05 单元素养测评卷（五）(Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（北师大版）

单元素养测评卷(五)  第六章 (时间:120分钟　分值:150分) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.[2024·重庆长寿区高二期中] 下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的是 (　　) ①在中午半小时内进入某食堂的人数Z1; ②某元件长度的测量误差Z2; ③小明在一天中浏览网页的时间Z3; ④高一(2)班参加运动会的人数Z4.　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.①② B.③④ C.①③ D.①④ 2.[2024·湖北黄冈高二期中] 设随机变量X的分布列为P(X=k)=m,k=1,2,3,4,则m的值为 (　　) A. B. C. D. 3.[2024·河北张家口高二期中] 随机变量X~B(10,p),且E(X)=2,则D(2X-3)= (　　) A.6.4 B.12.8 C.25.6 D.3.2 4.小明参加法制知识答题比赛,比赛共有A,B,C三道题且每道题的回答结果相互独立.已知每道题回答正确能获得相应的分值,回答错误不得分,也不扣分,三道题的分值和小明每道题回答正确的概率如下表: A B C 分值 3 3 4 回答正确的概率 0.6 0.5 0.4 记小明所得总分为X,则= (　　) A. B. C. D. 5.设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片,已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的,且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为,,.现从这10盒中任取一盒,则取得的这盒X光片是次品的概率为 (　　) A.0.08 B. 0.1 C.0.15 D. 0.2 6.甲口袋内装有除颜色外均相同的8个红球和4个白球,乙口袋内装有除颜色外均相同的9个红球和3个白球,从两个口袋内各摸出1个球,那么等于 (　　) A.2个球都是白球的概率 B.2个球中恰好有1个是白球的概率 C.2个球都不是白球的概率 D.2个球不都是红球的概率 7. 某种疾病可分为两种类型:第一类占70%,可由药物A治疗,其每一个疗程的成功率均为70%,且每一个疗程的成功与否相互独立;其余为第二类,药物A治疗方式完全无效.在不知道患者所患此疾病的类型,且用药物A第一个疗程失败的情况下,第二个疗程成功的概率约为 (　　) A.0.45 B.0.4 C.0.35 D.0.29 8.在n重伯努利试验中,若每次试验中事件A发生的概率为p,则事件A发生的次数X服从二项分布B(n,p).事实上,在伯努利试验中,另一个随机变量的实际应用也很泛,即事件A首次发生时试验进行的次数Y,显然P(Y=k)=p(1-p)k-1,k=1,2,3,…,我们称Y服从几何分布,经计算得E(Y)=,据此,若随机变量X服从二项分布B,且相应的Y服从几何分布,若E(Y)<E(X),则n的最小值为 (　　) A.6 B.18 C.36 D.37 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.已知随机变量X服从正态分布N(100,102),则下列结论正确的是 (　　) A.EX=100 B.DX=10 C.P(X≥90)≈0.841 35 D.P(X≤120)=P(X≥90) 10.把一枚质地均匀的骰子任意抛掷一次,下列给出的事件M与N不是相互独立的是 (　　) A.M表示“掷出偶数点”, N表示“掷出奇数点” B.M表示“掷出偶数点”,N表示“掷出3点” C.M表示“掷出偶数点”,N表示“掷出3的倍数点” D.M表示“掷出偶数点”,N表示“掷出的点数小于4” 11.甲、乙两队进行排球比赛,采取五局三胜制(当一队赢得三局胜利时,该队获胜,比赛结束,假设赛中无平局).根据前期比赛成绩可知在每一局比赛中,甲队获胜的概率为,乙队获胜的概率为.若前两局比赛结束时乙队以2∶0领先,则在本次排球比赛中,下列结论正确的是 (　　) A.甲队获胜的概率为 B.乙队以3∶0获胜的概率为 C.乙队以3∶1获胜的概率为 D.乙队以3∶2获胜的概率为 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.已知随机变量X服从两点分布,且P(X=1)=0.6,设Y=3X-2,那么P(Y=-2)=　　　　.  13.某种型号的发动机每台的使用寿命X(单位:年)满足X~N(8,22),使用寿命与发动机是否运行无关.一艘轮船安装了2台这种型号的发动机,当其中一台出故障时,自动启用另一台工作,已知P(6≤X≤10)≈,则这艘轮船能正常航行10年以上的概率约为　　　　.  14.[2024·杭州高二期中] 一个盒子中有黑、白颜色的小球各3个,红色小球1个,每次从中随机取出一个,取出后不放回,当取出第二种颜色的小球时即停止.设停止取球时,取球的次数为X,则P(X=2)=　　　　,E(X)=　　　　.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)一台机器生产某种产品,生产一件甲等品可获利50元,生产一件乙等品可获利30元,生产一件次品会亏损20元.已知这台机器生产甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6,0.3和0.1,求这台机器每生产一件产品所获利润的均值. 16.(15分)如图,A地到火车站有L1和L2两条路径,据统计,通过两条路径到火车站互不影响,所用时间落在各时间段内的概率如下表: 时间(分钟) 10~20 20~30 30~40 40~50 50~60 L1的概率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2 L2的概率 0 0.1 0.4 0.4 0.1 现甲、乙分别有40分钟和50分钟的时间用于赶往火车站. (1)为了使在各自允许的时间内赶到火车站的概率尽可能大,甲和乙应如何选择各自的路径? (2)根据第(1)问中选择的路径,求甲、乙两人中恰有一人在允许的时间内赶到火车站的概率. 17.(15分)某公司采购了一批零件,为了检测这批零件是否合格,从中随机抽测了120个零件的长度(单位:dm),按数据分成[1.2,1.3],(1.3,1.4],(1.4,1.5],(1.5,1.6],(1.6,1.7],(1.7,1.8]这6组,得到如下的频数分布表: 分组 [1.2,1.3] (1.3,1.4] (1.4,1.5] (1.5,1.6] (1.6,1.7] (1.7,1.8] 频数 5 15 40 40 15 5 以这120个零件的长度在各组的频率作为整批零件的长度在各组的概率. (1)若从这批零件中随机抽取3个,记X为抽取的零件的长度在(1.4,1.6]内的个数,求X的分布列和数学期望. (2)若变量S满足|P(μ-σ<S≤μ+σ)-0.682 7|≤0.05,且|P(μ-2σ<S≤μ+2σ)-0.954 5|≤0.05,则称变量S满足近似于正态分布N(μ,σ2)的概率分布.如果这批零件的长度Y(单位:dm)满足近似于正态分布N(1.5,0.01)的概率分布,则认为这批零件是合格的,将顺利被签收,否则公司将拒绝签收,试问该批零件能否被签收? 18.(15分)已知某种业公司培育了新品种的石榴,从收获的果实中随机抽取了50个石榴,按质量(单位:g)将它们分成5组:[360,380),[380,400),[400,420),[420,440),[440,460],得到如图所示的频率分布直方图. (1)用样本估计总体,求该品种石榴的平均质量(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表). (2)在样本中用分层随机抽样的方法,从质量在区间[380,400),[400,420),[420,440)内的石榴中抽取7个石榴,再从这7个石榴中随机抽取3个石榴做进一步检测.记这3个石榴中质量在区间[420,440)内的个数为X,求X的分布列与数学期望. 19.(17分)2024年4月23日是第29个“世界读书日”,为了倡导学生享受阅读带来的乐趣、尊重和保护知识产权,立德中学举办了一次阅读知识竞赛.初赛中每支队伍均要参加两轮比赛,只有两轮比赛均通过的队伍才能晋级.现有甲、乙两队参赛,初赛中甲队通过第一轮和第二轮的概率均为,乙队通过第一轮和第二轮的概率分别为,,且各队各轮比赛结果互不影响. (1)记甲、乙两队中晋级的队伍数量为X,求X的分布列和数学期望. (2)经过激烈比拼,甲、乙两队成功进入决赛争夺冠军,决赛共有两道抢答题,第一题中,某支队伍若抢到并答对则加10分,若抢到但答错则对方加10分,第二题中,某支队伍若抢到并答对则加20分,若抢到但答错则对方加20分,最终得分高的队伍获胜.假设两支队伍在每一题中抢到答题权的概率均为,且每一题答对的概率与初赛中通过对应轮次的概率相等,各队各题作答互不影响.已知甲队获得了冠军,计算第二题是由甲队抢到答题权的概率. 学科网（北京）股份有限公司 $ 单元素养测评卷(五) 1.D　[解析] 对于①,在中午半小时内进入某食堂的人数Z1可以一一列举出来,故①是离散型随机变量;对于②,某元件长度的测量误差Z2不能一一列举出来,故②不是离散型随机变量;对于③,小明在一天中浏览网页的时间Z3不能一一列举出来,故③不是离散型随机变量;对于④,高一(2)班参加运动会的人数Z4可以一一列举出来,故④是离散型随机变量.故选D. 2.C　[解析] 由题意得P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=m=1,解得m=.故选C. 3.A　[解析] 由E(X)=10p=2,得p=0.2.因为X~B(10,0.2),所以D(X)=10×0.2×(1-0.2)=1.6,所以D(2X-3)=4D(X)=4×1.6=6.4.故选A. 4.A　[解析] 由已知得,P(X=3)=0.6×0.5×0.6+0.4×0.5×0.6=0.3,P(X=10)=0.6×0.5×0.4=0.12,所以=,故选A. 5.A　[解析] 设A1,A2,A3分别表示取得的这盒X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的,B表示取得的这盒X光片为次品,则P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,P(B|A1)=,P(B|A2)=,P(B|A3)=,由全概率公式可知,所求概率为P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=×+×+×==0.08.故选A. 6.B　[解析] 记事件A表示“从甲口袋内摸出白球”,事件B表示“从乙口袋内摸出白球”,则P(A)=,P(B)=.2个球都是白球的概率为P(AB)=P(A)·P(B)=×=,故A错误;2个球中恰好有1个是白球的概率P1=P(A)+P(B)=P(A)·P()+P()·P(B)=×+×=,故B正确;2个球都不是白球的概率P2=P()·P()=×=,故C错误;2个球都是红球,即2个球都不是白球,故2个球不都是红球的概率为1-P2=,故D错误.故选B. 7.D　[解析] 用药物A第一个疗程失败的概率为0.7×0.3+0.3=0.51,用药物A第一个疗程失败第二个疗程成功的概率为0.7×0.3×0.7=0.147,所以在不知道患者所患此疾病的类型,且用药物A第一个疗程失败的情况下,第二个疗程成功的概率为≈0.29,故选D. 8.D　[解析] 由题可知,p=,E(Y)==6,E(X)=np=.因为E(Y)<E(X),所以6<,解得n>36,所以n的最小值为37.故选D. 9.AC　[解析] ∵随机变量X服从正态分布N(100,102),∴μ=100,σ2=102,则EX=100,DX=102=100,故A正确,B错误;根据题意可得P(90≤X≤110)≈0.682 7,P(80≤X≤120)≈0.954 5,∴P(X≥90)≈0.5+×0.682 7=0.841 35,P(X≤120)≈0.5+×0.954 5=0.977 25≠P(X≥90),故C正确,D错误.故选AC. 10.ABD　[解析] 对于A,因为P(M)=,P(N)=,P(MN)=0,所以P(MN)≠P(M)P(N),所以事件M与事件N不是相互独立的;对于B,因为P(M)=,P(N)=,P(MN)=0,所以P(MN)≠P(M)P(N),所以事件M与事件N不是相互独立的;对于C,因为P(M)=,P(N)=,P(MN)=,所以P(MN)=P(M)P(N),所以事件M与事件N是相互独立的;对于D,因为P(M)=,P(N)=,P(MN)=,所以P(MN)≠P(M)P(N),所以事件M与事件N不是相互独立的.故选ABD. 11.AB　[解析] 对于A,在乙队以2∶0领先的前提下,若甲队获胜,则第三、四、五局均为甲队获胜,所以甲队获胜的概率P1==,故A正确;对于B,乙队以3∶0获胜,则第三局乙队获胜,其概率为,故B正确;对于C,乙队以3∶1获胜,则第三局甲队获胜、第四局乙队获胜,其概率为×=,故C错误;对于D,乙队以3∶2获胜,则第五局乙队获胜,第三、四局乙队输,所以乙队以3∶2获胜的概率为××=,故D错误.故选AB. 12.0.4　[解析] 由题意得,当Y=-2时,3X-2=-2,得X=0,所以P(Y=-2)=P(X=0)=1-P(X=1)=1-0.6=0.4. 13.　[解析] 因为X~N(8,22),且P(6≤X≤10)≈,所以P(8≤X≤10)=≈,则P(X>10)≈-=.记事件A=“这艘轮船能正常航行10年以上”,则P(A)≈+××=,即这艘轮船能正常航行10年以上的概率约为. 14.　　[解析] 由题意知X的所有可能取值为2,3,4,P(X=2)=+××2=,P(X=3)=×××2=,P(X=4)=×××2=,所以E(X)=2×+3×+4×=. 15.解:由题可知,这台机器生产一件甲等品、乙等品和次品分别获利50元、30元和-20元,这台机器生产甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6,0.3和0.1,可设这台机器每生产一件产品所获利润为X元,则X的可能取值为50,30,-20,且P(X=50)=0.6,P(X=30)=0.3,P(X=-20)=0.1, 所以这台机器每生产一件产品所获利润的均值为50×0.6+30×0.3+(-20)×0.1=37(元). 16.解:(1)设Ai表示事件“当甲选择路径Li时,40分钟内可赶到火车站”,i=1,2,Bi表示事件“当乙选择路径Li时,50分钟内可赶到火车站”,i=1,2. 则P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=0.1+0.4=0.5. ∵P(A1)>P(A2),∴甲应选择路径L1. P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9. ∵P(B2)>P(B1),∴乙应选择路径L2. (2)用A,B分别表示针对(1)中的选择方案,甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站,由(1)知P(A)=0.6,P(B)=0.9,易知事件A,B相互独立, ∴甲、乙两人中恰有一人在允许的时间内赶到火车站的概率为P(B+A)=P()P(B)+P(A)P()=0.4×0.9+0.6×0.1=0.42. 17.解:(1)从这批零件中随机选取1个,其长度在(1.4,1.6]内的概率P==,由题意知随机变量X服从二项分布B,X的可能取值为0,1,2,3,P(X=0)=×=,P(X=1)=××=,P(X=2)=××=,P(X=3)=×=,所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以E(X)=0×+1×+2×+3×=2. (2)由题意知μ=1.5,σ=0.1,P(1.3<Y≤1.4)=P(1.6<Y≤1.7)==0.125,P(μ-σ<Y≤μ+σ)=P(1.4<Y≤1.6)=≈ 0.667,P(μ-2σ<Y≤μ+2σ)=P(1.3<Y≤1.7)≈0.125+0.667+0.125=0.917.因为|0.667- 0.682 7|=0.015 7<0.05,|0.917-0.954 5|=0.037 5<0.05, 所以这批零件的长度Y满足近似于正态分布N(1.5,0.01)的概率分布, 所以认为这批零件是合格的,将顺利被该公司签收. 18.解:(1)样本中石榴的平均质量为20×[370×0.005+(390+410+450)×0.010+430×0.015]=416(g),所以估计该品种石榴的平均质量为416 g. (2)质量在区间[380,400),[400,420),[420,440)内的频率之比为0.010∶0.010∶0.015=2∶2∶3,所以抽取的7个石榴中,质量在区间[380,400),[400,420),[420,440)内的石榴个数分别为2,2,3. 由题意得,X的所有可能取值为0,1,2,3,P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==, 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以EX=0×+1×+2×+3×=. 19.解:(1)设“甲队晋级”为事件M,“乙队晋级”为事件N, 可得P(M)=×=,P(N)=×=. 由题知,X的所有可能取值为0,1,2,可得P(X=0)=×=,P(X=1)=×+×=, P(X=2)=×=,所以X的分布列为 X 0 1 2 P 则EX=0×+1×+2×=. (2)由题意可知,第二题得分的队伍获胜,记事件A表示“甲队获得冠军”,B表示“第二题由甲队抢到答题权”,可得P(A)=P(B)P(A|B)+P()P(A|)=×+×=,又P(AB)=P(B)P(A|B)=×=,故P(B|A)===. 学科网（北京）股份有限公司 $