2.3.2 第2课时 抛物线的简单几何性质（二）(Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（北师大版）

第2课时　抛物线的简单几何性质(二) 一、选择题 1.已知点P(2,2)是抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,且点P到抛物线C的准线的距离为d,M是x轴上一点,则“点M的坐标为(1,0)”是“d=|PM|”的 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.某学习小组研究一种卫星天线(如图①所示),发现其曲面与轴截面的交线为抛物线,在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入卫星天线,经反射后聚焦到一点,该点为抛物线的焦点(如图②所示).已知卫星天线的口径(边沿直径)为5.6 m,深度为0.7 m,则该抛物线的焦点到顶点的距离为 (　 ) A.2.1 m B.2.8 m C.4.2 m D.5.6 m 3.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点A(3,1)在C的内部,若点B是抛物线C上的一个动点,且△ABF的周长的最小值为4+,则p= (　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 4.矿山爆破时,在爆破点处炸开的矿石的运动轨迹可看作是不同的抛物线,根据地质、炸药等因素可以算出这些抛物线的范围,这个范围的边界可以看作一条抛物线,叫作“安全抛物线”,如图所示.已知某次矿山爆破时的安全抛物线E:x2=-2py+4(p>0)的焦点为F,则这次爆破时矿石落点的最远处到点F的距离为 (　 ) A. B.2 C.2 D. 5.已知抛物线C:y2=4x,P为C上一点,A(-2,0),B(2,0),当最小时,点P到坐标原点O的距离为 (　 ) A.2 B.3 C.2 D.8 6.已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1,则抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是 (　 ) A. B. C.2 D. 7.(多选题)已知曲线C上任意一点到直线x=-4的距离比它到点F(2,0)的距离大2,则下列结论正确的是 (　 ) A.曲线C的方程为y2=8x B.若曲线C上的一点A到点F的距离为4,则点A的纵坐标是4 C.若曲线C上的两点M,N到点F的距离之和为10,则线段MN中点的横坐标是5 D.若B(3,2),P是曲线C上的动点,则|PB|+|PF|的最小值为5 8.(多选题)[2024·江西景德镇高二期末] 已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,点A,B是C上不同的两点,则 (　 ) A.抛物线C的准线方程为y=-1 B.若|AF|=4,则点A的横坐标为±2 C.若|AF|+|BF|=8,则线段AB的中点到x轴的距离为4 D.以线段AF为直径的圆与x轴相切 二、填空题 9.根据抛物线的光学性质可知,从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与其对称轴平行.如图所示,沿直线y=-2发出的光线经抛物线y2=2px(p>0)反射后,与x轴相交于点A(2,0),则p=　　　　.  10.已知M(2,0),N(3,0),点P在抛物线C:y2=3x上,则·的最小值是　　　　.  11.已知点F(1,0),点P在直线x=-1上,过动点P作与y轴垂直的直线,该直线与线段PF的垂直平分线交于点Q,则点Q的轨迹方程为　　　　　　.  12.如图,已知南北方向的公路L,O为公路L上一点,A地在点O的正东方向2千米处,B地在A北偏东60°方向2千米处,河流沿岸曲线PQ上任意一点到公路L和到A地的距离相等.现要在曲线PQ上M处建一座码头,向A,B两地运货物,经测算,从点M到A,B修建公路的费用都为a万元/千米,那么修建这两条公路的总费用最低是　　　　.  三、解答题 13.已知点M到点F(-2,0)的距离比点M到直线x=3的距离小1. (1)求点M的轨迹方程; (2)求线段MF的中点Q的轨迹方程. 14.[2024·上海宝山区高二期中] 已知F是抛物线y2=4x的焦点,A,B是该抛物线上的动点,O为坐标原点. (1)设P(4,1),求|AP|+|AF|的最小值; (2)若焦点F是△AOB的垂心,求点A,B的坐标. 15.(多选题)已知F(1,0)是抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,直线l为抛物线C的准线,过F的直线与C交于A,B两点,点D(-1,1),且AD⊥BD,则 (　 ) A.p=4 B.线段AB的中点到x轴的距离为1 C.以AB为直径的圆与准线l相切 D.直线AB的斜率为2 16.已知曲线C是平面内到定点F(0,1)和定直线l:y=-1的距离之和等于3的动点P的轨迹,则曲线C的对称轴的方程是　　　　,|PF|的最小值是　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　抛物线的简单几何性质(二) 1.A　[解析] 由题意知,将点P(2,2)的坐标代入方程y2=2px,得8=4p,解得p=2,则抛物线C的焦点为F(1,0).当点M的坐标为(1,0)时,点M与抛物线的焦点重合,由抛物线的定义知必有d=|PM|.当d=|PM|时,连接PF,则d=|PF|,所以|PF|=|PM|,则点M与点F重合或△PFM为等腰三角形,所以点M的坐标不一定为(1,0).因此“点M的坐标为(1,0)”是“d=|PM|”的充分不必要条件.故选A. 2.B　[解析] 如图所示,建立平面直角坐标系,设抛物线的方程为y2=2px(p>0),A(0.7,2.8),将点A的坐标代入y2=2px,得2.82=1.4p,解得p=5.6,所以该抛物线的焦点到顶点的距离为=2.8(m).故选B. 3.B　[解析] 如图,过点A,B分别作准线的垂线, 垂足分别为H,M',由题知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线方程为x=-,F.由抛物线的定义可知|BF|=|BM'|,∴△ABF的周长为|AB|+|AF|+|BF|=|BA|+|BM'|+|AF|≥|AH|+|AF|=4+,当且仅当点B在线段AH上时取等号.∵|AH|=3+,|AF|==,∴3++=4+,∴p=2.故选B. 4.D　[解析] 依题意,抛物线E的顶点坐标为,则抛物线的顶点到焦点F的距离为=+,p>0,得p=4,所以抛物线E的方程为x2=-8y+4,由y=0,得x=±2,即抛物线E与x轴的交点为M(2,0),N(-2,0),因为|MF|=|NF|==,所以矿石落点的最远处到点F的距离为.故选D. 5.C　[解析] 设P(m,n),则m≥0,4m=n2,所以====.当m=0时,=1;当m>0时,=,且1>≥=,当且仅当m=,即m=2时取等号,所以≤<1.故≤≤1.由以上分析可知,取最小值时,P(2,±2),所以|OP|==2.故选C. 6.C　[解析] 抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),连接PF,∵直线x=-1是抛物线y2=4x的准线,∴P到直线x=-1的距离等于|PF|.如图,过P作PQ⊥l1于 Q,则P到直线l1和直线l2的距离之和为|PF|+|PQ|.过F作FQ1⊥l1于Q1,线段FQ1和抛物线交于点P1,则|PF|+|PQ|≥|FQ1|(当点P在P1处时取等号),∴点P到直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1的距离之和的最小值就是F(1,0)到直线4x-3y+6=0的距离,即最小值为|FQ1| ==2.故选C. 7.AD　[解析] 选项A中,因为曲线C上任意一点到直线x=-4的距离比它到点F(2,0)的距离大2,所以曲线C上任意一点到直线x=-2的距离与它到点F(2,0)的距离相等,根据抛物线的定义可知曲线C的方程为y2=8x,故A正确;选项B中,由题意得|AF|=4,则点A到直线x=-2的距离为4,故xA=2,代入=8xA可得yA=±4,故B错误;选项C中,由曲线C上的两点M,N到点F的距离之和为10,可得xM+xN+4=10,得xM+xN=6,故线段MN中点的横坐标是3,故C错误;选项D中,如图,由抛物线的定义知|PF|即为点P到直线x=-2的距离,故|PB|+|PF|的最小值即为点B到直线x=-2的距离,即为5,故D正确.故选AD. 8.ABD　[解析] 由题知,抛物线C:x2=4y的焦点为F(0,1),准线方程为y=-1,A选项正确.若|AF|=4,则根据抛物线的定义可知yA=4-1=3,将y=3代入x2=4y,得x2=4×3=12,得x=±2,即xA=±2,B选项正确.若|AF|+|BF|=8,则根据抛物线的定义可知,线段AB的中点到x轴的距离为-1=3,C选项错误.设E是线段AF的中点,则yE=,根据抛物线的定义可知|AF|=yA+1,所以yE=|AF|,所以以线段AF为直径的圆与x轴相切,D选项正确.故选ABD. 9.4　[解析] 依题意可知点A(2,0)为该抛物线的焦点,则有=2,得p=4. 10.5　[解析] 设P(x,y),则=(2-x,-y),=(3-x,-y),所以·=(3-x)(2-x)+y2=x2-5x+6+y2.因为点P在抛物线C上,所以y2=3x,所以·=x2-5x+6+3x=x2-2x+6=(x-1)2+5,又x≥0,所以·=(x-1)2+5≥5,即·的最小值为5. 11.y2=4x　[解析] 设Q(x,y),连接QF,因为线段PF的垂直平分线经过点Q,所以|QF|=|QP|,又因为PQ⊥y轴,所以|QP|表示点Q到直线x=-1的距离,且|QF|表示点Q到点F的距离,由抛物线的定义可知,点Q的轨迹是以F为焦点,以直线x=-1为准线的抛物线.设点Q的轨迹方程为y2=2px(p>0),所以=1,所以p=2,所以点Q的轨迹方程为y2=4x. 12.5a万元　[解析] 根据题意可知,要求从点M到A,B修建公路的最低费用,只需求|MA|+|MB|的最小值,设点M到公路L的距离为d,则d=|MA|,∴只需求d+|MB|的最小值,易知d+|MB|的最小值为点B到公路L的距离.∵B地在A地北偏东60°方向2千米处,∴点B到点A的水平距离为3千米,∴B到公路L的距离为3+2=5(千米),∴修建这两条公路的总费用最低为5a万元. 13.解:(1)方法一:设M(x,y),由题意知+1=|x-3|,当x≥3时,方程可化为=x-4,整理得y2=-12(x-1)(舍去),当x<3时,方程可化为=2-x,整理得y2=-8x(x≤0),故点M的轨迹方程为y2=-8x. 方法二:由题可知,点M到点F(-2,0)的距离与到直线x=2的距离相等,所以动点M的轨迹是以F(-2,0)为焦点,直线x=2为准线的抛物线, 故点M的轨迹方程为y2=-8x. (2)设Q(x,y),M(x0,y0),则所以又=-8x0,所以(2y)2=-8(2x+2), 即y2=-4(x+1),故点Q的轨迹方程为y2=-4(x+1). 14.解:(1)设抛物线的准线为l,由抛物线y2=4x知焦点F(1,0),准线l:x=-1.过A作AH⊥l,垂足为H,过点P作PH'⊥l,垂足为H',P(4,1),由抛物线的定义得|AP|+|AF|=|AP|+|AH|≥|PH'|=4+1=5, 当且仅当A,P,H三点共线时取等号,此时A, 所以|AP|+|AF|的最小值为5. (2)由焦点F是△AOB的垂心,得OF⊥AB,即A,B关于x轴对称,且AF⊥OB.设A,则B,由AF⊥OB得kAF·kOB=-1,则·=-1,化简得-4=16,解得y1=±2,所以A(5,2),B(5,-2)或A(5,-2),B(5,2). 15.BCD　[解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2),不妨设点A在第一象限,如图.对于选项A,由题意可知=1,则p=2,故A错误;对于选项C,由题意可知抛物线C:y2=4x的准线l:x=-1,且|AB|=x1+x2+2,则以AB为直径的圆的半径r=+1,又线段AB的中点坐标为,所以线段AB的中点到准线l的距离为+1=r,所以以AB为直径的圆与准线l相切,故C正确;对于选项B,因为D为l上的点,且AD⊥BD,所以以AB为直径的圆与准线l相切于点D,设线段AB的中点为E,连接DE,则DE⊥l,所以AB的中点的纵坐标为1,即线段AB的中点到x轴的距离为1,故B正确;对于选项D,由对选项B的分析可知y1+y2=2,所以直线AB的斜率为===2,故D正确.故选BCD. 16.x=0　　[解析] 设P(x,y),由题意可得|PF|+|y+1|=3,即+|y+1|=3.当|y+1|>3,即y>2或y<-4时,方程无解;当-1≤y≤2时,=2-y,则x2=-2y+3,此时曲线C的对称轴的方程是x=0,|PF|==2-y≥2-=,即此时|PF|的最小值是;当-4≤y<-1时,=y+4,则x2=10y+15,此时曲线C的对称轴的方程是x=0,|PF|==y+4≥4-=,即此时|PF|的最小值是.综上,曲线C的对称轴的方程是x=0,|PF|的最小值是. 学科网（北京）股份有限公司 $