01 单元素养测评卷（一）(Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（北师大版）

单元素养测评卷(一)  第一章 (时间:120分钟　分值:150分) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.直线x-3y+7=0的倾斜角为 (　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.30° B.60° C.120° D.150° 2.过点(-1,2)和点(0,3)的直线在x轴上的截距为 (　　) A.3 B.1 C.-3 D.-1 3.已知直线l经过点(-1,4),且它的一个方向向量为n=(-2,4),则 (　　) A.直线l方程的点斜式为y-4=-(x+1) B.直线l方程的截距式为x+=1 C.直线l方程的斜截式为x=-y+1 D.直线l方程的一般式为x+2y-7=0 4.已知直线2x+y+5=0与直线kx+2y=0互相垂直,则它们的交点坐标为 (　　) A.(-1,-3) B.(-2,-1) C. D.(-1,-2) 5.圆(x-1)2+(y+2)2=2关于直线l:x-y+1=0对称的圆的方程为 (　　) A.(x+1)2+(y-3)2=2 B.(x-1)2+(y+3)2=2 C.(x+3)2+(y-2)2=2 D.(x-3)2+(y+2)2=2 6.[2024·安徽合肥高二期中] 直线l过点(1,-2),且在两坐标轴上的截距之和为-2,则直线l的方程为 (　　) A.x-3y-7=0 B.2x-y-4=0 C.x+y+1=0 D.4x-y-8=0 7.已知圆C:x2+y2-2x+m=0(-3<m<1)与圆(x+3)2+(y+3)2=36内切,点P是圆C上一动点,则点P到直线5x+12y+8=0的距离的最大值为 (　　) A.2 B.3 C.4 D.5 8.在平面直角坐标系中,已知圆O1:x2+y2=1,圆O2:(x-4)2+y2=4,动点P在直线x+y-b=0上,过点P分别作圆O1,O2的一条切线,切点分别为A,B,若存在点P满足|PB|=2|PA|,则实数b的取值范围是 (　　) A. B.∪[12,+∞) C. D.∪[4,+∞) 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.下列四个命题中是真命题的有 (　　) A.直线y=x-2在y轴上的截距为2 B.经过定点A(0,2)的直线都可以用方程y=kx+2表示 C.直线6x+my+4m-12=0(m∈R)必过定点 D.若直线3x+4y-1=0与直线6x+my-12=0平行,则两平行线间的距离是1 10.已知点M(3,1),圆C:(x-1)2+(y-2)2=4,过点M的圆C的切线方程可能为 (　　) A.x-3=0 B.x-y-2=0 C.3x-4y-5=0 D.3x+4y-5=0 11.已知圆C: (x-4)2+(y-3)2=4和点A(0,-m),B(0,m)(m>0),若C上存在点P,使得∠APB=,则m的可能取值是 (　　) A.4 B.7 C.2 D.8 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.直线l经过原点,且经过直线3x+4y-2=0与2x+y+2=0的交点,则直线l的斜率为　　　　.  13.[2024·广东深圳高二期中] 写出一个既与y轴相切又与直线x+y=0相切,且半径为3的圆的标准方程:　　　　　　　　.  14.已知圆O1:(x-m)2+(y+2)2=9与圆O2:(x+n)2+(y+2)2=1内切,则m2+n2的最小值为　　　　.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知点A(-2,1),B(2,3),C(-1,-3). (1)求过点A且与BC平行的直线方程; (2)求过点B且与BC垂直的直线方程; (3)若BC的中点为D,求过点A与D的直线方程. 16.(15分)已知直线l1:x+2y+1=0,l2:(a-1)x-(a+1)y-1=0.设a为实数,分别根据下列条件求a的值. (1)l1∥l2; (2)l1⊥l2. 17.(15分)过点P(-2,-3)作圆C:(x-4)2+(y-2)2=9的两条切线,切点分别为A,B.求: (1)经过圆心C,切点A,B这三点的圆的方程; (2)直线AB的方程; (3)线段AB的长. 18.(17分)已知点P(0,-2)关于直线y=-x的对称点为Q,以Q为圆心的圆与直线y=-x相交于A,B两点,且|AB|=2. (1)求圆Q的方程; (2)过坐标原点O任作一条直线交圆Q于C,D两点,求证:|OC|·|OD|为定值. 19.(17分)[2024·福建厦门高二期中] 在平面直角坐标系xOy中,已知A(1,0),B(4,0),点M满足=,记M的轨迹为C. (1)求C的方程; (2)设圆C1:x2+y2-8x+15=0,过定点T的动直线l交曲线C于P,Q两点,l交圆C1于R,S两点,且|PQ|=2|RS|,求定点T的坐标. 学科网（北京）股份有限公司 $ 单元素养测评卷(一) 1.A　[解析] 直线x-3y+7=0的斜率k=,由斜率的定义及倾斜角的范围得直线x-3y+7=0的倾斜角为30°,故选A. 2.C　[解析] 过点(-1,2)和点(0,3)的直线方程为=,即x-y+3=0.令y=0,得x=-3,则过点(-1,2)和点(0,3)的直线在x轴上的截距为-3,故选C. 3.B　[解析] 因为直线l的一个方向向量为n=(-2,4),所以直线l的斜率k==-2.因为直线l经过点(-1,4),所以直线l方程的点斜式为y-4=-2(x+1),斜截式为y=-2x+2,截距式为x+=1,一般式为2x+y-2=0.故选B. 4.B　[解析] 因为直线2x+y+5=0与kx+2y=0互相垂直,所以2k+2=0,所以k=-1,由解得所以两直线的交点坐标为(-2,-1),故选B. 5.C　[解析] 圆(x-1)2+(y+2)2=2的圆心为(1,-2),半径为,由l:x-y+1=0得kl=1.设圆心(1,-2)关于直线l对称的点的坐标为(m,n),则解得所以所求圆的方程为(x+3)2+(y-2)2=2.故选C. 6.C　[解析] 由题意知,直线l在两坐标轴上均有截距且截距不为0,故设直线l的方程为+=1,则解得故直线l的方程为x+y+1=0.故选C. 7.A　[解析] x2+y2-2x+m=0可化为(x-1)2+y2=1-m,由-3<m<1得0<<2,由已知得6-==5,解得m=0,∴圆C的半径r=1.∵圆心C(1,0)到直线5x+12y+8=0的距离d==1,∴点P到直线5x+12y+8=0的距离的最大值为1+1=2.故选A. 8.C　[解析] 由题意得O1(0,0),O2(4,0),设P(x,y),因为|PB|=2|PA|,所以=2,可得(x-4)2+y2=4(x2+y2),即x2+y2+x-=0,所以点P的轨迹是圆心坐标为,半径为的圆.因为动点P在直线x+y-b=0上,且满足|PB|=2|PA|的点P存在,所以该直线与圆x2+y2+x-=0有公共点,所以圆心到直线x+y-b=0的距离d=≤,解得-≤b≤4,所以实数b的取值范围是,故选C. 9.CD　[解析] 对于A选项,直线y=x-2在y轴上的截距为-2,A为假命题;对于B选项,过点A(0,2)且垂直于x轴的直线方程为x=0,不能用方程y=kx+2表示,B为假命题;对于C选项,当m≠0时,将直线方程6x+my+4m-12=0变形为y+4=-(x-2),由点斜式可得直线6x+my+4m-12=0过定点(2,-4),当m=0时,直线方程为x=2,即直线也过定点(2,-4),C为真命题;对于D选项,若直线3x+4y-1=0与直线6x+my-12=0平行,则=≠,解得m=8,直线方程6x+my-12=0可化为3x+4y-6=0,故两平行直线间的距离d==1,D为真命题.故选CD. 10.AC　[解析] 由题意得圆心C(1,2),半径r=2.∵(3-1)2+(1-2)2=5>4,∴点M在圆C的外部,∴过点M的圆C的切线有两条.①当过点M的直线的斜率不存在时,直线方程为x=3,即x-3=0.又圆心C到直线x-3=0的距离d=3-1=2=r,∴直线x-3=0是圆C的切线.②当过点M的圆C的切线的斜率存在时,设切线方程为y-1=k(x-3),即kx-y+1-3k=0,则圆心C到切线的距离d==2,解得k=,∴切线方程为y-1=(x-3),即3x-4y-5=0.综上,过点M的圆C的切线方程为x-3=0或3x-4y-5=0.故选AC. 11.AB　[解析] 圆C: (x-4)2+(y-3)2=4的圆心C的坐标为(4,3),半径为2,则圆心C到原点O的距离为5,所以圆C上的点P到原点O的距离|OP|满足3≤|OP|≤7.因为圆C上存在点P,使得∠APB=,即|OP|=|AB|=m,所以3≤m≤7,选项A,B正确,故选AB. 12.-1　[解析] 由解得所以直线l经过原点和点(-2,2),故直线l的斜率k==-1. 13.(x-3)2+(y-)2=9(或(x-3)2+(y+3)2=9或(x+3)2+(y-3)2=9或(x+3)2+(y+)2=9)　[解析] 设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=9,则即解得或或或则所求圆的标准方程为(x-3)2+(y-)2=9或(x-3)2+(y+3)2=9或(x+3)2+(y-3)2=9或(x+3)2+(y+)2=9. 14.2　[解析] 圆O1的圆心为O1(m,-2),半径r1=3,圆O2的圆心为O2(-n,-2),半径r2=1,∴两圆的圆心距d=|m+n|,∵两圆内切,∴|m+n|=2,可得m2+n2+2mn=4,则4-(m2+n2)=2mn≤m2+n2,∴m2+n2≥2,当且仅当m=n=±1时,取等号,故m2+n2的最小值为2. 15.解:(1)∵B(2,3),C(-1,-3),∴直线BC的斜率kBC==2, 又∵A(-2,1),∴过点A且与BC平行的直线方程为y-1=2(x+2), 整理得2x-y+5=0. (2)由(1)得直线BC的斜率kBC=2, ∴与BC垂直的直线的斜率k=-=-, 又∵B(2,3),∴过点B且与BC垂直的直线方程为y-3=-(x-2), 整理得x+2y-8=0. (3)由题意得D,又A(-2,1),∴kAD==-, ∴直线AD的方程为y=-,整理得2x+5y-1=0. 16.解:(1)因为直线l1的斜率k1=-,且l1∥l2, 所以直线l2的斜率k2=k1=-,即=-,解得a=, 此时直线l2:2x+4y+3=0,l2与l1平行,满足题意. (2)因为直线l1的斜率k1=-,且l1⊥l2, 所以直线l2的斜率k2=-=2,即=2,解得a=-3. 17.解:(1)如图所示,连接CA,CB,CP, 由平面几何知,CA⊥PA,CB⊥PB,点P,A,C,B共圆,且CP为直径.因为P(-2,-3),C(4,2),所以所求圆的圆心为PC的中点,即,半径为|PC|==,所以所求圆的方程为(x-1)2+=,即x2+y2-2x+y-14=0. (2)直线AB为圆C与圆x2+y2-2x+y-14=0的公共弦所在直线, 将(x-4)2+(y-2)2=9与x2+y2-2x+y-14=0相减,可得AB的方程为6x+5y-25=0. (3)设AB,PC交于点Q,则|CQ|==, 所以|AB|=2=2=. 18.解:(1)点P(0,-2)关于直线y=-x对称的点Q的坐标为(2,0), 又Q到直线y=-x的距离d==,所以圆Q的半径r==3, 所以圆Q的方程为(x-2)2+y2=9. (2)证明:当直线CD的斜率不存在时,|OC|=|OD|==,所以|OC|·|OD|=5. 当直线CD的斜率存在时,设直线方程为y=kx,C(x1,y1),D(x2,y2), 由得(1+k2)x2-4x-5=0, 所以x1+x2=,x1x2=-, 所以|OC|·|OD|=·====5. 综上,|OC|·|OD|为定值5. 19.解:(1)设M(x,y),依题意可知=, 所以2=, 即4[(x-1)2+y2]=(x-4)2+y2,整理得x2+y2=4, 所以C的方程为x2+y2=4. (2)由(1)知,曲线C是以(0,0)为圆心,2为半径的圆, 由圆C1:x2+y2-8x+15=0,得圆C1的圆心C1(4,0),半径为1, 则|CC1|=4>2+1,所以两圆外离,则直线l的斜率一定存在, 设直线l的方程为y=kx+b,即kx-y+b=0. 因为圆心C到直线l的距离为,所以|PQ|=2,因为圆心C1到直线l的距离为,所以|RS|=2, 因为|PQ|=2|RS|,所以2=4, 即64k2+32kb+3b2=0, 即(8k+b)(8k+3b)=0,所以b=-8k或b=-k. 当b=-8k时,直线l的方程为y=kx-8k,所以直线过定点(8,0), 当b=-k时,直线l的方程为y=kx-k,所以直线过定点, 所以定点T的坐标为(8,0)或. 学科网（北京）股份有限公司 $