高中数学单元测试——第三章空间向量与立体几何（适中版02）

**基本信息** 聚焦空间向量与立体几何单元复习，通过基础巩固与综合应用梯度设计，考查空间观念、推理能力及模型观念，适配单元学情检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|空间直角坐标系对称、平行六面体向量表示|基础概念辨析，如第1题考查坐标对称| |多选题|3/18|向量命题真假、方向向量与法向量应用|多维度概念辨析，如第9题辨析向量性质| |填空题|3/15|向量模、向量夹角、二面角计算|情境化计算，如第14题结合四棱锥二面角| |解答题|5/77|向量表示与数量积、线面角、面面角、折叠问题|分层综合应用，如第18题折叠问题考查空间转化，第19题存在性探究体现创新意识|

画学科网·轻测 www.zxxk.com 让教与学更高效 高中数学单元测试一一 第三章空间向量与立体几何（适中版 02) 学校： 姓名： 班级： 考号： 一、单选题 1.(本题5分)在空间直角坐标系 w中，点42,3)与点-23)关于() A.x轴对称 B.y轴对称 C.Oxy平面对称 D.Oxz平面对称 2.(本题5分)如图，在平行六面体 BCD-ABCD中，下列说法错误的是(） D A B A.AA=BB B.CD=-4B C.DB=-AC AB+AD+AA AC 3.(本题5分)已知a6,是空间的一组基，若a+6,6-G, 是空间的另一组基，则而 不可以为() A.a B.c C.a+c D.a-c 4.（本题5分)已知直线的一个方向向量m=(2-,3),且直线'过点1(0，a,3)和 B(-1,2,b) 两点，则a+b=() 试卷第1页，共3页 1/6 3 A.0 B.1 C.2 D.3 5.(本题5分)已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，点E,F分别是 BC,AD AE.CF 的中点，则 的值为() A.1 C.Z D.-1 6.(本题5分)已知O是平面ABC外任意一点，点P在面ABC内，若 OP=4OA+oB+0c(2∈R),则元的值为() 15 2 1 2 A.15 B.3 C.5 D.5 7.(本题5分)已知向量 0A=(2,4,0）0B=(-2,0,6) 其中O为坐标原点，若点C为线 段AB的中点，则点C的坐标为()· A.(0,4,6) B.（4,-4,6) C.（-2,-2,3) D (0,2,3) 8.(本题5分)中国古代数学名著《九章算术》第五卷“商功”中，把底面为矩形且有一 条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.今有“阳马”P-ABCD,PA⊥平面ABCD, PA=AB=2 AD=1 E,F,G PA,AB,PD CEF 分别为棱 的中点，则点到平面 的距离为 () 3W2 V3 3 1 A.4 B.6 C.18 D.6 二、多选题 9.(本题6分)下列命题中，是真命题的为() A.若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同 B.若空间向量a,6满足aH,则a=场 C.若空间向量m,心P满足m=元n=P, 则m=p 试卷第2页，共3页 画学科网·轻测 www.zxxk.com 让教与学更高效 D.在正方 ABCD-AB,CD中，必有 AC=AC 10.(本题6分)下列结论正确的是() A.直线l的方向向量a=(0,3,0),平面a的法向量i=(0,-5,0),则111@ B.两个不同的平面u,B的法向量分别是i=(2,2,-1),=(-3,4,2),则a1B C.若直线l的方向向量ā=4,2，-)，平面a的法向量m=(3,6,,若l1a,则实数 k=15 B=(2,-1-),4C=(4,20,P=(0,4,8),则点P在平面4BC内 D.若 ABCD-ABCD 11.(本题6分)如图，在棱长均为2的平行六面体 中，底面ABCD是正 方形，且4B=∠4D=60 下列选项正确的是() D A B AA//BD B AC⊥BD A. '长为26 BD BD C D.异面直线AC与所成角的余弦值为 6 3 三、填空题 12.(本思5分)已知向量a=0,-,1,6=(41,0a+b2 ,则 试卷第3页，共3页 3/6 13.（本盟5分)已知a=(民，-23)，6=(-2，x-2）,且与5的夹角为镜角，则的取 值范围是 14.(本题5分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,∠DAB为直角， ABII CD AD=CD=2AB=2 E PC PA=m(m>0) 为的中点， ,且二面 E-BD-C的 平面角为60°，则m= B 四、解答题 15.(本题13分)如图，在空间四边形OABC中，点D为BC的中点，2AE=ED,设 OA=a OB=b OC=c O D 山试用向量，6. ，表示向量0E ②若01=0B=0C=2,∠A0C=∠B0C=∠A0B=60,求OE-MB 的值. 16.(本题15分)在直三棱柱 主4BC-ABC中，△4BC为等腰直角三角形， B⊥AC,AB=AC,AA=2AB,点M在侧棱CC上，且满足CM=CC d 试卷第4页，共3页 画学科网·轻测 www.zxxk.com 让教与学更高效 A B B (I)求证：BM⊥AC: 2求直线8A与平面4BM所成的角的正弦值 D 17.(本题15分)如图，在棱长为1的正方体 BCD-AB,CD中，E为线段 的中点， F BB 为线段 的中点。 B A E D B FC (1)求直线心到直线4E 的距离： ABE (2)求平面 ACF 与平面 所成角的余弦值。 18.(本题17分)图1是边长为V2的正方形ABCD,将△ACD沿AC折起得到直二面角 P-AC-B,如图2所示. D 图1 图2 试卷第5页，共3页 5/6 (I)求异面直线AB与PC所成角： 7√51 (2)棱PA上是否存在一点M,使得二面角M-BC-A的余弦值为51，若存在，求出 AM AP的值；若不存在，请说明理由， 19.(本题17分)如图MAL平面ABC,BC⊥AC,F是线段BC上的动点，E是MC的 中点，已知AM=AC B (I)证明：平面AEF⊥平面MBC, (②若1M=AC=2.BC=25 ,N在线段MB上 ()求点C到平面AEB的距离； 10 MN (ii)是否存在点N,使得平面NAC与平面AEB夹角的余弦值为7'若存在，求MB的值； 若不存在，请说明理由。 试卷第6页，共3页 高中数学单元测试 —— 第三章 空间向量与立体几何（适中版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）在空间直角坐标系中，点与点关于（    ） A．轴对称 B．轴对称 C．平面对称 D．平面对称 【答案】D 【分析】根据空间两点关于坐标平面对称的特点，若两点关于平面对称，则它们的坐标和坐标相同，坐标互为相反数。观察已知两点坐标可得，它们的坐标和坐标相同，坐标互为相反数，故两点关于平面对称。 【详解】点与点关于平面对称， 故选：D． 2．（本题5分）如图，在平行六面体中，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量相等及线性运算法则计算可得. 【详解】由向量相等可知: ，故A正确； ，故B正确； ，,则，所以，故C错误； ，故D正确； 故选：C. 3．（本题5分）已知是空间的一组基，若是空间的另一组基，则不可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量基底的定义直接判断. 【详解】由可作为空间的一组基底， 则，，不共面， 当时，假设存在使，则，无解， 即，，不共面成立，A选项错误； 当时，由A分析同理可知不存在使，即，，不共面成立，B选项错误； 当时，，即，，共面，不可作为基底，C选项正确； 当时，假设存在使，则，无解， 即，，不共面成立，D选项错误； 故选：C. 4．（本题5分）已知直线的一个方向向量，且直线过点和两点，则（　　） A．0 B．1 C． D．3 【答案】D 【分析】首先求出，依题意，则，根据空间向量共线的坐标表示计算可得. 【详解】因为直线过点和两点，所以， 又直线的一个方向向量，所以， 所以，所以， 所以，解得，所以. 故选：D 5．（本题5分）已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于1，点分别是的中点，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得两两成角，模都为1，以这三个向量为基底，进行向量数量积运算即可求解． 【详解】根据题意为正四面体，两两成角， 所以， 所以， 所以 ． 故选：B． 6．（本题5分）已知是平面外任意一点，点在面内，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用空间向量的共面定理得推论，得到，即可求解. 【详解】因为与三点共面，且， 根据空间向量的共面定理得推论，可得，解得. 故选：C． 7．（本题5分）已知向量，，其中O为坐标原点，若点C为线段AB的中点，则点C的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先表示的坐标，再根据中点坐标公式计算可得． 【详解】因为向量，，其中O为坐标原点， 所以，， 所以的中点的坐标为， 故选：D 8．（本题5分）中国古代数学名著《九章算术》第五卷“商功”中，把底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.今有“阳马”,平面，，,分别为棱的中点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】证明三条线两两垂直，建立空间直角坐标系，得到点坐和空间向量坐标，由空间向量的数量积求得平面的一个法向量，由空间向量的投影求得点到平面的距离. 【详解】∵平面，且平面，平面， ∴，， 在矩形中，， ∴如图建立空间直角坐标系，    则，，，， ∴，，， ，， 设为平面的一个法向量， 则，令，则，即， 则点到平面的距离. 故选：B. 二、多选题 9．（本题6分）下列命题中，是真命题的为    （    ） A．若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同 B．若空间向量满足，则 C．若空间向量满足，则 D．在正方体中，必有 【答案】CD 【分析】根据给定条件，利用空间向量的相关概念逐项判断即得. 【详解】当两个向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，但两个相等的向量起点、终点不一定相同，A错误； 模相等的两个向量的方向是任意的，即模相等的两个向量的方向不一定相同，也不一定相反，B错误； 由相等向量的传递性，知若，则，C正确； 在正方体中，四边形是矩形，向量与的方向相同，模也相等，即，D正确， 故选：CD 10．（本题6分）下列结论正确的是（    ） A．直线的方向向量，平面的法向量，则 B．两个不同的平面，的法向量分别是，，则 C．若直线的方向向量，平面的法向量，若，则实数 D．若，，，则点在平面内 【答案】BD 【分析】A由可得进而可判断；B证得可得，进而可判断；C由可得，解出即可判断；D证得向量共面，即可判断. 【详解】A因为，所以，故A错误； B因为，所以，因此，故B正确； C因为，所以，因此，即，故C错误； D因为，所以向量共面，即点四点共面， 从而点P在平面ABC内，故D正确. 故选：. 11．（本题6分）如图，在棱长均为2的平行六面体中，底面ABCD是正方形，且，下列选项正确的是（   ） A． B． C．长为 D．异面直线AC与所成角的余弦值为 【答案】BC 【分析】利用空间基底法，来进行空间向量的线性运算和数量积运算，即可判断各选项. 【详解】因为，根据过一点只有一条直线与平行，而与显然不共线，所以是不成立的，故A错误； 设，因为， 且， 则， 所以，故B正确； 因为， 即，所以长为，故C正确； 因为，且， 可得 可得， 所以异面直线与所成角的余弦值为，故D错误； 故选：BC 三、填空题 12．（本题5分）已知向量，则______________. 【答案】或 【分析】先求出，再求出，然后求出即可. 【详解】， 所以，解得或者， 故答案为：或 13．（本题5分）已知，，且与的夹角为钝角，则的取值范围是____________. 【答案】 【分析】由求解，再排除与共线时的值即可得答案. 【详解】与的夹角为钝角， ，解得， 由题意得与不共线，则，解得， 的取值范围是. 故答案为：. 14．（本题5分）如图，在四棱锥中，底面，为直角，，，为的中点，，且二面角的平面角为60°，则______．    【答案】 【分析】以为原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，根据二面角的平面角为60°建立方程求解即可． 【详解】因为底面，，底面，所以，， 又为直角，所以两两垂直． 以为原点，的方向分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，， 因为为的中点，所以，所以，．设为平面的法向量，则 令，得．易知，平面的一个法向量为． 由题意，二面角的平面角为60°，则，解得． 故答案为：.    四、解答题 15．（本题13分）如图，在空间四边形中，点为的中点，，设，，． (1)试用向量，，表示向量； (2)若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量的线性运算代入计算，即可得到结果； （2）由空间向量数量积的运算律代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）点为的中点，， ， ． （2），由（1）得 ． 16．（本题15分）在直三棱柱中，△为等腰直角三角形，，点在侧棱上，且满足． (1)求证：； (2)求直线与平面所成的角的正弦值． 【答案】(1)证明：由题意得，以为坐标原点，以所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 如图所示，设，则， ， 由， 所以； (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量数量积等于零来证明即可； （2）求出直线的方向向量和平面的法向量，利用线面角的向量公式计算即可. 【详解】（1）略 （2）由题得， 设平面的一个法向量为， 则，即，取， 设直线与平面所成的角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 17．（本题15分）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点． (1)求直线到直线的距离； (2)求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量求平行线的距离. （2）利用空间向量求二面角的余弦值. 【详解】（1）可以为原点，建立如图空间直角坐标系. 因为正方体棱长为1，所以，，，，. 所以，， 因为，所以. 又，所以点到直线的距离为： . （2）因为，所以，. 设平面的法向量为， 则，可取； 因为，所以. 设平面的法向量为， 则，可取. 设平面与平面所成的角为， 则 18．（本题17分）图1是边长为的正方形，将沿折起得到直二面角，如图2所示． (1)求异面直线与所成角； (2)棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）在图1中，连接，交于点，推导出平面，然后以点为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线与所成角的大小； （2）假设在棱上存在点，满足，其中，使得二面角的余弦值为，利用空间向量法可得出关于的等式，即可解得的值，即可得出结论. 【详解】（1）如图，在图1中，连接，交于点， 因为四边形为边长是的正方形，则， 在图2中，则有，，， 因为是直二面角，所以平面平面， 因为平面平面，，平面，所以有平面， 以点为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，如图： 由题意，、、、， 所以，， 设异面直线与所成角为， 所以有， 因为，故，即异面直线与所成角为. （2）如图2，假设在棱上存在点，满足，其中， 使得二面角的余弦值为， 则， 又，设平面的一个法向量为， 则，取，则， 由题意可知，平面的一个法向量为， 所以，化简得：， 解得或（舍去）， 故存在点，只需满足， 即棱上存在点，当时，二面角的余弦值为． 19．（本题17分）如图平面ABC，，F是线段BC上的动点，E是MC的中点，已知 (1)证明：平面平面 (2)若，，N在线段MB上. （i）求点C到平面AEB的距离; （ii）是否存在点N，使得平面NAC与平面AEB夹角的余弦值为若存在，求的值;若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii）存在，或 【分析】（1）由线面垂直可得线线垂直，再由线面垂直的判定定理得出线面垂直即可得证； （2）（i）建立空间直角坐标系，利用向量法求点到平面距离；（ii）设存在，根据向量法由平面的夹角公式求出即可得解. 【详解】（1），E是MC的中点，， 平面ABC，平面ABC，， 又，又，平面MAC，平面MAC， 平面MAC， 又平面AEF，， 又，平面MBC，平面MBC， 平面MBC，又平面AEF 平面平面MBC （2）（i） 以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系： ，，，，， ，， 设平面AEB的法向量为 则，即，取，可得， 所以，即点C到平面AEB的距离为； （ii） ， 设，则， ， 设平面NAC的法向量为 则，即， 令。可得， ， 化简得，解得或， 或. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $