6.5 正态分布(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版）

本讲义聚焦高中数学正态分布核心知识点，从误差模型引入，借助频率分布直方图直观感知特征，系统梳理正态分布密度函数、参数μ（均值）和σ（方差）的意义，以及正态曲线的对称性、形状与参数关系，结合3σ原则构建完整知识支架。 资料融入高斯数学文化事例，通过“想一想”“母题探究”互动环节，结合图像分析培养直观想象，以考试成绩、零件尺寸等实际问题体现数学建模。课中助力教师引导学生抽象概念，课后分层练习题帮助学生查漏补缺，提升数学运算与应用能力。

§5　正态分布 课标 要求 1.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量.通过实例，借助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特征（数学抽象、直观想象）. 2.了解正态分布的均值、方差及其含义（数学建模、数学运算）. 高斯是一个伟大的数学家，一生中的重要贡献不胜枚举，德国的10马克纸币上就印有高斯的头像和正态分布曲线. 【问题】　你知道什么是正态分布吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　正态分布 1.正态分布与正态曲线 （1）由误差引起的连续型随机变量其分布密度函数图象如图，对应的分布密度函数解析式为φμ，σ（x）＝，x∈（－∞，＋∞），其中实数μ，σ（σ＞0）为参数，这一类随机变量X的　分布密度（函数）　称为正态分布密度（函数），简称正态分布，对应的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线； （2）若X～N（μ，σ2），则EX＝　μ　，DX＝　σ2　. 2.正态曲线的性质 （1）曲线在　x　轴的上方，与x轴不相交； （2）曲线是单峰的，关于直线　x＝μ　对称； （3）曲线的最高点位于　x＝μ　处； （4）当x＜μ时，曲线　上升　；当x＞μ时，曲线　下降　；并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线. 提醒：（1）当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图1；（2）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图2. 【想一想】 若随机变量X～N（μ，σ2），则X是离散型随机变量吗？ 提示：若X～N（μ，σ2），则X不是离散型随机变量，由正态分布的定义： P（a≤X≤b）为区域B的面积，X可取[a，b]内的任何值，故X不是离散型随机变量，它是连续型随机变量. 知识点二　3σ原则 1.假设X～N（μ，σ2），可以证明：对给定的k∈N＋，P（μ－kσ＜X≤μ＋kσ）是一个只与k有关的定值.特别地， P（μ－σ＜X≤μ＋σ）≈0.682 7， P（μ－2σ＜X≤μ＋2σ）≈0.954 5， P（μ－3σ＜X≤μ＋3σ）≈0.997 3. 2.在实际应用中，通常认为服从正态分布N（μ，σ2）的随机变量X只取区间（μ－3σ，μ＋3σ]之间的值，并称之为3σ原则. 【想一想】 怎样正确理解在3σ原则下小概率事件（一般情况下，指发生的概率小于0.27%的事件）是否能够发生？ 提示：（1）这里的“几乎不可能发生”是针对“一次试验”来说的，如果试验次数多了，该事件当然是很有可能发生的； （2）当我们运用“小概率事件几乎不可能发生”的原理进行推断时，也有0.27%的犯错的可能. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）正态曲线中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差.（　×　） （2）正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数μ，σ的变化而变化的.（　×　） （3）正态曲线可以关于直线x＝0对称.（　√　） （4）若X～N（μ，σ2），则P（X＜μ）＝.（　√　） 2.设随机变量ξ服从正态分布N（2，9），若P（ξ＞c＋1）＝P（ξ＜c－1），则c＝（　　） A.1　　　　　　　　　B.2 C.3 D.4 解析：B　由正态曲线的对称性可知c＋1＋c－1＝2×2，得c＝2. 3.已知随机变量服从正态分布，其正态曲线如图所示，则总体的均值μ＝　20　，方差σ2＝　2　. 解析：从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是，所以μ＝20，＝，解得σ＝，因此总体的均值μ＝20，方差σ2＝（）2＝2. 4.在正态分布N中，数据落在（－2，2]内的概率为　0.997 3　. 解析：由题可得μ＝0，σ＝，P（－2＜X≤2）＝P（μ－3σ＜X≤μ＋3σ）≈0.997 3. 题型一　正态密度曲线的概念与性质 （1）〔多选〕一次教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的正态分布密度曲线如图所示，下列说法中不正确的是（　BCD　） A.甲科总体的标准差最小 B.丙科总体的平均数最小 C.乙科总体的标准差及平均数都比甲小，比丙大 D.甲、乙、丙总体的平均数不相同 （2）已知正态曲线的函数解析式为φ（x）＝（x∈R），则均值为μ＝　2　，σ＝　3　. 解析：（1）由题中图象可知三科总体的平均数（均值）相等，由正态分布密度曲线的性质，可知σ越大，正态曲线越“矮胖”，σ越小，正态曲线越“高瘦”，故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙. （2）将所给的函数解析式与正态分布密度函数的解析式对照可得μ＝2，σ＝3. 通性通法 由正态曲线确定均值与方差的方法 　　正态分布的两个重要参数是μ与σ2，μ刻画了随机变量取值的平均水平，σ2是衡量随机变量总体波动大小的特征数，因此我们由正态曲线的形状与位置可比较参数的大小，反之利用参数之间的大小关系，也可以确定正态曲线的形状与位置. 〔多选〕下面关于正态曲线的4个叙述中，正确的有（　　） A.曲线在x轴上方，且与x轴不相交 B.当x＞μ时，曲线下降，当x＜μ时，曲线上升 C.当μ一定时，σ越小，总体分布越分散，σ越大，总体分布越集中 D.曲线关于直线x＝μ对称，且当x＝μ时，位于最高点 解析：ABD　只有C错误，因为当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“高瘦”，总体分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散. 题型二　利用正态分布的性质求概率 设ξ～N（1，22），试求： （1）P（－1≤ξ≤3）； （2）P（3≤ξ≤5）. 解：∵ξ～N（1，22），∴μ＝1，σ＝2. （1）P（－1≤ξ≤3）＝P（1－2≤ξ≤1＋2） ＝P（μ－σ≤ξ≤μ＋σ）≈0.682 7. （2）∵P（3≤ξ≤5）＝P（－3≤ξ≤－1）， ∴P（3≤ξ≤5）＝[P（－3≤ξ≤5）－P（－1≤ξ≤3）] ＝[P（1－4≤ξ≤1＋4）－P（1－2≤ξ≤1＋2）] ＝[P（μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ）－P（μ－σ≤ξ≤μ＋σ）] ≈（0.954 5－0.682 7）＝0.135 9. 【母题探究】 （变设问）若本例条件不变，求P（ξ＞5）. 解：P（ξ＞5）＝P（ξ＜－3）＝[1－P（－3≤ξ≤5）] ＝[1－P（1－4≤ξ≤1＋4）] ＝[1－P（μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ）] ≈（1－0.954 5）＝0.022 75. 通性通法 利用正态分布的对称性求概率 　　由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间上概率相等. 1.随机变量X～N（8，σ2），若P（7≤X≤9）＝0.4，则P（X＞9）＝（　　） A.0.6 B.0.5 C.0.4 D.0.3 解析：D　∵随机变量X～N（8，σ2），P（7≤X≤9）＝0.4，∴P（X＞8）＝0.5，P（8≤X≤9）＝0.2，∴P（X＞9）＝0.3，故选D. 2.已知随机变量X服从正态分布N（3，σ2），且P（X＞5）＝0.2，则P（1＜X＜3）＝（　　） A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 解析：C　P（1＜X＜3）＝P（3＜X＜5）＝0.5－P（X＞5）＝0.5－0.2＝0.3. 题型三　正态分布的实际应用 在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从正态分布，即ξ～N（90，100）. （1）试求考试成绩ξ位于区间（70，110]上的概率是多少？ （2）若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在（80，100]间的考生大约有多少人？ 解：因为ξ～N（90，100），所以μ＝90，σ＝10. （1）由于正态变量在区间（μ－2σ，μ＋2σ]内取值的概率约为0.954 5，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩ξ位于区间（70，110]内的概率约为0.954 5. （2）由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.由于正态变量在区间（μ－σ，μ＋σ]内取值的概率约为0.682 7，所以考试成绩ξ位于区间（80，100]内的概率约为0.682 7，一共有2 000名考生，所以考试成绩在（80，100]间的考生大约有2 000×0.682 7≈1 365（人）. 通性通法 正态曲线的应用及求解策略 　　解答此类题目的关键在于将待求的问题向（μ－σ，μ＋σ]，（μ－2σ，μ＋2σ]，（μ－3σ，μ＋3σ]这三个区间进行转化，然后利用上述区间的概率求出相应的概率，在此过程中依然会用到化归思想及数形结合思想. 有一种精密零件，其尺寸X（单位：mm）服从正态分布N（20，4）.若这批零件共有5 000个，试求： （1）这批零件中尺寸在18～22 mm间的零件所占的百分比； （2）若规定尺寸在24～26 mm间的零件不合格，则这批零件中不合格的零件大约有多少个？ 解：（1）∵X～N（20，4），∴μ＝20，σ＝2，∴μ－σ＝18，μ＋σ＝22， 于是尺寸在18～22 mm间的零件所占的百分比大约是68.27%. （2）∵μ－3σ＝14，μ＋3σ＝26，μ－2σ＝16，μ＋2σ＝24， ∴尺寸在24～26 mm间的零件所占的百分比大约是＝2.14%. ∴尺寸在24～26 mm间的零件大约有5 000×2.14%＝107（个）. 1.下列函数是正态密度函数的是（　　） A.f（x）＝（μ，σ＞0） B.f（x）＝ C.f（x）＝ D.f（x）＝ 解析：B　正态密度函数为f（x）＝，其中指数部分的σ与系数部分的σ保持一致，系数为正，指数为负.选项A中有两处错误，分别是σ错写为和指数为正；选项C中由系数可得σ＝2，由指数可得σ＝，显然不符合题意；选项D中指数为正，不符合题意. 2.已知随机变量X服从正态分布N（11，σ2），且P（X≤a－2）＝P（X≥a＋2）＝0.3，则P（9＜X＜11）＝（　　） A.0.2　　　B.0.4 C.0.3　　　D.0.6 解析：A　由题意得＝11，解得a＝11.因为P（X≤9）＝0.3，所以P（9＜X＜11）＝0.5－0.3＝0.2.故选A. 3.已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（0，32），从中随机取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为（　　） （附：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ－σ≤ξ≤μ＋σ）≈68.26%，P（μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ）≈95.44%） A.4.56% B.13.59% C.27.18% D.31.74% 解析：B　P（3＜ξ＜6）＝[P（－6＜ξ＜6）－P（－3＜ξ＜3）]≈（95.44%－68.26%）＝13.59%.故选B. 4.〔多选〕已知三个正态密度函数φi（x）＝（x∈R，i＝1，2，3）的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A.σ1＝σ2 B.μ1＞μ3 C.μ1＝μ2 D.σ2＜σ3 解析：AD　根据正态曲线关于直线x＝μ对称，且μ越大图象越靠右，所以μ1＜μ2＝μ3，B、C错误；又σ越小数据越集中，图象越高瘦，所以σ1＝σ2＜σ3，A、D正确. 5.在某项测量中，测量结果X服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0）.若X在（0，1）内取值的概率为0.4，则X在（0，2）内取值的概率为　0.8　. 解析：易得P（0＜X＜1）＝P（1＜X＜2），故P（0＜X＜2）＝2P（0＜X＜1）＝2×0.4＝0.8. 1.关于正态分布N（μ，σ2），下列说法正确的是（　　） A.随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事件 B.随机变量落在区间长度为6σ的区间之外是一个小概率事件 C.随机变量落在[－3σ，3σ]之外是一个小概率事件 D.随机变量落在[μ－3σ，μ＋3σ]之外是一个小概率事件 解析：D　∵P（μ－3σ≤X≤μ＋3σ）≈0.997 3，∴P（X＞μ＋3σ或X＜μ－3σ）＝1－P（μ－3σ≤X≤μ＋3σ）≈1－0.997 3＝0.002 7，∴随机变量落在[μ－3σ，μ＋3σ]之外是一个小概率事件. 2.已知随机变量X服从正态分布N（a，4），且P（X＞1）＝0.5，则实数a的值为（　　） A.1　　 　B. C.2　　 　D.4 解析：A　因为随机变量X服从正态分布N（a，4），所以P（X＞a）＝0.5.由P（X＞1）＝0.5，可知a＝1. 3.已知随机变量X的正态密度函数为φ（x）＝（x∈R），则其均值和标准差分别是（　　） A.0和8 B.0和4 C.0和2 D.0和1 解析：C　将所给函数解析式与正态密度函数的解析式对照可得μ＝0，σ＝2. 4.工厂质量监控小组从一批面粉中抽取n袋测量其重量，已知每袋面粉的重量X（单位：千克）服从正态分布N（20，），若P（19.95≤X≤20.05）≥0.997 3，则n的最小值为（　　） A.120 B.144 C.150 D.160 解析：B　由题意知当P（19.95≤X≤20.05）≥0.997 3时，[μ－3σ，μ＋3σ]⊆[19.95，20.05]，又μ＝20，σ＝，所以0.05≥3，解得n≥144，所以n的最小值为144.故选B. 5.〔多选〕已知甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布N（μ1，），N（μ2，），其正态曲线如图所示，则（　　） A.乙类水果质量的均值比甲类水果质量的均值小 B.甲类水果的质量比乙类水果的质量分布更集中 C.甲类水果质量的均值比乙类水果质量的均值小 D.乙类水果的质量比甲类水果的质量分布更集中 解析：BC　由图象可知，甲类水果质量的均值μ1＝0.4，乙类水果质量的均值μ2＝0.8，且σ1＜σ2，则B、C正确，A、D不正确，故选B、C. 6.〔多选〕随机变量X服从正态分布N（90，52），则下列结论正确的是（　　） A.EX＝90　　　　　　　　B.DX＝5 C.P（X＞100）＝P（X＜80）　D.P（X≥90）＝ 解析：ACD　由随机变量X服从正态分布N（90，52），得正态曲线的对称轴为直线x＝μ＝90，如图所示，则EX＝90，故A正确；标准差为5，方差为25，故B错误；由正态曲线的对称性得P（X＞100）＝P（X＜80），P（X≥90）＝，故C、D正确. 7.已知正态分布落在区间（0.2，＋∞）内的概率为0.5，那么相应的正态曲线f（x）在x＝　0.2　时达到最高点. 解析：由正态曲线关于直线x＝μ对称且在x＝μ处达到峰值和其落在区间（0.2，＋∞）内的概率为0.5，得μ＝0.2. 8.已知随机变量ξ～N（3，σ2），且＝，则P（3＜ξ＜5）＝　0.3　. 解析：由题意知μ＝3，故P（ξ＜1）＝P（ξ＞5），又＝，所以＝.又P（ξ＜5）＋P（ξ＞5）＝1，所以P（ξ＞5）＝0.2，故P（3＜ξ＜5）＝P（ξ＞3）－P（ξ≥5）＝0.5－0.2＝0.3. 9.某工厂生产了10 000根钢管，其钢管内径X（单位：mm）近似服从正态分布N（20，σ2）（σ＞0），工作人员通过抽样的方式统计出，钢管内径高于20.05 mm的占钢管总数的，则这批钢管中，内径在19.95 mm到20 mm之间的钢管数约为　4 800　. 解析：∵P（X＜19.95）＝P（X＞20.05）＝，∴P（19.95≤X≤20.05）＝1－＝，∴P（19.95≤X≤20）＝，故这批钢管内径在19.95 mm到20 mm之间的钢管数约为10 000×＝4 800. 10.已知随机变量X～N（μ，σ2），且其正态曲线在（－∞，80）上上升，在（80，＋∞）上下降，且P（72＜X≤88）＝0.682 6. （1）求参数μ，σ的值； （2）求P（64＜X≤72）. 解：（1）由于正态曲线在（－∞，80）上上升，在（80，＋∞）上下降，所以正态曲线关于直线x＝80对称，即参数μ＝80.又P（72＜X≤88）＝0.682 6. 结合P（μ－σ＜X≤μ＋σ）＝0.682 6，可知σ＝8. （2）因为P（μ－2σ＜X≤μ＋2σ）＝P（64＜X≤96）＝0.954 4. 又因为P（X≤64）＝P（X＞96），所以P（X≤64）＝×（1－0.954 4）＝×0.045 6＝0.022 8. 所以P（X＞64）＝0.977 2. 又P（X≤72）＝[1－P（72＜X≤88）]＝×（1－0.682 6）＝0.158 7，所以P（X＞72）＝0.841 3， P（64＜X≤72）＝P（X＞64）－P（X＞72）＝0.135 9. 11.某工厂生产一种螺栓，在正常情况下，螺栓的直径X（单位：mm）服从正态分布X～N（100，1）.现加工10个螺栓的尺寸（单位：mm）如下：101.7，100.3，99.6，102.4，98.2，103.2，101.1，98.8，100.4，100.0，X～N（μ，σ2），有P（μ－2σ＜X＜μ＋2σ）≈0.954，P（μ－3σ＜X＜μ＋3σ）≈0.997.根据行业标准，概率低于0.003视为小概率事件，工人随机将其中的8个交与质检员检验，则质检员认为设备需检修的概率为（　　） A.　　　B. C.　　　D. 解析：B　10个螺栓的尺寸，只有103.2不在区间（97，103）内，∴工人随机将其中的8个交与质检员检验，质检员认为设备需检修的概率为＝. 12.〔多选〕若随机变量ξ～N（0，1），φ（m）＝P（ξ≤m），其中m＞0，则下列等式成立的是（　　） A.φ（－m）＝1－φ（m） B.φ（2m）＝2φ（m） C.P（｜ξ｜＜m）＝2φ（m）－1 D.P（｜ξ｜＞m）＝2－φ（m） 解析：AC　∵随机变量ξ服从标准正态分布N（0，1），∴正态曲线如图所示.∵φ（m）＝P（ξ≤m），m＞0，∴φ（－m）＝P（ξ≥m）＝1－φ（m），∴A正确；φ（2m）＝P（ξ≤2m），2φ（m）＝2P（ξ≤m），∴φ（2m）≠2φ（m），故B错误；P（｜ξ｜＜m）＝P（－m＜ξ＜m）＝1－2φ（－m）＝1－2[1－φ（m）]＝2φ（m）－1，∴C正确；P（｜ξ｜＞m）＝P（ξ＞m或ξ＜－m）＝1－φ（m）＋φ（－m）＝1－φ（m）＋1－φ（m）＝2－2φ（m），∴D错误.故选A、C. 13.对一个物理量做n次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果.已知最后结果的误差εn～N，为使误差εn在（－0.5，0.5）的概率不小于0.954 4，至少要测量　32　次（若X～N（μ，σ2），则P（｜X－μ｜＜2σ）＝0.954 4）. 解析：根据正态曲线的对称性知：要使误差εn在（－0.5，0.5）的概率不小于0.954 4，则（μ－2σ，μ＋2σ）⊂（－0.5，0.5）且μ＝0，σ＝，所以0.5≥2⇒n≥32. 14.已知从某批材料中任取一件，取得的这件材料的强度X服从N（200，182）. （1）计算取得的这件材料的强度不低于182的概率； （2）如果所用的材料需以95%的概率保证强度不低于164，问这批材料是否符合这个要求？（精确到0.000 1） 解：（1）由X～N（200，182），知μ＝200，σ＝18， 而182＝200－18＝μ－σ，218＝200＋18＝μ＋σ， ∴P（182≤X≤218）≈0.682 7. 又∵1＝P（X＜182）＋P（182≤X≤218）＋P（X＞218）， 由正态曲线的对称性可知P（X＜182）＝P（X＞218）， ∴P（X＜182）≈×（1－0.682 7）≈0.158 7.∴P（X≥182）＝1－P（X＜182）≈1－0.158 7＝0.841 3. 故所求的概率为0.841 3. （2）由（1）知164＝μ－2σ，236＝μ＋2σ， ∴P（164≤X≤236）≈0.954 5. 又由正态曲线的对称性可知P（X＜164）＝P（X＞236），且P（X＜164）＋P（164≤X≤236）＋P（X＞236）＝1， ∴P（X＜164）≈×（1－0.954 5）≈0.022 8， ∴P（X≥164）≈1－P（X＜164）＝0.977 2＞0.95. 故这批材料符合这个要求. 8 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $