6.1.2 乘法公式与事件的独立性(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版）

本讲义聚焦乘法公式与事件的独立性核心知识点，先阐述乘法公式（P(AB)=P(A)P(B|A)等），再引出相互独立事件定义及公式（P(AB)=P(A)P(B)），通过“想一想”和判断正误构建从一般到特殊的学习支架。 以“臭皮匠挑战诸葛亮”情境引入，结合摸球、比赛等案例，培养数学抽象与数学运算素养。题型分层设计，课中助教师教学，课后“通性通法”与练习帮助学生查漏补缺，提升解决实际问题能力。

1.2　乘法公式与事件的独立性 课标 要求 1.结合有限样本空间，了解两个随机事件相互独立的含义（数学抽象）. 2.结合古典概型，利用独立性计算积事件的概率（数学运算）. 　　俗话说：三个臭皮匠顶个诸葛亮，在某次智者挑战大赛中，由甲、乙、丙三人组成“臭皮匠”团队，挑战“诸葛亮”.其中甲、乙、丙能答对某题目的概率分别为50%，40%，30%，而“诸葛亮”能答对该题目的概率是80%.比赛规则：各个选手独立答题，不得商量，团队中只要1人答出该题即为挑战成功. 【问题】　该挑战能否成功？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　乘法公式与事件的独立性 1.乘法公式 设A，B是两个事件，则有P（AB）＝P（A）P（B｜A）（其中P（A）＞0），　① P（AB）＝P（B）P（A｜B）（其中P（B）＞0），　② 称公式①②为乘法公式. 2.相互独立事件 （1）定义：如果事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件就叫作相互独立事件； （2）计算公式：事件A与事件B相互独立⇔P（AB）＝　P（A）P（B）　；当P（A）＞0时，P（B｜A）＝　P（B）　，当P（B）＞0时，P（A｜B）＝　P（A）　. 【想一想】 1.若事件A与B相互独立，那么A与，与B，与相互独立吗？ 提示：相互独立. 2.乘法公式可以推广吗？ 提示：可以.（1）推广到3个事件：若P（A1A2）＞0，则P（A1A2A3）＝P（A1）·P（A2｜A1）P（A3｜A1A2）. （2）推广到n个事件：若Ai（i＝1，2，…，n）为随机事件，且P（A1A2…An－1）＞0，则P（A1A2…An）＝P（A1）P（A2｜A1）P（A3｜A1A2）·…·P（An｜A1A2…An－1）. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）不可能事件与任何一个事件相互独立.（　√　） （2）必然事件与任何一个事件相互独立.（　√　） （3）若两个事件互斥，则这两个事件相互独立.（　×　） 2.某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好去试拨，他第一次失败、第二次成功的概率是（　　） A.　 　　B. C.　　 　D. 解析：A　记事件A为第一次失败，事件B为第二次成功，则P（A）＝，P（B｜A）＝，所以P（AB）＝P（A）P（B｜A）＝×＝.故选A. 3.甲、乙两人参加“社会主义核心价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为和，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为（　　） A. B. C. D. 解析：D　根据题意，恰有一人获得一等奖即甲获得乙没有获得或甲没有获得乙获得，则所求概率是×＋×＝，故选D. 4.甲、乙两水文站同时作水文预报，如果甲站、乙站各自预报的准确率为0.8和0.7.那么，在一次预报中，甲、乙两站预报都准确的概率为　0.56　. 解析：由题意知，两水文站水文预报相互独立，故在一次预报中甲、乙两站预报都准确的概率为0.8×0.7＝0.56. 题型一　乘法公式的应用 已知口袋中有3个黑球和7个白球，这10个球除颜色外完全相同，先后三次从中不放回地各摸出一球. （1）求前两次摸到的均为黑球的概率； （2）求第一次摸到白球的条件下，第二次摸到黑球的概率； （3）求第二次才摸到黑球的概率； （4）求第三次才摸到黑球的概率. 解：设事件Ai表示第i次摸到的是黑球（i＝1，2，3），则事件A1A2表示前两次摸到的均为黑球. （1）由题意知P（A1）＝，P（A2｜A1）＝. 于是，根据乘法公式，有P（A1A2）＝P（A1）P（A2｜A1）＝×＝. 所以前两次摸到的均为黑球的概率为. （2）第一次摸到白球的条件下，第二次摸到黑球的概率为P（A2｜）＝＝. （3）第二次才摸到黑球的概率 P（A2）＝P（）P（A2｜）＝×＝. （4）设事件A表示第三次才摸到黑球，则A＝A3. 由题意知P（）＝，P（｜）＝， P（A3｜）＝. 于是，根据乘法公式，有P（A3）＝P（）·P（｜）P（A3｜）＝××＝. 所以第三次才摸到黑球的概率为. 通性通法 乘法公式的作用 　　乘法公式P（AB）＝P（B｜A）P（A）的作用就是方便我们在不好直接求得P（AB）的情况下，先迂回地求出方便计算的P（B｜A）和P（A），再求得P（AB）.概率的乘法公式P（AB）＝P（A）P（B｜A）反映了知二求一的方程思想. 对某批手机玻璃屏成品作抗摔试验时，发现手机屏第一次落地时打破的概率是；若第一次落地未打破，则第二次落地打破的概率是；若前两次未打破，则第三次落地打破的概率是.试求手机屏落地三次未打破的概率. 解：设手机屏第i（i＝1，2，3）次落地时打破的概率为P（Ai），则手机屏落地三次未打破的概率为P（）＝P（）P（｜）P（｜）＝×（1－）×（1－）＝. 题型二　相互独立事件的判断 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（　　） A.甲与丙相互独立　　　B.甲与丁相互独立 C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立 解析：B　事件甲发生的概率P（甲）＝，事件乙发生的概率P（乙）＝，事件丙发生的概率P（丙）＝＝，事件丁发生的概率P（丁）＝＝.事件甲与事件丙同时发生的概率P（甲丙）＝0，事件甲和丁同时发生的概率P（甲丁）＝，事件乙和丙同时发生的概率P（乙丙）＝，事件丙和丁同时发生概率P（丙丁）＝0.则P（丙｜甲）＝＝0≠P（丙），甲与丙不相互独立；P（丁｜甲）＝＝＝P（丁），甲与丁相互独立；P（丙｜乙）＝＝≠P（丙），乙与丙不相互独立；P（丙｜丁）＝＝0≠P（丙），丙与丁不相互独立. 通性通法 相互独立事件判断的两种方法 （1）若P（AB）＝P（A）P（B），则A，B相互独立； （2）若P（A）＞0，且P（B｜A）＝P（B），则A，B相互独立；若P（B）＞0，且P（A｜B）＝P（A），则A，B相互独立. 〔一题多解〕盒子中有10张奖券，其中3张有奖，甲、乙先后从中不放回地各抽取1张，记“甲中奖”为事件A，“乙中奖”为事件B. （1）求P（A），P（B），P（AB），P（A｜B）； （2）事件A与B是否相互独立，说明理由. 解：（1）P（A）＝＝，P（B）＝＋＝，P（AB）＝＝， P（A｜B）＝＝×＝. （2）法一　∵P（A｜B）＝≠P（A），∴事件A与B不相互独立. 法二　∵P（AB）＝≠P（A）P（B），∴事件A与B不相互独立. 题型三　相互独立事件概率的计算 甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下： 累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束. 经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为. （1）求甲连胜四场的概率； （2）求需要进行第五场比赛的概率； （3）求丙最终获胜的概率. 解：（1）甲连胜四场的概率为. （2）根据赛制，至少需要进行四场比赛， 至多需要进行五场比赛. 比赛四场结束，共有三种情况： 甲连胜四场的概率为；乙连胜四场的概率为； 丙上场后连胜三场的概率为. 所以需要进行第五场比赛的概率为 1－－－＝. （3）丙最终获胜，有两种情况： 比赛四场结束且丙最终获胜的概率为； 比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为，，. 因此丙最终获胜的概率为＋＋＋＝. 通性通法 1.求相互独立事件同时发生的概率的步骤 （1）首先确定各事件之间是相互独立的； （2）确定这些事件可以同时发生； （3）求出每个事件的概率，再求积. 2.使用相互独立事件的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们可同时发生. 投壶是从春秋延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏.晋代在广泛开展投壶活动中，对投壶的壶也有所改进，即在壶口两旁增添两耳，因此在投壶的花式上就多了许多名目，如“贯耳（投入壶耳）”.每一局投壶，每一位参赛者各有四支箭，投入壶口一次得1分，投入壶耳一次得2分.现有甲、乙两人进行投壶比赛（两人投中壶口、壶耳是相互独立的），甲四支箭已投完，共得3分，乙投完2支箭，目前只得1分，乙投中壶口的概率为，投中壶耳的概率为.四支箭投完，以得分多者赢.则乙赢得这局比赛的概率为　　. 解析：由题意，若乙要赢得这局比赛，按照乙第三支箭的情况可分为两类：①第三支箭投中壶口，第四支箭必须投入壶耳，其概率为P1＝×＝；②第三支箭投入壶耳，第四支箭投入壶口、壶耳均可，其概率为P2＝×（＋）＝，所以乙赢得这局比赛的概率为P＝P1＋P2＝＋＝. 题型四　相互独立事件概率的实际应用 三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为，，，将它们中的某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，如图所示，求电路不发生故障的概率. 解：记“三个元件T1，T2，T3正常工作”分别为事件A1，A2，A3，则P（A1）＝，P（A2）＝，P（A3）＝. 电路不发生故障的事件为（A2∪A3）A1， 则电路不发生故障的概率为 P＝P[（A2∪A3）A1]＝P（A2∪A3）·P（A1） ＝[1－P（）·P（）]·P（A1） ＝×＝. 通性通法 求较复杂事件的概率的方法 （1）列出题中涉及的各事件，并用适当的符号表示； （2）厘清事件之间的关系（两事件是互斥还是对立，或者是相互独立），列出关系式； （3）根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算； （4）当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率. 甲和乙两位同学准备在体育课上进行一场乒乓球比赛，假设甲对乙每局获胜的概率都为，比赛采取三局两胜制（当一方获得两局胜利时，该方获胜，比赛结束），则甲获胜的概率为　　. 解析：甲获胜的情况分三类：①甲直接获得前两局胜利，不进行第三局，此时甲获胜的概率为×＝；②甲输第一局，赢后两局，此时甲获胜的概率为（1－）××＝；③甲赢第一局和第三局，输第二局，此时甲获胜的概率为×（1－）×＝.故甲获胜的概率为＋＋＝. 1.坛子中放有3个白球，2个黑球，从中进行不放回地取球2次，每次取一球，用A1表示第一次取得白球，A2表示第二次取得白球，则A1和A2是（　　） A.互斥事件 B.相互独立事件 C.对立事件 D.不相互独立事件 解析：D　∵P（A1）＝，若A1发生了，P（A2）＝＝；若A1不发生，P（A2）＝，即A1发生的结果对A2发生的结果有影响，∴A1与A2不是相互独立事件. 2.气象资料表明，某地区每年七月份刮台风的概率为，在刮台风的条件下，下大雨的概率为，则该地区七月份既刮台风又下大雨的概率为（　　） A.　　　B. C.　　　D. 解析：B　设“该地区七月份刮台风”为事件A，“该地区七月份下大雨”为事件B，则“该地区七月份既刮台风又下大雨”为事件AB.由题得P（A）＝，P（B｜A）＝，由乘法公式得P（AB）＝P（B｜A）P（A）＝×＝.故选B. 3.甲、乙两班各有36名同学，甲班有9名三好学生，乙班有6名三好学生，两班各派1名同学参加演讲活动，派出的恰好都是三好学生的概率是（　　） A. B. C. D. 解析：C　两班各自派出代表是相互独立事件，设事件A，B分别为甲班、乙班派出的是三好学生，则事件AB为两班派出的都是三好学生，则P（AB）＝P（A）P（B）＝×＝. 4.已知P（B｜A）＝，P（AB）＝，则P（A）＝　　. 解析：由乘法公式P（AB）＝P（A）·P（B｜A）， ∴P（A）＝＝＝. 5.甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8，0.6，0.5，则3人都达标的概率是　0.24　，三人中至少有一人达标的概率是　0.96　. 解析：由题意可知三人都达标的概率为P＝0.8×0.6×0.5＝0.24；三人中至少有一人达标的概率为P'＝1－（1－0.8）×（1－0.6）×（1－0.5）＝0.96. 1.已知P（B｜A）＝，P（A）＝，则P（AB）＝（　　） A.　　 　B. C.　 　　D. 解析：C　由乘法公式得P（AB）＝P（A）·P（B｜A）＝×＝. 2.甲、乙、丙三人独立解决同一道数学题，如果三人分别完成的概率依次是p1，p2，p3，那么至少有一人解决这道题的概率是（　　） A.p1＋p2＋p3 B.1－（1－p1）（1－p2）（1－p3） C.1－p1p2p3 D.p1p2p3 解析：B　至少有一人解决这道题的对立事件是“没有人解决这道题”，也即“三人均没有解出此题”，此概率为（1－p1）（1－p2）·（1－p3），∴至少有一人解决这道题的概率是1－（1－p1）（1－p2）（1－p3）. 3.某食物的致敏率为2%，在对该食物过敏的条件下，嘴周产生皮疹的概率为99%，则某人食用该食物过敏且嘴周产生皮疹的概率为（　　） A.1.98%　 B.0.98% C.97.02%　 D.99% 解析：A　设事件A表示“食用该食物过敏”，事件B表示“嘴周产生皮疹”，则P（A）＝2%，P（B｜A）＝99%.所以某人食用该食物过敏且嘴周产生皮疹的概率为P（AB）＝P（A）P（B｜A）＝2%×99%＝1.98%. 4.甲、乙、丙、丁4个人进行网球比赛，首先甲、乙一组，丙、丁一组进行比赛，两组的胜者进入决赛，决赛的胜者为冠军、败者为亚军.4个人相互比赛的胜率如表所示.那么甲得冠军且丙得亚军的概率是（　　） 甲 乙 丙 丁 甲获胜概率 — 0.3 0.3 0.8 乙获胜概率 0.7 — 0.6 0.4 丙获胜概率 0.7 0.4 — 0.5 丁获胜概率 0.2 0.6 0.5 — A.0.15 B.0.105 C.0.045 D.0.21 解析：C　甲、乙比赛甲获胜的概率是0.3，丙、丁比赛丙获胜的概率是0.5，甲、丙比赛甲获胜的概率是0.3，根据独立事件同时发生的概率等于概率之积，所以甲得冠军且丙得亚军的概率为0.3×0.5×0.3＝0.045. 5.〔多选〕下列各对事件中，M，N是相互独立事件的有（　　） A.掷1枚质地均匀的骰子一次，事件M＝“出现的点数为奇数”，事件N＝“出现的点数为偶数” B.袋中有5个红球，5个黄球，除颜色外完全相同，依次不放回地摸两次，事件M＝“第1次摸到红球”，事件N＝“第2次摸到红球” C.分别抛掷2枚相同的硬币，事件M＝“第1枚为正面”，事件N＝“两枚结果相同” D.一枚硬币掷两次，事件M＝“第一次为正面”，事件N＝“第二次为反面” 解析：CD　在A中，M，N是互斥事件，不相互独立；在B中，M，N不是相互独立事件；在C中，P（M）＝，P（N）＝，P（MN）＝，P（MN）＝P（M）P（N），因此M，N是相互独立事件；在D中，第一次为正面对第二次的结果不影响，因此M，N是相互独立事件.故选C、D. 6.〔多选〕假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如下： 品牌 甲 乙 其他 市场占有率 50% 30% 20% 优质率 80% 90% 70% 在该市场中任意买一部手机，用A1，A2，A3分别表示买到的智能手机的品牌为甲、乙、其他，B表示买到的手机是优质品，则（　　） A.P（A1）＝0.5 B.P（B｜A2）＝0.9 C.P（BA1）＝0.8 D.P（BA3）＝0.7 解析：AB　依题意可得P（A1）＝0.5，P（B｜A1）＝0.8，P（B｜A2）＝0.9，P（B｜A3）＝0.7，P（A3）＝0.2，则P（BA1）＝P（B｜A1）P（A1）＝0.8×0.5＝0.4，P（BA3）＝P（B｜A3）P（A3）＝0.7×0.2＝0.14.故选A、B. 7.已知生产某零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为0.01和p，每道工序是否产生废品相互独立，若经过两道工序得到的零件不是废品的概率是0.960 3，则p＝　0.03　. 解析：由题意，得（1－0.01）（1－p）＝0.960 3，解得p＝0.03. 8.〔一题多解〕甲、乙两人独立地破译一份密码，若甲能破译的概率是，乙能破译的概率是，则甲、乙两人中至少有一人能破译这份密码的概率是　　. 解析：法一　记“甲破译密码”为事件A，“乙破译密码”为事件B，“甲、乙两人中至少有一人破译这份密码”为事件M，则M＝A∪B∪AB，其中事件A，B相互独立，事件A，B，AB两两互斥，故P（M）＝P（A∪B∪AB）＝P（A）P（）＋P（）P（B）＋P（A）P（B）＝×（1－）＋（1－）×＋×＝. 法二　“甲、乙两人中至少有一人破译这份密码”的对立事件为“两人都未破译密码”，故所求概率p＝1－（1－）×（1－）＝. 9.在一次三人象棋对抗赛中，甲胜乙的概率为0.4，乙胜丙的概率为0.5，丙胜甲的概率为0.6，比赛顺序如下：第一局，甲对乙；第二局，第一局胜者对丙；第三局，第二局胜者对第一局败者；第四局，第三局胜者对第二局败者，则乙连胜四局的概率为　0.09　. 解析：乙连胜四局，即乙先胜甲，然后胜丙，接着再胜甲，最后再胜丙，∴概率p＝（1－0.4）×0.5×（1－0.4）×0.5＝0.09. 10.某工厂师徒二人各加工相同型号的零件2个，是否加工出精品均互不影响.已知师傅加工1个零件是精品的概率为，师徒二人各加工2个零件都是精品的概率为.求徒弟加工2个零件都是精品的概率. 解：设徒弟加工1个零件是精品的概率为p，则×p2＝，得p2＝，所以徒弟加工2个零件都是精品的概率是. 11.已知0＜P（B）＜1，且P（A｜B）＝P（A）.若P（）＝0.6，P（B｜）＝0.3，则P（AB）＝（　　） A.0.18 B.0.12 C.0.28 D.0.42 解析：B　因为0＜P（B）＜1，P（A｜B）＝P（A），所以A，B相互独立，所以B，也相互独立.因为P（）＝0.6，所以P（A）＝1－P（）＝1－0.6＝0.4，因为P（B｜）＝0.3，所以P（B）＝0.3，所以P（AB）＝P（A）P（B）＝0.4×0.3＝0.12. 12.〔多选〕甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，若甲中靶的概率为 0.8，乙中靶的概率为 0.9，且两个人射击的结果互不影响，则下列结论正确的是（　　） A.两人都中靶的概率为 0.72 B.至少一人中靶的概率为 0.88 C.至多一人中靶的概率为 0.26 D.恰好有一人脱靶的概率为 0.26 解析：AD　设事件A为：“甲中靶”，设事件B为：“乙中靶”，这两个事件相互独立.A选项：都中靶的概率为P（AB）＝P（A）P（B）＝0.8×0.9＝0.72，故A对；B选项：至少一人中靶，其对立事件为：两人都不中靶，故至少一人中靶的概率为1－P（）＝1－P（）P（）＝1－0.2×0.1＝0.98，故B错；C选项：至多一人中靶的对立事件为：两人都中靶，则至多一人中靶的概率为1－P（AB）＝0.28，故C错；D选项：恰好有一人脱靶的概率为P（A）P（）＋P（）P（B）＝0.8×0.1＋0.2×0.9＝0.26，故D对.故选A、D. 13.同学甲参加某科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错或不答均得零分.假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8，0.6，0.5，且各题答对与否相互之间没有影响，则同学甲得分不低于300分的概率是　0.46　. 解析：设“同学甲答对第i个题”为事件Ai（i＝1，2，3），则P（A1）＝0.8，P（A2）＝0.6，P（A3）＝0.5，且A1，A2，A3相互独立，同学甲得分不低于300分对应于事件A1A2A3∪A1A3∪A2A3发生，故所求概率为P＝P（A1A2A3∪A1A3∪A2A3）＝P（A1A2A3）＋P（A1A3）＋P（A2A3）＝P（A1）P（A2）P（A3）＋P（A1）P（）P（A3）＋P（）P（A2）P（A3）＝0.8×0.6×0.5＋0.8×0.4×0.5＋0.2×0.6×0.5＝0.46. 14.从装有3个红球和3个蓝球的袋中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回，记Ai表示事件“第i次摸到红球”，i＝1，2，…，6. （1）求第一次摸到蓝球的条件下第二次摸到红球的概率； （2）记P（A1A2A3）表示A1，A2，A3同时发生的概率，P（A3｜A1A2）表示已知A1与A2都发生时A3发生的概率.证明：P（A1A2A3）＝P（A1）P（A2｜A1）P（A3｜A1A2）. 解：（1）P（A2｜）＝＝＝，所以第一次摸到蓝球的条件下第二次摸到红球的概率为. （2）证明：由条件概率公式得P（A1A2A3）＝P（A1A2）P（A3｜A1A2）， P（A1A2）＝P（A1）P（A2｜A1）， 所以P（A1A2A3）＝P（A1A2）P（A3｜A1A2）＝P（A1）P（A2｜A1）P（A3｜A1A2）， 即P（A1A2A3）＝P（A1）P（A2｜A1）P（A3｜A1A2）. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $