精品解析：浙江省杭州市西湖区浙大附中2025-2026学年高二上学期期中数学试题

2025学年第一学期浙大附中期中考试 高二试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线与直线垂直，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 在中，已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 曲线，则“”是“曲线C表示双曲线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 在三棱锥中，设，，，点M在OA上，且，N为BC中点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知抛物线的焦点为，点在该抛物线上，点在圆上，则的最小值为（ ） A 13 B. 9 C. 11 D. 10 6. 已知椭圆的离心率为，左､右焦点分别为，过的直线交于两点.若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知圆，圆，点P在圆N上运动，直线与圆M相切于点A，则最大长度为（ ） A. 8 B. 7 C. D. 8. 如图，是正方体体对角线（含端点）上的动点，为棱（含端点）上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 异面直线与所成角的最小值为 B. 异面直线与所成角的最大值为 C. 对于任意给定的，存在点，使得 D. 对于任意给定的，存在点，使得 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线必过定点 B. 直线在y轴上的截距为2 C. 直线的倾斜角为60° D. 过点且平行于直线的直线方程为 10. 在棱长为1的正方体中，点F在底面ABCD内运动（含边界），点E是棱的中点，则（ ） A. 若F在棱AD上时，存在点F使 B. 若F是棱AD的中点，则平面 C. 若平面，则F是AC上靠近C的四等分点 D. 若F在棱AB上运动，则点F到直线的距离最小值为 11. 椭圆的左右焦点分别为、，过焦点的直线交于两点，过的直线交于两点，且轴．设线段的中点为，则（ ） A. 点轨迹关于原点中心对称 B. 点的轨迹经过 C. 的轨迹为椭圆的一部分 D. 的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过点作圆：的切线，则切线方程为______． 13. 如图，在直三棱柱中，，，.点在线段上，点到直线的距离的最小值为__________. 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，直线与相交于另一点.当最小时，的离心率为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知三个顶点分别为，，. （1）求边上的高线长； （2）过内一点有一条直线与边，分别交于点，，且点平分线段，求直线的方程. 16. 已知双曲线：的左右顶点分别为、． （1）求以、为焦点，离心率为的椭圆的标准方程； （2）直线过点与双曲线交于两点，若点恰为弦中点，求出直线的方程； 17. 如图，在四棱锥中，底面，，∥，，，，E为棱中点． （1）求证：∥平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； 18. 已知椭圆：的左焦点为，离心率为． （1）求椭圆的方程． （2）如图，已知点，（其中，），满足以线段为直径的圆过点，且交椭圆的第一象限于点． ①若，求点的纵坐标； ②若线段交轴于点，求的值． 19. 如图，椭圆，，已知右顶点为，且它们的交点分别为，，，．点是上的动点，直线交于点，直线交于点，直线交于点，直线与直线交于点N．（上述各点均不重复） （1）求与的标准方程； （2）证明：； （3）是否存在点G，使直线与直线的斜率之积为定值，若存在，求点G的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期浙大附中期中考试 高二试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线与直线垂直，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据垂直关系得到直线的斜率，进而得到倾斜角. 【详解】由题意，直线的斜率为，因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为. 结合斜率与倾斜角的关系，得直线的倾斜角为. 故选：D. 2. 在中，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先计算出得到，从而求出. 【详解】， 因为，所以， 所以. 故选：D 3. 曲线，则“”是“曲线C表示双曲线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】曲线C是双曲线则与异号，列出不等式求出m的范围，即可进行判断. 【详解】曲线C是双曲线，则，解得，故是曲线C是双曲线的必要不充分条件. 故选：B 4. 在三棱锥中，设，，，点M在OA上，且，N为BC中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用空间向量加法与减法的运算法则求解即可 【详解】， 又 ， N 中点， ， 故选：C 5. 已知抛物线的焦点为，点在该抛物线上，点在圆上，则的最小值为（ ） A. 13 B. 9 C. 11 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】利用抛物线定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，再根据三点共线求最小距离. 【详解】如图，过点作准线的垂线，垂足为，则. 当垂直于抛物线准线时，最小， 此时记线段与圆的交点为，因为，准线为， 则的最小值为. 故选：D 6. 已知椭圆的离心率为，左､右焦点分别为，过的直线交于两点.若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】设，由离心率得到，再由垂直关系利用勾股定理求出，再由求出，即可得解. 【详解】设，， 因为椭圆的离心率，则， 由，则， 即，解得，则，， 又，则， 即， 解得，所以. 故选：C. 7. 已知圆，圆，点P在圆N上运动，直线与圆M相切于点A，则的最大长度为（ ） A. 8 B. 7 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用圆的切线长公式以及点到圆的距离的位置关系求解. 【详解】由题，圆，圆， 所以圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 作图如下， 因为, 由几何性质可知，当的坐标为时，有最大值为， 此时最大，最大值为， 故选:C. 8. 如图，是正方体体对角线（含端点）上的动点，为棱（含端点）上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 异面直线与所成角的最小值为 B. 异面直线与所成角的最大值为 C. 对于任意给定的，存在点，使得 D. 对于任意给定的，存在点，使得 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】以为坐标原点，建系如图，设正方体的边长为1，则， 设，，则， 设异面直线与所成的角为， 则， 因，由于，则时，， 又，，于是，则， 又，结合余弦函数的单调性可知，，故AB错误； 对于C.设，，则， 由上述分析，，， 当时，无解，故C错误； 对于D.，令，得， 即对于任意的M，存在点P使得，故D正确. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线必过定点 B. 直线在y轴上的截距为2 C. 直线的倾斜角为60° D. 过点且平行于直线直线方程为 【答案】AC 【解析】 【分析】将直线方程化为，即可求出直线过定点坐标，从而判断A，令求出，即可判断B，求出直线的斜率即可得到倾斜角，从而判断C，根据两直线平行斜率相等求出直线方程即可判断D； 【详解】解：对于A，，即， 令，即，所以直线必过定点，故A正确； 对于B，对于直线，令得，所以直线在轴上的截距为，故B错误； 对于C，直线，即，所以斜率，其倾斜角为，故C正确； 对于D，过点且平行于直线的直线方程为：，即，故D错误， 故选：AC． 10. 在棱长为1的正方体中，点F在底面ABCD内运动（含边界），点E是棱的中点，则（ ） A. 若F在棱AD上时，存在点F使 B. 若F是棱AD的中点，则平面 C. 若平面，则F是AC上靠近C的四等分点 D. 若F在棱AB上运动，则点F到直线的距离最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求线线的夹角，以及判断线面垂直，以及求解点到直线的距离，判断ACD，利用面面平行证明线面平行，判断B. 【详解】A.如图建立空间直角坐标系，，，， ，， ， 整理为，解得：或，都舍去， 所以不存在点F使，故A错误； B. 如图，取的中点，连结，因为点是的中点， 所以，平面，平面， 所以平面， 同理，且，所以，平面，平面，所以平面， 且，平面， 所以平面平面，平面， 所以平面 C. 若F是AC上靠近C的四等分点，则，，，， 所以，，， ，, 所以，，且，平面， 所以平面，且过点只有1条直线和平面垂直， 则点是唯一的，点是上靠近的四等分点，故C正确； D.若点在棱上运动，设，， ，, 则点到的距离， 当时，的最小值为，故D正确. 故选：BCD 【点睛】思路点睛：本题的关键是将几何问题转化为向量运算，尤其是证明垂直关系，求角和距离，以及判断是否存在问题. 11. 椭圆的左右焦点分别为、，过焦点的直线交于两点，过的直线交于两点，且轴．设线段的中点为，则（ ） A. 点的轨迹关于原点中心对称 B. 点的轨迹经过 C. 的轨迹为椭圆的一部分 D. 的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】不妨设在轴的上方，其坐标为，则可联立直线方程和椭圆方程后求出的坐标，同理可求出的坐标，从而可求的轨迹方程，结合轨迹方程的性质可判断A，在轨迹方程代入B选项的点可判断B，根据方程的次数可判断C，利用换元法可求的范围，从而可判断D. 【详解】由椭圆的方程为可得，故，. 由椭圆的对称性，不妨设在轴的上方，其坐标为. 设，由可得， ， 故，而，故， 故， 故，故. 而，设， 由可得， ， 故，而，故， 故， 故，故, 故即， 即， 故， 由可得， 若，则， 若，则，此时， 故此时， 整理得， 故或（舍）， 所以，故， 故的轨迹方程为：. 当时，，此时，，也满足上式方程， 综上，的轨迹方程为：. 对于A，设为 的轨迹上的任意一点，则的坐标也满足轨迹方程， 故也在轨迹上，故点的轨迹关于原点中心对称，故A正确； 对于B，取，则， 而，故成立， 故点的轨迹经过，故B正确. 对于C，因为的轨迹方程为4次方程，故其轨迹不为椭圆，故C错误. 对于D，，其中， 设，则， 而 ， 其中，而，故 故，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过点作圆：的切线，则切线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】易得点在圆上，则切线必垂直于切点与圆心的连线，进而求解即可. 【详解】因为，所以点在圆上， 故切线必垂直于切点与圆心的连线， 由，则圆心为， 则切点与圆心连线的斜率为，即切线的斜率为， 所以切线方程为，即. 故答案为：. 13. 如图，在直三棱柱中，，，.点在线段上，点到直线的距离的最小值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间距离的向量求法即可求解. 【详解】由已知，以B为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 设直三棱柱的侧棱长为h， 则， ， 由于点在线段上，设，则， 故， 设点到直线的距离为d，则 ， 当时，取最小值，则d的最小值为， 故答案为： 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，直线与相交于另一点.当最小时，的离心率为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】设，利用余弦定理求出最小时的值，确定在中，，再利用余弦定理求出的关系，解得答案. 【详解】设椭圆方程为，其焦距为2c， 由题意可知； 设，则， 故 ， 当时，取最小值，此时取最小值， 则此时在中，， 则, 即，整理得， 故椭圆离心率， 故答案为： 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用余弦定理确定最小时的值，进而再利用余弦定理求出的关系，解得答案. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知三个顶点分别为，，. （1）求边上的高线长； （2）过内一点有一条直线与边，分别交于点，，且点平分线段，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出直线AB的方程，利用点到直线距离公式求出点C到直线AB的距离可得答案； （2）求出直线AC的方程，设，则，根据点M，N分别在直线AB，AC上，可得，再利用点斜式方程可得答案. 【小问1详解】 ，，， 直线的斜率， 直线的方程为化为， 点C到直线的距离， 即边上的高线长为； 小问2详解】 由题知，直线的斜率， 直线的方程为，即， 设，因为点平分线段，则， ∵点M，N分别在直线，上， ，解得， 直线l的斜率， 直线l的方程为，即． 16. 已知双曲线：的左右顶点分别为、． （1）求以、为焦点，离心率为的椭圆的标准方程； （2）直线过点与双曲线交于两点，若点恰为弦的中点，求出直线的方程； 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意可求得椭圆焦点，，再结合离心率为，求出得解； （2）利用点差法求出直线的斜率进而求出直线方程； 【小问1详解】 由题意可得，，，则， 又，， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 设，点恰为弦的中点，则，， 又因为两点在双曲线上， 可得，两式相减得， 化简整理得，即， 所以直线的方程为，即， 经检验，满足题意. 17. 如图，在四棱锥中，底面，，∥，，，，E为棱中点． （1）求证：∥平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，可证四边形为平行四边形，再由线面平行的判定定理即可∥平面； （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，由线面角的向量求法可得. 【小问1详解】 取的中点，连接，则∥，且. 因为∥，，所以，∥，且. 所以四边形为平行四边形. 所以∥. 因为平面，平面，所以∥平面. 【小问2详解】 因为底面，底面，所以. 又，所以以为坐标原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，所以. 所以. 设平面的法向量为， 则. 令，则， 所以平面的一个法向量为. 设直线与平面所成角为， 则. 即直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知椭圆：的左焦点为，离心率为． （1）求椭圆方程． （2）如图，已知点，（其中，），满足以线段为直径的圆过点，且交椭圆的第一象限于点． ①若，求点的纵坐标； ②若线段交轴于点，求的值． 【答案】（1） （2）① ；② 【解析】 【分析】（1）由条件列关于的方程，解方程求可得椭圆方程； （2）①由条件可得，结合向量数量积坐标运算公式列方程可求，设，根据关系及点在椭圆上列方程求， ②由条件可得，所以，设，根据关系及点在椭圆上列方程可得，再证明，由此可得结论. 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为， 由条件可知，，， 所以，， 所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 由已知，，， 因为点在以为直径的圆上，所以，故， 又，， 所以，故，即． 设，，， ，， 由题意可知，解得， 则点的纵坐标为． 由题知，，，， 由，可得， 所以，故， 设，，，，， 因为，故， 所以，且， 化简得，又， 所以，即， 由，得，所以． 19. 如图，椭圆，，已知右顶点为，且它们的交点分别为，，，．点是上的动点，直线交于点，直线交于点，直线交于点，直线与直线交于点N．（上述各点均不重复） （1）求与的标准方程； （2）证明：； （3）是否存在点G，使直线与直线的斜率之积为定值，若存在，求点G的坐标． 【答案】（1）； （2）证明见解析 （3）. 【解析】 【分析】（1）首先求出，再代入即可得到答案； （2）设直线分别为，其斜率依次为，联立的方程与椭圆方程后结合韦达定理可求用表示，从而可得，结合变换关系可证. （3）设直线，联立椭圆方程得到，则得到的坐标，再计算得，，设，计算化简得，则得到定点坐标. 【小问1详解】 由题意得，，又因为在上， 代入得，所以，则. 【小问2详解】 设直线分别为，其斜率依次为， 设直线， 联立得， 其中，故. 又，所以， 代入直线方程得， 则，设， 则经过的两直线之间斜率满足关系：， 将直线绕原点顺时针旋转后也会经过， 所以两者斜率满足，所以， 所以. 【小问3详解】 设直线为，其斜率为. 结合（2）的方法，同理将直线绕原点顺时针旋转后也会经过， 所以两直线斜率满足， ， 设，则有，代入上式得：， 得到， 所以，因此存在定点， 使直线和直线的斜率之积为定值5. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $