培优课 概率模型问题(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版)

该高中数学导学案聚焦概率模型问题，涵盖相互独立事件、二项分布、超几何分布及正态分布的综合应用。通过典例引入联合跟踪训练，配套通性通法总结解题步骤，搭建从单一知识点到综合应用的学习支架。 资料以分题型系统梳理为特色，典例与跟踪训练结合，通性通法提炼解题逻辑，实际情境题目（如射击、竞赛等）培养数学建模意识，助力学生提升数学抽象与数学运算能力，形成结构化解题思维。

概率模型问题 1.掌握相互独立事件的概率问题的综合应用（数学抽象、数学运算）. 2.掌握二项分布及超几何分布的综合应用（数学建模、数学运算）. 3.掌握正态分布的综合应用（数学建模、数学运算）. 　　 题型一　相互独立事件的概率问题 某射击小组的甲、乙、丙三名射手分别对同一目标射击1次，已知甲击中目标的概率是，甲、丙二人都没有击中目标的概率是，乙、丙二人都击中目标的概率是.甲、乙、丙是否击中目标相互独立. （1）求乙、丙二人各自击中目标的概率； （2）设乙、丙二人中击中目标的人数为X，求X的分布列和均值. 尝试解答 通性通法 以相互独立事件为背景的概率问题的解题思路 第一步：确定随机变量的所有可能值； 第二步：求每一个可能值对应的概率； 第三步：列出离散型随机变量的分布列； 第四步：求均值和方差； 第五步：反思回顾、查看关键点、易错点和答题规范. 为弘扬民族古典文化，市电视台举行古诗词知识竞赛，某轮比赛由节目主持人随机从题库中抽取题目让选手抢答，回答正确将给该选手记正10分，否则记负10分.根据以往统计，某参赛选手能答对每一个问题的概率均为；现记“该选手在回答完n个问题后的总得分为Sn”. （1）求S6＝20且Si≥0（i＝1，2，3）的概率； （2）记X＝｜S5｜，求X的分布列，并计算均值EX. 题型二　二项分布的概率问题 将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球自由下落，在下落的过程中，小球将遇到黑色障碍物3次，最后落入A袋或B袋中，已知小球每次遇到障碍物时，向左、右两边下落的概率分别是，. （1）分别求出小球落入A袋和B袋中的概率； （2）在容器的入口处依次放入4个小球，记ζ为落入B袋中的小球的个数，求ζ的分布列、均值和方差. 尝试解答 通性通法 以二项分布为背景的概率问题的解题思路 第一步：根据题意设出随机变量； 第二步：分析随机变量服从二项分布； 第三步：找到参数n，p； 第四步：写出二项分布的概率表达式； 第五步：求解相关概率. 快到采摘季节了，某果农发现自家果园里的某种果实每颗的重量有一定的差别，故随机采摘了100颗，分别称出它们的重量（单位：克），并以每10克为一组进行分组，发现它们分布在区间[5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]内，据此画得频率分布直方图如下： （1）求a的值，并据此估计这批果实的70％分位数； （2）若重量在[5，15]（单位：克）的果实不为此次采摘对象，则从果园里随机选择3颗果实，其中不是此次采摘对象的颗数为X，求X的分布列和均值. 题型三　正态分布的概率问题 天和核心舱是我国目前研制的最大航天器，同时也是我国空间站的重要组成部分.为了能顺利的完成航天任务，挑选航天员的要求非常严格.经过统计，在挑选航天员的过程中有一项必检的身体指标ξ服从正态分布N（90，100），航天员在此项指标中的要求为ξ≥110.某学校共有2 000名学生.为了宣传这一航天盛事，特意在本校举办了航天员的模拟选拔活动.学生首先要进行上述指标的筛查，对于符合要求的学生再进行4个环节选拔，且仅在通过一个环节后，才能进行到下一个环节的选拔.假设学生通过每个环节的概率均为，且相互独立. （1）设学生甲通过筛查后在后续的4个环节中参与的环节数量为X，请计算X的分布列与数学期望； （2）请估计符合该项指标的学生人数（结果取整数）.以该人数为参加航天员选拔活动的名额，请计算最终通过学校选拔的人数Y的期望值. 参考数值：P（μ－σ＜X≤μ＋σ）≈0.682 6，P（μ－2σ＜X≤μ＋2σ）≈0.954 4，P（μ－3σ＜X≤μ＋3σ）≈0.997 4. 尝试解答 通性通法 以正态分布为背景的概率问题的解题思路 第一步：明确正态变量X； 第二步：确定参数μ，σ的值； 第三步：将待求问题向（μ－σ，μ＋σ]，（μ－2σ，μ＋2σ]，（μ－3σ，μ＋3σ]这三个区间进行转化； 第四步：利用X在上述区间的概率、正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1求出最后结果. 已知某军区新兵50 m步枪射击个人平均成绩X（单位：环）服从正态分布N（μ，σ2），从中随机抽取100名新兵的个人平均成绩，得到如下的频数分布表： X 4 5 6 7 8 9 频数 1 2 26 40 29 2 （1）求μ和σ2的值（用样本的均值和方差代替总体的均值和方差）； （2）从这个军区随机抽取1名新兵，求此新兵的50 m步枪射击个人平均成绩在区间（7.9，8.8\〗的概率. 参考数据：≈0.9. 题型四　超几何分布的概率问题 某商场进行抽奖活动.已知一抽奖箱中放有8只除颜色外，其他完全相同的彩球，其中仅有5只彩球是红色.现从抽奖箱中一个一个地拿出彩球，共取三次，拿到红色球的个数记为X. （1）若取球过程是无放回的，求事件{X＝2}的概率； （2）若取球过程是有放回的，求X的概率分布列及均值EX. 尝试解答 通性通法 以超几何分布为背景的概率问题的解题思路 第一步：确定参数N，M，n的值； 第二步：明确随机变量的所有可能取值，并求出随机变量取每一个值时对应的概率； 第三步：列出分布列，求均值与方差. 幸福农场生产的某批次的20件产品中含有n（3≤n≤13）件次品，从中一次任取10件，其中次品恰有X件. （1）若n＝3，求取出的产品中次品不超过1件的概率； （2）记f（n）＝P（X＝3），则当n为何值时，f（n）取得最大值. 完成课后作业　第六章　培优课 答案 培优课　概率模型问题 【典例研析】 【例1】　解：（1）设甲、乙、丙击中目标分别记为事件A，B，C，则P（A）＝，且有 即 解得 所以乙、丙二人各自击中目标的概率分别为，. （2）由题意，X的可能取值为0，1，2， P（X＝2）＝；P（X＝0）＝P（）P（）＝×＝， P（X＝1）＝1－P（X＝0）－P（X＝2）＝. 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P EX＝0×＋1×＋2×＝， 所以X的均值为. 跟踪训练 解：（1）当S6＝20时，即回答6个问题后，正确4个，错误2个.若回答正确第1个和第2个问题，则其余4个问题可任意回答正确2个问题；若第一个问题回答正确，第2个问题回答错误，第3个问题回答正确，则其余3个问题可任意回答正确2个. 故所求概率为P＝（）2××（）2×（）2＋××××（）2×＝. （2）由X＝｜S5｜可知X的取值为10，30，50. P（X＝30）＝（）4（）1＋（）1（）4＝，P（X＝50）＝（）5＋（）5＝， P（X＝10）＝1－P（X＝30）－P（X＝50）＝. 故X的分布列为 X 10 30 50 P EX＝10×＋30×＋50×＝. 【例2】　解：（1）设M＝“小球落入A袋”，N＝“小球落入B袋”， 则P（M）＝××＋××＝， 所以P（N）＝1－P（M）＝1－＝. （2）易知ζ～B（4，）， 则ζ的分布列为 P（ζ＝k）＝（）k（）4－k（k＝0，1，2，3，4）， 故P（ζ＝0）＝，P（ζ＝1）＝， P（ζ＝2）＝＝，P（ζ＝3）＝， P（ζ＝4）＝. 故ζ的分布列为 ζ 0 1 2 3 4 P Eζ＝4×＝，Dζ＝4××＝. 跟踪训练 解：（1）因为频率分布直方图的组距为10， 所以落在区间[5，15]，（15，25]，（35，45]上的频率分别为0.20，0.32，0.18， 所以a＝＝0.030. 因为落在区间[5，25]上的频率为0.20＋0.32＝0.52， 而落在区间[5，35]上的频率为0.20＋0.32＋0.30＝0.82， 所以70%分位数落在区间（25，35]之间， 设为x，则0.52＋（x－25）×0.03＝0.70，解得x＝31， 所以估计70%分位数为31. （2）由（1）知，重量落在[5，15]的频率为0.2，由样本估计总体得其概率为0.2， 因为X的所有可能取值为0，1，2，3，且X～B（3，）， 则P（X＝0）＝（）3＝， P（X＝1）＝××（）2＝， P（X＝2）＝×（）2×＝， P（X＝3）＝×（）3＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以X的均值EX＝0＋＋＋＝（或EX＝3×＝）. 【例3】　解：（1）X的所有可能取值为1，2，3，4， P（X＝1）＝，P（X＝2）＝×＝，P（X＝3）＝××＝，P（X＝4）＝××＝. ∴X的分布列为 X 1 2 3 4 P EX＝＋＋＋＝. （2）P（ξ≥110）＝P（ξ≥μ＋2σ）≈＝0.022 8. ∴符合该项指标的学生人数为2 000×0.022 8＝45.6≈46. 每个学生通过选拔的概率为×××＝， ∴最终通过学校选拔人数Y～B（46，）， ∴EY＝46×＝. 跟踪训练 解：（1）由题意，得随机抽取的100名新兵的个人平均成绩的分布列为（用频率估计概率）： X 4 5 6 7 8 9 P 0.01 0.02 0.26 0.40 0.29 0.02 均值EX＝4×0.01＋5×0.02＋6×0.26＋7×0.40＋8×0.29＋9×0.02＝7， 方差DX＝（4－7）2×0.01＋（5－7）2×0.02＋（6－7）2×0.26＋（7－7）2×0.40＋（8－7）2×0.29＋（9－7）2×0.02＝0.8. 用样本的均值和方差代替总体的均值和方差，得μ＝7，σ2＝0.8. （2）由（1）知X～N（7，0.8），因为≈0.9， 所以σ≈0.9， 因为P（μ－σ≤X≤μ＋σ）≈0.682 7， P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ）≈0.954 5， 所以P（7.9＜X≤8.8）＝×[P（5.2≤X≤8.8）－P（6.1≤X≤7.9）]≈×（0.954 5－0.682 7）＝0.135 9， 即从这个军区随机抽取1名新兵，此新兵的50 m步枪射击个人平均成绩在区间（7.9，8.8]的概率约为0.135 9. 【例4】　解：（1）根据超几何分布可知，P（X＝2）＝＝. （2）随机变量X的可能取值为0，1，2，3且X～B（3，），它的分布列为 P（X＝k）＝（）k（）3－k，k＝0，1，2，3， 分布列如表所示： X 0 1 2 3 P EX＝3×＝. 跟踪训练 解：（1）记“取出的产品中次品不超过1件”为事件A，则P（A）＝P（X＝0）＋P（X＝1）. 因为P（X＝0）＝＝， P（X＝1）＝＝， 所以P（A）＝＋＝. 故取出的产品中次品不超过1件的概率是. （2）因为f（n）＝P（X＝3）＝， 则f（n＋1）＝. 由＝＝＞1，解得n＜. 因为n∈N＋，则n≤5，故当3≤n≤5时，＞1； 当6≤n≤13时，＜1，所以当n＝6时，f（n）取得最大值. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $