知二次函数y=-x2+4. 0 y (1)填写上表，并在下边平面直角坐标系中描出表中的点并画出函数图象. 个y (2) 由图可知抛物线开口方向为一，对称轴为一，顶点坐标为一，当x>0时，y随x的增 大而 (3)利用图象写出当-2<x≤1时，y的取值范围是 0 9/28 题型3.y三a(x一h)的图像和性质 【例1】已知抛物线y=(x+3),下列结论错误的是() A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴为直线x=-3 C.抛物线的顶点坐标为(3,0) D.当x<-10时，y随x的增大而减小 【例2】抛物线y=-(x+1)2的开口 ,对称轴是 ，顶点坐标是 ,对称 轴左侧，y随x的增大而 【变式1】己知某二次函数，当x<2时，y随x的增大而减小；当x>2时，y随x的增大而增大， 则该二次函数的解析式可以是() A.y=3(x-2)2 B.y=3(x+2)2 C.y=-3x-2)2 D.y=-3(x+2)2 【变式2】下列函数的图象中，与y=3(x-2)的函数图象形状一致的是() A.y=3x2 B.y=(x-2)2+1 C.y=(x-2)2 D.y=3(x-3) 【变式3】下面是三位同学对某个二次函数的描述. 甲：图像的形状、开口方向与y=2x2的相同； 乙：顶点在x轴上： 丙：对称轴是直线x=一1. 请写出这个二次函数的表达式： 【变式4】课堂归纳 y=a(x-h)2 a>0 a<0 h>0 h<0 h>0 h<0 A 图像 开口 开口 开口 10/28 |a越大，开口越小 对称轴 直线x= (h,0) 顶点 顶点是最低点 顶点是最高点 x>h,y随x的增大而增大 x>h,y随x的增大而减小 增减性 x<h,y随x的增大而减小 x<h,y随x的增大而增大 【变式5】己知函数y=(x一1)，请在下面的网格中画出函数图象，并根据图象回答下列问题： Y 9 7 6 5 4 3 2 1 4-3-2-1 012345x (1)当-2≤x≤-1时，求y的取值范围. (2)当0≤x≤3时，y的取值范围是多少？ 题型4y=a(任-h)2士k的图像和性质 【例1】已知二次函数y=a(x+1)2+2(其中a是常数，且a≠0)，下列叙述中正确的是() A.当a>0时，二次函数图象开口向下B.二次函数图象与y轴的交点的坐标为(0,2) C.项点坐标是(-1,2) D.当a<0时，顶点是二次函数图象的最低点 【例2】抛物线y=a(x+h)+k(a<0)的开口方向是 顶点坐标是 ,对称 11/28 轴是直线 当x 时，函数y随x的增大而增大：当x 时，函数y 随x的增大而减小 【例3】已知二次函数的解析式y=(x+1)2-2 6 32 -6-5-4-32-10123456x 2 -3 (1)在直角坐标系中画出它的图象： (2)观察图象可知y<0时，x的取值范围是 (3)当-1<x<4时，观察图象直接写出函数值y的取值范围. X -5 -3 -2 -1 0 3 3 3 2 0 0 2 -2 6 2 【变式1】抛物线y=-3(x+1)2+2的顶点坐标在() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【变式2】关于二次函数y=3(x-2)2+4的最大值或最小值，下列叙述正确的是() A.当x=2时，y有最大值4 B.当x=2时，y有最小值4 C.当x=-2时，y有最大值4 D.当x=-2时，y有最小值4 【变式3】己知抛物线y=(x-h)一1(h为常数)，当自变量x满足1≤x≤3时，与其对应的函 数值y的最小值是3，则h的值是 【变式4】二次函数y=a(x一1)2+6，当x<1时，y随x的增大而增大，写出一个符合条件的a的 值 【变式5】已知二次函数y=2(x+1)2-8. (1)写出函数图象的对称轴和项点坐标； (2)当x取何值时，y随x的增大而增大？ 12/28 题型5.把y=ax2土bx土c化成顶点式 【例1】将二次函数y=x2-4x+5化成y=a(x-h)2+k的形式为() A.y=(x-2)2-1 B.y=(x-2)2+1 C.y=(x+2)2+1 D.y=(x+2)2-1 【例2】二次函数y=x2-6x+4,用配方法化为y=a(x-h)2+k的形式是() A.y=(x-3)2-5 B.y=(x+3)2-5 C.y=(x-3)2+4 D.y=(x+3)2+4 【变式1】把二次函数y=x2-2x-1配方成y=a(x-h)2+k的形式，结果为() A.y=(x-1)2 B.y=(x-1)2-2 C.y=(x+1)2+1 D.y=(x+1)2-2 【变式2】抛物线y=2x2-8x+1的顶点坐标是 【变式3】把二次函数y=x2-2x+4变形为y=a(x-h)2+k的形式，则h+k的值为 题型6.y=ax2土bx土c的图像和性质 【例1】关于抛物线y=2x2-4x+1,下列说法中错误的是() A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴是直线x=1 C.抛物线的顶点坐标为(1，-1) D.当x>1时，y随x的增大而减小 【例2】已知二次函数y=x2-2x+3,当2≤x≤5时，该二次函数的最小值为 【变式1】若抛物线y=-2x2+口x的对称轴为直线x=1,则“口”内的数为() A.-1 B.1 C.-4 D.4 【变式2】若抛物线y=ax2-2ax+c(a≠0)与x轴的一个交点坐标为(3,0)，则该抛物线与x轴的 另一个交点坐标为() A.(1,0) B.(-2,0) c.(-1,0) D.(2,0) 【变式3】若二次函数y=ax2-bx-1的图象经过点(2,1)，则2026+2a-b= 【变式4】己知二次函数y=-x2+2x+2. (1)请把下面的表格补充完整： 0 1 y=-x2+2x+2 (2)根据上表，在图中画出这个二次函数的图像. 13/28 6 4 3 2 65-4-3-2110123456x 2 3 -6 (3)根据图像，回答下列问题： ①当x>1时，y随x的增大而 ②当0<x<3时，y的取值范围是 【变式5】已知二次函数y=x2+2x-3. (1)求该二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标： (2)当y>0时，直接写出x的取值范围. 题型T,待定系数法求二次函数解析式 【例1】己知二次函数的图象经过(1,0)、(2，-2)、(0,4④三点，求这个二次函数的解析式。 【变式1】如图，二次函数y=ax2-4x+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A(-4,0).求此二次 函数的解析式： A 14/28 【变式2】己知二次函数y=x2+bx+c的图象经过A(0,2),B(1,-3)两点.求二次函数解析式并试 判断点P(-1,6)是否在此函数图象上. 【变式3】已知二次函数y=3x2+bx+c的图象经过点A(1,2),对称轴为直线x=一2，求该二次函 数的表达式. 【变式4】已知抛物线经过点A(-1,0)和B(3,0)及y轴正半轴一点C,且0C=OB, (1)求抛物线的解析式： (2)求抛物线顶点坐标： (3)求直线BC解析式. 题型8.二次函数图像的平移 【例1】将抛物线y=x2平移得到抛物线y=(x+2)2+3,下列叙述正确的是() A.向右平移2个单位，向上平移3个单位 B.向左平移2个单位，向下平移3个单位 C.向右平移2个单位，向下平移3个单位 D.向左平移2个单位，向上平移3个单位 【例2】将抛物线y=(x+2)2一5向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，平移后所得 抛物线的表达式为 【例3】已知二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴的一个交点坐标为(-1,0)，与y轴的交点坐标 为(0,3) (1)求该二次函数的表达式： (2)将该二次函数图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位，求平移后的二次函数的表达式. 15/28 【变式1】把抛物线y=(x-1)2+3向左平移2个单位长度，平移后抛物线的表达式为() A.y=(x-1)2+5 B.y=(x-1)2+1 C.y=(x+1)2+3 D.y=(x-3)2+3 【变式2】在平面直角坐标系中，若抛物线y=(x+3)2平移后经过原点O,则平移的方式可能是 () A.向上平移3个单位长度 B.向下平移3个单位长度 C.向左平移3个单位长度 D.向右平移3个单位长度 【变式3】把抛物线y=2x2向左平移3个单位，然后向下平移1个单位，则平移后抛物线的解析式 为 【变式4】(1)将函数y=x2-3x+2的图象向左平移k个单位，使其经过坐标原点，求k的值： (2)将函数y=x2-3x+2的图象向上平移t个单位，使其顶点落在x轴上，求平移后的函数表达 式 【变式5】己知二次函数y=5x2-2x-6,若将该二次函数图象向上平移m个单位长度(m>0), 平移后的抛物线经过点P(2,16),求m的值. 题型9.二次函数图像的对称 【例1】在同一坐标系中，图象与y=2x2+1的图象关于x轴对称的函数为() A.y=-2x2+1B.y=-3x2-1 C.y=-2x2-1 D.y=-2x2 【例2】求抛物线y=x2+2x+3关于直线x=4对称后所得抛物线的解析式是」 【变式1】与二次函数L1:y=x2关于x轴对称的抛物线L2的表达式为() A.y=-x2-1B.y=x2-2 C.y=-x2 D.y=x2 【变式2】已知抛物线y=2(x+1)2与抛物线y=a(x+1)关于x轴对称，那么a的值是 【变式3】把抛物线y=a(x+h)+k先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，得到抛物线y= 16/28 2(x+1)2-1. (1)试确定a,h,k的值： (2)若以x轴为对称轴，将原抛物线翻折，求所得抛物线的函数表达式. 【变式4】如图，“心形"图案是由抛物线y=-x2+m的一部分及其关于直线y=-x的对称图形组成， 点E、F是“心形”图案与其对称轴的两个交点，点A、B、C、D是该图案与坐标轴的交点，且点D 的坐标为(6,0). VA (1)求m的值及AC的长： (2)求EF的长： (3)若点P是该图案上的一动点，点P、点O关于直线y=-x对称，连接PQ,求PQ的取值范围. 题型10.比较二次函数值的大小 【例1】已知点A(-1,y1),B(-√V2,y2),C(-2,y3)在二次函数y=-x2的图象上，则y1,y2,y3的 大小关系是() A.y1>y2>y3B.y1>y3>y2 C.y3>y2>y1D.y2>y1>y3 【例2】已知二次函数y=x2-2x+c的图像上有两点A(-3,y1)、B(-2,y2),则y1与y2大小关系是 （) A.y1<y2 B.y1>y2 C.y1=y2 D.没法确定 17/28 【例3】已知点A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线y=-x2-1上，且x2>x1>0,则y1 y2(填 “"<”或“=”)· 【变式1】已知二次函数y=2(x-1)2的图象上有三点A(1,y1),B(2,y2),C(-3,y3),则y1,y2,y3的大 小关系为() A.y1>y2>y3B.y3>y2>y1 C.y3>y1>y2D.y2>y1>y3 【变式2】函数y=mx2+3x+1(m<0)的图象上有三个点，分别为A(-2,y),B(y2) C(（y3),则y1,y2,y的大小关系为()· A.y1<y2<y3B.y1<y3<y2 C.y3<y2<y1D.y3<y1<y2 【变式3】己知二次函数y=ax2+bx+c(a>0)图像的对称轴为直线x=2,且经过点(-1，y1)、 (4,y2),试比较大小：y1y2·（填“>”"<"或”=") 【变式4】在平面直角坐标系xOy中，点(2，m)和点(4，n)在抛物线y=ax2+bx(a>0)上. (1)若m=3,n=14,求该抛物线的对称轴： (2)若m=n时，已知点(-1，y1),(6,y2)在该抛物线上.比较y1,y2的大小，并说明理由： (3)若m<0,己知点(-3，y1),(5,y2),(7,y3)在该抛物线上.比较y1,y2,y3的大小，并说明理由. 题型11.由二次函数的图像判断式子符号 【例1】如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象，则下列说法正确的是() VA 3 A.b+2a=0 B.abc>0 C.2b<4a+c D.a+b+c<0 【例2】二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=1.下列结论：①abc>0: ②2a+b=0;③3a+c>0;④am2+bm≥a+b(m为实数)，其中正确的有 18/28 【变式1】对称轴为直线x=1的抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，且a≠0)如图所示，下 列结论正确为() A.abc>0 B.b2<4ac C.当x<-1时，y随x的增大而增大D.4a+2b+c>0 【变式2】如图所示的是二次函数y=Qx2+bx+c图象的一部分，其对称轴是直线x=-1,且过点 (-3,0),下列说法：①abc<0:②2a-b=0:③4a+2b+c<0:④若(-5，y1),3,y2)是抛 物线上的两点，则y1<y2·其中说法正确的是() -1O A.①② B.②③ c.①②④ D.②③④ 【变式3】二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，其对称轴为x=2,且图象经过点(6,0)， 下列结论：①bc>0:②4a+b=0:③若ax+bx1=ax3+bx2且x1≠x2,则x1+x2=4:④ 若(-1，y1),(3,y2)两点都在抛物线y=ax2+bx+c的图象上，则y2<y1·正确的有·（填 正确的序号) 02 19/28 题型12.一次函数与二次函数图像综合判断 【例1】函数y=ax和函数y=a(x-1)(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是() 【变式1】在同一坐标系中画出直线y=ax+b与抛物线y=ax2+b,有可能是() 【变式2】在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2+bx的图象可能为 20/28 【变式3】一次函数y=-mx-n的图象如图所示，则二次函数y=m(x-n)的图象大致为() 【变式4】二次函数y=ax2+b的图象如图所示，则一次函数y=一ax+b的图象可能是() 题型13.二次函数中简单最值问题 【例1】二次函数y=2+3x-1有() A.最大值-4B.最大值-2 C.最小值-4 D.最小值-2 21/28 【例2】若二次函数y=-x2-2x+c有最大值7，则c的值为 【例3】已知二次函数y=-x2+6x-5. (1)求二次函数图象的顶点坐标： (2)当1≤x≤4时，函数的最大值和最小值分别为多少？ 【变式1】若二次函数y=x2-4x+c的图象经过点(0,3)，则函数y的最小值为( A.-1 B.1 C.-2 D.2 【变式2】已知实数x,y满足x+y=12,则xy-2的最大值为 【变式3】点C与点A(0,4),B(t,-t),D(6,0)构成一个平行四边形，当AB取得最小值时，点C的坐标 是 【变式4】已知二次函数y=x2-2bx+c(b,c为常数)，当b-1≤x≤b+2时，该函数的最大 值与最小值的差是-2k,求k的值. 【变式5】学习完二次函数的性质后，某兴趣小组以一组习题为依托，开展了进一步的研究，以下 是他们的研究过程. ①y1=x2+1,②y2=(x-3)2-1,③y3=2(x+1)2+3. 【任务一】研究增减性 (1)当x>0时，y随x的增大而增大的是 (填序号) 【任务二】研究对称性 (2)函数y2=(x-3)-1的对称轴是 【任务三】研究最值 (3)当x取何值时，函数y3=2(x+1)2+3有最小值，并写出最小值； 【任务四】研究复杂问题的最值 (4)若y=y1+y2+y3,求y的最小值. 22/28 >巩固练习 1. (2026吉林长春.一模)下列函数中，y的值随x的值增大而增大的是() A.y=2x2 B.y=-x+3 C.y=-x2 D.y=x-1 2.(2025广东广州.二模)已知二次函数y=2(x-1)2+3,其顶点坐标为() A.(-1,3) B.(1,-3) C.(-1,-3) D.(1,3) 3.(2026广东惠州二模)二次函数y=ax2+bx+c开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴 左侧，下列结论正确的是() A.a<0 B.b<0 C.c>0 D.b2-4ac>0 4.(2026河南三门峡.二模)己知x2+x-y=1,则x+y的最小值为() A.1 B.0 C.-1 D.-2 5.(2026黑龙江哈尔滨三模)将抛物线y=x2向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的 抛物线解析式是() A.y=(x-2)2-3 B.y=(x-2)2+3 C.y=(x+2)2-3 D.y=(x+2)2+3 6.(25-26九年级上浙江金华.期末)己知三个二次函数的图象如图所示，那么a1,a2,a3的大小 关系是() 1y,=a1x2 y=a3x y2=a2x2 A.a1<a2<a3 B.a3<a1<a2 C.a1<a3<a2D.a3<a2<a1 7.(2026广东深圳三模)当两条曲线关于某直线对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线的对 称曲线.如果抛物线C1:y=x2-2x与抛物线C2:y=(x-h)2+b是关于y轴的对称曲线，则h+b 的值为() A.3 B.0 C.-1 D.-2 8.(2026河南驻马店.三模)请写出一个满足以下条件的y关于x的二次函数表达式： ①图象经过原点；②当x>1时，y随x的增大而增大 23/28 则这个二次函数表达式可以是 (写出一个即可) 9.(2026广东江门三模)己知点A(x1,y1)、B(x2,y2)在二次函数y=(x-1)+1的图象上，若1> X1>X2,则y1y2（填“>”、"<"或"="). 10.(2026上海虹口.一模)如果抛物线y=(a-1)x2(a为常数)开口向下，那么a的取值范围是 11.(25-26九年级上河南周口期末)己知二次函数y=Qx2图像经过点P(-2,3) (1)判断这个函数图像的开口方向： (2)点Q(2,m)在这个函数图像上，求m的值. 12.（25-26九年级上浙江杭州，期末)已知二次函数y=2x2+4x-1,将函数图象沿y轴向上平移 1个单位 (1)求平移后的函数表达式. (2)判断A(1,5)是否在平移后的函数图象上，并说明理由. 13.（25-26九年级上·福建泉州期末)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象上的部分点的横 坐标x,纵坐标y的对应值如下表： 0 -2 m 1 (1)二次函数图象的顶点坐标为 m= (2)求该二次函数的表达式. 24/28 14.(25-26九年级上浙江绍兴期末)已知抛物线y=x2-2bx+c(b,c为常数)· (1)当b=2,c=5时， ①求该抛物线的顶点坐标， ②将该抛物线向下平移h(h>0)个单位得到的新抛物线过点(n,0),且-1≤n≤3，请求出h的取 值范围。 (2)当x≤-1时，y的最小值为6；当x>-1时，y的最小值为2.求该抛物线的表达式. 15.(25-26九年级上安徽宿州期末)己知二次函数y=ax2+2ax的图象经过点(-1,1). 4 -6-5-4-3-2-1⊙1234x -3 A (1)求a的值； (2)在所给的坐标系中画出这个函数的图象. X -3 -2 -1 0 1 2 -3 0 0 -3 25/28 16.(25-26九年级上河北张家口期末)已知抛物线y=-(x-2)2+5. (1)判断点(4,1)是否在此抛物线上. (2)若点A(1,y1),B(4,y2)在该函数图象上，试比较y1与y2的大小，并说明理由， 17.(2526九年级上河南安阳期末)某校"数学谜题俱乐部“学习小组在研究函数y=-名+2时， 对函数的图象和性质进行了探究.探究过程如下： (1)x与y的几组对应值如表： 3 1 1 5 4 -3 -2 2 1 2 2 3 2 2 … 2 3 2 3 6 -2 1 3 3 m 2 其中m= 自变量x的取值范围为 (2)在平面直角坐标系xOy中，描出上表中以各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图 象； 6 31 2 -4-3-2-10 (3)观察图象，写出该函数的两条性质： ① ② (4)我们知道，函数y=a(x-h)2+k(a≠0，h>0,k>0)的图象是由二次函数y=ax2的图象向右 26/28 平移个单位，再向上平移k个单位得到的。类似地，我们可以认为函数)y=一名+2的图象可由函 数y=-的图象向__平移1个单位，再向上平移 个单位得到： (5)根据函数图象，当y≥0时，自变量x的取值范围为 18.(25-26八年级下福建泉州期末)定义：关于自变量x的函数y,对于该函数图象上任意两点(x1y1), (x2,y2),当x1<x2时，都有y1<y2,称该函数为“增函数”，当x1<x2,时，都有y1>y2,称该函 数为“减函数” 【例题】证明：函数y=-3x(x是任意实数)是“减函数”， 证明：设x1<x2,则y1-y2=-3x1-(-3x2)=3(x2-x1), 因为x1<x2,所以x2-X1>0, 所以，y1-y2=3(x2-x1)>0 所以y1>y2,因此该函数是“减函数”. (1)根据定义可以判断函数y=2x+4(x是任意实数)是”函数”（填“增”或者“减”）： (2)根据例题，请判断函数y=2x2在自变量x≥0时是“增函数”还是“减函数”；并说明此时该函数是 否存在最大值或最小值，若存在，请求出最大值或最小值，若不存在，请说明理由. 27/28 19.（2026吉林.三模)在跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路 程随时间变化的关系”开展深入探究.先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析， 并进一步应用 【设计实验方案】如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶 端由静止释放.从弹珠运动到A点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运 动时间t(s)、运动快慢v(cm/s)、运动路程y(cm)的数据， v(cm/s) ◆y(cm) 12 160 10 140 120 10 6 80 4 20 O481216202419 0246810121416182022248 图1 图2 图3 【收集整理数据】 运动时间t(s) 0 12 16 20 运动快慢v(cm/S) 12 10 P 6 运动路程y(cm) 0 44 80 108 128 140 【数学建模探究】 (1)【猜想】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想： ①v与t之间的关系可以近似地用 函数表示.（填：“一次”、“二次”或“反比例”） ②y与t之间的关系可以近似地用」 函数表示.（填：”一次”、“二次”或“反比例”） (2)【检验】直接写出v与t,y与t之间的函数关系式. (3)【应用】当弹珠到达水平轨道上A点时，前方B点处有一辆电动小车以4cm/s的速度向前匀速 直线运动.当t=10时，弹珠刚好追上小车，则A,B两点间的距离为 cm. 28/28第二十六章二次函数 02讲二次函数的图像和性质 题型归纳 【知识点1二次函数y=ax2的图像和性质一 …2】 【知识点2二次函数y=ax2十k的图像和性质…2】 【知识点3二次函数y=a(x-h)“的图像和性质· 。。。。。。。。。。。。。。 …3】 【知识点4二次函数y=Q(x一h)2+的图像和性质 4】 【知识点5二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质： 5】 【知识点6待定系数法求二次函数解析式…6】 【题型1.二次函数y=ax2的图像和性质… …7】 【题型2.y=ax2+k的图像和性质… 11】 【题型3.y=Q(x一h)2的图像和性质…16】 【题型4.y=a(x-h)2+k的图像和性质… 20】 【题型5.把y=ax2+bx+c化成顶点式 25】 【题型6.y=ax2+bx+c的图像和性质 26】 【题型7.待定系数法求二次函数解析式… 31】 【题型8.二次函数图像的平移… 33】 【题型9.二次函数图像的对称… 36】 【题型10.比较二次函数值的大小… …40】 【题型11.由二次函数的图像判断式子符号… 45】 【题型12.一次函数与二次函数图像综合判断 50】 【题型13.二次函数中简单最值问题… …54】 【巩固练习………59】 1/73 知识清单 知识点1二次函数y=ax2的图像和性质 函数解析式 y=ax2(a>0) y=ax2(a<0) 图像 开口方向 向上 向下 开口大小 a越小，开口越大 顶点坐标 (0,0) (0,0) 对称轴 y轴（直线x=0) x>0,y随x增大而增大： x>0,y随x增大而减小： 增减性 x<0,y随x增大而减小 x<0,y随x增大而增大 最值 x=0时，y最小值=0 x=0时，y大值=0 【提示】 ①抛物线是一个轴对称图形，开口方向、对称轴、顶点通常被称为抛物线的三要素； ②a越大，开口越小：反之，a越小，开口越大： ③由于抛物线y=ax2关于y轴对称，所以若点A(x,y)在抛物线y=ax2的图像上，则 点A'(-x,y)也在抛物线y=ax2的图像上. 知迟点2二次函数y=ax2土k的图像和性质 项目 a>0(k>0) a>0(k<0) a<0(k>0) a<0(k<0) 2/73 项目 a>0(k>0) a>0(k<0) a<0(k>0) a<0(k<0) y 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴（直线x=0) 顶点坐标 (0,k) x>0,y随x增大而增大； x>0,y随x增大而减小： 增减性 x<0,y随x增大而减小 x<0,y随x增大而增大 最值 X=0时，y最小值=k x=0时，y段大植=k 2.二次函数y=ax2与y=ax2+k的图像之间的平移： 向上平移k个单位 (1)当k>0时，y=ax2 >y=ax2+k 向下平移k个单位 (2)当k<0时，y=ax2 >y=ax2+k 知迟点3二次函数y=Q(K-h)2的图像和性质 项目 a>0(h>0) a>0(h<0) a<0(h>0) a<0(h<0) 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线x=h 顶点坐标 (h,0) 增减性 x>h,y随x增大而增大： x>h,y随x增大而减小： 3/73 项目 a>0(h>0) a>0(h<0) a<0(h>0) a<0(h<0) x<h,y随x增大而减小 x<h,y随x增大而增大 最值 x=h时，y最小值=0 x=h时，y大值=0 2.二次函数y=Q(x-h)2与y=ar2的图像之同的平移： 向右平移h个单位 (1)当h>0时，y=ax2 >y=a(x-h)2 向左平移1h个单 (2)当h<0时，y=ax2 >y=Q(x-h)2 知迟点4二次函数y=Q(x-h)2士k的图像和性质 项目 a>0 a<0 h>0,k>0 h>0,k<0 h>0,k< 图象 h<0,k>0 h<0,k>0 h>0,k<0 h<0,k>0 h<0,k<0 h<0.k<0 h<0,k<0 开口方向 向上 向下 对称轴 直线x=h 顶点坐标 (h,k) 4/73 x>h,y随x增大而增大： x>h,y随x增大而减小： 增减性 x<h,y随x增大而减小 x<h,y随x增大而增大 最值 x=h时，y最小值=k x=h时，y段大值=k 2 2.抛物线y=ax2平移到抛物线y=a(x-h)+k的方法： 保持抛物线y=ax的形状不变，将其顶点平移到(h,k)处，具体平移方法如下： 向上(k>0)或向下(k<0)平移 y=ax2 k|个单位长度 y=ax2+k 向右(h>0)或 向右(h>0)或向左(h<0)平移h个单位长度 向上(k>0)或向下(k<0)平移1k个单位长度 向右(h>0)或 向左(h<0)平 向左(h<0)平 移1h个单位长度 移1h|个单位长度 y=a(x-h) y=a(x-h)2+k 向上(k>0)或向下 (k<0)平移1k1个单位 知识点5二次函数y=ax2土bx土c的图像和性质 1.一般式化为顶点式： y=ax2+bx+c= 4c-b2 Aa ∴.抛物线y=x2+bx+c的对称轴是直线x= b ，顶点坐标是 b Aac-b2 2a 2a 2,二次函数y=ax2+bx十c的图像和性质： 项目 a>0 a<0 图象 (图像参考上表，即y=a(x-h)2+k的图像) 5/73 项目 a>0 a<0 开口方向 向上 向下 对称轴 直线x=一品 顶点坐标 b (-2a 4ac-b2 ) 4a b x>- 2a' y随x增大而增大： x>- 2a' y随x增大而减小： 增减性 y随x增大而减小 2a' y随x增大而增大 最值 x=- 之时，ya相= 4ac-b2 4a X=- 品时，ya=如c 4a 3.二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)图象的特征与a、b、c及b2.4ac的 符号之间的关系： 项目 字母的符号 图象的特征 字母 a>0 开口向上 a a<0 开口向下 ab>0(a,b同号) 对称轴在y轴左侧 b ab<0(a,b异号) 对称轴在y轴右侧 c=0 图象过原点 c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与y轴负半轴相交 b2-4ac=0 与x轴有唯一交点 b2-4ac b2-4ac>0 与x轴有两个交点 b2-4ac<0 与x轴没有交点 知识点6待定系数法求二次函数解析式 1.待定系数法求二次函数解析式步骤： ①根据已知条件，设合适的二次函数解析式 6/73 给3个普通点→设一般式y=ax2+bx+c 给顶点坐标/对称轴/最值一设顶点式y=α(x-)子+k 给抛物线与x轴两个交点一设交点式y=a(x-x1)(x-x2) ②把图像经过的点的坐标代入所设解析式 点(mm)在抛物线上，则x=m,y=n满足函数式，代入得到含待定系数的方程。 顶点式/交点式：只需要1个额外点，得到一元一次方程，直接解a; 一般式：3个点代入，得到三元一次方程组。 ③解方程（组），求出所有待定系数的值 顶点/交点式：直接解出a: 一般式：消元法解三元一次方程组，算出a、b、c。 ④将求出的系数代回最初设的解析式 ⑤整理化简：根据题意化简成所需形式。 盟型专练 题型1.二次函数y三αx的图像和性质 【例1】下列各点在函数y=x2的图象上的是() A.(0,1) B.(1,2) C.(2,2) D.(4,4) 【答案】C 【分析】函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式，将各选项点的横坐标代入解析式，计 算得到的y值与点的纵坐标相等，该点就在函数图象上，由此判断选项即可. 【详解】解：A选项，当x=0时，y=×02=0≠1， ∴.(0,1)不在该函数图象上，不符合题意： B选项，当x=1时，y=×12=≠2， ∴.(1,2)不在该函数图象上，不符合题意； C选项，当x=2时，y=号×22=2，与点的纵坐标相等， ∴(2,2)在该函数图象上，符合题意： 7/73 D选项，当x=4时，y=×4=8≠4， ∴(4,4不在该函数图象上，不符合题意. 【例2】根据函数图象填空： (1)抛物线y=3x2的对称轴是 顶点坐标是 ,当x 时，抛物线 上的点都在x轴的上方： (2)抛物线y=-x2的开口向 除顶点外，抛物线上的点都在x轴的 方， 它的顶点是抛物线上的最 点 【答案】 y轴（或直线x=0) (0,0) ≠0 下 下 高 【分析】本题考查形如y=ax的二次函数的图象性质.根据二次项系数a的符号判断开口方 向.结合函数性质即可求解各空 【详解】(1)抛物线y=3x2属于y=ax2型二次函数. 根据二次函数性质，其对称轴是y轴，即直线x=0.顶点坐标是(0,0) Q=3>0.则抛物线开口向上.且y=3x2≥0. 仅当x=0时y=0. 当x≠0时.y>0.抛物线上的点都在x轴上方. (2)抛物线y=-x中， a=一<0.根据二次函数性质，抛物线开口向下。 “y=-x2≤0. 仅当x=0,即顶点处时y=0. 除顶点外，抛物线上的点都满足y<0,都在x轴的下方，开口向下的抛物线，顶点是抛物 线上的最高点， 【例3】已知函数y=(m+3)xm2+3m-2是关于x的二次函数. (1)求m的值： (2)当m为何值时，该函数图象的开口向下？ (3)当m为何值时，该函数有最小值，最小值是多少？ 【答案】(1)m1=-4,m2=1 (2)当m=一4时，该函数图象的开口向下 (3)当m=1时，最小值为y=0 8/73 【分析】该题主要考查了二次函数的定义及其性质的应用问题. (1)根据二次函数的定义求出m的值即可解决问题. (2)运用当二次项系数小于0时，抛物线开口向下： (3)运用当二次项系数大于0时，抛物线开口向上，图象有最低点，函数有最小值， 【详解】(1)解：，函数y=(m+3)xm2+3m-2是关于x的二次函数， .m2+3m-2=2,m+3≠0， 解得：m1=-4,m2=1: (2)解：，函数图象的开口向下， m+3<0, m<-3, ∴.当m=-4时，该函数图象的开口向下： (3)解：，当m+3>0时，抛物线有最低点，函数有最小值， ∴.m>-3,即m=1 ,抛物线顶点坐标为(0,0)， ∴.该函数最小值为y=0. 【变式1】关于函数y=2,y=x2,y=22的图象，下列说法中不正确的是（) A.顶点坐标相同 B.对称轴相同 C.图象形状相同 D.最低点相同 【答案】C 【分析】本题考查了y=αx的图象和性质，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解. 根据y=ax的性质求解即可. 【详解】解：函数y=x,y=,y=2x2都是y=ax2形式， 二次函数y=ax2, 顶点坐标均为(0,0)，对称轴均为y轴，最低点均为(0,0)， 但a值分别为1,2，不相等， 图象开口大小不同，形状不同， 故选：C. 【变式2】对于二次函数=-x2,当x<0时，y随x的增大而() 9/73 A.增大 B.减小 C.先增大后减小D.先减小后增大 【答案】A 【分析】此题主要考查了二次函数图象的性质.根据二次函数的性质，由二次项系数判断开 口方向，再根据对称轴分析增减性. 【详解】解：二次函数=一品的二次项系数=-品<0。 抛物线开口向下，对称轴为x=0。 当x<0时，在对称轴左侧，y随x的增大而增大. 故选：A 【变式3】与抛物线y=言2形状相同，顶点相同，开口方向相反的抛物线是 【答案】y=言 【分析】根据题意，顶点相同形状相同说明顶点坐标不变，二次项系数的绝对值不变，开口 方向相反说明二次项系数符号相反，据此即可求解. 【详解】解：已知抛物线y=x的顶点坐标为(0,0)，由题意可知，所求抛物线顶点坐标不 变，三次项系数绝对值不变，符号相反，因此所求抛物线的解析式为y=-言， 【变式4】如图，①②分别对应y=ax2与y=bx2的函数图象，则a,b的大小关系 10 ② 【答案】a>b 【分析】根据二次函数的性质即可求解。 【详解】解：如图： ② 因为直线x=1与两条抛物线的交点从上到下依次为(1，a),(1,b), 10/73 所以a>b. 【变式5】己知抛物线y=Qx2经过点A(-2,-8), (1)求此抛物线的函数解析式： (2)判断点B(-1,-4是否在此抛物线上： (3)求出抛物线上纵坐标为-18的点的坐标. 【答案】(1)y=-2x2: (2)点B不在此抛物线中： (3)3,-18)或(-3，-18) 【分析】本题主要考查了二次函数的知识，涉及到待定系数法求函数的解析式、二次函数的 性质以及二次函数的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的性质，此题难度不大. (1)把点A(-2,-8)代入抛物线中求得a的值，即可求得此抛物线的解析式： (2)把x=-1代入此函数解析式y=ax2即可判断： (3)把y=-18代入抛物线的解析式中求得x的值即可 【详解】(1)抛物线y=ax2经过点A(-2,-8), 把点A(-2,-8)代入抛物线中：-8=a·4, a=-2, 此抛物线的函数解析式为：y=-2x2; (2)当x=-1时，y=-2×(-1)2=-2≠-4， ∴点B(-1,-4)不在此抛物线上： (3)此抛物线上一点的纵坐标为-18， 把y=-18代入此抛物线中得：-18=-2x2, X=士3， 此抛物线上纵坐标为-18的点的坐标为(3，-18)或(-3，-18). 题型2.y=ax2土k的图像和性质 【例1】下列关于抛物线y=一x2+1的说法正确的是() A.开口向上 B.对称轴为x=1 C.顶点坐标为(-1，-1) D.由抛物线y=-x2向上平移一个单位得到 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，包括开口方向、对称轴、顶点坐标和平移变换，解题 11/73 的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质。 根据二次函数的图象与性质逐项判断即可. 【详解】解：，抛物线y=-x2+1的二次项系数a=-1<0, 抛物线开口向下，故A错误： 0 对称轴为直线x=-2xC)=0,故B错误： 当x=0时，y=1, 顶点坐标为(0,1)，故C错误： 抛物线y=-x2向上平移一个单位得到y=-x2+1,与给定抛物线一致，故D正确： 故选：D. 【例2】二次函数y=x2-3的图象是一条 它的对称轴为 ,它的顶点坐标为 【答案】 抛物线 y轴 (0,-3) 【分析】本题考查了二次函数的对称轴与顶点坐标，熟练掌握二次函数的性质是解决本题的 关键， 根据二次函数的解析式即可求解， 【详解】解：二次函数y=x2-3的图象是一条抛物线，它的对称轴为x=0,即y轴，它 的顶点坐标为(0，-3)， 故答案为：①抛物线：②y轴；③(0，-3). 【例3】已知二次函数y=2x2-2. 5 4 31 5-4-3-2-1回12345 -2 -4 (1)在下列坐标系中画出它的图象： (2)并指出它的图象的开口方向、顶点坐标、对称轴. 【答案】(1)见解析 (2)抛物线的开口向上，顶点坐标是(0，-2)，对称轴是直线x=0 【分析】此题考查的是二次函数的性质、抛物线与x轴的交点等知识，掌握二次函数的性质 12/73 是解决此题的关键。 (1)利用描点法画出函数图象： (2)利用配方法将函数解析式化为顶点式，由α的符号及配方结果直接确定抛物线的开口 方向、顶点坐标与对称轴 【详解】(1)解：作图如下： 2.345x (2)二次函数的解析式为y=2x2-2, 抛物线的开口向上，顶点坐标是(0，-2)，对称轴是直线x=0. 【变式1】下列函数中，y的值随x值的增大而减小的是() A.y=4x+1B.y=-4x+1 C.y=-3x2+1 D.y=3x2+1 【答案】B 【详解】解：A.y=4x+1中，k=4>0,∴y随x的增大而增大，不符合题意： B.y=-4x+1中，k=-4<0,y随x的增大而减小，符合题意： C.y=一3x2+1是二次函数，开口向下，对称轴为y轴，x<0时y随x的增大而增大，x>0 时y随x的增大而减小，不是对所有x都满足y随x的增大而减小，不符合题意： D.y=3x2+1是二次函数，开口向上，对称轴为y轴，x<0时y随x的增大而减小，x>0 时y随x的增大而增大，不是对所有x都满足y随x的增大而减小，不符合题意. 【变式2】抛物线y=ax2+c的顶点坐标是(0,2)，且形状及开口方向与抛物线y=-x2相同， 则a,c的值分别为() A.-京2 8.-克-2 c.32 D.-2 【答案】A 【分析】本题考查了利用抛物线的性质求解参数，抛物线的形状和开口方向由二次项系数ā 决定，形状与开口方向相同的抛物线二次项系数α相同，再将顶点坐标代入解析式即可求出 c. 13/73 【详解】，抛物线y=Qx2+c的形状及开口方向与y=一x2相同， a=-克 ,抛物线的顶点坐标是(0,2)， ·将x=0,y=2代入解析式y=-x2+c得： 2=-02+c c=2. 【变式3】若抛物线y=(a-1)x2+5(a为常数)的开口向下，则a的值可以是·（写 出一个即可) 【答案】0（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质， 根据抛物线开口向下可知a<1,再选择适合的值即可. 【详解】，抛物线y=(a-1)x2+5的开口向下， .a-1<0, 解得a<1, a的值是0（答案不唯一）. 故答案为：0. 【变式4】对于二次函数y=2x2+5,当-2<x<3时，y的取值范围是 【答案】5≤y<23 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握抛物线对称轴和增减性是解决本题的关 键.由抛物线解析式可得对称轴为直线x=0,且开口向上，再由-2<x<3可知，当x=0 时，取得最小值，当x=3时，y=23,即可求出答案. 【详解】解：，二次函数的解析式为y=2x2+5, ,抛物线的对称轴为直线x=0, ,a=2>0, ∴.抛物线开口向上， ,-2<x<3, 当x=0时，取得最小值y=5, 当x=-2时，y=13, 14/73 当x=3时，y=23, ∴.当-2<x<3时，y的取值范围是5≤y<23, 故答案为：5≤y<23 【变式5】已知二次函数y=-x2+4. 3 0 2 y … (1)填写上表，并在下边平面直角坐标系中描出表中的点并画出函数图象. 个y 10 x (2) 由图可知抛物线开口方向为，对称轴为， 顶点坐标为一， 当x>0时，y 随x的增大而 (3)利用图象写出当-2<x≤1时，y的取值范围是 【答案】(1)见解析 (2)向下：y轴；(0,4)：减小： 3)0<y≤4 【分析】本题考查二次函数的基础知识点， (1)根据列表、描点、连线三步作出函数图象即可； (2)观察函数图象求解即可； (3)观察函数图象求解即可： 解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象画法，通过数形结合求解. 【详解】(1)解：如下表所示： 0 4 15/73 函数图象如图所示： 3 -5-4-3 ---- (2)根据函数图象得：抛物线开口方向为向下；对称轴为y轴；顶点坐标为(0,4)；当x>0 时，y随x的增大而减小： 故答案为：向下：y轴：(0,4)；减小： (3)有函数图象可得：当-2<x≤1时，y的取值范围是0<y≤4， 故答案为：0<y≤4. 题型3.y=a(x一h)的图像和性质 【例1】已知抛物线y=(x+3),下列结论错误的是（) A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴为直线x=-3 C.抛物线的顶点坐标为(3,0) D.当x<-10时，y随x的增大而减小 【答案】c 【分析】根据二次函数的性质，逐一进行判断即可. 【详解】解：·y=(x+3)2, ∴.抛物线的开口向上，对称轴为直线x=一3，顶点坐标为(-3,0)， ∴.当x<-3时，y随x的增大而减小， ∴.当x<-10时，y随x的增大而减小： 综上，只有选项C错误， 【例2】抛物线y=-(x+1)2的开口 ,对称轴是 ,顶点坐标是 对称轴左侧，y随x的增大而 【答案】 向下 直线x=-1 (-1,0) 增大 【分析】本题考查二次函数顶点式的性质，通过比较标准形式可直接得出开口方向、对称轴、 顶点坐标及增减性.抛物线的顶点式为y=a(x-h)2+k需注意a的符号对开口方向和增减 16/73 性的影响.根据二次函数的性质，由解析式y=一(x+1)可直接判断开口方向、对称轴、 顶点坐标和增减性. 【详解】解：y=-(x+1)2, .a=-1, 开口方向向下： 对称轴是直线x=-1, 顶点坐标为(-1,0)， 当a=-1<0时，抛物线开口向下， 在对称轴左侧（即x<h时），函数值随x的增大而增大， 故答案为：①向下：②直线x=-1:③(-1,0)：④增大. 【变式1】己知某二次函数，当x<2时，y随x的增大而减小；当x>2时，y随x的增大 而增大，则该二次函数的解析式可以是() A.y=3(x-2)2 B.y=3(x+2)2 C.y=-3(x-2)2 D.y=-3(x+2)2 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的增减性，可知抛物线开口 向上，且对称轴为x=2,对此一一分析选项即可得出答案。 【详解】解：，当x<2时，y随x的增大而减小；当x>2时，y随x增大而增大， .抛物线开口向上，且对称轴为x=2. 对于选项A:y=3(x-2)2, ,a=3>0,抛物线开口向上，对称轴x=2, 符合题意。 选项B:对称轴x=一2，不符合题意； 选项C和D:a=-3<0,开口向下，不符合题意 故选A 【变式2】下列函数的图象中，与y=3(x-2)的函数图象形状一致的是() A.y=3x2 B.y=(x-2)2+1 C.y=(x-2)2 D.y=3(X-3) 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象的形状由二次项系数决定， 17/73 系数的绝对值相同则形状一致，据此可得答案 【详解】解：由题意得，与y=3(x-2)的函数图象形状一致的二次函数的三次项系数的绝 对值要为3， ∴四个选项中，只有A选项中的函数符合题意， 故选：A 【变式3】下面是三位同学对某个二次函数的描述. 甲：图像的形状、开口方向与y=2x2的相同； 乙：顶点在x轴上； 丙：对称轴是直线x=-1. 请写出这个二次函数的表达式： 【答案】y=2x2+4x+2 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数的图象和性质.根据抛物线的顶点在 x轴上，对称轴是直线x=-1,可得抛物线的顶点坐标为(-1,0)，再由抛物线的形状、开口 方向与y=2x2的相同，即可求解. 【详解】解：，抛物线的顶点在x轴上，对称轴是直线x=一1， .抛物线的顶点坐标为(-1,0)， ,抛物线的形状、开口方向与y=2x的相同， ∴.可设二次函数的表达式为y=2(x+1)2=2x2+4x+2. 故答案为：y=2x2+4x+2 【变式4】课堂归纳 y a(x-h)2 a>0 a<0 h>0 h<0 h>0 h<0 y 图像 0 3 开口 开口 开口 18/73 |a越大，开口越小 对称轴 直线x=■ (h,0) 顶点 顶点是最低点 顶点是最高点 x>h,y随x的增大而增大 x>h,y随x的增大而减小 增减性 x<h,y随x的增大而减小 x<h,y随x的增大而增大 【答案】向上；向下；h 【分析】本题考查了二次函数的图像及性质，掌握二次函数性质是解题关键 【详解】解：根据二次函数图像性质，可知当a>0时开口向上：当a<0时开口向下； 对称轴为直线x=h. 故答案为：向上：向下：h 【变式5】己知函数y=(x一1)2，请在下面的网格中画出函数图象，并根据图象回答下列 问题： 987 6 54 43-2-1012345 -2 (1)当-2≤x≤-1时，求y的取值范围. (2)当0≤x≤3时，y的取值范围是多少？ 【答案】函数y=(x-1)的图象如图所示. 9 6 -4-3-2-1012345 19/73 (1)y的取值范围是4≤y≤9. (2)y的取值范围是0≤y≤4. 【分析】描点、连线作出图象即可： (1)根据图象即可求得： (2)根据图象即可求得. 【详解】解：由函数y=(x-1)2可知顶点为(1,0)，对称轴为x=1, 当y=1时，可得x=0或2： 当y=4时，可得x=-1或3： 当y=9时，可得x=-2或4： 将(-2,9)，(-1,4).(0,1).(1,0)，(2,1)，(3,4)，(4,9)在坐标系内描出、连线， 图象如图所示， 9 8 5 432-↓012345x (1)由图象可知，当-2≤x≤-1时，y的取值范围是4≤y≤9： (2)由图象可知，当0≤x≤3时，y的取值范围是0≤y≤4. 【点睛】本题考查了二次函数的性质，确定二次函数的顶点坐标以及对称轴是解决有关二次 函数的题目的关键 题型4.y=a(x-h)“土k的图像和性质 【例1】已知二次函数y=a(x+1)2+2(其中a是常数，且a≠0)，下列叙述中正确的是 () A.当a>0时，二次函数图象开口向下 B.二次函数图象与y轴的交点的坐标为(0,2) C.顶点坐标是(-1,2) D.当a<0时，顶点是二次函数图象的最低点 20/73 【答案】C 【分析】二次项系数大于0，则函数图象开口向上，二次项系数小于0，则函数图象开口向 下，且函数图象有最高点，据此可判断A、D;求出x=0时，y的值可判断B;根据解析式 可得顶点的坐标，则可判断C 【详解】解：A、当a>0时，二次函数图象开口向上，原说法错误，不符合题意： B、当x=0时，y=a(0+1)2+2=a+2,则二次函数图象与y轴的交点的坐标为(0，a+2), a≠0， .a+2≠2， .二次函数图象与y轴的交点的坐标不是(0,2)，原说法错误，不符合题意： C、由解析式可得项点坐标为(-1,2)，原说法正确，符合题意： D、当a<0时，顶点是二次函数图象的最高点，原说法错误，不符合题意： 【例2】抛物线y=a(x+h)2+k(a<0)的开口方向是 ,顶点坐标是 对称轴是直线 当x 时，函数y随x的增大而增大；当x 时，函数y随x的增大而减小 【答案】 向下(-h,k)x=-h<-h>-h 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，主要包括：抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐 标，函数的增减性，理解和掌握二次函数的性质是解题的关键。 根据二次函数的顶点式性质，结合条件α<0，直接得出开口方向、顶点坐标、对称轴及增 减性。 【详解】解：由抛物线y=a(x+h)+k(a<0)是顶点式，可写为y=a[x-(-h)]2+k, ∴.顶点坐标为(-h,k),对称轴为直线x=-h, .a<0, .抛物线开口向下，当x<-h时，函数y随x的增大而增大，当x>-h时，函数y随x的增大 而减小 故答案为：向下：(-h,k),x=-h,<-h,>-h. 【例3】己知二次函数的解析式y=(x+1)2-2 21/73 6 5 3 6-5-4-3-2-1Q1 123456x 3 3 6计 (1)在直角坐标系中画出它的图象： (2)观察图象可知y<0时，x的取值范围是 (3)当-1<x<4时，观察图象直接写出函数值y的取值范围. 【答案】(1)见解析 (2)-3<x<1 B)-2<y< 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键 (1)根据列表，描点，连线即可作图 (2)根据函数图象，得出当y<0时，x的取值范围即可： (3)根据函数的增减性以及最值，结合函数图象求出两个端点时的函数值即可求解。 【详解】(1)解：列表如下： -5 -3 -2 -1 0 1 3 3 3 6 0 2 -2 6 … 描点，连线画出抛物线， 如图所示。 5 4 2 -6-5-4-32-10 23456龙 6 22/73 (2)解：根据函数图象可知，当y<0时，x的取值范围是-3<x<1: (3)解：由图象可知顶点坐标为(-1，-2)， 当x≤-1时，y随x的增大而减小， 当x>-1时，y随x的增大而增大， 当x=4时，y=×(4+1)2-2=受 综上，当-1<x<4时，的取值范国为-2<y<号 【变式1】抛物线y=-3(x+1)2+2的顶点坐标在() A.第一象限B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】B 【分析】本题考查二次函数顶点式的性质及平面直角坐标系象限的判断，先根据顶点式求出 顶点坐标，再判断所在象限即可. 【详解】：二次函数顶点式y=a(x+h)+k(a≠0)的顶点坐标为(-h,k), ∴.对于抛物线y=-3(x+1)2+2,其顶点坐标为(-1,2)， 横坐标-1<0，纵坐标2>0，符合第二象限点的坐标特征， ∴顶点坐标在第二象限， 故选：B. 【变式2】关于二次函数y=3(x-2)2+4的最大值或最小值，下列叙述正确的是() A.当x=2时，y有最大值4 B.当x=2时，y有最小值4 C.当x=-2时，y有最大值4 D.当x=-2时，y有最小值4 【答案】B 【分析】本题考查二次函数顶点式的性质，掌握顶点式中参数与函数最值的关系是解题关键. 【详解】解：，二次函数表达式为y=3(x-2)+4,是顶点式y=a(x-h)+k的形式. 又，a=3>0. 抛物线开口向上，函数有最小值. ,该函数的顶点坐标为(2,4) .当x=2时，y有最小值4. 故选：B. 【变式3】已知抛物线y=(x-h)-1(h为常数)，当自变量x满足1≤x≤3时，与其 对应的函数值v的最小值是3，则h的值是 23/73 【答案】-1或5 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题时注意抛物线的增减性和分类讨论数学思想的运 用 由解析式可知函数在x=h时取得最小值-1，x>h时，y随x的增大而增大；当x<h时，y 随x的增大而减小：根据1≤x≤3时，函数的最小值为3可分如下两种情况：①当h<1≤ x≤3时，x=1时，y取得最小值3，②当1≤x≤3<h时，当x=3时，y取得最小值3， 分别列出关于h的方程求解即可. 【详解】解：由题意可得，根据二次函数的图象与性质，h的值不可能在1到3之间， ①当h<1≤x≤3时， .当x=1时，取得最小值y=3, ∴.3=(1-h)2-1, ∴，h=-1或h=3(舍去)， ②当1≤x≤3<h时， ∴.当x=3时，取得最小值y=3, ∴3=(3-h)2-1, .h=5或h=1(舍去)， 综上可得，h=-1或5. 故答案为：-1或5， 【变式4】二次函数y=a(x-1)2+6,当x<1时，y随x的增大而增大，写出一个符合条 件的a的值 【答案】-1（答案不唯一，任意负数均可） 【分析】根据项点式得到对称轴，结合给定的增减性判断的取值范围，即可写出符合条件 的a的值. 【详解】解：二次函数解析式为y=a(x-1)+6, .对称轴为直线x=1, 当x<1时，y随x的增大而增大， .二次函数图象开口向下， a<0, ∴a=-1(答案不唯一) 【变式5】已知二次函数y=2(x+1)2-8. 24/73 (1)写出函数图象的对称轴和项点坐标： (2)当x取何值时，y随x的增大而增大？ 【答案】(1)对称轴是直线x=-1,项点坐标是(-1，-8) (2)当x>-1时，y随x的增大而增大 【分析】本题考查二次函数的有关知识点，了解二次函数的图像及性质：熟知相关知识是正 确解答此题的关键」 (1)运用二次函数的顶点式即可求出对称轴和顶点坐标 (2)由二次函数y=2(x+1)-8开口向上，运用二次函数的增减性即可求解. 【详解】(1)解：二次函数y=2(x+1)2-8, .函数图象的对称轴为直线x=-1,顶点坐标是(-1，-8)： (2)解：a=2>0, ∴当x>-1时，y随x的增大而增大， 题型5.把y=ax2土bx土c化成顶点式 【例1】将二次函数y=x2-4x+5化成y=a(x-h)+k的形式为() A.y=(x-2)2-1 B.y=(x-2)2+1 C.y=(x+2)2+1 D.y=(x+2)2-1 【答案】B 【分析】利用配方法，将二次函数的一般式转化为y=α(x-)+k的形式，对比选项得到 结果。 【详解】解：y=x2-4x+5=(x2-4x+4)+1=(x-2)2+1. 【例2】二次函数y=x2-6x+4,用配方法化为y=a(x-h)2+k的形式是() A.y=(x-3)2-5 B.y=(x+3)2-5 C.y=x-3)2+4 D.y=(x+3)2+4 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的关系式， 利用配方法将二次函数一般式化为顶点式，再匹配对应选项即可· 【详解】解：，y=x2-6x+4=(x-3)2-5, ∴.正确选项为A. 故选：A. 25/73 【变式1】把二次函数y=x2-2x-1配方成y=a(x-h)2+k的形式，结果为() A.y=(x-1)2 B.y=(x-1)2-2 C.y=(x+1)2+1 D.y=(x+1)2-2 【答案】B 【分析】利用配方法对原式变形即可得到结果。 【详解】解：y=x2-2x-1 =(x2-2x+1)-1-1 =x-1)2-2. 【变式2】抛物线y=2x2-8x+1的顶点坐标是 【答案】(2，-7) 【分析】将抛物线的一般式通过配方法转化为顶点式，即可得到顶点坐标，也可利用顶点坐 标公式求解 【详解】解：y=2x2-8x+1 =2(x2-4x)+1 =2[x-2)2-4+1 =2(x-2)2-8+1 =2(x-2)2-7 抛物线顶点坐标为(2，-7)， 【变式3】把二次函数y=x2-2x+4变形为y=a(x-h)2+k的形式，则h+k的值为 【答案】4 【分析】先把二次函数化为顶点式，再求出h,k的值，进而可得出结论. 【详解】y=x2-2x+4=x2-2x+1+3=(x-1)+3, h=1,k=3, h+k=1+3=4. 题型6.y=三ax2土bx土c的图像和性质 【例1】关于抛物线y=2x2-4x+1,下列说法中错误的是() A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴是直线x=1 C.抛物线的顶点坐标为(1，一1) D.当x>1时，y随x的增大而减小 26/73 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，正确理解二次函数的性质是解题的关键。 将一般式配方化为顶点式，再根据二次函数的性质逐一判断即可。 【详解】解：：y=2x2-4x+1=2(x2-2x)+1=2(x-1)2-1,二次项系数a=2>0, ∴抛物线开口向上，A选项说法正确，不符合题意， .抛物线对称轴是直线x=1,顶点坐标为(1，-1)，B,C选项说法正确，不符合题意， ,抛物线开口向上，对称轴为直线x=1, ∴.当x>1时，y随x的增大而增大，因此D选项说法错误，符合题意， 故选：D 【例2】已知二次函数y=x2-2x+3,当2≤x≤5时，该二次函数的最小值为 【答案】3 【分析】先求出二次函数的对称轴和开口方向，再根据二次函数的增减性确定给定区间内最 小值的位置，代入计算得到结果。 【详解】解：，二次函数y=x2-2x+3, “该函数的对称轴是直线x三-忌=1，三次项系数1>0，开口向上， ∴.当x≥1时，y随x的增大而增大， .2≤x≤5，区间在对称轴右侧， ,当x=2时，y取得最小值， 此时y=22-2×2+3=4-4+3=3. 【变式1】若抛物线y=-2x2+口x的对称轴为直线x=1,则“口”内的数为（) A.-1 B.1 C.-4 D.4 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的对称轴性质，设“o”内的数为k,利用二次函数y=ax2+bx+c 的对称轴公式x=一品代入计算即可求解。 【详解】解：设“o”内的数为k,则抛物线解析式为y=-2x2+kx, ,对称轴为直线x=1 .1=-2x(-2) k .k=4 27/73 故“口”内的数为4. 故选：D 【变式2】若抛物线y=ax2-2ax+c(a≠0)与x轴的一个交点坐标为(3,0)，则该抛物线 与x轴的另一个交点坐标为() A.(1,0) B.(-2,0) c.(-1,0) D.(2,0) 【答案】c 【分析】先求出抛物线的对称轴，再利用对称轴是x轴两交点横坐标的中点来计算另一个交 点坐标。 【详解】抛物线y=ax2-2ax+c的对称轴为直线x=-2a=1, 2a 又，抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，已知一个交点为(3,0)，设另一个交点为(x,0), =1 解得x=-1, ∴.另一个交点坐标为(-1,0) 【变式3】若二次函数y=ax2-bx-1的图象经过点(2,1)，则2026+2a-b= 【答案】2027 【分析】将点(2,1)代入y=x2-bx-1可得2a-b=1,进而可求解，熟练掌握基础知识 是解题的关键， 【详解】解：将点(2,1)代入y=ax2-bx-1,得 1=4a-2b-1, 即2a-b=1, ∴2026+2a-b=2026+1=2027 【变式4】已知二次函数y=-x2+2x+2. (1)请把下面的表格补充完整： 0 y=-x2+2x+2 (2)根据上表，在图中画出这个二次函数的图像， 28/73 6 5 3 -65-4-3-2L10123456x (3)根据图像，回答下列问题： ①当x>1时，y随x的增大而 ②当0<x<3时，y的取值范围是 【答案】(1)见解析 (2)图见解析 3)减小，-1<y≤3 【分析】本题考查求二次函数的函数值，画二次函数的图像，二次函数的图像和性质，正确 的画出函数图像是解题的关键。 (1)把自变量的值代入函数解析式进行求解即可： (2)描点，连线，作图即可 (3)直接根据图像作答即可。 【详解】(1)解：当x=-1时，y=-(-1)2+2×(-1)+2=-1: 当x=1时，y=-12+2×1+2=3: 补全表格如下： -1 0 1 2 3 2 2 =-x2+2x+2 (2)解：画出二次函数的图像如下： 29/73 6-54-3-2 ,01 456x (3)解：①观察图像可知，当x>1时，y随x的增大而减小： 故答案为：减小： ②观察图像可知，当0<x<3时，y的取值范围是-1<y≤3， 故答案为：-1<y≤3. 【变式5】己知二次函数y=x2+2x-3. (1)求该二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)当y>0时，直接写出x的取值范围 【答案】(1)开口方向向上，对称轴为直线x=一1，顶点坐标为(-1，-4) (2)x>1或x<-3 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握图象开口，对称轴，顶点坐标的计算是关 键。 (1)根据二次函数解析式中二次系数的正负性判定图象开口，将一般式化顶点式可得对称 轴直线，顶点坐标： (2)根据二次函数图象开口，与x轴交点判定即可求解. 【详解】(1)解：由y=x2+2x-3=(x+1)2-4, a=1>0, 开口方向向上， 由顶点式得到对称轴为直线x=-1,顶点坐标为(-1，-4)， (2)解：当y=0时，x2+2x-3=0, 解得，x1=1,x2=-3, ,图象开口向上，与x轴的交点坐标为(1,0)，(-3,0)， .当y>0时，x>1或x<-3. 30/73 题型7.待定系数法求二次函数解析式 【例1】已知二次函数的图象经过(1,0)、(2，-2)、(0,4)三点，求这个二次函数的解析式. 【答案】y=x2-5x+4 【详解】解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,把点(1,0)、(2，-2)、(0,4)代入得， a+b+c=0 (a=1 4a+2b+c=-2,解得b=-5, C=4 (c=4 ∴.这个二次函数的解析式为y=x2-5x+4. 【变式1】如图，二次函数y=ax2-4x+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A(-4,0).求 此二次函数的解析式： VA 【答案】y=-x2-4x 【分析】本根据二次函数图象经过原点(O,0)得到c=0,再结合图象经过点A(-4,0),进而联 立方程求出a的值，确定二次函数的解析式， 【详解】解：函数图像经过原点和点A(-4,0), c=0 {-92a-4x(4)+c=0 解得： a=-1 c=0 “.二次函数的解析式为y=-x2-4x. 【变式2】己知二次函数y=x2+bx+c的图象经过A(0,2),B(1,-3)两点.求二次函数解 析式并试判断点P(-1,6)是否在此函数图象上 【答案】 y=x2-6x+2,点P不在此函数图象上 【分析】本题考查了待定系数法、二次函数的解析式，熟练掌握以上知识点是解题的关键. 根据待定系数法求出函数解析式，验证当x=-1时的纵坐标即可解题. 【详解】解：将A(0,2),B(1,-3)代入y=x2+bx+c, 1+6+e-3 31/73 解得2 ∴.二次函数的解析式为y=x2-6x+2, 当x=-1时，y=(-1)2-6×(-1)+2=9, .P(-1,6)不在函数图象上. 【变式3】己知二次函数y=3x2+bx+c的图象经过点A(1,2),对称轴为直线x=-2,求 该二次函数的表达式 【答案】y=3x2+12x-13 【分析】本题考查了待定系数法求解二次函数解析式，二次函数的图象与性质.根据对称轴 公式，以及将点A(1,2)代入抛物线表达式得到方程组求解即可， 【详解】解：，二次函数y=3x2+bx+c的图象经过点A(1,2),对称轴为直线x=-2, 3+b+c=2 (2k3=-2’ b 解行品 ,该二次函数的表达式为y=3x2+12x-13. 【变式4】己知抛物线经过点A(-1,0)和B(3,0)及y轴正半轴一点C,且0C=OB (1)求抛物线的解析式： (2)求抛物线顶点坐标： (3)求直线BC解析式. 【答案】(1)y=-x2+2x+3 (2(1,4) 3)y=-x+3 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，求一次函数的解析式，化为顶点式，正确掌握相 关性质内容是解题的关键。 (1)先结合0C=0B,得出C(0,3),再把B(3,0),A(-1,0),C(0,3)代入y=ax2+bx+c 进行计算，即可作答。 (2)把y=一x2+2x+3化为顶点式，得出顶点坐标，即可作答. (3)把B(3,0),C(0,3)代入y=kx+b,进行计算，即可作答 【详解】(1)解：，抛物线经过点B(3,0)及y轴正半轴一点C,且0C=0B. ,∴.0C=0B=3, .C(0,3), 32/73 设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)， 把B(3,0),A(-1,0),C(0,3)代入y=ax2+bx+c, 0=9a+3b+c 得0=a-b+c, 03=0+0+c (a=-1 解得{b=2, (C=3 y=-x2+2x+3: (2)解：y=-x2+2x+3=-(x2-2x)+3=-(x2-2x+1-1)+3=-(x-1)2+4, .抛物线顶点坐标为(1,4)， (3)解：由(1)得C(0,3), 依题意，设直线BC解析式为y=kx+b(k≠O), 把B(3,0),C(0,3)代入y=kx+b, 得86+书 。含 ∴.直线BC解析式为y=-x+3, 题型8.二次函数图像的平移 【例1】将抛物线y=x2平移得到抛物线y=(x+2)+3,下列叙述正确的是() A.向右平移2个单位，向上平移3个单位 B.向左平移2个单位，向下平移3个单位 C.向右平移2个单位，向下平移3个单位 D.向左平移2个单位，向上平移3个单位 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象平移的规律.根据二次函数图象平移的规律“左加右减， 上加下减”进行分析即可 【详解】解：将抛物线y=x2平移得到抛物线y=(x+2)2+3,其平移方式是向左平移2 个单位，向上平移3个单位 故选：D. 【例2】将抛物线y=(x+2)2-5向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，平 33/73 移后所得抛物线的表达式为 【答案】y=(x+4)2 【分析】本题考查了二次函数图象的平移.根据左加右减，上加下减进行求解作答即可. 【详解】解：将抛物线y=(x+2)2-5向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度， 平移后所得抛物线的表达式为y=(x+4), 故答案为：y=(x+4)2, 【例3】已知二次函数y=一x2+bx+c的图象与x轴的一个交点坐标为(-1,0)，与y轴的交 点坐标为(0,3). (1)求该二次函数的表达式； (2)将该二次函数图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位，求平移后的二次函数的表 达式 【答案】(1)y=-x2+2x+3 (2)y=-(x+1)2+3 【分析】本题考查了待定系数法进行求二次函数的解析式，二次函数的平移性质，正确掌握 相关性质内容是解题的关键， (1)运用待定系数法进行求二次函数的解析式，即可作答. (2)先把二次函数的解析式化为顶点式，y=一(x-1)+4,得根据二次函数图象平移规 律“左加右减，上加下减，进行作答即可 【详解】(1)解：依题意，把点(-1,0)，(0,3)分别代入y=-x2+bx+c中， 得到方程组-1-b+c=0 c=3 解得化气子 .二次函数的表达式为y=-x2+2x+3: (2)解：由(1)得y=-x2+2x+3, 则y=-(x2-2x+1-1)+3=-(x-1)2+4 ,该二次函数图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位. .y=-(x-1+2)2+4-1=-(x+1)2+3 【变式1】把抛物线y=(x一1)2+3向左平移2个单位长度，平移后抛物线的表达式为() A.y=(x-1)2+5 B.y=(x-1)2+1 C.y=(x+1)2+3 D.y=(x-3)2+3 34/73 【答案】c 【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可. 【详解】解：把抛物线y=(x-1)2+3向左平移2个单位长度，所得直线解析式为：y=(x 1+2)2+3,即y=(x+1)2+3 故选：C 【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减， 上加下减， 【变式2】在平面直角坐标系中，若抛物线y=(x+3)平移后经过原点O,则平移的方式可 能是() A.向上平移3个单位长度 B.向下平移3个单位长度 C.向左平移3个单位长度 D.向右平移3个单位长度 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象的平移，掌握相关知识是解决问题的关键.根据平移规律“左 加右减，上加下减”解答. 【详解】解：由抛物线y=(x+3)向右平移3个单位，得到抛物线解析式为：y=x2,此时 抛物线y=x2经过原点. 故选：D. 【变式3】把抛物线y=2x2向左平移3个单位，然后向下平移1个单位，则平移后抛物线 的解析式为 【答案】y=2(x+3)2-1 【分析】本题考查了二次函数图象的平移与几何变换，利用抛物线解析式的变化规律：左加 右减，上加下减是解题的关键。 直接根据“上加下减，左加右减”的平移规律进行解答即可. 【详解】解：把抛物线y=2x2向左平移3个单位，然后向下平移1个单位，则平移后抛物 线的解析式为y=2(x+3)2-1, 故答案为：y=2(x+3)2-1. 【变式4】(1)将函数y=x2-3x+2的图象向左平移k个单位，使其经过坐标原点，求k 的值： (2)将函数y=x2-3x+2的图象向上平移t个单位，使其顶点落在x轴上，求平移后的函 数表达式 35/73 【答案】(1①)1或2：(2)y=(-) 【分析】(1)求出函数y=x2-3x+2的图象与x轴的交点再求出k即可： (2)利用顶点式解析式平移求解即可 【详解】解：(1)令x2-3x+2=0,求得x1=1,x2=2, 函数y=x2-3x+2的图象向左平移1或2个单位，使其经过坐标原点， 所以k=1或2. (2)函数y=x2-3x+2的图象向上平移t个单位，使其顶点落在x轴上， 平移后的函数表达式为y=(x- 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，解题的关键是求出原抛物线上任意两点 平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式：或只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式. 【变式5】已知二次函数y=5x2-2x-6,若将该二次函数图象向上平移m个单位长度(m> 0),平移后的抛物线经过点P(2,16),求m的值. 【答案】m的值为6 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的图象的平移，由二次函数的图象的 平移法则得出平移后的抛物线的解析式为y=5x2-2x-6+m,再将点P(2,16)代入平移后 的解析式计算即可得解，熟练掌握二次函数图象的平移是解此题的关键， 【详解】解：，二次函数y=5x2-2x-6, ∴.将该二次函数图象向上平移m个单位长度(m>0),平移后的抛物线的解析式为y=5x2 2x-6+m, ,平移后的抛物线经过点P(2,16), ∴.16=5×22-2×2-6+m, 解得：m=6, 故m的值为6. 题型9.二次函数图像的对称 【例1】在同一坐标系中，图象与y=2x2+1的图象关于x轴对称的函数为() A.y=-2x2+1B.y=-号x2-1 C.y=-2x2-1D.y=-2x2 【答案】c 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，熟知直角坐标系中关于x轴对称的点的 36/73 坐标的关系是解题的关键.根据关于x轴对称的点的坐标特征求得即可. 【详解】解：函数y=2x2+1的图象关于x轴对称的函数为-y=2x2+1,即y=-2x2-1. 故选：C 【例2】求抛物线y=x2+2x+3关于直线x=4对称后所得抛物线的解析式是 【答案】y=x2-18x+83 【分析】本题考查了二次函数的性质，轴对称的性质，先把y=x2+2x+3整理得y=(x+ 1)2+2,则顶点坐标为(-1,2)，结合(-1,2)关于直线x=4对称后所得(9,2)，则y=(x- 9)2+2,即可作答. 【详解】解：依题意，y=x2+2x+3=x2+2x+1+2=(x+1)2+2, ∴.抛物线y=x2+2x+3的顶点坐标为(-1,2)， 则[4-(-1)]+4=9 ∴.(-1,2)关于直线x=4对称后所得(9,2)， 则y=(x-9)2+2=x2-18x+83 故答案为：y=x2-18x+83. 【变式1】与二次函数L1:y=x2关于x轴对称的抛物线L2的表达式为() A.y=-x2-1B.y=x2-2 C.y=-x2 D.y=x2 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线的对称，熟练掌握对称的特点是解题的关键. 设L1y=x2上的一个点坐标为(x,y),关于x轴的对称点为(m,n),则(m,n)一定在抛物线L2 上，则x=m,y=-n,回代解析式得-n=m即n=-m2,解答即可. 【详解】解：设L1:y=x2上的一个点坐标为(x,y),关于x轴的对称点为(m,n),则(m,n) 一定在抛物线L2上， 则x=m,y=-n,回代解析式得-n=m2即n=-m2, 故抛物线L2的表达式为y=-x2. 故选：C. 【变式2】已知抛物线y=2(x+1)2与抛物线y=a(x+1)关于x轴对称，那么a的值是 【答案】 -2 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，掌握两条抛物线关于x轴对称，则对应点的 37/73 纵坐标互为相反数是解题的关键.根据两条抛物线关于x轴对称，则对应点的纵坐标互为相 反数，因此二次项系数互为相反数，即可得解. 【详解】解：抛物线y=2(x+1)2与抛物线y=a(x+1)关于x轴对称， 对于任意x,有a(x+1)2=-2(x+1), a=-2. 故答案为：-2. 【变式3】把抛物线y=a(x+)+k先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，得到抛 物线y=x+1)2-1. (1)试确定a,h,k的值： (2)若以x轴为对称轴，将原抛物线翻折，求所得抛物线的函数表达式. 【答案】(1)a=分h=-2,k=-5 21y=-x-2)2+5 【分析】本题考查抛物线的平移与翻折，掌握平移与翻折规律是解题的关键， (1)根据抛物线平移规律，向左平移3个单位则x替换为x+3,向上平移4个单位则函数 值加4，比较平移后的抛物线方程可得a,h,k的值： (2)求出原抛物线顶点关于x轴的对称点，沿x轴翻折后所得新抛物线的形状不变，开口 方向与原抛物线相反，由此可解 【详解】(1)解：由题意知，抛物线y=(x+1)2-1向下平移4个单位，再向右平移3 个单位，可得y=a(x+h)2+k, 抛物线y=a(x+)2+k为：y=(x+1-3)2-1-4=(x-2)2-5, a=h=-2,k=-5: (2)解：抛物线y=(x-2)2-5的顶点坐标为(2，-5)， ~点(2，-5)关于x轴的对称点为(2,5)，沿x轴翻折后所得新抛物线的形状不变，开口方向与 原抛物线相反， 所得抛物线的函数表达式为y=-(x-2)2+5. 【变式4】如图，“心形”图案是由抛物线y=一x2+m的一部分及其关于直线y=一x的对称 图形组成，点E、F是“心形”图案与其对称轴的两个交点，点A、B、C、D是该图案与坐标 38/73 轴的交点，且点D的坐标为(6,0) (1)求m的值及AC的长： (2)求EF的长： (3)若点P是该图案上的一动点，点P、点Q关于直线y=一x对称，连接PQ,求PQ的取值范 围。 【答案】(1)m=6,AC=6+√6 2)5V2 3)0≤PQ≤252 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的图象与性质，并结合了图象对称，线段的长度和 最值，体现了方程和数形结合的思想 (1)把点D的坐标(V6,0)代入y=-x2+m得m,AC=0A+0C=OA+OD: (2)联立y=-x2+6与y=-x,求出交点E、F,再求EF的长： (3)设过点P与EF平行的直线为y=-x+m,根据图形可知当直线y=一x+m与y=-x2+ 6只有1个交点时PQ最大，联立y=-x+m与y=-x2+6,利用△=0求出m,进而求出P O,最后求PQ的最大值；当点Q与点E、F重合时PQ最小 【详解】(1)解：把点D的坐标(6,0)代入y=-x2+m,得m=6, 由对称性得0C=OD=V6, ∴.AC=0A+0C=6+V6: 2)解：联y-+6与y=)6。 ∴.-x2+6=-x,即x2-x-6=0, x=-2或x=3, .E(-2,2),F(3,-3), EF=、(-2-3)2+(2+3)2-5V2: 39/73 (3)解：如图所示，设过点P与EF平行的直线为y=-x+m,当直线y=-x+m与y=一x2+ 6只有1个交点时PQ最大. D C 由-x2+6=-x+m得x2-x+m-6=0, ∴.△=1-4(m-6)=0, ∴m-华x=双= 把x=代入y=-2+6得，y=草 P) ,点P、点O关于直线y=-x对称， Q() .PQ= ++(悍+)- 4 由对称性得点Q的坐标为(，)时亦满足题意， PQ的最大值为5亚 4 当点Q与点B、F重合时PQ最小.最小值为0， 综上，PQ的取值范围0≤PQ< 4 题型10.比较二次函数值的大小 【例1】已知点A(-1,y1),B(-V2y2),C(-2,y3)在二次函数y=-x2的图象上，则y1,y2 y3的大小关系是() A.y1>y2>y3B.y1>y3>y2C.y3>y2>y1D.y2>y1>y3 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，二次函数y=-x2开口向下，对称轴为y 轴，点的横坐标的绝对值越小，离对称轴越近，函数值越大， 40/73 把点的横坐标分别代入抛物线解析式分别求出y1、y2、y3的值，比较大小即可. 【详解】解：，y=-x2, .当x=-1时，y1=-(-1)2=-1; 当x=-V2时，y2=-(-V2)2=-2: 当x=-2时，y3=-(-2)2=-4 -1>-2>-4, ∴.y1>y2>y3: 故选：A 【例2】已知二次函数y=x2-2x+c的图像上有两点A(-3,y1)、B(-2,y2),则y1与y2大小 关系是() A.y1<y2 B.y1>y2 C.y1=y2 D.没法确定 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数值的大小比较： 先求出二次函数的对称轴，根据二次函数开口方向判断对称轴左侧的单调性，再结合两点横 坐标的大小比较函数值大小. 【详解】解：，二次函数y=x2-2x+c中，a=1>0,开口向上， 对称轴为直线x=品=一品=1， :点A(-3,y1)、B(-2,y2)的横坐标都小于1，即在对称轴左侧， 又，开口向上的二次函数，在对称轴左侧y随x的增大而减小， 且-3<-2， y1>y2, 故选：B 【例3】已知点A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线y=-x2-1上，且x2>x1>0,则 yi y2(填“>"<”或"="). 【答案】> 【分析】先判断抛物线的开口方向与对称轴，再利用二次函数的增减性比较y1和y2的大小. 【详解】对于抛物线y=-x2-1, 二次项系数a=-1<0, 因此抛物线开口向下，对称轴为直线x=0, 41/73 根据二次函数的性质，当x>0时，y随x的增大而减小， x2>x1>0, y1>y2 【变式1】已知二次函数y=2(x-1)2的图象上有三点A(1,y1),B(2,y2),C(-3,y3),则 y1,y2,y3的大小关系为() A.y1>y2>y3 B.y3>y2>y1C.y3>y1>y2D.y2>y1>y3 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的顶点式性质、二次函数的增减性，熟练掌握开口向上的 二次函数上的点到对称轴的距离与函数值大小的关系是解题的关键. 先由二次函数顶点式确定其开口方向和对称轴，再分别计算三点到对称轴的距离，根据开口 向上时“点到对称轴的距离越远，函数值越大”的性质，比较y1、y2、y3的大小. 【详解】解：：二次函数y=2(x-1)为顶点式，且a=2>0. .抛物线开口向上，对称轴为直线x=1. ,点A(1,y1)到对称轴的距离为1-1=0，点B(2,y2)到对称轴的距离为2-1|=1，点 C(-3,y3)到对称轴的距离为-3-1=4. 又开口向上时，在对称轴两侧，点到对称轴的距离越远，函数值越大 y3≥y2≥y1, 故选：B 【变式2】函数y=mx2+3mx+1(m<0)的图象上有三个点，分别为A(-2,y),B(-3,2) c(y),则y1,y2,y的大小关系为()· A.y1<y2<y3 B.y1<y3<y2C.y3<y2<y1D.y3<y1<y2 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的增减性，熟练掌握当开口向下时，离对称轴越近的点纵坐标越 大是解题的关键， 先确定二次函数的对称轴与开口方向，再根据各点到对称轴的距离远近判断纵坐标大小，开 口向下时，离对称轴越近的点纵坐标越大. 【详解】解：，函数y=mx2+3mx+1(m<0), 抛物线开口向下，对称轴为直线x=一器=一 42/73 :点4(-2，y)到对称轴x=-的距离为-2-（引= 点B(y)在对称轴上，到对称轴的距离为0， 点C(y)到对称轴x=-的距离为-（引=2。 ,抛物线开口向下，离对称轴越近的点纵坐标越大， 2>>0, y3<y1<y2: 故选：D. 【变式3】已知二次函数y=ax2+bx+c(a>0)图像的对称轴为直线x=2,且经过点 (-1,y1)、(4,y2),试比较大小：y1y2:(填“>”<"或“=") 【答案】> 【分析】本题主要二次函数的性质、二次函数的图象、二次函数图象上点的坐标特征，解题 时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键.依据题意，由抛物线对称轴是直线x= 2,a>0,从而抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，又！-1-2=3>|4-2引=2，则， 最后可以判断得解. 【详解】解：由题意，抛物线对称轴是直线x=2,α>0， 抛物线上的点离对称轴越近函数值越小 又1-1-2=3>14-2=2， y1>y2 故答案为：> 【变式4】在平面直角坐标系x0y中，点(2，m)和点(4，n)在抛物线y=ax2+bx(a>0)上. (1)若m=3,n=14,求该抛物线的对称轴； (2)若m=n时，已知点(-1，y1),(6,y2)在该抛物线上.比较y1,y2的大小，并说明理由： (3)若m<0,已知点(-3，y1),(5,y2),(7,y3)在该抛物线上.比较y1,y2,y的大小，并 说明理由 【答案】(1y=x2-x (2)y1>y2 (3)y1<y2<y3 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质和二次函数的解析式 43/73 根据题意将点(2,3)和点(4,14)代入解析式求解. 根据题意将点(2，m)和点(4，n),在抛物线y=ax2+bx(a>0),因为m=n,所以对称轴为 x=3,因为a>0,所以开口向上，横坐标距离对称轴越大，纵坐标的值越大，即可得到答 案 分类讨论b的正负情况，根据mn<0可得对称轴在x=0与直线x=1之间，再根据各点到 对称轴的距离判断y值的大小. 【详解】(1)解：根据题意m=3,n=14,点(2，m)和点(4，n)在抛物线y=ax2+bx(a>0) 上， 3=a22+b2,解得：b=- a=1 .将点(2,3)，(4,14)代入解析式得： 14=a42+4b ∴解析式为：y=2-x. (2)解：根据题意将点(2，m)和点(4，n),在抛物线y=ax2+bx(a>0), 因为，m=n, ,对称轴为x=3, α>0，所以开口向上，横坐标距离对称轴越大，纵坐标的值越大， .3-(-1)川=4,16-3引=3， y1>y2 (3)解：，y=ax2+bx(a>0), ∴抛物线开口向上且经过原点， 当b=0时，抛物线顶点为原点，x>0时y随x增大而增大，n>m>0不满足题意， 当b>0时，抛物线对称轴在y轴左侧，同理，n>m>0不满足题意， ∴.b>0时，抛物线对称轴在y轴右侧，x=2时，m<0,x=4时n>0, 即抛物线和x轴的2个交点，一个为(0,0)，另一个再2和4之间， ∴.抛物线对称轴在直线x=1与直线x=2之间， 即1<-品<2， 44/73 y 9 65 32 109-8-7-6-5-4克-2-10 12 56方8910i2文 m -3 5 ∴.三点离对称轴由近到远的顺序是(5，y2),（-3,y),(7,y3) ∴y2<y1<y3 题型11。由二次函数的图像判断式子符号 【例1】如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象，则下列说法正确的是() A.b+2a=0 B.abc0 C.2b<4a+c D.a+b+c<0 【答案】A 【分析】根据对称轴是直线x=1,可得b=-2a,即b+2a=0,即可判断A:根据抛物线 开口判断a<0,然后根据对称轴判断b>0,抛物线交y轴于正半轴，c>0,可判断B;由 图象知：当x=-2时，y=4a-2b+c<0,可判断C;由图可知x=1时y=a+b+c>0, 可判断D. 本题考查了二次函数的图象与系数的关系，理解题意，熟练掌握二次函数的图像和性质是解 题关键 【详解】解：抛物线开口向下， 45/73 "a<0; 抛物线的对称轴为直线x=云=1， b=-2a, b+2a=0,故选项A正确： a<0,b=-2a, b>0 抛物线交y轴于正半轴得：c>0: abc<0,故选项B错误； 由图象知：当x=-2时，y<0, 4a-2b+c<0, 2b>4a+c,故选项C错误； 由图可知，x=1时y>0, ∴a+b+c>0,故选项D错误. 故选：A. 【例2】二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=1.下列结论：①abc> 0:②2a+b=0;③3a+c>0:④am2+bm≥a+b(m为实数).其中正确的有 【答案】①②③④ 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象与其系数间的关系等知识， 熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键.根据该二次函数图象的开口方向、对称轴以 及与y轴交点位置分析a、b、c的符号，即可判断结论①②：由函数图象可知，当x=-1 时，y>0,即可判断结论③：结合当x=1时，该二次函数取最小值，易知am2+bm+c≥ a+b+c(m为实数)，即可判断结论④ 【详解】解：根据题意，该函数图象开口向上， .a>0, ,对称轴是直线x=1, 46/73 -六1 .b=-2a<0, ∴.2a+b=0,故②正确： ,该函数图象与y轴交于负半轴， 当x=0时，y=c<0, ∴.abc>0,故结论①正确： 由图象可知，当x=-1时，y>0, ∴a-b+c>0,又-b=2a, ∴.a+2a+c>0,即3a+c>0,故结论③正确： :当x=1时，该二次函数取最小值， .am2+bm+c≥a+b+c(m为实数)， 即am2+bm≥a+b(m为实数)，故④正确： 综上所述，结论正确的有①②③④， 故答案为：①②③④ 【变式1】对称轴为直线x=1的抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，且a≠0)如图所 示，下列结论正确为() A.abc>0 B.b2<4ac C.当x<-1时，y随x的增大而增大D.4a+2b+c>0 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，二次函数图象与系数的关系，由抛物线的开口方 向判断α的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交 点情况进行推理，进而对所得结论进行判断，熟知二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛 物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定是解题的关键. 【详解】解：A,抛物线开口向上，与y轴交于负半轴， .a>0c<0, 47/73 对称轴为直线x=1, -六=1， .b=-2a<0, abc>0,故A正确： B.由函数图象可知，抛物线与x轴有两个不同交点， ÷b2-4ac>0, b2>4ac,故B错误： C.由图象可知，当x<-1时，y随x的增大而减小，故C错误， D.对称轴为直线x=1, .当x=0和x=2时的函数值相等，且都小于0， ·.y=4a+2b+c<0,故D错误： 故选：A. 【变式2】如图所示的是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是直线x=-1, 且过点(-3,0)，下列说法：①abc<0;②2a-b=0;③4a+2b+c<0:④若(- 5,y1),(3,y2)是抛物线上的两点，则y1<y2.其中说法正确的是() A.①② B.②③ C.①②④ D.②③④ 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次 函数与方程及不等式的关系.根据抛物线开口向上，可得α>0，再由抛物线对称轴为直线x= 六=-1，可得b=2a>0,2a-b=0,②正确，再由c<0,可得abc<0.①正确.再 根据抛物线的对称性可得抛物线经过(1,0)，从而得到x=2时，y=4a+2b+c>0,③错 误.再根据二次函数的对称性可得y1=y2,④错误，即可求解. 【详解】解：抛物线开口向上， .a>0 抛物线的对称轴为直线x=一云=一1， 48/73 b=2a>0,则2a-b=0,所以②正确： 抛物线与y轴的交点在x轴下方， ·c<0, ∴abc<0,所以①正确； x=2时，y>0, 4a+2b+c>0, ③错误： 点(-5，y1)与点(3，y2)关于对称轴x=-1对称， 六y1=y2,所以④错误. 故选：A. 【变式3】二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，其对称轴为x=2,且图象经过 点(6,0)，下列结论：①bc>0;②4a+b=0;③若ax+bx1=ax3+bx2且x1≠x2,则 x1+x2=4;④若(-1，y1),(3,y2)两点都在抛物线y=ax2+bx+c的图象上，则y2<y1.正 确的有· (填正确的序号) 02 【答案】 ①②③ 【分析】根据抛物线的开口向下，与y轴交于正半轴，可得a<0,c>0,再根据对称轴为 直线x=-会=2，可得b=一4a>0,即可判断@@：然后说明ar+bx1+c=a+bx,+ c,可得x=x1和x=x2关于对称轴x=2对称，进而得出+2=2，说明③即可：最后根据 抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小解答④ 【详解】解：由图象可知抛物线的开口向下，与y轴交于正半轴， .a<0,c>0. :对称轴为直线x=-品=2， ∴.b=-4a>0, 则bc>0,4a+b=0可知①②正确： 49/73 ax+bx1=ax3+bx2,且x1≠x2, ..axi+bxi+c=axz+bx2+c, .x=x1和x=x2关于对称轴x=2对称， ∴1+2=2， 2 则x1+x2=4,可知③正确： ,抛物线开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， 若(-1y1),3,y2)两点都在抛物线y=ax2+bx+c的图象上， ,1-1-2>3-2, y1<y2,可知④不正确， 则正确的有①②③ 题型12.一次函数与二次函数图像综合判断 【例1】函数y=ax和函数y=a(x-1)(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是 () 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象问题 先求出y=a(x-1)的顶点坐标，再分情况讨论即可. 【详解】解：当x=1时，y=a(1-1)2=0, 即函数y=a(x-1)的顶点为(1,0)，B、D不符合要求： 当a>0时，函数y=ax经过一、三象限，函数y=a(x-1)(a≠0)开口向上，C符合： 50/73 当a<0时，函数y=ax经过二、四象限，函数y=a(x-1)(a≠0)开口向下，无符合选项： 故选：C 【变式1】在同一坐标系中画出直线y=ax+b与抛物线y=ax2+b,有可能是() 【答案】A 【分析】根据两个函数的性质和图象的特征，结合选项中的图象逐项判断即可. 【详解】解：A、直线y=ax+b中，a>0,b<0,抛物线y=ax2+b中，a>0,b<0,故 本选项符合题意： B、直线y=ax+b中，a<0,b>0,抛物线y=ax2+b中，a>0,b>0,矛盾，故本选项 不符合题意； C、直线y=ax+b中，a<0,b<0,抛物线y=ax2+b中，a<0,b>0,矛盾，故本选项 不符合题意： D、直线y=ax+b中，a>0,b>0,抛物线y=ax2+b中，a<0,b<0,矛盾，故本选项 不符合题意 【变式2】在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2+bx的图象 可能为( 51/73 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数与一次函数的 图象及性质是解题的关键；因此此题可根据二次函数与一次函数的图象及性质依次进行排除 选项即可 【详解】解：A、由图象可知：一次函数y=ax+b中，a>0,b<0,所以二次函数y=ax2+bx 的开口向上，对称轴为直线x=一云>0，即对称轴在y轴的右侧，故符合题意： B、由图象可知：一次函数y=ax+b中，a<0,b>0,所以二次函数y=ax2+bx的开口 向下，对称轴为直线x=->0,即对称轴在y轴的右侧，故不符合题意： 2a C、由图象可知：一次函数y=ax+b中，a<0,b<0,所以二次函数y=ax2+bx的开口 向下，对称轴为直线x=-品<0，即对称轴在y轴的左侧，故不符合题意： D、由图象可知：一次函数y=ax+b中，a>0,b>0,所以二次函数y=ax2+bx的开口 向上，对称轴为直线x=一云<0，即对称轴在y轴的左侧，故不符合题意： 故选A. 【变式3】一次函数y=一mx一n的图象如图所示，则二次函数y=m(x-n)的图象大致为 () .7 52/73 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象的综合判断，根据一次函数经过的象 限可得m>0,n<0,进而可得二次函数开口向上，对称轴在y轴左侧，据此结合函数图 象可得答案. 【详解】解：：一次函数y=-x-n的图象经过第一、二、四象限， .-m<0,-n>0, .m>0,n<0, :'二次函数解析式为y=m(x-m)2, ∴.二次函数开口向上，对称轴为直线x=n,即对称轴在y轴左侧， ∴四个选项中，只有C选项中的函数图象符合题意， 故选：C 【变式4】二次函数y=ax2+b的图象如图所示，则一次函数y=-ax+b的图象可能是 () 【答案】A 53/73 【分析】本题考查了二次函数图像的基本性质及判断一次函数图像所经过的象限，熟练掌握 二次函数及一次函数的性质是解题关键。 由二次函数的图像可得a<0,b>0,根据一次函数图像的性质即可判断出正确答案， 【详解】解：由图象可知，y=ax2+b中a<0,当x=0时，y>0, ∴.b>0, ∴y=-ax+b的图象经过一、二、三象限，与y轴交于正半轴， 故选A. 题型13.二次函数中简单最值问题 【例1】二次函数y=x2+3x-1有() A.最大值-4B.最大值-2 C.最小值-4 D.最小值-2 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，以及最值的求解，熟练掌握二次函数的图 象与性质是解题的关键。 先将其化为顶点式，即可求解最值。 【详解】解：将二次函数y=2x2+3x-1化成顶点式为y=2(x+2)2-4 4 “a=>0 .二次函数有最小值.最小值为-4. 故选：C. 【例2】若二次函数y=-x2-2x+c有最大值7，则c的值为 【答案】6 【分析】将二次函数解析式配方为顶点式，根据二次函数有最大值7，列出关于c的方程， 求解即可得到c的值 【详解】解：y=-(x2+2x)+c=-(x+1)2+1+c, a=-1<0, .二次函数开口向下， “.二次函数的最大值为1+c, 二次函数的最大值为7， 1+c=7, 54/73 解得c=6. 【例3】已知二次函数y=-x2+6x-5. (1)求二次函数图象的顶点坐标： (2)当1≤x≤4时，函数的最大值和最小值分别为多少？ 【答案】(1)(3,4) (2)当1≤x≤4时，函数的最大值为4，最小值为0 【分析】(1)化成顶点式即可求解： (2)根据二次函数的性质求解即可。 本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键。 【详解】(1)解：：y=-x2+6x-5=-(x-3)+4, ∴顶点坐标为(3,4)： (2)解：，抛物线的对称轴为x=3, 又，1≤x≤4，a=-1<0,抛物线开口向下， 当x=3时，函数有最大值，最大值为4： 当x=1时，函数有最小值，最小值为0. 【变式1】若二次函数y=x2-4x+c的图象经过点(0,3)，则函数y的最小值为() A.-1 B.1 C.-2 D.2 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，将点(O,3)代入函数解析式求出c的值，得到二次函数 解析式，再通过配方法求函数最小值. 【详解】解：二次函数y=x2-4x+c的图象经过点(0,3)， 当x=0时，y=3, 即3=02-4×0+c, 解得c=3, .二次函数解析式为y=x2-4x+3, 配方法：y=x2-4x+3, =(x2-4x+4)-4+3, =(x-2)2-1, (x-2)2≥0， ·(x-2)2-120-1, 55/73 (x-2)2-1≥-1， ·y2-1, 当x=2时取等号， 函数y的最小值为-1. 故选：A. 【变式2】已知实数x,y满足x+y=12,则xy-2的最大值为 【答案】34 【分析】根据已知条件将y用含x的代数式表示，代入所求式子，转化为关于x的二次函数， 利用二次函数的性质求解最大值 【详解】解：x+y=12, y=12-x, 将y=12-x代入xy-2得 xy-2=x(12-x)-2=-x2+12x-2=-(x-6)2+34. 二次项系数-1<0， 该二次函数开口向下，当x=6时，xy-2取得最大值，最大值为34， 【变式3】点C与点A(0,4),Bt,-t),D(6,0)构成一个平行四边形，当AB取得最小值时，点 C的坐标是 【答案】(-8,6)或(8,2)或(4，-2) 【分析】根据题意，得AB2=2(t+2)2+8有最小值，且当t=-2时，AB取得最小值， 得到A(0,4),B(-2,2),D(6,0),利用中点坐标公式，分三种情况求解即可： 【详解】解：A(0,A),B(t,-t),D(6,0), AB2=(t-0)2+(-t-4)2=t2+t2+8t+16=2t2+8t+16, =2(t2+4t)+16=2(t+2)2+8, a=2>0, AB2=2(t+2)2+8有最小值，且当t=-2时，AB取得最小值， ·A(0,4),B(-2,2),D(6,0), 由点C与点A(0,4),B(-2,2),D(6,0)构成一个平行四边形， 设C(m,n), 当AB为对角线时，由中点坐标公式得： 56/73 6+m=-2 0+n=4+2=6 解得：m=68,9 C1(-8,6): 当AD为对角线时，由中点坐标公式得： (-2+m=6 2+n=4+0=4 解得：份8 ∴.C2(8,2): 当AC为对角线时，由中点坐标公式得： ∫0+m=6-2 (4+n=2+0=2 解得：{二 C3(4-2) 综上所述，满足条件的点C的坐标为(-8,6)，(8,2)，(4，-2) 【变式4】已知二次函数y=x2-2bx+c(b,c为常数)，当b-1≤x≤b+2时，该函 数的最大值与最小值的差是-2k,求k的值. 【答案】k=-2 【分析】先确定顶点坐标为(b,c-b),可得最小值为c-b2,当x=b+2时，函数取得最 大值，为y=(b+2)2-2b(b+2)+c=-b2+4+c,即可列方程求解. 【详解】解：y=x2-2bx+c=(x-b)2-b2+c, 顶点坐标为(b,c-b), 1>0,即抛物线开口向上，b-1<b<b+2,最小值为c-b2, 当b-1≤x≤b+2时，该函数的最小值为c-b2, b-(b-1)<b+2-b, “当x=b+2时，函数取得最大值，为y=(b+2)2-2b(b+2)+c=-b2+4+c, 由题意可得-b2+4+c-(c-b2)=-2k, 解得k=-2. 【变式5】学习完二次函数的性质后，某兴趣小组以一组习题为依托，开展了进一步的研究， 以下是他们的研究过程. ①y1=x2+1,②y2=(x-3)2-1,③y3=2x+1)2+3. 57/73 【任务一】研究增减性 (1)当x>0时，y随x的增大而增大的是； (填序号) 【任务二】研究对称性 (2)函数y2=(x-3)2-1的对称轴是： 【任务三】研究最值 (3)当x取何值时，函数y3=2(x+1)2+3有最小值，并写出最小值： 【任务四】研究复杂问题的最值 (4)若y=y1+y2+y3,求y的最小值. 【答案】(1)①国：(2)直线x=3:(3)x=-1时，最小值为3：(4)华 【分析】本题考查二次函数的图象及性质， (1)分别求出每一个函数的对称轴，再结合函数的性质确定即可： (2)根据二次函数的性质，直接求对称轴即可； (3)将x=-1代入函数的解析式，即可求最小值： (4)先求出y=4(x-)+票根据二次函数的性质即可求解。 【详解】解：(1)①y1=x2+1的对称轴为直线x=0,开口向上，当x>0时，y值随x 的增大而增大： ②y2=(x-3)2-1的对称轴为直线x=3,开口向上，当x>3时，y值随x的增大而增大： ③y3=2(x+1)2+3的对称轴为直线x=-1,开口向上，当x>-1时，y值随x的增大而 增大： 故答案为：①③ (2)函数y2=(x-3)2-1的对称轴是直线x=3: 故答案为：直线x=3 (3)当x=-1时，函数y3=2(x+1)2+3有最小值3 (4)y1=x2+1,y2=(x-3)2-1,y3=2(x+1)2+3. .y=y1+y2+y3 =x2+1+(x-3)2-1+2(x+1)2+3 =x2+1+x2-6x+9-1+2x2+4x+2+3 =4x2-2x+14 58/73 =4+ ∴当x=时，y的最小值为 >巩固练习 1.(2026吉林长春.一模)下列函数中，y的值随x的值增大而增大的是() A.y=2x2 B.y=-x+3 C.y=-x2 D.y=x-1 【答案】D 【分析】根据不同函数的增减性逐一判断即可得到答案.。 【详解】解：选项A,y=2x2是二次函数，开口向上，对称轴为x=0,当x<0时，y随x 的增大而减小，不符合要求。 选项B,y=-x+3,是一次函数，k=-1<0,y随x的增大而减小，不符合要求. 选项C,y=一x2,是二次函数，开口向下，对称轴为x=0,当x>0时，y随x的增大而减 小，不符合要求 选项D,y=x-1是一次函数，k=1>0,y随x的增大而增大，符合要求. 2.(2025广东广州.二模)已知二次函数y=2(x-1)2+3,其顶点坐标为（) A.(-1,3) B.(1,-3) C.(-1-3) D.(1,3) 【答案】D 【分析】本题考查二次函数顶点式的顶点坐标，利用二次函数项点式的性质即可直接求解 【详解】解：二次函数顶点式的形式为y=a(x-h)2+k,其顶点坐标为(h,k). :已知二次函数为y=2(x-1)2+3,对比顶点式可得h=1,k=3 ∴该二次函数的顶点坐标为(1,3) 3.(2026广东惠州.二模)二次函数y=ax2+bx+c开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴 在y轴左侧，下列结论正确的是() A.a<0 B.b<0 C.c>0 D.b2-4ac>0 【答案】D 【分析】本题根据二次函数的基本性质，由开口方向与a的关系确定a的正负，对称轴位置 与a,b的关系确定b的正负，与y轴交点的位置与c的关系确定c的正负，逐一判断选项，即 59/73 可得到正确结论。 【详解】解：~二次函数y=ax2+bx+c开口向上， ·a>0,选项A错误； ”对称轴在)轴左侧，二次函数对称轴为x=一云 品<0 又a>0, b>0,选项B错误： :二次函数与y轴交于负半轴，且当x=0时，y=c, c<0,选项C错误： 由a>0,c<0, 得4ac<0, .-4ac>0, ,b2>0, ∴b2-4ac>0,选项D正确 4.(2026河南三门峡.二模)己知x2+x-y=1,则x+y的最小值为() A.1 B.0 C.-1 D.-2 【答案】D 【分析】由x2+x-y=1得出x+y=x2+2x-1=(x+1)2-2,利用二次函数的性质即 可得出答案。 【详解】解：，x2+x-y=1, ∴y=x2+x-1, .x+y=x2+2x-1=(x+1)2-2. .顶点坐标为(-1，-2) x+y的最小值为-2. 5.(2026黑龙江哈尔滨三模)将抛物线y=x2向左平移2个单位，再向下平移3个单位， 得到的抛物线解析式是() A.y=(x-2)2-3 B.y=(x-2)2+3 C.y=(x+2)2-3 D.y=(x+2)2+3 【答案】c 60/73 【分析】本题考查二次函数图象的平移，利用“左加右减自变量，上加下减常数项“的平移规 则计算即可得到新抛物线的解析式. 【详解】解：原抛物线解析式为y=x2 ,抛物线向左平移2个单位，根据平移规则“左加右减自变量”，得平移后解析式为y=(x+ 2)2 再将得到的抛物线向下平移3个单位，根据平移规则“上加下减常数项”，得最终解析式为y= (x+2)2-3. 6.(25-26九年级上浙江金华.期末)已知三个二次函数的图象如图所示，那么Q1,Q2,ag 的大小关系是() y=ax2 y,=a3x2 y,=a2x2 A.a1<a2<a3 B.a3<a1<a2 C.a1<a3<a2D.a3<a2<a1 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次函数的图象，抛物线开口大小与二次项系数的绝对值大小成反 比，正确记忆开口方向和大小与α的关系是解题关键 直接利用二次函数的图象开口大小和方向与α的关系进而得出答案. 【详解】解：如图所示：y=a1x2的开口向上，a1>0, y=a2x2与y=a3x2开口向下，则a2<0,a3<0, ,y=a2x2的开口大于y=a3x2开口， la2l lasl .a2>a3 .a3<a2<a1 故选：D 7.(2026广东深圳三模)当两条曲线关于某直线对称时，我们把这两条曲线叫做关于直 线的对称曲线.如果抛物线C1:y=x2-2x与抛物线C2:y=(x-h)2+b是关于y轴的对称 曲线，则h+b的值为() 61/73 A.3 B.0 C.-1 D.-2 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质与图象的轴对称变换，得出两条关于y轴对称的抛物线开口大 小方向一致，顶点关于y轴对称，先求出C1的顶点坐标，再得到对称顶点，对应得到h和b 的值，即可计算出结果 【详解】解：抛物线C1y=x2-2x与抛物线C2y=(x-h)2+b是关于y轴的对称曲线， 二者开口大小方向一致，顶点坐标关于y轴对称， 对C1配方得y=x2-2x=(x-1)2-1, “C1的顶点坐标为(1，-1)， 点(1，-1)关于y轴对称的点的坐标为(-1，-1)，即C2的顶点坐标为(-1，-1)， 又~C2的顶点式为y=(x-h)2+b,其顶点坐标为h,b), ∴.h=-1,b=-1, ·h+b=-1+(-1)=-2 8.(2026河南驻马店.三模)请写出一个满足以下条件的y关于x的二次函数表达式： ①图象经过原点；②当x>1时，y随x的增大而增大. 则这个二次函数表达式可以是 ·(写出一个即可) 【答案】y=x2-2x(答案不唯一) 【分析】二次函数的一般式为y=ax2+bx+c(a≠0)，若图象经过原点(0,0)，将x=0,y=0 代入，得0=a02+b·0+c,解得c=0,因此，函数表达式可简化为y=ax2+bx: 二次函数的增减性由开口方向和对称轴决定：当a>0时，抛物线开口向上，在对称轴右侧 y随x的增大而增大；当a<0时，抛物线开口向下，在对称轴右侧y随x的增大而减小，题目 中“x>1时y随x的增大而增大”，说明抛物线开口向上（即a>0),且对称轴需在x=1或 其左侧，对称轴公式为x=一名因此需满足-云≤1。 【详解】解：设该二次函数表达式为y=ax2+bx+c, 由题意，可知该二次函数图象开口向上（即a>0),对称轴-品≤1（即2a+b≥0）， 且c=0,则y=x2-2x满足题意.（答案不唯一，符合题意即可） 9.(2026广东江门三模)已知点A(x1,y1)、B(x2,y2)在二次函数y=(x-1)+1的图象 上，若1>x1>x2,则y12（填“>”、“<”或“=")· 【答案】< 62/73 【分析】先确定二次函数的开口方向与对称轴，再根据二次函数的增减性，结合1>x1>x2 比较y1与y2的大小. 【详解】二次函数y=(x-1)2+1中，二次项系数a=1>0,因此抛物线开口向上， 该抛物线的对称轴为直线x=1, 根据二次函数的性质，当x<1时，y随x的增大而减小， 已知1>x1>x2,所以y1<y2 10.(2026上海虹口.一模)如果抛物线y=(a-1)x2(a为常数)开口向下，那么a的取值 范围是 【答案】a<1 【分析】本题考查了二次函数的性质.根据二次函数的性质，当二次项系数小于0时，抛物 线开口向下，进行分析，即可作答. 【详解】解：，抛物线y=(a-1)x2的开口向下， .a-1<0, 解得a<1. 故答案为：a<1 11.(25-26九年级上河南周口·期末)已知二次函数y=Qx2图像经过点P(-2,3) (1)判断这个函数图像的开口方向： (2)点Q(2,m)在这个函数图像上，求的值. 【答案】(1)开口向上 (2m=3 【分析】本题考查了二次函数的性质. (1)先将点P的坐标代入二次函数解析式求出a的值，根据a的正负判断函数图像的开口方 向 (2)将点Q的坐标代入已确定的二次函数解析式，计算求出m的值. 【详解】(1)解：将点P(-2,3)代入y=ax2中 得3=a×(-2)2 即4a=3 解得a=号 因为加=}0所以这个函数图像的开口向上 63/73 (2)解：由(1)可知二次函数解析式为y=x2 将点Q2,m代入y=x中 得m=×2 解得m=3. 12.（25-26九年级上·浙江杭州期末)已知二次函数y=2x2+4x-1,将函数图象沿y轴 向上平移1个单位 (1)求平移后的函数表达式 (2)判断A(1,5)是否在平移后的函数图象上，并说明理由 【答案】(1)y=2x2+4x (2)点A(1,5)不在这个二次函数图象上，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数图象的平移、二次函数图象上点的坐标特征，正确求出函数解 析式是解此题的关键。 (1)利用函数图象的平移规则“上加下减”求解即可： (2)求出当x=1时对应的函数值，比较即可得出答案. 【详解】(1)解：将二次函数y=2x2+4x-1图象沿y轴向上平移1个单位，得到平移后 的函数表达式为y=2x2+4x-1+1,即y=2x2+4x: (2)解：点A(1,5)不在这个二次函数图象上，理由如下： 当x=1时，y=2×12+4×1=2+4=6≠5， .点A(1,5)不在这个二次函数图象上. 13.(25-26九年级上，福建泉州期末)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象上的部 分点的横坐标x,纵坐标y的对应值如下表： 2 -2 的 1 (1)二次函数图象的顶点坐标为 m= (2)求该二次函数的表达式. 【答案】(1)(-2，-3)，-2； (2)y=x2+4x+1 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，涉及对称性、顶点坐标的确定及二次函数表达式 64/73 的求解，关键是利用二次函数的对称性快速定位对称轴与顶点，再选择合适的表达式形式简 化计算. (1)通过表格中纵坐标相同的两个点，计算得到二次函数的对称轴，结合表格数据直接得 出顶点坐标：再利用对称性找到x=-1的对称点，进而求出m的值： (2)已知顶点坐标，优先选择顶点式设函数表达式，代入表格中一个已知点求解出参数a 即可 【详解】(1)解：，当x=-4时y=1,x=0时y=1, “二次函数的对称轴为直线x=二+0=一2， 2 又，x=-2时y=-3, ∴，二次函数图象的顶点坐标为(-2，-3)： x=-1与x=-3关于对称轴x=一2对称，且x=-3时y=一2， .m=-2 故答案为：(-2，-3)，-2； (2)解：设二次函数的顶点式为y=a(x+2)2-3, 将点(0,1)代入表达式得：1=a(0+2)2-3,解得a=1, .y=(x+2)2-3,即y=x2+4x+1. 14.（25-26九年级上浙江绍兴期末)已知抛物线y=x2-2bx+c(b,c为常数). (1)当b=2,c=5时， ①求该抛物线的顶点坐标. ②将该抛物线向下平移h(h>0)个单位得到的新抛物线过点(n,0),且-1≤n≤3，请求出 h的取值范围. (2)当x≤-1时，y的最小值为6：当x>-1时，y的最小值为2.求该抛物线的表达式. 【答案】(1)①(2,1)：②1≤h≤10 (2)y=x2-2x+3 【分析】本题考查二次函数的图像性质，熟练掌握二次函数的图像性质是解题的关键， (1)①将b=2,c=5代入抛物线，将其改写为顶点式，进而得到顶点坐标： ②先根据平移规律得到新抛物线的表达式，再将点(n,0)代入，得到h关于n的表达式，最 后根据n的取值范围求出h的取值范围： (2)先确定抛物线的对称轴，再结合已知条件分情况讨论，根据二次函数的单调性求出b、 65/73 c的值，进而得到抛物线的表达式. 【详解】(1)①解：当b=2,c=5时，抛物线y=x2-4x+5=(x-2)2+1, 则抛物线的顶点坐标为(2,1)； ②解：由①知抛物线y=(x-2)2+1, 将该抛物线向下平移h(h>0)个单位得到的新抛物线为：y=(x-2)+1-h, 将点(m,0)代入新抛物线得：(-2)2+1-h=0,即h=(n-2)2+1, 由于-1≤n≤3， 则当n=2时，h有最小值，最小值为1， 当n=-1时，h=(-1-2)2+1=10, 当n=3时，h=(3-2)+1=2, 因此，h的取值范围为1≤h≤10： (2)解：抛物线y=2-2bx+c开口向上，对称轴为x三-费=b, 当x≤-1时，y的最小值为6：当x>-1时，y的最小值为2， 则b>-1 即当x=-1时，y=6;x=b时，y=2, 代入指物线得忍2： 解得化-3=（舍去）· 则该抛物线的表达式为y=x2-2x+3. 15.(25-26九年级上安徽宿州期末)已知二次函数y=ax2+2ax的图象经过点(-1,1). y -6-5-4-3-2-1Q1234x -3 4 5 (1)求a的值； (2)在所给的坐标系中画出这个函数的图象， 66/73 【答案】(1)a=-1 2)见解析 【分析】本题主要考查了求二次函数的关系式，画二次函数的图象， 对于(1)，将点(-1,1)代入y=ax2+2ax,求出a值即可： 对于(2)，根据列表，描点，连线可得答案 【详解】(1)解：二次函数y=ax2+2ax的图象经过点(-1,1)， 1=a-2a, 解得a=-1: (2)解：由(1)可知函数解析式为y=-x2-2x, 列表： -3 -2 1 0 y 3 0 0 -3 描点、连线，作图如下 1-4-3 》4 16.(25-26九年级上河北张家口期末)已知抛物线y=一(x-2)2+5. (1)判断点(4,1)是否在此抛物线上. (2)若点A(1,y1),B(4,y2)在该函数图象上，试比较y1与y2的大小，并说明理由， 【答案】(1)点(4,1)在此抛物线上 (2y1>y2,见解析 【分析】本题主要考查二次函数的性质 (1)判断点是否在抛物线上，只需将点的横坐标代入抛物线解析式，看得到的纵坐标是否 与该点的纵坐标相等： 67/73 (2)比较函数值的大小，可根据抛物线的开口方向和点离对称轴的远近进行判断，即可得 出答案 【详解】(1)解：把点(4,1)代入抛物线解析式中， 当x=4时，y=-(4-2)2+5=-4+5=1, ∴点(4,1)在此抛物线上： (2)解：，抛物线y=-x-2)2+5的对称轴为直线x=2, ,a=-1<0, ∴.抛物线开口向下， ,2-1<4-2,抛物线上离对称轴越远的点函数值越大， .'y1>y2: 17.(25-26九年级上河南安阳期末)某校“数学谜题俱乐部”学习小组在研究函数y=一 2时，对函数的图象和性质进行了探究.探究过程如下： (1)x与y的几组对应值如表： 2 1 5 2 2 2 2 8 2 4 3 3 3 6 2 1 3 3 2 其中m= 自变量x的取值范围为 (2)在平面直角坐标系xOy中，描出上表中以各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函 数的图象： 6 5 3 1 4-3-2-10 12345x -2 (3)观察图象，写出该函数的两条性质： ① ② 68/73 (4)我们知道，函数y=a(x-h)2+k(a≠0，h>0,k>0)的图象是由二次函数y=ax2的 图象向右平移九个单位，再向上平移k个单位得到的.类似地，我们可以认为函数)=一子+2 的图象可由函数y=-的图象向一平移1个单位，再向上平移个单位得到： (5)根据函数图象，当y≥0时，自变量x的取值范围为 【答案】(1号，x≠-1： 2)见解析： 3)①当x<-1时，y随x的增大而增大；②函数图象是中心对称图形（答案不唯一）： 4)左，2： 5)x<-1或x≥0 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，涉及自变量取值范围、函数单调性及利用图象 解不等式，核心是掌握“左加右减，上加下减”的平移法则与反比例函数的图象特征 (1)通过代入x的具体值计算函数值得到m,根据分式分母不为0确定自变量取值范围： (2)根据给定坐标描点，再用平滑曲线分两支连接，注意避开渐近线： (3)观察图象的增减性、对称性等特征总结性质： (4)利用平移法则分析函数图象的平移过程： (5)结合函数图象与方程求解确定y≥0时x的取值范围. 【解】a解：x=别，y=会+2=2=片=号 y=-+2, .分母x+1≠0，解得x≠-1： 故答案为：：x≠-1. (2)解：在平面直角坐标系中描出点(-4)、(-3,3)、(-24)、(-三，6)、(--2) ()、(1,1)、(2,、(号入(3，)，再用平滑曲线分别连接x<-1的点和x>-1的点。 如图所示： 69/73 6 6 5 4 -2 5 -4-3-2-10 (3)解：观察图象，写出该函数的两条性质： ①当x<一1时，y随x的增大而增大： ②函数图象是中心对称图形：（答案不唯一，合理即可） (4)解：y=-后+2=名+2，根据左加右减：上加下减的平移规律，函数y=号 的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到y=一名+2的图象： 故答案为：左；2. (5)解：令y=0,则-品+2=0，解得x=0: 结合函数图象可知，当x<-1时，y>2>0:当-1<x<0时，y<0;当x≥0时，y≥0： .当y≥0时，自变量x的取值范围是x<-1或x≥0： 故答案为：x<-1或x≥0. 18.(25-26八年级下…福建泉州期末)定义：关于自变量x的函数y,对于该函数图象上任 意两点(x1y1),(x2,y2),当x1<x2时，都有y1<y2,称该函数为“增函数”，当x1<x2,时， 都有y1>y2,称该函数为“减函数” 【例题】证明：函数y=-3x(x是任意实数)是“减函数”， 证明：设x1<x2,则y1-y2=-3x1-（-3x2)=3(x2-x1), 因为x1<x2,所以x2-x1>0, 所以，y1-y2=3(x2-x1)>0 所以y1>y2,因此该函数是“减函数”. (1)根据定义可以判断函数y=2x+4(x是任意实数)是“函数”（填增”或者“减”）； (2)根据例题，请判断函数y=2x2在自变量x≥0时是“增函数”还是“减函数”；并说明此时该 函数是否存在最大值或最小值，若存在，请求出最大值或最小值，若不存在，请说明理由 70/73 【答案】(1)增 (2)函数y=2x2(x≥0)是增函数，存在最小值，最小值为0，不存在最大值，理由如下： 设0≤x1<x2,则y1-y2=2x12-2x22=2(x12-x22)=2(x1-x2)(x1+x2), 0≤x1<X2: .x1-x2<0,x1+x2>0, .y1-y2=2(x1-x2)(x1+x2)<0 y1<y2,即该函数是“增函数”"， ,y=2x2在x≥0时是“增函数”， .y随x的增大而增大， .当x=0时，y=2x2有最小值，最小值为0，并且不存在最大值. 【分析】(1)先设x1<x2,运算y1-y2=2(x1-x2),再根据x1-x2<0,推出y1-y2<0, 据题意即可判断： (2)设0≤x1<x2,运算y1-y2=2(x1-x2)(x1+x2),再根据x1-x2<0,x1+x2>0, 推出y1-y2=2(x1-x2)(x1+x2)<0,即可判断y=2x2在自变量x≥0时为增函数，最后 根据函数的性质辨别最值即可· 【详解】(1)设x1<x2,则y1-y2=2x1+4-(2x2+4)=2(x1-x2), x1<X2 .x1-x2<0, .y1-y2=2(x1-x2)<0 y1<y2,即该函数是“增函数” （2)略 19.（2026吉林.三模)在跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快 慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究.先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实 验数据进行分析，并进一步应用 【设计实验方案】如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜 轨道顶端由静止释放.从弹珠运动到A点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在 水平轨道上的运动时间t(s)、运动快慢v(cm/s)、运动路程y(cm)的数据， 71/73 v(cm/s) 个(cm) 12 160 10 140 120 8 100 6 2 28 A O4812162024s o 246810121416182022248 图1 图2 图3 【收集整理数据】 运动时间t(s) 12 16 20 … 运动快慢v(cm/s) 12 10 6 运动路程y(cm) 0 44 80 108 128 140 【数学建模探究】 (1)【猜想】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象 并猜想： ①y与t之间的关系可以近似地用 函数表示.（填：”一次”、“二次”或“反比例”） ②y与t之间的关系可以近似地用 函数表示.（填：”一次”、“二次”或“反比例”） (2)【检验】直接写出v与t,y与t之间的函数关系式. (3)【应用】当弹珠到达水平轨道上A点时，前方B点处有一辆电动小车以4Cm/s的速度向 前匀速直线运动.当t=10时，弹珠刚好追上小车，则A,B两点间的距离为 cm. 【答案】(1)图象见解析：①一次；②二次 2加与t之间的函数关系式为如=-t+12:y与1之间的函数关系式为y=-t2+12t 4 (3)55 【分析】(1)描出图象后，根据图象判断函数关系即可： (2)使用待定系数法求出解析式即可： (3)用(2)中的二次函数模型计算出弹珠运动的路程，减去同时间电动小车的运动路程即 得结果。 【详解】(1)解：图象如图所示， 72/73 v(cm/s) ◆y(cm) 1 160 10 140 120 6 8 2 40 O48121620245 024681012141618202224s 图2 图3 ①v与t之间的关系可以近似地用一次函数表示. ②y与t之间的关系可以近似地用二次函数表示。 (2)解：设v与t之间的函数关系式为v=kt+m, 把(0,12)，(4,10)代入得： ∫12=m 10=4k+m 解得： k=- m=12 ∴v与t之间的函数关系式为D=-+12, 设y与t之间的函数关系式为y=at2+bt+c, 把点(0,0)，(444)，(8,80)代入得： 0=c a=-1 4 44=16a+4b+c,解得： b=12: (80=64a+8b+c c=0 y与1之间的函数关系式为y=-2+12t: (3)解：对于y=-+12t, 当t=10时，y=-×102+12×10=95,即弹珠运动了95cm, ,前方B点处有一辆电动小车以4cm/s的速度向前匀速直线运动.当t=10时，弹珠刚好 追上小车， A,B两点间的距离为95-4×10=55cm. 73/73 第二十六章 二次函数 02讲 二次函数的图像和性质 题型归纳 【知识点1 二次函数的图像和性质 1】 【知识点2 二次函数的图像和性质 2】 【知识点3 二次函数的图像和性质 3】 【知识点4 二次函数的图像和性质 4】 【知识点5 二次函数的图像和性质 5】 【知识点6 待定系数法求二次函数解析式 6】 【题型1. 二次函数的图像和性质 7】 【题型2. 的图像和性质 8】 【题型3. 的图像和性质 10】 【题型4. 的图像和性质 11】 【题型5. 把化成顶点式 13】 【题型6. 的图像和性质 13】 【题型7. 待定系数法求二次函数解析式 14】 【题型8. 二次函数图像的平移 15】 【题型9. 二次函数图像的对称 16】 【题型10. 比较二次函数值的大小 17】 【题型11. 由二次函数的图像判断式子符号 18】 【题型12. 一次函数与二次函数图像综合判断 20】 【题型13. 二次函数中简单最值问题 21】 【巩固练习 23】 知识清单 知识点1 二次函数的图像和性质 函数解析式 图像 开口方向 向上 向下 开口大小 |越小，开口越大 顶点坐标 (0,0) (0,0) 对称轴 轴（直线） 增减性 ，随增大而增大； ，随增大而减小 ，随增大而减小； ，随增大而增大 最值 0时，最小值0 0时，最大值0 【提示】 ① 抛物线是一个轴对称图形，开口方向、对称轴、顶点通常被称为抛物线的三要素； ② ||越大，开口越小；反之，||越小，开口越大； ③ 由于抛物线关于轴对称，所以若点A在抛物线的图像上，则点A’也在抛物线的图像上. 知识点2 二次函数的图像和性质 项目 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 轴（直线） 顶点坐标 增减性 ，随增大而增大； ，随增大而减小 ，随增大而减小； ，随增大而增大 最值 0时，最小值 0时，最大值 2.二次函数与的图像之间的平移： 向上平移个单位 （1）当时， 向下平移个单位 （2）当时， 知识点3 二次函数的图像和性质 项目 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 顶点坐标 增减性 ，随增大而增大； ，随增大而减小 ，随增大而减小； ，随增大而增大 最值 时，最小值 时，最大值 2.二次函数与的图像之间的平移：向右平移个单位 （1）当时， 向左平移个单位 （2）当时， 知识点4 二次函数的图像和性质 项目 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 顶点坐标 增减性 ，随增大而增大； ，随增大而减小 ，随增大而减小； ，随增大而增大 最值 时，最小值 时，最大值 2.抛物线平移到抛物线的方法： 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到（，）处，具体平移方法如下： 向右（）或向左（）平移||个单位长度 向右（）或向左（）平移||个单位长度 向上（）或向下（）平移||个单位长度 向上（）或向下（）平移||个单位长度 向右（）或向左（）平移||个单位长度 向上（）或向下（）平移||个单位长度 知识点5 二次函数的图像和性质 1.一般式化为顶点式： ∴ 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是． 2.二次函数的图像和性质： 项目 图象 （图像参考上表，即的图像） 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 顶点坐标 增减性 ，随增大而增大； ，随增大而减小 ，随增大而减小； ，随增大而增大 最值 时，最小值 时，最大值 3.二次函数图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系： 项目 字母 字母的符号 图象的特征 开口向上 开口向下 b 对称轴在轴左侧 对称轴在轴右侧 c 图象过原点 与轴正半轴相交 与轴负半轴相交 与轴有唯一交点 与轴有两个交点 与轴没有交点 知识点6 待定系数法求二次函数解析式 1.待定系数法求二次函数解析式步骤： ①根据已知条件，设合适的二次函数解析式 给3个普通点 → 设一般式 给顶点坐标/对称轴/最值 → 设顶点式 给抛物线与x轴两个交点 → 设交点式 ②把图像经过的点的坐标代入所设解析式 点在抛物线上，则 满足函数式，代入得到含待定系数的方程。 顶点式/交点式：只需要1个额外点，得到一元一次方程，直接解； 一般式：3个点代入，得到三元一次方程组。 ③解方程（组），求出所有待定系数的值 顶点/交点式：直接解出； 一般式：消元法解三元一次方程组，算出。 ④将求出的系数代回最初设的解析式 ⑤整理化简：根据题意化简成所需形式。 题型专练 题型1. 二次函数的图像和性质 【例1】下列各点在函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 【例2】根据函数图象填空： （1）抛物线的对称轴是________，顶点坐标是________，当x________时，抛物线上的点都在x轴的上方； （2）抛物线的开口向________，除顶点外，抛物线上的点都在x轴的________方，它的顶点是抛物线上的最________点． 【例3】已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)当m为何值时，该函数图象的开口向下？ (3)当m为何值时，该函数有最小值，最小值是多少？ 【变式1】关于函数，，的图象，下列说法中不正确的是（    ） A．顶点坐标相同 B．对称轴相同 C．图象形状相同 D．最低点相同 【变式2】对于二次函数，当时，y随x的增大而（　　） A．增大 B．减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 【变式3】与抛物线形状相同，顶点相同，开口方向相反的抛物线是________． 【变式4】如图，分别对应与的函数图象，则，的大小关系______． 【变式5】已知抛物线经过点 (1)求此抛物线的函数解析式； (2)判断点是否在此抛物线上； (3)求出抛物线上纵坐标为的点的坐标． 题型2. 的图像和性质 【例1】下列关于抛物线的说法正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴为 C．顶点坐标为 D．由抛物线向上平移一个单位得到 【例2】二次函数的图象是一条______，它的对称轴为______，它的顶点坐标为______． 【例3】已知二次函数． (1)在下列坐标系中画出它的图象； (2)并指出它的图象的开口方向、顶点坐标、对称轴． 【变式1】下列函数中，y的值随x值的增大而减小的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】抛物线的顶点坐标是，且形状及开口方向与抛物线相同，则a，c的值分别为（   ） A．，2 B．， C．，2 D．， 【变式3】若抛物线（为常数）的开口向下，则的值可以是______．（写出一个即可） 【变式4】对于二次函数，当时，y的取值范围是______． 【变式5】已知二次函数． x … 0 1 2 … y … … (1)填写上表，并在下边平面直角坐标系中描出表中的点并画出函数图象． (2) 由图可知抛物线开口方向为______，对称轴为______，顶点坐标为______，当时，y随x的增大而______． (3)利用图象写出当时，y的取值范围是______． x … 0 1 2 … y … 0 3 4 3 0 … 题型3. 的图像和性质 【例1】已知抛物线，下列结论错误的是（    ） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线 C．抛物线的顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而减小 【例2】抛物线的开口_________，对称轴是_________，顶点坐标是_________，对称轴左侧，随的增大而_________． 【变式1】已知某二次函数，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，则该二次函数的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 【变式2】下列函数的图象中，与的函数图象形状一致的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】下面是三位同学对某个二次函数的描述． 甲：图像的形状、开口方向与的相同； 乙：顶点在x轴上； 丙：对称轴是直线． 请写出这个二次函数的表达式：________． 【变式4】课堂归纳 图像 开口 开口 开口 越大，开口越小 对称轴 直线 顶点 顶点是最低点 顶点是最高点 增减性 ，随的增大而增大 ，随的增大而减小 ，随的增大而减小 ，随的增大而增大 【变式5】已知函数，请在下面的网格中画出函数图象，并根据图象回答下列问题： （1）当时，求y的取值范围． （2）当时，y的取值范围是多少？ 题型4. 的图像和性质 【例1】已知二次函数（其中a是常数，且），下列叙述中正确的是（    ） A．当时，二次函数图象开口向下 B．二次函数图象与y轴的交点的坐标为 C．顶点坐标是 D．当时，顶点是二次函数图象的最低点 【例2】抛物线的开口方向是_________，顶点坐标是___________，对称轴是直线___________．当x__________时，函数y随x的增大而增大；当x__________时，函数y随x的增大而减小． 【例3】已知二次函数的解析式 (1)在直角坐标系中画出它的图象； (2)观察图象可知时，的取值范围是 ； (3)当时，观察图象直接写出函数值的取值范围． … 0 1 3 … … 0 6 … 【变式1】抛物线的顶点坐标在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】关于二次函数的最大值或最小值，下列叙述正确的是（     ） A．当时，有最大值4 B．当时，有最小值4 C．当时，有最大值4 D．当时，有最小值4 【变式3】已知抛物线（h为常数），当自变量x满足时，与其对应的函数值y的最小值是3，则h的值是______． 【变式4】二次函数，当时，随的增大而增大，写出一个符合条件的的值_______． 【变式5】已知二次函数． (1)写出函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)当x取何值时，y随x的增大而增大？ 题型5. 把化成顶点式 【例1】将二次函数化成的形式为（     ） A． B． C． D． 【例2】二次函数，用配方法化为的形式是（   ） A． B． C． D． 【变式1】把二次函数配方成的形式，结果为（    ） A． B． C． D． 【变式2】抛物线的顶点坐标是__________． 【变式3】把二次函数变形为的形式，则的值为______ ． 题型6. 的图像和性质 【例1】关于抛物线，下列说法中错误的是（   ） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴是直线 C．抛物线的顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 【例2】已知二次函数，当时，该二次函数的最小值为____________． 【变式1】若抛物线的对称轴为直线，则“”内的数为（    ） A． B．1 C． D．4 【变式2】若抛物线 与x轴的一个交点坐标为，则该抛物线与x轴的另一个交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式3】若二次函数的图象经过点，则______． 【变式4】已知二次函数． (1)请把下面的表格补充完整： x … 0 1 2 3 … … ____ 2 ___ 2 … (2)根据上表，在图中画出这个二次函数的图像． (3)根据图像，回答下列问题： ①当时，随的增大而________； ②当时，的取值范围是________． 【变式5】已知二次函数 (1)求该二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)当时，直接写出x的取值范围． 题型7. 待定系数法求二次函数解析式 【例1】已知二次函数的图象经过、、三点，求这个二次函数的解析式． 【变式1】如图，二次函数的图象经过坐标原点，与轴交于点．求此二次函数的解析式； 【变式2】已知二次函数的图象经过，两点．求二次函数解析式并试判断点是否在此函数图象上． 【变式3】已知二次函数的图象经过点，对称轴为直线，求该二次函数的表达式． 【变式4】已知抛物线经过点和及轴正半轴一点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线顶点坐标； (3)求直线解析式． 题型8. 二次函数图像的平移 【例1】将抛物线平移得到抛物线，下列叙述正确的是（   ） A．向右平移2个单位，向上平移3个单位 B．向左平移2个单位，向下平移3个单位 C．向右平移2个单位，向下平移3个单位 D．向左平移2个单位，向上平移3个单位 【例2】将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，平移后所得抛物线的表达式为________． 【例3】已知二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，与y轴的交点坐标为． (1)求该二次函数的表达式； (2)将该二次函数图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位，求平移后的二次函数的表达式． 【变式1】把抛物线向左平移2个单位长度，平移后抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 【变式2】在平面直角坐标系中，若抛物线平移后经过原点O，则平移的方式可能是（　　） A．向上平移3个单位长度 B．向下平移3个单位长度 C．向左平移3个单位长度 D．向右平移3个单位长度 【变式3】把抛物线向左平移3个单位，然后向下平移1个单位，则平移后抛物线的解析式为______． 【变式4】（1）将函数的图象向左平移个单位，使其经过坐标原点，求的值； （2）将函数的图象向上平移个单位，使其顶点落在轴上，求平移后的函数表达式． 【变式5】已知二次函数，若将该二次函数图象向上平移个单位长度，平移后的抛物线经过点，求的值． 题型9. 二次函数图像的对称 【例1】在同一坐标系中，图象与的图象关于x轴对称的函数为（   ） A． B． C． D． 【例2】求抛物线关于直线对称后所得抛物线的解析式是_______． 【变式1】与二次函数关于x轴对称的抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知抛物线与抛物线关于轴对称，那么的值是_______． 【变式3】把抛物线先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，得到抛物线． (1)试确定a，h，k的值； (2)若以x轴为对称轴，将原抛物线翻折，求所得抛物线的函数表达式． 【变式4】如图，“心形”图案是由抛物线的一部分及其关于直线的对称图形组成，点E、F是“心形”图案与其对称轴的两个交点，点A、B、C、D是该图案与坐标轴的交点，且点D的坐标为． (1)求m的值及的长； (2)求的长； (3)若点P是该图案上的一动点，点P、点Q关于直线对称，连接，求的取值范围． 题型10. 比较二次函数值的大小 【例1】已知点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【例2】已知二次函数的图像上有两点、，则与大小关系是（   ） A． B． C． D．没法确定 【例3】已知点，在抛物线上，且，则__________（填“>”“<”或“=”）． 【变式1】已知二次函数的图象上有三点，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式2】函数的图象上有三个点，分别为，，，则，，的大小关系为（   ）． A． B． C． D． 【变式3】已知二次函数图像的对称轴为直线，且经过点、，试比较大小：______．（填“>”“＜”或“＝”） 【变式4】在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上． (1)若，，求该抛物线的对称轴； (2)若时，已知点，在该抛物线上．比较，的大小，并说明理由； (3)若，已知点，，在该抛物线上．比较，，的大小，并说明理由． 题型11. 由二次函数的图像判断式子符号 【例1】如图是二次函数的图象，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【例2】二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④（m为实数）．其中正确的有______． 【变式1】对称轴为直线的抛物线，，为常数，且如图所示，下列结论正确为（    ） A． B． C．当时，随的增大而增大 D． 【变式2】如图所示的是二次函数图象的一部分，其对称轴是直线，且过点，下列说法：①；②；③；④若是抛物线上的两点，则．其中说法正确的是（     ） A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④ 【变式3】二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为，且图象经过点，下列结论：①；②；③若且，则；④若，两点都在抛物线的图象上，则．正确的有______．（填正确的序号） 题型12. 一次函数与二次函数图像综合判断 【例1】函数和函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【变式1】在同一坐标系中画出直线与抛物线，有可能是（　　） A． B． C． D． 【变式2】在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（　　） A． B． C． D． 【变式3】一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【变式4】二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 题型13. 二次函数中简单最值问题 【例1】二次函数有（   ） A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值 【例2】若二次函数有最大值7，则的值为________． 【例3】已知二次函数． (1)求二次函数图象的顶点坐标； (2)当时，函数的最大值和最小值分别为多少？ 【变式1】若二次函数的图象经过点，则函数y的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 【变式2】已知实数，满足，则的最大值为________． 【变式3】点C与点构成一个平行四边形，当取得最小值时，点C的坐标是_________________． 【变式4】已知二次函数（，为常数），当时，该函数的最大值与最小值的差是，求的值． 【变式5】学习完二次函数的性质后，某兴趣小组以一组习题为依托，开展了进一步的研究，以下是他们的研究过程． ①，②，③． 【任务一】研究增减性 （1）当时， 随的增大而增大的是 ；（填序号） 【任务二】研究对称性 （2）函数 的对称轴是 ； 【任务三】研究最值 （3）当取何值时，函数 有最小值，并写出最小值； 【任务四】研究复杂问题的最值 （4） 若 ，求的最小值． 巩固练习 1．（2026·吉林长春·一模）下列函数中，的值随的值增大而增大的是（     ） A． B． C． D． 2．（2025·广东广州·二模）已知二次函数，其顶点坐标为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·广东惠州·二模）二次函数开口向上，与轴交于负半轴，对称轴在轴左侧，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·河南三门峡·二模）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线解析式是(    ) A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·浙江金华·期末）已知三个二次函数的图象如图所示，那么，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 7．（2026·广东深圳·三模）当两条曲线关于某直线对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线的对称曲线．如果抛物线与抛物线是关于轴的对称曲线，则的值为（     ） A．3 B．0 C．1 D．2 8．（2026·河南驻马店·三模）请写出一个满足以下条件的关于的二次函数表达式： ①图象经过原点；②当时，随的增大而增大． 则这个二次函数表达式可以是_________________．（写出一个即可） 9．（2026·广东江门·三模）已知点、在二次函数的图象上，若，则___（填“”、“”或“”）． 10．（2026·上海虹口·一模）如果抛物线（为常数）开口向下，那么的取值范围是___________． 11．（25-26九年级上·河南周口·期末）已知二次函数图像经过点． (1)判断这个函数图像的开口方向； (2)点在这个函数图像上，求m的值． 12．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数，将函数图象沿轴向上平移1个单位． (1)求平移后的函数表达式． (2)判断是否在平移后的函数图象上，并说明理由． 13．（25-26九年级上·福建泉州·期末）已知二次函数()的图象上的部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： … 0 … … 1 1 … (1)二次函数图象的顶点坐标为_________，_________； (2)求该二次函数的表达式． 14．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）已知抛物线（b，c为常数）． (1)当，时， ①求该抛物线的顶点坐标． ②将该抛物线向下平移个单位得到的新抛物线过点，且，请求出h的取值范围． (2)当时，y的最小值为6；当时，y的最小值为2．求该抛物线的表达式． 15．（25-26九年级上·安徽宿州·期末）已知二次函数的图象经过点． (1)求的值； (2)在所给的坐标系中画出这个函数的图象． 0 1 0 1 0 16．（25-26九年级上·河北张家口·期末）已知抛物线． (1)判断点是否在此抛物线上． (2)若点，在该函数图象上，试比较与的大小，并说明理由． 17．（25-26九年级上·河南安阳·期末）某校“数学谜题俱乐部”学习小组在研究函数时，对函数的图象和性质进行了探究．探究过程如下： (1)与的几组对应值如表： … 1 2 3 … … 3 4 6 1 … 其中________，自变量的取值范围为________． (2)在平面直角坐标系中，描出上表中以各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象； (3)观察图象，写出该函数的两条性质： ①____________________ ②____________________ (4)我们知道，函数(，，)的图象是由二次函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位得到的．类似地，我们可以认为函数的图象可由函数的图象向________平移1个单位，再向上平移________个单位得到； (5)根据函数图象，当时，自变量的取值范围为________． 18．（25-26八年级下·福建泉州·期末）定义：关于自变量的函数，对于该函数图象上任意两点，，当时，都有，称该函数为“增函数”，当，时，都有，称该函数为“减函数”． 【例题】证明：函数 （x是任意实数）是“减函数”， 证明：设，则， 因为，所以， 所以， 所以，因此该函数是“减函数”． (1)根据定义可以判断函数（x是任意实数）是“______函数”（填“增”或者“减”）； (2)根据例题，请判断函数在自变量时是“增函数”还是“减函数”；并说明此时该函数是否存在最大值或最小值，若存在，请求出最大值或最小值，若不存在，请说明理由． 19．（2026·吉林·三模）在跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究．先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析，并进一步应用． 【设计实验方案】如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到A点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间、运动快慢、运动路程的数据． 【收集整理数据】 运动时间 0 4 8 12 16 20 … 运动快慢 12 10 8 6 4 2 … 运动路程 0 44 80 108 128 140 … 【数学建模探究】 (1)【猜想】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想： ①v与t之间的关系可以近似地用________函数表示．（填：“一次”、“二次”或“反比例”） ②y与t之间的关系可以近似地用________函数表示．（填：“一次”、“二次”或“反比例”） (2)【检验】直接写出v与t，y与t之间的函数关系式． (3)【应用】当弹珠到达水平轨道上A点时，前方B点处有一辆电动小车以的速度向前匀速直线运动．当时，弹珠刚好追上小车，则A，B两点间的距离为________． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $