4.2.3认识一次函数 教学设计 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

4.2.3 认识一次函数（借助一次函数解决实际问题）教学设计 一、教学目标 1．能从实际情境中构建一次函数模型表示变量关系，会计算特定自变量对应的函数值。 2．能运用一次函数解决方案优选、分段计费等问题，体会数学的实用性。 3．能准确列出分段计费问题中的一次函数关系式，并能根据函数值反推自变量、判断变量所在区间。 4．经历数学建模过程，发展模型观念和应用意识。 二、教学重点与难点 教学重点：构建一次函数模型表示实际问题中的变量关系；运用一次函数解决方案优选和分段计费问题。 教学难点：准确列出分段计费问题中的函数关系式；根据函数值反推自变量并判断区间。 三、教学过程 （一）自主学习 【学习内容】回顾一次函数和正比例函数的概念；预习租车、水电费等分段计费实例。 【问题设置】 1．出租车计费分几段？每段的收费标准是怎样的？ 2．如何用一次函数表示各段中费用与行驶里程（用量）之间的关系？ 3．如何求某一里程（或用量）对应的费用？ 4．分段计费问题体现了怎样的数学思想？ （二）新知探究 探究一：方案优选 情境：某单位外出团建需租一辆45座大客车。甲公司按里程每千米15元计费；乙公司每千米10元，另加服务费200元（不足1km按1km计）。 设用车里程为x千米、费用为y元，列式：y甲=15x，y乙=10x+200。 1．用车里程为30km时选哪家公司？（甲450元，乙500元，选甲） 2．用车里程为52km时选哪家公司？（甲780元，乙720元，选乙） 3．用车里程为多少千米时两家收费相同？（解15x=10x+200，得x=40） 探究二：分段计费 例3：某市家庭人口不超过4人时，户年用水量分档计费：第一档 x≤220m³，单价3.45元/m³；第二档 220<x≤300，超出部分单价4.83元/m³；第三档 x>300，超出部分单价5.83元/m³。 1．当220<x≤300时，写出水费y与x的关系式：y=3.45×220+4.83(x-220)=4.83x-303.6。 2．某户一年用水250m³，求水费：y=4.83×250-303.6=903.9（元）。 3．某户去年水费1000.5元，求用水量：由759<1000.5<1145.4知属第二档，解1000.5=4.83x-303.6得x=270（m³）。 随堂练习：当x>300时，写出水费y与用水量x的关系式（y=5.83x-603.6）。 （三）小组交流 【学生活动】分组讨论分档计费问题，体会k、b在实际计费中的意义。 【交流研讨】 ①分档计费有什么意义？设计计费规则时要注意什么？生活中还有哪些类似的计费方法？ ②k、b对一次函数 y=kx+b 的影响，以及在出租车计费、水费计费等实际问题中的意义。 （四）巩固练习 讲解分段计费问题的建模过程：确定分段点、分段列式；如何根据图象或表格信息确定各段函数表达式。 易错点辨析：分段点的归属、自变量的取值范围；由函数值反推自变量时，先判断函数值所在区间，再代入对应表达式求解。 练习：某城市出租车起步价10元（3公里以内），超过3公里后每公里收费2元，写出行驶路程x（x>3，公里）与车费y（元）的关系式（y=2x+4），并计算行驶8公里的车费（20元）。 （五）课堂小结 【内容】 1．分段计费问题的特点； 2．分段建立一次函数模型的方法与步骤； 3．利用一次函数解决实际问题的过程； 4．数学建模思想的体现。 【方式】师生共同梳理分段计费的建模步骤，通过例题强化解题技巧，总结易错点，体会数学建模思想。 （六）当堂检测 1．某城市出租车起步价为10元（3公里以内），超过3公里后每公里收费2元。设行驶路程为x公里（x>3），车费为y元，求y与x的函数关系式，并计算行驶8公里的车费（答案：y=2x+4；20元）。 2．某市居民生活用电阶梯收费标准：第1档170度以下（含170度）0.525元/度；第2档170~260度（含260度），超过170度部分按0.575元/度；第3档260度以上，超过260度部分按0.825元/度。 (1)小军家6月用电150度，应缴电费多少元？（答案：78.75元） (2)若7月用电量在第2档，用电量为x度，用含x的代数式表示应缴电费（答案：0.575x-8.5）； (3)8月缴电费157.5元，求这个月的用电量。（答案：260度） 3．某市自来水收费价目表：不超出26m³的部分单价3元/m³；超出26m³不超出34m³的部分单价4元/m³；超出34m³的部分单价7元/m³。 (1)填表：某户1月用水20m³应缴水费60元；2月用水34m³应缴水费110元；3月交水费138元，用水量38m³。 (2)某户4月用水a m³（a>34），求应缴水费（答案：（7a-128）元）。 (3)某户5月平均水价为3.8元/m³，求5月用水量（答案：40m³）。 （七）分层作业 基础题：课后习题第8、10、11题。 提高题：请学有余力的同学完成课后习题第12题。 四、板书设计 4.2.3　认识一次函数（借助一次函数解决实际问题） 1．方案优选：y甲=15x，y乙=10x+200 2．分段计费：确定分段点 → 分段列式 （例题区：阶梯水费、易错点） 五、教学反思 本课以实际问题为载体，教学反思可从以下方面展开： （1） 是否引导学生完整经历“实际问题—数学模型—解决问题”的建模过程，体会一次函数的应用价值； （2） 分段计费问题的难点在于分段点的确定与分段列式，直观情境的借助是否有效； （3） 由函数值反推自变量时，学生是否养成“先判断区间、再代入求解”的严谨习惯。 学科网（北京）股份有限公司 $