专题04 直线与圆、圆与圆的位置关系（期中真题汇编，浙江专用）高二数学上学期

专题04 直线与圆、圆与圆的位置关系 考点01 直线与圆、圆与圆的位置关系 考点01 直线与圆、圆与圆的位置关系 1．B 2．B 3．C 4．C 5．D 6．C 7．C 8．C 9．B 10．ABD 11．C 12．A 13．BCD 14．A 15．A 16．A 17．BCD 18．D 19．ABD 20．ACD 21．ABC 22．D 23．AB 24．ABD 25．ACD 26．【答案】（1）或     （2）      【分析】 （1）当直线的斜率不存在时，画图即可求出此时的切线方程，当切线的斜率存在时设出直线的方程利用点到直线的距离公式即可求解； （2）利用点到直线的距离公式求出圆心到直线AB的距离，则点P到直线AB的距离的最小值为圆心到直线AB的距离减半径，故利用三角形面积公式即可求出△面积的最小值. (1) 小问详解： ① 圆的圆心，半径， 当直线l的斜率不存在时，l的方程为，易知此直线与圆C相切，符合题意； ② 当直线l的斜率存在时，设l的方程为，即． 因为直线l与圆C相切，所以圆心到直线的距离， 则，解得， 所以直线l的方程为，即． 综上，直线l的方程为或． (2) 小问详解： 由题意，得，直线AB的方程为， 则圆心到直线AB的距离， ∴点P到直线AB的距离的最小值为， ∴△的面积的最小值为． 27．【答案】1 【分析】 利用圆的弦长公式求得圆心到直线的距离，进而可得答案. 【详解】 圆  的方程为：， 化为标准式得：， 因此，圆 的圆心为 ，半径为 2， 弦长公式为：，为圆心到直线的距离， 把代入得： ， 解得：. 因此，直线通过圆心 . 即： 解得：. 故答案为：1 28．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）设，由题意，利用两点间的距离公式即可求解； （2）先求出圆心到直线的距离，然后根据弦长公式即可求解. (1) 小问详解： 设，因为，满足，即， 即，整理得， 所以曲线的轨迹方程为. (2) 小问详解： 圆心到直线的距离， 所以. 29．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）建立平面直角坐标系，设，由求解； （2）设出C为圆心的圆的方程，由两圆内含或内切求解. (1) 小问详解： 建立如图所示平面直角坐标系： 设，则， 因为， 所以，化简得， 成功点的轨迹方程为； (2) 小问详解： 由（1）知：， 设以C为圆心的圆的方程为， 因为信号覆盖追踪机器犬被捕获的过程，即覆盖成功点， 所以两圆内含或内切， 所以，解得， 所以信号范围至少为米. 30．【答案】（1）或     （2）      【分析】 （1）分直线斜率存在和不存在，利用点到直线的距离公式可得答案； （2）圆心到直线的距离、弦长的一半、圆的半径利用勾股定理可得答案.. (1) 小问详解： 当直线斜率存在时，设直线， 即， 圆心到直线的距离为， 解得， 此时直线方程为， 当直线斜率不存在时，直线方程为，此时直线与圆相切， 综上，所求直线方程为或. (2) 小问详解： 记圆心到直线的距离为，则， 又弦长为，圆的半径为2，则， 解得，所以. 31．【答案】（1）；     （2）      【分析】 （1）根据切线长计算公式即可得到答案； （2）转化为两圆相交即可得到不等式组，解出即可. (1) 小问详解： 由题可知，圆心， 过点作圆的切线，则切线长为， 又， 所以切线长为． (2) 小问详解： 圆的圆心坐标为，半径， 圆的半径， 又因为两圆有两条公切线，所以两圆相交， 所以，即， 解得． 32．【答案】（1）     （2） 因为，所以四点共圆， 且圆心为即，半径为， 所以过四点的圆的方程为，即， 因为直线为圆与圆的公共弦所在的直线， 所以两圆方程相减可得直线的方程为，显然当时， 所以直线过定点.     （3）      【分析】 （1）将四边形的面积表示为，根据的最小值可求结果； （2）根据四点共圆求解出过四点的圆，然后由公共弦所在直线的方程的求法可求直线的方程，据此可证明过定点； （3）设出切线方程，根据相切关系可得的韦达定理形式，表示出并根据的韦达定理形式化简，由此可求. (1) 小问详解： 连接，，圆的标准方程为，故半径为，圆心， 所以， 若要使得四边形的面积最小，则只需最小， 当在轴上时，显然， . (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 设过点的切线为，即， 所以圆心到切线距离，即， 设，的斜率为，，所以，， 在中令，则有， 所以， 当且仅当时取等号， 所以. 33．【答案】（1）或     （2）      【分析】 （1）根据直线与圆的位置关系，判断出弦心距，根据点到直线距离公式，求出结果即可. （2）根据向量运算的坐标表示，以及向量模长的坐标表示，列出方程，求出结果即可. (1) 小问详解： 由题意可得，可知圆心，半径为， 当时，可知，此时圆心到直线的距离为，如图所示， 可知当直线斜率不存在时，直线方程为，圆心到直线距离为1，符合条件； 当直线斜率存在时，设直线方程为， 此时圆心到直线距离为，化简得， 解得，此时直线方程为， 综上所述，直线方程为或. (2) 小问详解： 设点，已知，则， 则 由得，化简得， 可得点的轨迹方程为. 34．【答案】（1）；（2）2， . 【分析】 （1）设出圆心坐标和半径，由待定系数法即可得圆的方程. （2）由题意利用圆的几何性质将原问题进行等价转化，然后结合点到直线的距离公式即可求得最终结果. 【详解】 （1）根据题意，设圆的圆心为，半径为， 则有 ，解可得，，； 故要求圆的方程为； （2）根据题意，而， 当最小时，的最小 而的最小值为点到直线的距离，则的最小值为 ； 故的最小值为2， 四边形的面积， 故此时四边形面积为. 【点睛】 本题主要考查了圆的方程的求解，求某一动点所作圆的切线的最小值，以及切线与半径所围成的四边形面积的最小值，属于中档题. 35．【答案】15 【分析】 根据圆的切线性质，可得圆的半径，根据对数函数的性质求得定点坐标，再根据弦长公式以及基本不等式，可得答案. 【详解】 由原点到直线的距离，则圆的半径， 由，则，即， 由题意作，，分别垂足为，如下图： 易知四边形为矩形，则， 易知四边形的面积 ， 当且仅当，等号成立. 故答案为：. 36．【答案】（1）     （2）或     （3）过定点，      【分析】 （1）直接法求轨迹，设，代入坐标化简即可； （2）待定系数法求直线方程，设出直线方程，直线与圆相交弦长问题转化为弦心距，半弦长，半径构成的直角三角形勾股定理问题，解方程即可求得； （3）设，用表示出切点弦方程，根据方程可知过定点． (1) 小问详解： 设，则由可得， 即， 则点P的轨迹方程为：； (2) 小问详解： 易知，直线l的斜率不存在时，直线与圆相离，不满足题意； 故直线l存在斜率，设直线l为， 则点到直线l的距离为 则 则 所以或 直线l为或 (3) 小问详解： 设，则以为直径的圆的圆心为， 记，半径为， 则此圆的方程为， 即，记此圆为圆P. 因为直线为圆C与圆P的相交弦所在直线， 所以两圆方程作差可得直线FG的方程为， 即. 由 ，解得 所以直线恒过定点，定点坐标为. 37．【答案】（1）或     （2）      【分析】 （1）分析直线斜率存在，设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径建立方程，求解斜率即可得解； （2）根据几何关系得，，，四点共圆，该圆也是的外接圆，利用为直径求出圆心和半径，即可求解圆的方程. (1) 小问详解： 当直线斜率不存在时，，圆心到直线的距离为， 故直线斜率存在，设直线，即， 设圆心到直线的距离为， 由与圆相切，则，故有，平方化简得，解得， 则直线的方程为或. (2) 小问详解： 由题意，，故，，，四点共圆且以为直径， 该圆也是的外接圆，又和， 故外接圆的圆心为，， 所以外接圆的方程为. 38．【答案】（1）或     （2）      【分析】 （1）设的方程为，根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，列出方程，即可求得答案. （2）由题意，求出点Q的轨迹方程，要使在圆上，只需圆与圆有交点即可，根据两圆相交，圆心距，列出不等式，即可求得答案. (1) 小问详解： 设直线的方程为，则， 化简得； 所以直线的方程为或 (2) 小问详解： 设，由，则， 化简得点的轨迹方程为：， 因为点在圆上， 所以点要存在，只要圆与圆有交点即可， 所以，解得， 所以实数的取值范围 39．【答案】（1）     （2）1     （3）或      【分析】 （1）根据题意，列出方程，整理即可得到动点的轨迹方程；. （2）由可以看成点与点的斜率，设，结合直线与相切，求得，即可得到答案； （3）设直线过点的方程为，利用圆的弦长公式，求得圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式，列出方程，求得的值，进而得到直线方程. (1) 小问详解： 因为动点与点的距离是它与点的距离的倍， 可得，整理得， 所以动点的轨迹方程. (2) 小问详解： 由（1）知圆，可圆心坐标为，半径为， 因为可以看成点与点的斜率， 则过点，斜率为的直线方程为，即， 当过点的直线与圆相切时，斜率取最值， 直线与圆相切时，可得圆心到直线的距离， 解得，所以得最大值为1. (3) 小问详解： 当直线的斜率不存在时，此时直线的方程为， 此时直线与圆没有公共点，所以直线的斜率一定存在， 可设直线过点的方程为， 即， 由圆的弦长公式可得，解得， 即圆心到直线的距离，则，解得或， 则直线方程为，即， 所以直线方程为或. 40．【答案】（1）或     （2）      【分析】 （1）通过斜率存在和不存在两种情况讨论求解即可； （2）设，得到．由表示圆上的点与点的距离的平方，即可求解. (1) 小问详解： 由题知，圆心坐标为，半径为， 当斜率不存在时，直线的方程为； 当斜率存在时，设直线的方程为，则， 解得． 所以直线的方程为． 综上，直线的方程为或； (2) 小问详解： 设，则 ． 设，则表示圆上的点与点的距离的平方，可知， 又，则点在圆外面． 所以， 则． 则的最小值为． 41．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）由圆的方程确定圆心的坐标和圆的半径，求到直线的距离，根据条件直线与圆相切，列方程求； （2）求圆心到直线的距离，再由弦长公式求，利用三角形面积公式求结论； （3）设，，由可得，联立与圆方程可得，，由可得，化简并求解方程可得结论. (1) 小问详解： 圆的方程 可化为， 所以圆的圆心的坐标为   ，半径， 因为直线与圆相切， 圆心到直线的距离， 所以，解得， (2) 小问详解： 由（1）圆的圆心的坐标为   半径， 若，则直线的方程为， 圆心到直线的距离， 所以， 所以的面积， (3) 小问详解： 设，， 因为， 所以，故， 由 ，消得， 方程的判别式， 由已知是方程的根， 所以，， 因为，由可得，结合， 可得，故，， 所以， 所以. 42．【答案】 【分析】 由题可得，令，变形得，令，利用数形结合法画出图象，分析图象，列式即可求解. 【详解】 因为，即， 变形得， 令，① ，② ① 式变形得， 即为以为圆心，2为半径的轴上方的半圆， ② 式表示斜率为，在轴上的截距为的平行直线系， 如图所示，当直线，即与圆相切时， 圆心到直线的距离， 解得或， 又因为，即， 所以，此时， 由图可知，要使在上恒成立， 则直线必在半圆的切线上方或重合， 所以，解得. 故答案为：. 43．【答案】2或6. 【详解】分析：由两圆对称可得到圆的圆心坐标，然后根据圆上任一点与圆上任一点之间距离的最小值为两圆的圆心距减去两半径可得实数的值． 详解：设圆的圆心为， ∵圆和圆关于直线对称， ∴ ，解得 ， ∴圆的圆心为． ∴． ∵圆上任一点与圆上任一点之间距离的最小值为为， ∴， 解得或． 点睛：解答本题的关键是得到圆N的圆心坐标，然后根据几何图形间的关系求解．解答直线和圆、圆和圆的位置关系问题时，可充分考虑几何图形的性质，将问题转化为两点间的距离或点到直线的距离求解． 44．【答案】6 【分析】 首先判断直线与圆相离，结合图形得到当以为直径的圆与圆内切时，且时，取得最小值，即可得到答案. 【详解】 圆， 得到，圆心，. 到直线的距离， 所以直线与圆相离. 如图所示， 直线上总存在不同两点，使得， 当以为直径的圆与圆内切时，且时，取得最小值. 所以. 故答案为：6 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 直线与圆、圆与圆的位置关系 1大高频考点概览 考点01 直线与圆、圆与圆的位置关系 考点01 直线与圆、圆与圆的位置关系 1．（25-26学年高二上·浙江嘉兴八校联·期中）过圆O：外的点作O的一条切线，切点为M，则（       ） A. 2 B.  C.  D. 4 2．（25-26学年高二上·浙江台州·期中）已知圆与圆相交于A，B两点，则两圆公共弦所在直线的方程为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·浙江台州·期中）已知圆，若圆上恰有三个点到直线的距离为，则（       ） A. 3 B.  C. 3或 D. 或5 4．（25-26学年高二上·浙江温州十校联·期中）过圆外一点作圆的两条切线，切点为、，则的外接圆半径是（     ） A. 1 B.  C. 2 D.  5．（25-26学年高二上·浙江嘉兴·期中）已知圆，圆，若与相交，则的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高二上·浙江浙里特色联·期中）若直线与圆相切于点，则的值为（       ） A. -4 B. -2 C. 2 D. 4 7．（25-26学年高二上·浙江宁波六校联·期中）圆与圆的公共弦长为（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高二上·浙江嘉兴八校联·期中）已知圆和两点，若圆上有且仅有一点，使得，则实数的值是（       ） A.  B.  C. 或 D.  9．（25-26学年高二上·浙江台州十校联·期中）圆和圆的位置关系是（       ） A. 外离 B. 外切 C. 内切 D. 内含 10．（25-26学年高二上·浙江台州·期中）（多选）已知圆，则下列命题正确的是（       ） A. 圆心坐标为 B. 过点引圆的两条切线，切点记为，则四边形的面积为 C. 若经过点的直线与圆相交，且弦长为4，则直线方程为 D. 圆上恰有三个点到直线的距离为 11．（25-26学年高二上·浙江台州·期中）在平面直角坐标系中，一道光线沿直线：经轴反射，反射光线与圆：恰有一个公共点，则（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高二上·浙江台金七校·期中）已知，若圆上存在点满足，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高二上·浙江台州·期中）（多选）对于直线与圆，下列说法正确的是（       ） A. 圆的半径为9 B. 过定点 C. 与圆一定不相切 D. 圆心到直线的最大距离为 14．（25-26学年高二上·浙江温州新力量·期中）已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（       ） A. 4 B. 3 C.  D.  15．（25-26学年高二上·浙江温州十校联·期中）圆与圆的位置关系是（     ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 16．（25-26学年高二上·浙江丽水·期中）若直线被圆截得的弦长为，则（　　） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年高二上·浙江杭州·期中）（多选）以下四个命题表述正确的是（     ） A. 过点）且在轴、轴上截距相等的直线方程为 B. 圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1 C. 圆与圆恰有三条公切线，则 D. 已知圆，过点向圆引两条切线为切点，则直线方程为 18．（25-26学年高二上·浙江杭州·期中）已知是正实数，直线平分圆：所围成的面积，则的最小值为（       ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 25 19．（25-26学年高二上·浙江嘉兴·期中）（多选）已知直线，圆，圆则下列结论正确的是（     ） A. 直线恒过定点 B. 直线与圆一定相交 C. 圆与圆公共弦所在直线方程为 D. 直线与圆相交的最长弦长是 20．（25-26学年高二上·浙江杭州及周边重点中学·期中）（多选）过点的直线与圆交于，两点，则（     ） A. 圆心到直线的最大距离为2 B. 当直线斜率为1时， C. 弦中点的轨迹长度为 D. 的取值范围为 21．（25-26学年高二上·浙江嘉兴八校联·期中）（多选）已知圆：，则下列说法正确的是（       ） A. 点在圆内 B. 圆的圆心坐标为，半径为 C. 圆与轴交于点，则 D. 直线：与圆相切，则 22．（25-26学年高二上·浙江台州十校联·期中）若直线与曲线仅有一个公共点，则实数k的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  23．（25-26学年高二上·浙江温州·期中）（多选）已知正数，满足，则（     ） A. 的最大值为5 B. 的最大值为36 C. 的最小值为 D. 的最小值为 24．（25-26学年高二上·浙江宁波·期中）（多选）圆，直线，则（　　） A. 直线与圆必相交 B. 圆被轴截得的弦长为 C. 圆被直线截得的弦长最短时，直线的方程为 D. 时，圆上存在四个点到直线的距离为2 25．（25-26学年高二上·浙江浙里特色联·期中）（多选）已知圆，圆，P，Q分别是圆与圆上的点，下列说法正确的是（       ） A. 若圆与圆外切，则 B. 当时，则两圆公共弦所在直线方程为 C. 当时，若直线的斜率存在，则斜率的最大值为 D. 当时，过点作圆两条切线，切点分别为A，B，则存在点，使得 26．（25-26学年高二上·浙江四校·期中）已知点，，圆C的方程为，过点B的直线l与圆C相切，点P为圆C上的动点． （1）求直线l的方程； （2）求△面积的最小值． 27．（25-26学年高二上·浙江温州十校联·期中）已知直线与圆相交于，两点，若弦的长度为4，则实数的值为　　　　　　　　　　. 28．（25-26学年高二上·浙江台州十校联·期中）在平面直角坐标系中，，，动点满足，设动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的轨迹方程； （2）若直线与曲线交于A，B两点，求； 29．（25-26学年高二上·浙江台州·期中）如图，2025年中国机器人及人工智能大赛总决赛中，主办方设计了一个矩形坐标场地（包含边界和内部），长为12米，为场地中间分割线，在距离点6米的处放置一只机器犬，在距离点3米的处放置一个机器人，机器犬行走的速度为机器人行走的速度的两倍，若机器犬和机器人在场地内沿着直线方向同时到达场地内某点（即），则机器犬将被机器人捕获，点叫成功点. （1）请建立恰当的平面直角坐标系，求在这个矩形场地内（包含边界）成功点的轨迹方程； （2）现准备在点处安装一台监测设备用来追踪机器犬被捕获的过程.若该设备发射的信号覆盖范围呈圆形，请问信号范围至少为多少米？ 30．（25-26学年高二上·浙江台金七校·期中）已知圆 （1）求过点且与圆相切的直线方程； （2）已知直线被圆截得的弦长为，求实数的值. 31．（25-26学年高二上·浙江台州·期中）已知圆，圆，为坐标原点． （1）过点作圆的一条切线，求切线长； （2）若圆和圆有两条公切线，求实数的范围． 32．（25-26学年高二上·浙江温州新力量·期中）如图，已知圆，为直线上一动点，为坐标原点，过点作圆的两条切线，切点分别为，. （1）求四边形面积的最小值； （2）求证：直线过定点； （3）若两条切线，与轴分别交于点，，求的最小值. 33．（25-26学年高二上·浙江宁波·期中）已知圆，若直线过坐标原点，且与圆交于两点． （1）若，求直线的方程； （2）若点是圆所在平面内的动点，为坐标原点，满足，求点的轨迹方程． 34．（25-26学年高二上·浙江丽水·期中）已知圆过，两点，且圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）设点是直线上的动点，、是圆的两条切线，、为切点，求切线长的最小值及此时四边形的面积. 35．（25-26学年高二上·浙江杭州·期中）已知直线与圆心在原点的圆相切，函数过定点，过点作圆的两条互相垂直的弦，则四边形面积的最大值为　　　　　　　　　　. 36．（25-26学年高二上·浙江杭州·期中）公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯（Apollonius）在《平面轨迹》一书中，研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下著名结果：平面内到两个定点A，B距离之比为（且）的点P的轨迹为圆，此圆称为阿波罗尼斯圆.已知两定点，，若动点P满足，动点P轨迹为圆C. （1）求圆C的方程； （2）过点的直线l与圆C交于D、E两点，若弦长，求直线l的方程； （3）若Q是x轴上的动点，，与圆C相切，切点分别为F，G，试问直线是否恒过定点？若是，求出定点坐标：若不是，请说明理由. 37．（25-26学年高二上·浙江嘉兴·期中）已知直线过，圆. （1）当直线与圆相切时，求的方程； （2）过作圆的两条切线，切点分别为，，求外接圆的方程. 38．（25-26学年高二上·浙江杭州及周边重点中学·期中）已知圆，圆，为坐标原点. （1）若过点的直线与圆相切，求直线的方程； （2）若圆上存在点，过点作圆的切线，切点为，且满足，求实数的取值范围. 39．（25-26学年高二上·浙江浙里特色联·期中）在平面直角坐标系中，动点与点的距离是它与点的距离的倍. （1）求动点的轨迹方程； （2）点在动点的轨迹上，求的最大值； （3）若直线过点且与动点轨迹相交于两点，当时，求直线的方程. 40．（25-26学年高二上·浙江宁波六校联·期中）已知圆外有一点，过点作直线． （1）当直线与圆相切时，求直线的方程； （2）点为圆上任意一点，已知，求的最小值． 41．（25-26学年高二上·浙江嘉兴八校联·期中）在平面直角坐标系中，已知直线：，圆： （1）若直线与圆相切，求实数的值； （2）若，直线与圆相交于两点，求的面积； （3）若直线：与圆交于两点，且（为坐标原点），求实数的值. 42．（25-26学年高二上·浙江浙里特色联·期中）设函数和.已知当时，恒有，则实数的取值范围是　　　　　. 43．（25-26学年高二上·浙江嘉兴八校联·期中）已知圆：与圆关于直线：对称，且圆上任一点与圆上任一点之间距离的最小值为，则实数的值为　　　　　　　　　　． 44．（25-26学年高二上·浙江宁波·期中）若对于圆上任意的点，直线上总存在不同两点，使得，则的最小值为　　　　　　　　　　　　　　　　　． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 直线与圆、圆与圆的位置关系 1大高频考点概览 考点01 直线与圆、圆与圆的位置关系 考点01 直线与圆、圆与圆的位置关系 1．（25-26学年高二上·浙江嘉兴八校联·期中）过圆O：外的点作O的一条切线，切点为M，则（       ） A. 2 B.  C.  D. 4 【答案】B 【分析】 根据切线的意义知，由勾股定理可求. 【详解】 由题意有，即. 故选：B. 2．（25-26学年高二上·浙江台州·期中）已知圆与圆相交于A，B两点，则两圆公共弦所在直线的方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 两圆方程相减可得答案. 【详解】 ，① ，② ①② 得. 故选：B. 3．（25-26学年高二上·浙江台州·期中）已知圆，若圆上恰有三个点到直线的距离为，则（       ） A. 3 B.  C. 3或 D. 或5 【答案】C 【分析】 求出圆心坐标，利用点到直线距离公式列式求解. 【详解】 圆的圆心，半径， 由圆上恰有三个点到直线的距离为，得圆心到直线的距离为， 即，所以或. 故选：C 4．（25-26学年高二上·浙江温州十校联·期中）过圆外一点作圆的两条切线，切点为、，则的外接圆半径是（     ） A. 1 B.  C. 2 D.  【答案】C 【分析】 圆的圆心，故以为直径的圆就是的外接圆，即为所求半径． 【详解】 圆的圆心，半径， 因为是圆的切线，所以，， ∴以为直径的圆就是的外接圆， ∵， ∴的外接圆的半径为. 故选：C. 5．（25-26学年高二上·浙江嘉兴·期中）已知圆，圆，若与相交，则的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 先求得两圆的圆心与半径，然后根据两圆的位置关系列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【详解】 因为圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为，则圆心距为， 由与相交得，，解得. 故选：D. 6．（25-26学年高二上·浙江浙里特色联·期中）若直线与圆相切于点，则的值为（       ） A. -4 B. -2 C. 2 D. 4 【答案】C 【分析】 由切点在直线上，圆心与切点的连线与切线垂直列式求解即可. 【详解】 切点在直线上，所以，即， 圆心与切点连线的斜率为， 所以切线的斜率为， 又切线的斜率为，所以， 所以，解得， 所以. 故选：C. 7．（25-26学年高二上·浙江宁波六校联·期中）圆与圆的公共弦长为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 首先两圆相减求公共弦所在直线方程，再代入弦长公式，即可求解. 【详解】 圆与圆，相减得， 圆心到直线的距离，又 则公共弦长为． 故选：C． 8．（25-26学年高二上·浙江嘉兴八校联·期中）已知圆和两点，若圆上有且仅有一点，使得，则实数的值是（       ） A.  B.  C. 或 D.  【答案】C 【分析】 根据题意，求出以为直径的圆的方程为，由圆上有且只有一点使得，可得圆与圆相切，由圆与圆的位置关系分析可得答案. 【详解】 根据题意，圆，其圆心为，半径， 由两点，可得以为直径的圆的方程为， 设该圆为圆，其圆心为，半径， 若点满足，则在圆上， 又由圆上有且只有一点使得，则圆与圆相切， 则有或， 又因为，解得或 故选：C. 9．（25-26学年高二上·浙江台州十校联·期中）圆和圆的位置关系是（       ） A. 外离 B. 外切 C. 内切 D. 内含 【答案】B 【分析】 根据圆的方程写出圆心和半径，由圆心距与半径和差关系判断位置关系. 【详解】 由的圆心为，半径为， 由的圆心为，半径为3， 所以圆心距为，即两圆外切. 故选：B 10．（25-26学年高二上·浙江台州·期中）（多选）已知圆，则下列命题正确的是（       ） A. 圆心坐标为 B. 过点引圆的两条切线，切点记为，则四边形的面积为 C. 若经过点的直线与圆相交，且弦长为4，则直线方程为 D. 圆上恰有三个点到直线的距离为 【答案】ABD 【分析】 对于A，将圆的一般方程化为标准方程即可判断；对于B，由题意，可得，，求出，，进而求解判断即可；对于C，当直线的斜率不存在时直线也满足题意，进而判断即可；对于D，先求出圆心到直线的距离为，再结合圆的半径即可判断. 【详解】 对于A，由圆，即， 则圆心为，半径为，故A正确； 对于B，由题意，，且， 而，， 则， 则四边形的面积为，故B正确； 对于C，当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时直线与圆相交于点，弦长为4，满足题意，故C错误； 对于D，圆心到直线的距离为， 由于，则圆上恰有三个点到直线的距离为，故D正确. 故选：ABD 11．（25-26学年高二上·浙江台州·期中）在平面直角坐标系中，一道光线沿直线：经轴反射，反射光线与圆：恰有一个公共点，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 分析可知直线过定点，斜率为，根据直线与圆相切列式求解即可. 【详解】 圆：的圆心为，半径， 因为直线：即为， 令，可得，即直线过定点， 根据对称性可知，直线过定点，斜率为， 则直线：，即， 则，整理可得，解得. 故选：C. 12．（25-26学年高二上·浙江台金七校·期中）已知，若圆上存在点满足，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用向量数量积的坐标表示求得点的轨迹方程为圆，再利用两圆相交得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】 设点，则，， 所以，则， 所以点的轨迹方程为，圆心为，半径为3， 由此可知圆与有公共点， 又圆的圆心为，半径为2， 所以，解得，即的取值范围是， 故选：A. 13．（25-26学年高二上·浙江台州·期中）（多选）对于直线与圆，下列说法正确的是（       ） A. 圆的半径为9 B. 过定点 C. 与圆一定不相切 D. 圆心到直线的最大距离为 【答案】BCD 【分析】 求解直线系经过的定点，圆的圆心与半径，两点间的距离判断选项的正误即可. 【详解】 对于A：圆， 化为标准方程为， 所以圆的半径为3，故A错误； 对于：可变形为， 由 得 所以直线过定点，故正确； 对于C：因为，所以点在圆内部， 所以直线与不可能相切，故正确； 对于D：圆心由标准方程可知为， 圆心到定点的距离为， 故圆心到直线的最大距离为，故正确. 故选：BCD 14．（25-26学年高二上·浙江温州新力量·期中）已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（       ） A. 4 B. 3 C.  D.  【答案】A 【分析】 先求出直线恒过的定点，圆心和半径，通过分析可知直线与直线垂直时，最小， 利用勾股定理求解即可. 【详解】 ，， ， ， 直线恒过点，在圆的内部， ，圆心，半径， 要使最小，则圆心到直线的距离最大， 当直线与直线垂直时， 圆心到直线的距离最大， ，，， 则的最小值为. 故选：A. 15．（25-26学年高二上·浙江温州十校联·期中）圆与圆的位置关系是（     ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 【答案】A 【分析】 由一般方程得标准方程，得出圆心、半径，求出圆心距，判断与的关系即可得两圆的位置关系. 【详解】 圆即，圆心，半径； 圆即，圆心，半径； ，则两圆外离， 故选：A 16．（25-26学年高二上·浙江丽水·期中）若直线被圆截得的弦长为，则（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据圆的弦长公式和点到直线的距离公式求出结果. 【详解】 圆的圆心坐标为，半径为2， 圆心到直线的距离为. 因为圆的弦长为，所以根据勾股定理得，解得. 故选：A. 17．（25-26学年高二上·浙江杭州·期中）（多选）以下四个命题表述正确的是（     ） A. 过点）且在轴、轴上截距相等的直线方程为 B. 圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1 C. 圆与圆恰有三条公切线，则 D. 已知圆，过点向圆引两条切线为切点，则直线方程为 【答案】BCD 【分析】 根据截距可为零、点到直线距离、圆与圆的位置关系，公共弦所在直线方程等知识对选项进行分析，由此确定正确选项. 【详解】 A选项，如果截距为零，则直线方程为，故A错误. B选项，圆的圆心为原点，半径为，圆心到直线的距离为， 所以圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1，B选项正确. C选项，圆的圆心为，半径为.圆的圆心为， 半径为， 由于、有三条公切线，所以两个圆外切， 所以，，C选项正确. D选项，圆的圆心为原点，半径为.， 以为直径的圆的方程为，即， 则所在直线方程为即. 故D选项正确. 故选：BCD 18．（25-26学年高二上·浙江杭州·期中）已知是正实数，直线平分圆：所围成的面积，则的最小值为（       ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 25 【答案】D 【分析】 由题意可得直线过圆心，根据均值不等式中“1”的妙用，可得答案. 【详解】 由圆：整理可得：，则该圆的圆心为， 由题意可得直线过圆心，则，整理可得， 所以， 由为正实数，则，当且仅当时，等号成立， 所以. 故选：D. 19．（25-26学年高二上·浙江嘉兴·期中）（多选）已知直线，圆，圆则下列结论正确的是（     ） A. 直线恒过定点 B. 直线与圆一定相交 C. 圆与圆公共弦所在直线方程为 D. 直线与圆相交的最长弦长是 【答案】ABD 【分析】 根据直线过定点的求法可得A正确；利用定点在圆上，且在该点处圆切线斜率不存在可判断出B正确；根据圆与圆的位置关系可判断出两圆相交，两圆方程作差可得公共弦所在直线方程，知C错误；当直线过圆圆心时，相交弦长最大，知D正确. 【详解】 对于A，直线方程可整理为， 由 得： ，直线恒过定点，A正确； 对于B，，点恒在圆上， 又直线，即直线斜率存在，圆在点处的切线为， 与圆不相切，与圆一定相交，B正确； 对于C，由圆的方程可得：圆心，半径；圆心，半径； ，， 两圆相交，两圆方程作差可得公共弦所在直线方程为：，C错误； 对于D，当直线过圆圆心时，，解得：， 当时，直线被圆截得的弦长取得最大值，最大值为，D正确. 故选：ABD. 20．（25-26学年高二上·浙江杭州及周边重点中学·期中）（多选）过点的直线与圆交于，两点，则（     ） A. 圆心到直线的最大距离为2 B. 当直线斜率为1时， C. 弦中点的轨迹长度为 D. 的取值范围为 【答案】ACD 【分析】 先判断在圆内，求出圆心到直线的最大距离判断A的正误；求出直线的方程后利用垂径定理可求弦长，从而判断B的正误；求出弦中点的轨迹后可求其长，从而判断C的正误；利用数量积的线性运算求出的取值范围判断D的正误. 【详解】 圆的标准方程为：，故，圆的半径为. 对于A：因为，故在圆的内部， 故当时，到的距离最大且最大距离为， 故A正确； 对于B：当直线斜率为1时,直线的方程为即， 故到的距离为，故，故B错误； 对于C：设的中点，则，故的轨迹为以为直径的圆， 其半径为，故轨迹圆的周长为，故C正确； 对于D： ， 而，故，故D正确； 故选：ACD. 21．（25-26学年高二上·浙江嘉兴八校联·期中）（多选）已知圆：，则下列说法正确的是（       ） A. 点在圆内 B. 圆的圆心坐标为，半径为 C. 圆与轴交于点，则 D. 直线：与圆相切，则 【答案】ABC 【分析】 对于A，直接利用点与圆的位置关系判断即可；对于B，将圆的一般式方程化为标准式方程即可；对于C，将点表示出来，利用三角形面积公式求解即可；对于D，根据直线与圆相切表示出圆心到直线的距离，利用直线与圆的位置关系判断即可. 【详解】 对于A，根据点与圆的位置关系， 将点代入圆方程，得， 所以点在圆内，选项A正确； 对于B，因为圆：， 所以圆的标准式为，圆心为，半径为2，选项B正确； 对于C，令，则，得， 所以， 因为圆心到轴的距离为1，所以，选项C正确； 对于D，因为直线：与圆相切， 所以，解得，所以D错误. 故选：ABC 22．（25-26学年高二上·浙江台州十校联·期中）若直线与曲线仅有一个公共点，则实数k的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 首先确定曲线的形状，然后结合直线恒过定点考查临界情况结合图像即可确定实数的取值范围． 【详解】 曲线即， 即，表示为圆心，为半径的圆的上半部分， 直线即恒过定点， 作出直线与半圆的图象，如图， 考查临界情况： 当直线过点时，直线的斜率，此时直线与半圆有两个交点， 当直线过点时，直线的斜率，此时直线与半圆有1个交点， 当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离为1，且， 即，解得：，舍去）． 据此可得，实数的取值范围是． 故选：D． 23．（25-26学年高二上·浙江温州·期中）（多选）已知正数，满足，则（     ） A. 的最大值为5 B. 的最大值为36 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】AB 【分析】 设，结合辅助角公式和三角函数的范围解得最大值判断A；把问题转化为圆上点到定点的距离平方，圆上的点到定点连线的斜率计算判断BC；根据赋值法验证计算判断D. 【详解】 对于A，已知正数，满足，设， 则，其中， 因为，所以的最大值为，A正确； 对于B，表示圆上的点到点距离的平方， 圆的圆心到点的距离为， 圆上一点到点的最大距离为（为圆的半径）， 则的最大值为36，B正确； 对于C，表示圆上的点与点连线的斜率， 设过点的直线方程为，即， 当直线与圆相切时，圆心到直线的距离，解得， 所以的最小值为，C错误； 对于D，当时，，D错误. 故选：AB. 24．（25-26学年高二上·浙江宁波·期中）（多选）圆，直线，则（　　） A. 直线与圆必相交 B. 圆被轴截得的弦长为 C. 圆被直线截得的弦长最短时，直线的方程为 D. 时，圆上存在四个点到直线的距离为2 【答案】ABD 【分析】 对于A，根据圆的方程求得圆心和半径，根据直线的方程求得直线所过定点，通过判断定点在圆内，知直线与圆必相交；对于B，直接求圆和轴的交点，进而求得圆被轴截得的弦长；对于C，当圆被直线截得的弦长最短时，直线与垂直，根据垂直直线斜率关系，求得直线的斜率为，从而求得直线的方程；对于D，求圆心到直线的距离，结合半径做出判断. 【详解】 由题可知圆的圆心，半径. 由直线，得，所以直线过定点. 对于A，因为，所以点在圆内，所以直线与圆必相交，所以A正确； 对于B，当时，，所以，或.所以圆被轴截得的弦长为，所以B正确； 对于C，当圆被直线截得的弦长最短时，圆心到直线的距离最大，最大值为，此时，直线与垂直，因为的斜率为，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即.所以C不正确； 对于D，当时，直线的方程为，此时圆心C到直线的距离为，因为，所以圆上存在四个点到直线的距离为2，所以D正确. 故选：ABD. 25．（25-26学年高二上·浙江浙里特色联·期中）（多选）已知圆，圆，P，Q分别是圆与圆上的点，下列说法正确的是（       ） A. 若圆与圆外切，则 B. 当时，则两圆公共弦所在直线方程为 C. 当时，若直线的斜率存在，则斜率的最大值为 D. 当时，过点作圆两条切线，切点分别为A，B，则存在点，使得 【答案】ACD 【分析】 求出两圆的圆心距，根据外切，可得，求出r值，即可判断A的正误；当时，可得圆方程，与方程联立，可得公共弦方程，即可判断B的正误；当时，可得圆方程，根据图象，分析可得PQ为两圆的内公切线时，斜率最大，根据垂直关系，可得，求出所需长度，根据正切公式，斜率公式等，分析计算，可判断C的正误；当时，得圆方程，进而可得，若，根据图象分析，可得四边形为正方形，所以，分析即可判断D的正误. 【详解】 选项A：若两圆外切，则，解得，故A正确； 选项B：当时，，即， 联立 ，可得， 所以公共弦所在直线方程为，故B错误； 选项C：当时，， ，所以两圆相离， 因为直线的斜率存在， 分析可得，当PQ为两圆的内公切线时，斜率最大，作出两圆图象，如下图所示，    设PQ和CD为两条内公切线，设交于点A， 因为圆的圆心为，且， 所以切线CD的方程为x=1，且， 因为CD为公切线，所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以，故C正确. 选项D：当时，， 因为P在上运动，所以，即， 若时，由， 可得四边形为正方形， 所以，符合题意， 所以存在点，使得，故D正确.    故选：ACD 26．（25-26学年高二上·浙江四校·期中）已知点，，圆C的方程为，过点B的直线l与圆C相切，点P为圆C上的动点． （1）求直线l的方程； （2）求△面积的最小值． 【答案】（1）或     （2）      【分析】 （1）当直线的斜率不存在时，画图即可求出此时的切线方程，当切线的斜率存在时设出直线的方程利用点到直线的距离公式即可求解； （2）利用点到直线的距离公式求出圆心到直线AB的距离，则点P到直线AB的距离的最小值为圆心到直线AB的距离减半径，故利用三角形面积公式即可求出△面积的最小值. (1) 小问详解： ① 圆的圆心，半径， 当直线l的斜率不存在时，l的方程为，易知此直线与圆C相切，符合题意； ② 当直线l的斜率存在时，设l的方程为，即． 因为直线l与圆C相切，所以圆心到直线的距离， 则，解得， 所以直线l的方程为，即． 综上，直线l的方程为或． (2) 小问详解： 由题意，得，直线AB的方程为， 则圆心到直线AB的距离， ∴点P到直线AB的距离的最小值为， ∴△的面积的最小值为． 27．（25-26学年高二上·浙江温州十校联·期中）已知直线与圆相交于，两点，若弦的长度为4，则实数的值为　　　　　　　　　　. 【答案】1 【分析】 利用圆的弦长公式求得圆心到直线的距离，进而可得答案. 【详解】 圆  的方程为：， 化为标准式得：， 因此，圆 的圆心为 ，半径为 2， 弦长公式为：，为圆心到直线的距离， 把代入得： ， 解得：. 因此，直线通过圆心 . 即： 解得：. 故答案为：1 28．（25-26学年高二上·浙江台州十校联·期中）在平面直角坐标系中，，，动点满足，设动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的轨迹方程； （2）若直线与曲线交于A，B两点，求； 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）设，由题意，利用两点间的距离公式即可求解； （2）先求出圆心到直线的距离，然后根据弦长公式即可求解. (1) 小问详解： 设，因为，满足，即， 即，整理得， 所以曲线的轨迹方程为. (2) 小问详解： 圆心到直线的距离， 所以. 29．（25-26学年高二上·浙江台州·期中）如图，2025年中国机器人及人工智能大赛总决赛中，主办方设计了一个矩形坐标场地（包含边界和内部），长为12米，为场地中间分割线，在距离点6米的处放置一只机器犬，在距离点3米的处放置一个机器人，机器犬行走的速度为机器人行走的速度的两倍，若机器犬和机器人在场地内沿着直线方向同时到达场地内某点（即），则机器犬将被机器人捕获，点叫成功点. （1）请建立恰当的平面直角坐标系，求在这个矩形场地内（包含边界）成功点的轨迹方程； （2）现准备在点处安装一台监测设备用来追踪机器犬被捕获的过程.若该设备发射的信号覆盖范围呈圆形，请问信号范围至少为多少米？ 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）建立平面直角坐标系，设，由求解； （2）设出C为圆心的圆的方程，由两圆内含或内切求解. (1) 小问详解： 建立如图所示平面直角坐标系： 设，则， 因为， 所以，化简得， 成功点的轨迹方程为； (2) 小问详解： 由（1）知：， 设以C为圆心的圆的方程为， 因为信号覆盖追踪机器犬被捕获的过程，即覆盖成功点， 所以两圆内含或内切， 所以，解得， 所以信号范围至少为米. 30．（25-26学年高二上·浙江台金七校·期中）已知圆 （1）求过点且与圆相切的直线方程； （2）已知直线被圆截得的弦长为，求实数的值. 【答案】（1）或     （2）      【分析】 （1）分直线斜率存在和不存在，利用点到直线的距离公式可得答案； （2）圆心到直线的距离、弦长的一半、圆的半径利用勾股定理可得答案.. (1) 小问详解： 当直线斜率存在时，设直线， 即， 圆心到直线的距离为， 解得， 此时直线方程为， 当直线斜率不存在时，直线方程为，此时直线与圆相切， 综上，所求直线方程为或. (2) 小问详解： 记圆心到直线的距离为，则， 又弦长为，圆的半径为2，则， 解得，所以. 31．（25-26学年高二上·浙江台州·期中）已知圆，圆，为坐标原点． （1）过点作圆的一条切线，求切线长； （2）若圆和圆有两条公切线，求实数的范围． 【答案】（1）；     （2）      【分析】 （1）根据切线长计算公式即可得到答案； （2）转化为两圆相交即可得到不等式组，解出即可. (1) 小问详解： 由题可知，圆心， 过点作圆的切线，则切线长为， 又， 所以切线长为． (2) 小问详解： 圆的圆心坐标为，半径， 圆的半径， 又因为两圆有两条公切线，所以两圆相交， 所以，即， 解得． 32．（25-26学年高二上·浙江温州新力量·期中）如图，已知圆，为直线上一动点，为坐标原点，过点作圆的两条切线，切点分别为，. （1）求四边形面积的最小值； （2）求证：直线过定点； （3）若两条切线，与轴分别交于点，，求的最小值. 【答案】（1）     （2） 因为，所以四点共圆， 且圆心为即，半径为， 所以过四点的圆的方程为，即， 因为直线为圆与圆的公共弦所在的直线， 所以两圆方程相减可得直线的方程为，显然当时， 所以直线过定点.     （3）      【分析】 （1）将四边形的面积表示为，根据的最小值可求结果； （2）根据四点共圆求解出过四点的圆，然后由公共弦所在直线的方程的求法可求直线的方程，据此可证明过定点； （3）设出切线方程，根据相切关系可得的韦达定理形式，表示出并根据的韦达定理形式化简，由此可求. (1) 小问详解： 连接，，圆的标准方程为，故半径为，圆心， 所以， 若要使得四边形的面积最小，则只需最小， 当在轴上时，显然， . (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 设过点的切线为，即， 所以圆心到切线距离，即， 设，的斜率为，，所以，， 在中令，则有， 所以， 当且仅当时取等号， 所以. 33．（25-26学年高二上·浙江宁波·期中）已知圆，若直线过坐标原点，且与圆交于两点． （1）若，求直线的方程； （2）若点是圆所在平面内的动点，为坐标原点，满足，求点的轨迹方程． 【答案】（1）或     （2）      【分析】 （1）根据直线与圆的位置关系，判断出弦心距，根据点到直线距离公式，求出结果即可. （2）根据向量运算的坐标表示，以及向量模长的坐标表示，列出方程，求出结果即可. (1) 小问详解： 由题意可得，可知圆心，半径为， 当时，可知，此时圆心到直线的距离为，如图所示， 可知当直线斜率不存在时，直线方程为，圆心到直线距离为1，符合条件； 当直线斜率存在时，设直线方程为， 此时圆心到直线距离为，化简得， 解得，此时直线方程为， 综上所述，直线方程为或. (2) 小问详解： 设点，已知，则， 则 由得，化简得， 可得点的轨迹方程为. 34．（25-26学年高二上·浙江丽水·期中）已知圆过，两点，且圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）设点是直线上的动点，、是圆的两条切线，、为切点，求切线长的最小值及此时四边形的面积. 【答案】（1）；（2）2， . 【分析】 （1）设出圆心坐标和半径，由待定系数法即可得圆的方程. （2）由题意利用圆的几何性质将原问题进行等价转化，然后结合点到直线的距离公式即可求得最终结果. 【详解】 （1）根据题意，设圆的圆心为，半径为， 则有 ，解可得，，； 故要求圆的方程为； （2）根据题意，而， 当最小时，的最小 而的最小值为点到直线的距离，则的最小值为 ； 故的最小值为2， 四边形的面积， 故此时四边形面积为. 【点睛】 本题主要考查了圆的方程的求解，求某一动点所作圆的切线的最小值，以及切线与半径所围成的四边形面积的最小值，属于中档题. 35．（25-26学年高二上·浙江杭州·期中）已知直线与圆心在原点的圆相切，函数过定点，过点作圆的两条互相垂直的弦，则四边形面积的最大值为　　　　　　　　　　. 【答案】15 【分析】 根据圆的切线性质，可得圆的半径，根据对数函数的性质求得定点坐标，再根据弦长公式以及基本不等式，可得答案. 【详解】 由原点到直线的距离，则圆的半径， 由，则，即， 由题意作，，分别垂足为，如下图： 易知四边形为矩形，则， 易知四边形的面积 ， 当且仅当，等号成立. 故答案为：. 36．（25-26学年高二上·浙江杭州·期中）公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯（Apollonius）在《平面轨迹》一书中，研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下著名结果：平面内到两个定点A，B距离之比为（且）的点P的轨迹为圆，此圆称为阿波罗尼斯圆.已知两定点，，若动点P满足，动点P轨迹为圆C. （1）求圆C的方程； （2）过点的直线l与圆C交于D、E两点，若弦长，求直线l的方程； （3）若Q是x轴上的动点，，与圆C相切，切点分别为F，G，试问直线是否恒过定点？若是，求出定点坐标：若不是，请说明理由. 【答案】（1）     （2）或     （3）过定点，      【分析】 （1）直接法求轨迹，设，代入坐标化简即可； （2）待定系数法求直线方程，设出直线方程，直线与圆相交弦长问题转化为弦心距，半弦长，半径构成的直角三角形勾股定理问题，解方程即可求得； （3）设，用表示出切点弦方程，根据方程可知过定点． (1) 小问详解： 设，则由可得， 即， 则点P的轨迹方程为：； (2) 小问详解： 易知，直线l的斜率不存在时，直线与圆相离，不满足题意； 故直线l存在斜率，设直线l为， 则点到直线l的距离为 则 则 所以或 直线l为或 (3) 小问详解： 设，则以为直径的圆的圆心为， 记，半径为， 则此圆的方程为， 即，记此圆为圆P. 因为直线为圆C与圆P的相交弦所在直线， 所以两圆方程作差可得直线FG的方程为， 即. 由 ，解得 所以直线恒过定点，定点坐标为. 37．（25-26学年高二上·浙江嘉兴·期中）已知直线过，圆. （1）当直线与圆相切时，求的方程； （2）过作圆的两条切线，切点分别为，，求外接圆的方程. 【答案】（1）或     （2）      【分析】 （1）分析直线斜率存在，设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径建立方程，求解斜率即可得解； （2）根据几何关系得，，，四点共圆，该圆也是的外接圆，利用为直径求出圆心和半径，即可求解圆的方程. (1) 小问详解： 当直线斜率不存在时，，圆心到直线的距离为， 故直线斜率存在，设直线，即， 设圆心到直线的距离为， 由与圆相切，则，故有，平方化简得，解得， 则直线的方程为或. (2) 小问详解： 由题意，，故，，，四点共圆且以为直径， 该圆也是的外接圆，又和， 故外接圆的圆心为，， 所以外接圆的方程为. 38．（25-26学年高二上·浙江杭州及周边重点中学·期中）已知圆，圆，为坐标原点. （1）若过点的直线与圆相切，求直线的方程； （2）若圆上存在点，过点作圆的切线，切点为，且满足，求实数的取值范围. 【答案】（1）或     （2）      【分析】 （1）设的方程为，根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，列出方程，即可求得答案. （2）由题意，求出点Q的轨迹方程，要使在圆上，只需圆与圆有交点即可，根据两圆相交，圆心距，列出不等式，即可求得答案. (1) 小问详解： 设直线的方程为，则， 化简得； 所以直线的方程为或 (2) 小问详解： 设，由，则， 化简得点的轨迹方程为：， 因为点在圆上， 所以点要存在，只要圆与圆有交点即可， 所以，解得， 所以实数的取值范围 39．（25-26学年高二上·浙江浙里特色联·期中）在平面直角坐标系中，动点与点的距离是它与点的距离的倍. （1）求动点的轨迹方程； （2）点在动点的轨迹上，求的最大值； （3）若直线过点且与动点轨迹相交于两点，当时，求直线的方程. 【答案】（1）     （2）1     （3）或      【分析】 （1）根据题意，列出方程，整理即可得到动点的轨迹方程；. （2）由可以看成点与点的斜率，设，结合直线与相切，求得，即可得到答案； （3）设直线过点的方程为，利用圆的弦长公式，求得圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式，列出方程，求得的值，进而得到直线方程. (1) 小问详解： 因为动点与点的距离是它与点的距离的倍， 可得，整理得， 所以动点的轨迹方程. (2) 小问详解： 由（1）知圆，可圆心坐标为，半径为， 因为可以看成点与点的斜率， 则过点，斜率为的直线方程为，即， 当过点的直线与圆相切时，斜率取最值， 直线与圆相切时，可得圆心到直线的距离， 解得，所以得最大值为1. (3) 小问详解： 当直线的斜率不存在时，此时直线的方程为， 此时直线与圆没有公共点，所以直线的斜率一定存在， 可设直线过点的方程为， 即， 由圆的弦长公式可得，解得， 即圆心到直线的距离，则，解得或， 则直线方程为，即， 所以直线方程为或. 40．（25-26学年高二上·浙江宁波六校联·期中）已知圆外有一点，过点作直线． （1）当直线与圆相切时，求直线的方程； （2）点为圆上任意一点，已知，求的最小值． 【答案】（1）或     （2）      【分析】 （1）通过斜率存在和不存在两种情况讨论求解即可； （2）设，得到．由表示圆上的点与点的距离的平方，即可求解. (1) 小问详解： 由题知，圆心坐标为，半径为， 当斜率不存在时，直线的方程为； 当斜率存在时，设直线的方程为，则， 解得． 所以直线的方程为． 综上，直线的方程为或； (2) 小问详解： 设，则 ． 设，则表示圆上的点与点的距离的平方，可知， 又，则点在圆外面． 所以， 则． 则的最小值为． 41．（25-26学年高二上·浙江嘉兴八校联·期中）在平面直角坐标系中，已知直线：，圆： （1）若直线与圆相切，求实数的值； （2）若，直线与圆相交于两点，求的面积； （3）若直线：与圆交于两点，且（为坐标原点），求实数的值. 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）由圆的方程确定圆心的坐标和圆的半径，求到直线的距离，根据条件直线与圆相切，列方程求； （2）求圆心到直线的距离，再由弦长公式求，利用三角形面积公式求结论； （3）设，，由可得，联立与圆方程可得，，由可得，化简并求解方程可得结论. (1) 小问详解： 圆的方程 可化为， 所以圆的圆心的坐标为   ，半径， 因为直线与圆相切， 圆心到直线的距离， 所以，解得， (2) 小问详解： 由（1）圆的圆心的坐标为   半径， 若，则直线的方程为， 圆心到直线的距离， 所以， 所以的面积， (3) 小问详解： 设，， 因为， 所以，故， 由 ，消得， 方程的判别式， 由已知是方程的根， 所以，， 因为，由可得，结合， 可得，故，， 所以， 所以. 42．（25-26学年高二上·浙江浙里特色联·期中）设函数和.已知当时，恒有，则实数的取值范围是　　　　　. 【答案】 【分析】 由题可得，令，变形得，令，利用数形结合法画出图象，分析图象，列式即可求解. 【详解】 因为，即， 变形得， 令，① ，② ① 式变形得， 即为以为圆心，2为半径的轴上方的半圆， ② 式表示斜率为，在轴上的截距为的平行直线系， 如图所示，当直线，即与圆相切时， 圆心到直线的距离， 解得或， 又因为，即， 所以，此时， 由图可知，要使在上恒成立， 则直线必在半圆的切线上方或重合， 所以，解得. 故答案为：. 43．（25-26学年高二上·浙江嘉兴八校联·期中）已知圆：与圆关于直线：对称，且圆上任一点与圆上任一点之间距离的最小值为，则实数的值为　　　　　　　　　　． 【答案】2或6. 【详解】分析：由两圆对称可得到圆的圆心坐标，然后根据圆上任一点与圆上任一点之间距离的最小值为两圆的圆心距减去两半径可得实数的值． 详解：设圆的圆心为， ∵圆和圆关于直线对称， ∴ ，解得 ， ∴圆的圆心为． ∴． ∵圆上任一点与圆上任一点之间距离的最小值为为， ∴， 解得或． 点睛：解答本题的关键是得到圆N的圆心坐标，然后根据几何图形间的关系求解．解答直线和圆、圆和圆的位置关系问题时，可充分考虑几何图形的性质，将问题转化为两点间的距离或点到直线的距离求解． 44．（25-26学年高二上·浙江宁波·期中）若对于圆上任意的点，直线上总存在不同两点，使得，则的最小值为　　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】6 【分析】 首先判断直线与圆相离，结合图形得到当以为直径的圆与圆内切时，且时，取得最小值，即可得到答案. 【详解】 圆， 得到，圆心，. 到直线的距离， 所以直线与圆相离. 如图所示， 直线上总存在不同两点，使得， 当以为直径的圆与圆内切时，且时，取得最小值. 所以. 故答案为：6 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $