专题01 空间向量与立体几何（期中真题汇编，浙江专用）高二数学上学期

专题01 空间向量与立体几何 3大高频考点概览 考点01 空间向量及其运算 考点02 空间向量基本定理 考点03 空间向量及其运算的坐标表示 考点01 空间向量及其运算 1．（25-26学年高二上·浙江四校·期中）若向量，则（       ） A. 5 B. 8 C. 10 D. 12 2．（25-26学年高二上·浙江温州新力量·期中）平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列式子中与相等的是（　　） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·浙江嘉兴八校联·期中）已知空间向量与共线，则（       ） A. -1 B.  C.  D. 1 4．（25-26学年高二上·浙江台州·期中）如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·浙江宁波·期中）已知向量，若，则（　　） A.  B.  C. 2 D. 1 6．（25-26学年高二上·浙江宁波六校联·期中）如图，空间四边形中，，，，点N在上，且，点M为BC中点，则（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高二上·浙江衢州五校联·期中）已知，则在方向上的投影向量为（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高二上·浙江杭州·期中）如图，在平行六面体中，，，则（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高二上·浙江丽水·期中）（多选）已知E，F，G，H分别是正方体的棱的中点，，则（     ） A. 直线与直线异面 B. 直线交于同一点 C. 过三点的平面截正方体所得截面图形的周长为 D. 动点K在侧面内（含边界），且，则动点K的轨迹长度为 10．（25-26学年高二上·浙江杭州及周边重点中学·期中）已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量为　　　　　　　　　　　. 11．（25-26学年高二上·浙江衢州五校联·期中）在中，角的对边分别为．已知 （1）求角的正弦值； （2）若、边上的两条中线、相交于点，求的余弦值． 12．（25-26学年高二上·浙江温州十校联·期中）如图，在正方体中，点、为棱、的中点，设，，. （1）用、、表示； （2）证明：、、、四点共面. 13．（25-26学年高二上·浙江宁波六校联·期中）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设. （1）试用向量表示向量； （2）若，求的值. 考点02 空间向量基本定理 1．（25-26学年高二上·浙江嘉兴·期中）若是空间向量的一组基底，则下列可作为空间向量的一组基底的是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·浙江嘉兴八校联·期中）在三棱柱中，，，，BC的中点为，则（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·浙江台州·期中）如图，在四面体中，，，，，为线段的中点，则等于（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·浙江温州·期中）在平行六面体中，，，，，则（     ） A.  B. 3 C.  D.  5．（25-26学年高二上·浙江嘉兴·期中）在平行六面体中，若分别是中点，已知，，，则下列结论错误的是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高二上·浙江台州十校联·期中）如图所示，在平行六面体中，设，，，是的中点，用，，表示为（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高二上·浙江台州十校联·期中）平面四边形中，若，则实数组可能是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高二上·浙江丽水·期中）如图，在平行六面体中，，，则线段的长为（　　） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高二上·浙江四校·期中）在长方体中，，，，则　　　　　　　　．（用向量，，表示） 考点03 空间向量及其运算的坐标表示 1．（25-26学年高二上·浙江台金七校·期中）已知空间向量，，若，则（       ） A. 1 B.  C.  D. 3 2．（25-26学年高二上·浙江四校·期中）在空间直角坐标系中，已知点，则（       ） A.  B.  C.  D. 5 3．（25-26学年高二上·浙江温州新力量·期中）点P(－1,2,3)关于xOz平面对称的点的坐标是（       ） A. (1,2,3) B. (－1,－2,3) C. (－1,2,－3) D. (1,－2,－3) 4．（25-26学年高二上·浙江杭州·期中）已知是空间直角坐标系中一点，与点关于平面对称的点的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·浙江台州·期中）已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高二上·浙江温州十校联·期中）（多选）已知空间向量，，，则下列说法中正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 向量在上的投影向量的模长为 D. 若，则 7．（25-26学年高二上·浙江丽水·期中）已知空间向量，则（　　） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高二上·浙江浙里特色联·期中）（多选）下列说法正确的是（       ） A. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为 B. 在空间直角坐标系中，是坐标平面的一个法向量 C. 已知是空间的一组基底，则也是空间一组基底 D. 以，，为顶点的三角形是等边三角形 9．（25-26学年高二上·浙江杭州及周边重点中学·期中）在空间直角坐标系中，，，，向量且，则的最小值为（     ） A.  B.  C.  D. 1 10．（25-26学年高二上·浙江宁波六校联·期中）（多选）清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的正四面体组合而成，如图1，也可由正方体切割而成，如图2．在图2所示的“蒺藜形多面体”中，若，则给出的说法中正确的是（       ） A. 该几何体的表面积为 B. 该几何体的体积为4 C. 二面角的余弦值为 D. 若点P，Q在线段BM，CH上移动，则PQ的最小值为 11．（25-26学年高二上·浙江台州十校联·期中）（多选）给出以下命题，其中正确的是（       ） A. 直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直 B. 直线l的方向向量为，平面的法向量为，则 C. 平面的法向量分别为，则 D. 平面经过三个点，向量是平面的法向量，则 12．（25-26学年高二上·浙江台州·期中）点关于轴的对称点的坐标为　　　　　　　　． 13．（25-26学年高二上·浙江温州十校联·期中）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为　　　　　　　　　　. 14．（25-26学年高二上·浙江浙里特色联·期中）在空间直角坐标系中，若，，且，则　　　　　. 15．（25-26学年高二上·浙江台州·期中）若向量，且，则　　　　　　　　　　. 16．（25-26学年高二上·浙江四校·期中）如图，在空间直角坐标系中有长方体，，，.求：    （1）向量，，的坐标； （2），的坐标. 17．（25-26学年高二上·浙江宁波六校联·期中）向量，且，则　　　　　　　　　　　． 18．（25-26学年高二上·浙江嘉兴八校联·期中）已知空间三点，，，设，. （1）求，； （2）若向量与互相垂直，求实数k的值. 19．（25-26学年高二上·浙江杭州·期中）在空间直角坐标系中，已知，则的最小值是　　　　　　　　　　. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题01空间向量与立体几何 考点01空间向量及其运算 考点02空间向量基本定理 考点03空间向量及其运算的坐标表示 ①考点01空间向量及其运算 1.C 2.A 3.C 4.B 5.A 6.C 7.D 8.B 9.BC 10.【答案】 21 333 【分析】 根据投影向量的求法，代入即可求得答案. 【详解】 向量0A在向量oB方向上的投影向量为0A,0B.0B OBOB 12+2+(-17 故答案为： --21 333 11. 【答案】(1) ▣ (2)-2▣ 【分析】 118 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)由正弦定理进行边角互化，结合余弦定理，求得CosA,根据同角三角函数的平方关系求得snA; (2)利用向量表示中线，根据向量的数量积求向量夹角的余弦值，从而得到∠MQN的余弦值. 1)小问详解： 6血CmAc+a-c-bsnB,由弦定理品A品BC利c-ac+a=c-blb C ..c2-a=bc-b2..a2=b2+c2-bc. -2bccoA,coA 因为A∈0，所以nA-哥口 即角A的正弦值为四 (2)小问详解： AM=AB+AC),BN=-AB+AC .|AM=石B=□ 病=成+花万市+号花号万4市衣+号花2-8}×46×+9=-2 所以cos A M,BN= AM·BN-2 AMBN ,厅 由图可知AM,BN的夹角等于QM,QN的夹角，即∠MQN 所以∠MQN的余弦值为.2□ M 12.【答案】(1)MC=-a+6+ (2) 法1：连接AD1, 218 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 By A D M 易知APAD1,AD1‖BC, 故MP‖BC1,得M、P、C1、B四点共面； 法2：BC,=BC+BB1=2A1P+2MA1=2AP+MA=2MP: 故BCMP,得MPCB四点共面： 法3：以B为原点，BA、BC、BB所在直线分别为X轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系B-Xyz, B A D M B 易go0,0rM3.0,}C03,3P3,23 d-03an-0,号引 故有BC=2MP: BC MP' 得M、P、C1、B四点共面. 【分析】 (1)由向量的线性表示即可求解： (2)法1：由题可得MP‖AD1,AD1‖BC1,进而得到MP‖BC1即可证明：法2：根据向量的线性 318 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 运算可得BC,=2Mp即可证明：法3：建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明BC!Mp即可. (1)小问详解： M元，-MA+AB+BC,号Ba-BA+BC=-a+6+号 (②)小问详解： 略 13.【答案】(1) a+16+1: 1 2 36 a量 【分析】 (1)先把OD表示出来，然后由点E为AD的中点得O正=号OA+号OD,化简即得结果： (2)把BC、OE用OA,OB,OC表示，然后利用数量积的运算律结合已知条件即可求出结果. (1)小问详解： 因为2d-D元.所以BD=号8C=号o元-O, 所以oD=oB+BD-OB+号O元-OB=子OB+}oC, 3 因为点E为AD的中点，所以O克=号0方+片ō市-oA+OB+号OC 23 0i+号oB+o0-号a+5+信e 2 6 3 6 (2)小问详解： 因为Bc-0元-0B.0i=01+30i+名0元， 3 所以oE8C-}0A+号oB+oc-o0-0Bl 6 =o元0i+号o心.o8+君o心-oB.o1-o8 333×3×日-33××3-是 26 418 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 刀 考点02空间向量基本定理 1.A 2.B 3.D 4.C 5.c 6.A 7.A 8.B 9.【答案】a+b+c 【分析】 根据空间向量的加法法则及图形即可求解 【详解】 由题意得AC,=AB+BC+CC1=AB+AD+AA1=à+i+c' D A 0 B D C B 故答案为：a+b+c. 》 考点03空间向量及其运算的坐标表示 1.B 2.C 3.B 4.B 5.D 6.BCD 7.D 8.AC 5/8 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 9.B 10.BCD 11.AD 12.【答案】3,1，-2 【分析】 根据点关于x轴的对称点的特点即可得到答案， 【详解】 根据空间对称性得点A3,-1,2关于x轴的对称点的坐标为3,1，-2. 故答案为：3,1，-2！ 13.【答案】1，-3,3 【分析】 根据空间直角坐标系中，点关于坐标平面对称的点的坐标写出即可. 【详解】 点P1,3,3关于平面xOz对称的点的坐标为(1，-3,3) 故答案为：1，-3,3 14.【答案】2V▣ 【分析】 根据向量数量积求出x,再由空间向量模计算即可 【详解】 因为a·b=-2+2+xy▣， 所以x=0即6=-1,2,0 所以a-6=3,-1,口la-=2啊口 故答案为：2V▣ 15. 【答案】2V口 【分析】 根据空间向量平行的坐标计算可得x=2,y=4,进而结合模的坐标公式求解即可. 【详解】 6,时 ,解得x=2,y=4, 则6=2,2,4所以=2口 618 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 故答案为：2叵 16.【答案】1)A元=1,2.3BD=-12,3rAD=0,2,32》A+2BD1,6,9 'AC+BD-2AD=0,0,0 【分析】 (1)先明确有关点的坐标，再利用终点坐标减去起点坐标，可得向量坐标. (2)利用空间向量坐标的线性运算求解. (1)小问详解： 由题意可知：A0,0,0B1,0,0C1,2,3D0,2,3 所以AC=1,2,3-0,0,0=1,2,3 BD'=0,2,3-1,0,0=-1,2,3 AD=0,2,3-0,0,0=0,2,3 (2)小问详解： AC+2BD=1,2,3+2-1,2,3=-1,6,9 AC+BD-2AD=1,2,3+-1,2,3-20,2,3=0,0,0 17.【答案】/▣ 【分析】 先利用向量垂直和平行的条件求出X、y,再计算向量3ā-b的模长。 【详解】 由a⊥c,得a·c=2x+1×-4+1×2=0,解得x=1. 61,设6-kc1,y1=k2,42.用k=克y=4×-2 故a=11,16=1,-2,1r则3a-6=25,2其模长为驷□ 故答案为：V回 18.【答案】(1)=□，à·6=-1 2)k=2k=号 718 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【分析】 1)求出a=(1,1,0),6=-1,02利用模长公式和数量积公式得到答案： (2)根据向量垂直得到方程，求出答案. (1)小问详解： 由题意，a=AB=(1,1,0,i=AC=(-1,0,2 故6=吧口 a.i=(1,1,0)(-1,0,2)=-1+0+0=-1 (2)小问详解： 因ka+泸k石-2互相垂直，则ka+)-ka-26=0 其中a=1+1=0=2,=1+0+4=5 即k2a-kài-2i=2k+k-10=0 5 解得k=2或k=- 19.【答案】2 【分析】 利用两点间距离公式求出AB, 利用二次函数求最小值 【详解】 :At,-1,1,B1,1,3t-2'AB=口 当t=1时，AB最小，AB的最小值为2 故答案为：2. 818 专题01 空间向量与立体几何 3大高频考点概览 考点01 空间向量及其运算 考点02 空间向量基本定理 考点03 空间向量及其运算的坐标表示 考点01 空间向量及其运算 1．（25-26学年高二上·浙江四校·期中）若向量，则（       ） A. 5 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【分析】 根据题意，由空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果. 【详解】 由题意可得，，则. 故选：C 2．（25-26学年高二上·浙江温州新力量·期中）平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列式子中与相等的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】利用空间向量的线性运算性质以及图示即可表示. 【详解】∵平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，，，， ∴ 故选A． 【点睛】主要考查了空间向量的线性运算及其几何意义，属于基础题. 3．（25-26学年高二上·浙江嘉兴八校联·期中）已知空间向量与共线，则（       ） A. -1 B.  C.  D. 1 【答案】C 【分析】 根据空间向量共线的条件即可得出答案. 【详解】 因为空间向量与共线， 所以，解得，所以. 故选：C 4．（25-26学年高二上·浙江台州·期中）如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用给定的基底，结合空间向量线性运算求出. 【详解】 依题意有. 故选：B. 5．（25-26学年高二上·浙江宁波·期中）已知向量，若，则（　　） A.  B.  C. 2 D. 1 【答案】A 【分析】 根据向量共线的坐标运算求解即可. 【详解】 因为，， 则，解得. 故选：A 6．（25-26学年高二上·浙江宁波六校联·期中）如图，空间四边形中，，，，点N在上，且，点M为BC中点，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据空间向量线性运算的几何意义求解即可. 【详解】 因为，所以， 又点M为BC中点，所以， 所以. 故选：C. 7．（25-26学年高二上·浙江衢州五校联·期中）已知，则在方向上的投影向量为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据投影向量的数量积表达式结合向量的坐标运算得结论即可. 【详解】 因为， 所以在方向上的投影向量为. 故选：D. 8．（25-26学年高二上·浙江杭州·期中）如图，在平行六面体中，，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由图及空间向量加法可得，后由题意及模长公式可得答案. 【详解】 设，因为六面体是平行六面体， 所以，因为， 代入计算可得： ， 故有：，所以， 所以，因为，所以. 故选：B 9．（25-26学年高二上·浙江丽水·期中）（多选）已知E，F，G，H分别是正方体的棱的中点，，则（     ） A. 直线与直线异面 B. 直线交于同一点 C. 过三点的平面截正方体所得截面图形的周长为 D. 动点K在侧面内（含边界），且，则动点K的轨迹长度为 【答案】BC 【分析】 根据题意画出立体图形，再依据平行直线共面、中位线性质、动点轨迹等知识逐一对每个选项进行分析，从而选出正确选项. 【详解】 A选项，G，H分别是的中点，则，又，则，所以共面，所以A错误； B选项，取中点为M，延长交于点N，连接，如图1，因为且是的中点， 所以，且．同理，延长交于点T，则， 即点N与点T重合，直线交于同一点，所以B正确； C选项，延长交于点Q，连接交于点P，如图2，则同B选项，易证，P为的中点， 所以四边形为过点的截面，， 所以截面周长为，所以C正确； D选项，因为平面，所以，即，所以， 因此K的轨迹是以A为圆心，为半径的圆，所以轨迹长度为，所以D错误. 故选：BC． 10．（25-26学年高二上·浙江杭州及周边重点中学·期中）已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量为　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据投影向量的求法，代入即可求得答案. 【详解】 向量在向量方向上的投影向量为 . 故答案为： 11．（25-26学年高二上·浙江衢州五校联·期中）在中，角的对边分别为．已知 （1）求角的正弦值； （2）若、边上的两条中线、相交于点，求的余弦值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由正弦定理进行边角互化，结合余弦定理，求得，根据同角三角函数的平方关系求得； （2）利用向量表示中线，根据向量的数量积求向量夹角的余弦值，从而得到的余弦值． (1) 小问详解： ，由正弦定理，得. . 又由. 因为，所以. 即角的正弦值为. (2) 小问详解： . . . 所以. 由图可知的夹角等于的夹角，即. 所以的余弦值为. 12．（25-26学年高二上·浙江温州十校联·期中）如图，在正方体中，点、为棱、的中点，设，，. （1）用、、表示； （2）证明：、、、四点共面. 【答案】（1）     （2） 法1：连接， 易知，， 故，得、、、四点共面； 法2：； 故，得、、、四点共面； 法3：以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 易得，，，， 得，， 故有，， 得、、、四点共面．      【分析】 （1）由向量的线性表示即可求解； （2）法1：由题可得，，进而得到即可证明；法2：根据向量的线性运算可得即可证明；法3：建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明即可． (1) 小问详解： ； (2) 小问详解： 略 13．（25-26学年高二上·浙江宁波六校联·期中）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设. （1）试用向量表示向量； （2）若，求的值. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先把表示出来，然后由点E为的中点得，化简即得结果； （2）把、用表示，然后利用数量积的运算律结合已知条件即可求出结果. (1) 小问详解： 因为，所以， 所以， 因为点E为的中点，所以 . (2) 小问详解： 因为，， 所以 = 考点02 空间向量基本定理 1．（25-26学年高二上·浙江嘉兴·期中）若是空间向量的一组基底，则下列可作为空间向量的一组基底的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据空间向量基本定理判断各选项中的每组向量是否共面可得结论. 【详解】 对于A，因为是空间向量的一组基底，所以向量不共面， 因此也不共面，因此可以作为一组基底，即A正确； 对于B，易知，因此向量共面，不能作为基底，即B错误； 对于C，显然，因此共面，不能作为基底，即C错误； 对于D，显然，因此共面，不能作为基底，即D错误； 故选：A 2．（25-26学年高二上·浙江嘉兴八校联·期中）在三棱柱中，，，，BC的中点为，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据空间向量的加减法运算即可求得结果. 【详解】 易知. 故选：B 3．（25-26学年高二上·浙江台州·期中）如图，在四面体中，，，，，为线段的中点，则等于（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据空间向量的线性运算求解． 【详解】 由已知， 故选：D． 4．（25-26学年高二上·浙江温州·期中）在平行六面体中，，，，，则（     ） A.  B. 3 C.  D.  【答案】C 【分析】 利用作为基底表示向量，再根据数量积求模即可. 【详解】 在平行六面体中，， 因为，，，， 所以 ， 故选：C 5．（25-26学年高二上·浙江嘉兴·期中）在平行六面体中，若分别是中点，已知，，，则下列结论错误的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用基底依次表示各选项中的向量即可求得结果. 【详解】 对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：C. 6．（25-26学年高二上·浙江台州十校联·期中）如图所示，在平行六面体中，设，，，是的中点，用，，表示为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据空间向量的基本定理求解即可. 【详解】 因为在平行六面体中，是的中点， 所以. 故选：A. 7．（25-26学年高二上·浙江台州十校联·期中）平面四边形中，若，则实数组可能是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由空间四点共面的性质逐项判断可得. 【详解】 由四点共面，且它们构成平面四边形，由共面向量定理的推论得， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误. 故选：A. 8．（25-26学年高二上·浙江丽水·期中）如图，在平行六面体中，，，则线段的长为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由空间向量线性运算，可得，利用数量积运算性质即可得出． 【详解】 ， 又，，，， ， ； 故选：B. 9．（25-26学年高二上·浙江四校·期中）在长方体中，，，，则　　　　　　　　．（用向量，，表示） 【答案】 【分析】 根据空间向量的加法法则及图形即可求解. 【详解】 由题意得， 故答案为：. 考点03 空间向量及其运算的坐标表示 1．（25-26学年高二上·浙江台金七校·期中）已知空间向量，，若，则（       ） A. 1 B.  C.  D. 3 【答案】B 【分析】 由空间向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】 因为，，且，所以，解得， 故选：B. 2．（25-26学年高二上·浙江四校·期中）在空间直角坐标系中，已知点，则（       ） A.  B.  C.  D. 5 【答案】C 【分析】 根据空间两点距离公式即可得到答案. 【详解】 ． 故选：C. 3．（25-26学年高二上·浙江温州新力量·期中）点P(－1,2,3)关于xOz平面对称的点的坐标是（       ） A. (1,2,3) B. (－1,－2,3) C. (－1,2,－3) D. (1,－2,－3) 【答案】B 【分析】 由题意，根据空间直角坐标系的性质，可得答案. 【详解】 点P(－1,2,3)关于xOz平面对称的点的坐标是(－1，－2,3)， 故选：B． 4．（25-26学年高二上·浙江杭州·期中）已知是空间直角坐标系中一点，与点关于平面对称的点的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据空间直角坐标系的概念，可得答案. 【详解】 易知点关于平面对称的点的坐标是. 故选：B. 5．（25-26学年高二上·浙江台州·期中）已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据空间向量坐标运算求出数量积及模长，再结合投影向量公式计算即可. 【详解】 由已知可得， 所以向量在向量上的投影向量是. 故选：D. 6．（25-26学年高二上·浙江温州十校联·期中）（多选）已知空间向量，，，则下列说法中正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 向量在上的投影向量的模长为 D. 若，则 【答案】BCD 【分析】 利用空间向量共线求参数，由于无解可判断A，利用空间向量积为0可判断B，利用投影向量的坐标运算可判断C，利用空间向量模的坐标运算可判断D． 【详解】 对于A，空间向量，，由，可得， 即，显然和无解，故A错误； 对于B，若，则，故B正确； 对于C，向量在上的投影向量的模长是，故C正确； 对于D，，故D正确； 故选：BCD 7．（25-26学年高二上·浙江丽水·期中）已知空间向量，则（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据空间向量的数量积坐标运算，计算即可． 【详解】 对于A：，故A错误； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确. 故选：D 8．（25-26学年高二上·浙江浙里特色联·期中）（多选）下列说法正确的是（       ） A. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为 B. 在空间直角坐标系中，是坐标平面的一个法向量 C. 已知是空间的一组基底，则也是空间一组基底 D. 以，，为顶点的三角形是等边三角形 【答案】AC 【分析】 对于A，由空间中点的对称性可判断；对于B，在空间直角坐标系中，是坐标平面的一个法向量，即可判断；对于C，由空间基底的定义可判断；对于D，由两点间的距离公式求出三边的长，即可判断. 【详解】 对于A，由空间中点的对称性可知，点关于轴对称的点的坐标为，故A正确； 对于B，在空间直角坐标系中，是坐标平面的一个法向量，故B错误； 对于C，因为是空间的一组基底，所以不共面，即其中任何一个向量都不能用另外两个向量线性表示，易得中任何一个向量也不能用另外两个向量线性表示， （若设，满足，则有 ，该方程无解），故C正确； 对于D，由题意可得， ，， 显然，且，则为等腰直角三角形，故D错误. 故选：AC. 9．（25-26学年高二上·浙江杭州及周边重点中学·期中）在空间直角坐标系中，，，，向量且，则的最小值为（     ） A.  B.  C.  D. 1 【答案】B 【分析】 先求出坐标，进而可得，由题意，设，利用，化简整理，即可得出答案. 【详解】 由题意得， 所以，又， 令，则，， 因为， 所以，即， 又， 设，则， 所以，解得，即， 当且仅当时取等号， 所以，即的最小值为. 故选：B 10．（25-26学年高二上·浙江宁波六校联·期中）（多选）清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的正四面体组合而成，如图1，也可由正方体切割而成，如图2．在图2所示的“蒺藜形多面体”中，若，则给出的说法中正确的是（       ） A. 该几何体的表面积为 B. 该几何体的体积为4 C. 二面角的余弦值为 D. 若点P，Q在线段BM，CH上移动，则PQ的最小值为 【答案】BCD 【分析】 根据正四面体的表面积即可求解A，利用割补法，结合体积公式即可求解B，根据二面角的定义，结合余弦定理即可求解C，建立空间坐标系，利用点点距离即可求解D. 【详解】 因为，所以．蒺藜形多面体的表面可看作是八个全等的棱长为的小正四面体构成，故该几何体的表面积为，A错误． 该几何体的体积为，B正确． 设EF的中点为，连接OB，OH，则, 则即二面角的平面角．，，C正确．    建立如图所示的空间直角坐标系，设，    ，当且仅当，时，等号成立．故PQ的最小值为，D正确． 故选：BCD 11．（25-26学年高二上·浙江台州十校联·期中）（多选）给出以下命题，其中正确的是（       ） A. 直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直 B. 直线l的方向向量为，平面的法向量为，则 C. 平面的法向量分别为，则 D. 平面经过三个点，向量是平面的法向量，则 【答案】AD 【分析】 由两条直线的方向向量数量积为0可得两直线垂直判断A；由数量积为0可得或判断B；由平面向量不共线判断C；由法向量与平面向量数量积为0列和的关系判断D. 【详解】 对于A，，则，所以l与m垂直，故A正确； 对于B，，则，所以或，故B错误； 对于C，若，则 ，此方程组无解，所以不成立，故C错误； 对于D，，，因为向量是平面的法向量， 所以 ，得，，，故D正确. 故选AD 12．（25-26学年高二上·浙江台州·期中）点关于轴的对称点的坐标为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据点关于轴的对称点的特点即可得到答案. 【详解】 根据空间对称性得点关于轴的对称点的坐标为. 故答案为：. 13．（25-26学年高二上·浙江温州十校联·期中）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据空间直角坐标系中，点关于坐标平面对称的点的坐标写出即可． 【详解】 点关于平面对称的点的坐标为. 故答案为： 14．（25-26学年高二上·浙江浙里特色联·期中）在空间直角坐标系中，若，，且，则　　　　　. 【答案】 【分析】 根据向量数量积求出，再由空间向量模计算即可. 【详解】 因为， 所以，即， 所以，， 故答案为： 15．（25-26学年高二上·浙江台州·期中）若向量，且，则　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据空间向量平行的坐标计算可得，进而结合模的坐标公式求解即可. 【详解】 由，则，解得， 则，所以. 故答案为：. 16．（25-26学年高二上·浙江四校·期中）如图，在空间直角坐标系中有长方体，，，.求：    （1）向量，，的坐标； （2），的坐标. 【答案】（1），，.     （2），      【分析】 （1）先明确有关点的坐标，再利用终点坐标减去起点坐标，可得向量坐标. （2）利用空间向量坐标的线性运算求解. (1) 小问详解： 由题意可知：，，，. 所以， ， . (2) 小问详解： ， . 17．（25-26学年高二上·浙江宁波六校联·期中）向量，且，则　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 先利用向量垂直和平行的条件求出、，再计算向量的模长. 【详解】 由，得，解得. 由，设，即，得，. 故，，则，其模长为. 故答案为： 18．（25-26学年高二上·浙江嘉兴八校联·期中）已知空间三点，，，设，. （1）求，； （2）若向量与互相垂直，求实数k的值. 【答案】（1），     （2）或      【分析】 （1）求出，利用模长公式和数量积公式得到答案； （2）根据向量垂直得到方程，求出答案. (1) 小问详解： 由题意，， 故， ； (2) 小问详解： 因与互相垂直，则， 其中， 即， 解得或 19．（25-26学年高二上·浙江杭州·期中）在空间直角坐标系中，已知，则的最小值是　　　　　　　　　　. 【答案】2 【分析】 利用两点间距离公式求出，利用二次函数求最小值. 【详解】 ，， 当时，最小，的最小值为2. 故答案为：2. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $