6.1.3 全概率公式(Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（北师大版）

1.3　全概率公式 一、选择题 1.设P(A|B)=P(B|A)=,P()=,P(B|)=,P(|B)=,则P(B)= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A. B. C. D. 2.某人要去某地参加一项活动,他乘坐火车、船、汽车、飞机去的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4,乘坐这些交通工具迟到的概率分别为0.25,0.3,0.1,0,则他迟到的概率为 (　 ) A.0.85 B.0.65 C.0.145 D.0.075 3.[2024·安徽合肥五中期中] 假设有两箱零件,第一箱内装有10件,其中有2件次品;第二箱内装有20件,其中有3件次品.现从两箱中随意挑选一箱,然后从该箱中随机取1件,则取出的零件是次品的概率为 (　 ) A. B. C. D. 4.播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子,1.5%的三等种子,1%的四等种子.用一、二、三、四等种子所结的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5,0.15,0.1,0.05,则从这批种子中任选一颗,所结的穗含50颗以上麦粒的概率为 (　 ) A.0.8 B.0.832 5 C.0.532 5 D.0.482 5 5.[2024·山东东营高二期末] 现有两筐球,甲筐中有除颜色外完全相同的10个白色球、5个红色球,乙筐中有除颜色外完全相同的4个黄色球、6个红色球、5个黑色球.某运动员练习发球时,在甲筐取球的概率为0.6,在乙筐取球的概率为0.4.若该运动员从这两筐球中任取一个球,则取到红色球的概率为 (　 ) A.0.73 B. 0.36 C.0.32 D.0.28 6.一道考题有4个选项,要求学生将其中的一个正确选项选择出来.某考生知道正确选项的概率为,在乱猜时,4个选项有相同的机会被他选择,若他答对了,则他确实知道正确选项的概率是 (　 ) A. B. C. D. 7.(多选题)若0<P(A)<1,0<P(B)<1,则下列式子中成立的是 (　 ) A.P(A|B)= B.P(AB)=P(A)P(B|A) C.P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|) D.P(A|B)= 8.(多选题)在某一季节,疾病A1的发病率为2%,其中40%的病人表现出症状M;疾病A2的发病率为5%,其中18%的病人表现出症状M;疾病A3的发病率为0.5%,其中60%的病人表现出症状M.不发病或其他疾病发病不会出现症状M,则下列结论正确的是 (　 ) A.一个人有症状M的概率为0.02 B.病人有症状M时患疾病A1的概率为0.4 C.病人有症状M时患疾病A2的概率为0.45 D.病人有症状M时患疾病A3的概率为0.25 二、填空题 9.已知P(A)=0.4,P(B)=0.5,P(B|A)=0.8,则P(B|)=　　　　.  10.已知小明每天步行上学的概率为0.6,骑自行车上学的概率为0.4,且步行上学迟到的概率为0.05,骑自行车上学迟到的概率为0.02.若小明今天上学迟到了,则他今天骑自行车上学的概率为　　　　.  11.设某工厂有两个车间生产同种型号的家用电器,第1车间的次品率为0.15,第2车间的次品率为0.12,两个车间的成品都混合堆放在一个仓库中,且第1,2车间生产的成品数量之比为2∶3.今有一位客户从成品仓库中随机提出一台产品,则该产品是合格品的概率为　　　　.  12.[2024·福建南安蓝园高级中学高二期末] 已知甲、乙两地盛产核桃,甲地种植的核桃空壳率为2%(空壳率指坚果、谷物等的结实性指标,因花未受精,壳中完全无内容,称为空壳),乙地种植的核桃空壳率为4%,将两地种植出来的核桃混放在一起,若甲地和乙地核桃数分别占总数的40%,60%,从中任取一个核桃,则该核桃是空壳的概率是　　　　.  三、解答题 13.在数字通信中,信号是由数字0和1组成的序列,由于随机因素的干扰,发送的信号0或者1有可能被错误地接收为1或者0.已知发送信号0时,接收为0和1的概率分别为0.9和0.1;发送信号1时,接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送的信号为0和1是等可能的,分别求接收到的信号为0和1的概率. 14.某人从家去公司有甲、乙、丙三条路线,此人选择这三条路线去公司的概率分别为0.2,0.3,0.5,已知此人沿甲、乙、丙三条路线去公司时,途中遇到堵车的概率分别为0.5,0.5,0.4. (1)求此人去公司途中遇到堵车的概率; (2)已知此人某天去公司途中遇到了堵车,求此人是沿甲路线去公司的概率. 15.某校中学生篮球队集训前共有6个篮球,其中3个是新球(即没有用过的球),3个是旧球(即至少用过一次的球).每次训练都从中任意取出2个球,用完后放回,则第二次训练时恰好取到1个新球的概率为　　　　.  16.为了考查学生对高中数学知识的掌握程度,准备了甲、乙两个不透明纸箱,甲箱中有2道概念叙述题,2道计算题;乙箱中有2道概念叙述题,3道计算题(所有题目均不相同).现有A,B两个同学来抽题回答,每个同学在甲或乙两个纸箱中逐个随机抽取2道题作答(不在题目上作答).每个同学先抽取1道题作答,答完题目后不放回,再抽取1道题作答.2道题作答结束后,再将这2道题放回原纸箱. (1)若A同学从甲箱中抽取2道题,求第二道题抽到的是概念叙述题的概率. (2)如果A同学从甲箱中抽取2道题,作答结束后,误把题目放到了乙箱中,B同学接着抽取题目作答,若他从乙箱中抽取2道题,求第一道题抽到的是概念叙述题的概率. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3　全概率公式 1.C　[解析] P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=×+×=.故选C. 2.C　[解析] 设事件A1表示“他乘火车去”,事件A2表示“他乘船去”,事件A3表示“他乘汽车去”,事件A4表示“他乘飞机去”,事件B表示“他迟到”.则Ω=A1∪A2∪A3∪A4,且A1,A2,A3,A4两两互斥,由全概率公式得P(B)=P(Ai)·P(B|Ai)=0.3×0.25+0.2×0.3+0.1×0.1+0.4×0=0.145. 3.C　[解析] 设事件Ai表示“从第i箱中取1件”(i=1,2),事件B表示“取出的零件是次品”,则P(B)=P(A1B)+P(A2B)=P(A1)·P(B|A1)+P(A2)·P(B|A2)=×+×=,即取出的零件是次品的概率为.故选C. 4.D　[解析] 用事件A1,A2,A3,A4分别表示“从这批种子中任选一颗是一等种子”“从这批种子中任选一颗是二等种子”“从这批种子中任选一颗是三等种子”“从这批种子中任选一颗是四等种子”,则A1,A2,A3,A4构成样本空间的一个划分,用事件B表示“从这批种子中任选一颗,所结的穗含50颗以上麦粒”,则P(B)=P(Ai)P(B|Ai)=95.5%×0.5+2%×0.15+1.5%×0.1+1%×0.05=0.482 5.故选D. 5.B　[解析] 设事件A表示“运动员取到红色球”,事件B表示“运动员从甲筐中取球”, 事件C表示“运动员从乙筐中取球”,由题意可得P(A|B)==,P(B)=0.6,P(A|C)==,P(C)=0.4,由全概率公式可得P(A)=P(A|B)P(B)+P(A|C)P(C)=×0.6+×0.4=0.36.故选B. 6.B　[解析] 设事件A表示“该考生答对”,事件B表示“该考生知道正确选项”,由全概率公式得P(A)=P(B)P(A|B)+P()P(A|)=×1+×=.由贝叶斯公式得P(B|A)===.故选B. 7.BCD　[解析] 由条件概率的计算公式知A错误;由乘法公式知B正确;由全概率公式知C正确;因为P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|),所以P(A|B)==,故D正确.故选BCD. 8.ABC　[解析] 记事件Di表示“疾病Ai发病”,i=1,2,3,事件D4表示“不发病或其他疾病发病”,事件S表示“一个人出现症状M”,则P(D1)=0.02,P(D2)=0.05,P(D3)=0.005,P(D4)=1-(0.02+0.05+0.005)=0.925,P(S|D1)=0.4,P(S|D2)=0.18,P(S|D3)=0.6,P(S|D4)=0.由全概率公式得P(S)=P(Di)P(S|Di)=0.02×0.4+0.05×0.18+0.005×0.6+0.925×0=0.02.由贝叶斯公式得P(D1|S)===0.4,P(D2|S)===0.45,P(D3|S)===0.15.故选ABC. 9.0.3　[解析] 因为P(A)=0.4,所以P()=1-P(A)=0.6,由全概率公式得P(B)=P(A)·P(B|A)+P()·P(B|),所以0.5=0.4×0.8+0.6·P(B|),解得P(B|)=0.3. 10.　[解析] 用A表示“小明步行上学”,B表示“小明骑自行车上学”,C表示“小明上学迟到”.由已知得P(A)=0.6,P(B)=0.4,P(C|A)=0.05,P(C|B)=0.02.根据全概率公式可知P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)=0.6×0.05+0.4×0.02=0.038,则P(B|C)====,即所求概率为. 11.0.868　[解析] 设事件B表示“从成品仓库中随机提出一台产品是合格品”,事件Ai表示“提出的一台是第i车间生产的产品”,i=1,2,则B=A1B∪A2B.因为第1,2车间生产的成品数量之比为2∶3,所以P(A1)=0.4,P(A2)=0.6.因为第1车间的次品率为0.15,第2车间的次品率为0.12,所以P(B|A1)=1-0.15=0.85,P(B|A2)=1-0.12=0.88,所以P(B)=P(A1)·P(B|A1)+P(A2)·P(B|A2)=0.4×0.85+0.6×0.88=0.868. 12.3.2%　[解析] 设“所取核桃产地为甲地”为事件A1,“所取核桃产地为乙地”为事件A2,“所取核桃为空壳”为事件B,则P(A1)=40%,P(A2)=60%,P(B|A1)=2%,P(B|A2)=4%,所以P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=40%×2%+60%×4%=3.2%,所以该核桃是空壳的概率是3.2%. 13.解:设事件A表示“发送的信号为0”,事件B表示“接收到的信号为0”,事件C表示“接收到的信号为1”,则事件表示“发送的信号为1”.由题意得P(A)=P()=0.5,P(B|A)=0.9,P(B|)=0.05,所以P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=0.5×0.9+0.5×0.05=0.475,则P(C)=1-P(B)=1-0.475=0.525,即接收到的信号为0的概率为0.475,接收到的信号为1的概率为0.525. 14.解:(1)记事件A表示“此人沿甲路线去公司”,事件B表示“此人沿乙路线去公司”,事件C表示“此人沿丙路线去公司”,事件M表示“此人去公司途中遇到堵车”,则P(A)=0.2,P(B)=0.3,P(C)=0.5,P(M|A)=0.5,P(M|B)=0.5,P(M|C)=0.4,则由全概率公式得P(M)= P(A)P(M|A)+P(B)P(M|B)+P(C)P(M|C)=0.2×0.5+0.3×0.5+0.5×0.4=0.45,即此人去公司途中遇到堵车的概率为0.45. (2)此人是沿甲路线去公司的概率为P(A|M)====. 15.　[解析] 用事件Ai表示“第一次训练时取到i个新球”(i∈{0,1,2}),B表示“第二次训练时恰好取到1个新球”,则P(A0)==,P(A1)==,P(A2)==,P(B|A0)==,P(B|A1)==,P(B|A2)==,因此P(B)=P(A0)P(B|A0)+P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=×+×+×=,所以第二次训练时恰好取到1个新球的概率为. 16.解:(1)设Ai表示“第i次从甲箱中抽到概念叙述题”, i=1,2,则P(A1)=,P(A2|A1)=,P(A2|)=,所以第二道题抽到的是概念叙述题的概率为P(A2)=P(A1)×P(A2|A1)+P()×P(A2|)=×+×=. (2)设事件B1表示“A同学从甲箱中取出的2道题都是概念叙述题”,事件B2表示“A同学从甲箱中取出的2道题都是计算题”,事件B3表示“A同学从甲箱中取出1道概念叙述题和1道计算题”,事件C表示“B同学从乙箱中抽取2道题,且第一道题抽到的是概念叙述题”, 则P(B1)==,P(B2)==,P(B3)==,P(C|B1)==,P(C|B2)==,P(C|B3)==,所以所求概率为P(C)=P(B1)×P(C|B1)+P(B2)×P(C|B2)+P(B3)×P(C|B3)=×+×+×=. 学科网（北京）股份有限公司 $