专题02 一元一次不等式（组）实际应用八大题型 (专项训练）数学新教材浙教版八年级上册

专题02 一元一次不等式（组）实际应用八大题型 常考题型·精准突破 ◆【题型 1】分配类应用题（有余、不足） 1． 【答案】有个班级，学习用品有套． 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，准确找到不等关系列不等式组是解题的关键． 设有x个班级，则学习用品有套， 根据前面的班级每个班分13套，最后一个班级分到了礼物，但不足4套，列不等式组即可求解． 【详解】解：设有x个班级，则学习用品有套， 由题意，得， 解得：． ∵只能取整数， ∴， 此时． 答：有个班级，学习用品有套． 2． 【答案】全班至少有25人，至多有27人 【分析】本题考查的是二元一次方程与不等式组的应用，设全班有人，每包有颗巧克力，根据题意，得，再进一步解题即可． 【详解】解：设全班有人，每包有颗巧克力，根据题意，得 由①得：， 将代入②，得， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵是正整数， ∴全班至少有25人，至多有27人． 3． 【答案】登山人数为人，矿泉水的瓶数为． 【分析】本题主要考查不等式的运用，理解数量关系，掌握解不等式的方法是关键． 设有人登山，由此列式求解即可． 【详解】解：设有人登山， 由题意，得：， 解得：， ∵为正整数， ∴，则， 答：登山人数为人，矿泉水的瓶数为． 4． 【答案】(1) (2)该小区共有8个志愿者服务点，有党员志愿者37人 【分析】（1）根据“每个服务点安排3位志愿者，会有13位志愿者没有被分配”列式即可； （2）根据“每个服务点安排5位志愿者，那么最后一个服务点虽有志愿者，但人数尚不足4人”列出不等式组求解即可． 【详解】（1）解：∵每个服务点安排3位志愿者，会有13位志愿者没有被分配， ∴该小区党员志愿者队伍共有志愿者人； （2）解：根据题意得：， 解得， ∵n是整数， ∴， ∴， ∴该小区共有8个志愿者服务点，有党员志愿者37人． ◆【题型 2】方案选择问题 5． 【答案】(1)购进1个甲种机器人需要1.5万元，1个乙种机器人需要0.5万元 (2)共有3种购买方案：方案一甲种机器人7个，乙种机器人3个；方案二：甲种机器人8个，乙种机器人2个；方案三：甲种机器人9个，乙种机器人1个；方案一花费最少 【分析】（1）设购进1个甲种机器人需要x万元，1个乙种机器人需要y万元，根据题意，列出方程组进行求解即可； （2）设购进甲种机器人m个，根据题意，列出不等式组进行求解即可. 【详解】（1）解：设购进1个甲种机器人需要x万元，1个乙种机器人需要y万元， 由题意，得，解得 答：购进1个甲种机器人需要1.5万元，1个乙种机器人需要0.5万元； （2）解：设购进甲种机器人m个，则购进乙种机器人个， 由题意，得， 解得， 又为正整数， ∴m可以取7，8，9． ∴共有3种购买方案． 方案一甲种机器人7个，乙种机器人3个，总费用为（万元）； 方案二：甲种机器人8个，乙种机器人2个，总费用为（万元）； 方案三：甲种机器人9个，乙种机器人1个，总费用为（万元）； 故方案一花费最少． 6． 【答案】(1)可以搭配A种造型10个，B种造型20个； (2)符合题意的搭配方案有3种，分别为： 方案一：搭配A种造型23个，B种造型7个； 方案二：搭配A种造型24个，B种造型6个； 方案三：搭配A种造型25个，B种造型5个． 【详解】（1）解：设搭配A种造型个，B种造型个， 由题意得：， 解得： 答：可以搭配A种造型10个，B种造型20个； （2）解：设搭配A种造型个，则搭配B种造型个， 由题意得： ， 解不等式，得 ， 解不等式，得 . ∴不等式组的解集为， ∵为正整数， ∴可取23，24，25.对应分别为7，6，5， 综上所述，共有3种符合题意的搭配方案： 方案一：A种造型23个，B种造型7个； 方案二：A种造型24个，B种造型6个； 方案三：A种造型25个，B种造型5个； 答：符合题意的搭配方案共3种，具体方案如上． 7． 【答案】(1)A型、B型运动跑鞋的单价分别是140元、120元 (2)总费用为元 (3)有四种方案，方案一：购买A型运动跑鞋20双，购买B型运动跑鞋30双；方案二：购买A型运动跑鞋21双，购买B型运动跑鞋29双；方案三：购买A型运动跑鞋22双，购买B型运动跑鞋28双；方案四：购买A型运动跑鞋23双，购买B型运动跑鞋27双 【分析】（1）设A型、B型运动跑鞋的单价分别是元、元，根据素材一和素材二建立方程组，解方程组即可； （2）先求出和的取值范围，再根据素材四列式计算即可； （3）求出的取值范围，结合为整数得出所有可能的取值，由此即可得． 【详解】（1）解：设A型、B型运动跑鞋的单价分别是元、元， 由题意得：， 解得， 答：A型、B型运动跑鞋的单价分别是140元、120元． （2）解：若购买了双A型运动跑鞋，则购买了双B型运动跑鞋， 由素材三得：， 解得， ∴， 由素材四得：购买A型运动跑鞋的费用为（元）， 购买B型运动跑鞋的费用为（元）， ∴总费用为（元）， 答：总费用为元． （3）解：由题意得：， 解得， 又∵， ∴， 又∵为整数， ∴所有可能的取值为，，，， 当时，；当时，；当时，；当时，， 答：有四种方案，方案一：购买A型运动跑鞋20双，购买B型运动跑鞋30双；方案二：购买A型运动跑鞋21双，购买B型运动跑鞋29双；方案三：购买A型运动跑鞋22双，购买B型运动跑鞋28双；方案四：购买A型运动跑鞋23双，购买B型运动跑鞋27双． 8． 【答案】(1)甲种品牌运动饮料每瓶6元，乙种品牌运动饮料每瓶8元 (2)共有4种符合条件的购买方案，分别为： ①购买甲品牌饮料16瓶，乙品牌饮料3瓶； ②购买甲品牌饮料12瓶，乙品牌饮料6瓶； ③购买甲品牌饮料8瓶，乙品牌饮料9瓶； ④购买甲品牌饮料4瓶，乙品牌饮料12瓶 【分析】（1）设甲种品牌运动饮料每瓶为元，乙种品牌运动饮料每瓶为元，根据题意列出方程组，求解即可； （2）设购买甲种品牌运动饮料瓶，购买乙种品牌运动饮料瓶，则，变形得，结合、都是正整数可得，是的倍数，且，求出与的值，并写出方案即可． 【详解】（1）解：设甲种品牌运动饮料每瓶为元，乙种品牌运动饮料每瓶为元， 根据题意可列方程组：， 解得， 答：甲种品牌运动饮料每瓶6元，乙种品牌运动饮料每瓶8元． （2）解：设购买甲种品牌运动饮料瓶，购买乙种品牌运动饮料瓶， 根据题意可得，， ∴， ∵、都是整数， ∴是的倍数， 又∵，， ∴， 解得， ∴， ∴，，，， 当时，；当时，；当时，；当时，． 答：共有4种符合条件的购买方案，分别为： ①购买甲品牌饮料16瓶，乙品牌饮料3瓶； ②购买甲品牌饮料12瓶，乙品牌饮料6瓶； ③购买甲品牌饮料8瓶，乙品牌饮料9瓶； ④购买甲品牌饮料4瓶，乙品牌饮料12瓶． ◆【题型 3】销售利润最值问题 9． 【答案】(1)2种 (2)购进52顶甲种遮阳帽，48顶乙种遮阳帽；760元 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． （1）设购进x顶甲种遮阳帽，则购进顶乙种遮阳帽，，利用总价单价数量，结合“总价不超过元，且购进甲种遮阳帽的数量超过乙种遮阳帽的数量”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各购进方案； （2）利用总利润每顶甲种遮阳帽的利润购进甲种遮阳帽的数量每顶乙种遮阳帽的利润购进乙种遮阳帽的数量，可求出各方案所需费用，比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设购进x顶甲种遮阳帽，则购进顶乙种遮阳帽， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 可以为51，52， 该网店共有2种进货方案， 方案1：购进51顶甲种遮阳帽，49顶乙种遮阳帽； 方案2：购进52顶甲种遮阳帽，48顶乙种遮阳帽； （2）选择方案1可获利元； 选择方案2可获利元 ， 购进52顶甲种遮阳帽，48顶乙种遮阳帽可使获利最大，最大利润是760元． 10． 【答案】(1)有 4 种方案：方案1：A款30套，B款20套；方案2：A款31套，B款19套；方案3：A款32套，B款18套；方案4：A款33套，B款17套； (2)665元 (3) 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，整式加减的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设购买A款T恤x套，则购买B款T恤套，根据预计投资不少于1800元，但不超过1830元建立不等式组求出x的取值范围即可得到答案； （2）根据计算出一套A款T恤的利润比一套B款T恤的利润大，则A款T恤越多，利润越大，据此确定利润最大的方案，并计算出最大利润即可； （3）设购买A款T恤x套，则购买B款T恤套，用含a、x的式子表示出总利润，根据利润不变可知利润的值与x值无关求解即可． 【详解】（1）解：设购买A款T恤x套，则购买B款T恤套， 由题意得， 解得， ∵x为整数， ∴x的值可以为30或31或32或33， 当时， 当时，， 当时，， 当时，， ∴有 4 种方案：方案1：A款30套，B款20套；方案2：A款31套，B款19套；方案3：A款32套，B款18套；方案4：A款33套，B款17套； （2）解：∵， ∴一套A款T恤的利润比一套B款T恤的利润高， ∴购买A款33套，B款17套时所获得的利润最大，最大利润为元， 答：该个体户能够获得的最大利润是665元； （3）解：设购买A款T恤x套，则购买B款T恤套， 将每套A款T恤的售价降低a元（）后，所获得的利润为（元）， ∵要使（1）中所有方案获利相同， ∴利润的值与x值无关， ∴， ∴． 11． 【答案】(1)甲型、乙型GPU单价各是15万元，10万元 (2)共3种采购方案 (3)实验室采购甲型60块、乙型10块商家获得利润最大，最大利润是340万元． 【分析】此题考查了一次函数的应用，二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的关系是解决问题的关键． （1）设甲型、乙型GPU单价各是万元，万元，由购买10块甲型GPU和5块乙型GPU需200万元；购买15块甲型GPU和10块乙型GPU需325万元，可列出二元一次方程组，即可解答； （2）设购买甲型a块，根据预算为1000万元，且甲型数量不低于乙型的5倍且不超过乙型的16倍，列出一元一次不等式组，解出解集，再根据a,为整数，即可解答． （3）根据a的取值，逐个计算，即可解答． 【详解】（1）解：设甲型、乙型GPU单价各是万元，万元，依题意，得 ， 解得． 答：甲型、乙型GPU单价各是15万元，10万元． （2）设购买甲型a块，依题意，得 ， 解得， ∵a，为整数 ∴a的取值为，共3种采购方案． （3）当时，（万元）； 当时，（万元）； 当时，（万元）． ∴当时，，则（万元）． 答：实验室采购甲型60块、乙型10块商家获得利润最大，最大利润是340万元． 12． 【答案】(1)值为，值为 (2)有种购买方案，方案：购买甲种橙子千克，乙种橙子千克；方案：购买甲种橙子千克，乙种橙子千克；方案：购买甲种橙子千克，乙种橙子千克；方案1的利润最大，最大利润为元 【分析】（1）根据“该超市购进甲种橙子千克和乙种橙子千克需要元；购进甲种橙子千克和乙种橙子千克需要元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买甲种橙子千克，则购买乙种橙子千克，根据总价单价数量结合投入资金不少于元又不超过元，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为正整数即可得出各购买方案，进而求得最大利润，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，得：， 解得：， 答：值为，值为； （2）设购买甲种橙子千克，则购买乙种橙子千克， 依题意，得：， 解得：． 为正整数， ，，， 有种购买方案，方案：购买甲种橙子千克，乙种橙子千克； 方案：购买甲种橙子千克，乙种橙子千克； 方案：购买甲种橙子千克，乙种橙子千克； ∵甲种橙子每千克的利润为元，乙种橙子每千克的利润为元，, ∴在总质量相同的情况下，甲种橙子越少则利润越大， ∴方案1的利润最大，利润为（元）． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． ◆【题型 4】计费方案对比问题 13． 【答案】(1)一个篮球的价格为元，一套篮球运动服的价格为元． (2)当时，选择A商场比较划算；当时，选择A，B商场费用一样；当时，选择B商场比较划算． 【分析】（1）设一个篮球的价格为元，则一套篮球运动服的价格为元，根据题意列出方程并求解即可； （2）根据优惠方案写出在两个商场购买商品所需费用的代数式，比较两个代数式得出结论． 【详解】（1）解：设一个篮球的价格为元，则一套篮球运动服的价格为元， 根据题意，可列方程， 解得． ∴（元）． 答：一个篮球的价格为元，一套篮球运动服的价格为元． （2）解：根据题意，在商场买套篮球运动服会赠送个篮球， ∴A商场所需要花费的费用为元， ∵商场篮球运动服原价，篮球打八折， ∴B商场所需要花费的费用为元． 当时，解得； 当时，解得； 当时，解得． 答：当时，选择A商场比较划算；当时，选择A，B商场费用一样；当时，选择B商场比较划算． 14． 【答案】(1)， (2)方案一费用更少，理由如下： 当时，． ∵， ∴健身8次时，选择方案一所需费用更少． (3)学生在寒假健身次数小于6次时选择方案二更划算 【分析】本题考查了列代数式，求解代数式的值，不等式的应用． （1）根据方案一每次健身费用按六折优惠，可得打折前的每次健身费用，进一步可得与x的函数关系式，再根据方案二每次健身费用按八折优惠，求出与x的函数关系式； （2）根据健身的次数分别求出两个方案所需的费用，再比较即可． （3）根据选择方案二更划算可得，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：由题意可得：； . （2）略 （3）解：由题意可得：， ∴， ∴， 解得：. ∴学生在寒假健身次数小于6次时选择方案二更划算. 15． 【答案】(1)1，3，1.2，3.3 (2)0或60 (3)复印页数超过20页，小于60页时，甲复印店的费用低；当复印页数超过60页，乙复印店的费用低；当复印页数等于60页时，两家费用一样多 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，找准等量关系和不等关系式是解题的关键． （1）根据题意，直接计算即可； （2）当时，计算出两家的费用比较即可；当时，计算出两家的费用比较即可；当时，根据两家收费相同，得到关于x的一元一次方程，解之即可得到结论； （3）分三种情况分别计算x的取值，从而做出判断． 【详解】（1）解：根据题意，在甲复印店复印10页，费用为：元，复印30页，费用为：元， 在乙复印店复印10页，费用为：元，复印30页，费用为：元， 故答案为：1，3，1.2，3.3； （2）解：当时，甲复印店的费用为元，乙复印店的费用为元， 此时，两家复印店的收费相同； 当时，甲复印店的费用为元，乙复印店的费用为元， 此时，两家复印店的收费不同，舍去； 当时， 依题意有 解得， ∴当时，两家复印店的收费相同 答：当或时，两家复印店的收费相同； （3）解：当甲复印店的费用低于乙复印店时， 根据题意，得， 解得， 又， ∴， ∴当时，甲复印店的费用低； 当甲复印店的费用高于乙复印店时， 根据题意，得， 解得， ∴当时，乙复印店的费用低； ∴复印页数超过20页，小于60页时，甲复印店的费用低；当复印页数超过60页，乙复印店的费用低；当复印页数等于60页时，两家费用一样多． 16． 【答案】(1)， (2)当时，小明办普通卡更划算；当时，小明办普通卡或会员卡所需费用相同；当时，小明办会员卡更划算 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用以及列代数式． （1）利用小明选择办会员卡一个月所需费用办卡费用每天活动的时间，可用含的代数式表示出小明选择办会员卡一个月所需费用；利用小明选择办普通卡一个月所需费用每小时所需费用每天活动的时间，可用含的代数式表示出小明选择办普通卡一个月所需费用； （2）分，及三种情况，可求出的取值范围或的值，进而可得出结论． 【详解】（1）根据题意得：小明选择办会员卡一个月需要花费元； 选择办普通卡一个月需要花费元． 故答案为：，； （2）若，则， 当时，小明办普通卡更划算； 若，则， 当时，小明办普通卡或会员卡所需费用相同； 若，则， 当时，小明办会员卡更划算． 答：当时，小明办普通卡更划算；当时，小明办普通卡或会员卡所需费用相同；当时，小明办会员卡更划算． ◆【题型 5】工程类不等式应用题 17． 【答案】(1)甲团队每天加工件马面裙，乙团队每天加工件马面裙 (2)甲团队至少需要工作天 【分析】（1）设乙团队每天加工件马面裙，甲每天加工件马面裙，根据甲团队加工30件的工作天数是乙团队加工12件的工作天数的2倍列方程，解方程即可求解； （2）设甲团队需要工作天，根据马面裙件数和计划完成该订单的总工作时长不超过14天，列不等式即可求解． 【详解】（1）解：设乙团队每天加工件马面裙，甲每天加工件马面裙， 由题意列方程，得， 解方程得，， 经检验，当时，， ∴是原方程的解， 答：甲团队每天加工件马面裙，乙团队每天加工件马面裙； （2）解：设甲团队需要工作天， 由题意得，， 解不等式得，， 答：甲团队至少需要工作天． 18． 【答案】(1)该机器人搭载了4个机械手 (2)至少需要同时工作3600秒，才能完成采摘任务 【分析】（1）由题意得，该机器人搭载了个机械手，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解； （2）设需要同时工作秒，才能完成采摘任务，根据题意列出一元一次不等式，解不等式求得最小整数解，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，该机器人搭载了个机械手， ， 解得， 答：该机器人搭载了4个机械手． （2）解：设需要同时工作秒，才能完成采摘任务， ， 解得：， 答：至少需要同时工作3600秒，才能完成采摘任务． 19． 【答案】(1)实际每天挖掘6米 (2)至少每天应多挖掘2米 【分析】此题主要考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式的应用，在工程问题中，工作量=工作效率×工作时间．在列分式方程解应用题的时候，也要注意进行检验． （1）设原计划每天挖掘x米，则实际每天挖掘米，根据结果提前了30天完成了其中360米的隧道挖掘任务，列方程求解； （2）设每天还应多挖掘m米．根据完成该项工程的工期不超过80天，列不等式进行分析． 【详解】（1）解：设计划每天挖掘米，根据题意，得 ，， 解得． 经检验是原方程的根． 实际每天挖掘为米． 答：实际每天挖掘6米． （2）解：设每天应多挖掘米，根据题意得， 解得． 答：至少每天应多挖掘2米． 20． 【答案】(1)甲：天，乙：天 (2)天 【分析】本题考查了分式方程，一元一次不等式的应用； （1）设甲队单独完成此项任务需天，则乙队单独完成此项任务需天，根据“甲队单独施15天和乙队单独施工10天的工作量相同” 列方程即可． （2）设甲队再单独施工天，结合（1）的解和甲队总的工作量不少于乙队的工作量的2倍，列不等式求解． 【详解】（1）解：设甲队单独完成此项任务需天． ， 解得，， 经检验是原方程的解． 乙：（天）． 答：甲队单独完成此项任务需天，乙队单独完成此项任务需天； （2）设，甲队单独施工天， ， 解得，， ∴的最小值为3， 答：甲队至少单独施工3天． ◆【题型 6】行程不等问题 21 【答案】(1)步行的速度为米/分 (2)该志愿者家与图书馆之间的路程最多是米 【分析】本题主要考查分式方程，一元一次不等式的运用，理解数量关系正确列式求解是关键． （1）设步行速度为米/分，则骑自行车的速度为米/分，由题意的数量关系列分式方程求解即可； （2）步行的速度为米/分，骑自行车的速度为米/分，志愿者骑车从社区到家的时间为（分钟），设从家到图书馆的距离为米，由此列不等式求解即可． 【详解】（1）解：某志愿者步行到离家米的社区去开展服务工作，即总路程为米，该志愿者骑自行车速度是步行速度的倍， 设步行速度为米/分，则骑自行车的速度为米/分， ∵该志愿者步行从社区到家所用的时间比他骑自行车从家到社区所用的时间多10分钟， ∴， 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义， ∴步行的速度为米/分； （2）解：步行的速度为米/分， ∴骑自行车的速度为米/分， ∴该志愿者骑车从社区到家的时间为（分钟）， 设从家到图书馆的距离为米， ∴， 解得，， ∴该志愿者家与图书馆之间的路程最多是米． 22． 【答案】(1)无人机的配送速度为40千米/时，传统车辆的配送速度为60千米/时 (2)无人机的速度至少提高到70千米/时 【分析】（1）设无人机的速度为千米/时，则传统车辆的速度为千米/时，根据传统车辆匀速配送所用时间要比无人机配送多6分钟，列分式方程即可求解； （2）根据前10分钟无人机的行程+提速后8分钟的行程大于等于16千米列不等式即可解答. 本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式应用，解题关键是理解题意，根据数量关系列方程或不等式. 【详解】（1）解：设无人机的速度为千米/时，则传统车辆的速度为千米/时， 由题意得， 解得， 经检验，是原分式方程的根， 答：无人机的配送速度为40千米/时，传统车辆的配送速度为60千米/时． （2）设无人机的速度提高到千米/时，则 答：无人机的速度至少提高到70千米/时， 23． 【答案】导火线的长要大于1.3米 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，由导火线燃烧时间要大于甲工人转移的时间列不等式，解不等式即可． 【详解】解：设导火线需要米才能保证甲工人的安全． 由题意得，， 解得， 所以导火线的长要大于1.3米． 24. 【答案】(1)小明第一次训练速度是4米/秒，从中级赛道顶端到终点的路程是160米 (2)滑行速度应大于8米/秒 【分析】本题主要考查二元一次方程和不等式的应用， 根据路程等于速度和时间的乘积，列出方程求解即可； 结合速度等于路程除以时间列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设从中级赛道顶端到终点的路程是x米， 第一次训练速度是v米/秒，则 ，解得， 答：小明第一次训练速度是4米/秒，从中级赛道顶端到终点的路程是160米． （2）根据题意可得，解得， 答：滑行速度应大于8米/秒． ◆【题型 7】几何中的不等式应用 25． 【答案】(1)不能．理由见解析 (2)的取值范围是 【分析】（1）先表示出第二条边长，即可得出第三条边长，当时，三边长分别为10，28，12，根据三角形三边关系即可作出判断； （2）根据第一条边长最短以及三角形的三边关系列出不等式组，即可求出m的取值范围． 【详解】（1）不能．理由如下： 由题意得：第一条边长为m米，则第二条边长为米，第三条边长为米， 若第一条边长为10米，则第二条边长为28米，第三条边长为12米， 而，不符合三角形两边的和大于第三边， 不能构成三角形． 第一条边长不能为10米． （2）由题意，知三角形的三边长分别为米，米，米， 则解得． 由三角形两边的和大于第三边，得， 解得． 故的取值范围是． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，在解题时根据三角形的三边关系，列出不等式组是本题的关键． 26． 【答案】长方形区域的长最大为 【分析】设长方形区域的长为，则宽为，根据题意，列出不等式组，即可求解． 【详解】解：设长方形区域的长为，则宽为，    根据题意，得：， 解得， 答：长方形区域的长最大为． 27． 【答案】(1)20 (2) 【分析】（1）根据周长是定值，长与宽的差是定值，列方程组计算即可． （2）根据周长是定值，用a表示b，结合b的取值范围，构造不等式组计算即可． 【详解】（1）根据题意得， 解得， ∴a的值为20． （2）∵， ∴， ∵， ∴， 解得. ∴a的取值范围为． 【点睛】本题考查了方程组的应用，不等式组的应用，熟练掌握方程组，不等式组的解法是解题的关键． 28． 【答案】(1) 证明：如图：过点作于点， ． 四边形是长方形， ， ， 在与中， ， ， ． 最高点到地面的距离就是线段长； (2)长度的最大值为0.25米 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，一元一次不等式的实际应用、轴对称图形性质，理解题意，灵活运用全等三角形的判定及性质，不等式的实际应用是解决本题的关键． （1）过点B作于点H，可证得，据此即可判定； （2）设米，可得米，点A到的距离为1.2米，由总费用不超过85元列不等式，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：该打卡板是轴对称图形，四边形是长方形， 设米，则米． 又点A到的距离为1.2米，即的边上的高为1.2米， 三角形的面积平方米． 又长方形的面积为：（平方米）， ∵总费用不超过180元， ∴． 解得， 故长度的最大值为0.25米． ◆【题型 8】最值决策应用题 29． 【答案】(1)甲50元，乙10元 (2)17个 【分析】（1）设甲单价x元，乙y元，根据“4个甲保温杯、2个乙保温杯共220元；2个甲、3个乙共130元”列方程组求解即可； （2）设购进甲a个，则乙个，根据“总预算不低于1180元”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设甲单价x元，乙y元， ， 解得， 答：甲50元，乙10元； （2）解：设购进甲a个，则乙个 答：甲至少购进17个． 30． 【答案】(1)购买1颗A型芯片需要350元，购买1颗B型芯片需要200元 (2)①该公司至少购买6000颗A型芯片；②2500000元 【分析】（1）设A、B型芯片单价分别为元，根据题意列方程组求解． （2）①设购买A型颗，则B型颗，由“A型不少于B型的3倍”列不等式求解． ②由①知，取时A型芯片最少，代入计算得2500000元． 【详解】（1）解：设购买1颗A型芯片需要元，1颗B型芯片需要元． 根据题意列方程组： ，解得， 答：购买1颗A型芯片需要350元，1颗B型芯片需要200元． （2）解：①设购买A型芯片颗，则购买B型芯片颗． 根据题意，A型数量不少于B型数量的3倍：， 解得， 答：该公司至少购买6000颗A型芯片． ②由①得，当购买A型芯片最少时，，B型芯片数量为颗． 总花费为：． 31． 【答案】(1)这份营养早餐中牛奶有克，杂粮面包克 (2)这份早餐中牛奶的含量最多为克 【分析】（1）根据早餐总重克建立重量等量关系，结合鸡蛋、牛奶、杂粮面包每百克蛋白质含量，列出蛋白质总含量的等式，联立二元一次方程组求解牛奶、杂粮面包重量； （2）先表示出杂粮面包的重量，再结合鸡蛋、牛奶、杂粮面包每百克能量数值，根据早餐总能量不低于千卡列出一元一次不等式，求解得到牛奶重量的最大值． 【详解】（1）解：设这份营养早餐中牛奶有克，杂粮面包克， 则：， 解得， 答：这份营养早餐中牛奶有克，杂粮面包克； （2）解：设这份营养早餐中牛奶有克， 则：， 解得， 答：这份早餐中牛奶的含量最多为200克． 32． 【答案】(1)甲、乙两台机器人每小时各分拣300件、400件包裹 (2)乙机器人至少工作7小时 【分析】（1）设甲、乙两台机器人每小时各分拣件包裹，再列方程组求解； （2）设乙机器人工作小时，则甲机器人工作小时，然后结合题意列不等式求解． 【详解】（1）解：设甲、乙两台机器人每小时各分拣件包裹， 则，解得， 答：甲、乙两台机器人每小时各分拣300件、400件包裹； （2）解：设乙机器人工作小时，则甲机器人工作小时， 则总分拣包裹， ，解得， 答：乙机器人至少工作7小时． 综合攻坚·知能拔高 1． 【答案】该校最多可购买18个口风琴 【详解】解：设该校购买x个口风琴，则购买个葫芦丝，根据题意得， ， 解得， 又∵x为正整数， ∴x的最大值为18， 答：该校最多可购买18个口风琴． 2． 【答案】该班共有28名学生 【分析】设该班共有名学生，根据题意列一元一次不等式，再根据x是2，4，7的公倍数，即可解答． 【详解】解：设该班共有名学生， 根据题意可得， 解得， 为正整数， ， ∵学数学、学音乐、读英语的人数都必须是正整数， ∴x是2，4，7的公倍数， 0到56之间，2，4，7的公倍数只有28， 因此， 答：该班共有28名学生． 3． 【答案】(1)； (2)商品原价大于元时，顾客选择方案一花费较少；商品原价元时，顾客选择方案一和方案二的花费相同；商品原价小于元时，顾客选择方案二花费较少 【详解】（1）解：顾客选择方案一，共花费元， 顾客选择方案二，需要花费元； （2）解：当，即时，方案一花费小于方案二花费； 当，即时，方案一花费与方案二花费相同； 当，即时，方案一花费大于方案二花费； 故商品原价大于元时，顾客选择方案一花费较少；商品原价元时，顾客选择方案一和方案二的花费相同；商品原价小于元时，顾客选择方案二花费较少． 4． 【答案】李叔家七月份最多可用电396度 【分析】设李叔家七月份用电x度，列不等式并解不等式求出x的范围，再根据李叔计划七月份电费支出不超过200元列不等式并解不等式即可得到答案． 【详解】解：设李叔家七月份用电x度， ∵（元），， ∴． 根据题意得：， 解得：， 又∵x为整数， ∴x的最大值为396． 答：李叔家七月份最多可用电396度． 5．②有2种方案：①生产竖式纸盒39个，横式纸盒61个；②生产竖式纸盒40个，横式纸盒60个 (2)方案①销售利润最大，最大利润是261元 【分析】（1）①观察图形得到一个竖式纸盒需一个正方形纸板，一个横式纸盒需三个长方形纸板，所以竖式纸盒需要的正方形纸板数是其本身的一倍，横式纸盒需要的长方形纸板数是其本身的三倍，根据这个标准便可填空．②将填表结果与题干信息结合，列出不等式，求出x的具体范围，再结合x所含有的实际意义进行取值，根据取值结果的不同便有不同种的生产方案． （2）根据②的结果分别计算每一个方案的利润进行比较即可． 【详解】（1）解：①∵一个竖式纸盒需一个正方形纸板，一个横式纸盒需三个长方形纸板， ∴x个竖式纸盒需x个正方形纸板，个横式纸盒需个长方形纸板． ②由题意有，解得， ∵x为正整数， ∴或， ∴有2种方案：①生产竖式纸盒39个，横式纸盒61个；②生产竖式纸盒40个，横式纸盒60个． （2）解：方案①利润为：（元）， 方案②利润为：（元）， ∵， ∴方案①销售利润最大，最大利润是261元． 6． 【答案】(1)； (2)当时，小明办普通卡更划算；当时，小明办普通卡或会员卡所需费用相同；当时，小明办会员卡更划算． 【分析】（1）根据收费方式，列出代数式即可； （2）分，及三种情况，可求出的取值范围或的值，进而可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意， 若小明选择会员卡的收费方式，需要花费元； 若小明选择普通卡的收费方式，需要花费元； （2）解：若，解得， 即当时，小明办普通卡更划算； 若，解得， 即当时，小明办普通卡或会员卡所需费用相同； 若，解得， 即当时，小明办会员卡更划算． 答：当时，小明办普通卡更划算；当时，小明办普通卡或会员卡所需费用相同；当时，小明办会员卡更划算． 7． 【答案】(1)饮用水和蔬菜分别为200件和120件； (2)应选择甲型货车2辆，乙型货车6辆，可使运费最少，最少运费是2960元 【分析】（1）设饮用水有x件，则蔬菜有件，根据题意列方程求解即可； （2）设租用甲型货车m辆，则租用乙型货车辆，根据题意列不等式组，求出整数解得到不同方案，再计算不同方案所需的运费，比较后确定方案即可． 【详解】（1）解：设饮用水有x件，则蔬菜有件． 由题意，得， 解得． ∴． 答：饮用水和蔬菜分别为200件和120件； （2）解：设租用甲型货车m辆，则租用乙型货车辆． 由题意，得， 解得． ∵m为正整数， ∴或3或4， ∴安排甲、乙两种型号货车时有3种方案，分别为： ①甲型货车2辆，乙型货车6辆； ②甲型货车3辆，乙型货车5辆； ③甲型货车4辆，乙型货车4辆； 3种方案的运费分别为： ①（元）； ②（元）； ③（元）； ∵， ∴方案①运费最少，最少运费是2960元． 答：应选择甲型货车2辆，乙型货车6辆，可使运费最少，最少运费是2960元． 8． 【答案】(1)甲同学接温水的时间为，接开水的时间为； (2)应接或的开水 【分析】（1）设甲同学接温水的时间为，接开水的时间为，根据接水得到一杯的水建立方程组求解即可； （2）根据最后杯中水的体积大于而不多于建立不等式组求出a的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：设甲同学接温水的时间为，接开水的时间为， 由题意得，， 解得， 答：甲同学接温水的时间为，接开水的时间为； （2）解：由题意得，， 解得， ∵a为整数， ∴a的值为11或12， 答：应接或的开水． 9． 【答案】(1)， (2)共有2种购买方案，分别为购买型设备台，则购买型设备台；购买型设备台，则购买型设备台；最省钱的购买方案是购买型设备台，则购买型设备台 【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设购买型设备台，则购买型设备台，列出一元一次不等式组，求出的取值范围，根据实际情况，共有两种购买方案，分别计算即可． 【详解】（1）根据题意可得方程组， 解得：． （2）设购买型设备台，则购买型设备台， 根据题意得：， 解得：， 为整数， 可以取或， 共有两种购买方案： 方案一：购买型设备台，则购买型设备台， 费用为：（万元）；     方案二：购买型设备台，则购买型设备台， 费用为：（万元）； ， 购买型设备台，则购买型设备台最省钱． 10． 【答案】(1)王瀚家庭年用水量为，李诺家庭年用水量为. (2)刘莎家庭2025年用水量至少为. 【分析】（1）设王瀚家用水量为（第一阶梯：），则李诺家用水量为 （第二阶梯：）．水费规则：王瀚家水费：，李诺家水费：，两家水费相加等于总水费1405元，列一元一次方程求解； （2）用水水费：；用水水费：， 对比1000元，判断用水量超过，设用水量为，列水费不等式求解最小值． 【详解】（1）解：设王瀚家庭年用水量为，则李诺家庭年用水量为． 由题意：，． 李诺家处于第二阶梯，水费计算： ， 两家总水费方程： ， 解得， 李诺家用水量：， 所以王瀚家庭年用水量，李诺家庭年用水量． （2）解：水费：元， 水费：元， ， 说明用水量， 超出部分按5元计费． 全年水费不等式： ， 解得 所以刘莎家庭2025年用水量至少为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元一次不等式（组）实际应用八大题型 常考题型·精准突破 【题型 1】分配类应用题（有余、不足） 【题型 2】方案选择问题 【题型 3】销售利润最值问题 【题型 4】计费方案对比问题 【题型 5】工程类不等式应用题 【题型 6】行程不等问题 【题型 7】几何中的不等式应用 【题型 8】最值决策应用题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆【题型 1】分配类应用题（有余、不足） 1．儿童节前夕，老师购买了若干套学习用品送给小朋友作为节日礼物．如果每班分到套，那么余套；如果前面的班级每个班分套，那么最后一个班级分到了礼物，但不足套．问：有多少个班级？学习用品有几套？ 【答案】有个班级，学习用品有套． 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，准确找到不等关系列不等式组是解题的关键． 设有x个班级，则学习用品有套， 根据前面的班级每个班分13套，最后一个班级分到了礼物，但不足4套，列不等式组即可求解． 【详解】解：设有x个班级，则学习用品有套， 由题意，得， 解得：． ∵只能取整数， ∴， 此时． 答：有个班级，学习用品有套． 2．为筹备元旦联欢会，张老师想在网上商城购买巧克力分发给全班同学．他购买了5包颗数相同的巧克力，计划每人分20颗，这样会剩余80颗．后来因为网店存货不足，所以少买了2包，于是改成每人分14颗，当分到最后一名同学时，发现只有这名同学拿不到14颗，但是至少拿到7颗．全班至少有多少人？至多有多少人？ 【答案】全班至少有25人，至多有27人 【分析】本题考查的是二元一次方程与不等式组的应用，设全班有人，每包有颗巧克力，根据题意，得，再进一步解题即可． 【详解】解：设全班有人，每包有颗巧克力，根据题意，得 由①得：， 将代入②，得， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵是正整数， ∴全班至少有25人，至多有27人． 3．登山前，登山者要将矿泉水分装在旅行包内带上山．若每人2瓶，则剩余3瓶，若每人带3瓶，则有一人所带矿泉水不足2瓶．求登山人数及矿泉水的瓶数． 【答案】登山人数为人，矿泉水的瓶数为． 【分析】本题主要考查不等式的运用，理解数量关系，掌握解不等式的方法是关键． 设有人登山，由此列式求解即可． 【详解】解：设有人登山， 由题意，得：， 解得：， ∵为正整数， ∴，则， 答：登山人数为人，矿泉水的瓶数为． 4．成都上轮疫情期间某小区封闭管理期间，小区内的党员同志在基层党组织的组织领导下组建了党员志愿者队伍，这些志愿者被派分到小区内n个志愿者服务点．若每个服务点安排3位志愿者，会有13位志愿者没有被分配；若每个服务点安排5位志愿者，那么最后一个服务点虽有志愿者，但人数尚不足4人． (1)请用含n的式子表示该小区党员志愿者队伍共有志愿者______人； (2)求该小区共有几个志愿者服务点？有党员志愿者多少人？[列不等式（组）解决问题] 【答案】(1) (2)该小区共有8个志愿者服务点，有党员志愿者37人 【分析】（1）根据“每个服务点安排3位志愿者，会有13位志愿者没有被分配”列式即可； （2）根据“每个服务点安排5位志愿者，那么最后一个服务点虽有志愿者，但人数尚不足4人”列出不等式组求解即可． 【详解】（1）解：∵每个服务点安排3位志愿者，会有13位志愿者没有被分配， ∴该小区党员志愿者队伍共有志愿者人； （2）解：根据题意得：， 解得， ∵n是整数， ∴， ∴， ∴该小区共有8个志愿者服务点，有党员志愿者37人． ◆【题型 2】方案选择问题 5．随着人工智能的迅猛发展，某艺术公司计划投入一笔资金购进甲、乙两种跳舞机器人给明星伴舞，已知购进2个甲种机器人和1个乙种机器人共需3.5万元；购进1个甲种机器人和3个乙种机器人共需3万元． (1)求购进1个甲种机器人和1个乙种机器人各需多少万元？ (2)若该公司购进甲、乙两种机器人共10个，其中甲种机器人的数量不少于乙种机器人数量的2倍，且投入资金不超过14万元，则有哪几种购买方案？哪种方案花费最少？ 【答案】(1)购进1个甲种机器人需要1.5万元，1个乙种机器人需要0.5万元 (2)共有3种购买方案：方案一甲种机器人7个，乙种机器人3个；方案二：甲种机器人8个，乙种机器人2个；方案三：甲种机器人9个，乙种机器人1个；方案一花费最少 【分析】（1）设购进1个甲种机器人需要x万元，1个乙种机器人需要y万元，根据题意，列出方程组进行求解即可； （2）设购进甲种机器人m个，根据题意，列出不等式组进行求解即可. 【详解】（1）解：设购进1个甲种机器人需要x万元，1个乙种机器人需要y万元， 由题意，得，解得 答：购进1个甲种机器人需要1.5万元，1个乙种机器人需要0.5万元； （2）解：设购进甲种机器人m个，则购进乙种机器人个， 由题意，得， 解得， 又为正整数， ∴m可以取7，8，9． ∴共有3种购买方案． 方案一甲种机器人7个，乙种机器人3个，总费用为（万元）； 方案二：甲种机器人8个，乙种机器人2个，总费用为（万元）； 方案三：甲种机器人9个，乙种机器人1个，总费用为（万元）； 故方案一花费最少． 6．为美化校园环境，设计师构思了A、B两种景观造型．已知搭配一个A种造型需甲种花卉8盆，乙种花卉4盆；搭配一个B种造型需甲种花卉5盆，乙种花卉9盆． (1)现将180盆甲种花卉，220盆乙种花卉全部用于搭配A、B造型，恰好可以搭配A、B两种造型各多少个？ (2)某园林公司准备用现有的225盆甲种花卉和155盆乙种花卉搭配A，B两种景观造型共30个，请问符合题意的搭配方案有几种？并列举出来． 【答案】(1)可以搭配A种造型10个，B种造型20个； (2)符合题意的搭配方案有3种，分别为： 方案一：搭配A种造型23个，B种造型7个； 方案二：搭配A种造型24个，B种造型6个； 方案三：搭配A种造型25个，B种造型5个． 【详解】（1）解：设搭配A种造型个，B种造型个， 由题意得：， 解得： 答：可以搭配A种造型10个，B种造型20个； （2）解：设搭配A种造型个，则搭配B种造型个， 由题意得： ， 解不等式，得 ， 解不等式，得 . ∴不等式组的解集为， ∵为正整数， ∴可取23，24，25.对应分别为7，6，5， 综上所述，共有3种符合题意的搭配方案： 方案一：A种造型23个，B种造型7个； 方案二：A种造型24个，B种造型6个； 方案三：A种造型25个，B种造型5个； 答：符合题意的搭配方案共3种，具体方案如上． 7．请你根据下列素材，完成有关任务. 背景 某班班委会决定组织同学到体育用品专卖店统一购买体育运动跑鞋，以供同学们课外活动使用． 素材一 A型运动跑鞋比B型运动跑鞋每双的单价多20元； 素材二 购买2双A型与3双B型运动跑鞋共需费用640元； 素材三 该班委会通过调研确定A型和B型运动跑鞋共需购买50双，且购买A型运动跑鞋的数量少于30双，购买B型运动跑鞋的数量不超过购买A型运动跑鞋的． 素材四 体育用品专卖店给出了优惠活动：一次购买A型运动跑鞋不超过15双不优惠，超过15双后，超过的部分每双按单价打七五折；一次购买B型运动跑鞋不超过20双不优惠，超过20双后，超过的部分每双按单价打八折． 素材五 购买A型和B型运动跑鞋的总费用不超过6012元． 请完成下列任务： (1)任务一：A型、B型运动跑鞋的单价分别是多少元？ (2)任务二：若购买了m双A型运动跑鞋，用含m的代数式表示总费用； (3)任务三：有哪几种购买方案？ 【答案】(1)A型、B型运动跑鞋的单价分别是140元、120元 (2)总费用为元 (3)有四种方案，方案一：购买A型运动跑鞋20双，购买B型运动跑鞋30双；方案二：购买A型运动跑鞋21双，购买B型运动跑鞋29双；方案三：购买A型运动跑鞋22双，购买B型运动跑鞋28双；方案四：购买A型运动跑鞋23双，购买B型运动跑鞋27双 【分析】（1）设A型、B型运动跑鞋的单价分别是元、元，根据素材一和素材二建立方程组，解方程组即可； （2）先求出和的取值范围，再根据素材四列式计算即可； （3）求出的取值范围，结合为整数得出所有可能的取值，由此即可得． 【详解】（1）解：设A型、B型运动跑鞋的单价分别是元、元， 由题意得：， 解得， 答：A型、B型运动跑鞋的单价分别是140元、120元． （2）解：若购买了双A型运动跑鞋，则购买了双B型运动跑鞋， 由素材三得：， 解得， ∴， 由素材四得：购买A型运动跑鞋的费用为（元）， 购买B型运动跑鞋的费用为（元）， ∴总费用为（元）， 答：总费用为元． （3）解：由题意得：， 解得， 又∵， ∴， 又∵为整数， ∴所有可能的取值为，，，， 当时，；当时，；当时，；当时，， 答：有四种方案，方案一：购买A型运动跑鞋20双，购买B型运动跑鞋30双；方案二：购买A型运动跑鞋21双，购买B型运动跑鞋29双；方案三：购买A型运动跑鞋22双，购买B型运动跑鞋28双；方案四：购买A型运动跑鞋23双，购买B型运动跑鞋27双． 8．根据下面素材，解决实际问题． 题目主题 如何设计购买方案？ 素材1 七年级某班为校运动会采购饮品，计划在超市购买甲、乙两种品牌的运动饮料．若购买10瓶甲品牌饮料、15瓶乙品牌饮料，共需花费180元；若购买15瓶甲品牌饮料、10瓶乙品牌饮料，共需花费170元． 素材2 班级采购预算为120元，需同时购买甲、乙两种品牌的饮料（两种都买），且预算恰好全部用完． 问题解决 (1)求甲、乙两种品牌运动饮料每瓶各是多少元？ (2)请问共有哪几种符合条件的购买方案？ 【答案】(1)甲种品牌运动饮料每瓶6元，乙种品牌运动饮料每瓶8元 (2)共有4种符合条件的购买方案，分别为： ①购买甲品牌饮料16瓶，乙品牌饮料3瓶； ②购买甲品牌饮料12瓶，乙品牌饮料6瓶； ③购买甲品牌饮料8瓶，乙品牌饮料9瓶； ④购买甲品牌饮料4瓶，乙品牌饮料12瓶 【分析】（1）设甲种品牌运动饮料每瓶为元，乙种品牌运动饮料每瓶为元，根据题意列出方程组，求解即可； （2）设购买甲种品牌运动饮料瓶，购买乙种品牌运动饮料瓶，则，变形得，结合、都是正整数可得，是的倍数，且，求出与的值，并写出方案即可． 【详解】（1）解：设甲种品牌运动饮料每瓶为元，乙种品牌运动饮料每瓶为元， 根据题意可列方程组：， 解得， 答：甲种品牌运动饮料每瓶6元，乙种品牌运动饮料每瓶8元． （2）解：设购买甲种品牌运动饮料瓶，购买乙种品牌运动饮料瓶， 根据题意可得，， ∴， ∵、都是整数， ∴是的倍数， 又∵，， ∴， 解得， ∴， ∴，，，， 当时，；当时，；当时，；当时，． 答：共有4种符合条件的购买方案，分别为： ①购买甲品牌饮料16瓶，乙品牌饮料3瓶； ②购买甲品牌饮料12瓶，乙品牌饮料6瓶； ③购买甲品牌饮料8瓶，乙品牌饮料9瓶； ④购买甲品牌饮料4瓶，乙品牌饮料12瓶． ◆【题型 3】销售利润最值问题 9．某网店销售甲、乙两种遮阳帽，进价和售价格如表所示． 名称 甲种遮阳帽 乙种遮阳帽 进价（元/顶） 30 15 售价（元/顶） 40 20 根据上面提供的信息，解答下列问题． (1)根据消费者需求，该网店决定用不超过2280元购进甲、乙两种遮阳帽共100顶，且甲种遮阳帽的数量超过乙种遮阳帽的数量，则购进甲、乙两种遮阳帽有多少种进货方案？ (2)在（1）的条件下，哪种进货方案可使获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)2种 (2)购进52顶甲种遮阳帽，48顶乙种遮阳帽；760元 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． （1）设购进x顶甲种遮阳帽，则购进顶乙种遮阳帽，，利用总价单价数量，结合“总价不超过元，且购进甲种遮阳帽的数量超过乙种遮阳帽的数量”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各购进方案； （2）利用总利润每顶甲种遮阳帽的利润购进甲种遮阳帽的数量每顶乙种遮阳帽的利润购进乙种遮阳帽的数量，可求出各方案所需费用，比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设购进x顶甲种遮阳帽，则购进顶乙种遮阳帽， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 可以为51，52， 该网店共有2种进货方案， 方案1：购进51顶甲种遮阳帽，49顶乙种遮阳帽； 方案2：购进52顶甲种遮阳帽，48顶乙种遮阳帽； （2）选择方案1可获利元； 选择方案2可获利元 ， 购进52顶甲种遮阳帽，48顶乙种遮阳帽可使获利最大，最大利润是760元． 10．地摊经济增加了城市的烟火气，从而让城市变得更加生动和有趣．某个体户准备购买A，B两款T恤共50套摆地摊销售，预计投资不少于1800元，但不超过1830元，T恤的进价和售价如下表： A B 进价（元/件） 40 30 售价（元/件） 55 40 (1)该个体户有几种购买T恤的方案？请分别列出来； (2)该个体户能够获得的最大利润是多少？ (3)若将每套A款T恤的售价降低a元（），且所有T恤都可以售完，要使（1）中所有方案获利相同，则a的值为多少？ 【答案】(1)有 4 种方案：方案1：A款30套，B款20套；方案2：A款31套，B款19套；方案3：A款32套，B款18套；方案4：A款33套，B款17套； (2)665元 (3) 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，整式加减的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设购买A款T恤x套，则购买B款T恤套，根据预计投资不少于1800元，但不超过1830元建立不等式组求出x的取值范围即可得到答案； （2）根据计算出一套A款T恤的利润比一套B款T恤的利润大，则A款T恤越多，利润越大，据此确定利润最大的方案，并计算出最大利润即可； （3）设购买A款T恤x套，则购买B款T恤套，用含a、x的式子表示出总利润，根据利润不变可知利润的值与x值无关求解即可． 【详解】（1）解：设购买A款T恤x套，则购买B款T恤套， 由题意得， 解得， ∵x为整数， ∴x的值可以为30或31或32或33， 当时， 当时，， 当时，， 当时，， ∴有 4 种方案：方案1：A款30套，B款20套；方案2：A款31套，B款19套；方案3：A款32套，B款18套；方案4：A款33套，B款17套； （2）解：∵， ∴一套A款T恤的利润比一套B款T恤的利润高， ∴购买A款33套，B款17套时所获得的利润最大，最大利润为元， 答：该个体户能够获得的最大利润是665元； （3）解：设购买A款T恤x套，则购买B款T恤套， 将每套A款T恤的售价降低a元（）后，所获得的利润为（元）， ∵要使（1）中所有方案获利相同， ∴利润的值与x值无关， ∴， ∴． 11．在当今数字化时代，人工智能技术正以前所未有的速度发展，成为推动各行业变革的关键力量．其中，深度学习作为人工智能的核心领域之一，依赖于强大的计算能力来训练复杂的模型．为了提升AI模型训练效率，某实验室需采购两种类型的GPU卡∶甲型(高性能)和乙型(节能型)．已知购买10块甲型GPU和5块乙型GPU需200万元；购买15块甲型GPU和10块乙型GPU需325万元． (1)甲型、乙型GPU单价各是多少万元？ (2)若预算为1000万元，且甲型数量不低于乙型的5倍且不超过乙型的16倍，有几种采购方案？ (3)若售出甲型每块利润为5万元，乙型为4万元，在（2）的条件下，实验室如何采购商家获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)甲型、乙型GPU单价各是15万元，10万元 (2)共3种采购方案 (3)实验室采购甲型60块、乙型10块商家获得利润最大，最大利润是340万元． 【分析】此题考查了一次函数的应用，二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的关系是解决问题的关键． （1）设甲型、乙型GPU单价各是万元，万元，由购买10块甲型GPU和5块乙型GPU需200万元；购买15块甲型GPU和10块乙型GPU需325万元，可列出二元一次方程组，即可解答； （2）设购买甲型a块，根据预算为1000万元，且甲型数量不低于乙型的5倍且不超过乙型的16倍，列出一元一次不等式组，解出解集，再根据a,为整数，即可解答． （3）根据a的取值，逐个计算，即可解答． 【详解】（1）解：设甲型、乙型GPU单价各是万元，万元，依题意，得 ， 解得． 答：甲型、乙型GPU单价各是15万元，10万元． （2）设购买甲型a块，依题意，得 ， 解得， ∵a，为整数 ∴a的取值为，共3种采购方案． （3）当时，（万元）； 当时，（万元）； 当时，（万元）． ∴当时，，则（万元）． 答：实验室采购甲型60块、乙型10块商家获得利润最大，最大利润是340万元． 12．围绕“建设国家级现代农业产业示范园区”总体目标，云南某县引进多种口感好的橙子品种，助推乡村振兴．某超市看好甲、乙两种橙子的市场价值，经调查甲种橙子进价每千克元，售价每千克元；乙种橙子进价每千克元，售价每千克元． (1)该超市购进甲种橙子千克和乙种橙子千克需要元；购进甲种橙子千克和乙种橙子千克需要元，求、的值； (2)超市决定每天购进甲、乙两种橙子共千克两种橙子的数量都是整数，且投入资金不少于元又不超过元，该超市有哪几种购买方案？哪种方案获得的利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1)值为，值为 (2)有种购买方案，方案：购买甲种橙子千克，乙种橙子千克；方案：购买甲种橙子千克，乙种橙子千克；方案：购买甲种橙子千克，乙种橙子千克；方案1的利润最大，最大利润为元 【分析】（1）根据“该超市购进甲种橙子千克和乙种橙子千克需要元；购进甲种橙子千克和乙种橙子千克需要元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买甲种橙子千克，则购买乙种橙子千克，根据总价单价数量结合投入资金不少于元又不超过元，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为正整数即可得出各购买方案，进而求得最大利润，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，得：， 解得：， 答：值为，值为； （2）设购买甲种橙子千克，则购买乙种橙子千克， 依题意，得：， 解得：． 为正整数， ，，， 有种购买方案，方案：购买甲种橙子千克，乙种橙子千克； 方案：购买甲种橙子千克，乙种橙子千克； 方案：购买甲种橙子千克，乙种橙子千克； ∵甲种橙子每千克的利润为元，乙种橙子每千克的利润为元，, ∴在总质量相同的情况下，甲种橙子越少则利润越大， ∴方案1的利润最大，利润为（元）． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． ◆【题型 4】计费方案对比问题 13．某学习兴趣小组在数学课上进行了项目化学习研究，研究如下： 【提出驱动性问题】商品优惠问题． 【设计实践性任务】选择“素材1”“素材2”设计了“问题1”“问题2”的实践活动． 探究商品优惠问题 素材 素材1 A，B两商场以同样的价格出售篮球运动服和篮球两种商品，已知套篮球运动服比个篮球贵元，套篮球运动服比个篮球贵元． 素材2 为了促销，A，B两商场推出优惠活动： A商场：每购买满套篮球运动服，送一个篮球． B商场：原价购买篮球运动服，篮球的价格打八折． 请根据以上提供的信息，帮学习兴趣小组解决问题． (1)求一个篮球和一套篮球运动服的价格． (2)若需要购买篮球个，篮球运动服套．学习兴趣小组通过调查发现，A，B两家商场在促销两种商品的优惠活动中，因购买篮球的数量不同，花费的费用也不同，请帮学习兴趣小组提出一个比较划算的购买方案． 【答案】(1)一个篮球的价格为元，一套篮球运动服的价格为元． (2)当时，选择A商场比较划算；当时，选择A，B商场费用一样；当时，选择B商场比较划算． 【分析】（1）设一个篮球的价格为元，则一套篮球运动服的价格为元，根据题意列出方程并求解即可； （2）根据优惠方案写出在两个商场购买商品所需费用的代数式，比较两个代数式得出结论． 【详解】（1）解：设一个篮球的价格为元，则一套篮球运动服的价格为元， 根据题意，可列方程， 解得． ∴（元）． 答：一个篮球的价格为元，一套篮球运动服的价格为元． （2）解：根据题意，在商场买套篮球运动服会赠送个篮球， ∴A商场所需要花费的费用为元， ∵商场篮球运动服原价，篮球打八折， ∴B商场所需要花费的费用为元． 当时，解得； 当时，解得； 当时，解得． 答：当时，选择A商场比较划算；当时，选择A，B商场费用一样；当时，选择B商场比较划算． 14．某健身俱乐部，每次健身费用25元，寒假将至，特面向大学生推出寒假优惠活动，活动方案如下： 方案一：购买一张学生假期专享卡30元，每次健身费用打六折； 方案二：不购买学生假期专享卡，每次健身费用打八折． (1)设某学生假期健身（次），按照方案一所需费用为_______元；按照方案二所需费用为_______元；（用含的代数式表示） (2)小华计划寒假前往该俱乐部健身8次，应选择哪种方案所需费用更少？说明理由； (3)请直接写出：学生在什么情况下选择方案二更划算． 【答案】(1)， (2)方案一费用更少，理由如下： 当时，． ∵， ∴健身8次时，选择方案一所需费用更少． (3)学生在寒假健身次数小于6次时选择方案二更划算 【分析】本题考查了列代数式，求解代数式的值，不等式的应用． （1）根据方案一每次健身费用按六折优惠，可得打折前的每次健身费用，进一步可得与x的函数关系式，再根据方案二每次健身费用按八折优惠，求出与x的函数关系式； （2）根据健身的次数分别求出两个方案所需的费用，再比较即可． （3）根据选择方案二更划算可得，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：由题意可得：； . （2）略 （3）解：由题意可得：， ∴， ∴， 解得：. ∴学生在寒假健身次数小于6次时选择方案二更划算. 15．用A4纸复印文件，在甲复印店不管一次复印多少页，每页收费0.1元，在乙复印店复印同样的文件，一次复印页数不超过20页时，每页收费0.12元；一次复印超过20页时，超过部分每页收费0.09元． (1)根据题意，填写下表： 次复印页数（页） 5 10 20 30 … 甲复印店收费（元） 0.5 ______ 2 ______ … 乙复印店收费（元） 0.6 ______ 2.4 ______ … (2)设在同一家复印店一次复印文件的页数为x（x为非负整数），则x为多少时，两家复印店的收费相同（请你列出方程，求出x的值）？ (3)当复印页数超过20页时，由此可推算什么情况下选择甲复印店划算？什么情况下选择乙复印店划算？ 【答案】(1)1，3，1.2，3.3 (2)0或60 (3)复印页数超过20页，小于60页时，甲复印店的费用低；当复印页数超过60页，乙复印店的费用低；当复印页数等于60页时，两家费用一样多 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，找准等量关系和不等关系式是解题的关键． （1）根据题意，直接计算即可； （2）当时，计算出两家的费用比较即可；当时，计算出两家的费用比较即可；当时，根据两家收费相同，得到关于x的一元一次方程，解之即可得到结论； （3）分三种情况分别计算x的取值，从而做出判断． 【详解】（1）解：根据题意，在甲复印店复印10页，费用为：元，复印30页，费用为：元， 在乙复印店复印10页，费用为：元，复印30页，费用为：元， 故答案为：1，3，1.2，3.3； （2）解：当时，甲复印店的费用为元，乙复印店的费用为元， 此时，两家复印店的收费相同； 当时，甲复印店的费用为元，乙复印店的费用为元， 此时，两家复印店的收费不同，舍去； 当时， 依题意有 解得， ∴当时，两家复印店的收费相同 答：当或时，两家复印店的收费相同； （3）解：当甲复印店的费用低于乙复印店时， 根据题意，得， 解得， 又， ∴， ∴当时，甲复印店的费用低； 当甲复印店的费用高于乙复印店时， 根据题意，得， 解得， ∴当时，乙复印店的费用低； ∴复印页数超过20页，小于60页时，甲复印店的费用低；当复印页数超过60页，乙复印店的费用低；当复印页数等于60页时，两家费用一样多． 16．某文体中心提供阅读、观影、球类、游泳、器械等多种文体活动，现有两种收费方式，详情见下表： 收费方式 详细介绍（注：不足一个小时的按一小时计算） 会员卡 办卡需元，每活动小时收费元 普通卡 进入文体中心要收取元/日，可免费进行文体活动小时，后续收费元/小时 小明打算一个月（30天）都去文体中心活动，每天活动的时间为小时（为正整数，且）． (1)如果小明选择办会员卡一个月需要花费______元；选择办普通卡一个月需要花费______元；（用含的代数式表示） (2)对于会员卡和普通卡两种不同的收费方式，小明办哪种更划算？ 【答案】(1)， (2)当时，小明办普通卡更划算；当时，小明办普通卡或会员卡所需费用相同；当时，小明办会员卡更划算 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用以及列代数式． （1）利用小明选择办会员卡一个月所需费用办卡费用每天活动的时间，可用含的代数式表示出小明选择办会员卡一个月所需费用；利用小明选择办普通卡一个月所需费用每小时所需费用每天活动的时间，可用含的代数式表示出小明选择办普通卡一个月所需费用； （2）分，及三种情况，可求出的取值范围或的值，进而可得出结论． 【详解】（1）根据题意得：小明选择办会员卡一个月需要花费元； 选择办普通卡一个月需要花费元． 故答案为：，； （2）若，则， 当时，小明办普通卡更划算； 若，则， 当时，小明办普通卡或会员卡所需费用相同； 若，则， 当时，小明办会员卡更划算． 答：当时，小明办普通卡更划算；当时，小明办普通卡或会员卡所需费用相同；当时，小明办会员卡更划算． ◆【题型 5】工程类不等式应用题 17．【文化背景】 “中国有礼仪之大，故称夏；有服章之美，谓之华．”华夏衣冠承载着千年的文明密码与审美意趣．在2026年央视春晚上，创意节目《贺花浓》以其如诗如画的意境，考究复原的汉服形制，惊艳了全国观众． 【数学问题】 某非遗汉服工坊有甲、乙两个团队加工同一款马面裙，已知甲团队比乙团队每天多加工1件，且甲团队加工30件的工作天数是乙团队加工12件的工作天数的2倍． (1)分别求甲、乙两个团队每天加工马面裙的件数； (2)现有一份加工60件马面裙的订单，该工坊计划完成该订单的总工作时长不超过14天（总工作时长=甲团队的工作天数+乙团队的工作天数），试问：甲团队至少需要工作多少天？ 【答案】(1)甲团队每天加工件马面裙，乙团队每天加工件马面裙 (2)甲团队至少需要工作天 【分析】（1）设乙团队每天加工件马面裙，甲每天加工件马面裙，根据甲团队加工30件的工作天数是乙团队加工12件的工作天数的2倍列方程，解方程即可求解； （2）设甲团队需要工作天，根据马面裙件数和计划完成该订单的总工作时长不超过14天，列不等式即可求解． 【详解】（1）解：设乙团队每天加工件马面裙，甲每天加工件马面裙， 由题意列方程，得， 解方程得，， 经检验，当时，， ∴是原方程的解， 答：甲团队每天加工件马面裙，乙团队每天加工件马面裙； （2）解：设甲团队需要工作天， 由题意得，， 解不等式得，， 答：甲团队至少需要工作天． 18．智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一．某品牌苹果采摘机器人的机械手能自动对成熟的苹果进行采摘，一个机器人可以搭载多个机械手同时工作．已知工人平均可以采摘一个苹果，一个机械手平均可以采摘一个苹果．根据这些数据回答下列问题： (1)该机器人搭载了个机械手与1个工人同时工作400秒，机器人比工人多采摘120个苹果，求该机器人搭载的机械手数量； (2)在（1）的条件下，现需要25200个苹果发往外地，采摘工作由20个工人和6个机器人共同完成．那么至少需要同时工作多长时间，才能完成采摘任务？ 【答案】(1)该机器人搭载了4个机械手 (2)至少需要同时工作3600秒，才能完成采摘任务 【分析】（1）由题意得，该机器人搭载了个机械手，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解； （2）设需要同时工作秒，才能完成采摘任务，根据题意列出一元一次不等式，解不等式求得最小整数解，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，该机器人搭载了个机械手， ， 解得， 答：该机器人搭载了4个机械手． （2）解：设需要同时工作秒，才能完成采摘任务， ， 解得：， 答：至少需要同时工作3600秒，才能完成采摘任务． 19．某工程队承接一项隧道工程，在挖掘一条520米长的隧道时，为了尽快完成，实际施工时每天挖掘的长度是原计划的1.5倍，结果提前了30天完成了其中360米的隧道挖掘任务． (1)求实际每天挖掘多少米？ (2)由于气候等原因，需要进一步缩短工期，要求完成整条隧道不超过80天，那么为了完成剩下的任务，在实际每天挖掘长度的基础上，至少每天还应多挖掘多少米？ 【答案】(1)实际每天挖掘6米 (2)至少每天应多挖掘2米 【分析】此题主要考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式的应用，在工程问题中，工作量=工作效率×工作时间．在列分式方程解应用题的时候，也要注意进行检验． （1）设原计划每天挖掘x米，则实际每天挖掘米，根据结果提前了30天完成了其中360米的隧道挖掘任务，列方程求解； （2）设每天还应多挖掘m米．根据完成该项工程的工期不超过80天，列不等式进行分析． 【详解】（1）解：设计划每天挖掘米，根据题意，得 ，， 解得． 经检验是原方程的根． 实际每天挖掘为米． 答：实际每天挖掘6米． （2）解：设每天应多挖掘米，根据题意得， 解得． 答：至少每天应多挖掘2米． 20．甲、乙两个工程队共同承担一项筑路任务，甲队单独施工完成此项任务比乙队单独施工完成此项任务多用10天．且甲队单独施工15天和乙队单独施工10天的工作量相同． (1)甲、乙两队单独完成此项任务各需多少天？ (2)若甲、乙两队共同工作了3天后，乙队因设备检修停止施工，由甲队单独继续施工，为了不影响工程进度．甲队的工作效率提高到原来的2倍，要使甲队总的工作量不少于乙队的工作量的2倍，那么甲队至少单独施工多少天？ 【答案】(1)甲：天，乙：天 (2)天 【分析】本题考查了分式方程，一元一次不等式的应用； （1）设甲队单独完成此项任务需天，则乙队单独完成此项任务需天，根据“甲队单独施15天和乙队单独施工10天的工作量相同” 列方程即可． （2）设甲队再单独施工天，结合（1）的解和甲队总的工作量不少于乙队的工作量的2倍，列不等式求解． 【详解】（1）解：设甲队单独完成此项任务需天． ， 解得，， 经检验是原方程的解． 乙：（天）． 答：甲队单独完成此项任务需天，乙队单独完成此项任务需天； （2）设，甲队单独施工天， ， 解得，， ∴的最小值为3， 答：甲队至少单独施工3天． ◆【题型 6】行程不等问题 21．不忘初心，夷陵志愿者在行动．每年的12月5日是国际志愿者日，这一天，某志愿者步行到离家1000米的社区去开展服务工作，到社区后发现服务用具不够，于是他立即按原路步行回家，拿到用具后立即按原路骑自行车返回社区．已知该志愿者步行从社区到家所用的时间比他骑自行车从家到社区所用的时间多10分钟，该志愿者骑自行车速度是步行速度的倍． (1)求该志愿者步行速度（单位：米/分）是多少？ (2)下午结束后，该志愿者骑自行车回到家，然后步行去图书馆，如果该志愿者骑自行车和步行的速度不变，该志愿者步行从家到图书馆的时间不超过骑自行车从社区到家时间的3倍，那么该志愿者家与图书馆之间的路程最多是多少米？ 【答案】(1)步行的速度为米/分 (2)该志愿者家与图书馆之间的路程最多是米 【分析】本题主要考查分式方程，一元一次不等式的运用，理解数量关系正确列式求解是关键． （1）设步行速度为米/分，则骑自行车的速度为米/分，由题意的数量关系列分式方程求解即可； （2）步行的速度为米/分，骑自行车的速度为米/分，志愿者骑车从社区到家的时间为（分钟），设从家到图书馆的距离为米，由此列不等式求解即可． 【详解】（1）解：某志愿者步行到离家米的社区去开展服务工作，即总路程为米，该志愿者骑自行车速度是步行速度的倍， 设步行速度为米/分，则骑自行车的速度为米/分， ∵该志愿者步行从社区到家所用的时间比他骑自行车从家到社区所用的时间多10分钟， ∴， 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义， ∴步行的速度为米/分； （2）解：步行的速度为米/分， ∴骑自行车的速度为米/分， ∴该志愿者骑车从社区到家的时间为（分钟）， 设从家到图书馆的距离为米， ∴， 解得，， ∴该志愿者家与图书馆之间的路程最多是米． 22．随着无人机技术的不断进步，某地开通了无人机急救药品配送通道，无人机从物流基地出发，匀速飞往某医院，飞行距离为16千米．若采用传统车辆匀速配送，公路距离为30千米，速度是无人机的1.5倍，但所用时间要比无人机配送多6分钟． (1)求无人机和传统车辆的配送速度分别是多少千米/时； (2)若无人机从物流基地出发前往该医院配送急救药品，10分钟后接到医院通知，急救药品需要在8分钟以内（含8分钟）送达，则无人机的速度至少要提到多少千米/时，才能完成此次配送任务． 【答案】(1)无人机的配送速度为40千米/时，传统车辆的配送速度为60千米/时 (2)无人机的速度至少提高到70千米/时 【分析】（1）设无人机的速度为千米/时，则传统车辆的速度为千米/时，根据传统车辆匀速配送所用时间要比无人机配送多6分钟，列分式方程即可求解； （2）根据前10分钟无人机的行程+提速后8分钟的行程大于等于16千米列不等式即可解答. 本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式应用，解题关键是理解题意，根据数量关系列方程或不等式. 【详解】（1）解：设无人机的速度为千米/时，则传统车辆的速度为千米/时， 由题意得， 解得， 经检验，是原分式方程的根， 答：无人机的配送速度为40千米/时，传统车辆的配送速度为60千米/时． （2）设无人机的速度提高到千米/时，则 答：无人机的速度至少提高到70千米/时， 23．某采石场爆破时，点燃导火线的甲工人要在爆破前转移到400m以外的安全区域．甲工人在转移过程中，前40m只能步行，之后骑自行车．已知导火线燃烧的速度为，甲工人步行的速度为，骑车的速度为．为了确保甲工人的安全，则导火线的长度要大于多少米？ 【答案】导火线的长要大于1.3米 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，由导火线燃烧时间要大于甲工人转移的时间列不等式，解不等式即可． 【详解】解：设导火线需要米才能保证甲工人的安全． 由题意得，， 解得， 所以导火线的长要大于1.3米． 24．受北京冬奥会影响，小明爱上了滑雪运动．一天，小明在成都热雪奇迹滑雪场训练滑雪，他从中级赛道顶端匀速滑到终点，第一次用了40秒；第二次比第一次速度提高了1米/秒，用了32秒． (1)问小明第一次训练速度是多少米/秒？从中级赛道顶端到终点的路程是多少米？ (2)若要使所用时间小于20秒，则滑行速度应大于多少米/秒？ 【答案】(1)小明第一次训练速度是4米/秒，从中级赛道顶端到终点的路程是160米 (2)滑行速度应大于8米/秒 【分析】本题主要考查二元一次方程和不等式的应用， 根据路程等于速度和时间的乘积，列出方程求解即可； 结合速度等于路程除以时间列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设从中级赛道顶端到终点的路程是x米， 第一次训练速度是v米/秒，则 ，解得， 答：小明第一次训练速度是4米/秒，从中级赛道顶端到终点的路程是160米． （2）根据题意可得，解得， 答：滑行速度应大于8米/秒． ◆【题型 7】几何中的不等式应用 25．小刚准备用一段长50米的篱笆围成一个三角形形状的场地，用于饲养鸡．已知第一条边长为米，由于条件限制，第二条边长只能比第一条边长的3倍少2米． (1)第一条边长能否为10米？为什么？ (2)求的取值范围． 【答案】(1)不能．理由见解析 (2)的取值范围是 【分析】（1）先表示出第二条边长，即可得出第三条边长，当时，三边长分别为10，28，12，根据三角形三边关系即可作出判断； （2）根据第一条边长最短以及三角形的三边关系列出不等式组，即可求出m的取值范围． 【详解】（1）不能．理由如下： 由题意得：第一条边长为m米，则第二条边长为米，第三条边长为米， 若第一条边长为10米，则第二条边长为28米，第三条边长为12米， 而，不符合三角形两边的和大于第三边， 不能构成三角形． 第一条边长不能为10米． （2）由题意，知三角形的三边长分别为米，米，米， 则解得． 由三角形两边的和大于第三边，得， 解得． 故的取值范围是． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，在解题时根据三角形的三边关系，列出不等式组是本题的关键． 26．茶文化是中华民族传统文化的重要组成部分，也是中国文化的瑰宝之一．茶叶种植大户王伯伯参加了茗茶品鉴交流会后，准备在茶园里用篱笆围成一块长方形的区域来培育新品种的茶叶，现有长度为的篱笆，若要求该长方形区域的宽比长少，且篱笆材料需要够用，则长方形区域的长最大为多少米？ 【答案】长方形区域的长最大为 【分析】设长方形区域的长为，则宽为，根据题意，列出不等式组，即可求解． 【详解】解：设长方形区域的长为，则宽为，    根据题意，得：， 解得， 答：长方形区域的长最大为． 27．农场利用一面墙，用50m的护栏围成一块如图所示的长方形花园，设花园的长为，宽为．    (1)若a比b大5，求a的值； (2)若受场地条件的限制，b的取值范围为，求a的取值范围． 【答案】(1)20 (2) 【分析】（1）根据周长是定值，长与宽的差是定值，列方程组计算即可． （2）根据周长是定值，用a表示b，结合b的取值范围，构造不等式组计算即可． 【详解】（1）根据题意得， 解得， ∴a的值为20． （2）∵， ∴， ∵， ∴， 解得. ∴a的取值范围为． 【点睛】本题考查了方程组的应用，不等式组的应用，熟练掌握方程组，不等式组的解法是解题的关键． 28．根据以下素材，解决问题． 设计拍照打卡板 素材一 小聪为学校设计拍照打卡板（如图1），其平面设计图（如图2）．该打卡板是轴对称图形，由长方形和等腰组成，且，，，四点在同一条直线上．其中，点A到的距离为1.2米，米，米． 素材二 因考虑牢固耐用，小聪计划选用甲、乙两种材料分别制作长方形与等腰（两种图形无缝隙拼接），且甲材料的单价为85元/平方米，乙材料的单价为100元/平方米． (1)若，求证：最高点到地面的距离就是线段的长； (2)小聪发现他设计的方案中，制作拍照打卡板的总费用不超过180元，请你确定长度的最大值． 【答案】(1) 证明：如图：过点作于点， ． 四边形是长方形， ， ， 在与中， ， ， ． 最高点到地面的距离就是线段长； (2)长度的最大值为0.25米 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，一元一次不等式的实际应用、轴对称图形性质，理解题意，灵活运用全等三角形的判定及性质，不等式的实际应用是解决本题的关键． （1）过点B作于点H，可证得，据此即可判定； （2）设米，可得米，点A到的距离为1.2米，由总费用不超过85元列不等式，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：该打卡板是轴对称图形，四边形是长方形， 设米，则米． 又点A到的距离为1.2米，即的边上的高为1.2米， 三角形的面积平方米． 又长方形的面积为：（平方米）， ∵总费用不超过180元， ∴． 解得， 故长度的最大值为0.25米． ◆【题型 8】最值决策应用题 29．商场购进甲、乙两种保温杯，已知4个甲保温杯、2个乙保温杯共220元；2个甲、3个乙共130元． (1)求甲、乙保温杯单价； (2)计划采购共50个，总预算不低于1180元，甲至少购进多少个？ 【答案】(1)甲50元，乙10元 (2)17个 【分析】（1）设甲单价x元，乙y元，根据“4个甲保温杯、2个乙保温杯共220元；2个甲、3个乙共130元”列方程组求解即可； （2）设购进甲a个，则乙个，根据“总预算不低于1180元”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设甲单价x元，乙y元， ， 解得， 答：甲50元，乙10元； （2）解：设购进甲a个，则乙个 答：甲至少购进17个． 30．自主研发和创新让我国的科技快速发展，“中国智造”正引领世界潮流．某科技公司计划投入一笔资金用来购买A、B两种型号的芯片．已知购买1颗A型芯片和2颗B型芯片共需要750元，购买2颗A型芯片和3颗B型芯片共需要1300元． (1)求购买1颗A型芯片和1颗B型芯片各需要多少元； (2)若该公司计划购买A、B两种型号的芯片共8000颗，其中购买A型芯片的数量不少于B型芯片数量的3倍． ①求该公司至少购买多少颗A型芯片； ②请直接写出购买A型芯片最少时，该公司购买这些芯片需花费多少元． 【答案】(1)购买1颗A型芯片需要350元，购买1颗B型芯片需要200元 (2)①该公司至少购买6000颗A型芯片；②2500000元 【分析】（1）设A、B型芯片单价分别为元，根据题意列方程组求解． （2）①设购买A型颗，则B型颗，由“A型不少于B型的3倍”列不等式求解． ②由①知，取时A型芯片最少，代入计算得2500000元． 【详解】（1）解：设购买1颗A型芯片需要元，1颗B型芯片需要元． 根据题意列方程组： ，解得， 答：购买1颗A型芯片需要350元，1颗B型芯片需要200元． （2）解：①设购买A型芯片颗，则购买B型芯片颗． 根据题意，A型数量不少于B型数量的3倍：， 解得， 答：该公司至少购买6000颗A型芯片． ②由①得，当购买A型芯片最少时，，B型芯片数量为颗． 总花费为：． 31．列方程（或不等式）解决下列问题： 膳食中心为学生提供一款重量为克的营养早餐（包含一个克的鸡蛋、一盒牛奶、一块杂粮面包）．据测算，每克食物所含的部分营养物质如下表： 能量/千卡 蛋白质/克 鸡蛋 牛奶 杂粮面包 (1)若这份营养早餐的蛋白质总含量为克，请问这份早餐中牛奶和杂粮面包分别有多少克? (2)一名体重指数偏瘦的学生要求早餐摄入的能量至少为千卡，请问这份早餐中牛奶的含量最多为多少克? 【答案】(1)这份营养早餐中牛奶有克，杂粮面包克 (2)这份早餐中牛奶的含量最多为克 【分析】（1）根据早餐总重克建立重量等量关系，结合鸡蛋、牛奶、杂粮面包每百克蛋白质含量，列出蛋白质总含量的等式，联立二元一次方程组求解牛奶、杂粮面包重量； （2）先表示出杂粮面包的重量，再结合鸡蛋、牛奶、杂粮面包每百克能量数值，根据早餐总能量不低于千卡列出一元一次不等式，求解得到牛奶重量的最大值． 【详解】（1）解：设这份营养早餐中牛奶有克，杂粮面包克， 则：， 解得， 答：这份营养早餐中牛奶有克，杂粮面包克； （2）解：设这份营养早餐中牛奶有克， 则：， 解得， 答：这份早餐中牛奶的含量最多为200克． 32．随着人工智能技术的不断进步，机器人在操作方面的应用变得日益广泛．某快递公司使用机器人进行包裹分拣，若甲机器人工作1小时，乙机器人工作2小时，一共可以分拣1100件包裹；若甲机器人工作2小时，乙机器人工作3小时，一共可以分拣1800件包裹． (1)求甲、乙两台机器人每小时各分拣多少件包裹； (2)该快递公司计划让甲、乙两台机器人一共工作15小时，总分拣包裹数量不少于5200件，乙机器人至少工作几小时？ 【答案】(1)甲、乙两台机器人每小时各分拣300件、400件包裹 (2)乙机器人至少工作7小时 【分析】（1）设甲、乙两台机器人每小时各分拣件包裹，再列方程组求解； （2）设乙机器人工作小时，则甲机器人工作小时，然后结合题意列不等式求解． 【详解】（1）解：设甲、乙两台机器人每小时各分拣件包裹， 则，解得， 答：甲、乙两台机器人每小时各分拣300件、400件包裹； （2）解：设乙机器人工作小时，则甲机器人工作小时， 则总分拣包裹， ，解得， 答：乙机器人至少工作7小时． 综合攻坚·知能拔高 1．为有效开展课后延时服务特色课程，某校计划购买葫芦丝和口风琴给同学们活动使用，如果该校购买葫芦丝和口风琴共46个，且购买葫芦丝的数量不低于口风琴数量的1.5倍，求该校最多可购买多少个口风琴？ 【答案】该校最多可购买18个口风琴 【详解】解：设该校购买x个口风琴，则购买个葫芦丝，根据题意得， ， 解得， 又∵x为正整数， ∴x的最大值为18， 答：该校最多可购买18个口风琴． 2．有人问一位数学老师，他所教的班级有多少学生，这位老师风趣地说：“现在正是兴趣小组活动的时间，我班一半的学生在学数学，四分之一的学生在学音乐，七分之一的学生在读英语，还剩不足6位同学在操场上打篮球”．那么该班共有多少名学生？ 【答案】该班共有28名学生 【分析】设该班共有名学生，根据题意列一元一次不等式，再根据x是2，4，7的公倍数，即可解答． 【详解】解：设该班共有名学生， 根据题意可得， 解得， 为正整数， ， ∵学数学、学音乐、读英语的人数都必须是正整数， ∴x是2，4，7的公倍数， 0到56之间，2，4，7的公倍数只有28， 因此， 答：该班共有28名学生． 3．2026年6月，由国家卫生健康委等16个部门启动的“体重管理年”活动迎来两周年，为响应全民健身的号召，某健身器材专卖店推出两种优惠方案（规定只能选择其中一种）： 方案一：所购商品按原价打八折． 方案二：若所购商品原价超过80元，可以使用80元代金券． 设顾客购买的健身器材原价为元． (1)若顾客选择方案一，共花费________元；若顾客选择方案二，需要花费________元； (2)对于方案一和方案二两种不同的优惠方案，顾客怎样选择花费较少？ 【答案】(1)； (2)商品原价大于元时，顾客选择方案一花费较少；商品原价元时，顾客选择方案一和方案二的花费相同；商品原价小于元时，顾客选择方案二花费较少 【详解】（1）解：顾客选择方案一，共花费元， 顾客选择方案二，需要花费元； （2）解：当，即时，方案一花费小于方案二花费； 当，即时，方案一花费与方案二花费相同； 当，即时，方案一花费大于方案二花费； 故商品原价大于元时，顾客选择方案一花费较少；商品原价元时，顾客选择方案一和方案二的花费相同；商品原价小于元时，顾客选择方案二花费较少． 4．某市居民用电的电价实行阶梯收费，收费标准如下表： 一户居民每月电量（单位：度） 电费价格（单位：元/度） 0.48 0.53 0.78 七月份是用电高峰期，李叔计划七月份电费支出不超过200元，求李叔家七月份最多可用电的度数． 【答案】李叔家七月份最多可用电396度 【分析】设李叔家七月份用电x度，列不等式并解不等式求出x的范围，再根据李叔计划七月份电费支出不超过200元列不等式并解不等式即可得到答案． 【详解】解：设李叔家七月份用电x度， ∵（元），， ∴． 根据题意得：， 解得：， 又∵x为整数， ∴x的最大值为396． 答：李叔家七月份最多可用电396度． 5．某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板，做成如图乙所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒． (1)现有正方形纸板161张，长方形纸板340张供选用，若要做两种纸盒共100个，设做竖式纸盒个． ①根据题意，完成表格： 纸盒纸板 竖式纸盒（个） 横式纸盒（个） 需正方形纸板（张） 需长方形纸板（张） ②按两种纸盒的生产个数来分，有哪几种生产方案？ (2)若每个竖式纸盒获利2元，横式纸盒获利3元，求上述哪种方案销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)① 纸盒纸板 竖式纸盒 （个） 横式纸盒 （个） 需正方形纸板（张） 需长方形纸板（张） ②有2种方案：①生产竖式纸盒39个，横式纸盒61个；②生产竖式纸盒40个，横式纸盒60个 (2)方案①销售利润最大，最大利润是261元 【分析】（1）①观察图形得到一个竖式纸盒需一个正方形纸板，一个横式纸盒需三个长方形纸板，所以竖式纸盒需要的正方形纸板数是其本身的一倍，横式纸盒需要的长方形纸板数是其本身的三倍，根据这个标准便可填空．②将填表结果与题干信息结合，列出不等式，求出x的具体范围，再结合x所含有的实际意义进行取值，根据取值结果的不同便有不同种的生产方案． （2）根据②的结果分别计算每一个方案的利润进行比较即可． 【详解】（1）解：①∵一个竖式纸盒需一个正方形纸板，一个横式纸盒需三个长方形纸板， ∴x个竖式纸盒需x个正方形纸板，个横式纸盒需个长方形纸板． ②由题意有，解得， ∵x为正整数， ∴或， ∴有2种方案：①生产竖式纸盒39个，横式纸盒61个；②生产竖式纸盒40个，横式纸盒60个． （2）解：方案①利润为：（元）， 方案②利润为：（元）， ∵， ∴方案①销售利润最大，最大利润是261元． 6．某文体中心提供阅读、观影、球类、游泳、器械等多种文体活动，现有两种收费方式（注：不足一个小时的按一小时计算）： 收费方式 详细介绍 会员卡 办卡费180元/月，每小时收费4元 普通卡 无办卡费，每小时收费6元 设小明8月去文体中心活动的总时间为小时（为整数）． (1)若小明选择会员卡的收费方式，需要花费______元；若小明选择普通卡的收费方式，需要花费______元； (2)对于会员卡和普通卡两种不同的收费方式，小明怎样选择花费较少？ 【答案】(1)； (2)当时，小明办普通卡更划算；当时，小明办普通卡或会员卡所需费用相同；当时，小明办会员卡更划算． 【分析】（1）根据收费方式，列出代数式即可； （2）分，及三种情况，可求出的取值范围或的值，进而可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意， 若小明选择会员卡的收费方式，需要花费元； 若小明选择普通卡的收费方式，需要花费元； （2）解：若，解得， 即当时，小明办普通卡更划算； 若，解得， 即当时，小明办普通卡或会员卡所需费用相同； 若，解得， 即当时，小明办会员卡更划算． 答：当时，小明办普通卡更划算；当时，小明办普通卡或会员卡所需费用相同；当时，小明办会员卡更划算． 7．今年夏天，某地区遭受罕见的水灾，“水灾无情人有情”，某单位给该地区某中学捐献一批饮用水和蔬菜共320件，其中饮用水比蔬菜多80件． (1)求饮用水和蔬菜各有多少件？ (2)现计划租用甲、乙两种型号的货车共8辆，一次性将这批饮用水和蔬菜全部运往受灾地区某中学，已知每辆甲型货车最多可装饮用水40件和蔬菜10件，每辆乙型货车最多可装饮用水和蔬菜各20件，如果甲型货车每辆需付运费400元，乙型货车每辆需付运费360元，某单位应如何安排甲型，乙型货车使运费最少？最少运费是多少？ 【答案】(1)饮用水和蔬菜分别为200件和120件； (2)应选择甲型货车2辆，乙型货车6辆，可使运费最少，最少运费是2960元 【分析】（1）设饮用水有x件，则蔬菜有件，根据题意列方程求解即可； （2）设租用甲型货车m辆，则租用乙型货车辆，根据题意列不等式组，求出整数解得到不同方案，再计算不同方案所需的运费，比较后确定方案即可． 【详解】（1）解：设饮用水有x件，则蔬菜有件． 由题意，得， 解得． ∴． 答：饮用水和蔬菜分别为200件和120件； （2）解：设租用甲型货车m辆，则租用乙型货车辆． 由题意，得， 解得． ∵m为正整数， ∴或3或4， ∴安排甲、乙两种型号货车时有3种方案，分别为： ①甲型货车2辆，乙型货车6辆； ②甲型货车3辆，乙型货车5辆； ③甲型货车4辆，乙型货车4辆； 3种方案的运费分别为： ①（元）； ②（元）； ③（元）； ∵， ∴方案①运费最少，最少运费是2960元． 答：应选择甲型货车2辆，乙型货车6辆，可使运费最少，最少运费是2960元． 8．如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为，整个接水的过程不计热量损失． 阅读并结合以上信息，解决下列问题： (1)甲同学先接温水，再接开水，得到一杯的水，如果接水的总时长是，求甲同学分别接温水和开水所用的时间； (2)乙同学先接的开水，再接的温水，如果要使最后杯中水的体积大于而不多于，应接多长时间的开水？（接水时间取整秒数） 【答案】(1)甲同学接温水的时间为，接开水的时间为； (2)应接或的开水 【分析】（1）设甲同学接温水的时间为，接开水的时间为，根据接水得到一杯的水建立方程组求解即可； （2）根据最后杯中水的体积大于而不多于建立不等式组求出a的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：设甲同学接温水的时间为，接开水的时间为， 由题意得，， 解得， 答：甲同学接温水的时间为，接开水的时间为； （2）解：由题意得，， 解得， ∵a为整数， ∴a的值为11或12， 答：应接或的开水． 9．为了更好治理河流水质，保护环境，某市治污公司决定购买10台污水处理设备，现有，两种型号的设备，其中每台的价格，月处理污水量如表： 型 型 价格（万元/台） a b 处理污水量（吨/月） 220 180 经调查：购买一台型设备比购买一台型设备多3万元，购买2台型设备比购买3台型设备少3万元． (1)求a，b的值； (2)经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过100万元，且每月要求处理的污水量不低于1880吨，你认为该公司有哪几种购买方案，并计算最省钱方案的费用． 【答案】(1)， (2)共有2种购买方案，分别为购买型设备台，则购买型设备台；购买型设备台，则购买型设备台；最省钱的购买方案是购买型设备台，则购买型设备台 【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设购买型设备台，则购买型设备台，列出一元一次不等式组，求出的取值范围，根据实际情况，共有两种购买方案，分别计算即可． 【详解】（1）根据题意可得方程组， 解得：． （2）设购买型设备台，则购买型设备台， 根据题意得：， 解得：， 为整数， 可以取或， 共有两种购买方案： 方案一：购买型设备台，则购买型设备台， 费用为：（万元）；     方案二：购买型设备台，则购买型设备台， 费用为：（万元）； ， 购买型设备台，则购买型设备台最省钱． 10．我国绝大多数城市推行阶梯水价，其目的是通过“多用多付”的价格机制，直接激励节水，最终服务于水资源可持续利用与国家水安全的长远目标．居民生活用水通常按户计费，原则上以年为计量周期，重庆市开州区居民生活用水收费标准（户内人口不超过4人）如下： 第一阶梯2.5元/立方米（每户每年水量）； 第二阶梯3.50元/立方米（每户每年水量）； 第三阶梯5元/立方米（每户每年水量）． (1)王瀚与李诺家庭的居民户内人口都为3人，王瀚家庭年用水量在第一阶梯，李诺家庭年用水量在第二阶梯，两个家庭年用水量共，年用水费共1405元，请求出王瀚与李诺家庭的年用水量分别是多少； (2)刘莎家庭的居民户内人口为4人，2025年全年水费不少于1000元，请列不等式求出刘莎家庭2025年用水量至少为多少． 【答案】(1)王瀚家庭年用水量为，李诺家庭年用水量为. (2)刘莎家庭2025年用水量至少为. 【分析】（1）设王瀚家用水量为（第一阶梯：），则李诺家用水量为 （第二阶梯：）．水费规则：王瀚家水费：，李诺家水费：，两家水费相加等于总水费1405元，列一元一次方程求解； （2）用水水费：；用水水费：， 对比1000元，判断用水量超过，设用水量为，列水费不等式求解最小值． 【详解】（1）解：设王瀚家庭年用水量为，则李诺家庭年用水量为． 由题意：，． 李诺家处于第二阶梯，水费计算： ， 两家总水费方程： ， 解得， 李诺家用水量：， 所以王瀚家庭年用水量，李诺家庭年用水量． （2）解：水费：元， 水费：元， ， 说明用水量， 超出部分按5元计费． 全年水费不等式： ， 解得 所以刘莎家庭2025年用水量至少为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元一次不等式（组）实际应用八大题型 常考题型·精准突破 【题型 1】分配类应用题（有余、不足） 【题型 2】方案选择问题 【题型 3】销售利润最值问题 【题型 4】计费方案对比问题 【题型 5】工程类不等式应用题 【题型 6】行程不等问题 【题型 7】几何中的不等式应用 【题型 8】最值决策应用题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆【题型 1】分配类应用题（有余、不足） 1．儿童节前夕，老师购买了若干套学习用品送给小朋友作为节日礼物．如果每班分到套，那么余套；如果前面的班级每个班分套，那么最后一个班级分到了礼物，但不足套．问：有多少个班级？学习用品有几套？ 2．为筹备元旦联欢会，张老师想在网上商城购买巧克力分发给全班同学．他购买了5包颗数相同的巧克力，计划每人分20颗，这样会剩余80颗．后来因为网店存货不足，所以少买了2包，于是改成每人分14颗，当分到最后一名同学时，发现只有这名同学拿不到14颗，但是至少拿到7颗．全班至少有多少人？至多有多少人？ 3．登山前，登山者要将矿泉水分装在旅行包内带上山．若每人2瓶，则剩余3瓶，若每人带3瓶，则有一人所带矿泉水不足2瓶．求登山人数及矿泉水的瓶数． 4．成都上轮疫情期间某小区封闭管理期间，小区内的党员同志在基层党组织的组织领导下组建了党员志愿者队伍，这些志愿者被派分到小区内n个志愿者服务点．若每个服务点安排3位志愿者，会有13位志愿者没有被分配；若每个服务点安排5位志愿者，那么最后一个服务点虽有志愿者，但人数尚不足4人． (1)请用含n的式子表示该小区党员志愿者队伍共有志愿者______人； (2)求该小区共有几个志愿者服务点？有党员志愿者多少人？[列不等式（组）解决问题] ◆【题型 2】方案选择问题 5．随着人工智能的迅猛发展，某艺术公司计划投入一笔资金购进甲、乙两种跳舞机器人给明星伴舞，已知购进2个甲种机器人和1个乙种机器人共需3.5万元；购进1个甲种机器人和3个乙种机器人共需3万元． (1)求购进1个甲种机器人和1个乙种机器人各需多少万元？ (2)若该公司购进甲、乙两种机器人共10个，其中甲种机器人的数量不少于乙种机器人数量的2倍，且投入资金不超过14万元，则有哪几种购买方案？哪种方案花费最少？ 6．为美化校园环境，设计师构思了A、B两种景观造型．已知搭配一个A种造型需甲种花卉8盆，乙种花卉4盆；搭配一个B种造型需甲种花卉5盆，乙种花卉9盆． (1)现将180盆甲种花卉，220盆乙种花卉全部用于搭配A、B造型，恰好可以搭配A、B两种造型各多少个？ (2)某园林公司准备用现有的225盆甲种花卉和155盆乙种花卉搭配A，B两种景观造型共30个，请问符合题意的搭配方案有几种？并列举出来． 7．请你根据下列素材，完成有关任务. 背景 某班班委会决定组织同学到体育用品专卖店统一购买体育运动跑鞋，以供同学们课外活动使用． 素材一 A型运动跑鞋比B型运动跑鞋每双的单价多20元； 素材二 购买2双A型与3双B型运动跑鞋共需费用640元； 素材三 该班委会通过调研确定A型和B型运动跑鞋共需购买50双，且购买A型运动跑鞋的数量少于30双，购买B型运动跑鞋的数量不超过购买A型运动跑鞋的． 素材四 体育用品专卖店给出了优惠活动：一次购买A型运动跑鞋不超过15双不优惠，超过15双后，超过的部分每双按单价打七五折；一次购买B型运动跑鞋不超过20双不优惠，超过20双后，超过的部分每双按单价打八折． 素材五 购买A型和B型运动跑鞋的总费用不超过6012元． 请完成下列任务： (1)任务一：A型、B型运动跑鞋的单价分别是多少元？ (2)任务二：若购买了m双A型运动跑鞋，用含m的代数式表示总费用； (3)任务三：有哪几种购买方案？ 8．根据下面素材，解决实际问题． 题目主题 如何设计购买方案？ 素材1 七年级某班为校运动会采购饮品，计划在超市购买甲、乙两种品牌的运动饮料．若购买10瓶甲品牌饮料、15瓶乙品牌饮料，共需花费180元；若购买15瓶甲品牌饮料、10瓶乙品牌饮料，共需花费170元． 素材2 班级采购预算为120元，需同时购买甲、乙两种品牌的饮料（两种都买），且预算恰好全部用完． 问题解决 (1)求甲、乙两种品牌运动饮料每瓶各是多少元？ (2)请问共有哪几种符合条件的购买方案？ ◆【题型 3】销售利润最值问题 9．某网店销售甲、乙两种遮阳帽，进价和售价格如表所示． 名称 甲种遮阳帽 乙种遮阳帽 进价（元/顶） 30 15 售价（元/顶） 40 20 根据上面提供的信息，解答下列问题． (1)根据消费者需求，该网店决定用不超过2280元购进甲、乙两种遮阳帽共100顶，且甲种遮阳帽的数量超过乙种遮阳帽的数量，则购进甲、乙两种遮阳帽有多少种进货方案？ (2)在（1）的条件下，哪种进货方案可使获利最大？最大利润是多少元？ 10．地摊经济增加了城市的烟火气，从而让城市变得更加生动和有趣．某个体户准备购买A，B两款T恤共50套摆地摊销售，预计投资不少于1800元，但不超过1830元，T恤的进价和售价如下表： A B 进价（元/件） 40 30 售价（元/件） 55 40 (1)该个体户有几种购买T恤的方案？请分别列出来； (2)该个体户能够获得的最大利润是多少？ (3)若将每套A款T恤的售价降低a元（），且所有T恤都可以售完，要使（1）中所有方案获利相同，则a的值为多少？ 11．在当今数字化时代，人工智能技术正以前所未有的速度发展，成为推动各行业变革的关键力量．其中，深度学习作为人工智能的核心领域之一，依赖于强大的计算能力来训练复杂的模型．为了提升AI模型训练效率，某实验室需采购两种类型的GPU卡∶甲型(高性能)和乙型(节能型)．已知购买10块甲型GPU和5块乙型GPU需200万元；购买15块甲型GPU和10块乙型GPU需325万元． (1)甲型、乙型GPU单价各是多少万元？ (2)若预算为1000万元，且甲型数量不低于乙型的5倍且不超过乙型的16倍，有几种采购方案？ (3)若售出甲型每块利润为5万元，乙型为4万元，在（2）的条件下，实验室如何采购商家获得利润最大？最大利润是多少？ 12．围绕“建设国家级现代农业产业示范园区”总体目标，云南某县引进多种口感好的橙子品种，助推乡村振兴．某超市看好甲、乙两种橙子的市场价值，经调查甲种橙子进价每千克元，售价每千克元；乙种橙子进价每千克元，售价每千克元． (1)该超市购进甲种橙子千克和乙种橙子千克需要元；购进甲种橙子千克和乙种橙子千克需要元，求、的值； (2)超市决定每天购进甲、乙两种橙子共千克两种橙子的数量都是整数，且投入资金不少于元又不超过元，该超市有哪几种购买方案？哪种方案获得的利润最大，最大利润是多少元？ ◆【题型 4】计费方案对比问题 13．某学习兴趣小组在数学课上进行了项目化学习研究，研究如下： 【提出驱动性问题】商品优惠问题． 【设计实践性任务】选择“素材1”“素材2”设计了“问题1”“问题2”的实践活动． 探究商品优惠问题 素材 素材1 A，B两商场以同样的价格出售篮球运动服和篮球两种商品，已知套篮球运动服比个篮球贵元，套篮球运动服比个篮球贵元． 素材2 为了促销，A，B两商场推出优惠活动： A商场：每购买满套篮球运动服，送一个篮球． B商场：原价购买篮球运动服，篮球的价格打八折． 请根据以上提供的信息，帮学习兴趣小组解决问题． (1)求一个篮球和一套篮球运动服的价格． (2)若需要购买篮球个，篮球运动服套．学习兴趣小组通过调查发现，A，B两家商场在促销两种商品的优惠活动中，因购买篮球的数量不同，花费的费用也不同，请帮学习兴趣小组提出一个比较划算的购买方案． 14．某健身俱乐部，每次健身费用25元，寒假将至，特面向大学生推出寒假优惠活动，活动方案如下： 方案一：购买一张学生假期专享卡30元，每次健身费用打六折； 方案二：不购买学生假期专享卡，每次健身费用打八折． (1)设某学生假期健身（次），按照方案一所需费用为_______元；按照方案二所需费用为_______元；（用含的代数式表示） (2)小华计划寒假前往该俱乐部健身8次，应选择哪种方案所需费用更少？说明理由； (3)请直接写出：学生在什么情况下选择方案二更划算． 15．用A4纸复印文件，在甲复印店不管一次复印多少页，每页收费0.1元，在乙复印店复印同样的文件，一次复印页数不超过20页时，每页收费0.12元；一次复印超过20页时，超过部分每页收费0.09元． (1)根据题意，填写下表： 次复印页数（页） 5 10 20 30 … 甲复印店收费（元） 0.5 ______ 2 ______ … 乙复印店收费（元） 0.6 ______ 2.4 ______ … (2)设在同一家复印店一次复印文件的页数为x（x为非负整数），则x为多少时，两家复印店的收费相同（请你列出方程，求出x的值）？ (3)当复印页数超过20页时，由此可推算什么情况下选择甲复印店划算？什么情况下选择乙复印店划算？ 16．某文体中心提供阅读、观影、球类、游泳、器械等多种文体活动，现有两种收费方式，详情见下表： 收费方式 详细介绍（注：不足一个小时的按一小时计算） 会员卡 办卡需元，每活动小时收费元 普通卡 进入文体中心要收取元/日，可免费进行文体活动小时，后续收费元/小时 小明打算一个月（30天）都去文体中心活动，每天活动的时间为小时（为正整数，且）． (1)如果小明选择办会员卡一个月需要花费______元；选择办普通卡一个月需要花费______元；（用含的代数式表示） (2)对于会员卡和普通卡两种不同的收费方式，小明办哪种更划算？ ◆【题型 5】工程类不等式应用题 17．【文化背景】 “中国有礼仪之大，故称夏；有服章之美，谓之华．”华夏衣冠承载着千年的文明密码与审美意趣．在2026年央视春晚上，创意节目《贺花浓》以其如诗如画的意境，考究复原的汉服形制，惊艳了全国观众． 【数学问题】 某非遗汉服工坊有甲、乙两个团队加工同一款马面裙，已知甲团队比乙团队每天多加工1件，且甲团队加工30件的工作天数是乙团队加工12件的工作天数的2倍． (1)分别求甲、乙两个团队每天加工马面裙的件数； (2)现有一份加工60件马面裙的订单，该工坊计划完成该订单的总工作时长不超过14天（总工作时长=甲团队的工作天数+乙团队的工作天数），试问：甲团队至少需要工作多少天？ 18．智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一．某品牌苹果采摘机器人的机械手能自动对成熟的苹果进行采摘，一个机器人可以搭载多个机械手同时工作．已知工人平均可以采摘一个苹果，一个机械手平均可以采摘一个苹果．根据这些数据回答下列问题： (1)该机器人搭载了个机械手与1个工人同时工作400秒，机器人比工人多采摘120个苹果，求该机器人搭载的机械手数量； (2)在（1）的条件下，现需要25200个苹果发往外地，采摘工作由20个工人和6个机器人共同完成．那么至少需要同时工作多长时间，才能完成采摘任务？ 19．某工程队承接一项隧道工程，在挖掘一条520米长的隧道时，为了尽快完成，实际施工时每天挖掘的长度是原计划的1.5倍，结果提前了30天完成了其中360米的隧道挖掘任务． (1)求实际每天挖掘多少米？ (2)由于气候等原因，需要进一步缩短工期，要求完成整条隧道不超过80天，那么为了完成剩下的任务，在实际每天挖掘长度的基础上，至少每天还应多挖掘多少米？ 20．甲、乙两个工程队共同承担一项筑路任务，甲队单独施工完成此项任务比乙队单独施工完成此项任务多用10天．且甲队单独施工15天和乙队单独施工10天的工作量相同． (1)甲、乙两队单独完成此项任务各需多少天？ (2)若甲、乙两队共同工作了3天后，乙队因设备检修停止施工，由甲队单独继续施工，为了不影响工程进度．甲队的工作效率提高到原来的2倍，要使甲队总的工作量不少于乙队的工作量的2倍，那么甲队至少单独施工多少天？ ◆【题型 6】行程不等问题 21．不忘初心，夷陵志愿者在行动．每年的12月5日是国际志愿者日，这一天，某志愿者步行到离家1000米的社区去开展服务工作，到社区后发现服务用具不够，于是他立即按原路步行回家，拿到用具后立即按原路骑自行车返回社区．已知该志愿者步行从社区到家所用的时间比他骑自行车从家到社区所用的时间多10分钟，该志愿者骑自行车速度是步行速度的倍． (1)求该志愿者步行速度（单位：米/分）是多少？ (2)下午结束后，该志愿者骑自行车回到家，然后步行去图书馆，如果该志愿者骑自行车和步行的速度不变，该志愿者步行从家到图书馆的时间不超过骑自行车从社区到家时间的3倍，那么该志愿者家与图书馆之间的路程最多是多少米？ 22．随着无人机技术的不断进步，某地开通了无人机急救药品配送通道，无人机从物流基地出发，匀速飞往某医院，飞行距离为16千米．若采用传统车辆匀速配送，公路距离为30千米，速度是无人机的1.5倍，但所用时间要比无人机配送多6分钟． (1)求无人机和传统车辆的配送速度分别是多少千米/时； (2)若无人机从物流基地出发前往该医院配送急救药品，10分钟后接到医院通知，急救药品需要在8分钟以内（含8分钟）送达，则无人机的速度至少要提到多少千米/时，才能完成此次配送任务． 23．某采石场爆破时，点燃导火线的甲工人要在爆破前转移到400m以外的安全区域．甲工人在转移过程中，前40m只能步行，之后骑自行车．已知导火线燃烧的速度为，甲工人步行的速度为，骑车的速度为．为了确保甲工人的安全，则导火线的长度要大于多少米？ 24．受北京冬奥会影响，小明爱上了滑雪运动．一天，小明在成都热雪奇迹滑雪场训练滑雪，他从中级赛道顶端匀速滑到终点，第一次用了40秒；第二次比第一次速度提高了1米/秒，用了32秒． (1)问小明第一次训练速度是多少米/秒？从中级赛道顶端到终点的路程是多少米？ (2)若要使所用时间小于20秒，则滑行速度应大于多少米/秒？ ◆【题型 7】几何中的不等式应用 25．小刚准备用一段长50米的篱笆围成一个三角形形状的场地，用于饲养鸡．已知第一条边长为米，由于条件限制，第二条边长只能比第一条边长的3倍少2米． (1)第一条边长能否为10米？为什么？ (2)求的取值范围． 26．茶文化是中华民族传统文化的重要组成部分，也是中国文化的瑰宝之一．茶叶种植大户王伯伯参加了茗茶品鉴交流会后，准备在茶园里用篱笆围成一块长方形的区域来培育新品种的茶叶，现有长度为的篱笆，若要求该长方形区域的宽比长少，且篱笆材料需要够用，则长方形区域的长最大为多少米？ 27．农场利用一面墙，用50m的护栏围成一块如图所示的长方形花园，设花园的长为，宽为．    (1)若a比b大5，求a的值； (2)若受场地条件的限制，b的取值范围为，求a的取值范围． 28．根据以下素材，解决问题． 设计拍照打卡板 素材一 小聪为学校设计拍照打卡板（如图1），其平面设计图（如图2）．该打卡板是轴对称图形，由长方形和等腰组成，且，，，四点在同一条直线上．其中，点A到的距离为1.2米，米，米． 素材二 因考虑牢固耐用，小聪计划选用甲、乙两种材料分别制作长方形与等腰（两种图形无缝隙拼接），且甲材料的单价为85元/平方米，乙材料的单价为100元/平方米． (1)若，求证：最高点到地面的距离就是线段的长； (2)小聪发现他设计的方案中，制作拍照打卡板的总费用不超过180元，请你确定长度的最大值． ◆【题型 8】最值决策应用题 29．商场购进甲、乙两种保温杯，已知4个甲保温杯、2个乙保温杯共220元；2个甲、3个乙共130元． (1)求甲、乙保温杯单价； (2)计划采购共50个，总预算不低于1180元，甲至少购进多少个？ 30．自主研发和创新让我国的科技快速发展，“中国智造”正引领世界潮流．某科技公司计划投入一笔资金用来购买A、B两种型号的芯片．已知购买1颗A型芯片和2颗B型芯片共需要750元，购买2颗A型芯片和3颗B型芯片共需要1300元． (1)求购买1颗A型芯片和1颗B型芯片各需要多少元； (2)若该公司计划购买A、B两种型号的芯片共8000颗，其中购买A型芯片的数量不少于B型芯片数量的3倍． ①求该公司至少购买多少颗A型芯片； ②请直接写出购买A型芯片最少时，该公司购买这些芯片需花费多少元． 31．列方程（或不等式）解决下列问题： 膳食中心为学生提供一款重量为克的营养早餐（包含一个克的鸡蛋、一盒牛奶、一块杂粮面包）．据测算，每克食物所含的部分营养物质如下表： 能量/千卡 蛋白质/克 鸡蛋 牛奶 杂粮面包 (1)若这份营养早餐的蛋白质总含量为克，请问这份早餐中牛奶和杂粮面包分别有多少克? (2)一名体重指数偏瘦的学生要求早餐摄入的能量至少为千卡，请问这份早餐中牛奶的含量最多为多少克? 32．随着人工智能技术的不断进步，机器人在操作方面的应用变得日益广泛．某快递公司使用机器人进行包裹分拣，若甲机器人工作1小时，乙机器人工作2小时，一共可以分拣1100件包裹；若甲机器人工作2小时，乙机器人工作3小时，一共可以分拣1800件包裹． (1)求甲、乙两台机器人每小时各分拣多少件包裹； (2)该快递公司计划让甲、乙两台机器人一共工作15小时，总分拣包裹数量不少于5200件，乙机器人至少工作几小时？ 综合攻坚·知能拔高 1．为有效开展课后延时服务特色课程，某校计划购买葫芦丝和口风琴给同学们活动使用，如果该校购买葫芦丝和口风琴共46个，且购买葫芦丝的数量不低于口风琴数量的1.5倍，求该校最多可购买多少个口风琴？ 2．有人问一位数学老师，他所教的班级有多少学生，这位老师风趣地说：“现在正是兴趣小组活动的时间，我班一半的学生在学数学，四分之一的学生在学音乐，七分之一的学生在读英语，还剩不足6位同学在操场上打篮球”．那么该班共有多少名学生？ 3．2026年6月，由国家卫生健康委等16个部门启动的“体重管理年”活动迎来两周年，为响应全民健身的号召，某健身器材专卖店推出两种优惠方案（规定只能选择其中一种）： 方案一：所购商品按原价打八折． 方案二：若所购商品原价超过80元，可以使用80元代金券． 设顾客购买的健身器材原价为元． (1)若顾客选择方案一，共花费________元；若顾客选择方案二，需要花费________元； (2)对于方案一和方案二两种不同的优惠方案，顾客怎样选择花费较少？ 4．某市居民用电的电价实行阶梯收费，收费标准如下表： 一户居民每月电量（单位：度） 电费价格（单位：元/度） 0.48 0.53 0.78 七月份是用电高峰期，李叔计划七月份电费支出不超过200元，求李叔家七月份最多可用电的度数． 5．某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板，做成如图乙所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒． (1)现有正方形纸板161张，长方形纸板340张供选用，若要做两种纸盒共100个，设做竖式纸盒个． ①根据题意，完成表格： 纸盒纸板 竖式纸盒（个） 横式纸盒（个） 需正方形纸板（张） 需长方形纸板（张） ②按两种纸盒的生产个数来分，有哪几种生产方案？ (2)若每个竖式纸盒获利2元，横式纸盒获利3元，求上述哪种方案销售利润最大？最大利润是多少？ 6．某文体中心提供阅读、观影、球类、游泳、器械等多种文体活动，现有两种收费方式（注：不足一个小时的按一小时计算）： 收费方式 详细介绍 会员卡 办卡费180元/月，每小时收费4元 普通卡 无办卡费，每小时收费6元 设小明8月去文体中心活动的总时间为小时（为整数）． (1)若小明选择会员卡的收费方式，需要花费______元；若小明选择普通卡的收费方式，需要花费______元； (2)对于会员卡和普通卡两种不同的收费方式，小明怎样选择花费较少？ 7．今年夏天，某地区遭受罕见的水灾，“水灾无情人有情”，某单位给该地区某中学捐献一批饮用水和蔬菜共320件，其中饮用水比蔬菜多80件． (1)求饮用水和蔬菜各有多少件？ (2)现计划租用甲、乙两种型号的货车共8辆，一次性将这批饮用水和蔬菜全部运往受灾地区某中学，已知每辆甲型货车最多可装饮用水40件和蔬菜10件，每辆乙型货车最多可装饮用水和蔬菜各20件，如果甲型货车每辆需付运费400元，乙型货车每辆需付运费360元，某单位应如何安排甲型，乙型货车使运费最少？最少运费是多少？ 8．如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为，整个接水的过程不计热量损失． 阅读并结合以上信息，解决下列问题： (1)甲同学先接温水，再接开水，得到一杯的水，如果接水的总时长是，求甲同学分别接温水和开水所用的时间； (2)乙同学先接的开水，再接的温水，如果要使最后杯中水的体积大于而不多于，应接多长时间的开水？（接水时间取整秒数） 9．为了更好治理河流水质，保护环境，某市治污公司决定购买10台污水处理设备，现有，两种型号的设备，其中每台的价格，月处理污水量如表： 型 型 价格（万元/台） a b 处理污水量（吨/月） 220 180 经调查：购买一台型设备比购买一台型设备多3万元，购买2台型设备比购买3台型设备少3万元． (1)求a，b的值； (2)经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过100万元，且每月要求处理的污水量不低于1880吨，你认为该公司有哪几种购买方案，并计算最省钱方案的费用． 10．我国绝大多数城市推行阶梯水价，其目的是通过“多用多付”的价格机制，直接激励节水，最终服务于水资源可持续利用与国家水安全的长远目标．居民生活用水通常按户计费，原则上以年为计量周期，重庆市开州区居民生活用水收费标准（户内人口不超过4人）如下： 第一阶梯2.5元/立方米（每户每年水量）； 第二阶梯3.50元/立方米（每户每年水量）； 第三阶梯5元/立方米（每户每年水量）． (1)王瀚与李诺家庭的居民户内人口都为3人，王瀚家庭年用水量在第一阶梯，李诺家庭年用水量在第二阶梯，两个家庭年用水量共，年用水费共1405元，请求出王瀚与李诺家庭的年用水量分别是多少； (2)刘莎家庭的居民户内人口为4人，2025年全年水费不少于1000元，请列不等式求出刘莎家庭2025年用水量至少为多少． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $