4.2 认识一次函数（第2课时） 教学设计 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦一次函数的概念、表达式及k和b的实际意义。通过弹簧长度与所挂物体质量、汽车剩余油量与行驶路程的实际情境，呈现表格数据引导观察均匀变化，搭建从具体实例到抽象概念的学习支架，衔接变量关系的前期学习。 亮点是以实际情境为载体，通过观察、思考、交流培养数学眼光、思维和语言。弹簧问题从数据归纳关系式体现抽象能力和推理意识，刹车问题解释k和b意义培养模型意识。丰富实例与分层作业助学生深化理解，为教师提供结构化流程，提升课堂效率。

4.2 认识一次函数（第2课时） 课时：1 年级：八年级 教师： 日期： 一、教学目的 1. 理解一次函数的概念，能判断两个变量之间的关系是否为一次函数。 2. 能根据实际情境写出一次函数表达式，并解释k和b的实际意义。 3. 在探究过程中体会从特殊到一般的数学思想。 二、教学重点、难点 一次函数的概念；根据实际情境写出一次函数表达式。 理解k和b的实际意义；判断函数是否为一次函数。 三、教学过程 【环节一：导入新课】 创设情境：弹簧问题 在弹性限度内，橡皮筋总长y（单位：cm）与所挂物体的质量x（单位：kg）的关系见下表： x/kg 0 1 2 3 4 y/cm 4.0 4.4 4.8 5.2 5.6 (1) 随着所挂物体质量x的增加，弹簧长度y的变化是“均匀”的吗？ (1) 每增加 1kg，伸长 0.4cm，均匀变化。 (2) 写出y与x之间的关系式，并说明理由。 解： y=4+0.4x。 因为每增加1kg，弹簧伸长0.4cm，变化是均匀的。 尝试·思考：汽车油箱问题 某电动车电池原有电量 50 度，每行驶 40km 耗电 3 度。 (1) 完成下表： x/km 0 40 80 120 160 200 240 耗电量度 0 3 6 9 12 15 18 (2) 写出耗油量y与汽车行驶路程x之间的关系式。 y=0.075x。 (3) 写出油箱剩余油量z（单位：L）与汽车行驶路程x之间的关系式。 z=50-0.075x。 【环节二：新课讲授】 观察·思考： (1) 在上面情境中，我们得到y=4+0.4x，y=0.075x，z=50-0.075x，它们有什么共同的特征？ (2) 请你写出一个具有这种特点的关系式。 如果两个变量x,y之间的对应关系可以表示成y=kx+b（k,b为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的一次函数。特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数。 对一次函数而言，自变量每增加1，函数值就增加k，函数值的变化是“均匀”的。 例1：写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ (1) 自行车以匀速骑行，骑行路程与骑行时间； 解：(1) y=15x，是一次函数，也是正比例函数。 (2) 正方形的面积y（单位：cm²）与它的半径x（单位：cm）之间的关系； (2) y=x²，不是一次函数。 (3) 某水池有水20m³，现在打开进水管进水，进水速度为4m³/h，经过x h这个水池内有水y m³。 (3) y=20+4x，是一次函数，不是正比例函数。 思考·交流： (1) 在例1中，两个一次函数的一次项系数k和常数项b分别是多少？它们的实际意义是什么？ (2) 一般地，k，b对一次函数y=kx+b有怎样的影响？ 【环节三：巩固练习】 例2：雪地路面，车辆紧急制动，每过1s其速度减少28km/h。 (1) 假设该汽车以120km/h的速度行驶，试写出该汽车刹车后的速度y（单位：km/h）与刹车后所经过的时间t（单位：s）之间的关系式y=kt+b，并说明k和b的实际意义； 解：(1) y=-28t+100。其中k=-35表示每秒汽车速度的变化量，b=120表示刹车开始时汽车的速度。 (2) 求出(1)中汽车从刹车到停止所需的时间（结果精确到0.01s）。 解：(2) 汽车停止时速度y=0，解方程0=--28t+100，得，。 因此，该汽车从刹车到停止所需的时间约为3.57s。 四、教学小结 结合本节课所学内容，请总结一次函数的定义及特征。 一次函数定义：y=kx+b（k,b为常数，k≠0）。 当b=0时，为正比例函数。 k的实际意义：自变量每增加1，函数值的变化量。 五、作业 必做： (1) 一个在斜坡上由静止开始向下滚动的小球，其速度每秒增加3m/s，小球的速度y（单位：m/s）与时间x（单位：s）之间的关系；判断是否为一次函数和正比例函数。 (1) 小球速度每秒增加 3m/s： ；是一次函数；是正比例函数。 (2) 周长为10cm的长方形，其面积y（单位：cm²）与该长方形的一边长x（单位：cm）之间的关系；判断是否为一次函数。 (2) 长方形周长 10cm，一边长，另一边长，面积 ；自变量最高次数 2，不是一次函数。 (3) 甲、乙两地相距500km，一列“复兴号”动车组列车从乙地出发，以350km/h的速度向丙地行驶。设x（单位：h）表示列车行驶的时间，y（单位：km）表示列车与甲地之间的距离。写出y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数；当x=0.5时，求y的值。 (3) 甲乙相距 500km，乙出发，速度 350km/h 向丙；：与甲地距离。 关系式：；是一次函数。 ，。 选做： (1) 在量筒中倒入一定量的水，然后向量筒中投入同一种围棋子。随着投入围棋子数量的增加，量筒中水面会升高。不做实验，你认为这样的升高是“均匀”的吗？说说你的理由。实际做一做实验，验证你的想法。 (2) 在量筒中倒入一定量的水，然后向量筒中投入小石子。为了保证水面均匀升高，对石子应该有什么要求？ (3) 写出两个一次函数的表达式，其中有一个是正比例函数，并尝试给写出的两个一次函数补充相应的实际背景。 预习： 复习一次函数的定义，预习一次函数的图象。 4 学科网（北京）股份有限公司 $