精品解析：浙江省杭州市拱墅区源清中学2025-2026学年高二上学期期中数学试题

杭州市源清中学2025学年第一学期高二期中考试 数学试卷 命题人：吴桐 审核人：徐骋 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. 或 B. C. 或 D. 或 2. 甲、乙两名射击手在一次射击中，甲的中靶概率为0.4，乙的中靶概率为0.5，现两人各射击一次，则至少有一人中靶的概率是（ ） A. 0.9 B. 0.7 C. 0.5 D. 0.8 3. 已知 ， 则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 第九届亚冬会在哈尔滨举行，参加自由式滑雪女子大跳台决赛的六位选手的得分如下：119.50，134.75，154.75，159.50，162.75，175.50，则该组数据的第60百分位数为（ ） A. 134.75 B. 144.75 C. 154.75 D. 159.50 5. 已知圆锥的侧面展开图是一个面积为的半圆，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，空间四边形中，，，，点在上，且满足，点为的中点，则（ ） A. B. C. D. 7. 中内角，，所对的边分别为，，，若，且，则（ ） A. B. C. D. 2 8. 已知直线与圆交于A，B两点，当的面积最大时，（ ） A. B. C. 0或 D. 0或 二、多选题：本题共3小题，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关于函数的表述正确的是（ ） A. 在上单调递减 B. 当时，函数取得最大值2 C. 函数是偶函数 D. 函数的值域为 10. 已知为直线上的动点，下列结论正确的是（ ） A. 若，则点的轨迹是一个圆 B. 若，则点的轨迹是一条直线 C. 若，则点到的距离为 D. 是的一个方向向量 11. 如图，已知正方体的棱长为2，E，F分别为，的中点，而G是线段（可与端点重合）上的动点，以下说法正确的是（ ） A. 平面 B. 当点G与点重合时，平面 C. 当点G与点重合时，直线与平面所成角最大 D. 当G是的中点时，点C到平面的距离为 三、填空题：本题共3小题，共15分. 12. 已知函数，则___________. 13. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若；且，则周长的最大值为___________． 14. 已知是双曲线的左、右焦点，为双曲线上的两点，若，且以为直径的圆恰好过点，则双曲线的离心率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 近期中央电视台播出的《中国诗词大会》火遍全国．某选拔赛后，随机抽取100名选手的成绩，按成绩由低到高依次分为第1，2，3，4，5组，制成频率分布直方图如下图所示： （1）在第3、4、5组中用分层抽样抽取5名选手，求第3、4、5组每组各抽取多少名选手； （2）在(1)的前提下，在5名选手中随机抽取2名选手，求第4组至少有一名选手被抽取的概率． 16. 已知圆O： （1）过圆外一点引圆的切线，求切线方程； （2）设点P是直线上的一点，过点P作圆的切线，切点是M，求的面积最小值以及此时点P的坐标． 17. 在四棱锥中，已知侧面是边长为2的正三角形，是的中点，底面为矩形，且侧面底面，与平面所成角的正切值为. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知椭圆的右焦点为，且椭圆C过点. （1）求椭圆的标准方程. （2）若直线与椭圆交于，两点，且直线为的角平分线， （i）证明：直线过定点； （ii）求的最大值. 19. 函数的最小正周期为，为该函数的一个对称中心. （1）求函数的解析式及单调递增区间； （2）当时，设的最大值为，求的值域； （3）把曲线向右平移个单位，再把曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线.试问当时，，，能否作为三边长？若能，给出证明，并探究的外接圆的半径是否为定值？若不能，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州市源清中学2025学年第一学期高二期中考试 数学试卷 命题人：吴桐 审核人：徐骋 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. 或 B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以或， 结合，所以或. 2. 甲、乙两名射击手在一次射击中，甲的中靶概率为0.4，乙的中靶概率为0.5，现两人各射击一次，则至少有一人中靶的概率是（ ） A. 0.9 B. 0.7 C. 0.5 D. 0.8 【答案】B 【解析】 【分析】依题意根据对立事件定义以及独立事件乘法公式计算可得结果. 【详解】记“甲中靶”为事件，“乙中靶”为事件，且两事件相互独立； 则可得，； 所以至少有一人中靶概率为. 故选：B 3. 已知 ， 则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式性质以及指数函数单调性、对数函数定义域，利用特殊值即可判断结果. 【详解】根据题意可知，不妨取 则，此时不满足，即A错误； 易得，此时，所以B错误； 对于D，无意义，所以D错误， 由指数函数单调性可得，当时，，即C正确. 故选：C 4. 第九届亚冬会在哈尔滨举行，参加自由式滑雪女子大跳台决赛的六位选手的得分如下：119.50，134.75，154.75，159.50，162.75，175.50，则该组数据的第60百分位数为（ ） A. 134.75 B. 144.75 C. 154.75 D. 159.50 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用第60百分位数的定义直接求解. 【详解】由，则该组数据的第60百分位数为159.50. 故选：D 5. 已知圆锥的侧面展开图是一个面积为的半圆，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的底面半径和高，利用圆锥的体积公式，即可求得答案. 【详解】设圆锥的母线长为l，因为圆锥的侧面展开图是一个面积为的半圆， 所以，则， 又圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面的周长，设圆锥底面半径为r， 则 ，， 则圆锥的高为， 故该圆锥的体积为， 故选：C 6. 如图，空间四边形中，，，，点在上，且满足，点为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算计算即可. 【详解】因为，所以. 因为点为的中点，所以. 所以 . 故选：B. 7. 中内角，，所对的边分别为，，，若，且，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦定理求出，再结合同角三角函数的基本关系求出，最后利用正弦定理求解即可. 【详解】因为，所以， 则，由余弦定理得， 因为，所以， 由同角三角函数的基本关系得，解得， 由正弦定理得，故A正确. 故选：A. 8. 已知直线与圆交于A，B两点，当的面积最大时，（ ） A. B. C. 0或 D. 0或 【答案】D 【解析】 【分析】利用已知直线与圆的位置关系，结合三角形面积公式和点到直线的距离公式列关于的方程求解． 【详解】 直线， 圆是圆心为，半径为的圆， 的面积，， 当时，的面积最大，此时圆心到直线l的距离为， ，解得或，经验证均符合题意， 当的面积最大时，或． 故选：D． 二、多选题：本题共3小题，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关于函数的表述正确的是（ ） A. 在上单调递减 B. 当时，函数取得最大值2 C. 函数是偶函数 D. 函数的值域为 【答案】CD 【解析】 【分析】根据二倍角公式及余弦型函数的性质逐项判断即可. 【详解】. 选项A：，，结合余弦函数的性质可知，在上不单调，故A错误. 选项B：当时，，故B错误. 选项C：的定义域为，， 所以函数是偶函数，故C正确. 选项D：的值域为，所以的值域为，故D正确. 10. 已知为直线上的动点，下列结论正确的是（ ） A. 若，则点的轨迹是一个圆 B. 若，则点的轨迹是一条直线 C. 若，则点到的距离为 D. 是的一个方向向量 【答案】BCD 【解析】 【分析】A：设出点的坐标，根据条件表示出坐标关系式，由此作出判断；B：利用相关点法确定出点的轨迹方程，由此作出判断；C：确定出点的轨迹方程，根据平行直线间的距离公式求解出结果并作出判断；D：根据的斜率作出判断. 【详解】因为点为直线上的动点，设，若， 则，即，因为， 所以，显然点的轨迹是由点确定， 当确定时，点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，故A错误； 若，则，所以，又点在直线上， 所以，即点的轨迹方程为，它是一条直线，故B正确； 若，则点到的距离即为直线与直线的距离，即为，故C正确； 直线的斜率为，所以直线的一个方向向量为，故D正确； 故选：BCD 11. 如图，已知正方体的棱长为2，E，F分别为，的中点，而G是线段（可与端点重合）上的动点，以下说法正确的是（ ） A. 平面 B. 当点G与点重合时，平面 C. 当点G与点重合时，直线与平面所成角最大 D. 当G是的中点时，点C到平面的距离为 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A项,连接，因为E，F分别为，的中点，可得 ， 又平面，平面， 所以平面，故A正确； 对于B项，以为坐标原点，以为轴，建立空间直角坐标系， 因为正方体的棱长为2，可得： ， 当点G与点重合时， ， 则，，， 设平面的法向量为 ， 则 ， 令 则， 因为与不共线， 所以与平面不垂直，故B错误； 对于C项，设，，则 设平面的法向量为 则 则，即， 令 ，则， 所以，， 设直线与平面所成角为， 则， 设，， 则， 故单调递增，所以当时，最大， 即点G与点重合时，最大，此时直线与平面所成角最大，故C正确； 对于D项，当G是的中点时， ， 此时， 设平面的法向量为， 则，即， 令 ，得到 因为， 所以点C到平面的距离为，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，共15分. 12. 已知函数，则___________. 【答案】0 【解析】 【详解】由题意可得. 13. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若；且，则周长的最大值为___________． 【答案】3 【解析】 【分析】先利用两角和的正弦公式求出角的大小，再根据正弦定理得出，，从而得出的表达式，进而利用辅助角公式及正弦函数的性质求解即可得到答案． 【详解】由，即， 又，则，解得， 又，即，则，且， 又由正弦定理有， 则，， 所以周长为 ， 又，即， 则，即， 所以，即周长的最大值为． 14. 已知是双曲线的左、右焦点，为双曲线上的两点，若，且以为直径的圆恰好过点，则双曲线的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，设，，，，得出，，结合，得出.因为、在双曲线上，得出，又因为过原点以为直径的圆过点，得出，结合双曲线的性质有，联立双曲线方程得出，所以，设离心率，构造关于的方程为，解方程求出. 【详解】 如上图所示，设，，，， 则，. 因为， 所以. 因为、在双曲线上，则. 又因为过原点以为直径的圆过点，所以. 根据双曲线的性质有，联立得 所以， 设离心率，则，解得，（，舍去）. 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 近期中央电视台播出的《中国诗词大会》火遍全国．某选拔赛后，随机抽取100名选手的成绩，按成绩由低到高依次分为第1，2，3，4，5组，制成频率分布直方图如下图所示： （1）在第3、4、5组中用分层抽样抽取5名选手，求第3、4、5组每组各抽取多少名选手； （2）在(1)的前提下，在5名选手中随机抽取2名选手，求第4组至少有一名选手被抽取的概率． 【答案】（1）2人、2人、1人， （2）. 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图可以求出3、4、5组的频数分别为20、20、10，根据分层抽样的原则：比例相同，则可以得到抽取的人数； （2）分别列举出从五位选手中抽取两位选手的总事件有10种，其中第4组至少有一名选手的事件有7，从而根据古典概型可求得概率. 【小问1详解】 由频率分布直方图易知第3组的频率为，从而第3组的频数为， 同理可得第4、5组的频数分别为20、10，所以第3、4、5组共有50名选手. 利用分层抽样在50名选手中抽取5名选手，每组抽取的人数分别为： 第3组：人，第4组：人，第5组：人， 所以第3、4、5组分别抽取2人、2人、1人. 【小问2详解】 设第3组的2位选手为，，第4组的2位选手为，，第5组的1位选手为， 则从这五位选手中抽取两位选手有，，，，，，，，，，共10种. 其中第4组的2位选手，中至少有一位选手入选的有：，，，，，，，共有7种， 所以第4组至少有一名选手的概率为. 16. 已知圆O： （1）过圆外一点引圆的切线，求切线方程； （2）设点P是直线上的一点，过点P作圆的切线，切点是M，求的面积最小值以及此时点P的坐标． 【答案】（1）和 （2）点P 的坐标为，面积最小值为 【解析】 【分析】（1）设过点的切线方程为，利用圆心到直线的距离等于半径，建立方程，求出切线方程，注意直线斜率不存在的情况． （2）由圆的几何性质可知，当的面积最小时，，求出OP的方程后即可得到点P的坐标，进一步可求的最小面积． 【小问1详解】 当切线斜率存在时，设切线的方程为，即， 圆心到切线的距离是2， ，解得， 切线方程为，即 当切线斜率不存在时，易知与圆也相切， 故所求切线方程为和 【小问2详解】 由圆的几何性质可知，当时，的面积最小值． 又因为， 所以直线OP的方程为 由解得 即点P 的坐标为 此时的面积最小值为 17. 在四棱锥中，已知侧面是边长为2的正三角形，是的中点，底面为矩形，且侧面底面，与平面所成角的正切值为. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质定理得平面，从而得，然后由线面垂直的判定定理证明线面垂直； （2）取中点O，连接，证明平面，以O为原点，过O平行于的直线为x轴，，为y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由二面角的空间向量法求得余弦值． 【小问1详解】 因为底面为矩形，则， 又因为侧面底面，侧面底面，平面， 所以平面， 而平面，所以， 又侧面为正三角形，M是的中点，所以， 又，，平面， 所以平面. 【小问2详解】 取中点O，连接，则， 又因为侧面底面，侧面底面，平面， 所以平面， 以O为原点，过O平行于的直线为x轴，，为y，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，，， 由平面的一个法向量是， 因为与平面所成角的正切值为，所以其正弦值为， 所以，解得， 则， 设平面的一个法向量是， 则，取，则，， 所以为平面的一个法向量， 由，，，， 设平面的一个法向量是， 则，取，则，， 所以为平面的一个法向量， ， 设平面与平面所成夹角为，则， 所以平面与平面所成夹角的余弦值为. 18. 已知椭圆的右焦点为，且椭圆C过点. （1）求椭圆的标准方程. （2）若直线与椭圆交于，两点，且直线为的角平分线， （i）证明：直线过定点； （ii）求的最大值. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析 （ii） 【解析】 【分析】（1）根据焦点坐标，结合代入法、，，三者之间的关系进行求解即可； （2）（i）根据三角形面积公式，结合一元二次方程根与系数关系、直线的斜率公式进行求解即可； （ii）根据三角形面积公式，结合二次函数的性质进行求解即可. 【小问1详解】 因为椭圆右焦点坐标为，所以，因为椭圆过点，所以，因为， 所以解得，，所以椭圆方程为. 【小问2详解】 （i）设直线与直线交于点，所以，所以，所以， 显然，直线的斜率存在且不为0，则直线的方程为，，，且，， 由可得，所以，， 所以，整理可得，， 所以，解得，所以直线的方程为，所以直线过定点. （ii）由（i）可得，由， 解得，且，，所以， 代入可得，令，所以， 所以当，即，所以的最大值为. 19. 函数的最小正周期为，为该函数的一个对称中心. （1）求函数的解析式及单调递增区间； （2）当时，设的最大值为，求的值域； （3）把曲线向右平移个单位，再把曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线.试问当时，，，能否作为三边长？若能，给出证明，并探究的外接圆的半径是否为定值？若不能，请说明理由. 【答案】（1）， （2） （3）能，证明见解析，为定值 【解析】 【分析】（1）根据周期及对称性求得，再利用整体法结合正弦函数的性质可求增区间； （2）就对称轴是否在区间中分类讨论后可求，从而求得其值域； （3）图象变换得的解析式，再根据三角变换可证任意两数和大于第三个数，结合余弦定理可证外接圆的半径为定值. 【小问1详解】 函数的最小正周期为， 则 ， 又，则，， 又，，所以， 令解得， 所以函数的单调递增区间为； 【小问2详解】 的值域即为在区间上最大值与最小值之差的取值范围. ①若的对称轴在区间内，不妨设对称轴在内， 则的最大值为1，当，即时， 的最小值为； ②若的对称轴不在区间内， 则在区间内单调，在两端点处取得最大值与最小值， 且，故， 则 ， 故 故函数在区间上的最大值与最小值之差的取值范围为，即的值域为. 【小问3详解】 把曲线向右平移个单位，再把曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到， 当时，可以作为三边长，将问题转化为证明任意两数之和大于第三个数 . 证明如下： 先证明： 由题意可知，，，， 故， 同理， 又. 综上能作为三边长. 设当作边时所对的角为， 则 ， 又因为，， 所以，， 由正弦定理可得，的外接圆的直径为， 即为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $