5.2 二次函数的图象 同步练习 2026--2027学年北师大版九年级数学上册

北师大版（2024）九年级上册 5.2 二次函数的图象 同步练习 一、选择题 1．设二次函数y=(x-3)2-4图象的对称轴为直线l，若点M在直线l上，则点M的坐标可能是（　　） A．(1，0) B．(3，0) C．(-3，0) D．(0，-4) 2．抛物线的对称轴是（  ） A．直线 B．直线 C．轴 D．直线 3．在平面直角坐标系中，抛物线y=-（x+1）2-的顶点是（　　） A．（-1，-） B．（-1，） C．（1，-） D．（1，） 4．抛物线y=-6x2可以看作是由抛物线y=-6x2+5按下列何种变换得到（　　） A．向上平移5个单位 B．向下平移5个单位 C．向左平移5个单位 D．向右平移5个单位 5．要得到抛物线y=2(x-4)2-1，可以将抛物线y=2x2（　　） A．向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 C．向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 D．向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 6．抛物线的对称轴是（ ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 7．抛物线y=x2-2的顶点坐标是（  ） A．（-2，0） B．（2，0） C．（0，2） D．（0，-2） 8．下列说法正确的是 （      ） A．函数y＝x2的图象上的点，其纵坐标的值随x值的增大而增大 B．函数y＝－x2的图象上的点，其纵坐标的值随x值的增大而增大 C．抛物线y＝x2与y＝－x2开口方向不同，其对称轴都是y轴，且y值都随x值的增大而增大 D．当x<0时，函数y＝x2，y的值随x值的增大的变化情况与当x>0时，函数y＝－x2，y的值随x值的增大的变化情况相同 9．对于抛物线，下列结论不正确的是（ ） A．对称轴是轴 B．与轴没有交点 C．有最小值 D．当时，随增大而增大 10．如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若A，C两点的横坐标分别为，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 11．在同一坐标系中，一次函数y=-mx+n2与二次函数y=x2+m的图象可能是（　　） A． B． C． D． 12．如图，若抛物线与直线围成的封闭图形内部有k个整点（不包括边界），则k的值为（ ） A．2 B．4 C．5 D．6 二、填空题 13．已知点，在抛物线上，且，则  __________ （填“”、“”或“”）． 14．如果某抛物线开口方向与抛物线的开口方向相同，那么该抛物线有最  __________ 点（填“高”或“低”）． 15．抛物线的顶点坐标为  __________ ． 16．如图，在平面直角坐标系中，点C是抛物线y=a（x-3）2+k与y轴的交点，点B是这条抛物线上另一点，且BC∥x轴，以CB为边向上作等边三角形ABC，BC边上的高AD交抛物线于点E，则阴影部分图形的面积为__________. 17．如图，平行于x轴的直线与两条抛物线和（）相交于点A，B，C，D．若，，，则h的值为  __________ ． 三、解答题 18．已知点M(－2，m)在抛物线y＝－x2上，过点M作MN∥x轴，交抛物线于另一点N，求△MON的面积. 19．把二次函数y=a（x-h）2+k的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y=（x+1）2-1的图象． (1) 试确定a、h、k的值； (2) 指出二次函数y=a（x-h）2+k的开口方向、对称轴和顶点坐标． 20．确定下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标． ①y=； ②y=﹣3(x+3)2+2； ③y=2(x﹣3)2+4； ④y=． 21．【项目主题】 某研学小组在研究拱桥的过程中发现拱桥的轮廓线（图中的桥下沿虚线部分）为抛物线或圆弧，于是他们根据所学知识分组测量数据来确定某一拱桥的轮廓线，并解决相关问题． 【实验操作】 如图1，第一小组在线段的垂直平分线与轮廓线的最高点的交点处通过测量获得以下数据（单位：米）： 小组 线段1 线段2 线段3 第一小组 (1) 任务：请根据第一小组的数据求的度数． 【建立模型】 如图2，第二小组在轮廓线段上选取点（不与、重合），在河边和处分别测量点的仰角，测量获得以下数据： 小组 测仰角 测仰角 第二小组 (2) 任务：根据所获得的数据，判断该拱桥轮廓线是抛物线还是圆弧，请说明理由． 如果轮廓线是圆弧，请求出圆的半径；如果轮廓线是抛物线，请建立适当的直角坐标系求抛物线的解析式． 【解决问题】 (3) 任务：由于安全通行需要，现需要在拱桥上安装倒型的限高杆（如图中虚线部分），若横杆长度和竖杆长度之比为，那么此时横向限高杆离水面的距离为多少米？（限高杆的宽度忽略不计） (4) 任务：在平面内，把一个图形上的任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值称为这两个图形的距离．为了美观，在距离点处米的地面、处分别安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图4所示，光线交汇点在点的正上方，求光线与拱桥之间的距离． 22．在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴相交于点 ，点 与点 是关于点 的对称点．过点 的直线 （其中 ）与 轴相交于点 ，过点 作直线 平行于 轴， 是直线 上一点，且 ． (1) 在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴相交于点 ，点 与点 是关于点 的对称点．过点 的直线 （其中 ）与 轴相交于点 ，过点 作直线 平行于 轴， 是直线 上一点，且 ． （1）填空：点 的坐标为 ；点 的坐标为（用含 的式子表示）； (2) 求线段 的长（用含 的式子表示）； (3) 点 是否一定在抛物线上？说明理由． 北师大版（2024）九年级上册 5.2 二次函数的图象 同步练习（参考答案） 一、选择题 1．设二次函数y=(x-3)2-4图象的对称轴为直线l，若点M在直线l上，则点M的坐标可能是（　　） A．(1，0) B．(3，0) C．(-3，0) D．(0，-4) 【答案】B 【解析】∵二次函数y=(x-3)2-4图象的对称轴为直线x=3，∴直线l上所有点的横坐标都是3， ∵点M在直线l上，∴点M的横坐标为3． 故选：B. 2．抛物线的对称轴是（  ） A．直线 B．直线 C．轴 D．直线 【答案】C 【解析】解：根据对称轴公式，又，可得对称轴为直线，即对称轴为轴． 故选：． 3．在平面直角坐标系中，抛物线y=-（x+1）2-的顶点是（　　） A．（-1，-） B．（-1，） C．（1，-） D．（1，） 【答案】A 【解析】解：∵抛物线的解析式为y=-（x+1）2-， ∴该抛物线的顶点坐标为（-1，-）． 4．抛物线y=-6x2可以看作是由抛物线y=-6x2+5按下列何种变换得到（　　） A．向上平移5个单位 B．向下平移5个单位 C．向左平移5个单位 D．向右平移5个单位 【答案】B 【解析】解：∵y=-6x2+5的顶点坐标为（0，5）， 而抛物线y=-6x2的顶点坐标为（0，0）， ∴把抛物线y=-6x2+5向下平移5个单位可得到抛物线y=-6x2． 5．要得到抛物线y=2(x-4)2-1，可以将抛物线y=2x2（　　） A．向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 C．向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 D．向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 【答案】D 【解析】∵y=2(x-4)2-1的顶点坐标为(4，-1)，y=2x2的顶点坐标为(0，0)， ∴将抛物线y=2x2向右平移4个单位，再向下平移1个单位，可得到抛物线y=2(x-4)2-1． 故选：D. 6．抛物线的对称轴是（ ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】B 【解析】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 故选：B． 7．抛物线y=x2-2的顶点坐标是（  ） A．（-2，0） B．（2，0） C．（0，2） D．（0，-2） 【答案】D 【解析】解：∵y=x2-2， ∴抛物线的顶点坐标为（0，-2）， 故选：D． 8．下列说法正确的是 （      ） A．函数y＝x2的图象上的点，其纵坐标的值随x值的增大而增大 B．函数y＝－x2的图象上的点，其纵坐标的值随x值的增大而增大 C．抛物线y＝x2与y＝－x2开口方向不同，其对称轴都是y轴，且y值都随x值的增大而增大 D．当x<0时，函数y＝x2，y的值随x值的增大的变化情况与当x>0时，函数y＝－x2，y的值随x值的增大的变化情况相同 【答案】D 【解析】∵y＝x2的图象开口向上，对称轴为y轴， ∴当x<0时，y随x的增大而减小，当x>0时，y随x的增大而增大， ∵y＝－x2的图象开口向下，对称轴为y轴， ∴当x<0时，y随x的增大而增大，当x>0时，y随x的增大而减小. ∴A，B，C选项错误，不符合题意，D选项正确，符合题意. 9．对于抛物线，下列结论不正确的是（ ） A．对称轴是轴 B．与轴没有交点 C．有最小值 D．当时，随增大而增大 【答案】B 【解析】解：∵ 抛物线，， ∴ 对称轴，即y轴，A正确，不符合题意； 令，得，解得，故与x轴有两个交点，B错误，符合题意； ∵，对称轴，且时，， 抛物线的顶点为，故抛物线有最小值，C正确，不符合题意； ∵，对称轴， ∴ 当时，y随x增大而增大， 故当时，随增大而增大，故D正确，不符合题意． 故选：B． 10．如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若A，C两点的横坐标分别为，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为和， 将，两点的横坐标代入函数解析式得， 点坐标为，点坐标为， 所以，，，． 因为四边形是正方形， 所以，， 所以， 所以． 在和中， ， 所以， 所以，， 所以， 又因为， 所以， 即， 因为， 所以， 所以． 故选：B． 11．在同一坐标系中，一次函数y=-mx+n2与二次函数y=x2+m的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：A．由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，n2＜0，错误； B．由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，m＞0，由直线可知，-m＜0，错误； C．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，-m＜0，错误； D．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，-m＞0，正确． 12．如图，若抛物线与直线围成的封闭图形内部有k个整点（不包括边界），则k的值为（ ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】解：令， 解得：，， 抛物线与直线围成的封闭图形（不包括边界）的的取值范围为：， 的整数解为：，，， 当时，，， 满足条件的整点为一个点； 当时，，， 满足条件的整点为，两个点； 当时，，， 满足条件的整点为，两个点； 满足条件的整点共个，故， 即：的值为， 故选：． 二、填空题 13．已知点，在抛物线上，且，则  __________ （填“”、“”或“”）． 【答案】 【解析】解：的对称轴为y轴， ∵， ∴开口向下，当时， y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故答案为：． 14．如果某抛物线开口方向与抛物线的开口方向相同，那么该抛物线有最  __________ 点（填“高”或“低”）． 【答案】高 【解析】解：∵抛物线开口方向与抛物线的开口方向相同，在抛物线中，， ∴抛物线的开口向下， ∴该抛物线有最高点， 故答案为：高． 15．抛物线的顶点坐标为  __________ ． 【答案】 【解析】解：抛物线的顶点为， ∴抛物线的顶点坐标是． 故答案为：． 16．如图，在平面直角坐标系中，点C是抛物线y=a（x-3）2+k与y轴的交点，点B是这条抛物线上另一点，且BC∥x轴，以CB为边向上作等边三角形ABC，BC边上的高AD交抛物线于点E，则阴影部分图形的面积为__________. 【答案】 【解析】解：根据抛物线y=a（x-3）2+k得BC=2×3=6， ∵△ABC是等边三角形，∴AD=3， 根据二次函数图象的对称性得S阴影=S△ABD=×3×3=. 17．如图，平行于x轴的直线与两条抛物线和（）相交于点A，B，C，D．若，，，则h的值为  __________ ． 【答案】 【解析】解：分别作出两抛物线的对称轴交于、，令直线交轴于， ∵平行于x轴的直线与两条抛物线和（）相交于点A，B，C，D． ∴抛物线的对称轴为直线，即， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线，即， 故答案为：． 三、解答题 18．已知点M(－2，m)在抛物线y＝－x2上，过点M作MN∥x轴，交抛物线于另一点N，求△MON的面积. 【答案】解　∵点M(－2，m)在抛物线y＝－x2上， ∴m＝－4， ∴M(－2，－4)， ∵过点M作MN∥x轴，交抛物线于另一点N， ∴由抛物线的对称性可知，N(2，－4)， ∴MN＝4， ∴△MON的面积＝×4×4＝8. 19．把二次函数y=a（x-h）2+k的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y=（x+1）2-1的图象． (1) 试确定a、h、k的值； (2) 指出二次函数y=a（x-h）2+k的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】解： (1) 二次函数y=（x+1）2-1的图象的顶点坐标为（-1，-1），把点（-1，-1）先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到点的坐标为（1，-5）， 所以原二次函数的解析式为y=（x-1）2-5， 所以a=，h=1，k=-5； (2) 二次函数y=a（x-h）2+k，即y=（x-1）2-5的开口向上，对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，-5）． 20．确定下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标． ①y=； ②y=﹣3(x+3)2+2； ③y=2(x﹣3)2+4； ④y=． 【答案】解：①y=，开口向上，对称轴为x=2，顶点坐标为(2，﹣1). ②y=﹣3(x+3)2+2，开口向下，对称轴为x=﹣3，顶点坐标为(﹣3，2). ③y=2(x﹣3)2+4，开口向上，对称轴为x=3，顶点坐标为(3，4). ④y=，开口向下，对称轴为x=﹣1，顶点坐标为(﹣1，﹣6)． 21．【项目主题】 某研学小组在研究拱桥的过程中发现拱桥的轮廓线（图中的桥下沿虚线部分）为抛物线或圆弧，于是他们根据所学知识分组测量数据来确定某一拱桥的轮廓线，并解决相关问题． 【实验操作】 如图1，第一小组在线段的垂直平分线与轮廓线的最高点的交点处通过测量获得以下数据（单位：米）： 小组 线段1 线段2 线段3 第一小组 (1) 任务：请根据第一小组的数据求的度数． 【建立模型】 如图2，第二小组在轮廓线段上选取点（不与、重合），在河边和处分别测量点的仰角，测量获得以下数据： 小组 测仰角 测仰角 第二小组 (2) 任务：根据所获得的数据，判断该拱桥轮廓线是抛物线还是圆弧，请说明理由． 如果轮廓线是圆弧，请求出圆的半径；如果轮廓线是抛物线，请建立适当的直角坐标系求抛物线的解析式． 【解决问题】 (3) 任务：由于安全通行需要，现需要在拱桥上安装倒型的限高杆（如图中虚线部分），若横杆长度和竖杆长度之比为，那么此时横向限高杆离水面的距离为多少米？（限高杆的宽度忽略不计） (4) 任务：在平面内，把一个图形上的任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值称为这两个图形的距离．为了美观，在距离点处米的地面、处分别安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图4所示，光线交汇点在点的正上方，求光线与拱桥之间的距离． 【答案】(1) 解：∵垂直平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． (2) 解：假设该拱桥轮廓线是圆弧， 在图1中，设圆心为，设圆的半径为，连接、， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 解得； ∴， 在图2中，设圆心为设圆的半径为，连接、、， 则， 则劣弧所对圆心角度数为， 即， 则， ∴拱桥的轮廓线不是圆弧，应为抛物线： 如图，以为轴，的垂直平分线为轴建立如下的坐标系， 则点、， 设抛物线的表达式为， 将点的坐标代入上式得， 解得， 则抛物线的表达式为； (3) 解：如图，设横杆长度和竖杆长度分别为、， 则点， 将点的坐标代入得， 解得或（舍去）， ∴（米） ∴横向限高杆离水面距离为米． (4) 解：作直线的平行线，使它与抛物线相切（此时抛物线与直线只有一个交点）， 交轴于点，过点，作，垂足为，如图所示， ， 设直线的解析式为， 联立直线与抛物线解析式， 整理得， 直线与抛物线相切， 方程有两个相等的实数根， ， 解得， 直线的解析式为， 令，解得， ， ， 射灯射出的光线与地面成角， ， 光线与抛物线之间的最小距离为米． 22．在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴相交于点 ，点 与点 是关于点 的对称点．过点 的直线 （其中 ）与 轴相交于点 ，过点 作直线 平行于 轴， 是直线 上一点，且 ． (1) 在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴相交于点 ，点 与点 是关于点 的对称点．过点 的直线 （其中 ）与 轴相交于点 ，过点 作直线 平行于 轴， 是直线 上一点，且 ． （1）填空：点 的坐标为 ；点 的坐标为（用含 的式子表示）； (2) 求线段 的长（用含 的式子表示）； (3) 点 是否一定在抛物线上？说明理由． 【答案】(1) 的顶点 的坐标为 ，)， 原点 关于点 的对称点 的坐标为 ，)， 点坐标为 ，)， 直线解析式为 ，令 ， 解得：， ． 点坐标为 ，0)， 故答案为：，)；，0)； (2) ， 点 只能在 轴上方， 如图1，过点 作 于点 ，设 , 则 ，， ， 在 中，由勾股定理可得 ，即 ， 解得：+． +； (3) 点 一定在抛物线上，理由如下： ， 点 坐标为 ， +)． 当 时，代入抛物线解析式可得：+， 点 在抛物线上． 学科网（北京）股份有限公司 $