6.1.2 乘法公式与事件的独立性(Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（北师大版）

1.2　乘法公式与事件的独立性 一、选择题 1.已知P(B|A)=,P(A)=,则P(AB)等于 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A. B. C. D. 2.下列事件中,A,B是相互独立事件的是 (　 ) A.一枚硬币抛两次,A表示“第一次出现正面”,B表示“第二次出现反面” B.不透明的袋中装有除颜色外完全相同的2个白球、2个黑球,不放回地摸2个球,A表示“第一次摸到白球”,B表示“第二次摸到白球” C.掷一枚质地均匀的骰子一次,A表示“出现的点数为奇数”,B表示“出现的点数为偶数” D.A表示“人能活到70岁”,B表示“人能活到100岁” 3.[2024·山东东营高二期末] 第一个袋中有除颜色外完全相同的黑球、白球各2个,第二个袋中有除颜色外完全相同的黑球、白球各3个.先从第一个袋中任取一个球放入第二个袋中,再从第二个袋中任取一个球,则第一、二次均取到白球的概率为 (　 ) A. B. C. D. 4.设P(A)=0.7,P(B)=0.5,P(B|)=0.4,则P(AB)= (　 ) A.0.12 B.0.38 C.0.22 D.0.28 5.甲、乙两位同学进行罚球比赛,罚中得1分,罚不中不得分.已知甲、乙两位同学罚球的命中率分别为70%和60%,且两人的罚球结果相互独立.现甲、乙两位同学各罚球一次,则两人得分相同的概率为 (　 ) A.0.12 B.0.42 C.0.46 D.0.54 6.“石头、剪刀、布”是一种流传多年的猜拳游戏,其游戏规则是:石头胜剪刀、剪刀胜布、布胜石头,若所出的拳相同,则为和局.小明和小华两位同学进行两局该游戏比赛,每局比赛结果相互独立,则小华获胜的局数大于小明获胜局数的概率是 (　 ) A. B. C. D. 7.(多选题)设P(A|B)=P(B|A)=,P(A)=,则 (　 ) A.P(AB)= B.P(AB)= C.P(B)= D.P(B)= 8.(多选题)有5个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,从中有放回地随机取两次,每次取1个球.用事件甲表示“第一次取出的球的数字是1”,事件乙表示“第二次取出的球的数字是2”,事件丙表示“两次取出的球的数字之和是6”,事件丁表示“两次取出的球的数字之和是7”,则下列说法正确的是 (　 ) A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立 C.乙与丙相互独立 D.乙与丁相互独立 二、填空题 9.甲、乙两个人在一座9层大楼的底层进入电梯,假设每个人在第二层至最高层中的每一层离开电梯都是等可能的,且两个人离开电梯相互独立,则两个人在不同层离开电梯的概率是　　　　.  10.若事件A,B满足P(A)=,P(B)=,P(AB)=,则P(B)-P(A)=　　　　.  11.甲、乙两名学生通过某次听力测试的概率分别为和,且是否通过听力测试相互独立,两人同时参加测试,则两人中有且只有一人能通过测试的概率是　　　　.  12.某团队派遣甲、乙、丙、丁4个人分别完成一项任务,已知甲完成任务的概率为,乙完成任务的概率为,丙、丁完成任务的概率均为,若4个人完成任务与否相互独立,则至少有2人完成任务的概率为　　　　.  三、解答题 13.已知P(B|A)=P(B),且P(A)=0.6,P(B)=0.3,求P(AB). 14.已知3张奖券中只有1张有奖,甲、乙、丙3名同学依次无放回地各抽一张,则他们中奖的概率与抽奖的次序有关吗? 15.同学甲参加某科普知识竞赛,需回答三个问题,竞赛规则规定:答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分,答错或不答均得0分.假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.6,0.5,且各题答对与否相互没有影响,则同学甲得分不低于300分的概率是　　　　.  16.若某人报名参加了驾驶证考试,要顺利地拿到驾驶证,需要通过四个科目的考试,其中科目二为场地考试.在每一次报名中,每个学员有5次参加科目二考试的机会(这5次考试机会中任何一次通过考试,就算顺利通过,即进入下一科目考试,若5次考试都没有通过,则需要重新报名),其中前2次参加科目二考试免费,若前2次考试都没有通过,则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费.某驾校通过几年的资料统计,得到如下结论:男性学员参加科目二考试,每次通过的概率均为,女性学员参加科目二考试,每次通过的概率均为.现有一对夫妻同时报名参加驾驶证考试,且考试通过与否互不影响,在本次报名中,若这对夫妻参加科目二考试的原则为:通过科目二考试或者用完所有机会为止. (1)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率; (2)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元的概率. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2　乘法公式与事件的独立性 1.C　[解析] 由题意知P(AB)=P(B|A)P(A)=×=.故选C. 2.A　[解析] 对于A,一枚硬币抛两次,A表示“第一次出现正面”,B表示“第二次出现反面”,事件A发生与否不影响事件B,∴A,B是相互独立事件,故A满足题意;对于B,不透明的袋中装有除颜色外完全相同的2个白球、2个黑球,不放回地摸2个球,A表示“第一次摸到白球”,B表示“第二次摸到白球”,事件A发生与否影响事件B,∴A,B不是相互独立事件,故B不满足题意;对于C,掷一枚质地均匀的骰子,A表示“出现的点数为奇数”,B表示“出现的点数为偶数”,P(A)=P(B)=,P(AB)=0,∴A,B不是相互独立事件,故C不满足题意;对于D,A表示“人能活到70岁”,B表示“人能活到100岁”,事件A发生与否影响事件B,∴A,B不是相互独立事件,故D不满足题意.故选A. 3.B　[解析] 记Ai表示“第i次取得白球”,i=1,2,则P(A1)=,P(A2|A1)=,由乘法公式得P(A1A2)=P(A2|A1)P(A1)=×=.故选B. 4.B　[解析] ∵P(A)=0.7,∴P()=0.3,∴P(B)=P(B|)·P()=0.4×0.3=0.12,则P(|B)===0.24,∴P(A|B)=1-0.24=0.76,∴P(AB)=P(A|B)·P(B)=0.76×0.5=0.38,故选B. 5.D　[解析] 两人得分相同的情况有两种,两人得分均为0分和两人得分均为1分.由题意知,两人得分均为0分的概率P1=0.3×0.4=0.12,两人得分均为1分的概率P2=0.7×0.6=0.42,所以甲、乙两位同学各罚球一次,两人得分相同的概率P=0.42+0.12=0.54.故选D. 6.D　[解析] 根据题意可得每局比赛中小华胜小明、小华与小明和局和小华输给小明的概率都为.小华获胜局数大于小明获胜局数有两种情况:(1)两局比赛小华连胜,概率为=;(2)两局比赛中小华一局胜另一局和局,概率为××=.所以小华获胜的局数大于小明获胜局数的概率是+=.故选D. 7.AC　[解析] P(AB)=P(A)P(B|A)=×=,由P(A|B)=,得P(B)==.故选AC. 8.AC　[解析] 设事件甲、乙、丙、丁发生的概率分别为P(A),P(B),P(C),P(D),则由题意知P(A)=P(B)=,P(C)==,P(D)==.对于A,因为P(AC)===P(A)·P(C),所以甲与丙相互独立,因此本选项正确;对于B,因为P(AD)=0≠P(A)·P(D),所以甲与丁不相互独立,因此本选项不正确;对于C,因为P(BC)===P(B)·P(C),所以乙与丙相互独立,因此本选项正确;对于D,因为P(BD)==≠P(B)·P(D),所以乙与丁不相互独立,因此本选项不正确.故选AC. 9.　[解析] 由题意知,两个人在同一层离开电梯的概率P=××8=,故两个人在不同层离开电梯的概率为1-P=. 10.　[解析] 因为事件A,B满足P(A)=,P(B)=,P(AB)=,所以P(AB)=P(A)P(B),所以事件A,B相互独立,所以P(B)-P(A)=P()P(B)-P(A)P()=×-×=. 11.　[解析] 记事件A表示“甲通过听力测试”,事件B表示“乙通过听力测试”,则P(A)=,P(B)=,“两人中有且仅有一人通过”为事件B+A,显然B与A互斥,则P(B+A)=P(B)+P(A)=P()·P(B)+P(A)·P()=×+×=. 12.　[解析] 由题意知,4个人都没有完成任务的概率为×××=,4个人中有3人没有完成任务的概率为×××+×××+××××=.故至少有2人完成任务的概率为1--=. 13.解:∵P(B|A)=P(B),∴A,B相互独立,∵P(A)=0.6,P(B)=0.3,∴P(AB)=P(A)P(B)=0.6×0.3=0.18. 14.解:用事件A,B,C分别表示“甲中奖”“乙中奖”“丙中奖”,则B=B,C= .由题意知,P(A)=,P(B)=P(B)=P()P(B|)=×=,P(C)=P( )=P()P(|)=×=.因为P(A)=P(B)=P(C),所以中奖的概率与抽奖的次序无关. 15.0.46　[解析] 设“同学甲答对第i个问题”为事件Ai(i=1,2,3),则P(A1)=0.8,P(A2)=0.6,P(A3)=0.5,且A1,A2,A3相互独立.同学甲得分不低于300分对应事件A1A2A3∪A1A3∪A2A3,故所求概率P=P(A1A2A3∪A1A3∪A2A3)=P(A1A2A3)+P(A1A3)+P(A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)+P(A1)P()P(A3)+P()P(A2)P(A3)=0.8×0.6×0.5+0.8×0.4×0.5+0.2×0.6×0.5=0.46. 16.解:设“丈夫在科目二考试中第i次通过”为事件Ai(i=1,2,3,4,5),“妻子在科目二考试中第j次通过”为事件Bj(j=1,2,3,4,5),则P(Ai)=,P(Bj)=. (1)设事件A为“丈夫参加科目二考试不需要交补考费”,事件B为“妻子参加科目二考试不需要交补考费”,事件C为“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费”,则P(A)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=P(A1)+P()P(A2)=+×=,P(B)=P(B1+B2)=P(B1)+P(B2)=P(B1)+P()P(B2)=+×=,所以P(C)=P(AB)=P(A)P(B)=×=.因此这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率为. (2)设事件D为“丈夫参加科目二考试需交补考费200元”,事件E为“妻子参加科目二考试需交补考费200元”,事件F为“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元”, 则P(D)=P(A3)=P()P()P(A3)=××=,P(E)=P(B3)=P()P()P(B3)=××=,又由(1)知P(A)=,P(B)=,所以P(F)=P(AE+DB)=P(A)P(E)+P(D)P(B)=×+×=.因此这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元的概率是. 学科网（北京）股份有限公司 $