精品解析：浙江省杭州第九中学2025-2026学年高二上期中考数学试题

2025学年第一学期高二年级期中考试数学问卷 时间：2025年11月 命题人：张宇雁 校对人：朱亚洁 学校：__________ 姓名__________ 班级：__________ 考号：__________ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在平面直角坐标系中，直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 直线与直线的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 3. 若直线是圆的一条对称轴，则（ ） A. 1 B. C. D. 4. 已知点，，若直线与线段有公共点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，分别是双曲线C：（，）的两个焦点，P为双曲线C上一点，且，那么双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 6. 已知直线经过点，且是的方向向量，则点到的距离为（ ） A. B. C. D. 7. “”是“直线与双曲线只有一个公共点”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知抛物线上任意一点，定点，若点是圆上动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 在平面直角坐标系中，已知点，，点M是平面内的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则点的轨迹是双曲线 B. 若，则点轨迹是椭圆 C. 若，则点的轨迹是一条直线 D. 若，则点的轨迹是圆 10. 已知圆 与圆 （ ） A. 两圆的圆心距为 B. 两圆的公切线有 3 条 C. 两圆相交，且公共弦所在的直线方程为 D. 两圆相交，且公共弦的长度为 11. 如图，直三棱柱中，，，，分别为棱和的中点，为棱上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 该三棱柱的体积为4 C. 直线与平面所成角的正切值的最大值为 D. 过，，三点截该三棱柱的截面面积为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 抛物线的焦点坐标是______. 13. 已知抛物线的顶点为，且过点．若是边长为的等边三角形，则____． 14. 在长方体中，，，点为线段上一动点，则的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在空间四边形中，点为的中点，，设，，． （1）试用向量，，表示向量； （2）若，，求值． 16. 如图，在棱长为2正方体中，为棱的中点，为棱的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 已知直线． （1）若直线与直线平行，求的值； （2）若圆关于直线的对称图形为曲线，直线过点，求曲线截直线所得的弦长的最小值． 18. 已知椭圆上的点到两焦点的距离之和为4，且右焦点为． （1）求椭圆的方程； （2）设、分别为椭圆的左右顶点，点为椭圆上异于、的动点，直线、分别与直线交于点、．求证：以为直径的圆交轴于两定点． 19. 已知平面直角坐标系中有一拋物线． （1）过点作抛物线的两条互相垂直的弦和，设的纵坐标为，试用表示的面积，并求面积的最小值； （2）过抛物线上一点作圆的两条切线，，分别交抛物线于点，，求直线的斜率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期高二年级期中考试数学问卷 时间：2025年11月 命题人：张宇雁 校对人：朱亚洁 学校：__________ 姓名__________ 班级：__________ 考号：__________ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在平面直角坐标系中，直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用直线的斜率和倾斜角的关系求解. 【详解】解：设直线的倾斜角为 又直线斜率为， 所以，又， 所以， 故选：C 2. 直线与直线的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平行线的距离公式求距离即可. 【详解】由，显然与平行， 所以它们的距离为. 故选：D 3. 若直线是圆的一条对称轴，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可知圆的圆心为， 因为圆的对称轴必过圆心，所以，解得. 4. 已知点，，若直线与线段有公共点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】可知直线过定点， 如图所示，可知， 所以当直线与线段有公共点时，的取值范围为. 5. 已知，分别是双曲线C：（，）的两个焦点，P为双曲线C上一点，且，那么双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意结合双曲线的定义和直角三角形的几何性质，列式运算可得其离心率的值. 【详解】设双曲线半焦距为，则， 由题意可得：， 因为，整理得. 故选：D. 6. 已知直线经过点，且是的方向向量，则点到的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过向量的运算求出向量在直线方向向量上的投影，然后利用勾股定理求出点到直线的距离. 【详解】已知点和点，则. 向量在上的投影长度. 先求.再求.所以. 根据勾股定理，点到直线的距离. 先求.则. 故选：C. 7. “”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，联立直线与双曲线方程，由直线与双曲线只有一个公共点代入计算，即可得到取值，再由充分条件，必要条件的定义，即可得到结果. 【详解】联立方程，整理可得， 当时，即，方程有一解，即只有一个公共点； 当时，，解得； 所以直线与双曲线只有一个公共点时，或， 所以“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的充分不必要条件， 故选：A 8. 已知抛物线上任意一点，定点，若点是圆上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用圆的性质结合抛物线的定义求解即可． 【详解】抛物线焦点，准线，设点到准线的距离为，点到准线的距离为 ． 故选：B 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 在平面直角坐标系中，已知点，，点M是平面内的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则点的轨迹是双曲线 B. 若，则点的轨迹是椭圆 C. 若，则点的轨迹是一条直线 D. 若，则点的轨迹是圆 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据双曲线的定义判断A，根据椭圆的定义判断B，设求出轨迹方程，即可判断C、D. 【详解】因为，，所以， 对于A：因为，所以点是以为焦点的双曲线，故A正确；对于B：因为，所以点的轨迹为线段，故B错误； 对于C：设，则， 因为，所以，整理得，所以点的轨迹是一条直线，故C正确； 对于D：因为，即，所以点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，故D正确. 故选：ACD 10. 已知圆 与圆 （ ） A. 两圆的圆心距为 B. 两圆的公切线有 3 条 C. 两圆相交，且公共弦所在的直线方程为 D. 两圆相交，且公共弦的长度为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据圆的方程确定圆心坐标，求出两圆圆心距，判断A；判断两圆的位置关系，即可判断B；将两圆方程相减，即可得两圆公共弦所在的直线方程，判断C；利用几何法求得公共弦长，判断D. 【详解】对于A，圆的圆心为，半径为 与圆的圆心为，半径为， 故两圆的圆心距为，故A正确； 对于B，由于， 即圆与圆相交，两圆的公切线有2条，故B错误； 对于C，由B可知两圆相交，将圆与圆的方程相减，得， 即公共弦所在的直线方程为，故C正确； 对于D，由B可知两圆相交，而， 到直线的距离为， 故两圆公共弦的长度为，故D错误； 故选：AC. 11. 如图，直三棱柱中，，，，分别为棱和中点，为棱上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 该三棱柱的体积为4 C. 直线与平面所成角的正切值的最大值为 D. 过，，三点截该三棱柱的截面面积为 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用题设建系，对于A，通过空间向量证明平面，即得；对于B，利用直棱柱体积公式计算即得；对于C，设点，利用空间向量的夹角公式计算得出关于的函数式，通过求函数的最大值得到所成角正切值的最大值；对于D，先利用线面平行的性质作出截面，再计算其面积即可排除D. 【详解】 如图建立空间直角坐标系，则，，，，， 对于A，，，， 因， ，可得，， 因，且两直线在平面内，则有平面， 又为棱上的动点，故，即A正确； 对于B，由题意，该三棱柱的体积为，故B正确； 对于C，如图，因平面，平面，则， 又，，且两直线在平面内，故得平面， 故可取平面法向量为， 又为棱上的动点，可设，，则， 设直线与平面所成角为，则 ， 因，故当且仅当时，取得最小值为， 此时取得最大值为， 因，而正弦函数和正切函数在上均为增函数， 故此时取得最大值为，故C正确. 对于D，如图， 设经过，，三点的截面交于点， 连接，因，平面，平面，则平面， 又，平面，故得，即截面为梯形， 因，， 设梯形的高为，则，解得， 则，故D错误； 故选：ABC. 【点睛】本题主要考查空间向量在立体几何中的应用，属于难题. 解题思路在于，化“动”为“静”，将线线垂直的判断转化成线面垂直的证明;利用线面平行的性质作出截面求解；通过建系，将线面所成角的问题进行量化，借助于函数的最值求解. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 抛物线的焦点坐标是______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据抛物线的标准方程进行求解即可. 【详解】由，所以该抛物线的焦点在纵轴上，因此焦点的坐标为：， 故答案为： 13. 已知抛物线的顶点为，且过点．若是边长为的等边三角形，则____． 【答案】1 【解析】 【分析】根据抛物线的对称性以及等边三角形的边角关系即可代入求解. 【详解】设，则,即， 所以，由于又，所以，因此，故关于轴对称， 由得,将代入抛物线中得所以， 故答案为：1 14. 在长方体中，，，点为线段上一动点，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【详解】 如图所示，以为坐标原点，以为轴，建立空间直角坐标系， 则， 设点，即， 可得，即， 所以， 则， 根据二次函数性质可知当时取得最小值，此时最小值为. 所以的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在空间四边形中，点为的中点，，设，，． （1）试用向量，，表示向量； （2）若，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量的线性运算代入计算，即可得到结果； （2）由空间向量数量积的运算律代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 点为的中点，， ， ． 【小问2详解】 ，由（1）得 ． 16. 如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求得直线的方向向量和平面的法向量，计算后即可证明； （2）根据线面角的向量求法即可求解. 【小问1详解】 以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 因为为棱的中点，为棱的中点，所以， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 因为，所以， 因为平面，所以平面. 【小问2详解】 由（1）得，， 设直线与平面所成的角为， 则. 17. 已知直线． （1）若直线与直线平行，求的值； （2）若圆关于直线的对称图形为曲线，直线过点，求曲线截直线所得的弦长的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据两直线平行可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值； （2）求出圆的标准方程，分析可知，当时，圆心到直线的距离最大，此时，圆截直线的弦长最短，利用勾股定理可求得弦长的最小值. 【小问1详解】 因为直线与直线平行， 则，解得. 【小问2详解】 圆关于直线的对称图形为曲线是圆， 圆的圆心为，半径为， 设圆心，直线的斜率为， 由题意可得，解得， 所以，圆的标准方程为， 因为，所以，点在圆内， 当时，圆心到直线的距离取最大值，且， 所以，圆截直线弦长的最小值为. 18. 已知椭圆上的点到两焦点的距离之和为4，且右焦点为． （1）求椭圆的方程； （2）设、分别为椭圆的左右顶点，点为椭圆上异于、的动点，直线、分别与直线交于点、．求证：以为直径的圆交轴于两定点． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的概念，求出参数值，写出标准方程即可； （2）根据直线与椭圆的位置关系，和圆的基本性质，设出点的坐标，联立方程组，求出圆与轴交点的横坐标即可. 【小问1详解】 由题意可知，所以， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 如图所示，可知，设， 则，所以， 所以， 设以为直径的圆交轴于点， 可得， 因为为直径，所以，即，化简得， 而，所以，所以，所以， 解得或，即以为直径的圆交轴于点，即以为直径的圆交轴于两定点. 19. 已知平面直角坐标系中有一拋物线． （1）过点作抛物线的两条互相垂直的弦和，设的纵坐标为，试用表示的面积，并求面积的最小值； （2）过抛物线上一点作圆的两条切线，，分别交抛物线于点，，求直线的斜率． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）根据直线垂直的性质，和两点间的距离公式，设出点的坐标，求出面积的表达式，根据基本不等式，求出面积最小值即可； （2）根据直线与圆相切的性质，以及点到直线距离公式，求出两条切线斜率之间的关系，再根据直线与抛物线的位置关系，联立方程组，根据韦达定理，求出结果即可. 【小问1详解】 如图所示，不妨设点在第一象限，在第四象限， 则，化简得，即， 所以， 所以， 所以， 由基本不等式可知，当且仅当，即时取等号， 即当时，面积取得最小值，. 【小问2详解】 如图所示，设，， 设， 化简得， 因为与以为圆心，以为半径的圆相切， 所以，化简得， 所以是方程的两个根，可得， 联立方程组，消去得， 可知该方程的两个根分别为和，所以，化简得 同理可知， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $