5.4.2 二项式系数的性质(Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（北师大版）

4.2　二项式系数的性质 一、选择题 1.在(a+b)10的展开式中与第3项的二项式系数相同的项是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.第8项 B.第7项 C.第9项 D.第10项 2.的展开式中各项的系数和为 (　 ) A.2024 B.-2024 C.-1 D.1 3.已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则所有项的二项式系数和为 (　 ) A.212 B.211 C.210 D.29 4.在(x-1)n的展开式中,仅有第6项的二项式系数最大,则n= (　 ) A.8 B.9 C.10 D.11 5.已知(1+2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a6x6+a7x7,则a0-a1+a2-…+a6-a7= (　 ) A.1 B.-1 C.2 D.-2 6.的展开式中各项系数的和为-2,则该展开式中的常数项为 (　 ) A.-40 B.-20 C.20 D.40 7.(多选题)若的展开式中第3项与第8项的系数相等,则展开式中二项式系数最大的项为 (　 ) A.第3项 B.第4项 C.第5项 D.第6项 8.(多选题)设(3x-1)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9,则下列等式中成立的是 (　 ) A.a1+a3+a5+a7+a9=28+217 B.a0=1 C.a0+a2+a4+a6+a8=29-218 D.+++…+=1 二、填空题 9.已知(1+2x)n的展开式的各项系数之和为81,则n=　　　　.  10.已知(x+2y)n的展开式中各项系数之和为243,则各项二项式系数之和为　　　　.  11.在二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大,则展开式中的常数项为　　　　.  12.在的展开式中系数最大的项为　　　　.  三、解答题 13.请从所给两个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并解答. ①第5项的系数与第3项的系数之比为5∶2; ②第2项与倒数第3项的二项式系数之和为36. 已知在的展开式中,　　　　　.  (1)求展开式中二项式系数最大的项; (2)求展开式中含的项. 14.在(2x-3y)10的展开式中,求: (1)二项式系数的和; (2)各项系数的和; (3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和; (4)奇数项系数和与偶数项系数和. 15.已知(x-1)2+(x-1)3+(x-1)4+(x-1)5=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a3(x+1)3+a4(x+1)4+a5(x+1)5,则a2= (　 ) A.-111 B.-61 C.61 D.111 16.(1)已知m,n都是正整数,f(x)=(1+x)m+(1+x)n的展开式中x的系数为7. ①当f(x)的展开式中x2的系数最小时,求展开式中x3的系数; ②利用①中所求得的m,n的值,求f(0.003)的近似值.(精确到0.01) (2)已知(1+2x)8的展开式的二项式系数的最大值为a,系数的最大值为b,求. 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2　二项式系数的性质 1.C　[解析] (a+b)10的展开式共11项,第3项的二项式系数为,则由对称性可知,与第3项二项式系数相同的项的二项式系数为,即所求项为第9项.故选C. 2.D　[解析] 令x=1,得=(-1)2024=1.故选D. 3.C　[解析] ∵(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,∴=,∴n=10,因此所有项的二项式系数和为210,故选C. 4.C　[解析] 因为在(x-1)n的二项展开式中,仅有第6项的二项式系数最大,即最大,所以n=10.故选C. 5.B　[解析] 因为(1+2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a6x6+a7x7,所以令x=-1,得a0-a1+a2-…+a6-a7=[1+2×(-1)]7=-1,故选B. 6.A　[解析] 由题意,的展开式中各项系数的和为-2,令x=1,得-(1+a)=-2,解得a=1,故=.的展开式的通项为Tr+1=x5-r(-2x-1)r=(-2)rx5-2r,由5-2r=1,得r=2,则T3=(-2)2x=40x,由5-2r=-1,得r=3,则T4=(-2)3x-1=-80x-1, 故所求的常数项为40-80=-40.故选A. 7.CD　[解析] 由题可知,该二项展开式中各项的系数与二项式系数相等,且展开式中第3项与第8项的二项式系数分别为,,则=,可得n=9.所以该展开式中二项式系数最大的项为第5项和第6项.故选CD. 8.AD　[解析] 由(3x-1)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9,令x=1,可得a0+a1+a2+…+a9=29①,令x=-1,可得a0-a1+a2-a3+…-a9=-49=-218②,①-②可得2(a1+a3+a5+a7+a9)=29+218,所以a1+a3+a5+a7+a9=28+217,所以A中等式成立;①+②可得2(a0+a2+a4+a6+a8)=29-218,所以a0+a2+a4+a6+a8=28-217,所以C中等式不成立;令x=0,可得a0=-1,所以B中等式不成立;令x=,可得a0+++…+=0,可得+++…+=0-a0=1,所以D中等式成立.故选AD. 9.4　[解析] 令x=1,得(1+2)n=3n=81,∴n=4. 10.32　[解析] 令x=y=1,可得(x+2y)n的展开式中各项系数之和为(1+2)n=243=35,解得n=5,所以二项式(x+2y)5的展开式中各项二项式系数之和为25=32. 11.　[解析] 因为二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大,所以二项式的展开式有7项,则n=6,故的展开式的通项为Tr+1=()6-r=,r=0,1,2,…,6,令3-r=0,则r=2,故展开式中的常数项为=. 12.70　[解析] 的展开式的通项为Tr+1=x8-r(-x-1)r=(-1)rx8-2r(r∈[0,8],r∈N),显然当r=0,2,4,6,8时,二项展开式的系数为正,当r=1,3,5,7时,二项展开式的系数为负,且T1=x8=x8,T3=(-1)2x4=28x4,T5=(-1)4x0=70,T7=(-1)6x-4=28x-4,T9=(-1)8x-8=x-8,故的展开式中系数最大的项为T5=70. 13.解:若选①,的展开式的通项为Tr+1=(-1)r,则第5项的系数为,第3项的系数为,由题意得∶=5∶2,解得n=-3(舍去)或n=8. 若选②,第2项与倒数第3项的二项式系数分别为和,由题意得+=+=36,解得n=-9(舍去)或n=8.∴的展开式的通项为Tr+1=(-1)r. (1)由n=8可知展开式中共9项,第5项的二项式系数最大,∴展开式中二项式系数最大的项为T5==70. (2)令=-1,解得r=6,∴展开式中含的项为T7=x-1=. 14.解:(1)二项式系数的和为+++…+=210. (2)令x=y=1,得各项系数和为(2-3)10=(-1)10=1. (3)奇数项的二项式系数和为++…+=29,偶数项的二项式系数和为++…+=29. (4)设(2x-3y)10=a0x10+a1x9y+a2x8y2+…+a10y10,令x=y=1,得a0+a1+a2+…+a10=1①,令x=1,y=-1(或x=-1,y=1),得a0-a1+a2-a3+…+a10=510②.由①+②得2(a0+a2+a4+a6+a8+a10)=1+510,∴奇数项系数和为;由①-②得2(a1+a3+a5+a7+a9)=1-510,∴偶数项系数和为. 15.B　[解析] (x-1)2+(x-1)3+(x-1)4+(x-1)5=[(x+1)-2]2+[(x+1)-2]3+[(x+1)-2]4+[(x+1)-2]5,其二项展开式中(x+1)2的系数为(-2)0+(-2)+(-2)2+(-2)3=-61.故选B. 16.解:(1)①根据题意得+=7,即m+n=7(*), f(x)的展开式中x2的系数为+=+=,将(*)变形为n=7-m代入上式,得x2的系数为m2-7m+21=+,故当m=3或m=4时,x2的系数取得最小值9.当m=3,n=4或m=4,n=3时,f(x)=(1+x)4+(1+x)3,则展开式中x3的系数为+=5. ②f(0.003)=(1+0.003)4+(1+0.003)3≈+×0.003++×0.003≈2.02. (2)由题意可得,a==70.(1+2x)8的展开式的通项为Tk+1=(2x)k=2kxk,由即得5≤k≤6,∴当k=5或k=6时,展开式的系数最大,则b=7×28,∴=. 学科网（北京）股份有限公司 $