第六章 概率（高效培优单元测试·强化卷）高二数学北师大版2019选择性必修第一册

第六章 概率（高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．一串钥匙有6把，只有一把能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数的可能取值为（    ） A．1，2，3，…，6 B．0，1，2，…，6 C．0，1，2，…，5 D．1，2，3，…，5 2．已知随机变量服从两点分布，，则其成功概率为（    ） A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6 3．随机变量的分布列如下表所示，若随机变量，则随机变量的数学期望（   ） 0 1 2 A． B． C．1 D． 4．已知随机变量的分布列为，则（   ） A． B． C． D． 5．全概率公式指的是：设为样本空间，若事件两两互斥，，则对任意的事件，有.小张一家打算去西安市或汉中市旅游，去西安市与汉中市的概率分别为0.7，0.3，在西安市去游乐园的概率为0.6，在汉中市去游乐园的概率为0.4，则小张一家去游乐园的概率为（    ） A．0.48 B．0.49 C．0.52 D．0.54 6．已知随机变量，且，则当时，的最小值为（   ） A． B．3 C． D． 7．数学家高斯在各个领域中都取得了重大的成就.在研究一类二次型数论问题时，他在他的著作《算术研究》中首次引入了二次剩余的概念.二次剩余理论在嗓音工程学、密码学以及大数分解等各个领域都有广泛的应用.已知对于正整数，若存在一个整数，使得整除，则称是的一个二次剩余，否则为二次非剩余.从1到20这20个整数中随机抽取一个整数，记事件“与互质”，“是的二次非剩余”，则（    ） A． B． C． D． 8．互不相等的正实数是的任意顺序排列，设随机变量满足：则（    ） A． B． C． D． 二､选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9．（多选）下列随机事件中的随机变量X的分布列服从超几何分布的是（    ） A．抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为 B．有一批种子的发芽率为，任取颗种子做发芽试验，把试验中发芽的种子的个数记为 C．盒子中有红球个，黄球个，蓝球个，任取个球，把不是红色的球的个数记为 D．某班级有男生人，女生人，选派名学生参加学校组织的活动，其中女生人数记为 10．已知随机变量服从正态分布，则下列说法正确的是（    ） A． B．当时， C． D．随机变量落在与落在的概率相等 11．在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3，4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，只有主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率，现在已知甲选择了1号箱，用表示i号箱有奖品，用表示主持人打开j号箱子，下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，甲无论是否更改选择，他获奖的概率均为 D．若，要使获奖概率更大，甲应该改选2号或者4号箱中的任意一个 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．已知，且，则二项式的展开式中，常数项为 （结果用数值表示） 13．已知离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P 0.36 则常数 ． 14．某公司招聘员工分笔试和面试两个环节，应聘者需从笔试备选题和面试备选题中分别随机抽取各10道题，并独立完成所抽取的20道题，每道题答对得10分，答错不得分．甲答对笔试每道题的概率为，答对面试每道题的概率为．假设每道题都是相互独立的，则甲得 分的概率最大． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15.(13分) 高考结束后，小明一家四口到阳新仙岛湖度假，中午在某餐厅就餐，该餐厅推出七种特色美食，其中有1种汤类，3种炒菜类，3种米面类，小明一家要点四道美食（每道不重复）． (1)小明家点一道汤和恰好一种米面类美食的不同组合方式有多少种？ (2)用随机变量表示所选美食中米面类的数量，求的分布列和期望． 16．（15分） 某工厂生产线上有2个不合格零件和5个合格零件，需逐一检测分类.每次随机抽取一个零件检测，检测后不再放回，当检测出2个不合格零件或检测出5个合格零件时停止检测. (1)求在第一次检测出合格零件的条件下第二次检测出不合格零件的概率； (2)设表示停止检测时抽取出不合格零件的个数，求的分布列和数学期望. 17．（15分） 某地区从高一年级的物理测试中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．    (1)估计该地区本次物理测试的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； (2)该地区某学校建议此次物理测试成绩在本地区前60%的学生选科报物理方向，试估计报物理方向的学生本次成绩不低于多少分？（结果保留整数） (3)从成绩位于区间和的答卷中，采用分层抽样随机抽取7份，再从这7份中随机抽取3份，设成绩在的答卷份数为随机变量X，求X的分布列及数学期望． 17.(15分) 近期我校被评为全国首批智能研修平台规模化应用领航培育校，中央电教馆在我校举办项目启动活动，并特设南开专场活动.为了了解AINK人工智能对学生学习的助力情况，学校组织了高一学生参加“AINK人工智能”知识竞赛（满分100分），并从中随机抽查了100名学生的成绩（单位:分），将他们的成绩分成以下6组:，，，，，统计结果如下面的频数分布表所示. 组别 频数 10 15 20 30 15 10 已知高一学生的这次竞赛成绩近似服从正态分布，其中近似取为样本平均数的整数部分，近似取为样本标准差的整数部分，并已求得（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）. (1)从高一年级随机抽取一个学生的竞赛成绩，试估计他的竞赛成绩在区间内的概率（结果保留一位小数）. (2)现从高一年级随机选取名同学的竞赛成绩，根据（1）的结果，若他们的成绩均在范围内的概率不低于，求的最大值（为正整数） 参考数据:，若，则. 18.(本小题满分17分) 为了深入了解学生的军训效果，某高校对参加军训的2000名学生进行射击、体能、伤病自救等项目的综合测试，现随机抽取100名军训学生，对其测试成绩（满分：100分）进行统计，得到样本频率分布直方图，如图.    (1)根据频率分布直方图，求出的值并估计这100名学生测试成绩的平均数. (2)现该高校为了激励学生，举行了一场军训比赛，共有三个比赛项目，依次为“10千米拉练”“军体拳”“伤病救援”，规则如下：三个项目均需参与，三个项目通过各奖励300元、200元、100元，不通过则不奖励.学生甲在每个项目中通过的概率依次为，假设学生甲在各项目中是否通过是相互独立的，记学生甲在这次比赛中累计所获奖励的金额为随机变量，求的分布列和. (3)若该高校军训学生的综合成绩近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，规定军训成绩不低于98分的为＂优秀标兵＂，据此估计该高校军训学生中优秀标兵的人数（结果取整数）. 19．(17分) 作为湖南省内最高规格的业余足球赛事，湘超联赛自2025年9月开赛以来，凭借14个地级市对抗的独特赛制引发全民热议.为了解某场湘超联赛的观众与性别是否有关系，某机构在全市随机抽取了500名居民，其中男性居民与女性居民的人数比为，在抽取的男性居民中，有的人观看了这场湘超联赛，在抽取的女性居民中，有100人没有观看这场湘超联赛. (1)在样本中，随机抽取5人，记5人中观看了这场湘超联赛的人数为X，求X的期望值； (2)用频率估计概率，样本估计总体，按样本中性别比例用分层抽样的方法在全市居民中随机抽取5人，求恰有2人观看了这场湘超联赛的概率； (3)现定义：，其中A，B是随机事件，从这500人中任选1人，M表示“居民观看了这场湘超联赛”，N表示“居民是女性”，设观看这场湘超联赛与性别的相关程度的一项度量指标，请利用样本数据求出k的值. 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 概率（高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．一串钥匙有6把，只有一把能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数的可能取值为（    ） A．1，2，3，…，6 B．0，1，2，…，6 C．0，1，2，…，5 D．1，2，3，…，5 【答案】D 【分析】由离散型随机变量的实际含义即可求解. 【详解】由试验次数的含义可知，至少试验一次才可能刚好打开， 如果第五次依然没有打开，此时不管开锁是否成功，都能确定能开锁的钥匙. 所以的所有可能取值为：. 故选：D. 2．已知随机变量服从两点分布，，则其成功概率为（    ） A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6 【答案】D 【分析】根据两点分布的期望即可求解. 【详解】随机变量服从两点分布，设成功的概率为， ． 故选:D． 3．随机变量的分布列如下表所示，若随机变量，则随机变量的数学期望（   ） 0 1 2 A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】首先求得，然后由期望公式、期望的性质计算即可求解. 【详解】由题意，故， 而，从而. 故选：A. 4．已知随机变量的分布列为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由分布列的性质求出的值，再利用期望公式和性质可求得结果. 【详解】由分布列的性质可得，解得， 所以， 故. 故选：D. 5．全概率公式指的是：设为样本空间，若事件两两互斥，，则对任意的事件，有.小张一家打算去西安市或汉中市旅游，去西安市与汉中市的概率分别为0.7，0.3，在西安市去游乐园的概率为0.6，在汉中市去游乐园的概率为0.4，则小张一家去游乐园的概率为（    ） A．0.48 B．0.49 C．0.52 D．0.54 【答案】D 【分析】根据全概率公式计算即可. 【详解】设去西安市与汉中市旅游分别为事件，，则，. 设事件为去游乐园，则，. 所以. 故选：D 6．已知随机变量，且，则当时，的最小值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性求出，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由随机变量，且，得，解得， 由，得 ，当且仅当，即时取等号， 所以所求最小值为. 故选：D 7．数学家高斯在各个领域中都取得了重大的成就.在研究一类二次型数论问题时，他在他的著作《算术研究》中首次引入了二次剩余的概念.二次剩余理论在嗓音工程学、密码学以及大数分解等各个领域都有广泛的应用.已知对于正整数，若存在一个整数，使得整除，则称是的一个二次剩余，否则为二次非剩余.从1到20这20个整数中随机抽取一个整数，记事件“与互质”，“是的二次非剩余”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据互质的定义，确定事件，再在这些互质数内，根据二次剩余的定义，计算出的二次非剩余数，结合条件概率的计算公式，即得. 【详解】在到中与互质的有1,5,7,11,13,17,19，即； 由二次剩余的定义，假设是的二次非剩余，则整数的整数不存在， 当时，，当时，， 当时，不存在， 即， 由事件中有种情况，事件有种情况， 所以. 故选：C. 8．互不相等的正实数是的任意顺序排列，设随机变量满足：则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，分或， 或， 或，得到X，Y的分布列求解. 【详解】解：因为随机变量满足： 所以当或时，； 当或时，； 当或时，； 所以X，Y的分布列为： X 2 3 P Y 2 3 P 所以， ， 所以， 故选：C 二､选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9．（多选）下列随机事件中的随机变量X的分布列服从超几何分布的是（    ） A．抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为 B．有一批种子的发芽率为，任取颗种子做发芽试验，把试验中发芽的种子的个数记为 C．盒子中有红球个，黄球个，蓝球个，任取个球，把不是红色的球的个数记为 D．某班级有男生人，女生人，选派名学生参加学校组织的活动，其中女生人数记为 【答案】CD 【分析】利用超几何分布的定义，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】超几何分布：假设一批产品共有件，其中有件次品，从件产品中随机抽取件（不放回）， 用表示抽取的件产品中的次品数，则服从超几何分布. 对于选项A和B，试验均为独立重复试验，随机变量服从二项分布，不服从超几何分布，所以A和B错误， 对于选项C和D，符合超几何分布的特征，样本进行了分类， 随机变量X表示抽取n件样本，某类样本被抽取的件数，所以C和D正确， 故选：CD． 10．已知随机变量服从正态分布，则下列说法正确的是（    ） A． B．当时， C． D．随机变量落在与落在的概率相等 【答案】BCD 【分析】根据正态分布的性质一一判断即可. 【详解】对于A：因为，所以，故A错误； 对于B：当时， 所以，故B正确； 对于C：因为，所以, 所以，故C正确； 对于D：因为， 由正态分布密度曲线的对称性可知，随机变量落在与的概率相等，故D正确． 故选：BCD． 11．在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3，4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，只有主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率，现在已知甲选择了1号箱，用表示i号箱有奖品，用表示主持人打开j号箱子，下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，甲无论是否更改选择，他获奖的概率均为 D．若，要使获奖概率更大，甲应该改选2号或者4号箱中的任意一个 【答案】ABD 【分析】A：根据概率的性质即可判断；B：求条件概率即可；CD：分别讨论奖品在1，2，3，4号箱子中时，根据全概率计算公式求出，根据条件概率计算公式求出，，从而可以判断． 【详解】对于A选项，抽奖人在不知道奖品在哪个箱子的情况下选择了1号箱，他的选择不影响奖品在四个箱子中的概率分配，因此，，，的概率均为，即A正确； 对于B选项，奖品在2号箱里，主持人只能打开3、4号箱，故，故B正确； 对于C、D选项， 奖品在1号箱里，主持人可打开2、3、4号箱，故， 奖品在2号箱里，主持人只能打开3、4号箱，故， 奖品在3号箱里，主持人打开3号箱的概率为0，故， 奖品在4号箱里，主持人只能打开2、3号箱，故， 由全概率公式可得：， ， ，故C错误，D正确． 故选：ABD． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．已知，且，则二项式的展开式中，常数项为 （结果用数值表示） 【答案】 【分析】利用正态分布的对称性求得，再根据二项展开式的通项，即可求得其常数项. 【详解】由可得， 又，则. 二项式的展开式的通项为， 由解得，即常数项为. 13．已知离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P 0.36 则常数 ． 【答案】/ 【分析】根据分布列的性质列式求解即可. 【详解】由题意可知：， 即，解得或， 又因为，解得， 所以常数. 14．某公司招聘员工分笔试和面试两个环节，应聘者需从笔试备选题和面试备选题中分别随机抽取各10道题，并独立完成所抽取的20道题，每道题答对得10分，答错不得分．甲答对笔试每道题的概率为，答对面试每道题的概率为．假设每道题都是相互独立的，则甲得 分的概率最大． 【答案】 【分析】设应聘者答对笔试和面试备选题分别道的概率最大，先利用二项分布概率公式列出概率表达式，依题列出不等式组求得，根据，求得，继而得出答案. 【详解】设应聘者答对笔试和面试备选题分别道的概率最大， 则， 依题意，，解得 又因为，所以，易知时，最大， 故甲得分为的概率最大． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15.(13分) 高考结束后，小明一家四口到阳新仙岛湖度假，中午在某餐厅就餐，该餐厅推出七种特色美食，其中有1种汤类，3种炒菜类，3种米面类，小明一家要点四道美食（每道不重复）． (1)小明家点一道汤和恰好一种米面类美食的不同组合方式有多少种？ (2)用随机变量表示所选美食中米面类的数量，求的分布列和期望． 【答案】(1)9 (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据分步乘法计数原理，结合组合即可求解， （2）根据超几何分布的概率公式求解概率，即可得分布列，由期望公式即可求解. 【详解】（1）汤有一种选择；米面类美食三种里选择一种方法数为；其他菜类3种里选择2种方法数为； 不同组合共计（种）（6分） （2）的可能取值有0、1、2、3； 分布列为： X 0 1 2 3 所以.(13分) 16．（15分） 某工厂生产线上有2个不合格零件和5个合格零件，需逐一检测分类.每次随机抽取一个零件检测，检测后不再放回，当检测出2个不合格零件或检测出5个合格零件时停止检测. (1)求在第一次检测出合格零件的条件下第二次检测出不合格零件的概率； (2)设表示停止检测时抽取出不合格零件的个数，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据条件概率公式进行求解即可； （2）根据古典概型运算公式，结合分布列和数学期望公式进行求解即可. 【详解】（1）设“第1次检测出合格零件”为事件，“第2次检测出不合格零件”为事件， 则， 故在第1次检测出合格零件的条件下第2次是不合格零件的概率为.（6分） （2）由题意可能的取值为. 表示前5次检测出的均为合格零件，则. 表示停止检测时前5次中恰有1个不合格且第6次为合格，则. . 则的分布列为： 0 1 2 所以的数学期望.（15分） 17．（15分） 某地区从高一年级的物理测试中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．    (1)估计该地区本次物理测试的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； (2)该地区某学校建议此次物理测试成绩在本地区前60%的学生选科报物理方向，试估计报物理方向的学生本次成绩不低于多少分？（结果保留整数） (3)从成绩位于区间和的答卷中，采用分层抽样随机抽取7份，再从这7份中随机抽取3份，设成绩在的答卷份数为随机变量X，求X的分布列及数学期望． 【答案】(1)74分 (2)72分 (3)分布列见解析， 【分析】（1）将每个矩形底边中点值与各矩形面积相乘，再将所得数据相加即可得出结果； （2）根据频率分布直方图估计数据的第40百分位数即可； （3）利用分层抽样原理，求得、两区间内分别抽取了多少份，再结合超几何分布即可求解． 【详解】（1）由题意，解得， 则平均分 ，所以该地区本次物理测试的平均分为74分．（5分） （2）成绩在的频率为0.1， 在的频率为0.25，在的频率为0.3， 因为，， 所以选报物理方向的最低分x在内，则，解得，所以估计报物理方向的学生本次成绩不低于72分．（10分） （3）由题可知，成绩在区间的频数为， 成绩在区间的频数为， 利用分层抽样，从中抽取7份，成绩在的频数为， 成绩在的频数为， 再从这7份答卷中随机抽取3份，X的所有可能取值为0，1，2， ，， ， 故X的分布列为： X 0 1 2 P 所以X的数学期望为：．（15分） 17.(15分) 近期我校被评为全国首批智能研修平台规模化应用领航培育校，中央电教馆在我校举办项目启动活动，并特设南开专场活动.为了了解AINK人工智能对学生学习的助力情况，学校组织了高一学生参加“AINK人工智能”知识竞赛（满分100分），并从中随机抽查了100名学生的成绩（单位:分），将他们的成绩分成以下6组:，，，，，统计结果如下面的频数分布表所示. 组别 频数 10 15 20 30 15 10 已知高一学生的这次竞赛成绩近似服从正态分布，其中近似取为样本平均数的整数部分，近似取为样本标准差的整数部分，并已求得（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）. (1)从高一年级随机抽取一个学生的竞赛成绩，试估计他的竞赛成绩在区间内的概率（结果保留一位小数）. (2)现从高一年级随机选取名同学的竞赛成绩，根据（1）的结果，若他们的成绩均在范围内的概率不低于，求的最大值（为正整数） 参考数据:，若，则. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得每个分组的中点值，结合表格数据求得平均数估计值，根据正态分布的性质，利用概率加法，可得答案； （2）根据概率的乘法公式，建立不等式，由对数运算，可得答案. 【详解】（1）由题意可知个分组的中点值分别为， 则样本平均数估计值， 可得. 由，则，，（5分） 因为，所以 .（7分） （2）设“从高一年级随机选取一名学生的竟赛成绩在范围内”为事件，则； 可得从高一年级随机选取名同学的竞赛成绩，他们的成绩均在范围内的概率为； 由，两边取对数可得；（12分） 因为，， 所以，由为正整数，所以的最大值为.（15分） 18.(本小题满分17分) 为了深入了解学生的军训效果，某高校对参加军训的2000名学生进行射击、体能、伤病自救等项目的综合测试，现随机抽取100名军训学生，对其测试成绩（满分：100分）进行统计，得到样本频率分布直方图，如图.    (1)根据频率分布直方图，求出的值并估计这100名学生测试成绩的平均数. (2)现该高校为了激励学生，举行了一场军训比赛，共有三个比赛项目，依次为“10千米拉练”“军体拳”“伤病救援”，规则如下：三个项目均需参与，三个项目通过各奖励300元、200元、100元，不通过则不奖励.学生甲在每个项目中通过的概率依次为，假设学生甲在各项目中是否通过是相互独立的，记学生甲在这次比赛中累计所获奖励的金额为随机变量，求的分布列和. (3)若该高校军训学生的综合成绩近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，规定军训成绩不低于98分的为＂优秀标兵＂，据此估计该高校军训学生中优秀标兵的人数（结果取整数）. 【答案】(1)，平均数为76 (2)分布列见解析， (3)46人 【分析】(1)由频率分布直方图的性质可得； (2)由题意得到随机变量的所有可能取值，求出概率，列表即可； (3)根据正态分布性质可得. 【详解】（1）依题意，得（频率之和为1）， 解得． 由频率分布直方图，估计这100名学生测试成绩的平均数为 ．（5分） （2）随机变量的所有可能取值为0，100，200，300，400，500，600． ， ， ， ， ， ， ． 所以的分布列为 0 100 200 300 400 500 600 P 所以．（14分） （3）由（1）可知，所以，， 所以， 所以，即该高校军训学生中“优秀标兵”的人数约为46.（17分） 19．(17分) 作为湖南省内最高规格的业余足球赛事，湘超联赛自2025年9月开赛以来，凭借14个地级市对抗的独特赛制引发全民热议.为了解某场湘超联赛的观众与性别是否有关系，某机构在全市随机抽取了500名居民，其中男性居民与女性居民的人数比为，在抽取的男性居民中，有的人观看了这场湘超联赛，在抽取的女性居民中，有100人没有观看这场湘超联赛. (1)在样本中，随机抽取5人，记5人中观看了这场湘超联赛的人数为X，求X的期望值； (2)用频率估计概率，样本估计总体，按样本中性别比例用分层抽样的方法在全市居民中随机抽取5人，求恰有2人观看了这场湘超联赛的概率； (3)现定义：，其中A，B是随机事件，从这500人中任选1人，M表示“居民观看了这场湘超联赛”，N表示“居民是女性”，设观看这场湘超联赛与性别的相关程度的一项度量指标，请利用样本数据求出k的值. 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】（1）由男性居民与女性居民的人数比，可知样本中男性居民与女性居民的人数，计算其中观看这场湘超联赛的人数，用频率估计概率，由于样本总量远大于抽样个数，可以近似认为X服从二项分布，根据期望值公式运算即可得出结论； （2）分层抽样中，男性抽 人，女性抽 2 人，分别求出男性和女性的观看概率，利用离散型随机变量的概率分别求出“恰有2人观看”包含的3种情况的概率即可. （3）利用新定义，结合条件概率的公式计算即可； 【详解】（1）由题意得，样本中男性居民与女性居民的人数分别为300人，200人， 在300名男性居民中，有200人观看了这场湘超联赛，在200名女性居民中，有100人观看了这场湘超联赛， 所以样本中，观看了这场湘超联赛的频率为. 用频率估计概率，在样本中，随机抽取5人，记5人中观看了这场湘超联赛的人数为X，X服从二项分布， 即，故期望值.（6分） （2）分层抽样中，男性抽 人，女性抽 2 人， 男性观看概率：，女性观看概率：， “恰有2人观看”包含3种情况： 男性 2 人、女性 0 人： ， 男性 1 人、女性 1 人：， 男性 0 人、女性 2 人：， 所以，恰有2人观看了这场湘超联赛的概率：.（12分） （3）因为， 所以. 因为， 所以. 所以.（17分） 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $