6.5 正态分布(Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（北师大版）

§5　正态分布 一、选择题 1.已知随机变量X的正态分布密度函数为f(x)=(x∈R),则其均值和标准差分别是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.0和8 B.0和4 C.0和2 D.0和1 2.函数f(x)=,μ<0的图象可能为(　 ) A B C D 3.[2024·山西太原高二期中] 设随机变量X~N(1,σ2),若P(X>2)=0.2,则P(X>0)= (　 ) A. 0.5 B. 0.6 C.0.7 D.0.8 4.已知随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),若P(ξ<1)=0.1,P(1≤ξ≤3)=0.8,则μ= (　 ) A.0 B.1 C.2 D.3 5.某工厂生产的零件外直径(单位:cm)服从正态分布N(10,0.12),今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个,测得其外直径分别为9.82 cm和10.31 cm,则可认为 (　 ) A.上午生产情况异常,下午生产情况正常 B.上午生产情况正常,下午生产情况异常 C.上、下午生产情况均正常 D.上、下午生产情况均异常 6.2024年元旦假期期间,某高速公路收费站的三个收费口每个每天通过的小汽车数X(单位:辆)均服从正态分布N(600,σ2).若P(500<X≤700)=0.6,假设三个收费口均能正常独立工作,则这三个收费口至少有一个每天通过的小汽车数超过700辆的概率为 (　 ) A. B. C. D. 7.(多选题)下面给出的关于正态曲线的4个叙述中,正确的有 (　 ) A.曲线在x轴上方,且与x轴不相交 B.当x>μ时,曲线下降,当x<μ时,曲线上升 C.当μ一定时,σ越小,总体分布越分散,σ越大,总体分布越集中 D.曲线关于直线x=μ对称,且曲线的最高点位于x=μ处 8.(多选题)一次教学质量检测中,甲、乙、丙三科考试成绩的正态分布密度曲线如图所示,则下列说法中不正确的是 (　 ) A.甲科考试成绩的标准差最小 B.丙科考试成绩的平均数最小 C.乙科考试成绩的标准差及平均数都比甲小,比丙大 D.甲、乙、丙三科考试成绩的平均数不相等 二、填空题 9.设随机变量X服从正态分布N(2,σ2).若P(X>0)=0.9,则P(2<X<4)=　　　　.  10.随机变量X的正态分布密度函数φ(x)=·(x∈R),其图象如图所示,设P(X≥2)=p,则图中阴影部分的面积为　　　　.  11.抽样调查表明,某市新生儿体重X(单位:kg)近似地服从正态分布N(3.4,σ2),已知该市新生儿体重不足2 kg的占3.1%,则该市新生儿体重超过4.8 kg的百分比为　　　　.  12.[2024·福州四校高二联考] 已知某批零件的质量指标值ξ(单位:毫米)服从正态分布N(25.40,σ2),且P(ξ≥25.45)=0.1,现从该批零件中随机取3件,用X表示这3件产品的质量指标值ξ不位于区间(25.35,25.45)内的产品件数,则DX=　　　　.  三、解答题 13.设随机变量X~N(2,9),若P(X>c+1)=P(X<c-1). (1)求c的值; (2)求P(-4<X≤8). 附:若随机变量X~N(μ,σ2)(σ>0),则P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.954 5. 14.李明上学有时坐公交车,有时骑自行车,他记录了100次坐公交车和骑自行车所花的时间,经数据分析得到,坐公交车平均用时32分钟,样本方差为36;骑自行车平均用时34分钟,样本方差为4.假设坐公交车用时X(单位:分钟)服从正态分布N(μ1,),骑自行车用时Y(单位:分钟)服从正态分布N(μ2,),其中μ1,μ2分别为样本平均数,,分别为样本方差. (1)如果某天有38分钟可用,李明应选择哪种交通工具?并说明理由. (2)春天到来,李明选择骑自行车上学,每天都上课前38分钟从家出发,则在100天的上学时间里不迟到的天数大约为多少天?(四舍五入,保留整数) 附:若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈ 0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3. 15.[2024·湖南邵阳高二期末] 某市学生某次数学联考的成绩X~N(90,σ2),且P(80≤X≤100)=.现从参加考试的学生中随机抽取3名学生,则恰有1名学生的成绩超过100分的概率为　　　　.  16.[2024·湖南湘潭一中高二期末] 世界卫生组织建议成年人每周进行2.5至5小时中等强度运动.已知甲社区有20%的居民每周运动总时间超过5小时,乙社区有30%的居民每周运动总时间超过5小时,丙社区有50%的居民每周运动总时间超过5小时,且甲、乙、丙社区的居民人数之比为3∶3∶4. (1)从这三个社区中各随机选取1名居民,求至少有1名居民每周运动总时间超过5小时的概率; (2)从这三个社区中随机选取1名居民,求该居民每周运动总时间超过5小时的概率; (3)假设这三个社区每名居民每周运动总时间为随机变量X(单位:小时),且X~N(4,σ2),现从这三个社区中随机选取1名居民,利用(2)的结论,求该居民每周运动总时间为3至5小时的概率. 学科网（北京）股份有限公司 $ §5　正态分布 1.C　[解析] 服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量的分布密度函数为φ(x)=,根据X的正态分布密度函数为f(x)=(x∈R),可得其均值μ=0,标准差σ=2,故选C. 2.A　[解析] 函数f(x)图象的对称轴为直线x=μ<0,因此排除B,D;正态曲线位于x轴上方,因此排除C.故选A. 3.D　[解析] 因为正态曲线关于直线x=1对称,且P(X>2)=0.2,所以P(X<0)=0.2,所以P(X>0)=P(X≥0)=1-P(X<0)=1-0.2=0.8.故选D. 4.C　[解析] 因为P(ξ<1)=0.1,P(1≤ξ≤3)=0.8,所以P(ξ>3)=1-0.1-0.8=0.1,则P(ξ<1)=P(ξ>3),所以μ==2.故选C. 5.B　[解析] 根据正态分布的性质,零件外直径落在区间[μ-3σ,μ+3σ]内的概率约为0.997 3,所以零件外直径落在[9.7,10.3]内为正常值,否则为异常值,因为9.82∈[9.7,10.3],所以上午生产情况正常,因为10.31∉[9.7,10.3],所以下午生产情况异常.故选B. 6.C　[解析] 根据正态曲线的对称性可知,每个收费口每天通过的小汽车数超过700辆的概率均为P(X>700)=[1-P(500<X≤700)]=×(1-0.6)=0.2=,所以这三个收费口至少有一个每天通过的小汽车数超过700辆的概率P=1-=,故选C. 7.ABD　[解析] 由正态曲线的特点可知,曲线在x轴上方,且与x轴不相交,故A正确;当x<μ时,曲线上升,当x>μ时,曲线下降,并且当曲线向左、右两边无限延伸时,以x轴为渐近线,向x轴无限靠近,故B正确;当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越“高瘦”,总体分布越集中,σ越大,曲线越“矮胖”,总体分布越分散,故C错误;曲线关于直线x=μ对称,曲线的最高点位于x=μ处,当向左、右延伸时,曲线不断降低,呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线,故D正确.故选ABD. 8.BCD　[解析] 由题图可知,三科考试成绩的平均数(均值)相等.由正态分布密度曲线的性质可知,当μ一定时,σ越大,正态曲线越“矮胖”, σ越小,正态曲线越“高瘦”,故三科考试成绩的标准差从小到大依次为甲、乙、丙.故选BCD. 9.0.4　[解析] 因为随机变量X服从正态分布N(2,σ2),所以正态曲线的对称轴为直线x=2,所以P(X≤0)=P(X≥4)=1-P(X>0)=0.1,所以P(0<X<4)=1-2×0.1=0.8, 所以P(2<X<4)=×0.8=0.4. 10.-p　[解析] 由题意可知X~N(1,σ2),则P(X≤0)=P(X≥2)=p,故图中阴影部分的面积为-p. 11.3.1%　[解析] 由正态曲线的对称性可知,该正态曲线关于直线x=3.4 对称,所以P(X>4.8)=P(X<2)=3.1%. 12.0.48　[解析] 因为X~N(25.40,σ2),且P(ξ≥25.45)=0.1,所以P(ξ≤25.35)=0.1,所以P(ξ≤25.35或ξ≥25.45)=0.2,即产品的质量指标值ξ不位于区间(25.35,25.45)内的概率为0.2.因为X表示3件产品的质量指标值ξ不位于区间(25.35,25.45)内的产品件数,所以X~B(3,0.2),所以DX=3×0.2×0.8=0.48. 13.解:(1)因为随机变量X~N(2,9),且P(X>c+1)=P(X<c-1),所以由正态曲线的对称性可知,=c=2,故c的值为2. (2)因为X~N(2,9),所以μ=2,σ=3,故 P(-4<X≤8)=P(2-2×3<X≤2+2×3)=P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.954 5. 14.解:(1)由题意可知μ1=32,σ1=6,μ2=34,σ2=2. P(X>38)=-P(26≤X≤38)≈-×0.682 7=0.158 65;P(Y>38)=-P(30≤Y≤38)≈-×0.954 5=0.022 75.因为0.158 65>0.022 75,所以坐公交车用时超过38分钟的可能性更大,故李明应选择骑自行车. (2)由(1)可得P(Y≤38)=1-P(Y>38)≈0.977 25,设在100天的上学时间里不迟到的天数为Z, 则Z~B(100,0.977 25),可得E(Z)=100×0.977 25≈98,所以不迟到的天数大约为98. 15.　[解析] 因为X~N(90,σ2),所以μ=90,因为P(80≤X≤100)=,所以P(80≤X<90)=P(90<X≤100)=,所以P(X>100)=P(X>90)-P(90<X≤100)=-=,所以恰有1名学生的成绩超过100分的概率为××=. 16.解:(1)设从甲、乙、丙社区中各随机选取1名居民,该居民每周运动总时间超过5小时分别为事件A,B,C,则P(A)=,P(B)=,P(C)=.设“选取的3名居民中至少有1名居民每周运动总时间超过5小时”为事件M,则事件M的对立事件为“选取的3名居民每周运动总时间都没有超过5小时”,所以P(M)=1-P()=1-××=,故选取的3名居民中至少有1名居民每周运动总时间超过5小时的概率为. (2)设甲、乙、丙社区的居民人数分别为3a,3a,4a,则甲社区每周运动总时间超过5小时的人数为3a×20%=0.6a,乙社区每周运动总时间超过5小时的人数为3a×30%=0.9a,丙社区每周运动总时间超过5小时的人数为4a×50%=2a,所以从这3个社区中随机抽取1名居民,该居民每周运动总时间超过5小时的概率为=0.35. (3)因为X~N(4,σ2),所以P(X>4)=0.5. 因为P(X>5)=0.35, 所以P(4<X<5)=0.5-0.35=0.15, 所以P(3<X<5)=2P(4<X<5)=0.3. 学科网（北京）股份有限公司 $