5.2 二次函数的图象 课后巩固卷 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 北师大版九年级数学“二次函数的图象”同步练，通过基础巩固、综合应用、探究拓展三层设计，覆盖从概念理解到图象分析的完整路径，培养运算能力与几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|二次函数基本概念（点坐标、对称轴、顶点式）|单选1-5题、填空11-13题，直接应用公式，强化概念记忆| |提升层|图象平移、性质综合（增减性、系数符号）|单选6-8题、填空14-15题，结合图象分析，培养推理意识| |拓展层|多知识点融合（表格数据、方程根的个数）|单选9-10题、解答20题，开放探究设计，发展创新意识|

5.2 二次函数的图象 课后巩固卷2026-2027学年北师大版 九年级数学上册 一、单选题 1．函数的图象不经过下列中的点（    ） A． B． C． D． 2．抛物线的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 3．将二次函数化为的形式，正确的结果是（    ） A． B． C． D． 4．已知抛物线过、两点，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 5．下列关于抛物线的说法，正确的是（    ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，随的增大而减小 6．将抛物线向右平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是（     ） A． B． C． D． 7．如图是抛物线的示意图，则的值可以是（     ） A．0 B．2 C． D． 8．函数与在同一个平面直角坐标系中的大致图象可以是（   ） A． B． C． D． 9．已知抛物线上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： … … … … 若点，，都在抛物线上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 10．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，且经过点.下列说法：①；②；③；④若是抛物线上的两点，则；⑤对任意实数，都有（其中）其中正确的结论有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 11．已知抛物线，该函数有最______值为______． 12．二次函数的图象开口向___________．（填“上”或“下”） 13．写出一个开口向上、顶点是的抛物线解析式为________（写出一个即可）． 14．在二次函数中，若时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是______． 15．如图，二次函数的图像与x轴相交于A、B两点，点A在点B左侧，顶点在的边上移动，轴，轴，M点坐标为，，．若在抛物线移动过程中，点B横坐标的最大值为3，则的最大值是_____________． 三、解答题 16．已知抛物线． (1)通过配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴； (2)当x取何值时，函数有最大值还是最小值？并求出这个最值． 17．在同一坐标系中画出和的图象，并说出它们的关系，对称轴和顶点坐标． 18．把抛物线y＝ax2+bx+c向左平移2个单位，同时向下平移1个单位后，恰好与抛物线y＝2x2+4x+1重合，请求出a、b、c的值． 19．在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数，的图象．    (1)分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标； (2)抛物线可由抛物线向______平移______个单位长度得到． 20．某班数学小组对函数的图象和性质进行了探究． 探究过程  （1）根据自变量x的取值范围是全体实数，列表写出了x与y的部分对应值： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 5 0 0 0 5 … （2）根据上表数据，在平面直角坐标系中描点、连线，画函数图象． 探究应用根据探究过程，解决下列问题． (1)请在平面直角坐标系中，画出该函数的图象； (2)直接写出a，b的值； (3)该函数的对称轴是______；当时，y随x的增大而______（填“增大”或“减小”）； (4)关于x的方程有四个实数根，直接写出m的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B C D B B C C B 1．【答案】D 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数图象上的点，明确点的坐标满足函数解析式是解题的关键． 通过将各点的x坐标代入函数解析式，计算对应的y值，与给定y值比较，判断点是否在图象上． 【详解】解：∵ 函数解析式为 ， A ：，当时，，点在图象上，此选项不符合题意； B：，当时，，点在图象上，此选项不符合题意； C：，当时，，与给定y值一致，点在图象上，此选项不符合题意； D：，当时，，点不在图象上，此选项符合题意． 故选：D． 2．【答案】A 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】根据题目中的函数解析式，直接可以写出对称轴即可； 本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 【详解】解：抛物线解析式为： 该抛物线的对称轴是直线， 故选：A． 3．【答案】B 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题考查的是二次函数的顶点式，熟练掌握配方法是解题的关键．根据配方法把原式变形，把一般式化为顶点式即可． 【详解】解： ， 故选：B． 4．【答案】C 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：点在二次函数图象上，则点的横纵坐标满足二次函数的解析式． 由于抛物线过、两点，则把、分别代入得，，然后计算即可得到与的大小关系． 【详解】解：把、分别代入得， ， ∴ ， ∴， ∴，即． 故选C． 5．【答案】D 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查二次函数顶点式的性质，需根据的性质分析开口方向、对称轴、顶点坐标及增减性求解即可 【详解】解：∵抛物线解析式为，其中，， ∴抛物线开口向上，故A错误． 对称轴为直线，故B错误． 顶点坐标为，故C错误． ∵，抛物线开口向上，对称轴为 ∴当时，随的增大而减小． 又∵包含在的范围内 ∴时，随的增大而减小，故D正确． 故选：D． 6．【答案】B 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】根据二次函数图象的平移法则：左加右减，上加下减，即可得出结果． 【详解】解：将抛物线向右平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是． 7．【答案】B 【知识点】二次函数图象与各项系数符号 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴ ∴的值可以是2． 8．【答案】C 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题主要考查了二次函数和一次函数的图象判断．根据一次函数的图象和二次函数的图象分别得出和的符号，比较即可求解． 【详解】解：当时，，函数经过原点，故A不符合题意； B、对于，则，， 而对于的对称轴，开口向上，则，故B不符合题意； C、对于，则，， 而对于的对称轴，开口向下，则，故C符合题意； 同理，D不符合题意； 故选：C． 9．【答案】C 【知识点】已知抛物线上对称的两点求对称轴、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，比较二次函数的函数值，通过表格确定函数的对称轴和增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵由表格可知，抛物线经过点，， ∴对称轴为直线， ∴由表格可知，顶点坐标为， ∵， ∴抛物线的开口向下， ∴函数图象上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵，，，， ∴ 故选：C． 10．【答案】B 【知识点】根据二次函数的对称性求函数值、二次函数图象与各项系数符号、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质，从图象中获取正确的信息是解题的关键． 图象可知，，，当时，随着的增大而增大，则，即，可判断①的正误；由轴对称的性质可知，图象经过，当时，，可判断②的正误；当时，，可判断③的正误；由关于对称轴对称的点坐标为，可知，可判断④的正误；由题意知，当时，，即，进而可得，可判断⑤的正误． 【详解】解：由图象可知，，，当时，随着的增大而增大， ∴， ∴，①错误，故不符合要求； ∴， 由轴对称的性质可知，图象经过， 当时，，②正确，故符合要求； 当时，，③正确，故符合要求； ∵关于对称轴对称的点坐标为， ∴，④错误，故不符合要求； 由题意知，当时，， ∴， ∴，即，⑤正确，故符合要求； 故选：B． 11．【答案】 最小 【知识点】y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，把解析式化为顶点式即可得到答案． 【详解】解：， ∵， ∴当，即时，函数有最小值，最小值为， 故答案为：最小；． 12．【答案】下 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】根据二次函数的性质即可得到二次函数图象的开口方向； 【详解】解：∵二次函数中，， ∴二次函数的图象开口向下； 13．【答案】 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查求函数解析式，根据抛物线的顶点坐标，可设解析式为顶点式，由开口向上可知，取即可得到解析式． 【详解】解：由题意，抛物线的顶点为，且开口向上，因此可设其解析式为，其中．取，得解析式为． 故答案为：（答案不唯一）． 14．【答案】 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】此题考查了二次函数的性质， 根据二次函数的性质，由于抛物线开口向上，在对称轴左侧函数递减．因此，要使时y随x增大而减小，需对称轴在右侧或重合． 【详解】∵中二次项系数为 ∴图象开口向上， ∵对称轴为直线． ∴当时，y随x的增大而减小 ∵当时，y随x的增大而减小， ∴． 故答案为：． 15．【答案】23 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】先求出N，R的坐标，观察图形可知，当顶点在R处时，点B的横坐标为3，由此求出a值，当时，当顶点在M处时取最大值，据此可解． 【详解】解：，，， ，， 由题意可知，当顶点在R处时，点B的横坐标为3， 则抛物线的解析式为， 将点B坐标代入上式得，， 解得，， 当时，， 观察图形可知，顶点在M处时，取最大值， 此时抛物线的解析式为：， 将代入得，． 16．【答案】(1)，； (2)当时，函数有最大值，最大值是． 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟记二次函数的性质是解题的关键． （1）利用配方法把二次函数解析式化为顶点式，即可得到答案； （2）根据二次函数的顶点式即可得到结果． 【详解】（1）解：∵抛物线 ∴该抛物线的顶点坐标是，对称轴是直线； （2）解：∵抛物线解析式 ∴抛物线开口向下， ∴当时，函数有最大值，最大值是． 17．【答案】 如图： 的图象向上平移1个单位得的函数图象； 的对称轴是y轴，顶点坐标是； 的对称轴是y轴，顶点坐标是． 【知识点】二次函数图象的平移、y=ax²的图象和性质、y=ax²+k的图象和性质、画y=ax²+bx+c的图象 【分析】本题考查了画二次函数的图象，二次函数的平移性质，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先求出函数经过点；函数经过点；再描点，然后依次用光滑的曲线连接，得出它们的图象，然后结合平移的性质以及函数图象性质，进行分析，即可作答． 【详解】解：令时，则，； 令时，则，； 令时，则，； 即函数经过点； 即函数经过点； 再描点，然后依次用光滑的曲线连接 18．【答案】a＝2，b＝﹣4，c＝2 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】此题可以逆推：将函数y＝2x2+4x+1的图象，先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到抛物线y＝ax2+bx+c，进而可得a、b、c的值． 【详解】解：∵y＝2x2+4x+1＝2（x+1）2﹣1， 当y＝2x2+4x+1向右平移2个单位，再向上平移1个单位后，可得抛物线y＝ax2+bx+c的图象， ∴y＝2（x+1﹣2）2﹣1+1＝2x2﹣4x+2， ∴a＝2，b＝﹣4，c＝2． 【点睛】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式． 19．【答案】(1) 如图所示：   ，开口向下、对称轴为：轴，顶点坐标为： ，开口向下、对称轴为：轴，顶点坐标为：； (2)上，3 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】（1）直接利用二次函数的性质以及与的关系分析得出答案； （2）直接利用二次函数的性质以及与的图象特点分析即可． 【详解】（1）略 （2）解：函数与函数的图象形状完全相同，开口方向相同， 相当于向上平移3个单位得到． 故答案为：上；． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的图象，正确把握二次函数的性质是解题关键． 20．【答案】(1) 函数图象如图： (2)， (3)直线，减小 (4) 【知识点】从函数的图象获取信息、用描点法画函数图象、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标、分段函数的图象，准确画出函数的图象并灵活运用函数图象得到函数的性质成为解答本题的关键． （1）根据表格已有数据、描点、连线即可得到函数图象； （2）根据待定系数法求解即可． （3）根据函数图象即可解答； （4）根据函数图像得到函数的性质，再运用性质解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：将分别代入， 得， 解得：，； （3）解：根据（1）中图象可得，该函数的对称轴是直线；当时，y随x的增大而减小； （4）解：∵关于x的方程有四个实数根， ∴函数与函数的函数图象有四个不同的交点， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $