6.5 正态分布(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版）

该高中数学课件聚焦正态分布核心内容，涵盖正态分布概念、正态曲线性质及3σ原则。通过高斯与10马克纸币的情境导入提问，从误差模型切入新知，结合图像解析定义与性质，用“想一想”辨析连续型随机变量，自我诊断判断正误巩固基础，构建情境到应用的学习支架。 其亮点在于以情境激发兴趣，借助正态曲线图像分析μ和σ的影响培养直观想象，实际应用题型（如零件尺寸、考试成绩）渗透数学建模。典例研析分题型总结通性通法，课时作业分层设计。学生能提升数学抽象与运算能力，教师可获得系统教学资源与分层练习支持。

§5　正态分布 第六章　概率 1 课标 要求 1.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量.通过实例，借助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特征（数学抽象、直观想象）. 2.了解正态分布的均值、方差及其含义（数学建模、数学运算）. 目 录 CONTENTS 基础落实 典例研析 课时作业 基础落实 >> 目录 4 高斯是一个伟大的数学家，一生中的重要贡献不胜枚举，德国的10马克纸 币上就印有高斯的头像和正态分布曲线. 【问题】　你知道什么是正态分布吗？ 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 知识点一　正态分布 1. 正态分布与正态曲线 （1）由误差引起的连续型随机变量其分布密度函数图象如图，对应的分 布密度函数解析式为φμ，σ（x）＝，x∈（－∞，＋∞）， 其中实数μ，σ（σ＞0）为参数，这一类随机变量X的 ⁠ 称为正态分布密度（函数），简称正态分布， 对应的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线； 分布密度（函 数）　 （2）若X～N（μ，σ2），则EX＝ ，DX＝ ⁠. μ　 σ2　 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 2. 正态曲线的性质 （1）曲线在 轴的上方，与x轴不相交； （2）曲线是单峰的，关于直线 对称； （3）曲线的最高点位于 处； （4）当x＜μ时，曲线 ；当x＞μ时，曲线 ；并且当曲线 向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线. x　 x＝μ　 x＝μ　 上升　 下降　 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 提醒：（1）当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移，如图1；（2）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越 “高瘦”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体 的分布越分散，如图2. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 【想一想】 若随机变量X～N（μ，σ2），则X是离散型随机变量吗？ 提示：若X～N（μ，σ2），则X不是离散型随机变量，由正态分布的定 义： P（a≤X≤b）为区域B的面积，X可取[a，b]内的任何值，故X不是离 散型随机变量，它是连续型随机变量. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 知识点二　3σ原则 1. 假设X～N（μ，σ2），可以证明：对给定的k∈N＋，P（μ－kσ＜X≤μ ＋kσ）是一个只与k有关的定值.特别地， P（μ－σ＜X≤μ＋σ）≈0.682 7， P（μ－2σ＜X≤μ＋2σ）≈0.954 5， P（μ－3σ＜X≤μ＋3σ）≈0.997 3. 2. 在实际应用中，通常认为服从正态分布N（μ，σ2）的随机变量X只取区 间（μ－3σ，μ＋3σ]之间的值，并称之为3σ原则. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 【想一想】 怎样正确理解在3σ原则下小概率事件（一般情况下，指发生的概率小于 0.27%的事件）是否能够发生？ 提示：（1）这里的“几乎不可能发生”是针对“一次试验”来说的，如 果试验次数多了，该事件当然是很有可能发生的； （2）当我们运用“小概率事件几乎不可能发生”的原理进行推断时，也 有0.27%的犯错的可能. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）正态曲线中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差. （　×　） （2）正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数μ，σ的变化而变 化的. （　×　） （3）正态曲线可以关于直线x＝0对称. （　√　） （4）若X～N（μ，σ2），则P（X＜μ）＝. （　√　） × × √ √ 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 2. 设随机变量ξ服从正态分布N（2，9），若P（ξ＞c＋1）＝P（ξ＜c－ 1），则c＝（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 √ 解析： 　由正态曲线的对称性可知c＋1＋c－1＝2×2，得c＝2. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 3. 已知随机变量服从正态分布，其正态曲线如图所示，则总体的均值μ ＝ ，方差σ2＝ ⁠. 解析：从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是 ，所以μ＝20，＝，解得σ＝，因此总体的均值μ＝20，方 差σ2＝（）2＝2. 20　 2　 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 4. 在正态分布N中，数据落在（－2，2]内的概率为 ⁠. 解析：由题可得μ＝0，σ＝，P（－2＜X≤2）＝P（μ－3σ＜X≤μ＋ 3σ）≈0.997 3. 0.997 3　 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 典例研析>> 目录 16 题型一　正态密度曲线的概念与性质 （1）〔多选〕一次教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的正 态分布密度曲线如图所示，下列说法中不正确的是（　BCD　） A. 甲科总体的标准差最小 B. 丙科总体的平均数最小 C. 乙科总体的标准差及平均数都比甲小，比丙大 D. 甲、乙、丙总体的平均数不相同 BCD 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 解析： 由题中图象可知三科总体的平均数（均值）相等，由正态分布密度曲线的性质，可知σ越大，正态曲线越“矮胖”，σ越小，正态曲线越“高瘦”，故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 （2）已知正态曲线的函数解析式为φ（x）＝（x∈R），则 均值为μ＝ ，σ＝ ⁠. 解析： 将所给的函数解析式与正态分布密度函数的解析式对照可得μ＝2，σ＝3. 2　 3　 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 通性通法 由正态曲线确定均值与方差的方法 　　正态分布的两个重要参数是μ与σ2，μ刻画了随机变量取值的平均水 平，σ2是衡量随机变量总体波动大小的特征数，因此我们由正态曲线的形 状与位置可比较参数的大小，反之利用参数之间的大小关系，也可以确定 正态曲线的形状与位置. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 〔多选〕下面关于正态曲线的4个叙述中，正确的有（　　） A. 曲线在x轴上方，且与x轴不相交 B. 当x＞μ时，曲线下降，当x＜μ时，曲线上升 C. 当μ一定时，σ越小，总体分布越分散，σ越大，总体分布越集中 D. 曲线关于直线x＝μ对称，且当x＝μ时，位于最高点 √ √ √ 解析： 　只有C错误，因为当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越 小，曲线越“高瘦”，总体分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，总体 分布越分散. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 题型二　利用正态分布的性质求概率 设ξ～N（1，22），试求： （1）P（－1≤ξ≤3）； （1）P（－1≤ξ≤3）＝P（1－2≤ξ≤1＋2） ＝P（μ－σ≤ξ≤μ＋σ）≈0.682 7. 解：∵ξ～N（1，22），∴μ＝1，σ＝2. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 解： ∵P（3≤ξ≤5）＝P（－3≤ξ≤－1）， ∴P（3≤ξ≤5）＝[P（－3≤ξ≤5）－P（－1≤ξ≤3）] ＝[P（1－4≤ξ≤1＋4）－P（1－2≤ξ≤1＋2）] ＝[P（μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ）－P（μ－σ≤ξ≤μ＋σ）] ≈（0.954 5－0.682 7）＝0.135 9. （2）P（3≤ξ≤5）. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 【母题探究】 （变设问）若本例条件不变，求P（ξ＞5）. 解：P（ξ＞5）＝P（ξ＜－3）＝[1－P（－3≤ξ≤5）] ＝[1－P（1－4≤ξ≤1＋4）] ＝[1－P（μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ）] ≈（1－0.954 5）＝0.022 75. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 通性通法 利用正态分布的对称性求概率 　　由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x ＝μ对称的区间上概率相等. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 1. 随机变量X～N（8，σ2），若P（7≤X≤9）＝0.4，则P（X＞9）＝ （　　） A. 0.6 B. 0.5 C. 0.4 D. 0.3 √ 解析： 　∵随机变量X～N（8，σ2），P（7≤X≤9）＝0.4，∴P（X＞ 8）＝0.5，P（8≤X≤9）＝0.2，∴P（X＞9）＝0.3，故选D. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 2. 已知随机变量X服从正态分布N（3，σ2），且P（X＞5）＝0.2，则P（1 ＜X＜3）＝（　　） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 √ 解析： 　P（1＜X＜3）＝P（3＜X＜5）＝0.5－P（X＞5）＝0.5－0.2＝ 0.3. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 题型三　正态分布的实际应用 在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从正态分布，即ξ～N（90， 100）. （1）试求考试成绩ξ位于区间（70，110]上的概率是多少？ （1）由于正态变量在区间（μ－2σ，μ＋2σ]内取值的概率约为0.954 5， 而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110， 于是考试成绩ξ位于区间（70，110]内的概率约为0.954 5. 解：因为ξ～N（90，100），所以μ＝90，σ＝10. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 解：由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.由于正态变量在区间 （μ－σ，μ＋σ]内取值的概率约为0.682 7，所以考试成绩ξ位于区间 （80，100]内的概率约为0.682 7，一共有2 000名考生，所以考试成绩在 （80，100]间的考生大约有2 000×0.682 7≈1 365（人）. （2）若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在（80，100]间的考 生大约有多少人？ 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 通性通法 正态曲线的应用及求解策略 　　解答此类题目的关键在于将待求的问题向（μ－σ，μ＋σ]，（μ －2σ，μ＋2σ]，（μ－3σ，μ＋3σ]这三个区间进行转化，然后利用 上述区间的概率求出相应的概率，在此过程中依然会用到化归思想及 数形结合思想. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 有一种精密零件，其尺寸X（单位：mm）服从正态分布N（20，4）.若这 批零件共有5 000个，试求： （1）这批零件中尺寸在18～22 mm间的零件所占的百分比； 解：∵X～N（20，4），∴μ＝20，σ＝2，∴μ－σ＝18，μ＋σ＝22， 于是尺寸在18～22 mm间的零件所占的百分比大约是68.27%. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 （2）若规定尺寸在24～26 mm间的零件不合格，则这批零件中不合格的零 件大约有多少个？ 解： ∵μ－3σ＝14，μ＋3σ＝26，μ－2σ＝16，μ＋2σ＝24， ∴尺寸在24～26 mm间的零件所占的百分比大约是＝2.14%. ∴尺寸在24～26 mm间的零件大约有5 000×2.14%＝107（个）. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 1. 下列函数是正态密度函数的是（　　） A. f（x）＝（μ，σ＞0） B. f（x）＝ C. f（x）＝ D. f（x）＝ √ 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 解析： 　正态密度函数为f（x）＝，其中指数部分的σ与 系数部分的σ保持一致，系数为正，指数为负.选项A中有两处错误，分别 是σ错写为和指数为正；选项C中由系数可得σ＝2，由指数可得σ ＝，显然不符合题意；选项D中指数为正，不符合题意. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 2. 已知随机变量X服从正态分布N（11，σ2），且P（X≤a－2）＝P（X≥a ＋2）＝0.3，则P（9＜X＜11）＝（　　） A. 0.2 B. 0.4 C. 0.3 D. 0.6 √ 解析： 　由题意得＝11，解得a＝11.因为P（X≤9）＝0.3，所以 P（9＜X＜11）＝0.5－0.3＝0.2.故选A. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 3. 已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（0，32），从 中随机取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为（　　） （附：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ－σ≤ξ≤μ＋σ） ≈68.26%，P（μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ）≈95.44%） A. 4.56% B. 13.59% C. 27.18% D. 31.74% √ 解析： 　P（3＜ξ＜6）＝[P（－6＜ξ＜6）－P（－3＜ξ＜3）]≈ （95.44%－68.26%）＝13.59%.故选B. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 4. 〔多选〕已知三个正态密度函数φi（x）＝ （x∈R，i＝1，2，3）的图象 如图所示，则下列结论正确的是（　　） A. σ1＝σ2 B. μ1＞μ3 C. μ1＝μ2 D. σ2＜σ3 √ √ 解析： 　根据正态曲线关于直线x＝μ对称，且μ越大图象越靠右，所 以μ1＜μ2＝μ3，B、C错误；又σ越小数据越集中，图象越高瘦，所以σ1 ＝σ2＜σ3，A、D正确. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 5. 在某项测量中，测量结果X服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0）.若X在 （0，1）内取值的概率为0.4，则X在（0，2）内取值的概率为 ⁠. 解析：易得P（0＜X＜1）＝P（1＜X＜2），故P（0＜X＜2）＝2P（0＜X ＜1）＝2×0.4＝0.8. 0.8　 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 课时作业 >> 目录 39 1. 关于正态分布N（μ，σ2），下列说法正确的是（　　） A. 随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事件 B. 随机变量落在区间长度为6σ的区间之外是一个小概率事件 C. 随机变量落在[－3σ，3σ]之外是一个小概率事件 D. 随机变量落在[μ－3σ，μ＋3σ]之外是一个小概率事件 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 解析： 　∵P（μ－3σ≤X≤μ＋3σ）≈0.997 3，∴P（X＞μ＋3σ或X＜ μ－3σ）＝1－P（μ－3σ≤X≤μ＋3σ）≈1－0.997 3＝0.002 7，∴随机变 量落在[μ－3σ，μ＋3σ]之外是一个小概率事件. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 2. 已知随机变量X服从正态分布N（a，4），且P（X＞1）＝0.5，则实数a 的值为（　　） A. 1 B. C. 2 D. 4 √ 解析： 　因为随机变量X服从正态分布N（a，4），所以P（X＞a）＝ 0.5.由P（X＞1）＝0.5，可知a＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 3. 已知随机变量X的正态密度函数为φ（x）＝（x∈R），则其均值 和标准差分别是（　　） A. 0和8 B. 0和4 C. 0和2 D. 0和1 √ 解析： 　将所给函数解析式与正态密度函数的解析式对照可得μ＝0，σ ＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 4. 工厂质量监控小组从一批面粉中抽取n袋测量其重量，已知每袋面粉的 重量X（单位：千克）服从正态分布N（20，），若P （19.95≤X≤20.05）≥0.997 3，则n的最小值为（　　） A. 120 B. 144 C. 150 D. 160 √ 解析： 　由题意知当P（19.95≤X≤20.05）≥0.997 3时，[μ－3σ，μ ＋3σ]⊆[19.95，20.05]，又μ＝20，σ＝，所以0.05≥3，解得 n≥144，所以n的最小值为144.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 5. 〔多选〕已知甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布N （μ1，），N（μ2，），其正态曲线如图所示，则（　　） A. 乙类水果质量的均值比甲类水果质量的均值小 B. 甲类水果的质量比乙类水果的质量分布更集中 C. 甲类水果质量的均值比乙类水果质量的均值小 D. 乙类水果的质量比甲类水果的质量分布更集中 √ √ 解析： 　由图象可知，甲类水果质量的均值μ1＝0.4，乙类水果质量的 均值μ2＝0.8，且σ1＜σ2，则B、C正确，A、D不正确，故选B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 6. 〔多选〕随机变量X服从正态分布N（90，52），则下列结论正确的是 （　　） A. EX＝90 B. DX＝5 C. P（X＞100）＝P（X＜80） D. P（X≥90）＝ √ √ √ 解析： 　由随机变量X服从正态分布N（90，52），得正态曲线的对称轴为直线x＝μ＝90，如图所示，则EX＝90，故A正确；标准差为5，方差为25，故B错误；由正态曲线的对称性得P（X＞100）＝P（X＜80），P（X≥90）＝，故C、D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 7. 已知正态分布落在区间（0.2，＋∞）内的概率为0.5，那么相应的正态 曲线f（x）在x＝ 时达到最高点. 解析：由正态曲线关于直线x＝μ对称且在x＝μ处达到峰值和其落在区间 （0.2，＋∞）内的概率为0.5，得μ＝0.2. 0.2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 8. 已知随机变量ξ～N（3，σ2），且＝，则P（3＜ξ＜5） ＝ ⁠. 解析：由题意知μ＝3，故P（ξ＜1）＝P（ξ＞5），又＝，所以 ＝.又P（ξ＜5）＋P（ξ＞5）＝1，所以P（ξ＞5）＝0.2，故P （3＜ξ＜5）＝P（ξ＞3）－P（ξ≥5）＝0.5－0.2＝0.3. 0.3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 9. 某工厂生产了10 000根钢管，其钢管内径X（单位：mm）近似服从正态 分布N（20，σ2）（σ＞0），工作人员通过抽样的方式统计出，钢管内径 高于20.05 mm的占钢管总数的，则这批钢管中，内径在19.95 mm到20 mm之间的钢管数约为 ⁠. 解析：∵P（X＜19.95）＝P（X＞20.05）＝，∴P （19.95≤X≤20.05）＝1－＝，∴P（19.95≤X≤20）＝，故这批钢 管内径在19.95 mm到20 mm之间的钢管数约为10 000×＝4 800. 4 800　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 10. 已知随机变量X～N（μ，σ2），且其正态曲线在（－∞，80）上上 升，在（80，＋∞）上下降，且P（72＜X≤88）＝0.682 6. （1）求参数μ，σ的值； 解： 由于正态曲线在（－∞，80）上上升，在（80，＋∞）上下 降，所以正态曲线关于直线x＝80对称，即参数μ＝80.又P（72＜X≤88） ＝0.682 6. 结合P（μ－σ＜X≤μ＋σ）＝0.682 6，可知σ＝8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 （2）求P（64＜X≤72）. 解： 因为P（μ－2σ＜X≤μ＋2σ）＝P（64＜X≤96）＝0.954 4. 又因为P（X≤64）＝P（X＞96），所以P（X≤64）＝×（1－0.954 4） ＝×0.045 6＝0.022 8. 所以P（X＞64）＝0.977 2. 又P（X≤72）＝[1－P（72＜X≤88）]＝×（1－0.682 6）＝0.158 7， 所以P（X＞72）＝0.841 3， P（64＜X≤72）＝P（X＞64）－P（X＞72）＝0.135 9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 11. 某工厂生产一种螺栓，在正常情况下，螺栓的直径X（单位：mm）服 从正态分布X～N（100，1）.现加工10个螺栓的尺寸（单位：mm）如下： 101.7，100.3，99.6，102.4，98.2，103.2，101.1，98.8，100.4， 100.0，X～N（μ，σ2），有P（μ－2σ＜X＜μ＋2σ）≈0.954，P（μ－ 3σ＜X＜μ＋3σ）≈0.997.根据行业标准，概率低于0.003视为小概率事 件，工人随机将其中的8个交与质检员检验，则质检员认为设备需检修的 概率为（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 解析： 　10个螺栓的尺寸，只有103.2不在区间（97，103）内，∴工人随机将其中的8个交与质检员检验，质检员认为设备需检修的概率为＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 12. 〔多选〕若随机变量ξ～N（0，1），φ（m）＝P（ξ≤m），其中m＞ 0，则下列等式成立的是（　　） A. φ（－m）＝1－φ（m） B. φ（2m）＝2φ（m） C. P（｜ξ｜＜m）＝2φ（m）－1 D. P（｜ξ｜＞m）＝2－φ（m） √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 解析： ∵随机变量ξ服从标准正态分布N（0， 1），∴正态曲线如图所示.∵φ（m）＝P（ξ≤m），m ＞0，∴φ（－m）＝P（ξ≥m）＝1－φ（m），∴A正 确；φ（2m）＝P（ξ≤2m），2φ（m）＝2P （ξ≤m），∴φ（2m）≠2φ（m），故B错误；P（｜ξ｜＜m）＝P（－m＜ξ＜m）＝1－2φ（－m）＝1－2[1－φ（m）]＝2φ（m）－1，∴C正确；P（｜ξ｜＞m）＝P（ξ＞m或ξ＜－m）＝1－φ（m）＋φ（－m）＝1－φ（m）＋1－φ（m）＝2－2φ（m），∴D错误.故选A、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 13. 对一个物理量做n次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后 结果.已知最后结果的误差εn～N，为使误差εn在（－0.5，0.5） 的概率不小于0.954 4，至少要测量 次（若X～N（μ，σ2），则P （｜X－μ｜＜2σ）＝0.954 4）. 解析：根据正态曲线的对称性知：要使误差εn在（－0.5，0.5）的概率不 小于0.954 4，则（μ－2σ，μ＋2σ）⊂（－0.5，0.5）且μ＝0，σ＝ ，所以0.5≥2⇒n≥32. 32　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 14. 已知从某批材料中任取一件，取得的这件材料的强度X服从N（200， 182）. （1）计算取得的这件材料的强度不低于182的概率； 解： 由X～N（200，182），知μ＝200，σ＝18， 而182＝200－18＝μ－σ，218＝200＋18＝μ＋σ， ∴P（182≤X≤218）≈0.682 7. 又∵1＝P（X＜182）＋P（182≤X≤218）＋P（X＞218）， 由正态曲线的对称性可知P（X＜182）＝P（X＞218）， ∴P（X＜182）≈×（1－0.682 7）≈0.158 7.∴P（X≥182）＝1－P（X＜ 182）≈1－0.158 7＝0.841 3. 故所求的概率为0.841 3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 （2）如果所用的材料需以95%的概率保证强度不低于164，问这批材料是 否符合这个要求？（精确到0.000 1） 解： 由（1）知164＝μ－2σ，236＝μ＋2σ， ∴P（164≤X≤236）≈0.954 5. 又由正态曲线的对称性可知P（X＜164）＝P（X＞236），且P（X＜164） ＋P（164≤X≤236）＋P（X＞236）＝1， ∴P（X＜164）≈×（1－0.954 5）≈0.022 8， ∴P（X≥164）≈1－P（X＜164）＝0.977 2＞0.95. 故这批材料符合这个要求. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 $